Bevezetés az algebrába 1

Átírás

1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK 1

2 Motiváció

3 Parallelogramma előjeles területe c 1 v v Á f(cu, v) = cf(u, v), és f(u, cv) = cf(u, v) u v c 2 v v Á f(u, v) = f(v, u) u u v u cv v cu v Á f(u, v) = f(u cv, v) = f(u, v cu) u u 2

4 A determináns mint sorvektorainak függvénye

5 Definíció D Determináns Determináns az a valós négyzetes mátrixokon értelmezett és det-tel jelölt skalár értékű függvény, amelynek értéke D1 c-szeresére változik, ha egy sorát c-vel szorozzuk, D2 1-szeresére változik, ha két különböző sorát fölcseréljük, D3 nem változik a hozzáadás elemi sorművelete közben, D4 az egységmátrixon 1 m D2 elhagyható (bizonyítsuk!) m (sor)vektorok függvényeként is definiálható: det(i 3 ) = = det((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) = det(e 1, e 2, e 3 )

6 A determináns létezése m A definícióból nem látszik, hogy az így definiált függvény létezik-e Ezt később bizonyítjuk m Gauss-módszerrel számolható, ami tetszőleges test fölötti determinánsokra is alkalmazható lesz m A determináns egységelemes kommutatív nullosztómentes gyűrű (integritási tartomány) fölött is definiálható Á Egységelemes kommutatív nullosztóments R gyűrű fölött a fenti D1 D4 feltételeket kielégítő függvény létezik és egyértelmű (Később bizonyítjuk) 4

7 Zérus értékű determináns Á Ha egy mátrixnak van egy zérussora, akkor determinánsa 0 B szorozzuk egy sorát c 0-val Á Ha egy mátrixnak van két azonos sora, akkor determinánsa 0 B Cseréljük fel e két sorát! T Ekvivalens állítások a determináns 0 voltára 1 det(a) = 0, 2 A sorvektorai lineárisan összefüggők, 3 A szinguláris, 4 az Ax = 0 egyrsz-nek van nemtriviális megoldása B ha egy vektora kifejezhető a többi linkombjaként, akkor elemi sorműveletekkel 0-sorba vihető, ha nem, akkor A az I-be 5

8 Zérus értékű determináns P = 0, = A közelítéssel óvatosan: n 0 0 n = 1, és az = 1 2 n - A véletlen valós mátrixok determinánsa 1 valószínűséggel nem 0, ha a mátrix elemeit valamely folytonos valószínűségeloszlás szerint választjuk 6

9 Egyenletrendszerek és determináns T Determináns nem 0 volta és az egyenletrendszerek Legyen A F n n (F test) Ekvivalens állítások: det A 0, az Ax = b egyrsz b F n -re egyértelműen megoldható, az Ax = 0 egyrsz-nek csak triviális megoldása van 7

10 A determináns értékének kiszámítása T K K B P Az alsó vagy felső háromszögmátrix, s így a diagonális mátrix determinánsa megegyezik a főátlóbeli elemek szorzatával det kiszámítása: elemi sorműveletekkel hozzuk a determinánst olyan alakra, melynek vagy van egy zérussora, vagy háromszög alakú Ha létezik determinánsfüggvény, akkor az egyértelmű hisz az előbb kiszámolt értéket veszi fel Pascal-háromszög: = = = =

11 Elemi mátrixok determinánsa Á a hozzáadás sorművelettel kapott elemi mátrix determinánsa 1, Á a sorcserével kapotté 1, Á egy sor c-vel való szorzásával kapotté c, P például: = 1, = 1, =

12 Permutációk D Á Permutáció: egy véges halmazt bijektív módon önmagára képező függvény Ha σ és τ az X halmaz permutációi, akkor kompozíciójuk is permutációja X-nek D ezt a σ és τ permutációk szorzatának hívunk: στ = σ τ D Az x 1 x 2 x k x 1 permutációt ciklusnak nevezzük 10

13 Permutációk megadási módjai - Legyen σ egy permutáció - Kétsoros ( jelölés: ) ( ) σ = = = Általánosan: ( ) x1 x 2 x n σ = σ(x 1 ) σ(x 2 ) σ(x n ) - Egysoros jelölés: ha az elemek eredeti sorrendje adva van, pl Általában: σ(x 1 ) σ(x 2 ) σ(x n ) - Ciklusfelbontással: (T: minden permutáció felírható páronként diszjunkt ciklusok szorzataként) Pl (124)(35) 11

14 Inverziók és azok paritása D P D P D egy permutáló mátrix két sora inverzióban áll, ha az előbb álló sorbeli 1-es hátrébb van, mint a másik sorbeli inverzióinak száma például Legyen σ az X = {1, 2,, n} halmaz egy permutációja Azt mondjuk, hogy az i, j X elemek inverzióban állnak, ha i < j, de σ(i) > σ(j) A 3241 permutációban 4 inverzió van Egy permutációt párosnak (páratlannak) nevezünk, ha inverzióinak száma páros (páratlan) 12

15 Permutáló mátrix determinánsa T B A permutáló mátrix determinánsa aszerint 1 vagy 1, hogy inverzióban álló sorpárjainak száma páros vagy páratlan (Ez megegyezik annak a permutációnak a paritásával, mely az 1-es elemek első indexeit a másodikba viszi) Elég megmutatni, hogy egy sorcsere mindig megváltoztatja az inverziók számának paritását, vagyis azok száma párosból páratlanra, páratlanból párosra változik Így ha egy permutáló mátrix inverzióinak száma páros, akkor csak páros sok sorcserével vihető az identikus mátrixba Ha a két megcserélendő sor szomszédos, akkor a sorcsere pontosan eggyel változtatja az inverziók számát Ezután cseréljük fel az i-edik és j-edik sorokat (legyen i < j) Ehhez összesen 2(j i) 1 szomszédos sor cseréje szükséges, ami a paritást ellenkezőjére változtatja 13

16 Mátrixműveletek és determináns Á A n n mátrixra és tetszőleges c skalárra det(ca) = c n det(a) B D1: a determináns minden sorból kiemelhető c T Determinánsok szorzása det(ab) = det(a) det(b) B det(eb) = det(e) det(b) Ha det A = 0, akkor det(ab) is 0 Legyen A = E 1 E 2 E k az elemi mátrixok szorzatára bontás det(a) det(b) = det(e 1 ) det(e 2 ) det(e k ) det(b) = det(ab) Á det(a) = det(a T ) B A = E 1 E 2 E k R A T = R T E T k ET 2 ET 1 = RT E T k ET 2 ET 1 Á Determináns könnyen számolható a PLU-ból 14

17 A determináns additív minden sorában T Additivitás az i-edik sorban a 1 a i a n a 1 b i a n = a 1 a i b i a n (az i-ediket kivéve minden sor azonos) B J! A B = C Ha az a 1,,a i1, a i1,,a n vektorok lineárisan összefüggők, akkor A = B = C = 0, ha a i és b i függ a többitől, ugyanez Tfh az a i -k függetlenek, b i = b 1 a 1 b 2 a 2 b i a i b n a n Ekkor A B = A b i A = (1 b i ) A = C K A determináns minden sorában megtartja a lin kombinációt B additivitás az i-edik sorban és az ún homogenitás (D1) miatt! 15

18 A determináns mint elemeinek függvénye

19 Additivitás használata Mivel (a, b, c) = (a, 0, 0) (0, b, 0) (0, 0, c) ezért a b c d e f g h i = a 0 0 d e f g h i 0 b 0 d e f g h i 0 0 c d e f g h i 16

20 Determináns mint kígyók összege T Minden n-edrendű determináns fölbomlik az összes belőle kiválasztható kígyó determinánsának összegére L! d j1 j 2 j n 1 vagy 1 aszerint, hogy a j 1 j 2 j n permutáció inverzióinak száma páros vagy páratlan (= az a 1j1,, a njn elemekhez tartozó permutáló mátrix determinánsával) Ekkor det([a ij ]) = d j1 j 2 j n a 1j1 a 2j2 a njn, ahol az összegzés az {1, 2,, n} halmaz összes lehetséges {j 1, j 2,, j n } permutációján végigfut a b c d e f P Sarrus-szabály n = 2, n = 3 esetén: g h i 17

21 Következmények K B Á Á Á Determinánsfüggvény létezése Egységelemes kommutatív nullosztómentes gyűrű fölötti determinánsfüggvény létezik, és egyértelmű A kígyók összegére bontott képletről kell bizonyítani, hogy kielégítik a D1, D3, D4 axiómákat (a D2 köv a többiből) A determináns kiszámolásához elég csak az összeadás és szorzás művelete, az osztásra, melyet az elemi sorműveletek során használhatunk, nincs szükség Egész számokból álló determináns értéke egész szám Mivel a determináns kifejtésében csak az összeadás és a szorzás művelete szerepel, a determináns folytonos, sőt differenciálható függvénye elemeinek 18

