I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
|
|
- Fanni Magyar
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex számok: z = + i, z = i, z = i. Határozza meg az alábbiakat: (a) + i (b) i (c) i (d) + i (e) (f) + (g) 5 + i (h) 5i (i) + i (j) 5 i (k) 5 i (l) 6 (m) 6 (n) + 5 i (o) 5 i (p) i (q) i (r) 5 i (s) 5 i (t) 5 i (u) () Legyen z = (cos 60 + i sin 60 ) valamint z = (cos 0 + i sin 0 ). Határozza meg az alábbiakat: (a) (b) (c) 6(cos 80 + i sin 80 ) (d) (cos 00 + i sin 000 ) (e) (cos 80 + i sin 80 ) (f) (cos 60 + k 60 + i sin 60 + k 60 ) k = 0,, (0, 0, 60 ) (g) (cos 0 + k 60 + i sin 0 + k 60 ) k = 0,,, (0, 0, 0, 00 ) (h) 6(cos 80 + k 60 + i sin 80 + k 60 ) k = 0, (90, 70 ) () Töltse ki az alábbi táblázatot: Algebrai alak Trigonometrikus alak + i (cos 5 + i sin 5 ) i (cos 00 + i sin 00 ) + i (cos 5 + i sin 5 ) (cos 0 + i sin 0 ) i (cos 90 + i sin 90 ) (5) Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán: (a) z = 8 + i (b) z = + i, z = i (c) z = + i,z = (d) z =, z = (e) z = i, z = i (f) z = 6 (cos 5 + k 60 + i sin 5 + k 60 ) k = 0,, (5, 65, 85 ) (g) z = 0(cos 7, 57 + k 60 + i sin 7, 57 + k 60 ) k = 0,,,,, (, 9, 7, 9,, 9, 9, 9, 5, 9,, 9 ) (h) z,, = (cos 90 + k 60 z,5,6 = (cos 70 + k 60 (i) z,,, = (cos 90 + k 60 z 5,6,7,8 = 8 (cos 5 + k 60 (j) z,, = (cos 90 + k 60 z,5,6 = (cos 5 + k 60 (6) Végezze el a kijelölt műveleteket: + i sin 90 + k 60 ) k = 0,, (0, 50, 70 ) + i sin 70 + k 60 ) k = 0,, (90, 0, 0 ) + i sin 90 + k 60 ) k = 0,,, (, 5,, 5, 0, 5, 9, 5 ) + i sin 5 + k 60 ) k = 0,,, (, 5, 0, 5, 9, 5, 8, 5 ) + i sin 90 + k 60 ) k = 0,, (0, 50, 70 ) + i sin 5 + k 60 ) k = 0,,, (5, 5, 55 )
2 (a) + i (b) (cos 00 + k 60 (c) (cos 75 + i sin 75 ) (d) + i + i sin 00 + k 60 ) k = 0,, (00, 0, 0 ) (e) + 5 i (7) Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán: (a) z = + 7i (b) z = i (c) z = 7 i (d) z = 5 7 i (e) z = 0, z = i, z = i, z = (f) z = 0, z =, z = + i i i, z = (g) z = i, z = i (h) z = i, z = i (8) Határozza meg az alábbi komplex számok trigonometrikus alakját: (a) z = (cos 5 + i sin 5 ) (b) z = (cos 5 + i sin 5 ) (c) z = (cos 5 + i sin 5 ) (d) z = (cos 0 + i sin 0 ) (e) z = cos 60 + i sin 60
3 () Töltse ki az alábbi táblátatot: II. feladatsor f(x) g(x) f(g(x)) g(f(x)) f(f(x)) sin(x) x sin(x ) sin (x) sin(sin(x)) sin(x) + x + x sin( x) + x + sin x + x + sin(sin(x) + x + ) + sin x + x + + x + x + x x x+ + cos(x) x cos(x ) cos (x) cos(cos(x)) sin(x) x sin( x ) sin(x) sin(sin(x)) lg(x) x + x lg(x + x ) lg (x) + lg(x) lg(lg(x)) arcsin(x) x arcsin( x) arcsin(x) arcsin(arcsin(x)) ln(x) e x x x ln(ln(x)) ln(x) x ln(x ) ln (x) ln(ln(x)) ln(x) ln(x) ln(ln(x)) ln(ln(x)) ln(ln(x)) () Határozza meg a valós számok legbővebb részhalmazát, ahol az alábbi függvények értelmesek: (a) D f =] ; [ ] ; ] [5; [ (b) D f =] ; ] \ { } (c) D f = R \ {} (d) D f = R \ { } (e) D f =] ; [ ]; [ (f) D f = [ ; [ (g) D f =] ; [ (h) Három kikötést kell tenni: arccos(x) értelmezési tartománya: [, ]. Jelölje ezt H. ln(x) értelmezési tartománya: ]0, [. Jelölje ezt H. a nevező nem lehet nulla. Jelölje ezt H. Ezekket: D f = H H \ H Ezeket külön-külön megoldjuk: azaz H = [ ; ] azaz H =] ; [ x + \ x x + > 0 \ x > ln(x + ) 0 = ln a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x + \ x azaz H = { } Vagyis: D f = H H \ H =] ; ] () () Határozza meg az alábbi függvények inverz függvényét, ha létezik: (a) D f = R, R f = R, D f = R, R f = R, f(x) = x + 6 (b) D f = [ ; [, R f = [0; [, D f = [0, [, R f = [, [, f(x) = x 6 (c) D f = R \ { 5}, R f = R \ { 6}, D f = R \ { 6}, R f = R \ { 5}, f(x) = x (d) D f = R, R f =], [, D f =], [, R f = R, f(x) = log (x ) + 7 (e) D f =]5, [, R f = R, D f = R, R f =]5, [, f(x) = 5x (f) D f = R, R f = [, [ de így nem invertálható. D f = [, [, R f = [, [, D f = [, [, R f = [, [, f(x) = x +
4 (g) D f = R \ {}, R f = R \ {}, D f = R \ {}, R f = R \ {}, f(x) = x + (h) D f = [ ; ] = R f, R f = [0; π] = D f, f(x) = ( ( ) ) x π sin + (i) D f = R = R f, R f = [ π ( ; 0] = D f, f(x) = tg x + π ) + (j) D f = R, R f = [ ; ] de így nem invertálható. Leszűkítés pl.: D f = [π; 5π] = R f, R f = [ ; ] = D f, f(x) = arccos(x + ) + π (5) Páros, páraltlan vagy egyik sem az alábbi függvény: (a) f(x) = e x x, f( x) = e x x azaz egyik sem. (b) f(x) = e x sin x, f( x) = e x sin x, azaz páratlan. (c) f(x) = x + cos x +, f( x) = x + cos x +, azaz páros.
5 III. feladatsor () Adja meg az a n = 5n n + sorozat következő elemeit: a =, a = 9 5, a n+ = 5n + n +, a n = () Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából: (a) Szigorúan monoton csökkenő, K = a = 5 k = a n = 0. (b) Szigorúan monoton nő, k = a = K = a n = (c) Se nem csökken, se nem nő. K = k =, a n = 0 5n 6 n 5. (d) A harmadik tagtól kezdve szigorúan monoton csökkenő. K = a = 7 k = a = 0, a n = () Adottak az alábbi konvergens sorozatok. Adja meg a határértéket, és azt a küszöbindexet, amelynél nagyobb indexű tagjai a sorozatnak ε = -nál kisebb hibával közelítik a határértéket! 00 (a) a n =, n 0 = 00 (b) a n =, n 0 = 96 (c) a n =, n 0 = (d) a n =, n 0 = 80 () Határozza meg az alábbi nevezetes sorozatok határértéket: (a) a n = (b) a n = 0 (c) a n = (d) a n = (e) a n = (f) a n = 0 (g) a n = e (h) a n = (i) a n = 0 (j) a n = (k) a n = 0 (l) a n = (5) A nevezetes sorozathatárértékek ismeretével és a műveletekre vonatkozó tételek segítségével határozza meg mely sorozatok konvergensek és mi a határértékük! (a) a n = (b) a n = (c) a n = (d) a n = (6) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = 5 (c) a n = 7 9 (e) a n = 0 (g) a n = (i) a n = (b) a n = 5 (d) a n = 0 (f) a n = 0 (h) a n = (j) a n = 7 (l) a n = (k) a n = 7 (7) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = 5 (c) a n = 5 6 (e) a n = (k) a n = 5 (b) a n = (d) a n = 0 (f) a n = (l) a n = (8) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = (b) a n = (c) a n = (d) a n = 0 (e) a n = (f) a n = 0 (g) a n = (h) a n = (9) Határozza meg a következő sorozatok határértékét:
