Numerikus módszerek 1.

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Numerikus módszerek 1."

Fanni Lakatosné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Numerikus módszerek előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK szeptember 23.

2 Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval 4 Az LU-felbontás közvetlen kiszámítása

3 Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval 4 Az LU-felbontás közvetlen kiszámítása

4 Balról szorzás alsó háromszögmátrixokkal Mi történik, ha az alábbi L R 3 3 mátrixszal megszorzunk egy A R 3 3 mátrixot balról? ????????? Az 1. sor kétszeresét hozzáadjuk a 2. sorhoz.

5 Balról szorzás alsó háromszögmátrixokkal Mi történik, ha az alábbi L R 3 3 mátrixszal megszorzunk egy A R 3 3 mátrixot balról? Az 1. sor kétszeresét hozzáadjuk a 2. sorhoz, valamint az 1. sor háromszorosát levonjuk a 3. sorból. ( GE)

6 A Gauss-elimináció lépései mátrixszorzással Írjuk fel a GE k-adik lépését ugyanilyen módszerrel! (A R n n ) 1 L k = 0 (1.) = I + v l k+1,k 1 k ek, v 0 k = (k.). l k+1,k..... l n,k 1 l n,k (A zérus elemek nincsenek feltüntetve L k -ban.) Tehát ha l i,k = a(k 1) i,k a (k 1) (k = 1,..., n 1; i = k + 1,..., n), k,k akkor L k A (k 1) = A (k), vagyis megkaptuk a GE k-adik lépését.

7 Példa Példa: GE az L k mátrixokkal Írjuk fel a Gauss-elimináció lépéseit mátrixszorzások segítségével a következő mátrix esetén (ua. mint az előző előadáson)! A =

8 A Gauss Jordan-módszer lépései mátrixszorzással Házi feladat Írjuk fel a Gauss Jordan-féle elimináció lépéseit mátrixszorzás formájában!

9 Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval 4 Az LU-felbontás közvetlen kiszámítása

10 Elnevezések, jelölések Definíció: alsó háromszögmátrix Az L R n n mátrixot alsó háromszögmátrixnak nevezzük, ha i < j esetén l i,j = 0. (A főátló felett csupa nulla.) L := { L R n n : l i,j = 0 (i < j) }, L 1 := { L R n n : l i,j = 0 (i < j), l i,i = 1 }. Definíció: felső háromszögmátrix Az U R n n mátrixot felső háromszögmátrixnak nevezzük, ha i > j esetén u i,j = 0. (A főátló alatt csupa nulla.) U := { U R n n : u i,j = 0 (i > j) }.

11 Háromszögmátrixok halmazának zártsága Állítás: háromszögmátrixról 1 Ha L, L L, akkor L L L. 2 Ha U, U U, akkor U U U. 3 Ha L, L L 1, akkor L L L 1. 4 Ha L L és L 1, akkor L 1 L. 5 Ha U U és U 1, akkor U 1 U. 6 Ha L L 1, akkor L 1 és L 1 L 1. Biz.: házi feladat (beadható). Útmutatás: 1. Kell: (L L ) i,j = 0 (i < j), írjuk fel a mátrixszorzást: (L L ) i,j =.... Használjuk ki, hogy L, L L: minden tag kiesik. 2. Hasonlóképp. 3. Határozzuk meg a szorzat főátlóbeli elemeit is. 4., 5., 6. Az inverz Gauss-eliminációval meghatározható.

12 Az L k mátrixokról Definíció: L k L k = L k (v) := I + ve k Rn n, ahol v R n, v i = 0 (i k) és e k R n a k-adik egységvektor. Állítás: L k inverze Biz.: L k L 1 k Szemléletesen? L 1 k = L k (v) 1 = L k ( v) = I ve k. = (I + vek )(I vek ) = I +vek vek v ek v ek = I. }{{}}{{} 0 0

13 Az L k mátrixokról Hogyan szorzunk össze két ilyen mátrixot? A bal oldali sorrendben szépen szorzódik. Általában is.

14 Az L k mátrixokról Állítás: L k mátrixok szorzata L 1 1 L 1 2 L 1 n 1 = I v 1e 1 v 2 e 2... v n 1 e n 1. Biz.: Indukcióval. L 1 1 L 1 2 = (I v 1 e 1 )(I v 2e 2 ) = I v 1e 1 v 2e 2 +v 1(e 1 v 2)e 2. Tfh. L 1 1 L 1 2 L 1 k = I v 1 e 1 v 2e 2... v ke k. L 1 1 L 1 2 L 1 k L 1 k+1 = = (I v 1 e1 v 2e2... v kek )(I v k+1ek+1 ) = = I v 1 e1 v 2e2... v kek v k+1ek v 1 e1 v k+1 ek v k ek v k+1 ek+1 =. }{{} kiesnek

15 Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval 4 Az LU-felbontás közvetlen kiszámítása

16 LU-felbontás Definíció: LU-felbontás Az A mátrix LU-felbontásának nevezzük az L U szorzatot, ha A = LU, L L 1, U U.

17 LU-felbontás Gauss-eliminációval A Gauss-eliminációt felírhatjuk alsó háromszögmátrixok segítségével: L n 1 L 2 L 1 A = U, majd az inverzekkel egyesével átszorozva: A = L 1 1 L 1 2 L 1 n 1 U. }{{} L Az imént láttuk, hogy a fenti szorzat is alsó háromszögmátrix. A = LU.

18 Példa Példa: LU-felbontás GE-val Készítsük el a példamátrixunk LU-felbontását (a) részletezve az L k mátrixokat, a számítás menetét, (b) majd tömör írásmóddal!

19 LU-felbontás Gauss-eliminációval Tétel: LU-felbontás létezése Ha a Gauss-elimináció végrehajtható sor és oszlopcsere nélkül, azaz a (k 1) k,k 0 (k = 1,..., n 1), akkor az A mátrix LU-felbontása létezik. Biz.: Láttuk. Összefoglalva: Ha a (k 1) 0, akkor az L k,k k mátrixok felírhatók, a Gauss-elimináció ( előre része) végén felső háromszög alakú mátrixot kapunk. Ez lesz U. Az L k mátrixok inverzének szorzataként pedig adódik L.

20 LU-felbontás Gauss-eliminációval Definíció: főminorok Az A R n n mátrix A k főminora az A mátrix bal felső k k-as részmátrixa. Tétel: LU-felbontás létezése (A-ra vonatkozó feltétellel) Ha det A k 0 (k = 1,..., n 1), akkor létezik az A mátrix LU-felbontása. Biz.: Belátjuk, hogy ekvivalens az előző feltétellel. A k = L k U k (főminorok). det A k = det L k det U k = 1 u 1,1 u 2,2 u k,k = = a (0) 1,1 a(1) 2,2 a(k 1) k,k. det A k = (det A k 1 ) a (k 1) k,k a (k 1) k,k 0.

21 LU-felbontás Gauss-eliminációval Tétel: az LU-felbontás egyértelműségéről Ha A-nak létezik LU-felbontása, továbbá det A 0, akkor az LU-felbontás egyértelmű. Biz.: Indirekt, táblán. Meggondoltuk. Megjegyzés: L és U megadása Az eddigieket összefoglalva felírhatjuk az A = LU felbontást: L L 1 és l i,j = a(j 1) i,j a (j 1) j,j (i > j), U U és u i,j = a (i 1) i,j (i j).

22 Miért jó az LU-felbontás? Tegyük fel, hogy az Ax = b LER megoldható, és rendelkezésünkre áll az A = LU felbontás. Ekkor Ax = L U }{{ x} = b helyett ( 1 3 n3 + O(n 2 )) y 1 oldjuk meg az Ly = b, ( 1 2 n2 + O(n)) 2 majd az Ux = y LER-t. ( 1 2 n2 + O(n)) Persze valamikor elő kell állítani az LU-felbontást. ( 1 3 n3 + O(n 2 )) Előnyös, ha sokszor ugyanaz A.

23 Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval 4 Az LU-felbontás közvetlen kiszámítása

24 Az LU-felbontás közvetlen kiszámítása Nem ismerjük L-t és U-t: ismeretlenek a mátrixokban. Viszont szorzatukat ismerjük: LU = A. A egyes elemeit a mátrixszorzás alapján felírva egyenleteket kapunk L és U elemeire. Jó sorrendben felírva az egyenleteket, mindig megkapjuk egy-egy új ismeretlen értékét.

25 Jó sorrendek sorfolytonosan oszlopfolytonosan parkettaszerűen

26 Példa Példa: LU-felbontás közvetlenül (a) Készítsük el a példamátrixunk LU-felbontását közvetlenül a mátrixszorzás alapján. (b) Nézzünk egy újabb példát is. (Vigyázat, det B 2 = 0.) A = 4 5 2, B =

27 Az LU-felbontás közvetlen kiszámítása Tétel: az LU-felbontás közvetlen kiszámítása Az L és U mátrixok elemei a következő képletekkel számolhatók: i j (felső) i 1 u i,j = a i,j l i,k u k,j, k=1 i > j (alsó) l i,j = 1 a i,j u j,j j 1 k=1 l i,k u k,j. Ha jó sorrendben számolunk, mindig ismert az egész jobb oldal. Biz.: Mátrixszorzás felírása, háromszögmátrix voltuk kihasználása, egy tag leválasztása, kifejezése. Táblán.

28 Példák Matlab-ban 1 Az LU-felbontás működése kisebb (n 7) mátrixokra, 2 valamint nagyobb mátrixokra (n 50) színkóddal. 3 LER megoldása LU-felbontás segítségével. 4 Sok LER (m 10, 100) megoldása futási idejének összevetése nagyobb mátrixok (n 50, 100, 200) esetén: GE-val valamint az LU-felbontás kihasználásával.

Hasonló dokumentumok

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás

Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei