Bevezetés az algebrába 1

Átírás

1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Mátrixműveletek H Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK 1

2 Mátrixműveletek definíciói

3 Mátrixműveletek definíciói Műveletek táblázatokkal

4 Összeadás - A valós számok közti műveletek természetes módon kiterjeszthetők mátrixokkal való műveletekké. - Ezek definícióihoz az összeadás és a szorzás hétköznapi alkalmazásainak táblázatokra való kiterjesztésén keresztül fogunk eljutni. - 3 alma meg 2 alma az 5 alma - Azonos méretű, azonos fejlécű táblázatok összeadásának egy lehetséges módja: alma (db) szőlő (fürt) piros 3 2 zöld alma (db) szőlő (fürt) piros 2 2 zöld 0 1 = alma (db) szőlő (fürt) piros 5 4 zöld 2 2 2

5 Szorzás számmal - Az asztalon 2 alma van. Ha számukat megháromszorozzuk, összeszorzunk egy mértékegység nélküli számot (3) egy mértékegységgel rendelkezővel (2 darab). - Ezt megtehetjük egy kosár egész tartalmával is: alma szőlő alma szőlő 3 (db) (fürt) piros 3 2 zöld 2 1 = (db) (fürt) piros 9 6 zöld 6 3 3

6 Táblázatok szorzása - Egy adag (10 dkg) alma energiatartalma 30 kcal, 5 adag energiatartalma 5 adag 30 kcal = 150 kcal. adag - Gyümölcssaláták (A, B, C), gyümölcsök (alma, banán, narancs), tartalmuk (szénhidrát- és energiatartalom). - Két táblázat: a sorokba kerülnek azok a tételek, melyek tartalmát az oszlopokban részletezzük: Alma Banán Narancs (adag) (adag) (adag) Szénhidrát (g/adag) Energia (kcal/adag) A B C Alma 7 30 Banán Narancs

7 Táblázatok szorzása (folytatás) - Az A saláta energiatartalma: 5 adag 30 kcal kcal kcal +1 adag adag 40 = 415 kcal, adag adag adag Szénhidrát (g/adag) Energia (kcal/adag) Alma 7 30 Banán Narancs 8 40 Alma Banán Narancs (adag) (adag) (adag) Szénhidrát (g) Energia (kcal) A B C A B C

8 Lineáris helyettesítés D Lineáris helyettesítés Lineáris helyettesítésről beszélünk, ha változók egy halmazát más változók konstansszorosainak összegeként állítjuk elő. - Legyen pl. a = 5x + y + 4z b = 4x + 4y + 2z c = 4x + 2y + 4z és x = 7s + 30k y = 24s + 105k z = 8s + 40k - Egy pillanatra visszalépünk (táblázatosítunk) x y z a b c s k x 7 30 y z

9 Lineáris helyettesítések kompozíciója - kompozíció: egymás után való elvégzés - Az a = 5x + y + 4z kifejezésben helyettesítsük x, y és z helyébe a második lineáris helyettesítés szerinti kifejezéseket a = 5x+y+4z = 5(7s+30k)+(24s+105k)+4(8s+40k) = 91s+415k. - Pl. k együtthatója: = 415. s k x 7 30 y z 8 40 x y z s k a a b b c c

10 Mátrixműveletek definíciói Mátrixűveletek

11 Mátrixok - S fölötti m n típusú mátrixok tere S m n vagy M m n [S], ahol S egy halmaz (pl. S = R, Q, N, Z ) - Két mátrixot akkor tekintünk egyenlőnek, ha azonos típusúak, és az azonos indexű elemek egyenlőek. - Például [ ] , 3 - négyzetes mátrix, főátló, diagonális mátrix, diag(1, 2, 3) =

12 Elemenkénti mátrixműveletek - A = [a ij ], B = [b ij ] azonos típusúak: A + B = [a ij ] + [b ij ] := [a ij + b ij ], A B = [a ij ] [b ij ] := [a ij b ij ]. - Zérusmátrix: O m n, O n - c skalárral szorzás ca = c[a ij ] := [ca ij ]. - = - Mátrixokra is definiálhatjuk a lineáris kombináció, a lineáris függetlenség és a kifeszített altér fogalmát. 9

13 Mátrixszorzás D Egy m t-s A és egy t n-es B mátrix szorzatán azt az AB-vel jelölt m n-es C mátrixot értjük, amelynek i-edik sorában és j-edik oszlopában álló eleme t c ij = a i1 b 1j +a i2 b 2j +...+a ik b kj +...+a it b tj = a ik b kj = a i b j a i1 a i2... a it b 1j b 2j. b tj c ij A m s k=1 feltéve, hogy s = t AB típusa m n B t n 10

14 Műveletek blokkmátrixokkal - Hatalmas méretű mátrixokkal végzett műveletek párhuzamosíthatók, és a memóriakezelésük is hatékonyabbá válik, ha a mátrixokat vízszintes és függőleges vonallal részmátrixokra, ún. blokkokra osztjuk. - Ha A és B azonos típusú, azonos módon particionált blokkmátrix, akkor c[a ij ] := [ca ij ], [A ij ] + [B ij ] := [A ij + B ij ]. - Ha A = [A ik ] m t, B = [B kj ] t n két blokkmátrix, és minden k-ra az A ik blokk oszlopainak száma megegyezik B kj sorainak számával, akkor a C = AB szorzatra t C ij = A ik B kj. k=1 11

