A derivált alkalmazásai
|
|
|
- Jakab Nagy
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
2 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
3 Függvény széls értékei 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
4 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
5 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek D Az f függvénynek a c D f pontban abszolút (globális) maimuma [abszolút minimuma] van, ha minden D f esetén f () f (c) [f () f (c)] etrémum: maimum vagy minimum T Széls értéktétel (Weierstrass-tétel) Ha f folytonos az [a, b] (korlátos és zárt) intervallumon, akkor van minimuma és maimuma, azaz létezik olyan c, d [a, b], hogy minden [a, b] esetén f (c) f () f (d) K Ha f folytonos az [a, b] intervallumon, akkor értékkészlete is korlátos zárt intervallum. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
6 Függvény széls értékei Lokális széls értékek 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
7 Függvény széls értékei Lokális széls értékek D Az f függvénynek a D f valamely c bels pontjában lokális maimuma [lokális minimuma] van, ha van olyan c-t tartalmazó nyílt intervallum, mely része D f -nek, és amelynek minden elemére f () f (c) [f () f (c)] D Ha c az értelmezési tartomány egy intervallumának végpontja, akkor f -nek lokális széls értéke van c-ben, ha a fenti egyenl tlenségek valamelyike fennáll egy c-t is tartalmazó félig nyílt intervallum minden elemére. y Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
8 Függvény széls értékei Lokális széls érték és derivált 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
9 Függvény széls értékei Lokális széls érték és derivált T Ha f -nek c-ben lokális széls értéke van, és f diható c-ben, akkor f (c) = 0. B TFH f -nek lokális maimuma van c-ben. Ekkor f (c) = f (c) = f () f (c) lim 0, c+ c f () f (c) lim c c 0. Így f (c) = 0. Minimumhelyre a bizonyítás hasonló. D A c D f pont az f függvény kritikus pontja, ha f vagy nem létezik c-ben, vagy f (c) = 0. K f -nek globális széls értéke lehet a kritikus pontokban az intervallum végpontjaiban Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
10 Függvény széls értékei Lokális széls érték és derivált y A.MAX L.MAX L.MAX nincs nincs L.MAX L.MIN A.MIN L.MIN L.MIN L.MIN f kritikus pont: f nem dierenciálható kritikus pont: f deriváltja 0 intervallum végpontja abszolút (globális) széls érték Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
11 Függvény széls értékei Lokális széls érték és derivált P Határozzuk meg az f () = 2 /3 + 2 /3 függvény lokális és abszolút széls értékhelyeit a [ 2, 1] intervallumon! M f () = 2 /3 1/3 + 2 /3. E függvény nincs értelmezve az = 0 helyen, tehát itt f f () = 2 /3 1/3 + 2 /3 = 0 = 1 A kritikus pontok = 1, = 0, a végpontok = 2, = 1. f ( 2) = / , f ( 1) = 1 /3, f (0) = 0, f (1) = 5 /3. nem diható. y L.MAX: = 1, = 1, L.MIN: = 2, = 0 helyeken. A.MAX: 5 /3 ( = 1-ben), A.MIN: 0 (0-ban) Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
12 Középértéktételek 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
13 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
14 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel T Rolle-tétel: Ha B f f f folytonos [a, b]-n, diható (a, b)-n, f (a) = f (b), akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) = 0. folytonos [a, b]-n, ezért van abszolút maimuma és minimuma. Mivel f diható (a, b)-n, ezért ezeket értékként vagy a végpontokban vagy olyan c bels pontban veszi fel, ahol f (c) = 0. Ha f a minimum és a maimum legalább egyikét (a, b)-ben veszi fel, akkor f (c) = 0, kész. Ha a maimumot és a minimumot is a végpontokban veszi fel, akkor f (a) = f (b) miatt a függvény csak a konstans függvény lehet, így mindenütt 0 a derivált. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