6 (a) a n = e (c) a n = (e) a n = e (g) a n = e (i) a n = e (k) a n = 0 (m) a n = (o) a n = (q) a n = 0 (s) a n = (b) a n = e (d) a n = (f) a n = e (h) a n = e (j) a n = e 7 (l) a n = 0 (n) a n = (p) a n = e (r) a n = e (t) a n = 0
7 IV. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvényhatárértékeket a függvény grafikonjának ismeretében: (a) x + x = +, x x = (b) x + x = 0, = 0, nem létezik x x x 0 x (c) x + x = 0, = 0, x x x 0 x = + (d) x nem létezik, x = 0 x 0 x 0 + (e) x + x =, x x = 0 ( ) x ( ) x (f) = 0, = + x + x (g) lg x nem létezik, lg x =, x 0 + (h) log x 0 (i) (j) (k) x + x 0 lg x = + x + x nem létezik, log x = +, log x 0 + x + x = sin x nem létezik, sin x nem létezik x tg x = + x π arcsin x = π x +, arcsin x nem létezik, x (l) arctg x = π x +, arctg x = π x (m) arccos x = π, arccos x nem létezik x + x (n) arcctg x = 0, arcctg x = π x + x (o) (p) (q) f(x) = x arcsin x = π { x + ha x x ha x < f(x) =, f(x) = 0, f(x) nem létezik, f(x) = 8 x + x x x f(x) = { x ha x < x ha x f(x) = +, f(x) = +, f(x) nem létezik, f(x) = x + x 0 x x 9 {( ) x f(x) = ha x x ha x < ( f(x) = 0, f(x) =, f(x) = x x x 0, f(x) = x 0 () Határozza meg az alábbi függvények x 0 -beli határértékét: (a) (b) (c) x x f(x) =, x f(x) = f(x) =, x f(x) = f(x) = x, f(x) = x (d) f(x) = 7 x, f(x) = 7 x (e) f(x) = 0, f(x) = 0 x x (f) f(x) =, f(x) = x x (g) (h) f(x) =, f(x) =, f(x) = 5 x x x, f(x) =, f(x) nem létezik x 0 x f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) nem létezik, f(x) = x x x 0 x, f(x) = x, f(x) nem létezik x (i) f(x) = x 0, f(x) = 0, f(x) =, f(x) nem létezik x x x (j) f(x) = nem létezik, f(x) = 0 x x (k) f(x) = 0, f(x) = 0 x x 0 (l) f(x) =, f(x) = x x (m) x 0 f(x) =, x f(x) = 0 )
8 (n) f(x) =, f(x) = x x () Határozza meg az alábbi határértékeket: (a) x 0 x 5 x 5 + x = 5 sin(x) (c) = x 0 x sin 5x (e) x 0 sin 7x = 5 7 e 5x (g) = 5 x 0 7x 7 (b) x 0 x x + x = sin 5x (d) x 0 7x = 5 7 tg 5x (f) x 0 x = 5 e x (h) x 0 sin(x) = ( e x arctg x 0 x ) (i) e x = (j) = π x ( (k) ) 5x ( ) x+ = e 5 x + (l) = e x x + x x + 6 ( ) x+ ( ) x x + (m) = e 5x (n) = e 7 5 x x + x 5x + 7 ( ) x+ ( ) x x + x + 5 (o) = 0 (p) = 0 x x + x 7x ( ) x+ ( ) x x + 5x + (q) = (r) = x x x x + ( x ) x+ ( ) x + x + (s) x x = (t) = x x ( x ) x + + ( x (u) x x = e + x + 0 (v) x x + 0 (w) e x = (x) e x = 0 x 0+ ( ) x 0 (y) arctg = π ( (z) x + x arcsin ) = π x x ) x+ = e
9 V. feladatsor () Adja meg az x 0 helyhez tartozó differenciahányados függvényt, a differenciálhányados értékét a definíció alapján: (a) f(x) = 5, x 0 =, x 0 = d (x) = 5 5 x = 0 f () = 0 d (x) = 5 5 x + = 0 f ( ) = 0 (b) f(x) = x, x 0 =, x 0 = d (x) = x + x x = x f () = d (x) = x + = x f ( ) = (c) f(x) = x + x, x 0 =, x 0 =, x 0 = x 0 = -ban a függvény nincs értelmezve. x + x x d (x) = = + = + f () = + x x x + x + x x d (x) = = + = + f () = + x x x + () Adja meg az alábbi függvények szelő egyeneseinek egyenletét, valamint az érintő egyenesek egyenletét: (a) f(x) = x +, P (0, ), P (, 5) e : y =, e : y = 8x, sz : y = x + (b) f(x) = x, P (, ), P (, ) e : y = x +, e : y = 9 x, sz : y = 6 x + 6 () Határozza meg az alábbi függvények deriváltfüggvényeit: (a) f (x) = 5 x x x (b) f (x) = ( ) x ln cos x (c) f (x) = 6x + x ln (d) f (x) = x + sin x 5 x (e) f (x) = cos x tg x + sin cos x (f) f (x) = e x ln x + e x x (g) f (x) = x ln 0 arcsin x + lg x x (h) f (x) = x lg x + x x ln 0 (i) f (x) = 0x arctg x + x 5 + x (j) f (x) = sin x + ln x cos x x (k) f (x) = cos x (l) f (x) = sin x (m) f (x) = ex sin x e x cos x sin x (n) f cos (x) = x ln x tg x x ln x (o) f (x) = (x ln x )(x + ) ( x x ) (x + ) (p) f (x) = x sin x ( x + 5) cos x 9 sin x (q) f (x) = sin x (ex + ) cgtx e x (e x + ) (r) f (x) = cos(x ) x (s) f (x) = (sin x) cos x (t) f (x) = x + x (u) f (x) = e x x + (x + x( ) (v) f (x) = e tg x ln(x +cos x) ln(x ) + cos x) x sin x cos + tg x x + cos x (w) f (x) = x x (ln x + )
10 (x) f (x) = (sin x) cos x ( cos x cos x ln(sin x) sin x) ( ) sin x( x + (y) f (x) = cos x + x (x + ) ( x + x ) ) x + ( x ln + x) ( x + x ) (z) f (x) = (x + ) arctg x ( x x + arctg x + ln(x + ) + x (aa) r (ϕ) = ϕ ln ln ϕ + ϕ ϕ (ab) V (t) = 6t 5 cos(t) t 6 sin(t) (ac) h (t) = p 5 +, p valós paraméter (ad) h (p) = t5 p 7p 6, t valós paraméter (ae) f (x) = sin x ( x + x ) x+ + ctg x ( ( x + x ) x+ x + x ln (x + ) + ln( ) x + x ) x + x () Határozza meg az alábbi határértékeket: arcsin(5x) = 5 x + x 0 x x x + x + = ln(x)) = 0 x 0 +(x x 0 xx = ( + + x ( = e x x) x + x ) = ( x sin x ln x x 0 x sin x = 0 x 0 + x ) = 0 sin x x x = e cos x x x 0 x = ln x x x = arctan x = x 0 x x x x = x 0 x 0+ x)x = x 0 +(ctg x) x = 5x x ln x = x 0+ (ex + x) x = e x ln(x + )) = ln x tg x = 0 x 0+ (5) Írja fel az alábbi f(x) függvények m meredekségű érintőinek egyenletét: (a) x =, e : y = 6x + 5, x =, e : y = 6x + (b) x = 5, e : y = 0x + 6, x = 7, e : y = 0x + 7 (c) x =, e : y = 6 x + 0, 68, x =, e : y = x 0, 59 6 (6) Hol növekvő, hol csökkenő, hol van lokális szélsőértéke és milyen a szélsőérték jellege az f(x) függvénynek, ha a derivált függvénye az alábbi: (a) f (x) = (x + )(x ) ] ; [ ] ; [ ], [ f (x) f(x) lok. min. - (b) f (x) = (x + 5) (x ) x ] ; 5[ 5 ] 5; [ ]; [ ], [ f (x) X + f(x) - lok. max. - (c) f (x) = ln x (x ) (x 5) (x + )(x ) ]0; [ ]; [ ]; [ ],5[ 5 ], [ f (x) X f(x) lok. min. - - lok. min. (7) Hol konvex, hol konkáv, hol van inflexiós pontja az f(x) függvénynek, ha a második derivált függvénye az alábbi: (a) f (x) = (x + )(x ) ] ; [ ] ; [ ], [ f (x) f(x) infl. pont - (b) f (x) = (x + ) (x ) x + ] ; [ ] ; [ - ] ; [ ], [ f (x) X f(x) infl. pont - - x(x ) (c) f (x) = (x ) (x ) x 0 ]0; [ ]; [ ]; [ ], [ f (x) 0 + X + X f(x) infl. pont )
11 (8) Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényeken: (a). D f = R. zérushelye van a, 0, pontokban. páratlan, f(0) = 0. x f(x) =, x f(x) =. 5. f (x) = x, a derivált zérushelyei (lehetséges lokális szélsőértékhelyek):,. 6. x ], [ ], [ ], [ f (x) f(x) lok. min. lok. max f( ) = f() = 7. f (x) = 6x, a második derivált zérushelyei (lehetséges inflexiós pontok): R f = R. (b). D g = R.. nincs zérushelye.. páros, f(0) =. x 5. g (x) = x 6. g(x) = x g(x) = 0. x ], 0[ 0 ]0, [ f (x) + 0 f(x) inflexiós pont konvex f(0) = 0 konkáv ( + x, a derivált zérushelye az x = 0. ) x ], 0[ 0 ]0, [ f (x) + 0 f(x) lok. max. f(0) = 7. g (x) = (x ) ( + x ), a második derivált zérushelyei az x = /, / pontok. x ], / [ / ] /, / [ / ]/, [ f (x) f(x) inflexiós pont inflexiós pont konvex f ( ) = konkáv f ( ) = konvex 0. R g =]0; ] (c) h(x) = x + x. A h függvény mindenhol értelmezett, kivéve az x = 0 pontot. D h = R \ {0}.. Zérushely: x =.. h( x) = x x, nem páros, nem páratlan. h(0) nincs értelmezve.. h(x) =, h(x) =, h(x) =, h(x) = x vv x x 0 x h (x) = 8x x. h (x) = 0 akkor, ha x =. 6. x ], 0[ 0 ]0, [ ], [ h (x) X 0 + h(x) lok. min. h( ) = 7. h (x) = 8 + x, h (x) = 0, ha x = R h = R
12 x ], [ ], 0[ 0 ]0, [ h (x) + 0 X + h(x) inflexiós pont h( ) = 0 (d) i(x) = x x +. D i = R.. Zérushely x = 0.. i( x) = x x + = i(x) azaz a függvény páros, i(0) = 0. i(x) =, i(x) =. x x 5. i (x) = 8x (x +), i (x) = 0, ha x = 0 6. x ], 0[ 0 ]0, [ i (x) 0 + i(x) lok. min. i(0) = 0 7. i (x) = 8( x ) (x +), i (x) = 0 ha x =, x = 8. x ], [ ], [ ], [ i (x) i(x) inflexiós pont inflexiós pont i( ) = i( ) = 0. R i = [0; [ (e) j(x) = x e x. D j = R. Zérushely: x = 0. j( x) = x e x nem páros, nem páratlan. j(0) = 0.. x j(x) =, x j(x) = 0 5. j (x) = e x (x x ), j (x) = 0 ha x = 0, x = 6. x ], 0[ 0 ]0, [ ], [ j (x) j(x) lok. min. lok. max. j(0) = 0 j() = e 7. j (x) = e x (x x + ), j (x) = 0, ha x =, x = x ], [ ], + [ + ] +, [ j (x) j(x) inflexiós pont inflexiós pont j( ) 0, 9 j( + ) 0, 8 0. R j =]0, [ (f) k(x) = x lg(x). D k =]0; [. Zérushely: x =. nem páros, nem páratlan, ui. negatív x-re nincs értelmezve. k(0) szintén nincs értelmezve.. k(x) = 0, k(x) = x 0 + x 5. k (x) = lg x + ln 0, k (x) = 0 ha x = e k (x) = x ln 0, k (x)-nek nincs zérushelye R k =] 0, 6, [
13 x ]0, e [ e ] e, [ k (x) 0 + k(x) lok. min. k( e ) = 0, 6 x ]0, [ k (x) + k(x) (g) l(x) = ln(x + ). D l = R. Zérushely nincs.. l( x) = ln(x + ) = l(x) páros, l(0) = ln.. x l(x) =, x l(x) = 5. l (x) = x x +, l (x) = 0 ha x = 0 6. x ], 0[ 0 ]0, [ l (x) 0 + l(x) lok. min. l(0) = ln 7. l (x) = 8 x (x +), l (x) = 0, ha x =, x =. 8. x ], ] ; ]; [ l (x) l(x) inflexiós pont inflexiós pont l( ) = ln 8 l( ) = ln 8 0. R l = [ln, [ (h) m(x) = ln(x ). D m =] ; [ ]; [. Zérushely: x =, x =.. m( x) = ln(x ) = m(x) páros, m(0) nincs értelmezve. m(x) =, m(x) = m(x) =, m(x) = x x x x + 5. m (x) = x x, m (x) = 0 ha x = 0, de ez nem része az értelmezési tartománynak 6. x ], [ ], [ m (x) + m(x) 7. m (x) = x (x ), m (x), seholsem nulla. 8. x ], [ ], [ m (x) m(x) 0. R m = R (9) Határozza meg az alábbi függvények x 0 küröli n-ed fokú Taylor poonját! (a) T f,0, (x) = + x x + x + x T f,, (x) = + (x ) + 7(x ) + 5(x ) (x ) = + x x + x + x (b) T f,0, (x) = e ex + ex ex T f,0, (x) = e ex + ex ex + ex ( T f,, (x) = x ) ( + x ) ( x )
14 ( T f,, (x) = x ) ( + x ) ( e x ) + ( e x ) T f,, (x) = e e (x ) + e (x ) e (x ) T f,, (x) = e e (x ) + e (x ) e (x ) + e (x ) (c) T f,0, (x) = ln + x 8 x + x T f,, (x) = x + (x + ) + (x + )