15 Műveletek blokkmátrixokkal P M Számítsuk ki a mátrixot! [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + [ ] [ ] [ ] [ ] 1 [ ] [ ] [ ] [ ] 1 [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] + [ [1] ] [ [4] ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] = [ ] [ ] 1 1 = [ ] [ ] 4 6 =

16 Mátrixműveletek definíciói A mátrixszorzás használata

17 Skaláris szorzat és diadikus szorzat mátrixszorzatos alakja - a, b R n, ekkor a T b = a b, - u R m, v R n. Az uv T szorzatot a két vektor diadikus szorzatának, röviden diádnak nevezzük. E szorzat egy m n-es mátrix: u 1 u 1 v 1 u 1 v 2... u 1 v n u 2 ] u 2 v 1 u 2 v 2... u 2 v n uv T = u v = [v 1 v 2... v n = u m u m v 1 u m v 2... u m v n - u = (1, 0, 2), v = (3, 2, 1), u v =?, u v =? [ ] 3 1 [ ] u T v = = 5, uv T = =

18 Lineáris egyenletrendszer mátrixszorzatos alakja - Ha A jelöli egy egyenletrendszer együtthatómátrixát, illetve b a konstans tagok és x az ismeretlenek oszlopvektorát, azaz a 11 a a 1n x 1 b 1 a 21 a a 2n x 2 b 2 A =., x =, és b =, a m1 a m2... a mn akkor az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 x n b m.... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m egyenletrendszer Ax = b alakba írható. 14

19 - 2x 1 + 3x 2 x 3 = 5, ax by = u = v cz = w - mátrixszorzatos alakjaik rendre: [ ] x 1 a 0 0 x u x 2 = 5, 0 b 0 y = v, 0 0 c z w x 3 és x + 2y = 1 y = 1 0 = [ ] x = y A szimultán egyenletrendszerek AX = B alakba írhatók, pl.: - 2x x 21 = 7 3x 11 4x 21 = 2 [ ] [ ] [ ] 2 3 x11 x =. 3 4 x 21 x x x 22 = 9 3x 12 4x 22 = 5 15

20 Lineáris helyettesítés mátrixszorzatos alakja - Hasonlóan az egyenletrendszer mátrixszorzatos alakjához, pl.: x = 3a + 2b + 4c x a y = a 3b + 2c y = b. z = 2a b + 2c z c 16

21 Szorzás vektorral Á Mátrixszorzás és lineáris kombináció Legyen A m n-es mátrix, x n-dimenziós, y m-dimenziós vektor. Ekkor az Ax szorzat az A oszlopvektorainak a 1 x 1 + a 2 x a n x n lineáris kombinációját, míg az y T A szorzat az A sorvektorainak lineáris kombinációját adja. a 1 y 1 + a 2 y a m y m 17

22 Szorzás standard egységvektorral Á Mátrix elemeinek, sor- és oszlopvektorainak előállítása Legyen A egy m n-es mátrix, e i m-dimenziós, e j n-dimenziós standard egységvektor. Ekkor e T i A = a i, Ae j = a j, továbbá e T i (Ae j) = (e T i A)e j = a ij. Az e i e T j diád (i, j)-indexű eleme 1, az összes többi 0: e i e T j = [ ] =

23 A báziscsere mátrixszorzatos alakja P Áttérés standard bázisra: B = { (1, 2, 3), (0, 2, 3), (3, 5, 8) } az R 3 egy bázisa. Írjuk fel [v] B standard bázisbeli koordinátás alakját egyetlen mátrixszorzással. (Pl. [v] B = (3, 2, 1)) M [v] B = (3, 2, 1) azt jelenti, hogy v = = 0 5 7, azaz v = = Legyen [v] B = (x, y, z). Ekkor v = x y z = x y z. 19

24 A báziscsere mátrixszorzatos alakja 2 D Áttérés mátrixa Legyen B = { b 1, b 2,..., b n } a V egy bázisa és C egy V-t tartalmazó vektortér egy bázisa (pl. a V vektortéré). Az T C B = [ [b 1 ] C [b 2 ] C [b n ] C ] mátrixot a B bázisról a C-re való áttérés mátrixának nevezzük. Á Koordináták változása a bázis cseréjénél Ha B a V vektortér bázisa, és C egy V-t tartalmazó tér bázisa, akkor bármely v V vektorra [v] C = T C B [v] B. 20

25 B Legyen [v] B = (v 1, v 2,..., v n ). A koordinátás alak jelentése szerint v = v 1 b 1 + v 2 b v n b n. Ennek koordinátás alakja a C bázisban [v] C = v 1 [b 1 ] C + v 2 [b 2 ] C v n [b n ] C = [ [b 1 ] C [b 2 ] C [b n ] C ] [v] B = T C B [v] B. 21

26 P E az R 4 standard bázisa, és B = {(1, 1, 0, 2), (2, 3, 3, 2)}. vektorok által kifeszített altér. Írjuk fel az T E B mátrixot és adjuk meg a ( 1, 1) B és a ( 3, 2) B vektorok E-beli koordinátás alakját! M Az áttérés mátrixa 1 2 T E B = [ [b 1 ] E [b 2 ] E ] = Így a két vektor koordinátás alakja a standard bázisban [ ] [ ] = 2 1 3, =

27 Bázisfelbontás Á Bázisfelbontás Legyen A redukált lépcsős alakja a zérussorok nélkül R, az A főszlopaiból álló mátrix B. Ekkor A = BR P Írjuk fel az A = bázisfelbontását! B Redukált lépcsős alak: = Innen A = [ ] = BR. 23

28 Teljes rangú mátrixok D Az A mátrix teljes sorrangú, ha sorvektorai függetlenek, teljes oszloprangú, ha oszlopvektorai függetlenek. - Ez azt jelenti, hogy egy mátrix teljes sorrangú, ha rangja megegyezik sorainak számával, illetve teljes oszloprangú, ha rangja megegyezik oszlopainak számával. - A bázisfelbontás egy mátrixot egy teljes oszloprangú és egy teljes sorrangú mátrix szorzatára bont! D Az A mátrix teljes rangú, ha teljes sorrangú vagy teljes oszloprangú. 24

29 Egységmátrix, elemi mátrixok [ ] [ ] [ ] = Az n n-es I n := diag(1, 1,..., 1) =. mátrixot egységmátrixnak nevezzük. - Az I n egységmátrixon végrehajtott egyetlen elemi sorművelettel kapott mátrixot elemi mátrixnak nevezzük. - Az alábbi mátrixok elemi mátrixok: , , ,

30 Szorzás elemi mátrixszal - Mit veszünk észre az alábbi szorzások eredményén? a 11 a 12 a 41 a a 21 a a 31 a = a 21 a a 31 a, a 41 a 42 a 11 a a 11 a 12 a 11 a a 21 a a 31 a = 5a 21 5a a 31 a, a 41 a 42 a 41 a a 11 a 12 a a 31 a a a 21 a a 31 a = a 21 a a 31 a a 41 a 42 a 41 a 42 26

31 Elemi sorművelet mátrixszorzással Á Legyen E az az elemi mátrix, melyet I m -ből egy elemi sorművelettel kapunk. Ha ugyanezt a sorműveletet egy tetszőleges m n-es A mátrixra alkalmazzuk, akkor eredményül az EA mátrixot kapjuk. 27

32 Homogén egyenletrendszer megoldása blokkmátrix alakban P Egy homogén lin. egyenletrendszer és redukált lépcsős alakja: [ ] A megoldások lineáris kombinációk, így mátrixszorzat alakba is felírhatók: x x t 1 x 3 = t t t 3 0 = t t Á x 4 x 5 Ha rref(a) = [I S], akkor az [A 0] egyenletrendszer megoldása [ ] S I t. 28

33 Particionálás: [sorvektorok] [oszlopvektorok] = m 1 1 n m n AB = a 1 a 2. [ a 1 b 1 a 1 b 2... a 1 b n ] a 2 b 1 a 2 b 2... a 2 b n b 1... b n = a m a m b 1 a m b 2... a m b n 29

34 Particionálás: [mátrix] [oszlopvektorok] = n 1 n C = AB = A [ b 1 b 2... b n ] = [ Ab 1 Ab 2... Ab n ] A B b j = C c j 30

35 Particionálás: [sorvektorok] [mátrix] = m m 1 C = AB = a 1 a 2. a m B = a 1 B a 2 B. a m B A a i B = C c i 31

36 Particionálás: [oszlopvektorok] [sorvektorok], diádok összege = t t 1 [ ] AB = a 1... a t = [ ] [ ] b 1 b 2... b t [ 0 [ ] 3] = ] [ ] = 5 5 [ = a 1b 1 + a 2 b a t b t. [ ] 1 [ ] [ ] [ ] 2 [ ]

37 A szorzat oszlopai és sorai Á B Az AB mátrix minden oszlopa az A oszlopainak lineáris kombinációja, és minden sora a B sorainak lineáris kombinációja. Az AB mátrix j-edik oszlopa az i-edik sora pedig (AB) j = Ab j = a 1 b 1j + a 2 b 2j a t b tj (AB) i = a i B = a i1 b 1 + a i2 b a it b t, 33

38 Mátrixműveletek és rang T r(ab) r(a) és r(ab) r(b), így r(ab) min (r(a), r(b)). B Az AB mátrix minden oszlopa az A oszlopainak lineáris kombinációja O(AB) O(A) r(ab) r(a). Hasonlóan az AB minden sora a B sorainak lineáris kombinációja S(AB) S(B) r(ab) r(b). T r(a + B) r(a) + r(b) B S(A + B) span(s(a) S(B)), az utóbbinak van r(a) + r(b) elemű generátorrendszere - r(a+b) = dim(s(a+b)) dim(span(s(a) S(B))) r(a)+r(b) m Egyenlőség mindkét tételben fönnállhat: a szorzatra vonatkozót mutatja a bázisfelbontás (r(a) = r(b) = r(r)), az összegre vonatkozót a bázisfelbontás diadikus alakja (r-rangú mátrix = r darab 1-rangú összegével). 34

39 Mátrixműveletek algebrája

40 Mátrixműveletek algebrája Az alapműveletek tulajdonságai

41 Az összeadás és a skalárral való szorzás tulajdonságai Legyenek a következőkben szereplő mátrixok egy egységelemes kommutatív R gyűrű fölötti mátrixok. - A + B = B + A, - A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C, - c(a + B) = ca + cb, (c + d)a = ca + da. 35

42 Mire vigyázzunk a mátrixszorzásnál? - A mátrixszorzás nem kommutatív, azaz AB = BA nem áll fenn bármely két összeszorozható mátrixra. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] =, de = Ha AB = AC, akkor az A O feltétel kevés ahhoz, hogy a B = C következtetésre jussunk. 1 2 [ ] 1 2 [ ] [ ] [ ] = 2 4, de Az AB = O-ból nem következik, hogy A vagy B a nullmátrix. D Nullosztó: egy alg. strukt. a 0 eleme, melyhez b 0, hogy ab = 0. (R-ben nincs, Z m -ben van, ha m nem prím.) [ ] [ ] [ ] =

43 A szorzás tulajdonságai Á A(BC) = (AB)C csoportosíthatóság, asszociativitás - A(B + C) = AB + AC disztributivitás - (A + B)C = AC + BC disztributivitás - (ca)b = c(ab) = A(cB) - A m n O n t = O m t szorzás nullmátrixszal - I m A m n = A m n I n = A m n szorzás egységmátrixszal 37

44 Az asszociativitás bizonyítása B Ha az egyenlőség egyik oldalán kijelölt szorzások elvégezhetők, akkor a másik oldalon is. (A m s, B u v, C t n s = u, v = t) - Elég sorvektor alakú A és oszlopvektor C-re bizonyítani, ui. - - ((AB)C) ij = (a i B)c j, (A(BC)) ij = a i (Bc j ). c 1 [ m m ] m c 2 n m a k b k1 a k b k2... a k b kn = a k=1 k=1 k=1. k b kl c l. l=1 k=1 c n n b 1l c l ] l=1 m n m n [a 1... a m. = a k b kl c l = a k b kl c l. n k=1 l=1 k=1 l=1 b ml c l k=1 38

45 Asszociativitás következményei m Több mátrix szorzatát nem kell zárójelezni. - Ha D = ABC, akkor d ij = m k=1 l=1 n a ik b kl c lj. - A fizikusok által használt Einstein-konvenció: az indexelt változók szorzatainak összegében a szumma jelek feleslegesek, hisz azokra az indexekre kell összegezni, amelyek legalább kétszer szerepelnek, míg az egyszer szereplőkre nem: d ij = a ik b kl c lj. 39

46 Mátrix hatványozása D A 1 := A és A k+1 := A k A, itt A R n n, ahol R tetszőleges gyűrű m csak négyzetes mátrixok szorozhatók önmagukkal Á A k A m = A k+m - (A k ) m = A km K A 0 =? - precedencia-elv: A k A 0 = A k+0 = A k. D A 0 = I n 40

47 Hatvány kiszámítása [ ] 0 1 P A =, A n =? 1 0 M A 2 = [ I A] 2k = I 2 és A 2k+1 = A. 1 P B = 2 a 0 1, lim B k =? k [ 2 ] [ ] 1 M B k k a = 2 k k 1 1 (teljes indukcióval!) lim B k = = O. 0 k k P Legyen C = Mennyi p(c), ha p(x) = x 3 + 2x 2 1? M p(c) = C 3 + 2C 2 I = =

48 A transzponálás tulajdonságai Á (A T ) T = A, - (A + C) T = A T + C T, - (ca) T = ca T, - (AB) T = B T A T, ( (AB) T) = (AB) ij ji = (A) j (B) i (B. T A T) ( = B T) ( A T) ij i j = (A) j (B) i. B T A T (AB) T B A AB 42

49 Mátrixszorzás inverze mátrixok osztása m A mátrixszorzás nem kommutatív ezért az AX = B és az YA = B egyenletek megoldása különböző is lehet. - Be lehet vezetni egy balról és egy jobbról való osztást, ha a fenti egyenletek megoldása egyértelmű (amit később kiterjesztünk más esetekre is): YA = B = Y = B/A B jobbról osztva A-val AX = B = X = A\B B balról osztva A-val - Például [ ] \ [ ] [ ] =, mert [ ] / [ ] [ ] =, mert [ ] [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] = és 43

50 Mátrix inverzének definíciója D Mátrix inverze Legyen A F n n -es mátrix, ahol F test. Azt mondjuk, hogy A invertálható, ha létezik olyan B mátrix, melyre AB = BA = I n. A B mátrixot A inverzének nevezzük, és A 1 -nel jelöljük. A nem invertálható mátrixot szingulárisnak nevezzük. m Ha [ A inverze ] [ B, akkor ] [ B inverze ] [ A. ] [ ] [ ] =, = Á Egy mátrixnak egy inverze lehet. Tfh A inverze B és C: C = CI = C(AB) = (CA)B = IB = B m A 1, precedenciaelv: A 1 A = A 1+1 = A 0 = I 44

51 Példa mátrix inverzére D - Á Amh az A mátrix nilpotens, ha van olyan k pozitív egész, hogy A [ k = O. ] 2 [ ] = Ha A nilpotens, és A k = O, akkor I A invertálható, és inverze I + A + A A k 1. B (I A)(I + A + A A k 1 ) = I + A + A A k 1 A A 2... A k 1 A k = I A k = I m Ha AB = I, akkor r(a) és r(b) egyike sem lehet kisebb r(i)-nél, azaz a mátrixok rendjénél. 45