15 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel y c Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
16 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel P Igazoljuk, hogy az f () = függvénynek csak egyetlen valós gyöke van. M f () = > 0. f minden valós helyen dierenciálható (és így folytonos is). Ha volna f -nek két zérushelye, közte valahol 0 lenne a derivált, tehát legföljebb csak egy zérushelye lehet. f folytonos és f ( 1) = 7, f (1) = 9, tehát Bolzano tétele szerint a ( 1, 1) intervallumon f -nek zérushelye van. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
17 Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
18 Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel y f (b) g f f (a) a c h = f g b Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
19 Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel T Lagrange-tétel: Ha f f folytonos [a, b]-n, diható (a, b)-n, akkor van olyan c (a, b), hogy f f (b) f (a) (c) =. b a B Legyen g az a függvény, melynek grakonja az (a, f (a)) és (b, f (b)) pontok közti szel egyenes: f (b) f (a) g() = f (a) + ( a) b a Alkalmazzuk a h = f g függvényre a Rolle-tételt: h(a) = h(b) = 0, ( ) h f (b) f (a) () = f () f (a) ( a) = f f (b) f (a) () b a van olyan c (a, b), ahol h (c) = 0: h (c) = f f (b) f (a) (c) = 0, QED b a b a Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57,
20 Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel M Fizikai következmény: ha egy útszakaszon átlagosan 60 km/h sebességgel haladtunk, akkor legalább egyszer mentünk épp 60-nal. K Ha minden (a, b) pontban f () = 0, akkor f konstans az (a, b) intervallumon (valamely C számra f () = C ). B Kontrapozícióval bizonyítunk: ha f nem konstans, akkor nem lehet a deriváltja mindenütt 0. Ha f nem konstans, van olyan két p, q (a, b), hogy f (p) f (q). Ekkor van olyan c (p, q), hogy f (c) = f (p) f (q) 0, p q tehát c (a, b) helyen f (c) 0. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
21 Középértéktételek Lagrange-féle középértéktétel K Ha f = g az (a, b) intervallumon, akkor van olyan C szám, hogy az (a, b) intervallumon f = g + C, azaz f g konstans. B A h = f g függvény deriváltja h = f g = 0, így h = C, azaz f = g + C. P Melyik az a függvény, amelyiknek cos a deriváltja? M Minden sin +C alakú függvény, ahol C tetsz leges konstans. P Legyen f () = 0, ha 0, de f ne legyen értelmezve a 0 helyen. Mely függvények deriváltja f? M D f = R \ {0}, azaz f értelmezési tartománya nem intervallum! A megoldás: g = f, ha { C 1, ha > 0, g() = C 2, ha < 0, ahol C 1 és C 2 két tetsz leges konstans. g f Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
22 Középértéktételek Cauchy-féle középértéktétel 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
23 Középértéktételek Cauchy-féle középértéktétel T Cauchy-féle középértéktétel: Ha f f és g folytonos [a, b]-n, és g diható (a, b)-n, g -nek nincs zérushelye (a, b)-n, akkor van olyan c (a, b), hogy f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a). B Megmutatjuk, hogy g(a) g(b). Egyébként a Rolle-tétel szerint létezne olyan c (a, b), hogy g (c) = 0, de ezt a feltételek közt kizártuk. f (b) f (a) h() = f () f (a) (g() g(a)) g(b) g(a) Alkalmazzuk a h függvényre a Rolle-tételt: h folytonos és diható, h(a) = h(b) = 0, h () = f f (b) f (a) () g(b) g(a) g (), van olyan c (a, b), ahol h (c) = 0, és innen f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a). Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
24 Középértéktételek Cauchy-féle középértéktétel Legyen (g(t), f (t)) egy görbe paraméteres alakja. Deriváltja a t = c helyen: f (c) g. A görbe t = a és t = b paraméter pontjai (g(a), f (a)) és (c) (g(b), f (b)). A köztük haladó húr iránytangense f (b) f (a) g(b) g(a). A Cauchy-tétel szerint a görbének van ezzel párhuzamos érint je: (g(a), f (a)) iránytangens: f (c) f (b) f (a) g = (c) g(b) g(a) (g(c), f (c)) (g(b), f (b)) Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
25 Függvény menetének vizsgálata 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
26 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
27 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás D f szigorúan monoton növekv [csökken ], ha bármely a < b (a, b D f ) esetén f (a) < f (b) [f (a) > f (b)]. (A Thomas-könyv ezt nevezi monoton növekv nek [csökken nek].) f monoton növekv [csökken ], ha bármely a < b (a, b D f ) esetén f (a) f (b) [f (a) f (b)]. T TFH f folytonos [a, b]-n és diható (a, b)-n. Ha f > 0 az (a, b)-n, akkor f Ha f < 0 az (a, b)-n, akkor f szigorúan monoton növekv [a, b]-n. szigorúan monoton csökken [a, b]-n. B Legyen a 1 < 2 b. Alkalmazzuk a Lagrange-féle középértéktételt az [ 1, 2 ] intervallumra: van olyan c ( 1, 2 ), hogy f ( 2 ) f ( 1 ) = f (c)( 2 1 ). 2 1 > 0, ezért ha f (c) > 0, akkor f ( 2 ) > f ( 1 ), azaz f szigorúan monoton növekv, ha f (c) < 0, akkor f ( 2 ) < f ( 1 ), azaz f szigorúan monoton csökken. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
28 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás M Az állítás megfordítása nem igaz, csak annyi, hogy ha f szigorúan monoton növekv [csökken ] [a, b]-n, akkor f 0 [f 0] az (a, b) intervallumon. Például az f : 3 függvény szigorúan monoton növekv, de 0-ban a deriváltja 0, azaz f > 0 nem teljesül minden pontban. Á Ha f monoton növekv [a, b]-n, akkor f 0 az (a, b)-n. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
29 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás T TFH f folytonos az (a, b)-n és diható az (a, c) és (c, b) intervallumokon és c az f kritikus pontja. Ha f az (a, c)-n pozitív, a (c, b)-n negatív, akkor c-ben maimuma van. Ha f az (a, c)-n negatív, a (c, b)-n pozitív, akkor c-ben minimuma van. Ha f azonos el jel az (a, c) és (c, b) intervallumokon, akkor nincs széls értéke c-ben. B Ha f az (a, c)-n pozitív, akkor minden (a, c) elemre f () < f (c). Hasonlóképp, ha f a (c, b)-n negatív, akkor minden (c, b) elemre f () < f (c). Tehát c maimumhely. A másik két állítás hasonlóan bizonyítható. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
30 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás y L.MAX nincs nincs L.MAX L.MAX L.MIN L.MIN f f Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
31 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás P Határozzuk meg az f () = 2 /3 + 2 /3 függvény lokális széls értékhelyeit! M f () = 2 /3 1/3 + 2 /3. E függvény nincs értelmezve az = 0 helyen, tehát itt f f () = 2 /3 1/3 + 2 /3 = 0 = 1 A kritikus pontok = 1, = 0. nem diható. (, 1) 1 ( 1, 0) 0 (0, ) f + 0 NÉ + f MAX ( 1 /3) MIN (0) y Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
32 Függvény menetének vizsgálata Konveitás 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
33 Függvény menetének vizsgálata Konveitás D Az I itervallumon értelmezett f függvény konve [konkáv], ha a függvény grakonjának bármely két pontját összeköt húr, a grakon fölött [alatt] halad (beleértve, hogy a két grakon egybeesik). y KONVEX KONKÁV T Ha az I itervallumon értelmezett f függvény diható, és f monoton növekv [csökken ] I -n, akkor f konve [konkáv]. T Ha az I itervallumon értelmezett f függvény kétszer diható, és f > 0 [f < 0] az I -n, akkor f konve [konkáv] az I -n. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
34 Függvény menetének vizsgálata Konveitás y f () = 3 + sin f () = sin 3 4 f () = cos Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
35 Függvény menetének vizsgálata Konveitás D Ha f értelmezve (a, b)-n, diható a c (a, b) helyen, és f grakonja (a, c)-n a c-beli érint fölött, (c, b)-n az alatt van, vagy fordítva, akkor AMH f -nek a c-ben ineiós pontja van. a c b a c b T Ha f az (a, c)-n konve, a (c, b)-n konkáv, vagy fordítva, és c-ben diható, akkor ott ineiós pontja van. T Ha f diható (a, b)-n, és f az (a, c)-n szigorúan monoton növekv, (c, b)-n szigorúan monoton csökken, vagy fordítva, akkor f -nek c-ben ineiós pontja van. T Ha f kétszer diható (a, b)-n, és c-ben f -nek ineiós pontja van, akkor f (c) = 0. Azaz az f (c) = 0 szükséges, de nem elégséges feltétele annak, hogy egy Wettl kétszer Ferenc diható függvénynek A derivált alkalmazásai ineiós pontja legyen november c-ben / 57
36 Függvény menetének vizsgálata Konveitás P (Ahol a második derivált 0, nem biztos, hogy ineiós pont van) Határozzuk meg az f () = 4 függvény konve és konkáv tartományait és ineiós pontjait! M f () = 4 3 1, f () = Bár f (0) = 0, itt nincs ineiós pontja f -nek, mert f el tte és utána is pozitív, azaz az f el tte és utána is konve (így az egész számegyenesen konve). P (Ineiós pont lehet ott, ahol f nincs értelmezve) Az f () = 1 /3 függvénynek a 0 helyen ineiós pontja van, de itt f nincs értelmezve: f 1 () = ( 3 ) = ( 1 3 2/3 ) = 2 9 5/3. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
37 Függvény menetének vizsgálata Konveitás T Második derivált és a lokális széls érték: TFH f folytonos a c pontot tartalmazó nyílt intervallumon. f (c) = 0, f (c) > 0 f -nek c-ben lokális minimuma van. f (c) = 0, f (c) < 0 f -nek c-ben lokális maimuma van. f (c) = 0, f (c) = 0, akkor további vizsgálat szükséges. B Ha f (c) > 0, akkor f folytonossága miatt c egy környezetében f () > 0, így f szigorúan monoton növekv f (c) = 0, így f () el jele < c esetén negatív, > c esetén pozitív f -nek c-ben minimuma van. K Ha f folytonos a c pontot tartalmazó nyílt intervallumon, f (c) = 0, f (c) 0, akkor f -nek c-ben ineiós pontja van. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
38 Függvény menetének vizsgálata Konveitás P Keressük meg az f () = függvény lokális széls értékhelyeit! M f () = , ezek zérushelyei: 12 = 0, 3 = 1, 4 = 3. Függvényértékek a kritikus pontokban: f (0) = 3, f (1) = 3.2, f (3) = 2.4. f () = , f (0) = 0???, f (1) = 2 MAX, f (3) = 18 MIN f () = , f (0) 0 INFL INFL MAX f () MIN Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
39 Függvény menetének vizsgálata Függvényvizsgálat 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
40 Függvény menetének vizsgálata Függvényvizsgálat 1 f értelmezési tartománya, szimmetriája (páros/páratlan), periódikussága 2 f, f (esetleg f ) meghatározása 3 kritikus pontok (f -b l) 4 monoton tartományok, széls értékhelyek 5 konveitás, ineiós pontok 6 aszimptoták 7 függvényértékek kiszámítása (a fenti kiszámolt pontokban, = 0-ban, zérushelyek,... ) 8 grakon megrajzolása Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
41 Függvény menetének vizsgálata Függvényvizsgálat P Végezzünk függvényvizsgálatot az e 1 / függvényen! M 1 ÉT: R \ {0} (nem páros, nem páratlan, nem periodikus) 2 f () = e 1 2, f () = 2e 3 nincs kritikus pont e 4 4 f < 0 mindenütt, f mindenütt szigorúan monoton csökken, 5 f () = 0 az = 1 /2 helyen, f el tte negatív (f konkáv), utána pozitív (f 6 lim 0 e1 / lim ± e1 / konve), tehát f -nek = 1 /2-ben ineiós pontja van =, = 0 függ leges aszimptota = 0, lim 0 + e1 / = 1 y = 1 vízszintes aszimptota 7 f ( 1 /2) = e , f (1) = e 8 e 1 / Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
42 L'Hôpital-szabály 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
43 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
44 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok M Ha az f és g függvény határértékét ismerjük, nem mindig tudjuk meghatározni pl. az f ± g, fg, f g,... határértékeket. M Határozatlan alakok: 0 0,, 0,, 1, 0 0, lim 2 a = 1, lim = 0, lim = a, lim =, lim = 2, lim 0 lim = 1, lim 3 = 3, lim 0 lim 2 =, lim =, lim 1 2 = 0, sin = 1, + 1 = 0, 1 lim (1 + ) 1 = e, lim (1 + k ) = e k, lim 0 = 1, lim = 0, 0 lim 1 = 1, lim 1 ln = e, Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
45 L'Hôpital-szabály 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls értékek Lokális széls érték és derivált 2 Középértéktételek Rolle-féle középértéktétel Lagrange-féle középértéktétel Cauchy-féle középértéktétel 3 Függvény menetének vizsgálata Monotonitás Konveitás Függvényvizsgálat 4 L'Hôpital-szabály Határozatlan alakok Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
46 L'Hôpital-szabály T L'Hôpital-szabály (els alak) Ha f (a) = g(a) = 0, létezik f (a) és g (a) és g (a) 0, akkor lim a f g = f (a) g (a) B P lim 0 sin P lim 0 f (a) g (a) = lim a lim a = lim a = cos 1 = 0 f () f (a) a g() g(a) a = lim a f () f (a) g() g(a) = lim a = 1. 0 = 1 4. f () f (a) a g() g(a) a f () 0 g() 0 = lim f () a g() Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
47 L'Hôpital-szabály Geometriai szemléltetés Legyen (g(), f ()) egy görbe paraméteres alakja, mely áthalad az origón. Legyen az origó az a paraméterhez tartozó pont, azaz f (a) = g(a) = 0. E pontban az érint iránytangense egyrészt f (a), másrészt a szel k g (a) f () f (a) határhelyzete, azaz lim a g() g(a) = lim f () a g(). iránytangens: f (a) g (a) = lim f () a g() (g(a), f (a)) = (0, 0) Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
48 L'Hôpital-szabály T L'Hôpital-szabály (er sebb alak) Legyen f és g két olyan valós függvény, Ekkor melyek dierenciálhatók egy I nyílt intervallumon, kivéve esetleg annak egy a pontját, g () 0, ha a és I, lim a f = lim a g = 0 vagy lim a f = lim a g =. f létezik az L = lim a g határérték. lim a f g = L, ahol a és L lehet, vagy tetsz leges valós. A tétel féloldali határértékekre is igaz. f M Azt állítja a tétel, hogy lim = lim a g a f g,feltéve, hogy a jobb oldali határérték létezik! M Ne keverjük össze, a jobb ( ) oldalon álló határérték nem a hányados deriváltja, azaz f g f! g Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
49 L'Hôpital-szabály B Az a +, f (a) = g(a) = 0 esetet igazoljuk. Alkalmazzuk a Cauchy-féle középértéktételt az [a, ] intervallumra: létezik olyan c (a, ), hogy Mivel f (a) = g(a) = 0, ezért f (c) f () f (a) g = (c) g() g(a) f (c) g (c) = f () g(). Ha a +, akkor c a + is fönnáll: f () lim a + g() = lim f (c) c a + g (c) = lim f () a + g (). Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
50 L'Hôpital-szabály Példák y 1 1 P lim 1 1 y 1 1 M lim 1 1 P lim 1 ( = lim 1 ) 1 1 ln ln + 1 = lim 1 ( 1) ln L H = lim 1 ln 1 + ln 1 y 1 ln y 1 = lim 1 = ln y. ln + ln 1 L H = lim 1 = 1 2, 1 + ln ln 1 + ln = lim ln Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
51 L'Hôpital-szabály c 1 P lim 0 M c ln c = lim 0 1 = ln c. 2 sin sin 2 P lim 0 sin M = lim 0 = lim 0 = lim 0 = = 6. 2 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin + 4 sin 2 sin 2 cos + 8 cos 2 cos Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
52 L'Hôpital-szabály M Aszimptotikusan: log < hatvány, polinom < ep függvény. ln P Legyen k > 0, ekkor lim = 0. k ln M lim k = lim = lim 1/ k k 1 1 k k = 0. P n > 0 egész, ekkor lim M n lim e n n 1 = lim = lim =... = lim e n(n 1) n 2 n! e n e = 0. e Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57 = 0.
53 L'Hôpital-szabály P lim (1 + ) 1 = e. 0 M lim (1 + ) 1 0 P lim = e lim 0 1 ln(1+) = e lim 0 ln(1+) = e lim 0 = e ( k ) = e k (k R) M k = 0 esetén 1 e 0 = 1, trivi. ( ) ( ( lim 1 + k = lim 1 + k ( ( ) ) k 1 + k k = lim k 0 = e k. ) ) k k Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
54 L'Hôpital-szabály P M lim 0 + ln ln = lim 0 + 1/ = lim 0 + 1/ 1/ 2 = lim 0 + = 0. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
55 L'Hôpital-szabály A L'Hôpital-szabály hibás alkalmazásai 1. csak határozatlan alakokra használható (0/0, / ) sin L P lim H cos sin = lim = 1, miközben lim = = Fontos, hogy létezzen az f () lim a g () határérték! + sin() L P lim H 1 + cos = lim. A bal oldal határértéke 1, míg a 1 jobb oldalnak nem léztezik határértéke! Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
56 L'Hôpital-szabály 0 0 Feltételek lim f a lim g a 0 0 lim a f g = lim a Átalakítás 1/g 1/f 0 0 lim fg = lim a a f 1/g 1/g 1/f lim(f g) = lim a a 1/(fg) lim f g = e lima g ln f ln f lima 1/g = e a 0 0 Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
57 L'Hôpital-szabály Amit tudni kell széls értéktétel (Weierdtarass) lokális széls érték és a derivált 0 voltának kapcsolata Rolle és Lagrange-féle középértéktétel és az utóbbi két következménye szigorú monotonitás és a derivált kapcsolata a derivált el jelváltása és a széls érték kapcsolata f f konveitása és f szigorú monotonitásának kapcsolata konveitása és f el jele közti kapcsolat ineiós pont lézetése és f nulla volta közti kapcsolat második derivált és a lokális széls érték kapcsolata határozatlan alakok L'Hospital-szabály log, hatvány, polinom, ep függvények aszimptotikus viselkedése Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai november / 57
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Függvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
A gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Függvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
Matematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei
Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.
6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mit értünk eponenciális üggvényen? Adjon példát alulról korlátos szigorúan monoton csökkenő eponenciális üggvényre.
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
Vizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
A fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Függvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
A Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI
FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést
Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok
Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,
Gazdasági Matematika I. Megoldások
. (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont
Egyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Függvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.
Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
Teljes függvényvizsgálat
Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig 1000 10 P D P. A P teljes
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Dierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
II. rész. Valós függvények
II. rész Valós függvények Feladatok 3 4 3.. Értelmezési tartomány Határozza meg a következ függvények értelmezési tartományát! 3.. y = + + 3.. 3.4. 3.6. y = y = 3 y = + 3 ln 5 4 3.3. 3.5. 3.7. y = 3 +
Tartalomjegyzék Bevezető feladatok Taylor polinom Bevezető feladatok Taylor polinomok...
Tartalomjegyzék 3. Valós függvények 3.. Valós függvények............................... 3 3... Bevezető feladatok.......................... 3 3... Határérték............................... 5 3..3. Függvény
Konvexitás, elaszticitás
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának
Elemi függvények, függvénytranszformációk
Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :
Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
Hatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
f x 1 1, x 2 1. Mivel > 0 lehetséges minimum. > 0, így f-nek az x 2 helyen minimuma van.
159 5. SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁS = + 1, R + 1 f = 1 R +,, f = R +, 1 Az 1 = 0 egyenlet gyökei : 1 1, 1. Mivel ezért az 1 helyen van az f-nek minimuma. 5.1. f f 1 0, 5.. Legyen az egyik szám, a másik pedig A.
Nagy Krisztián Analízis 2
Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...
Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
Függvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!
Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
Matematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
Abszolútértékes egyenlôtlenségek
Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,
Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
Sorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények
1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási
Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)
Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével
Függvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Inverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
Módszerek széls érték feladatok vizsgálatára
Módszerek széls érték feladatok vizsgálatára Szakdolgozat Írta: Muhari Ágnes Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Dr. Kós Géza egyetemi adjunktus Analízis Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi
Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4
Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!
Határozott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak
ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak I. modul: Dierenciálszámítás alkalmazásai lecke: Konveitás, elaszticitás Tanulási cél: A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket
Teljes függvényvizsgálat példafeladatok
Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss
Injektív függvények ( inverz függvény ).
04 október 6 3 Függvényábrázolások, Függvények kompozíciója ( összetett üggvény ), Bev Mat BME Injektív üggvények ( inverz üggvény ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : 3 y y 5
f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)
Mgyr Eszter. tétel Függvények vizsgált elemi úton és dierenciálszámítás elhsználásávl Függvény: H egy A hlmz minden eleméhez hozzárendelünk egy B hlmz egy-egy elemét, kkor egy A-ból B-be rendelı üggvényt
Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Egyváltozós függvények differenciálszámítása
Egyváltozós függvények differenciálszámítása Egyváltozós függvények differenciálszámítása Ebben a részben I egy tetszőleges, pozitív hosszúságú, intervallumot jelöl. Egyváltozós függvények differenciálszámítása
HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
![1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!](/thumbs/54/33263341.jpg "1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!")
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás