Tétel: Ha,, akkor az ábrázolt szám hibája:
|
|
- Orsolya Orbánné
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1. A lebegpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl) fogalma, tétel az ábrázolt szám hibájáról. Példák a véges számábrázolás miatt elforduló furcsaságokra. Definíció: Az =±2 alakú számot normalizált lebegpontos számnak nevezik, ha, {0,1}, =1 és. (: mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: =±[ ] = m 2 Gépi számhalmaz: = (,, ) = { adef. szerint, } {0} Gépi számhalmaz tulajdonságai: 1) <1 2) a 0-ra szimmetrikus 3) A legnagyobb pozitív szám: =+[111 1 ] = 2 4) A legkisebb pozitív szám: =+[10 0 ]= 2 5) Relatív hibakorlát: az 1-et követ gépi szám 1 =+[ ] [10 0 1] = =2 Gépi szám megfeleltetése valós számnak: Definíció: Az függvényt input függvénynek nevezzük, ha () = 0 Tétel: Ha,, akkor az ábrázolt szám hibája: Következmény: () 1 2 =2 () ha ha ha < ha 1 2 =2 ha Azaz az ábrázolt szám relatív hibakorlátja 2, vagyis csak -tl függ. az -hez legközelebbi gépi szám a kerekítés szabályai szerint ha ha 1
2 -ben elforduló furcsaságok 1) ( + ) = (), ahol 0 Pl. = [1100 1] [1100 1] = [1000 4] + [0001 1] [1100 1] 2) Asszociativitás nem teljesül: ( + ) + + ( + ) Pl. = [ ] [ ] = [ ] + [ ] bal oldal: ( + ) + [ ] [ ] + [ ] + [ ] [ ] [ ] jobb oldal: ( + ) + [ ] [ ] + [ ] + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3) Kivonási jegyveszteség a. [1100 1] = [1001 1] = [0011 1] [1100 1] b. átalakítás a pontosabb számításért: 1 +1= +1+ c. másodfokú egyenlet gyökei d. részeredmény nem ábrázolható, de a végeredmény igen: + = + max{, } 2
3 2. A hibaszámítás elemei. Az abszolút és relatív hiba ill. hibakorlát fogalma. Tétel az alapmveletek abszolút és relatív hibájáról. A függvényérték abszolút és relatív hibája. A függvény pontbeli kondíciószámának fogalma. Definíció: : pontos érték, : közelít érték = : közelít érték (pontos) hibája : közelít érték abszolút hibája : közelít érték egy abszolút hibakorlátja = (gyakorlatban): közelít érték relatív hibája = : közelít érték relatív hibakorlátja Következmény: = = Tétel: Az alapmveletek hibakorlátai = + = = + ± = ± = + = + problémás mveletek: kis számmal osztás, közeli számok kivonása Bizonyítás: Összeadás: Tegyük fel, hogy és azonos eljel. ( + ) = ( + ) ( + ) = ( ) + ( ) Abszolút értéket véve, felülrl becsülve és az abszolút hibakorlát fogalmát felhasználva: ( + ) = +, tehát Összeg relatív hibakorlátja: ( + ) ( + ) = + = = Kivonás: Tegyük fel, hogy és azonos eljel. ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) Abszolút értéket véve, felülrl becsülve és az abszolút hibakorlát fogalmát felhasználva: ( ) = +, tehát 3
4 Különbség relatív hibakorlátja: ( ) + ( ) = = + = + + Szorzás: ( ) = = + = ( ) + ( ) ( )+=++ + ugyanis Numerikus módszerek tételek Tehát + Szorzat relatív hibakorlátja: ( ) + ( ) = = Osztás: Tegyük fel, hogy és azonos nagyságrend. = + = = = ()() () = Hányados abszolút hibakorlátja: = + = + = = + = + Hányados relatív hibakorlátja: = = = + = ( ) + ( ) = = ( ) = () = = + + = + 4
5 A függvényérték hibája: Tétel: (), ekkor () =, ahol () = [, ] és = max () () Bizonyítás: Lagrange-tétellel: () () = () () = () ( ) () = () () Tétel: (), ekkor () = () + = max () (), ahol Bizonyítás: Taylor-formulával: () (: középpont) () () + () ( ) = () ( ) 2! () () = () ( ) + () ( ) 2! () () + () 2 Jó közelítés, ha kicsi. Következmény: () () ha kicsi. () + 2 () ( 0) () () = () () = () Definíció: A cond(, ) () mennyiséget az függvény -beli kondíciószámának nevezzük. () 5
6 3. Lineáris egyenletrendszerek (LER) megoldása Gauss-eliminációval. Az elimináció és a visszahelyettesítés veletigénye. A sor-, illetve oszlopcsere szükségessége. A részleges és teljes felemkiválasztás. = =?,, Gauss-elimináció Jelölések: () (eredeti) 1. lépés: 1. egyenlet változatlan új. egyenlet =. egyenlet () () () 1. egyenlet ( = 2,,) //ha 0 () () () = () () =1,, = 1,,,+1 Egyenletek: () () () () + + = () () () + = () () () + =. lépés:. egyenlet változatlan új. egyenlet =. egyenlet () (). egyenlet ( = +1,,) //ha 0 () () () = () () 1. lépés után: felsháromszög alak Visszahelyetteítés: = () () = 1,,1 =+1,, = +1,,,+1 () () () () + + = () () () + = () () () () + + = () () = = 1 () () veletigény 1) Gauss-elimináció () ( = 1,,1) 6
7 . lépés: osztás ( ) ( +1) szorzás ( ) ( +1) összeadás, kivonás ( ) [ ()+3] ()[()+3] = (2 +3) =2 +3 =2 (1)(21) 6 +3 (1) 2 = 2 3 +( ) ( ): olyan függvény, melyet -tel osztva korlátos függvényt kapunk. 2) Visszahelyettesítés 1 osztás meghatározása: 1 osztás szorzás összeadás, kivonás ()+1 [()+1] +1= (2 +1) +1=2+ ( 1)+ 1 = =2 (1) 2 += () Megjegyzések: () 1) Ha =0, akkor sort vagy oszlopot kell cserélni. Sorcsere nem változtatja a megoldást, oszlopcsere esetén a megoldás komponensei felcseréldnek. 2) A lineáris egyenletrendszer megoldhatósága menet közben kiderül. = 0 sok megoldás 0 0 nincs megoldás 3) Számítógépes megvalósítások a. Részleges felemkiválasztás () () () A. lépésben az,,, elemek közül a maximális abszolút érték sorát felcseréljük a. sorral. A megoldás nem változik. sor: [1,2,,] vektor Ebben cserélünk. Minden hivatkozás ezen keresztül történik. b. Teljes felemkiválasztás A. lépésben a. sorok,. oszlopok által meghatározott mátrix részben a maximális abszolút értékt keressük. Sorát a. sorral, oszlopát a. oszloppal cseréljük. A megoldás változik. sor: [1,2,,], oszlop: [1,2,, ] vektorok Ezekben cserélünk, (), () hivatkozások. 7
8 4. A GE alkalmazásai: determináns számítása, azonos mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldása, mátrix inverz számítás. A GE felírása speciális mátrix szorzásokkal. Kapcsolata az LU felbontással. A Gauss-elimináció alkalmazásai: 1) Determináns számítása felsháromszög alakból () () () det() = (1) : a sor- és oszlopcserék inverzióinak együttes száma 2) Azonos mátrixú lineáris egyenletrendszerek megoldása =, =, = (Gauss-elimináció végrehajtása) 3) Mátrix inverzének meghatározása = = =,,,, =,,, = = = = mátrixegyenletet kell megoldani. Ez darab mátrixú lineáris egyenletrendszer megoldását jelenti. Ha a jobboldalakat egymás mellé rakjuk, a 2) pont alapján csak egyszer kell eliminálni, tehát az kiegészített táblázatra alkalmazott Gauss-eliminációval meghatározhatjuk az inverzet. Gauss-elimináció felírása speciális mátrix szorzásokkal , 1 0, = () () jelentése: 1) Az. oszlopa változatlan 2) Az új. sor =. sor. sor ( = +1,,) 3) A Gauss-elimináció. lépése: () = () Következmény: A felemkiválasztás nélküli Gauss-elimináció felírható a következ alakban: = = = Ahol alsóháromszög mátrix a fátlóban 1-esekkel és felsháromszög mátrix. Állítás: = + Bizonyítás: = + = + = 8 0
9 Állítás: = + + Bizonyítás: Teljes indukció = + ( =1) Tfh -ra igaz, bizonyítsuk +1-re ( < 1) = = = = + + Megjegyzés: -t összepakoljuk,, nem 0 elemeibl. 1. Gausseliminációs lépés után () 2. GE lépés után az eredeti oszlopot -gyel végigosztjuk (1) 2 (1) 22 Egy mátrixban van és. 9
10 5. Az LU felbontás, tétel az!-rl. A fminorok és az LU felbontás kapcsolata. és elemeinek meghatározásának menete, sorrendek az elemek kifejezésére. Mveletigénye. Definíció: LU felbontás =, ahol alsóháromszög mátrix fátlóban 1-esekkel és felsháromszög mátrix. = = 1) = 2) = Numerikus módszerek tételek Az LU felbontás ismeretében két háromszögmátrixú egyenletrendszer megoldásával (visszahelyettesítéssel) megoldható a lineáris egyenletrendszer. Tétel: Az LU felbontás GE végrehajtható sor- és oszlopcsere nélkül. () Bizonyítás: Ha a Gauss-elimináció nem akad el =0 miatt (tehát nincs szükség sor- vagy oszlopcserére), akkor a. lépés felírható alsóháromszög mátrixszal történ szorzással. Az elimináció végén kapott = és = mátrixok a felbontásban szerepl mátrixok. Tétel: Jelöljük =, -val a. fminort. Ha det( ) 0(= 1,,1), akkor! = felbontás és 0(= 1,,1) Bizonyítás: teljes indukcióval = ( ) =1 0 Tfh! = felbontás és 0(=1,,1). Készítsük el felbontását! = = ) = 2) =! 3) = = 4) = +1 = det( ) = det( ) det( ) = = 1 0 és elemeinek meghatározása az szorzásból (,) = : = + = > : = + = 1 Fontos a jó sorrend: sorfolytonos, oszlopfolytonos vagy parketta-szer. veletigény: 2 / 3 n 3 * (n 2 ) 10
11 6. Fogalmak: A szimmetrikus, pozitív definit, szigorúan diagonálisan domináns a sorokra ill. oszlopokra, fél sávszélesség, profil, Schur-komplementer. A GE (LU felbontás) megmaradási tételei. Definíció: 1) szimmentrikus, ha =. 2) pozitív definit, ha, = > 0, 0. >0det( )>0(=1,,) 3) soraira nézve szigorúan diagonálisan domináns, ha > ( = 1,,) oszlopaira nézve szigorúan diagonálisan domináns, ha > ( = 1,,) 4) fél sávszélessége, ha, > =0, de, : = 0. 5) profilja a (,, ) (sorra) és (,, ) (oszlopra) számok, ha rögzített, =0(= 1,, ), de, 0 és rögzített, =0= 1,,, de, 0. 6) Tfh és invertálható. Ekkor az [ ] az mátrix -re vonatkozó Schur-komplementere. Megmaradási tételek: Tétel: A GE során (LU felbontás) a következ tulajdonságok nem változnak: 1) A szimmetrikus => [A A 11 ] is szimmetrikus 2) Det(A) 0 => det ([A A 11 ]) 0 3) A poz. def => [A A 11 ] is poz. def. 4) A félsévszélessége > [A A 11 ] félsévszélessége 5) [A A 11 ]-ben az l i, k j értékek nem csökkennek 11
12 7. Az LDU felbontás és a Cholesky-féle felbontás, kapcsolatuk az LU felbontással. Tétel a Cholesky-féle felbontásról. LDU felbontás: A = L * D * U, ahol L fels háromszög, egyes diagonálissal; U alsó, 1-es diagonálissal; D diagonális. Visszavezetjük az LU felbontásra: A = L * U ~ = L * D <=> D -1 * U ~ = U; D diag(u ~ 11,, u ~ nn) Áll.: A szimmetrikus => A = L * D * U-ban U = L T Biz.: L -1 *\ A = L * D * U /* (L -1 ) T L -1 * A * (L -1 ) T = D * U * (L T ) -1 Szimmetrikus [ 0 \ 0 ] [ ] => U * (L T ) -1 = I => U = L T LL T (Cholesky-féle) felbontás: A szimmetrikus; A = L * L T, ahol L teljes fels háromszög, és l ii > 0. Tétel: Ha A szimmetrikus és poz def, akkor! A = L * L T felbontás. Biz.: : A = L *D * L T felbontásból A poz def => det(a k ) > 0 => u kk > 0 => d kk > 0 D diag(d 11,, d nn ) A = (L * D) * (D * L T ) L ~ L ~T Megj.: LU-ból ugyanígy!: Indirekt TFH L 1 L 2 : A = L 1 * L T 1 = L 2 * L T 2 ; D i = diag(l (i) 11,, l (i) nn ) (L 1 * D -1 1 ) * (D 1 * L T 1 ) = (L 2 * D -1 2 ) * (D 2 * L T 2 ) \ 1 0 \ Mivel az LU felbontás egyértelm, => D 1 * L T 1 = D 2 * L T 2 <=> D 2 1 = D 2 2 (mivel d ii > 0) D 1 = D 2 => L T 1 = L T 2 ELLENTMONDÁS! 12
13 8. QR felbontás Gram-Schmidt ortogonalizációval. Tétel a létezésrl, egyértelmségrl. QR felbontás Gram-Schmidt ortogonalizációval: [,,,, ] = [,,,, ] Numerikus módszerek tételek = 1, = TFH q 1,, q k-1 ismert = + = 1 /, =, + +,, =, = = ( =2,,) Tétel: Ha A oszlopai lineárisan függetlenek, akkor A = Q * R felbontás. Ha feltesszük, hogy r kk > 0 k-ra, akkor egyértelm is. Biz.: : lásd levezetés.!: Indirekt: TFH két különböz QR felbontás A = Q 1 * R 1 = Q 2 * R 2 Q Q 2 T * Q 1 = R 2 * R 1-1 =: R Q * Q T = (Q 2 T * Q 1 ) * (Q 2 T * Q 1 ) T = Q 2 T * (Q 1 * Q 1 T ) * Q 2 = I I I = Q T * Q = R T * R 1. :1= =1>0 0= = 0 2. :1= + => R = I <=> R 2 * R 1-1 = I => R 2 = R 1 ELLENTMONDÁS. =1>0 13
14 9. QR felbontás Householder transzformációval. A transzformáció tulajdonságai, alkalmazása LER megoldására: A=QR ahol Q ortogonális mátrix ( = = ), R fels háromszögmátrix. A H(v) = I 2vv T mátrixot Householder mátrixnak nevezzük. v, =1 (vv T =1) A H(v)-vel való szorzást Householder transzformációnak hívjuk A transzformáció tulajdonságai: 1) = 2)()á( = = ) H2 =I 3) v-re merleges tükrözés (n-1)dim mátrixa 4) : = Bizonyítás: 1) = =( ) 2) = 2 2 =4 +4 = 3) = 2 =2 4) = 2 =2 QR felbontás Householder transzformációval: = =( ), =, =, = soronkéntalkalmazva LER megoldása Householder transzformációval: = = 0 = éá1. ( veletigény fels háromszögmátrixra: ( ) 14
15 10. A vektor- és mátrix norma fogalma, példák. Normák ekvivalenciája. Az indukált mátrix norma konstrukciója, az illeszkedés fogalma. Az 1-es,, Frobenius mátrix norma. A 2-es mátrix norma és kapcsolata a spektrálsugárral. Vektornormák: A. : függvényt vektornormának nevezzük, ha 1) 0 2) =0 =0 3) =, Példák: 4) + + = = = max Ekvivalencia: A. é. vektornormák ekvivalensek, ha, : -en bármely két vektornorma ekvivalens. Mátrixnormák: A. : függvényt mátrixnormának nevezzük, ha 1) 0 2) =0 =0 3) =, 4) + +, 5), Indukált mátrixnorma: Legyen. egy tetszleges vektornorma. Ekkor = mennyiség mátrixnormát definiál. Bizonyítás: 1-4. tulajdonság a vektornormákra is igaz ezért teljesül mátrixnormákra is. 5) =0 0= =0 0= 0 =0 = ( = ) = = Bizonyítás: = = 15