52 Elemi mátrixok inverze elemi mátrix sorművelet inverz sorművelet inverz mátrix E ij S i S j S i S j E 1 ij = E ij 1 E i (c) cs i c S i E i (c) 1 = E i ( 1 c ) E ij (c) S i + cs j S i cs j E ij (c) 1 = E ij ( c) 46

53 Inverz kiszámítása Á Inverz kiszámítása elemi sorműveletekkel A négyzetes A mátrix invertálható, ha az [A I] mátrix elemi sorműveletekkel [I B] alakra hozható, ekkor A inverze B. Ha rref(a) I, akkor A nem invertálható. B Az AX = I tekinthető egy szimultán egyenletrendszernek, mely pontosan akkor oldható meg (akkor viszont egyértelműen), ha rref[a I] = [I B], és ekkor X = B. - Ha rref(a) I, azaz r(a) < n, akkor AX = I nem oldható meg, mivel r(i) = n miatt r[a I] = n > r(a). - Ha r(a) = n, akkor az YA = I egyenlet is megoldható, hisz az ekvivalens az A T Y T = I egyenlettel, ami r(a) = r(a T ) = n miatt megoldható, és a korábbi megjegyzés szerint X = Y. 47

54 Az inverz létezése T Az inverz létezéséhez elég egy feltétel A négyzetes A mátrix pontosan akkor invertálható, ha létezik olyan B mátrix, hogy az AB = I és a BA = I feltételek egyike teljesül. Ha ilyen B mátrix létezik, az egyértelmű. B Következik az előző tételből. 48

55 Példák inverz kiszámítására P = 0 3 2, mert

56 2 2-es mátrix inverze Á Az A = [ a c d b ] mátrix pontosan akkor invertálható, ha ad bc 0, és ekkor [ ] 1 a b A 1 = = c d 1 ad bc [ ] d b. c a B mátrixszorzással ellenőrizzük - a feltétel elégségességét a képlet igazolja - szükségesség: ad bc = 0, azaz ad = bc A egyik sora a másik skalárszorosa - ekkor A nem alakítható elemi sorműveletekkel egységmátrixszá. 50

57 Invertálható mátrix tulajdonságai T Invertálhatóság L! A R n n. Ekvivalensek: T Szingularitás L! A R n n. Ekvivalensek: 1. A invertálható; 1. A szinguláris; 2. A oszlopvektorai lineárisan függetlenek; 2. A oszlopvektorai lineárisan összefüggők; 3. A oszlopvektorai bázist alkotnak R n -ben; 4. A sorvektorai lineárisan függetlenek; 5. A sorvektorai bázist alkotnak R n -ben; 6. r(a) = n. 3. dim(o(a)) < n; 4. A sorvektorai lineárisan összefüggők; 5. dim(s(a)) < n; 6. A bármely lépcsős alakjának van zérus sora, így r(a) < n. 51

58 Az inverz alaptulajdonságai T B A és B egyaránt n n-es invertálható mátrixok a) A 1 invertálható, és inverze ( A 1) 1 = A, b) c 0 esetén ca invertálható, és inverze 1 c A 1, c) AB invertálható, és inverze( B 1 A 1, d) A k invertálható, és inverze A k) 1 ( = A 1 ) k, definíció szerint ezt értjük A k -n, ( e) A T invertálható, és A T) 1 ( = A 1 ) T. c) Az (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AA 1 = I szorzat bizonyítja, hogy AB invertálható, és inverze B 1 A 1. ( - d) Az A k) 1 ( = A 1 ) k egyenlőséget igazolja: AA... A A 1 A 1... A 1 = A 1 A 1... A 1 AA... A = I }{{}}{{}}{{}}{{} k tényező k tényező k tényező k tényező 52

59 B 1 A 1 A 1 B 1 A B AB 53

60 Invertálhatóság és az egyenletrendszerek megoldhatósága T Az invertálhatóság és az egyenletrendszerek Legyen A F n n mátrix. Az alábbi állítások ekvivalensek: 1. A invertálható; 2. az AX = B mátrixegyenlet bármely n t-es B mátrixra egyértelműen megoldható; 3. az Ax = b egyenletrendszer bármely n dimenziós b vektorra egyértelműen megoldható; 4. a homogén lineáris Ax = 0 egyenletrendszernek a triviális x = 0 az egyetlen megoldása; 5. A redukált lépcsős alakja I; 6. A előáll elemi mátrixok szorzataként. 54

61 Mátrixegyenlet megoldása mátrixinvertálással P Oldjuk meg a következő egyenletrendszert mátrixinvertálással! M Az együtthatómátrix és inverze A = 2x + y = 2 5x + 3y = 3 [ ] 2 1, A 1 = 5 3 így az ismeretlenek (x, y) vektorára [ ] [ ] x 2 = A 1 = y 3 [ [ ] 3 1, 5 2 ] [ ] 2 = 3 [ ]

62 Mátrixegyenlet megoldása mátrixinvertálással P Oldjuk meg az AX = B mátrixegyenletet, ahol [ ] [ ] A =, és B = M Az AX = B mátrixegyenlet megoldása: [ ][ ] X = A 1 B = = [ ] M Minden AX = B alakú mátrixegyenlet invertálható A esetén megoldható szimultán egyenletrendszerként az [A B] mátrix redukált lépcsős alakra hozásával. Tehát így számolható minden A 1 B szorzat: [ ] = [ ]

63 Mátrix elemi mátrixok szorzatára bontása - Ha A-t elemi sorműveletek I-be viszik, akkor a sorműveletek inverzei fordított sorrendben elvégezve I-t A-ba. Elemi sorműveletek Elemi mátrixok Elemi mátrixok inverzei [ ] [ ] [ ] S 2 3S 1 E 1 = E 1 1 = [ ] S 2 E 2 = ] [ [ ] [ ] S 1 2S 2 E 3 = [ ] [ ] [ 1 2 E 3 E 2 E 1 A = I = 3 5 E 1 2 = E 1 3 = ] [ [ ] [ ] ] [ ]

64 Báziscsere - B és C az R n két bázisa. Legyen v R n tetszőleges. Ekkor [v] C = T C B [v] B, és [v] B = T B C [v] C. - A második egyenletbe helyettesítve az elsőt kapjuk, hogy [v] B = T B C T C B [v] B, azaz T B C T C B minden vektort önmagába visz, tehát egyenlő az egységmátrixszal. - T B C T C B = I, azaz e mátrixok egymás inverzei. 58

65 Báziscsere P B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}, C = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 0, 1)}, T C B =? 1M A bázisokból leolvasható T E B = 0 1 1, T E C = T C E = T 1 E C, így T C B = T C E T E B T C B = =

66 Báziscsere (folytatás) 2M T E C T C B = T E B, ahol T C B az ismeretlen mátrix. megoldása a [T E C T E B ] redukált lépcsős alakjából: Tehát T C B =

67 Mátrixműveletek algebrája Műveletek speciális mátrixokkal

68 Diagonális mátrixok T Műveletek diagonális mátrixokkal Legyen A = diag(a 1, a 2,..., a n ), B = diag(b 1, b 2,..., b n ), és legyen k egész szám. Ekkor 1. AB = diag(a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n ), 2. A k = diag(a k 1, ak 2,..., ak n), speciálisan 3. A 1 = diag(a 1 1, a 1 2,..., a 1 n ). 61

69 Permutáló mátrixok és kígyók D Permutáló mátrix, kígyó A diagonális mátrixok sorainak permutációjával kapott mátrixot kígyónak (más néven transzverzálisnak) nevezzük, speciálisan az egységmátrixból ugyanígy kapott mátrixot permutáló mátrixnak (más néven permutációmátrixnak) hívjuk. - Az alábbi mátrixok mindegyike kígyó, az utolsó kettő egyúttal permutáló mátrix is: 0 α , γ , , β

70 Műveletek permutáló mátrixokkal Á B Á B Bármely két azonos méretű permutáló mátrix szorzata és egy permutáló mátrix bármely egész kitevős hatványa permutáló mátrix. Pe k = e j, e T k P = et l minden sorban és oszlopban pontosan egy 1-es. Permutáló mátrix inverze megegyezik a transzponáltjával, azaz ha P permutáló mátrix, akkor P 1 = P T. (PP T ) ii = P i P i = 1, míg i j esetén (PP T ) ij = (P) i (P T ) j = (P) i (P) j = P PP T = =

71 Háromszögmátrixok D D D főátló alatt csak 0-elemek: felső háromszögmátrix főátló felett csak 0-elemek: alsó háromszögmátrix háromszögmátrix főátlójában csupa 1-es: egység háromszögmátrixról (unit triangular matrix) m a háromszögmátrix fogalmát általában négyzetes mátrixokra értjük, de a fenti definíciókkal kiterjeszthető téglalap alakú mátrixokra is. Á ha egy konzisztens egyenletrendszer együtthatómátrixa háromszögmátrix, akkor behelyettesítésekkel megoldható (angolban backward/forward substitution aszerint, hogy a mátrix felső/alsó háromszögmátrix). 64

72 Műveletek háromszögmátrixokkal Á Á Felső háromszögmátrixok összege, szorzata, és invertálható felső háromszögmátrix inverze felső háromszögmátrix. Alsóra analóg. Egy háromszögmátrix pontosan akkor invertálható, ha főátlóbeli elemeinek egyike sem zérus. 65

73 Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrixok D szimmetrikus mátrix: A T = A D ferdén szimmetrikus mátrix: A T = A P A = 6 2 0, B = 9 2 9, C = M A szimmetrikus, B egyik sem, C ferdén szimmetrikus. Á Ferdén szimmetrikus mátrix főátlójában 0-k állnak. Á Szimmetrikus mátrixok összege, skalárszorosa, inverze szimmetrikus. Ferdén szimmetrikus mátrixok összege, skalárszorosa, inverze ferdén szimmetrikus. Á Szimmetrikus mátrixok szorzata szimmetrikus felcserélhetők. B ( ) (AB) T = B T A T = BA = AB, ( ) AB = (AB) T = B T A T = BA. 66

74 Szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrixokról 2 T B T B Felbontás szimmetrikus és ferdén szimmetrikus mátrix összegére Minden négyzetes mátrix előáll egy szimmetrikus és egy ferdén szimmetrikus mátrix összegeként, nevezetesen minden A négyzetes mátrixra (A + A T) (A A T) A = 1 2 }{{} szimmetrikus }{{} ferdén szimm. ( A + A T) T ( = A T + A T) T = A T + A = A + A T ( A A T) T ( = A T A T) T = A T A = (A A T) A T A és AA T szimmetrikus tetszőleges A mátrix esetén. (AA T) T ( = A T) T A T = AA T.. 67

75 Mátrixok gyorsszorzása - Strassen-formulák, 1969: C = AB és mindegyik 2 2-es mátrix, akkor a szorzás elvégezhető a következő formulákkal: d 1 = (a 11 + a 22 )(b 11 + b 22 ) c 11 = d 1 + d 4 d 5 + d 7 d 2 = (a 21 + a 22 )b 11 c 21 = d 2 + d 4 d 3 = a 11 (b 12 b 22 ) c 12 = d 3 + d 5 d 4 = a 22 ( b 11 + b 21 ) c 22 = d 1 + d 3 d 2 + d 6 d 5 = (a 11 + a 12 )b 22 d 6 = ( a 11 + a 21 )(b 11 + b 12 ) d 7 = (a 12 a 22 )(b 21 + b 22 ) - 2 n 2 n -es mátrixokat 2 2-es blokkokra osztjuk, majd rekurzívan alkalmazzuk a fenti képleteket. 68

76 A gyorsszorzás használhatósága - A standard mátrixszorzás műveletigénye 2n 3 n 2 (ebből n 3 szorzás és n 3 n 2 összeadás). A Strassen-formulákkal való szorzásé n = 2 k esetén legföljebb 7 7 k 6 4 k. Ez k = log 2 n esetén cn log 2 7 cn felső becslést ad. - Coppersmith Winograd 1990: cn javítások, 2010: cn 2.374, 2011: cn , 2014: cn A Strassen-algoritmus gyengéje: nagyobb memóriahasználat, numerikusan instabilabb. - A Strassen utáni algoritmusoknak csak elméleti jelentősége van, a gyakorlatban nem használják, mert csak akkora mátrixokon lenne előnyös, amekkorákat nem szoroznak össze a mai gépek. 69

77 Mátrixműveletek algebrája LU-felbontás

78 m Ha egy A mátrixból el lehet jutni egy U felső háromszögalakhoz olyan sorműveletekkel, melyekben egy sor konstansszorosát csak alatta lévő sorhoz adjuk és sorokat nem cserélünk, akkor E k... E 1 A = U, (1) azaz A = LU alakra hozható (lower, upper). D AMH az A F m n mátrix egy A = LU alakú tényezőkre bontása LU-felbontás (-faktorizáció, -dekompozíció), ha L alsó egység háromszögmátrix, U felső háromszögmátrix. - Nincs minden mátrixnak LU-felbontása, pl. [ ] [ ] [ ] b c 1 0 a 1 0 d - Az LU-felbontás nem egyértelmű, pl. tetszőleges x-re = x

79 LU-felbontás kiszámítása P Határozzuk meg A = LU-felbontását! A = /2S 1 = E1 = / E 1 A = /4S 1 = E2 = / E 2 E 1 A = /2S 2 = E3 = / E 3E 2E 1A = = U

80 LU-felbontás kiszámítása - Tehát E 3 E 2 E 1 A = U, amiből az (E 3 E 2 E 1 ) 1 = E 1 1 E 1 2 E 1 3 mátrixszal való beszorzás után A = (E 1 1 E 1 2 E 1 3 )U L = 1/ = 1/ / /2 1 1/4 1/ A = = 1/ /4 1/

81 Az L mátrix konstrukciója T Ha az A R m n mátrix főátló alatti elemeinek eliminálását oszloponként balról jobbra haladva végezzük S j l ji S i (1 i < j m) alakú sorműveletekkel, és így eljutunk az U fölsőháromszög-alakú mátrixhoz, akkor l L = l m1 l m m Az eljárás nem csak a főátló elemeivel való eliminálással működik, hanem lépcsős alakra hozzással is. Pl. ez a főátló elemeivel nem is hozható háromszögalakra:

82 B J! az S j l ji S i sorművelet elemi mátrixát E ji (1 i < j m). - Legyen E = (E m,m 1 )(E m,m 2 E m 1,m 2 )... (E m2... E 42 E 32 )(E m1... E 31 E 21 ). ahol megengedjük, hogy E ji = I. - Az algoritmus szerint ekkor EA = U. - Igazoljuk, hogy EL = I: - L főátlójában csupa 1, ji-edik helyén l ji áll, ezért az elemi E ji mátrix épp ezt az elemet fogja eliminálni, és az oszloponkénti sorrend miatt a sorban csak azt, így E minden főátló alatti elemet eliminál, azaz EL = I. - Eszerint E 1 = L, tehát A = E 1 U = LU. 74

83 Mikor létezik LU-felbontás? T Az LU-felbontás létezése és egyértelműsége (a) Ha az A mátrix minden bal felső sarokmátrixa invertálható, akkor A-nak létezik LU-felbontása. (b) Ha A invertálható, és létezik LU-felbontása, akkor e felbontás egyértelmű. m Az (a) állítás csak elégséges feltételt ad az LU létezésére. B (a) Ha csak lefelé elimináló sorműveleteket végzünk, akkor a bal fölső részmátrixok sortere nem változik, tehát a redukció során soha nem lesz egy ilyen részmátrix alsó sora 0, tehát az elimináláshoz használandó főátlóbeli elem soha nem 0. - (b) Ha A invertálható, és A = LU = ˆLÛ, akkor ˆL 1 L = ÛU 1 (bal oldalon alsó-, a jobb oldalon fölső) mindkettő diagonális, de a bal főátlójában 1-ek ˆL 1 L = ÛU 1 = I ˆL = L, Û = U. 75

84 Egyenletrendszer megoldása LU-felbontással - Ax = b megoldható Ly = b, Ux = y megoldható. - E két egyenletrendszer visszahelyettesítésekkel megoldható. - Oldjuk meg: 4x 1 + 8x 2 + 8x 3 = 8 2x 1 + 6x 2 + 4x 3 = 4 x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 4 - Ly = b: / /4 1/2 1 - y = (8, 0, 2) - Ux = y: x = (0, 0, 1). y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 8 = =

85 Mátrix invertálása LU-felbontással - AX = I LY = I, UX = Y Invertáljuk a = 1/ mátrixot! /4 1/ LY = I: y 11 y 12 y /2 1 0 y 21 y 22 y 23 = Y = 1 / /4 1/2 1 y 31 y 32 y /2 1 - UX = Y: x 11 x 12 x /4 1 / x 21 x 22 x 23 = 1 /2 1 0 X = 1 /4 1/ x 31 x 32 x / /4 1/2 77

86 Az LU-felbontás a gyakorlatban / / / /2 0 1/ /4 7/ / /2 0 1/4 1/ /

87 Mire jó? m Az LU-felbontás műveletigénye megegyezik a Gauss-kiküszöbölésével: egy n-edrendű mátrixra nagyságrendileg 2n 3 /3. - Egyenletrendszer együtthatómátrixának LU-felbontásához nincs szükség az egyrsz jobb oldalára (így használható akkor is, ha az még nem ismeretes, vagy több van belőle). - Az LU-felbontás ismeretében több mátrixokkal kapcsolatos számítás gyorsabban elvégezhető (inverz, determináns, ). - Az LU-felbontás memóriatakarékos, és vannak olyan speciális mátrixosztályok (pl. szalagmátrixok, ritka mátrixok), melyekre van a kiküszöbölésnél gyorsabb algoritmus az LU-felbontásra. - A komputer algebra programok ha egy mátrixon LU-felbontást igénylő számítást végeznek, azt későbbi számításoknál fölhasználják, növelve a számítás hatékonyságát. 79

88 PLU-felbontás Á Egy P permutáló mátrixszal való balról szorzással minden mátrix olyan alakra hozható, melynek van LU-felbontása: PA = LU, azaz A = P T LU. D Egy tetszőleges A F m n mátrixnak egy permutáló, egy egység főátlójú négyzetes alsó háromszög- és egy m n-es felső háromszögmátrix szorzatára való bontását PLU-felbontásnak nevezzük. 80

89 PLU-felbontás m Ha m > n, akkor U utolsó m n sora zérussor, ezért ezeket, és L utolsó m n oszlopa is elhagyható, vagyis ha s = min(m, n), akkor P m m-es permutáló mátrix, L 1-esekből álló főátlójú m s-es alsó, míg az U s n-es felső háromszögmátrix. Például = /2 1/ [ ] = /2 1/2 81

90 PLU-felbontás részleges főelemkiválasztással P Részleges főelemkiválasztással (a főátlóbeli elem alatti legnagyobb abszolút értékű elemet kiválasztjuk, és sorcserével a főátlóba tesszük, és a numerikus hibák csökkentése érdekében vele eliminálunk) határozzuk meg a PLU-felbontását: A = m Ha egy a adat hibája (kerekítési, számítási vagy mérési) ε, és b < c, akkor ε b > ε c, tehát a c hibája kisebb, mint a b hibája. 82

91 [ ] / / / [ / / /4 2/ [ [ ] / /4 2/ ] [ ] ] = [ / / / /4 2/ [ / = 3/ /4 2/3 0 1 ] [ ] ] [ ] [ ] 1/ / /4 2/

92 A PLU-felbontás algoritmusa: Legyen A F m n (F test): 1. L 0 I m, A 0 U 0 A, s = min(m, n + 1), t 1 2. ha u tt = 0 és k > t : u kt = 0, akkor L t L t 1, A t A t 1, U t U t 1, P t = I t t + 1 és menj 2-re 3. ha u tt = 0 és u kt 0 valamely k > t-re, akkor legyen P t az S t S k mátrixa, U t = P tu t 1, L t = P tl t 1 P t, A t = P t A t 1 = (P t L t 1 P t )(P t U t 1 ) = L t U t. 4. U t -ben u kt 0 eliminálása minden k > t-re az S k l kt S t sorművelettel; (L t ) kt l kt, e lépések végén kapjuk az U t, L t és A t = L t U t mátrixokat. 5. t t ha t = s, akkor P = P s 1 P s 2... P 1, L = L s 1, U = U s 1 ; ekkor PA = LU; a PLU-felbontás: A = P T LU STOP 7. menj 2.-re 84