15 VI. feladatsor () Az alapfüggvények integrálja segítségével határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) dx = x9/ ln x + x + C (b) f(x) dx = ln x x 9/ + C (c) f(x) dx = e x + cos x + tg x + C (d) f(x) dx = arcsin x + C (e) f(x) dx = arctg x + x + C (f) f(x) dx = 5x ln 5 x6 + ln x + x + C 6 (g) f(x) dx = sin x + ctg x + C (h) f(x) dx = 7 ln x + x x + C () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: ( 7x) ln x + (a) f(x) dx = + C (b) f(x) dx = + C 7 (c) f(x) dx = e x + C (d) cos(5 x) f(x) dx = + C ctg (x + ) arctg (x + ) (e) f(x) dx = + C (f) f(x) dx = + C (5x+) / arcsin(5x + ) / (g) f(x) dx = + C (h) f(x) dx = + C 5 5 () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = cos6 x + C (b) f(x) dx = ( + x ) / + C 6 / (c) f(x) dx = (x + ) / + C (d) f(x) dx = tg x + C / (e) f(x) dx = (x ) 6/5 + C (f) f(x) dx = arctg 5/ x + C 6/5 5/ (g) f(x) dx = ln5 x + C (h) f(x) dx = 5 arccos x + C (i) f(x) dx = sin x + C (j) f(x) dx = (x + x) + C () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = ln x + + C (b) f(x) dx = 7 ln x + C (c) f(x) dx = 5 ln + x + C (d) f(x) dx = ln + sin x + C (e) f(x) dx = ln 5 + e x + C (f) f(x) dx = ln arctg x + C (5) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = e +sin x + C (b) f(x) dx = e x + C (c) f(x) dx = ( ) 5 sin(5 x) + C (d) f(x) dx = cos + C (6) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját parciális integrálással: (a) f(x) dx = (x 5) sin x + cos x + C (b) f(x) dx = (x ) cos x + x sin x + cos x + C (c) f(x) dx = (x + ) ex ex + C (d) f(x) dx = x e x e x + C (e) f(x) dx = 5 sin(x)e x 5 cos(x)e x + C (f) f(x) dx = x arcsin x + x + C ( ) x (g) f(x) dx = x + x ln x x 9 + x x + C (h) f(x) dx = x ln x x + C (i) f(x) dx = xarctg x ln + x + C (j) f(x) dx = x arctg x x + arctg x + C (k) f(x) dx = cos(x + )ex + sin(x + )ex + C ( ) ( ) x (l) f(x) dx = ln x + x x + x ln x 9 + x + x + 7 x + x + x + C (7) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: x
16 (a) ) + C (b) f(x) dx = ( x arctg f(x) dx = arctg (x + C) ( (c) f(x) dx = ( ) 5/x ) 0 arctg 5 x + C (d) f(x) dx = arctg + C 5/ (e) f(x) dx = ( ) x + arctg + C (f) f(x) dx = ( ) x arctg + C (g) f(x) dx = arcsin(x ) + C (h) f(x) dx = arcsin(x ) + C (i) f(x) dx = arcsin(x + ) + C (j) f(x) dx = arcsin(x ) + C
17 VII. feladatsor () Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékét: 7 (a) dx = ln x (b) 8 x + dx = (c) e (d) ln x dx = (e) x + 8x + 0 dx = π (f) 8 () Határozza meg a területeket, ha: (a) (b) 6 0 f(x) dx = ln f(x) dx = e + (c) f(x) dx = 6 () Határozza meg a két görbe által közrezárt területet! (a) T =, 5 (b) T =, 5 (c) T = () Határozza meg az f(x) és az x tengely által közbezárt területet! (a) T = 5 6 (b) T = 5 6 (c) T = 5 ln (5) Határozza meg alábbi fügvények ívhosszát! (a) s f = 0 π 0 x + x dx = 0 sin x dx = (b) s f = π (c) s f = 7 (6) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest térfogatát! (a) V = π (b) V = π ln (c) V = π ( ) e (d) V = π + e, 5 ( e ) + (e) V = π 9 (f) V = π (7) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest palástjának felszínét! (a) A = π (b) A = π ( 5 / 8 / ) (8) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest teljes felszínét! (a) A = π ( ) 5 / (b) A = 6π + π 8 /