22 Determináns rendjének csökkentése D Á Az n-edrendű A determináns i-edik sorának és j-edik oszlopának elhagyásával kapott (n 1)-edrendű determináns (1) ij -szeresét az A determináns a ij eleméhez tartozó előjeles aldeterminánsának nevezzük Ha az n-edrendű A determináns a ij elemének sorában vagy oszlopában minden további elem 0, A ij az a ij elemhez tartozó előjeles aldetermináns, akkor A = a ij A ij 19

23 B Legyen az A det i-edik sorában az a ij -n kívül minden elem 0 a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n 0 0 a ij 0 a n1 a n2 a nj a nn = (1) j1 a 1j a 11 a 12 a 1n a 2j a 21 a 22 a 2n a ij a nj a n1 a n2 a nn = (1) i1 (1) j1 a ij 0 0 a 1j a 11 a 1n a 2j a 21 a 2n a nj a n1 a nn = (1) ij a ij a 1j a 11 a 1n a 2j a 21 a 2n a nj a n1 a nn = (1) ij a ij a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn = a ij A ij 20

24 P Számítsuk ki az alábbi determináns értékét! M Ha tudjuk, csökkentjük a determináns rendjét: = (1) = (8) = (8) (1) = (8) (5) (1) = (8) (5) (6) (12) =

25 Kifejtési tétel T Az n-edrendű A determináns értéke kifejezhető bármely sorának vagy oszlopának elemeivel és a hozzájuk tartozó előjeles aldeterminánsok segítségével Az i-edik sora, illetve a j-edik oszlopa szerint kifejezve (kifejtve): n n A = a ik A ik, illetve A = a kj A kj k=1 k= P M Harmadik oszlop szerint érdemes: = = 1 0 =

26 Vandermonde-determináns D x 1, x 2, x n számokhoz tartozó Vandermonde-determináns V n (x 1, x 2,, x n ) = x 1 x 2 x n x n1 1 x n1 2 x n1 n = 1 x 1 x 2 1 x n1 1 1 x 2 x 2 2 x n1 2 1 x n x 2 n x n1 n 23

27 T V n (x 1, x 2,, x n ) = i<j(x j x i ) B V n (x 1, x 2,, x n ) 1 x 1 x 2 1 x n x 2 x 2 2 x n1 2 1 x 2 x 1 x 2 2 x 1 x 2 x n1 2 x 1 x n2 2 = = 1 x n x 2 n x n1 n 1 x n x 1 x 2 n x 1 x n x n1 n x 1 x n2 n x 2 x 1 x 2 2 x 1x 2 x n1 2 x 1x n2 2 = x n x 1 x 2 n x 1 x n x n1 n x 1 x n2 n 1 x 2 x 2 2 x n2 2 1 x 3 x 2 3 x n2 3 = (x 2 x 1 )(x 3 x 1 ) (x n x 1 ) 1 x n x 2 n x n2 = (x 2 x 1 )(x 3 x 1 ) (x n x 1 )V n1 (x 2,, x n ) = V n1 (x 2,, x n ) (x j x 1 ) 1<j n 24

28 Cramer-szabály J A i,b = [a 1 a,i1 b a,i1 a n ] T Az Ax = b egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg egyértelműen, ha det A 0, és ekkor B Ae i = a i, így x i = det A i,b, (i = 1, 2,, n) det A AI i,x = A[e 1 e,i1 x e,i1 e n ] = [Ae 1 Ae,i1 Ax Ae,i1 Ae n ] = [a 1 a,i1 b a,i1 a n ] = A i,b 25

29 Példa a Cramer-szabályra - Oldjuk meg az 2x 5y = 4 5x 3y = 6 egyenletrendszert a Cramer-szabállyal! A = 5 3 = 19, A 4 5 1,b = 6 3 = 18, A 2 4 2,b = 5 6 = 8 Innen x = = 18 19, y = 8 19 =

30 Inverz mátrix elemei T [A 1 ] ij = A ji det A B AX = I, azon belül az Ax j = e j egyenletrendszer megoldásával (Cramer-szabály szerint): x ij = det A i,e j det A, ahol det A i,e j a 11 a 12 0 a 1n a 21 a 22 0 a 2n = = A a j1 a j2 1 a jn ji, a n1 a n2 0 a nn x ij = det A i,e j det A K A 1 = 1 det A [A ij] T = 1 det A adj A 27

31 További következmények Á L B A adj A = det(a)i (szinguláris mátrixra is) Kifejtés és ferde kifejtés sorokra: n det A, ha i = u, a ik A uk = 0, ha i u, oszlopokra: k=1 n det A, ha j = v, a kj A kv = k=1 0, ha j v Ha az i-edik sor elemeit az u-adik sorhoz tartozó előjeles aldeterminánsokkal szorozzuk és u i, akkor az u-adik sor elemeit nem használjuk, tehát szabadon megváltoztathatjuk: másoljuk az i-edik sort az u-adik helyébe Ekkor nk=1 a ik A uk = n k=1 a uk A uk, másrészt e mátrix kifejtését kaptuk, aminek van két azonos sora, tehát értéke 0 28

32 További következmények 2 K K K Az inverz mátrix minden eleme folytonos függvénye a mátrix minden elemének minden olyan helyen, ahol a determináns nem 0, azaz minden olyan helyen, ahol az inverz létezik Egy n-ismeretlenes n egyenletből álló egyenletrendszer megoldásvektorának minden koordinátája folytonos függvénye az egyenletrendszer együtthatóinak és a jobb oldalán álló vektor koordinátáinak, hisz a megoldás az inverzzel való szorzással megkapható Egészelemű mátrix inverze pontosan akkor egészelemű, ha determinánsa 1 vagy 1 (det(a) det(a 1 ) = det I = 1) 29

33 Blokkmátrixok determinánsa T A O B D = A C O D = A D B E determinánsok kígyók determinánsainak összegére bontása megegyezik az A és D ilyen felbontásának szorzatával [ ] A B T Ha M = azonos méretű és egymással fölcserélhető C D részmátrixokra particionálható és A invertálható, akkor M = AD BC B Trükk [ ] [ ] [ ] A B I O A B M = = C D CA 1 I O D CA 1 B 30

34 Blokkmátrixok determinánsa 2 [ ] A B T Legyen M =, ahol A és D négyzetes mátrixok Ekkor C D Ha A = 0, akkor M = A D CA 1 B Ha D = 0, akkor M = A BD 1 C D B Trükk [ ] [ ] [ ] A B I O A B M = = C D CA 1 I O D CA 1 B [ A BD 1 ] [ ] C B I O = O D D 1 C I 31

35 Determináns és rang T Egy M m n mátrix r rangja megegyezik - a belőle kiválasztható legnagyobb méretű nemszinguláris négyzetes mátrix rendjével, - a belőle kiválasztható legnagyobb méretű nemnulla aldetermináns rendjével B Sor és oszlopműveletek közben a rang nem változik A rang megegyezik a maximális független sorok, illetve oszlopok számával Válasszunk ki r független sort és oszlopot, kereszteződésükben áll az A mátrix Sorcserékkel és oszlopcserékkel vigyük a bal felső sarokba Tehát léteznek olyan P 1 és Q 1 permutáló mátrixok, hogy [ ] A B M = P 1 MQ 1 = C D 32

36 Determináns és rang 2 - A invertálható, mert M első r sorára vonatkozó elemi sorműveletekkel I-be vihető, így determinánsa nem 0 - Léteznek olyan invertálható m m-es P 2 és n n-es Q 2 mátrixok, hogy [ ] [ ] A B A O P 2 P 1 MQ 1 =, P 2 P 1 MQ 1 Q 2 = O O O O - Végül, ha bármely (r 1) (r 1)-es Y részmátrixot tekintjük, annak oszlopai és sorai M-ben lineárisan összefüggők, így Y-ban is - A determinánsokról szóló állítás következik az előzőkből 33

37 A kifejtési tétel általánosítása J Legyen A négyzetes Jelölje A i1 i 2 i k,j 1 j 2 j k az A mátrix i 1, i 2,, i k sorainak és j 1, j 2,, j k oszlopainak kereszteződésében lévő részmátrixot, D i1 i 2 i k,j 1 j 2 j k az e sorok és oszlopok elhagyásával kapott mátrix determinánsát, és A i1 i 2 i k,j 1 j 2 j k = (1) i 1i 2 i k j 1 j 2 j k D i1 i 2 i k,j 1 j 2 j k T legyen az előjeles aldetermináns Az n n-es A mátrix determinánsa A = A i1 i 2 i k,j 1 j 2 j k A i1 i 2 i k,j 1 j 2 j k = 1 j 1 < <j k n 1 i 1 < <i k n A i1 i 2 i k,j 1 j 2 j k A i1 i 2 i k,j 1 j 2 j k 34