Elemi függvények, függvénytranszformációk

Átírás

1 Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

2 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: : A B Elnevezések: Értelmezési tartomány: A, Jel.: D Képhalmaz: B Értékkészlet: B azon elemei, amelyeket hozzárendel az A elemeihez. Jel.: R Függvények jellemzése: (valós-valós üggvényekre) Zérushely: az értelmezési tartomány olyan 0 eleme, melyre ( 0 ) = 0 ( a üggvény graikonja ebben a pontban metszi vagy érinti az tengelyt). Szélsőérték: maimum vagy minimum, mindkettő lehet abszolút (globális) szélsőérték, vagy lokális szélsőérték. Elemi v-ek, v.tr.-k/2

3 Függvénytani alapogalmak (olyt.) Monotonitás: Egy üggvény egy intervallumon monoton növekvő, ha az intervallumon értelmezve van, és ha az intervallumbeli 1 és 2 pontokra 1 2 teljesül, akkor ( 1 ) ( 2 ). Hasonlóan értelmezhető: egy intervallumon monoton csökkenő egy intervallumon szigorúan monoton növekvő egy intervallumon szigorúan monoton csökkenő üggvény. Megjegyzés: az intervallum lehet az egész értelmezési tartomány is. Periodicitás: Egy üggvény periodikus, ha van olyan c 0 szám, melyre teljesül, hogy ha D, akkor c D is teljesül és ( c) = (). Az ilyen tulajdonságú c számok közül a legkisebbet ha létezik az üggvény periódusának hívjuk. Elemi v-ek, v.tr.-k/3

4 Függvénytani alapogalmak (olyt.) Paritás: paritás szempontjából a üggvények háromélék lehetnek: páros páratlan se nem páros, se nem páratlan. Az üggvény páros, ha D esetén D is teljesül és ( ) = (). A páros üggvények graikonja szimmetrikus az y tengelyre. Az üggvény páratlan, ha D esetén D is teljesül és ( ) = (). A páratlan üggvények graikonja szimmetrikus az origóra. Elemi v-ek, v.tr.-k/4

5 Konstans üggvény : R R, c vagy ( ) c, R D = R, R = {c} graikonja az tengellyel párhuzamos egyenes zérushely: ha c = 0, akkor R ha c 0, akkor nincs Elemi v-ek, v.tr.-k/5

6 Elsőokú üggvény : R R, m b vagy ( ) m b, R, ( m 0) b D = R, R = R graikonja egyenes, amely az y tengelyt b-nél metszi és meredeksége m zérushely: =b/m ab monotonitás: ha m0: szig. mon. növekedő R-en, ha m0: szig. mon. csökkenő R-en. Elemi v-ek, v.tr.-k/6

7 Másodokú üggvény : R R, 2 vagy ( ) 2, R D = R, R = [0, ), graikonja normálparabola zérushely: =0 monotonitás: (-, 0-en szig. mon. csökken, [0, )-en szig. mon. nő. abszolút minimum: helye: =0 értéke: y=(0)=0 páros üggvény Elemi v-ek, v.tr.-k/7

8 Harmadokú üggvény : R R, 3 vagy ( ) 3, R D = R, R =R zérushely: =0 monotonitás: szig. mon. nő R-en páratlan üggvény Elemi v-ek, v.tr.-k/8

9 Gyöküggvény : R 0 R, vagy ( ), 0 D = [0, ), R = [0, ), zérushely: =0 monotonitás: szig. mon. nő [0, ) -en abszolút minimum: helye: =0 értéke: y=(0)=0 Elemi v-ek, v.tr.-k/9

10 Köbgyök-üggvény : R R, 3 vagy ( ) 3, R D = R, R =R zérushely: =0 monotonitás: szig. mon. nő R-en páratlan üggvény Elemi v-ek, v.tr.-k/10

11 Abszolútérték-üggvény : R R, vagy ( ), R D = R, R = [0, ), zérushely: =0 monotonitás: (-, 0-en szig. mon. csökken, [0, )-en szig. mon. nő. abszolút minimum: helye: =0 értéke: y=(0)=0 páros üggvény Elemi v-ek, v.tr.-k/11

12 : R Lineáris törtüggvény \ 0 1 R, vagy ( ) 1, R \ 0 D = R\{0}, R = R\{0}, zérushely: nincs monotonitás: (-, 0)-n szig. mon. csökken, (0, )-en szig. mon. csökken. páratlan üggvény Elemi v-ek, v.tr.-k/12

13 Eponenciális üggvény : R R, a vagy ( ) a, R a 0, a 1 D = R, R = R +, zérushely: nincs monotonitás: ha a>1: szig. mon. nő, ha 0<a<1: szig. mon. csökken. Elemi v-ek, v.tr.-k/13

14 Logaritmus üggvény a : R R, 0, a 1 log a vagy ( ) log a, R D = R +, R = R, zérushely: =1 monotonitás: ha a>1: szig. mon. nő, ha 0<a<1: szig. mon. csökken. Elemi v-ek, v.tr.-k/14

15 Szinuszüggvény ( ) sin, R D = R, R = [-1, 1, zérushely: =k, kz monotonitás: [/2+2k, 3/2+2k-n szig. mon. csökken, [-/2+2k, /2+2k-n szig. mon. nő. abszolút maimum: helye: = /2+2k értéke: y=1 abszolút minimum: helye: = 3/2+2k értéke: y=1 páratlan üggvény periodikus, periódusa: 2 Elemi v-ek, v.tr.-k/15

16 Koszinuszüggvény ( ) cos, R D = R, R = [-1, 1, zérushely: =/2+k, kz a monotonitás: [2k, +2k-n szig. mon. csökken, [+2k, 2+2k-n szig. mon. nő. abszolút maimum: helye: = 2k értéke: y=1 abszolút minimum: helye: = +2k értéke: y=1 páros üggvény periodikus, periódusa: 2 Elemi v-ek, v.tr.-k/16

17 Tangensüggvény ( ) tg, k, k 2 Z D =R \ {/2+k kz}, R = R, zérushely: =k, kz monotonitás: (-/2+k, /2+k)-n szig. mon. nő. páratlan üggvény periodikus, periódusa: Elemi v-ek, v.tr.-k/17

18 Kotangensüggvény ( ) ctg, k, k Z D = R \ {k kz}, R = R, zérushely: =/2+k, kz monotonitás: (k, +k)-n szig. mon. csökken. páratlan üggvény periodikus, periódusa: Elemi v-ek, v.tr.-k/18

19 Függvénytranszormációk Változó transzormációk 1. () (+c) 2. () () 3. () (a), a>0 4. () ( ) Függvényérték transzormációk 1. () ()+c 2. () () 3. () a(), a>0 4. () () Elemi v-ek, v.tr.-k/19

20 Változó transzormációk 1. () (+c) A graikon az tengely mentén c-vel eltolódik. Elemi v-ek, v.tr.-k/20

21 Változó transzormációk (olyt.) 2. () () A graikon az y tengelyre tükröződik. Elemi v-ek, v.tr.-k/21

22 Változó transzormációk (olyt.) 3. () (a), a > 0 A graikon az tengely mentén 1/a-szorosára változik: ha 0<a<1, akkor nyúlik, ha a>1, akkor zsugorodik. Elemi v-ek, v.tr.-k/22

23 Változó transzormációk (olyt.) 4. () ( ) A üggvény graikonjának y tengelytől balra eső részét elhagyjuk, az y tengelytől jobbra eső részt megőrizzük, és tükrözzük az y tengelyre. Trigonometria/23

24 Függvényérték transzormációk 1. () ()+c A graikon az y tengely mentén c-vel eltolódik. Elemi v-ek, v.tr.-k/24

25 Függvényérték transzormációk (olyt.) 2. () () A graikon az tengelyre tükröződik. Elemi v-ek, v.tr.-k25

26 Függvényérték transzormációk (olyt.) 3. () a(), a>0 A graikon az y tengely mentén a-szorosára változik: ha 0<a<1, akkor zsugorodik, ha a>1, akkor nyúlik. Elemi v-ek, v.tr.-k/26

27 Függvényérték transzormációk (olyt.) 4. () () A graikon tengely alatti része tükröződik az tengelyre. Elemi v-ek, v.tr.-k/27