18 VIII. feladatsor () y = + e x x + y = x + x + e x = + e x () () Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = sin x + x + C, y p = sin x + x + 5 y y + y + x = e x + e x (e x + e x + ) + (e x + e x + x) + x = e x + e x 9e x 6e x + 6e x + e x + x + x = 0 (b) y = x + x/ / + x + C, y p = x + x/ / + x + 0 () Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = x + Cx e x ( ) x (b) y = + C e x ( ) (c) y = ln(x + ) + C (x + ) (d) y = + Cex (5) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = C x +, y p = x + (b) y = Ce x (c) y = ( + Cx ) (d) y = ln e x + C (e) y = C(x + ), yp = (x + ) (f) y = tg (x + C) x (g) y = C( + x ) (h) y = C(x ) (6) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = C e x + C e x (b) y = C e x + C xe x (c) y = e x (C sin(x) + C cos(x)) (d) y = C + C e x (e) y = C sin( 5x) + C cos( 5x) (f) y = C e x + C e x (g) y = e x (C sin(5x) + C cos(5x)) + 5 cos(x) sin(x) + e x (h) y = C e x + C e x + x 6 5x (i) y h = C e x + C e x, y p = x + 9, y = y h + y p = C e x + C e x + x + 9 (j) y = C e 5x + C e ( x) + cos(x) + sin(x) (k) y = C e x + C e x + x x 8 (l) y = C e x + C xe x + sin(x) (m) y = C e 5x + C xe 5x + e x e x (n) y = e x (C sin(x) + C cos(x)) + x + ( ) ( )) x x (o) y = e (C x/ sin + C cos + e x + x (7) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket Rez (a) y = C e x + C + ex (6x ) (b) y = C e x + C e x (x + 6x + ) (c) y = C e x + C xe x + 5x e x (d) y = C sin(x) + C cos(x) + x( + cos(x))
I. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Részletesebben[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [
Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenRégebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)
Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenFüggvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői
Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenFüggvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
Részletesebben1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log
1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebbenx a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1
EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenNagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
Részletesebben2. hét (Ea: ): Az egyváltozós valós függvény definíciója, képe. Nevezetes tulajdonságok: monotonitás, korlátosság, határérték, folytonosság.
Ütemterv az Analízis I. c. tárgyhoz (GEMAN510B, 510-B) Járműmérnöki, logisztikai mérnöki, műszaki menedzser, villamosmérnöki, ipari termék- és formatervező mérnöki alapképzési szak 2019/20. tanév I. félév
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
Részletesebben4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
Részletesebben1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
Részletesebben10. Differenciálszámítás
0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenKONVEXITÁS, ELASZTICITÁS
Bodó Beáta 1 KONVEXITÁS, ELASZTICITÁS 1. B Az f(x) függvény értelmezési tartománya. Hol konkáv az f(x) függvény, ha második deriváltja f (x) = (x + 6) 5 (4x 12) 8 (x + 2)? f (x) zérushelyei: 6; 2; 3 D
Részletesebben= x + 1. (x 3)(x + 3) D f = R, lim. x 2. = lim. x 4
Bodó Beáta Differenciálszámítás. B Írja fel az f() = függvény az a = és az helyekhez tartozó különbségi hányadosát. f() f(a) a = = (+)( ) = +. B Számolja ki az f() = függvény a = 3 helyhez tartozó differenciálhányadosát!
RészletesebbenAnalízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport
Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
Részletesebben0, különben. 9. Függvények
9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenA függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/
A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42
RészletesebbenFeladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy
RészletesebbenExponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
Részletesebben1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!
Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)
Részletesebben1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
RészletesebbenTartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2
Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...
Részletesebben2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
RészletesebbenAnalízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a
Analízis példatár v0.2 A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a letölthető példatárak közt. Országh Tamás Budapest, 2005-2010 1 Mottó: Ki kéne vágni minden
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenPécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék. Kalkulus 1. Dr Simon Ilona, PTE TTK
Pécsi Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Tanszék Kalkulus Dr Simon Ilona, PTE TTK Pécs, 206 Tartalomjegyzék. Bevezető 4.. Az abszolút érték........................... 4.2. Halmazok, intervallumok,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebben10. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A differenciálszámítás alkalmazása
. tétel Függvények lokális és globális tulajdonságai. A dierenciálszámítás alkalmazása FÜGGVÉNY De: A üggvény egyértelmű hozzárendelés két halmaz elemei között. A halmaz minden eleméhez B halmaz legeljebb
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenTermészetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek. halmazokat alkothatunk, ezek elemszámai természetes 3+2=5
1. Valós számok (ismétlés) Természetes számok: a legegyszerűbb halmazok elemeinek megszámlálására használjuk őket: N := {1, 2, 3,...,n,...} Például, egy zsák bab felhasználásával babszemekből halmazokat
RészletesebbenKurzusinformáció. Analízis II, PMB1106
Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás
Részletesebben