1. ábra ábra

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "1. ábra ábra"

Virág Natália Barnané
8 évvel ezelőtt
Látták:

1 A kifejtési tétel A kifejtési tétel kimondásához először meg kell ismerkedni az előjeles aldetermináns fogalmával. Ha az n n-es A mátrix i-edik sorának és j-edik oszlopának kereszteződésében az elem áll, akkor az ehhez tartozó A ij előjeles aldeterminánst úgy kapjuk, hogy A-ból elhagyjuk az i-edik sorát és a j-edik oszlopát, majd a kapott (n 1) (n 1)-es mátrix determinánsát (1) ij -nel szorozzuk (lásd az 1. ábrát). j. A = A ij = (1) ij det 1. ábra Az A ij definíciójában szereplő (1) ij előjelet sakktáblaszabálynak is szokták nevezni, mert ez i és j függvényében úgy változik, mint a sakktábla mezőinek színei (lásd a 2. ábrát). (Figyelem! A sakktáblaszabálynak semmi köze nincs a determináns definíciójában szereplő előjelezési szabályhoz, amely a permutációk inverziószámától függ.) 2. ábra A kifejtési tétel a következőt mondja ki: ha az (n n-es) A mátrix valamelyik sorának, vagy oszlopának minden elemét megszorozzuk a hozzá tartozó elője- Összeállította: Szeszlér Dávid c BME Számítástudományi és Információelméleti Tanszék,

2 les aldetermináns értékével és a kapott n kéttényezős szorzatot összeadjuk, akkor A determinánsának értékét kapjuk. Ha például a tételt az i-edik sorra alkalmazzuk (vagyis az i-edik sor szerint fejtjük ki a determinánst ), akkor a tétel állítása képletben: det A = a i1 A i1 a i2 A i2... a in A in. Hasonlóan, ha a j-edik oszlop szerint fejtünk ki, akkor a tétel ezt állítja: A kifejtési tétel bizonyítása det A = a 1j A 1j a 2j A 2j... a nj A nj. A bizonyításhoz elevenítsük fel a determináns definícióját. Az n n-es A mátrix elemei közül kiválasztott n elemet nevezzünk bástyaelhelyezésnek, ha minden sorban és minden oszlopban éppen egy kiválasztott elem áll. (Az elnevezést az motiválta, hogy a mátrixot sakktáblának képzelve úgy helyezünk el rajta n bástyát, hogy a sakk szabályai szerint semelyik kettő ne üsse egymást.) Ha az első sorból a π 1 -edik, a másodikból a π 2 -edik, stb., az n-edik sorból a π n -edik elemet választjuk, akkor a bástyaelhelyezés definíciója miatt a π 1, π 2,..., π n számok éppen az 1, 2,..., n számok egy permutációját (valamilyen sorrendben való felírását) adják meg. Ebből azonnal látszik, hogy bástyaelhelyezésből éppen annyi van, mint permutációból, vagyis n! = n(n 1) A determináns definíciója szerint mind az n! lehetséges bástyaelhelyezésre össze kell szorozni az abban szereplő n mátrixelemet, a szorzatot valamilyen szabály szerint (erre később visszatérünk) el kell látni vagy előjellel, végül az így kapott n! n-tényezős, előjeles szorzat összege adja meg det A értékét. Képletben: det A = ± a 1π1 a 2π2... a nπn. π 1,...,π n permutáció Válasszuk most ki az A mátrixnak például az i-edik sorát. Amikor det A értékét a fenti definíció szerint kiszámítjuk, minden bástyaelhelyezés pontosan egy elemet tartalmaz az i-edik sorból. Ezért megtehetjük, hogy a det A definíciójában szereplő n! szorzatot aszerint csoportosítjuk, hogy az i-edik sorból melyik elemet tartalmazzák. Ha az egyik ilyen csoport tagjai az i-edik sorból az elemet tartalmazzák, akkor ezekből a szorzatokból kiemelhető az közös tényező. Ezt mind az n csoportra elvégezve det A így írható: det A = a i1 (...) a i2 (...)... a in (...). Gondoljuk most meg, hogy a fenti felírásban mi kerül az elemmel szorzott (...) zárójelbe. Mivel n-tényezős szorzatokból emeltük ki az közös tényezőt, 2

3 ezért a zárójelben (n 1)-tényezős szorzatok előjeles összege áll. Másrészt mivel a kiemelés előtt a szorzatok minden sorból és oszlopból egy elemet tartalmaztak, ezért kiemelése után olyan (n 1) tényezős szorzatok keletkeznek, amelyek az i-edik sor és a j-edik oszlop kivételével az A minden további sorából és oszlopából pontosan egy elemet tartalmaznak. Más megfogalmazásban: az -vel szorzott (...) zárójelben éppen az A ij értelmezésében szereplő (n 1) (n 1)-es determináns definíció szerinti kiszámításakor keletkező szorzatok előjeles összege áll. Mindez elmondható akkor is, ha az i-edik sor helyett az A mátrix j-edik oszlopát szemeljük ki és az ebben szereplő elemek szerint csoportosítunk. Ezzel pedig a kifejtési tétel állítását majdnem bebizonyítottuk: det A definíció szerinti kiszámításánál, illetve a kifejtési tétel tetszőleges sorra vagy oszlopra való alkalmazásánál ugyanazt az n! előjeles szorzatot adjuk össze. Azt kell még belátni, hogy minden ilyen n-tényezős szorzat ugyanazt az előjelet kapja a kétféle kiszámítás során. Ehhez elevenítsük fel a determináns definíciójában szereplő előjelezési szabályt is. Azt már említettük, hogy minden bástyaelhelyezéshez az 1, 2,..., n számok egy permutációja tartozik. A π 1, π 2,..., π n permutáció inverziószáma definíció szerint azoknak az 1, 2,..., n számok közül választható számpároknak a száma, amelyek nagyság szerint csökkenő sorrendben szerepelnek a permutációban (nem feltétlenül egymás után), vagyis amelyek inverzióban állnak egymással. (Például az 3, 4, 1, 5, 2 permutáció inverziószáma 5, mert a (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 2) számpárok állnak benne inverzióban.) A determináns definíciója szerint egy adott bástyaelhelyezésben szereplő elemek szorzatához tartozó előjel (1) I, ahol I jelöli a megfelelő permutáció inverziószámát. A kifejtési tétel bizonyításához érdemes ezt az előjelezési szabályt némileg átfogalmazn Hogyan kaphatjuk meg a permutáció felírása nélkül egy szorzat előjelét? Ha például az és az a kl elemek szerepelnek a bástyaelhelyezésben, akkor ez azt jelenti, hogy a megfelelő permutációban az i-edik helyen j, a k-adik helyen l áll (vagyis π i = j és π k = l): i k... j... l... Ha most j és l inverzióban állnak, az azt jelenti, hogy j > l, vagyis és a kl Északkelet-Délnyugat pozícióban vannak egymáshoz képest (mint a 3a ábrán). Ha viszont j és l nem állnak inverzióban, akkor j < l, vagyis és a kl Északnyugat- Délkelet pozícióban vannak (mint a 3b ábrán). Ezt felhasználva a determináns definíciójában szereplő előjelezési szabály így is fogalmazható: egy n-tényezős szorzathoz tartozó előjel (1) I, ahol I jelöli a megfelelő bástyaelhelyezésben az elemek közül kiválasztható, egymással ÉK-DNy pozícióban álló párok számát. 3

4 l. j. j. l. a kl k. k. a kl 3a ábra 3b ábra Térjünk most vissza a kifejtési tétel bizonyítására. Válasszunk egy a 1π1 a 2π2... a nπn ( ) szorzatot és vizsgáljuk meg, hogy valóban ugyanazt az előjelet kapja-e a definíció szerinti, illetve a kifejtési tétel szerinti számításnál. Az imént láttuk, hogy a definíció szerinti számításkor az előjel az ÉK-DNy pozícióban álló elempárok számától függ; jelöljük ezt a számot I-vel. Tegyük fel, hogy a kifejtési tétel szerinti számításnál a ( ) szorzat az A ij tagban szerepel (vagyis π i = j és a kifejtési tételt vagy az i-edik sorra, vagy a j-edik oszlopra alkalmaztuk). Ekkor az előjelet két tényező befolyásolja: egyrészt a sakktáblaszabály szerinti (1) ij előjel, másrészt az A ij értelmezésében szereplő determináns definíció szerinti kiszámításában az a 1π1... a i1,πi1 a i1,πi1... a nπn ( ) szorzathoz tartozó előjel. Az utóbbi előjel pedig (1) J, ahol J most a ( ) szorzatnak megfelelő bástyaelhelyezésben jelöli az ÉK-DNy pozícióban álló párok számát. Mivel a ( )-nak megfelelő bástyaelhelyezés csak az elemben különbözik az eredeti, ( )-nak megfelelő bástyaelhelyezéstől, ezért J annyival kevesebb I-nél, amennyi ÉK-DNy pozícióban álló elempárban szerepel. Az sora és oszlopa az A mátrixot négy részre osztja; jelölje p, q, illetve r a négy rész közül a bal felsőben, a jobb felsőben, illetve a bal alsó részben lévő, a ( ) bástyaelhelyezéshez tartozó elemek számát (lásd a 4. ábrát). Ekkor éppen a jobb felső és a bal alsó részben levő, összesen q r elemmel áll ÉK-DNy pozícióban. A fentiek szerint tehát J = I (q r). Vegyük még észre azt is, hogy mivel az első i1 sor mindegyikében pontosan egy elem szerepel a bástyaelhelyezésben, ezért p q = i 1. Hasonlóan, az első 4

5 p π i = j. q r 4. ábra j 1 oszlop mindegyikében is pontosan egy elem szerepel, így pr = j 1. Ezek összevetéséből: q r = i j (2p 2). Ezt behelyettesítve az előző bekezdés végén kapott összefüggésbe: J = I (i j) 2(p 1). Összevetve tehát az eddig mondottakat, a kifejtési tétel szerinti számításnál a ( ) szorzat előjele: (1) ij (1) J = (1) ij (1) I(ij)2(p1) = (1) I (1) 2(p1) = (1) I. Ez valóban megegyezik a ( ) definíció szerinti előjelével, amivel a tételt beláttuk. 5

Hasonló dokumentumok

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz 2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix