Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Átírás

1 TÁMOP / A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, 010. június

2 Az óra jellemzői: Osztály: 11. Tantárgy: Matematika Téma: trigonometria Az óra címe: trigonometrikus függvények és transzformációik Az óra típusa: ismétlő, rendszerező Felhasznált segédanyagok: fénymásolt lap vonalzó, táblafilcek, számológép GeoGebra matematikai program Microsoft Office PowerPoint 003 Projektor Az óra előzményei: A tananyag helye a tematikában: A 11. évfolyamban tanítjuk a függvények témakörében belül. Az ide tartozó feladatok a szögfüggvények ismeretére épülnek, ismerni kell a függvénytani fogalmakat, függvény transzformációs lépéseket. Az ábrázolás során szükség lehet algebrai műveletekre, esetlegesen értéktáblázat készítése során, illetve zérushely, függvényértékek megállapításakor (egyszerű trigonometrikus egyenletek). A tanulók előzetes ismeretei: Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények kiterjesztése. Forgásszög szögfüggvényei, trigonometrikus függvények. Függvény grafikonjának transzformációi

3 Az óra célja, követelményei: 1. Kognitív (értelmi) célok Ismeret szintjén: A tanulók ismerjék a tananyaggal kapcsolatos fogalmakat. Ezeket tudják felidézni. Ismerjék fel és alkalmazzák a trigonometria és a függvénytranszformáció legfontosabb ismereteit. Megértés szintjén: Tudják értelmezni az összefüggéseket és ezeket saját szavaikkal is tudják megfogalmazni. Tudjanak megfogalmazni fizikai, kémiai, biológiai törvényszerűségeket. Alkalmazás szintjén: Lássák meg a problémákat, próbálkozzanak ezek megoldásával. Használják a matematikai jeleket, szimbólumokat.. Affektív (érzelmi-akarati) célok Odafigyelés szintjén: A matematika iránti érdeklődés kialakítása, fenntartása. Reagálás szintjén: Aktív részvétel a tanórai munkában. Együttműködés fejlesztése. Az értékrendet tükröző viselkedés szintjén: Pontos, esztétikus munkavégzés. 3. Pszichomotoros (mozgásos) célok A feladatok megoldásának világos, áttekinthető rögzítése. Az eszközök vonalzó, körző, számológép pontos, helyes használata. Közvetlen tanórai célok Az óra a középszintű érettségire való felkészülést segíti. Tudják a szögfüggvények általános definícióját. A trigonometrikus függvények (sin x, cos x, tg x) ábrázolása és jellemzése. Tudjanak néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx) ]. 3

4 Az óra felépítése I. Jelentés, óraszervezés II. Ismeretek, képletek összefoglalása, rendszerezése III. Feladatok IV. Összefoglalás V. Értékelés, házi feladat kijelölése Szakmai gondolatmenet és munkafázisok Tanári, tanulói tevékenységek, munkaformák és módszerek I. Jelentés, óraszervezés jelentés, naplóbeírás napló Eszközök és feltételek II. Cím: Trigonometrikus függvények és transzformációik 1. Forgásszögek szögfüggvényeinek definíciója Minden valós számnak, mint radiánban (vagy fokban) megadott szögnek létezik szinusza, illetve koszinusza, valamint minden szöghöz pontosan egy szinusz-, illetve koszinuszérték tartozik. Vizsgáljuk meg, hogy a forgásszögek szögfüggvényeit hogyan értelmezzük a koordináta-rendszerben! (A definíció összhangban van a hegyesszögeknél tanultakkal!). Alapfüggvények grafikonjai Ismételjük át a sin x, cos x, tg x és ctg x a függvények a grafikonját, illetve legfontosabb tulajdonságaikat! a) f(x) = sin (x) 1. É.T.: R. É.K.: [ 1; 1] frontális munka önálló feladatmegoldás, (esetleg csoportokban), közös ellenőrzés szögfvek kiterjesztése feladatlap projektor projektor 3. Zérushely: sin x = 0 x = k, k Z 4. Periódus: 5. Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő: + l x l +, l Z Szigorúan monoton csökkenő: m + x 3 + m, m Z feladatlap projektor számológép 4

5 6. Szélsőérték: Maximumhely: x = n +, n Z Maximumérték: sin x = 1 Minimumhely: x = 3 + s, s Z Minimumérték: sin x = 1 7. Paritás: Páratlan, mert sin x = sin ( x) b) f(x) = cos (x) 1. É.T.: R. É.K.: [ 1; 1] 3. Zérushely: cos x = 0 x = + k, k Z 4. Periódus: 5. Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: l x + l, l Z Szigorúan monoton növekvő: + m x + m, m Z 6. Szélsőérték: Maximumhely: x = n, Maximumérték: cos x = 1 n Z Minimumhely: x = + s, Minimumérték: cos x = 1 s Z 7. Paritás: Páros, mert cos x = cos x Geogebra prg. Táblafilc c) f(x) = tg (x) 1. ÉT: R\ + k, k Z. ÉK: R 3. Zérushely: tg x = 0 x = l, l Z 4. Periódus: 5. Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő: + m < x < + m, m Z 6. Szélsőérték: Nincs 7. Paritás: Páratlan, mert tg x = tg ( x) 5

6 d) f(x) = ctg (x) 1. ÉT: R\{ + k}, k Z. ÉK: R 3. Zérushely: ctg x = 0 x = + l, l Z 4. Periódus: 5. Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: m < x < + m, m Z 6. Szélsőérték: Nincs 7. Paritás: Páratlan, mert ctg x = ctg ( x) 3. Transzformációs lépések A gyakorlatban sokszor nem egyszerű sin x vagy cos x függvény fordul elő, hanem ennél bonyolultabb, összetettebb alakokkal találkozunk, amelyek az alapfüggvényekből bizonyos függvénytranszformációval származtathatók. Műveletek és transzformációs lépések: f(x) = sin (x) alapfüggvény f(x) c = sin (x) y tengely menti eltolás frontális munka fvtranszform c f(x) = sin (x) y tengely menti nyújtás / zsugorítás f(x - c) = sin (x 4 ) x tengely menti eltolás f(c x) = sin (x) x tengely menti nyújtás / zsugorítás (periódus!) III. Feladatok 4. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket A: f(x) = cos (x) B: f(x) = sin (x) C: f(x) = sin (x + 4 ) szakértői mozaik alkalmazása transzformálások D: f(x) = cos (x) 5. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényt önálló ábrázolás közös ellenőrzéssel Geogebra, táblafilc f(x) = 4 cos x jellemzés közösen, a kivetített ábra alapján egy-egy jellemzőt egy-egy 5. feladat Geogebra, táblafilc 6

7 V. Összefoglalás A tanulóknak sokszorosított, kiosztott lap alapján. (függvénytranszformációk.pdf) VI. Értékelés, házi feladat kijelölése Házi feladat: A: f(x) = cos (x) + 1 B: f(x) = cos (x) C: f(x) = sin (x 4 ) D: f(x) = tg(x) + diák ismertet a táblánál frontális munka Értékelem az osztály munkáját, megdicsérem a jól teljesítőket. feladatlap 7