Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4

Átírás

1 Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek segítségével az alábbi túlhatározott egyenletrendszert! A, A [ x A második oszlop alsó két eleméhez keresünk Givens-forgatást. c 3 5, s 4 5. Azaz a Givens-forgatás (ami a Q T mátrix is lesz egyben): G Q T /5 4/5. 0 4/5 3/5 2 Így GA Q T A /5 4/5 0 4/5 3/5 0 0 R. Ezzel megadtuk a QR-felbontást. A túlhatározott egyenletrendszer megoldásához meg kell oldani az [ [ [ x 2 7/5 egyenletrendszert. Itt a mátrix az R mátrix felső négyzetes része, a jobb oldali vektor pedig a Q T b Q T [2,, T [2, 7/5, /5 T felső két eleméből álló vektor. Azaz x LS [43/25, 7/25 T. 2. Feladat. (6p) Az A [ mátrix 3-hoz legközelebbi sajátértékét keressük az inverz iteráció segítségével. Az y 0 [2/ 5, / 5 T vektorról indulva a 3. lépés után az y 3 [0.677, T vektorhoz jutottunk. Végezzünk el még egy lépést a módszerrel, és ezek után adjunk becslést a sajátvektorra és a sajátértékre!

2 A hatványmódszert az (A 3E) mátrixszal kell végrehajtani. Így x 4 (A 3E) [ [ /8 3/8 3/8 /8 [ Ez jó sajátvektorbecslésnek. A sajátértéket pedig a Rayleigh-hányadossal lehet becsülni: R(x 4 ) xt 4 Ax 4 x T 4 x Feladat. (6p) Az f(x) x. függvénynek akarjuk megkeresni az x.2 zérushelyét a Newton-módszer segítségével. Adjunk meg olyan x 0 pontot, ahonnét a módszer indítható, és végezzünk el két lépést! Mivel f (x) negatív, így olyan helyről kell indítani a módszert, ahol a függvény is negatív értéket vesz fel. x 0 ilyen. A Newton-módszer képlete ebben az esetben az x k+ x k x k iterációt adja, amiből x.2, Feladat. (6p) Az f(x) e x függvényt interpoláljuk az x 0, /2, 2 pontokban. Adjuk meg, hogy legfeljebb mekkora lehet az interpolációs polinom és az f függvény eltérése az x pontban! (Az interpolációs polinomot nem kell meghatározni!) Hiba e ξ ( 0)( /2)( 2) 3! e , ahol e ξ az f függvény harmadik deriváltjának értéke egy 0 és 2 közti helyen. 5. Feladat. (6p) Van-e olyan p 6 (x) legfeljebb hatodfokú polinom, amely nullát vesz fel az x, 2, 3, 4, 5, 6 pontokban és p 6 (7) 0? Van-e olyan legfeljebb hatodfokú p 6 (x) polinom, amely a korábbi feltételeken kívül még a p 6 (8) 70 feltételt is kielégíti? Adjuk meg a polinomot, vagy indokoljuk meg, hogy miért nincs! Igen van, hiszen 7 pontra egyértelműen illeszthető egy legfeljebb hatodfokú polinom. Ez pl. Lagrange módszerével meghatározható: (x )(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)(x 6) p 6 (x) 0 (7 )(7 2)(7 3)(7 4)(7 5)(7 6). Mivel a p 6 (8) 70 feltételt az előző polinom teljesíti, így létezik a második feltételrendszernek megfelelő polinom is..

3 6. Feladat. (6p) A (, 0), (0, ), (, ) pontokat kötjük össze harmadfokú természetes spline-függvénnyel. A [, 0 intervallumon az s (x) (3/4)x 3 (9/4) (/2)x + polinom adódott. Adjuk meg a [0, intervallumhoz tartozó s 2 (x) polinomot, ha tudjuk, hogy s 2() /4! s 2 (x) meghatározásához kell az intervallum végpontjaiban a függvényérték és a derivált. Így már csak a 0 pontbeli derivált hiányzik. Most ez meghatározható egyenletrendszer megoldása nélkül is, hiszen az s (x) polinomnak ugyanannyi a deriváltja 0-ban, mint s 2 (x)-nek. Mivel s (0) /2, így s 2(0) /2. Ezek után a keresett s 2 (x) polinom Hermite Fejér-interpolációval kapható meg: s 2 (x) 0.5x (x ). 7. Feladat. (6p) Adjuk meg a (0, ), (2π/3, 2), (4π/3, 4) pontokat interpoláló trigonometrikus polinomot! t (x) cos x 2 3 sin x

4 Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, 204/5. I. félév, B. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek segítségével az alábbi túlhatározott egyenletrendszert! A, A [ x A második oszlop alsó két eleméhez keresünk Givens-forgatást. c 4 5, s 3 5. Azaz a Givens-forgatás (ami a Q T mátrix is lesz egyben): G Q T /5 3/5. 0 3/5 4/5 2 Így GA Q T A /5 3/5 0 3/5 4/5 0 0 R. Ezzel megadtuk a QR-felbontást. A túlhatározott egyenletrendszer megoldásához meg kell oldani az [ [ [ x 2 egyenletrendszert. Itt a mátrix az R mátrix felső négyzetes része, a jobb oldali vektor pedig a Q T b Q T [,, 2 T [, 2, T felső két eleméből álló vektor. Azaz x LS [3/5, 2/5 T. 2. Feladat. (6p) Az A [ mátrix -hez legközelebbi sajátértékét keressük az inverz iteráció segítségével. Az y 0 [2/ 5, / 5 T vektorról indulva a 7. lépés után az y 7 [ , T vektorhoz jutottunk. Végezzünk el még egy lépést a módszerrel, és ezek után adjunk becslést a sajátvektorra és a sajátértékre!

5 A hatványmódszert az [ /8 3/8 (A E) 3/8 /8 mátrixszal kell végrehajtani. Így x 8 (A E) [ [ Ez jó sajátvektorbecslésnek. A sajátértéket pedig a Rayleigh-hányadossal lehet becsülni: R(x 8 ) xt 8 Ax 8 x T 8 x Feladat. (6p) Az f(x) x.2 függvénynek akarjuk megkeresni az x.44 zérushelyét a Newton-módszer segítségével. Adjunk meg olyan x 0 pontot, ahonnét a módszer indítható, és végezzünk el két lépést! Mivel f (x) negatív, így olyan helyről kell indítani a módszert, ahol a függvény is negatív értéket vesz fel. x 0 ilyen. A Newton-módszer képlete ebben az esetben az x k+ x k x k iterációt adja, amiből x.4, Feladat. (6p) Az f(x) e x függvényt interpoláljuk az x 0,, 2 pontokban. Adjuk meg, hogy legfeljebb mekkora lehet az interpolációs polinom és az f függvény eltérése az x.5 pontban! (Az interpolációs polinomot nem kell meghatározni!) Hiba e ξ (.5 0)(.5 )(.5 2) 3! e , ahol e ξ az f függvény harmadik deriváltjának értéke egy 0 és 2 közti helyen. 5. Feladat. (6p) Van-e olyan p 6 (x) legfeljebb hatodfokú polinom, amely nullát vesz fel az x 0,, 2, 3, 4, 5 pontokban és p 6 (6) 3? Van-e olyan legfeljebb hatodfokú p 6 (x) polinom, amely a korábbi feltételeken kívül még a p 6 (7) 2 feltételt is kielégíti? Adjuk meg a polinomot, vagy indokoljuk meg, hogy miért nincs! Igen van, hiszen 7 pontra egyértelműen illeszthető egy legfeljebb hatodfokú polinom. Ez pl. Lagrange módszerével meghatározható: (x 0)(x )(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) p 6 (x) 3 (6 0)(6 )(6 2)(6 3)(6 4)(6 5). Mivel a p 6 (7) 2 feltételt az előző polinom teljesíti, így létezik a második feltételrendszernek megfelelő polinom is..

6 6. Feladat. (6p) A (, 0), (0, ), (, ) pontokat kötjük össze harmadfokú természetes spline-függvénnyel. A [, 0 intervallumon az s (x) (/4)x 3 (3/4) + (/2)x + polinom adódott. Adjuk meg a [0, intervallumhoz tartozó s 2 (x) polinomot, ha tudjuk, hogy s 2() /4! s 2 (x) meghatározásához kell az intervallum végpontjaiban a függvényérték és a derivált. Így már csak a 0 pontbeli derivált hiányzik. Most ez meghatározható egyenletrendszer megoldása nélkül is, hiszen az s (x) polinomnak ugyanannyi a deriváltja 0-ban, mint s 2 (x)-nek. Mivel s (0) /2, így s 2(0) /2. Ezek után a keresett s 2 (x) polinom Hermite Fejér-interpolációval kapható meg: s 2 (x) +0.5x (x ). 7. Feladat. (6p) Adjuk meg a (0, 2), (2π/3, 4), (4π/3, ) pontokat interpoláló trigonometrikus polinomot! t (x) cos x + 3 sin x