DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.

Átírás

1 DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS A (nxn) kvadratikus (négyzetes) mátrixhoz egyértelműen hozzárendelhetünk egy D R számot, ami a mátrix determinánsa. Már most megjegyezzük, hogy a mátrix determinánsa, illetve a determináns értéke, pontosabban ezeknek a számítása ugyanazon módszerek alkalmazását jelentik. A determináns abszolútértékének szemléletes jelentés csak x-es, és x-as esetben tulajdonítható. Bizonyítható, hogy előbbinél az oszlopvektorok által kifeszített paralelogramma területét, utóbbinál paralelepipedon térfogatát adja. Érdemes lesz megjegyezni az egyes típusoknál alkalmazható klasszikus, vagy éppen speciális módszereket. A) x-es TÍPUS Semmitmondó a számítási módszerek szempontjából, de a rend kedvéért ezt az esetet is megemlítjük. A determináns értéke ilyenkor nyilvánvalóan megegyezik a mátrix (vagy a determináns) egyetlen elemével.. PÉLDA Világos, hogy a megoldás det A =. Számítsuk ki az A = [] determinánsát!. PÉLDA Határozzuk meg a értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke. A továbbiakban főleg az adott típushoz felhasználható klasszikus módszereket tárgyaljuk, de mindig megemlítjük az emellett elvileg is helyesen, de többnyire körülményesebben használható módszereket is.

2 B) x-es TÍPUS KLASSZIKUS MÓDSZER A főátlóban lévő (vagyis a bal felső és a jobb alsó elemet összekötő átló mentén található) elemek szorzatából kivonjuk a mellékátlóban lévő (értelemszerűen a jobb felsőt és a bal alsót összekötő átlóban található) elemek szorzatát. Ez csak x-es esetben használható módszer.. PÉLDA Mennyi a B = [ 4 ] determinánsa? A fentiek alapján adódik, hogy det B = ( ) ( ) 4 =. 4. PÉLDA Mennyi az értéke? Hasonlóan az előzőhöz, azt írhatjuk, hogy ( ) =. EGYÉB MÓDSZEREK Elvileg is helyesen alkalmazható eljárás lenne még a kifejtési tétel, valamint a Gauss-elimináció is. Azonban ezek inkább a nagyobb mátrixok (determinánsok) esetében használatosak, ezért részletesebben csak ott tárgyaljuk. A két iménti módszer közül a kifejtési tétel elméletileg univerzális abban a tekintetben, hogy bármilyen négyzetes esetben használható, de látni fogjuk, hogy számítási igény tekintetében ez (általános esetben) csak elméleti lehetőség lesz. A másik eljárás előnye (klasszikusan) éppen ilyenkor fog megmutatkozni.

3 C) x-as TÍPUS Két klasszikus mellett egy speciális módszert is tárgyalunk. Ugyanazon feladat esetében, de más-más módszer felhasználásával, nyilván mindig ugyanannak a végeredménynek kell kijönnie. KLASSZIKUS MÓDSZEREK Kifejtési tétel Választunk egy sort, vagy oszlopot, lehetőleg olyat, amelyben minél több zérus elem található. A sor, vagy oszlop elemeit szorozzuk az elemhez tartozó előjeles aldeterminánssal (az előjelet a sakktábla-szabály határozza meg, az elemhez az aldetermináns annak sorának és oszlopának elhagyásával kapható meg), majd ezeket a szorzatokat összeadjuk. A tétel fontos tulajdonsága, hogy az eredmény független attól, hogy melyik sor (vagy oszlop) szerint fejtünk ki.. PÉLDA 4 Adjuk meg a C mátrix determinánsát, ha C = [ 8 7]! 7 Fejtsük ki előbb például a III. oszlop szerint. Ekkor a sakktábla-szabály szerinti + előjelek, tehát det C = = + = 4 8 = 4. Ugyanezt kapjuk, ha a II. sor szerint dolgozunk. A megfelelő előjelek +, így det C = ( ) = = 7 = 4.

4 6. PÉLDA Számítsuk ki az 6 értékét! Dolgozzunk most előbb az I. sor szerint. Az aldetermináns előjelek + +, és ezzel a keresett érték ( ) = = + =. Gyakorlásképpen számoljuk ki még a II. oszlop szerint is. Az előjelek +, ezzel = =. 6 GYAKORLÓ FELADATOK Határozzuk meg a D = [ ] determinánsát! 4 (Megoldás: det D = ) 4 Számítsuk ki a determinánst, ha F = [ ]! (Megoldás: det F = 8) Adjuk meg a értékét! 4 (Megoldás: )

5 Gauss-elimináció A determináns értéke nem változik meg, ha az egyik sorához (vagy oszlopához) egy másik sorának (vagy oszlopának) a számszorosát adjuk hozzá. Így elérhető az ún. felső (vagy alsó) háromszögmátrix alak. Ezt azt jelenti, hogy a főátló alatt (vagy felett) minden egyes elem zérus. Szintén bizonyítható tétel, hogy ilyenkor a mátrix determinánsa (a determináns értéke) annak főátlójában lévő elemek szorzata lesz. A módszer főleg nagyobb mátrixok esetén jelent számítási előnyt. 7.PÉLDA 4 Mennyi det G, ha G = [ ]? Gauss-eliminációnál célszerű oszloponként haladni, és a főátló alatti elemeket ilyen módon kinullázni. 4 [ ] II.s.+I.s.() 4 III.s.+I.s.( ) [ 9 ] III.s.+II.s.() 4 [ 9] 6 A fentiek alapján det G = ( ) ( ) 6 = PÉLDA A tárgyalt módszerrel adjuk meg az 4 4 értékét! 6 Ugyan a bal felső elemmel is lehetne nullázni, de a számolás egyszerűbbé válik, ha sorokat (I. sor III. sor) cserélünk. Nagyon fontos szabály, hogy ekkor a determináns előjelet vált II.s.+I.s.( ) 6 III.s.+I.s.() III.s.+II.s.(6) Tehát a determináns értéke [( ) ( ) ( )] = 6.

6 9. PÉLDA Számítsuk ki a G = [ 4 ] determinánsát! Most nyilván szükségképpen kell sorokat cserélnünk III.s.+I.s.( ) 4 III.s.+II.s.() Ebből már azonnal adódik, hogy det G = ( ) =. GYAKORLÓ FELADATOK 6 Legyen H = [ 4 8]. Számítsuk ki a determinánsát! 4 (Megoldás: det H = 96) Mennyi lehet c R értéke, ha 4c =? 8 c + (Megoldás: c =, vagy c = 4) Határozzuk meg értékét! 4 (Megoldás: ) SPECIÁLIS MÓDSZER Kizárólag x-as típusnál használható az ún. Sarrus-szabály. Felírjuk az első két oszlopot a mátrix (vagy a determináns) mögé, és fő-, illetve mellékátló irányú szorzatokat képzünk. Előbbiek pozitív, utóbbiak negatív előjellel szerepelnek.

7 . PÉLDA Mennyi a mátrix determinánsa, ha H = [ ]? 4 Először is másoljuk át az I. és a II. oszlopot (ebben a sorrendben) az eredeti mátrix (vagy determináns) III. oszlopa mögé, majd képezzük a szükséges (azaz átlóirányú) szorzatokat. [ ] [ ] 4 4 Ebből azt kapjuk, hogy det H = +( 4) + [( ) ] + [ ( ) ] ( ) ( ) [( ) ( ) 4] = = 4.. PÉLDA Dolgozzunk a szabállyal a 4 esetében! Mivel x-as determinánsról van szó, használhatjuk ezt az eljárást. 4 4 Így +[( ) ] + [ ( 4) ( )] + ( ) [ ( )] [( ) ( 4) ] ( ) = =. GYAKORLÓ FELADATOK Oldjuk meg ez eddigiekben kitűzött minta-, és/vagy gyakorló feladatokat, de az ott kitűzöttől eltérő módszerrel, tehát például kifejtési tétel helyett Gauss-eliminációval, Gauss-elimináció helyett Sarrus-szabállyal stb.! (Megoldás: lásd fent)

8 D) 4x4-ES TÍPUS Célszerű a Gauss-elimináció, mert a kifejtés aldeterminánsai nxn-es esetben (n )x(n )-esek, de nagy n-ekre a számításigény gyorsan nő, előbbinél O(n!), utóbbinál csak O(n ). Elvét tekintve azonban a kifejtés is használható.. PÉLDA Hozzuk felső háromszög alakra, és adjuk meg II.+I.( ) III.+I. IV.+I.( ) III.+II.() IV.+II.( ) II. IV. 8 4 IV.+III.( ) 9 Végül a determináns értéke ( ) =. értékét! GYAKORLÓ FELADAT 6 Számítsuk ki K = [ (Megoldás: det K = 7) 9 ] determinánsát! Mennyi, illetve 4 (Megoldás:, illetve 6) 4 értéke?

9 INVERZ MÁTRIX Ha A (nxn) egy reguláris mátrix (azaz det A ), akkor egyértelműen létezik az inverz mátrixa (A - ). A mátrix és saját inverzének szorzata az egységmátrixot kell adja. Két módszert is tárgyalunk, mindkettő univerzális, azaz (elvileg) bármilyen típusra használható. A számítás igény növekedése miatt a klasszikus képlet csak kisebb mátrixok esetén célszerű. A) KLASSZIKUS KÉPLET Az inverz mátrixot úgy kaphatjuk meg, hogy az adjungált mátrixot beszorozzuk a determináns reciprokával. Az adjungált mátrix pedig úgy számolható ki, hogy a mátrix minden elemének helyére az ahhoz tartozó előjeles aldeterminánst helyettesítjük, ezeket kiszámoljuk, majd az így kapott mátrixot transzponáljuk. Tehát a klasszikus képlet A - =(/det A) adj A. x-es ESET Ez a típus az inverz számításának szempontjából is semmitmondó, ugyanis az ránézésből is megmondható, de a rend kedvéért megemlítjük.. PÉLDA Adjuk meg az A = [ 4] inverzét! Az előző fejezet alapján det A = 4! A -. Az aldetermináns felírása most egy kicsit sántít, hiszen az az elem sorának és oszlopának elhagyásával lenne megkapható. Az inverz a fenti szorzat definíció alapján azonnal felírható. A - = [ 4 ]

10 x-es ESET. PÉLDA Határozzuk meg a B = [ ] inverzét! Világos, hogy mivel det B = ( ) ( ) =! B -. adj B = [ T ] B - = [ ] = [ ]. PÉLDA Számítsuk ki az inverz mátrixot, ha C = [ 4 ]! Először is det C = ( ) 4 = 4! C -. T 4 adj C= [ ] = [ 4 ] Innen a beszorzás után már könnyen felírható a keresett inverz. C - = [ ] GYAKORLÓ FELADAT Adjuk meg a D = [ ] inverzét! (Megoldás: D - = [ Megjegyezzük, hogy az A A - =A - A=E szorzatok ellenőrzésétől valamennyi esetben eltekintünk. ])

11 x-as ESET A klasszikus képlet alkalmazásának ez a típus szab ésszerű határt. Ugyanis egy nagyobb, például 4x4-es mátrix esetében annak minden egyes eleméhez x- as aldetermináns tartozik, és ilyenből kellene 6-ot kiszámolnunk. 4. PÉLDA Mi az inverz mátrix, ha F = [ ]? II.s.+I.s.() III.s.+I.s.() [ ] [ 6] Célszerűen az I. oszlop szerint kifejtve, vagy még egy eliminációs lépést végezve adódik, hogy det F = [( ) 6 ( )] =! F -. adj F= [ ] T = [ 6] Értelemszerűen, ha a determináns értéke, akkor az inverz megegyezik az adjungálttal. F - = [ 6]. PÉLDA 4 Számítsuk ki a G = [ 4 ] inverz mátrixát! 7 II.o.+I.o.(4) III.o.+I.o.( ) 4 [ 4 ] [ 4 ] 7 6

12 Az inverz létezik, hiszen det G = ( ) [4 ( ) ( ) ( 6)] = adj G = [ ] T 8 8 = [ 4 ] (/det G)-vel való beszorzás, illetve egyszerűsítés után adódik a keresett inverz. G - = [ 9 4 ] GYAKORLÓ FELADATOK Keressük meg a H = [ 6 ] inverz mátrixát! (Megoldás: H - = [ 6 9]) 7 4 Határozzuk meg az inverz mátrixot, ha K = [ 4 ]! (Megoldás: K - = [ ]) 7 6

13 B) GAUSS-JORDAN-ELIMINÁCIÓ Lényege, hogy az ún. kibővített mátrixban sorok összeadásával elérhetjük, hogy ( A E ) ( E A - ). Egyik lépése főátlóban az -esek kialakítása, a másik pedig a főátló alatti és feletti elemek nullázása (a két lépés sorrendje tetszőleges). x-es ESET 6. PÉLDA ( A E )= ( 4 ) I.s.( 4 ) ( 4 ) =( E A- ) x-es ESET 7. PÉLDA (B E)= ( ) II.s.+I.s.( ) ( ) I.s.+II.s.() ( ) =( E B- ) 8. PÉLDA (C E)= ( x-as ESET I.s.( ) 4 ) II.s.+I.s.( 4) ( 4 4 I.s.+II.s.( 7 ) ) II.s.( 4 ) ( ) =(E C - ) 9. PÉLDA II.s.+I.s.() III.s.+I.s.() ( F E )= ( ) ( 6 )

14 II.s.( ) I.s.+II.s.() III.s.+II.s.() III.s.( ) II.s.+III.s.(6) I.s.+III.s.() ( 6 ) ( 6) =( E F - ). PÉLDA II.s.+I.s.() III.s.+I.s.( ) I.s.( ) 4 4 ( G E )= ( 4 ) ( 4 ) 7 6 II.s.( 4 ) I.s.+II.s.(4) III.s.+II.s.(6) ( 4 4 ) III.s.( ) I.s.+III.s.( ) II.s.+III.s.( 4 ) ( 9 4 ) =(E G - ) GYAKORLÓ FELADATOK 4 Számoljuk ki az inverzt, ha H = [ 6 ]! 6 7 (Megoldás: H - = [ ]) Adjuk meg az inverz mátrixot, ha K = [ 4]! (Megoldás: K - = [ ])