16 Illeszkedés: A. mátrixnorma és a. vektornorma illeszkedik ha: (, ) Az indukált mátrixnorma mindig illeszkedik az t generáló vektornormához. Bizonyítás: = 0: 0 0: szuprémumdefinícióból Az 1,2 és vektornormát a következ mátrixnormákat indukálják: = = (oszloponkéntiösszegekmaximuma) (soronkéntiösszegekmaximuma) =(( )) =( ( )) = ()) Frobenius mátrixnorma: A Frobenius mátrixnorma nem indukált norma. (Indukált normában =1) 2-es norma kapcsolata a spektrál sugárral: spektrálsugár: () = inf{:. indukáltnorma} =(( )) =( ( )) = 16
17 11. A lineáris egyenletrendszer érzékenységére vonatkozó tételek. A kondíciószám fogalma és tulajdonságai. A lineáris egyenletrendszer érzékenysége: = helyett: Változhat a jobb oldal: = Változhat a bal oldal: ( = A jobb oldal változása permutációs tétel: Ha A invertálható és b0, akkor: 1 () í á á í á () í á Bizonyítás: fels becslés: alsó becslés: = = = = (illeszkednormák) = = =A = (illeszkednormák) = Permutációs lemma: Ha <1, akkor ( + ) és ( + ) = 1 Bizonyítás: () () <1 (+)= ()+10(( + ) = (1+ ) ( + ) ( + ) = ( + ) = [( + ) ]( + ) = ( + ) ( + ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( ) 1 (1) (+) 1 () A bal oldal (mátrix) változása permutációs tétel: Ha A invertálható és b0 és <1, ekkor 17
18 á í á () Bizonyítás: ( )= = á í á =0 () ( + ) = -ra alkalmazzuk a lemmát: = <1 (+ )é( + ) 1 (+ ) ( + ) 1 1 () = () Kondíciószám: A () = mennyiséget A kondíciószámának nevezzük. Csak invertálható mátrixon definiáljuk. Értéke függ a használt normától. A kondíciószám tulajdonságai: 1) (A invertálható) () 1 2) : () = () 3) Q ortogonális (unitér) mátrix: () =1 4) A szimmetrikus és pozitív definit: () = () () 5) A szimmetrikus: () = () () 6) A invertálható: () () () Bizonyítás: 1) 1== Numerikus módszerek tételek 2) = ( ) = () = () = = 3) = ( ) = () =1 5) = () = () = ( ) = 1 () 6) () () ( 1 ) () = () () 18
19 12. A LER megoldásának iterációs módszerei. Banach-féle fixpont tétel -re. Elégséges feltétel a konvergenciára. Szükséges és elégséges feltétel a konvergenciára. A = lineáris egyenletrendszer = + (nem egyértelm) = + fixpont egyenlet = fixpont Kontrakció: kontrakció, ha 1 kontrakciós együttható. () = Banach-féle fixpont tétel -re: Ha kontrakció akkor: 1)! : = ( ) egyértelm fixpont 2) () kezdvektorra: () = ( () )iterációs sorozat konvergens és lim ( () )= 3) Hibabecslés: i. () () () ii. () () ) Bizonyítás: a) folytonos, egyenletesen folytonos > 0, = < < = b) () Cauchy-sorozat () () = () ( () ) () () () () () () = ( () () )++( () () ) () () + () () + () () = = ( + 1) () () < () () 0 () () c) = lim () = lim (() ) = lim () = () = (), áóá = : d) Egyértelmség indirekt Tegyük fel, hogy fixpontja nek: = () ( ) (1) 0 19
20 e) Hibabecslés i., öí, íá, : ii. Numerikus módszerek tételek () () () () () () = () ( ) () () Elégséges feltétel a konvergenciára: Ha <1, akkor () -ra az () = () + iteráció konvergál az = megoldáshoz. Bizonyítás: teljesülnek a fixponttétel feltételei: = + + =, -re igaz, = kontrakciós együtthatóval a fixponttétel állításai teljesülnek Lemma: () = inf{:. á} áá > 0:. : () + Szükséges és elégséges feltétel a konvergenciára: () kezdvektorra az () = () + konvergál az = megoldáshoz () <1 (B spektrálsugara <1) Bizonyítás: : <1 ez elégséges feltétel a konvergenciára : indirekt tegyük fel, hogy () 1 1, 0: = : () : () = () = () = () + + = () = () = = = () ()á( () )á 20
21 13. Speciális iterációs módszerek: Jacobi-iteráció, a koordinátákra felírt alakja és konvergencia tétele. A szigorúan diagonálisan domináns (sorokra ill. oszlopokra) mátrix fogalma. A csillapított Jacobi-iteráció, a koordinátákra felírt alakja és konvergencia tétele. Speciális iterációs módszerekhez: A=L+D+U = ( > ) L alsó háromszög mátrix = 0 D diagonális mátrix = ( < ) U fels háromszög mátrix Jakobi iteráció: ( + + ) = ( + ) + ( + ) + = + iteráció: () ( + ) + = + ( + ) = Koordinátás alak: () 1 () Konvergencia tétele: ( = 1 ), = 0, Ha A szigorúan diagonálisan domináns a soraira (oszlopaira), akkor <1 <1, azaz J(1) iteráció konvergens () -ra. Bizonyítás: = = <1 <1 óá < 21 úáá: > úáá: > Csillapított Jakobi-iteráció: () ( + + ) = ( + ) + = ()+ = [() ( + )] + () ()
22 iteráció: () = () + + Koordinátás alak: () = () () () Konvergencia tétele: Ha J(1) konvergens akkor 0 <<1-re () is konvergens. Bizonyítás: () = ()+ () (1) konvergens () <1 : <1 = () =()+ () = ()+ = () + = [ )+ ] < ( )+1=1 = + + () <1()0 <<1 22
23 14. A Gauss-Seidel-iteráció, a koordinátákra felírt alakja. A Gauss-Seidel relaxáció, a koordinátákra felírt alakja és a konvergencia tételei speciális mátrix osztályokra. Gauss-Seidel-iteráció: ( + + ) = ( + ) + (+) + ( + ) ( + áóá:á0) Iteráció: () (+) + ( + ) Koordinátás alak: ( + ) () + + () () () + () [ () + ] () 1 Konvergencia tétele: () () + áó é ú á Ha A szigorúan diagonálisan domináns a soraira (oszlopaira), akkor <1 < 1, azaz a Gauss-Seidel-iteráció is konvergens () -ra és legalább olyan gyors mint a Jacobi-iteráció. Gauss-Seidel reláció: ( + ) + =D() + ( + ) = () + (+) = ( + ) [( )] + ( + ) Iteráció: () = ( + ) [( )] () + ( + ) Koordinátás alak: A koordinántánkénti számoláshoz alakítsuk át a formulát, hogy ne kelljen inverzt számolni: ( + ) () = ( ) () () + () () () () + + ( ) () () () + () + ( ) () () () () () + +(1) áó é ú á Konvergencia tétel: Ha a relaxációs módszer konvergens akkor 0 <<2 Bizonyítás: konvergens () <1 <1 <1det () <1 det () = det( + ) det() = 1 det() () det() =(1) <1 <10<<2 23
24 Ha A szimmetrikus, pozitív definit és 0 <<2, akkor a relációs módszer és a Gauss-Seidel is konvergens. Ha A tridiagonális, akkor ( ) =( ), azaz a Jacobi és a Gauss-Seidel iteráció egyszerre konvergens és divergens és a Gauss-Seidel 2szer gyorsabb a Jacobinál. Ha A szimmetrikus, pozitív definit és tridiagonális, akkor (1), ()é() (0,2)-re konvergens és az optimális paraméter: = ( ) Ha 0, akkor ( ) = 1<( )=( ) Ha =0, akkor = 1, ( ) =, ( ) =( ) =0 24
25 15. A Richardson-típusú iteráció, konvergencia tétele. Kerekítési hibák hatása az iterációkra. Richardson-iteráció:) = ( ) Iteráció: ) = ( ) ) Reziduum vektorral: ) ) reziduum (maradék) vektor ) ) () () ) ) () () () ) Agoritmus: () () = 1 : ) ) () ) ) () Konvergencia tétel: A szimmetrikus, pozitív definit, sajátértékeit sorba rendezve 0 < () Ha (0, ) konvergens, és az optimális paraméter = = Bizonyítás: sajátértékei: () = 1 ) = 1,. () = 1 ) = 1 <1(0, 2 ) () ) -ra optimális ha: () = ) metszéspont (1 ) ()=2 2 = ) = ( ) = 2 = = = Kerekítési hibák hatása az iterációra: Tegyük fel, hogy ) ) pontos, konvergens iteráció helyett ) ) ), () Hibasorozat: ) ) ) a hibasorozat k. eleme () () () () () () () () () = () () () 25
26 () = () () () + () = () () + ( () ++ 1) Numerikus módszerek tételek () + = () + + = () konvergens.:<1 () () ++1< lim () = tehát konvergens () iteráció esetén a fenti kerekítési hibák a () hibasorozatra a következ becslést adja: lim () = 26
27 16. A részleges LU felbontás algoritmusa és az ILU algoritmus. Részleges LU felbontás: Legyen J a mátrix elemek pozíciójának egy részhalmaza, mely a fátlót nem tartalmazza: ((, ) Az A mátrixnak a J pozícióhalmazra illeszked részleges LU felbontása alatt olyan felbontást értünk, melyre L és U alakja a szokásos (L alsó háromszög mátrix, a diagonálisban 1-esekkel, U fels háromszög mátrix) és =0,(, =0,(, =() (, ILU felbontás Gauss-eliminációval: = alak 1. lépés: = k. lépés: 1) = -ban a (, és (, elemeket nullázzuk -ban () (),,(, () (),,(, 2) = -n elvégezzük a k. Gauss-eliminációs lépést n-1 lépésben fels háromszög mátrix alakra hozzuk -t. = = = = Bizonyítás: = = = + = ( + + ) = ( + ) = Ha A szigorúan diagonálisan domináns, akkor az ILU felbontás egyértelmen létezik. Bizonyítás: a szétbontással -ban nem változik a szig.diag. dominancia, (J nem tartalmazza a fátlót) a Gauss eliminációs lépés sem változtatja meg azt. ILU algoritmus iterációs módszerrel: = alakból, = = ( ) = + = + + = + = = legyen P az A-hoz közeli kicsi gyors iteráció () = () + () = () + könny számolni, ha P-vel könny LER-t megoldani Iteráció reziduum vektorral: () = () () = ( ) () + = () + () () () = () () () = () () : () = () + () ( () = () () = () ) () = () = () + () = () + () Algoritmus: () = () 27
28 = 0 : () = () lineáris egyenletrendszer megoldása () = () + () () = () + () Általánosítva: () () + () = Minden tanult iteráció felírható így. Általános kétréteg iterációs módszerek: = (1) = () = + (1) = + () = () = 28
29 17. Nemlineáris egyenletek megoldása. Bolzano tétel, intervallum-felezés. A konvergencia rend fogalma. Brouwer-féle fixpont tétel, Banach-féle fixpont tétel -en. Elégséges feltételek a kontrakcióra. Az m-edrend konvergenciára vonatkozó tétel. Nem lineáris egyenletek megoldása: () = 0 () az f gyöke/zérushelye, fixpontja Bolzano tétel gyök létezéséhez: []() ()< 0() []( ) = 0 Bizonyítás: intervallumfelezés módszerével ellentétes eljelek k. lépés: ( 2 ) > 0 ) =, 2 ( 2 ) < 0 ), = 2 ( 2 ) = 0) = 2 Az intervallum hibabecslése: = Konvergencia rend: Az ( ) konvergens sorozat(lim )= ) p-ed rendben konvergens, ha lim határérték Brouwer-féle fixponttétel: : [] [][] [] ( ) Bizonyítás: Bolzano tétellel: () () ] ()() [] ()0 ()0 1)() =0 2)() =0 3)() <0,()> 0 ()( )= 0 ( ) Banach-féle fixponttétel: [a,b]-re: : [] [] kontrakció 1) [] ( ) 29
30 2) [, ]: = ( )fixpontiterációkonvergensés = lim ( ) 3) hibabecslés: Bizonyítás: a) folytonos, egyenletesen folytonos > 0, = < < = b) () Cauchy-sorozat () () = () ( () ) () () () () () () = ( () () )++( () () ) () () + () () + () () = = ( + 1) () () < () () 0 () () c) = lim () = lim (() ) = lim () = () = (), áóá = : d) Egyértelmség indirekt Tegyük fel, hogy fixpontja nek: = () ( ) (1) 0 e) Hibabecslés i., öí, íá, : ii. () () () () () () = () ( ) () () Elégséges feltételek a kontrakcióra: [, ]é () <1[,]ó[, ] é = max [,] () Bizonyítás Lagrange-középértéktétellel:,, [, ], () () = () max [,] () <1 ()() max [,] () ó. [, ]é [, ]é0< : () <1, [, + ] Ha :0< () ( ), : [, + ] [, + ]éó[, + ] 30
31 Bizonyítás: () = () () + () () () + () + ( ) + ( )= Numerikus módszerek tételek Az m-edrend konvergenciára vonatkozó tétel: Tegyük fel, hogy az ( ) sorozat konvergens, = ( ) és ( ) = ( ) = () ( ) =0 de () ( 0. Ekkor az ( ) sorozat m-ed rendben konvergens és hibabecslése! ( = max [,] () Bizonyítás Taylor formulával középponttal: () = ( ) + ( )( ) + ( ) ( ) + ( ) 2! ( 1)! ( ) + ( ) ( )! = ( ) = ( ) + ( ) ( )! = ( ) ( )!! ( ) konvergencia rendje m ( ) lim = lim = ( ) = 0!! 31
32 18. A Newton-módszer és konvergencia tételei (monoton, lokális). f(x) = 0-ra, x 0 tetszleges kezdérték A k. lépésben az (x k, f(x k )) ponton átmen érintvel közelítjük az f-et. X k+1 az érintnek az x tengellyel vett metszéspontja. Globális vagy monoton konvergencia tétel: TFH f C 2 [a,b] és 1) x* [a,b] : f(x*) = 0 2) f és f állandó eljel 3) x 0 [a,b] : f(x 0 ) * f (x 0 ) > 0 Ekkor x 0 -ból indított Newton módszer konvergens x*-hoz. Biz.: Spec. Eset: f, f > 0 (a többi ugyan így megy) Taylor-formula alkalmazása: x k kp. (x; x k ) v. (x k ; x) x x k+1 : Érint: y - f(x k ) = f (x k ) * (x x k ) m X tengellyel vett metszéspont: -f(x k ) = f (x k ) * (x k+1 - x k ) -f(x k )/f (x k ) = x k+1 x k x k+1 x kf(x k )/f (x k ) () ( ) ( )( )+ () 2 ) ( ) ( ) ( )( ) => f(x k+1 ) > 0 k-ra f(x 0 ) > 0 3. feltétel => f(x k ) > 0 k + ( ) 2 ) ( ) ( ) => ( ) ó 0=( )( )=>, >0=>=>( ). Tehát(x kkonv.: lim ( ) Lokáliskonvergenciatétele: =>()= lim ( ) = ( ) lim ( 2 ) =0. =>, 32
33 TFH f C 2 [a,b] és 1) x* [a,b] : f(x*) = 0 2) f állandó eljel 3) 0 < m 1 f (x), x [a,b] 4) f (x) M 2, x [a,b] M M 2 /2*m 1 5) X 0 [a,b] mi n { 1 ; ; } Ekkor az x 0 -ból indított Newton-módszer másodrendben konvergens, és hibabecslése: Biz.: Taylor-formula alkalmazása: x k kp., x x * hely. 0=( )( ) ( )( )+ ( ) 2 ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ), ( ). ( ) Becslés: Belátjuk teljes indukcióval, hogy az x k k r (x * ): x 0 x * < r. OK 5. feltétel TFH x k x * < r k => Vizsgáljuk: =() Hibabecslésbl folytatjuk a konvergencia bizonyítását: k+1 M * k 2 /*M M * k+1 (M * k ) 2 d k+1 d k 2 d k+1 d k 2 (d k-1 2 ) 2 (d 0 ) 2^k+1 M * k+1 (M * 0 ) 2^k+1 k+1 1/M * (M * 0 ) 2^k+1 0 k+1 hiba <1 konvergencia rend bizonyítása: -ból x k x * (k) ( ). ( )=>, ( ) = lim lim () () 2 ( ) = ) 33
34 19. Húrmódszer, szelmódszer, többváltozós Newton-módszer. Húrmódszer: f(x) = 0-ra, x 0 a, x 1 b, és f(a)*f(b) < 0. A k. lépésben az (x k ;f(x k )) és (x s ;f(x s )) pontokon átmen egyenes közelíti f-et, ahol x s : a legnagyobb index pont, melyre f(x k )*f(x s ) < 0 x k+1 : az egyenes metszéspontja x tengellyel. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Tétel: TFH f C 2 [a,b] és f(a) * g(b) < 0 M M 2 /2*m 1 (mint a Newton-módszernél) M * (b-a) < 1 Ekkor az x 0 -ból indított húrmódszer konvergens, és x k+1 x * 1/M * (M * x 0 x * ) 2 NEM BIZ! Szelmódszer: Húrmódszerbl származtatható, úgy, hogy i k+1, és nincs eljel feltétel. ( )( ), ( ) ( ) Tétel: Ha teljesülnek a Newton-módszer lokális konvergencia tételének feltételei, akkor a szelmódszer konvergens = NEM BIZ! rendben, és Többváltozós Newton-módszer: F-nek az elsfokú Taylor-polinómja: () () () x (k+1) : Taylor-poli = 0 0 () () () () () () () () () () () Végrehajtása: () () () () = ) = ) )= ) ) 34
35 20. A Horner algoritmus polinom és deriváltja helyettesítési értékeinek gyors számolására. Becslés a polinom gyökeinek elhelyezkedésére. Horner algoritmus: Polinomok helyettesítése értékeinek, és derivált értékeinek számolására Algoritmus: () = + + = () : () () : : () () () = 1,,0: + () () = () Állítás: () = + ( () () ) + () + = () é () () = () = Biz.: üó: =? () üó: =? () () () () > = + üó: =? () () () () > = + (. ) () =1 ()+() () ()= ()+0= () : (),, () éü Állítás: () = () + () ( ) + () ( ) + NEM BIZ! Polinomok gyökeinek becslése: () = () ()! ( ) () öüú ( )() () = + +, (= 1,,), 0, 0 Tétel: A P(x) polinom bármely x k gyökére < <, =1+ max 1, = 1+ max Biz.: a)tfh x R belátjuk, hogy P(x) > 0 => x nem gyök () + + ( + + ) 35,
36 max ( + +1) >! max 1 = max 0 1 b) x1/y hely () = 1 = = 1 ( + + ) 0=( )= 1 = 1 ( ) ( )> ( ) = 0, 1 = <1+max = 1 < () 36
alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha ,, és. ( : mantissza, : mantissza hossza, : karakterisztika) Jelölés: Gépi számhalmaz:
1. A lebegőpontos számábrázolás egy modellje. A normalizált lebegőpontos szám fogalma, a legnagyobb, legkisebb pozitív szám, a relatív pontosság az M(t,-k,+k) gépi számhalmazban. Az input függvény (fl)
RészletesebbenNumerikus módszerek beugró kérdések
1. Definiálja a gépi számok halmazát (a tanult modellnek megfelelően)! Adja meg a normalizált lebegőpontos szám alakját. (4 pont) Az alakú számot normalizált lebegőpontos számnak nevezik, ha Ahol,,,. Jelöl:
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. Tantárgy kódja: IP-08bNM1E, IP-08bNM1G (2+2) Az elsajátítandó ismeretanyag rövid leírása: A lebegıpontos számábrázolás egy modellje. A hibaszámítás elemei. Lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK
NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
RészletesebbenNumerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenNumerikus Analízis. Király Balázs 2014.
Numerikus Analízis Király Balázs 2014. 2 Tartalomjegyzék 1. A hibaszámítás elemei 7 1.1. A matematika modellezés folyamata és a hibaforrások megjelenése.. 7 1.2. Lebegőpontos számábrázolás.......................
RészletesebbenNumerikus matematika. Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, Lebegőpontos számok
Numerikus matematika Irodalom: Stoyan Gisbert, Numerikus matematika mérnököknek és programozóknak, Typotex, 2007 Lebegőpontos számok Normák, kondíciószámok Lineáris egyenletrendszerek Legkisebb négyzetes
RészletesebbenGyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
RészletesebbenGauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
RészletesebbenTáblán. Numerikus módszerek 1. előadás (estis), 2017/2018 ősz. Lócsi Levente. Frissült: december 1.
Táblán Numerikus módszerek 1. előadás (estis), 2017/2018 ősz Lócsi Levente Frissült: 2017. december 1. Ebben az írásban a 2017/2018 őszi félév estis Numerikus módszerek 1. előadásának a diasorban nem szereplő,
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó................................................ VEKTOR- ÉS MÁTRIXNORMÁK,
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 9. előadás: Paraméteres iterációk, relaxációs módszerek Lócsi Levente ELTE IK Tartalomjegyzék 1 A Richardson-iteráció 2 Relaxált Jacobi-iteráció 3 Relaxált Gauss Seidel-iteráció
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó................................................ GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR NUMERIKUS MÓDSZEREK PÉLDATÁR Bozsik József, Krebsz Anna Budapest, Tartalomjegyzék Előszó............................................... 6. GÉPI SZÁMÁBRÁZOLÁS
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenAnalízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenNumerikus Analízis I.
Numerikus Analízis I. Sövegjártó András Jegyzet másodéves programozó és programtervező matematikus szakos hallgatóknak 2003. ,,A sikerhez és tudáshoz vezető út senki előtt sincs zárva, akiben van bátorság
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Részletesebben1. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Hibaszámítás Számábrázolás Kerekítés, levágás Klasszikus hibaanalízis Abszolút hiba Relatív hiba
Hibaforrások Hiba A feladatok megoldása során különféle hibaforrásokkal találkozunk: Modellhiba, amikor a valóságnak egy közelítését használjuk a feladat matematikai alakjának felírásához. (Pl. egy fizikai
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
Részletesebben9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenNUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenHalmazelméleti alapfogalmak
Halmazelméleti alapfogalmak halmaz (sokaság) jól meghatározott, megkülönböztetett dolgok (tárgyak, fogalmak, stb.) összessége. - halmaz alapfogalom. z azt jelenti, hogy csak példákon keresztül magyarázzuk,
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
Részletesebben2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma
Mátrixok Definíció Az m n típusú (méretű) valós A mátrixon valós a ij számok alábbi táblázatát értjük: a 11 a 12... a 1j... a 1n.......... A = a i1 a i2... a ij... a in........... a m1 a m2... a mj...
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenNumerikus módszerek példatár
Numerikus módszerek példatár Faragó István, Fekete Imre, Horváth Róbert 2013. július 5. Tartalomjegyzék Előszó 2 Feladatok 4 1. Előismeretek 4 1.1. Képletek, összefüggések............................ 4
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
RészletesebbenNumerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 2009/10. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat, 9/. I. félév, A. csoport, MEGOLDÁSOK. Feladat. Az a. választás mellett A /( a) értéke.486. Határozzuk meg mi is A értékét egy tizes számrendszerű, hatjegyű mantisszás
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenLineáris algebra és mátrixok alkalmazásai
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR Lineáris algebra és mátrixok alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Ruzsányi Orsolya Matematika BSc, matematikai elemző szakirány Témavezető: Fialowski
Részletesebben1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0
I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenTárgymutató I Címszavak jegyzéke
9. Tárgymutató I 9.1. Címszavak jegyzéke adaptív integrációs módszer, 350 Aitken-féle eljárás, 350 Aitken Neville-eljárás, 324 alappontok, 250, 334 szabálytalanul elhelyezkedő, 317 algoritmus, 17 abszolút,
RészletesebbenFeladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: A x = b,
Gauss Jordan-elimináció Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: ahol A négyzetes mátrix. A x = b, A Gauss Jordan-elimináció tulajdonképpen az általános iskolában tanult módszer lineáris egyenletrendszerek
RészletesebbenKÖZELÍTŐ ÉS SZIMBOLIKUS SZÁMÍTÁSOK FELADATGYŰJTEMÉNY
Írta: MIHÁLYKÓ CSABA VIRÁGH JÁNOS KÖZELÍTŐ ÉS SZIMBOLIKUS SZÁMÍTÁSOK FELADATGYŰJTEMÉNY Egyetemi tananyag 2011 COPYRIGHT: 2011 2016, Dr. Mihálykó Csaba, Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Matematika
RészletesebbenOrtogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41
Ortogonalizáció Wettl Ferenc 2016-03-22 Wettl Ferenc Ortogonalizáció 2016-03-22 1 / 41 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai
RészletesebbenLegkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 10. gyakorlat Legkisebb négyzetek módszere, Spline interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenSzalai Eszter. Mátrix felbontások és alkalmazásaik
Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematika Intézet Szalai Eszter Mátrix felbontások és alkalmazásaik BSc szakdolgozat Témavezet : Dr. Gergó Lajos ELTE Numerikus Analízis Tanszék Budapest 2016. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenA CSOPORT 4 PONTOS: 1. A
A CSOPORT 4 PONTOS:. A szám: pí= 3,459265, becslése: 3,4626 abszolút hiba: A szám és a becslés özti ülönbség abszolút értée Pl.: 0.000033 Relatív hiba: Az abszolút hiba osztva a szám abszolút értéével
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
RészletesebbenPolinomok, Lagrange interpoláció
Közelítő és szimbolikus számítások 8. gyakorlat Polinomok, Lagrange interpoláció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1. Polinomok
RészletesebbenLin.Alg.Zh.1 feladatok
Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat?
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenVIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenExplicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenTartalomjegyzék 1 BEVEZETÉS 2
Tartalomjegyzék BEVEZETÉS FELADATOK. Lebegőpontos számok.............................. Normák, kondíciószámok........................... 5. Lineáris egyenletredszerek megoldása, mátrixok felbontása........
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
Részletesebben