Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Átírás

1 TÁMOP / A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Egyenesek MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette: Nagy András Vasvár, június

2 Az óra jellemzői: Osztály: 11. Tantárgy: Matematika Téma: koordináta geometria Az óra címe: Az egyenes Az óra típusa: összefoglaló, rendszerező Felhasznált segédanyagok: fénymásolt feladatlap vonalzó, táblafilcek, számológép GeoGebra matematikai program Microsoft Office PowerPoint 2003 Projektor Az óra előzményei: A tananyag helye a tematikában: A 11. évfolyamban tanítjuk a koordinátageometriát a geometrián belül. Az ide tartozó feladatok elemi síkgeometriai ismeretekre épülnek, hiszen legtöbb feladat megfogalmazása ezen a nyelven történik. A megoldás során azonban algebrai ismeretek szükségesek. Az egyszerűbb feladatok megoldása viszonylag könnyű, mert ezekhez recept adható. Az összetettebb feladatok megoldása nehézséget okozhat, hiszen a matematika különböző területeinek ismereteit kell felhasználni, azokat ötvözni. A tanulók előzetes ismeretei: Egyenletek, egyenletrendszerek megoldása, Pitagorasz-tétel alkalmazása, számtani közép, szögfüggvények. Egyenesek kölcsönös helyzete, illeszkedés, merőlegesség, párhuzamosság. Háromszög nevezetes pontjai. Műveletek vektorokkal, két pont távolsága. Skaláris szorzat, két vektor hajlásszöge. Szakasz osztópontjának koordinátái. Egyenest jellemző adatok és azok kapcsolata. Egyenes normál- 2

3 és irányvektoros egyenlete, iránytényezős egyenlete. Egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei. Egyenesek metszéspontjainak koordinátái. Az óra célja, követelményei: 1. Kognitív (értelmi) célok Ismeret szintjén: A tanulók ismerjék a tananyaggal kapcsolatos fogalmakat. Ezeket tudják felidézni. Ismerjék fel és alkalmazzák a koordinátageometria legfontosabb ismereteit. Megértés szintjén: Tudják értelmezni az összefüggéseket és ezeket saját szavaikkal is tudják megfogalmazni. Tudják levezetni a megoldás főbb lépéseit. Alkalmazás szintjén: Lássák meg a problémákat, próbálkozzanak ezek megoldásával. Használják a matematikai jeleket, szimbólumokat. 2. Affektív (érzelmi-akarati) célok Odafigyelés szintjén: A matematika iránti érdeklődés kialakítása, fenntartása. Reagálás szintjén: Aktív részvétel a tanórai munkában. Együttműködés fejlesztése. Az értékrendet tükröző viselkedés szintjén: Pontos, esztétikus munkavégzés. 3. Pszichomotoros (mozgásos) célok A feladatok megoldásának világos, áttekinthető rögzítése. Vázlatrajz készítése, mely alkalmas a megoldás menetének követésére. Az eszközök vonalzó, körző, számológép pontos, helyes használata. Közvetlen tanórai célok Az óra a középszintű érettségire való felkészülést segíti. Tudják a tanulók egyenes egyenleteit felírni, egyenletből egyenest meghatározó adatokat megállapítani. Tudják egyenesek metszéspontjait meghatározni, egyenesek egyenleteivel, azok kölcsönös helyzetével kapcsolatos feladatokat megoldani, illetve ezeket az ismereteket felhasználni összetett feladatok megoldásánál. 3

4 Az óra felépítése I. Jelentés, óraszervezés II. Házi feladat ellenőrzése III. Ismeretek, képletek összefoglalása, rendszerezése IV. Feladatok V. Összefoglalás VI. Értékelés, házi feladat kijelölése Szakmai gondolatmenet és munkafázisok Tanári, tanulói tevékenységek, munkaformák és módszerek I. Jelentés, óraszervezés jelentés, naplóbeírás napló Eszközök és feltételek II. Házi feladat ellenőrzése Az előző órán kapott házi feladat: adott agy háromszög három csúcsa A(-1;2), B(3;-2) és C(2;3). Határozd meg a súlypontját! Tükrözd a háromszöget a C csúcspontra! Mik a kapott csúcsok koordinátái? Az eredeti és a kapott pontok milyen alakzatot határoznak meg? Megoldás: S ; = ; A BB ' felezési pontja C. Legyen B (x,y) x + 3 y 2 2= x = 1 és 3= y = 8, tehát B (1;8) 2 2 Az AA ' felezési pontja C. Legyen A (x,y) x 1 y + 2 2= x = 5 és 3= y = 4, tehát A (5;4) 2 2 A kapott alakzat paralelogramma. III. Cím: Összefoglalás: az egyenes Ismeretek, képletek összefoglalása, rendszerezése 1.A síkgeometriai fogalmaknak milyen koordinátageometriai fogalmak felelnek meg? síkgeometria pont egyenes illeszkedés közös pont(ok) Koordinátageometria rendezett számpár P(x;y) elsőfokú, kétismeretlenes egyenlet: Ax+By = Ax 0 +By 0 egyenlet gyöke (megoldása) egyenletrendszer megoldása(i) (1. táblakép) közös ellenőrzés, a felmerülő kérdések megválaszolása kapcsolat a síkgeometria és a koordinátageometria között frontális munka házi feladat egyenesek feladatlap projektor 4

5 Az fogalmak koordinátageometriai megfelelőit a diákok mondják, közben a táblára kivetítve a helyes válaszok is megjelennek. 2.Milyen adatokkal jellemezhetők az egyenesek? normálvektor n(a;b) feladatlap projektor iránytangens (iránytényező) m irányszög α irányvektor v(v 1 ;v 2 ) (2. táblakép) A táblára vetítem a jellemzőket és a közöttük lévő összefüggéseket. 3. Az eddigiek alapján töltsük ki a táblázatot: n v m α e (2;-1) (1;2) 2 63,43 3 f (-3;5) (5;3) 5 30,96 g (3;-2) (2;3) 1,5 56,31 h (4;3) (-3;4) ,13 i (7;0) (0;7) 90 (3. táblakép) A diákok önállóan oldják meg a feladatot, közösen ellenőrizzük a megoldást. A táblázat egyes sorai hány egyenest határoznak meg? Válasz: végtelen sokat. Mire van még szükségünk, hogy az egyenes adott legyen? Válasz: egy pontjára az egyenesnek. Nézzük meg az olyan f és az i egyenesek képét, amelyek illeszkednek az (1;3) pontra. Kivetítem az egyenesek képeit azok jellemzőivel együtt. (4. és 5. táblakép) IV. Feladatok 4. Alapadatokból írjunk fel egyenesek egyenleteit! Mindegyik esetben kérem az általános alakot és a behelyettesítést is. a) n(5;2), P 0 (3;1) Ax+By=Ax 0 +By 0 5x+2y=17 b) v(1;4) P 0 (-2;5) v 2 (x-x 0 )=v 1 (y-y 0 ) önálló feladatmegoldás, közös ellenőrzés egy-egy tanuló a táblánál oldja meg a feladatot feladatlap projektor számológép Geogebra prg. táblafilc 5

6 4(x+2)=1(y-5) 4x-y=-13 c) m=2, P y (0;-3) y=mx+b y=2x-3 5. Mondj egy egyenest! a lineáris függvény és az egyenes iránytényezős egyenletének kapcsolata Mit kérek? Válasz: kétismeretlenes elsőfokú egyenletet. Az egyenlet valóban egyenes egyenlete? Miért? Válasz: a kétismeretlenes elsőfokú egyenlet egyértelműen meghatároz egy egyenest. Egy tanuló által megadott egyenletet felírom a táblára és ebből meghatározunk egyenesre jellemző adatokat. állapítsuk meg a normálvektorát! állapítsuk meg az irányvektorát! állapítsuk meg az iránytényezőjét és irányszögét! állapítsuk meg a normálvektorát! állapítsuk meg tengelymetszeteit! A kiszámított adatok alapján az egyenest, adataival együtt kivetítem. (6. táblakép) az egyenes és a kétismeretlenes elsőfokú egyenlet kapcsolata az kért adatokat önállóan meghatározzák, közösen ellenőrizzük 5. feladat Geogebra, táblafilc Tudjuk, hogy a P(3;y) és a Q(x;200) pontok az egyenesre illeszkednek. Határozzuk meg a hiányzó koordinátákat! Megoldás: az egyenes egyenletébe behelyettesítve a P illetve a Q pont ismert koordinátáit, a kapott egyenleteket megoldva kapjuk meg a hiányzó koordinátákat. egy-egy tanuló oldja a feladatot a táblánál táblafilc 6.Írjuk fel e és f egyenesek egyenleteit, ha e illeszkedik A(-1;4) és B(3;2) pontokra, valamint e f és f illeszkedik C(3;7)-re! Mivel célszerű kezdeni a feladatmegoldást? Válasz: ábrával. Megoldás: v e = AB =(4;-2) ~ (2;-1) -1(x-3) = 2(y-2) -x+3 = 2y-4 -x-2y = -7 e: x+2y = 7 v e =n f, mert e f 2x-y = f: 2x-y = -1 Határozzuk meg a két egyenes metszéspontját! Megoldás: x + 2y = 7 2x y = 1 / 2 önálló feladatmegoldás elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer 6. feladat 6

7 x + 2y = 7 (1)+(2) 4x 2y = 2 5x = 5 x = 1 y = 3 A két egyenes metszéspontja: M(1;3) (7. táblakép) Illeszkedik-e az e egyenesre a P(571;-280) illetve a Q(-97;52) pont? Hogyan vizsgáljuk meg az illeszkedést? Válasz: megoldása-e a pontot meghatározó számpár az egyenletnek? Megoldás: (-280) 7 P nem illeszkedik =7 Q illeszkedik. egyenlet megoldásának ellenőrzése egy-egy tanuló oldja a feladatot a táblánál 7. Egy háromszög csúcsai A(-2;4), B(5;7) és C(3;-2). Írjuk fel az m a magasságvonal egyenletét! Milyen hosszú az s b súlyvonal? Megoldás: n m a = CB =(2;9) 2x+9y = 2 (-2)+9 4 m a : 2x+9y = 32 s b = F b B F b = ; = ; F b B = ( 5 ) + (7 1) = 56, 25 = 7,5 2 A súlyvonal hossza 7,5 hosszúságegység. (8. táblakép) V. Összefoglalás Normálvektoros egyenlet: Ax+By=Ax 0 +By 0, ahol: (x;y) futópont, (x 0 ;y 0 ) az egyenes rögzített pontja, (A;B) az egyenes normálvektora. Irányvektoros egyenlet: v 2 (x-x 0 )=v 1 (y-y 0 ), ahol: (v 1 ;v 2 ) az egyenes irányvektora. Iránytényezős egyenlet: y=mx+b, ahol: m az egyenes irányszögének tangense, b annak a pontnak az ordinátája (második megoldási terv közös megbeszélése önálló feladatmegoldás közös ellenőrzés a táblakép alapján frontális munka 7. feladat Geogebra feladatlap 7

8 koordinátája) ahol az egyenes metszi az y tengelyt, P y (0;b). Speciális egyenesek: x=x 0 az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, pl.: x=3. Az y tengely egyenlete: x=0 y=y 0 az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, pl.: y=-2. Az x tengely egyenlete: y=0 Irányszög, iránytényező: 0 α 90. Az y tengellyel párhuzamos egyenesek irányszöge 90, de iránytangense nincs (tg 90 nem értelmezett)! Párhuzamosság, merőlegesség: két egyenes párhuzamos, ha: A1 A2 m 1 =m 2 vagy = vagy n 1 = λ n 2 vagy v 1 = λ v 2, B1 B2 ahol λ R\{0}. két egyenes merőleges, ha: A1 B2 m 1 m 2 =-1 vagy = vagy n 1 = λ v 2 vagy v 1 = λ n 2, B1 A2 ahol λ R\{0}. Két egyenes közös pontja(i): Az egyenesek egyenleteiből felírt egyenletrendszer megoldása(i), rendezett számpár(ok). VI. Értékelés, házi feladat kijelölése Házi feladat: Adott az e: x+y=4 és f: 4x-y=11 egyenes. Írd fel annak a körnek az egyenletét melynek középpontja a két egyenes metszéspontja és a kör egy pontja P(5;2)! Értékelem az osztály munkáját, megdicsérem a jól teljesítőket. 8

9 Táblaképek: 1. táblakép 2. táblakép 3. táblakép 4. táblakép 9

10 5. táblakép 6. táblakép (lehetséges) 7. táblakép 8. táblakép 10

11 Diákoknak kiosztott lap: 11

12 Összefoglalás Normálvektoros egyenlet: Ax+By=Ax 0 + By 0, ahol: (x;y) futópont, (x 0 ;y 0 ) az egyenes rögzített pontja, (A;B) az egyenes normálvektora. Irányvektoros egyenlet: v 2 (x-x 0 )=v 1 (y-y 0 ), ahol: (v 1 ;v 2 ) az egyenes irányvektora. Iránytényezős egyenlet: y=mx + b, ahol: m az egyenes irányszögének tangense, b annak a pontnak az ordinátája (második koordinátája) ahol az egyenes metszi az y tengelyt P y (0;b). Speciális egyenesek: x = x 0 az y tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, pl.: x = 3. Az y tengely egyenlete: x = 0. y = y 0 az x tengellyel párhuzamos egyenes egyenlete, pl.: y = -2. Az x tengely egyenlete: y = 0. Irányszög, iránytényező: 0 α 90. Az y tengellyel párhuzamos egyenesek irányszöge 90, de iránytangense nincs (tg 90 nem értelmezett)! Párhuzamosság, merőlegesség: két egyenes párhuzamos, ha: A1 A2 m 1 =m 2 vagy = vagy n 1 = λ n 2 vagy v 1 = λ v 2, ahol λ R\{0}. B B 1 2 két egyenes merőleges, ha: A1 B2 m 1 m 2 =-1 vagy = vagy n 1 = λ v 2 vagy v 1 = λ n 2, ahol λ R\{0}. B A 1 2 Két egyenes közös pontja(i): Az egyenesek egyenleteiből felírt egyenletrendszer megoldása(i), rendezett számpár(ok). 12