Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Átírás

1 Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok vektoriális szorzatát? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok skaláris szorzatát? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok által kifeszített paralelogramma területét? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok által kifeszített háromszög területét? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) és c = (c 1, c 2, c 3 ) vektorok által kifeszített hasáb térfogatát? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) és c = (c 1, c 2, c 3 ) vektorok vegyes szorzatát? b) Írja fel az n = (A, B, C) normálvektorú azon sík egyenletét, amelyik illeszkedik a P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) pontra!

2 b) Írja fel a v = (v 1, v 2, v 3 ) irányvektorú azon egyenes egyenletét, amelyik illeszkedik a P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) pontra! f) Hogyan számoljuk ki egy v = (v 1, v 2, v 3 ) vektor abszolút értékét? Komplex számok e) Hogyan számoljuk ki a z = r(cos φ + i sin φ) komplex szám n-edik hatványát? z n = e) Hogyan számoljuk ki a z = r(cos φ + i sin φ) komplex szám n-edik gyökeit? n z = e) Hogyan számoljuk ki a z 1 = r 1 (cos φ + i sin φ) és a z 2 = r 2 (cos ψ + i sin ψ) komplex számok szorzatát? z 1 z 2 = e) Hogyan számoljuk ki a z 1 = r 1 (cos φ + i sin φ) és a z 2 = r 2 (cos ψ + i sin ψ) komplex számok hányadosát? z 1 z 2 = e) Hogyan számoljuk ki a z = a + bi komplex szám abszolút értékét? z = Kombinatorika a) Hogyan számítjuk ki n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak a számát? a) Hogyan számítjuk ki n elem k-ad osztályú ismétléses variációinak a számát? a) Hogyan számítjuk ki n elem k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak a számát? a) Hogyan számítjuk ki n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációinak a számát? a) Írja fel a binomiális tételt! (a + b) n =

3 Halmazok a) Hogyan definiáljuk két A, B halmaz unióját? A B = a) Hogyan definiáljuk két A, B halmaz metszetét? A B = a) Hogyan definiáljuk két A, B halmaz különbségét? A \ B = a) Mit értünk két A, B halmaz Descartes-szorzatán? A B = a) Írja fel a De Morgan féle azonosságokat! A B = A B = Determinánsok a) Adja meg az A négyzetes mátrix determinánsának permutációkat tartalmazó definícióját! A =

4 Mátrixok c) Hogyan számoljuk ki egy A n n invertálható mátrix inverzének i-edik sorának j-edik elemét? A 1 ij = Sorozatok c) Adja meg az alábbi nevezetes sorozatok határértékét! ( lim n a = (a > 0), lim 1 + a n = n n n) c) Adja meg az alábbi nevezetes sorozatok határértékét! lim n n =, lim n n qn = c) Adja meg az alábbi nevezetes sorozatok határértékét! lim n a k n k + + a 1 n + a 0 1 b m n m =, lim + + b 1 n + a 0 n n = d) Mikor mondjuk, hogy az a n valós számsorozat monoton növekvő? d) Mikor mondjuk, hogy az a n valós számsorozat monoton csökkenő? d) Hogyan definiáljuk az a 1,..., a n valós számok számtani közepét? A n = d) Hogyan definiáljuk az a 1,..., a n nemnegatív valós számok mértani közepét? G n = d) Milyen összefüggést ismer az a 1,..., a n nemnegatív valós számok számtani és mértani közepe között?

5 Függvények határértéke a) Adjuk meg az alábbi nevezetes határértékeket: a k x k + + a 1 x + a 0 lim x b m x m = + + b 1 x + b 0 1, lim x x = b) Adjuk meg az alábbi nevezetes határértékeket: sin x ( lim x 0 x =, lim 1 + a x = x x) Függvények grafikonja d) Adja meg az alábbi függvények grafikonját! f(x) = arccos(x), g(x) = cth(x) d) Adja meg az alábbi függvények grafikonját! f(x) = arcsin(x), g(x) = th(x) d) Adja meg az alábbi függvények grafikonját! f(x) = arctg(x), g(x) = ctg(x) d) Adja meg az alábbi függvények grafikonját! f(x) = arcctg(x), g(x) = ch(x)

6 d) Adja meg az alábbi függvények grafikonját! f(x) = sgn(x), g(x) = tg(x) d) Adja meg az alábbi függvények grafikonját! f(x) = sh(x), g(x) = [x] Függvények deriváltja d) Adja meg az alábbi függvények deriváltját! (shx) =, (a x ) = d) Adja meg az alábbi függvények deriváltját! (thx) =, (e x ) = d) Adja meg az alábbi függvények deriváltját! (lnx) =, (cos x) = d) Adja meg az alábbi függvények deriváltját! (cthx) =, (arcsinx) =

7 d) Adja meg az alábbi függvények deriváltját! (x) =, (arctgx) = d) Adja meg az alábbi függvények deriváltját! (x n ) =, (arcctgx) = d) Adja meg az alábbi függvények deriváltját! (arccosx) =, (chx) = d) Adja meg az alábbi függvények deriváltját! (tgx) =, (2 x ) = Deriválási szabályok h) Adja meg a hányados függvény differenciálási szabályát! h) Adja meg a szorzat függvény differenciálási szabályát! h) Adja meg az összetett függvény differenciálási szabályát! h) Adja meg az inverz függvény differenciálási szabályát! Deriválás alkalmazásai g) Írja fel egy f : R R differenciálható függvény x 0 D f pontbeli érintőjének az egyenletét! e) Hogyan tudjuk a deriválás segítségével eldönteni, hogy egy f : R R differenciálható függvény egy [a, b] D f intervallumon konvex?

8 e) Hogyan tudjuk a deriválás segítségével eldönteni, hogy egy f : R R differenciálható függvény egy [a, b] D f intervallumon konkáv? e) Hogyan tudjuk a deriválás segítségével eldönteni, hogy egy f : R R differenciálható függvény egy [a, b] D f intervallumon monoton nő? e) Hogyan tudjuk a deriválás segítségével eldönteni, hogy egy f : R R differenciálható függvény egy [a, b] D f intervallumon monoton csökken? Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! 1 sin xdx =, ch 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! 1 sin xdx =, sh 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! 1 chxdx =, dx = 1 x 2 d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! 1 shxdx =, cos 2 x dx =

9 d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! 1 a x dx =, x dx = Integrálszámítás szabályok g) Adja meg az alábbi integrálási szabályt! f n (x)f (x)dx = g) Adja meg az alábbi integrálási szabályt! f(ax + b)dx = g) Adja meg az alábbi integrálási szabályt! f (x) f(x) dx = g) Adja meg az alábbi integrálási szabályt! f(sin x) cos xdx = g) Adja meg az alábbi integrálási szabályt! f(cos x) sin xdx = g) Adja meg a parciális integrálás szabályát határozatlan integrálokra vonatkozóan! g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozatlan integrálokra vonatkozóan!

10 g) Legyen f(x) R(e x ). Milyen helyettesítés lesz célravezető az alábbi integrál kiszámítása esetén? f(x)dx = g) Adja meg az alábbi linearizáló formulákat! sin 2 x = cos 2 x = g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = dx =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő dx = cos x =? Határozott integrálszámítás g) Adja meg a parciális integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! g) Adja meg a Newton-Leibniz formulát! g) Legyen f az [a, b] intervallumon nemnegatív, folytonos függvény. Hogyan határozzuk meg az y = f(x) egyenletű görbe, az [a, b] intervallum, valamint az x = a és x = b egyenesek által meghatározott síkidom területét? T = g) Hogyan számítjuk ki az r = r(φ) polárkoordinátás alakban megadott görbe α φ β íve, valamint a φ = α és φ = β félegyenesek által közrezárt szektor területét? S =

11 g) Hogyan számítjuk ki egy görbe által meghatározott szektor területét, ha a görbe egyenlete paraméteresen van megadva az x = x(t), y = y(t), t A t t B egyenletrendszerrel? S = g) Ha a görbe polárkoordinátás egyenlete r = r(φ) és α φ β, akkor hogyan számítjuk ki a görbe ívhosszát? s = g) Ha a görbe paraméteresen van megadva az x = x(t), y = y(t), t A t t B egyenletrendszerrel, akkor hogyan számítjuk ki a görbe ívhosszát? s = g) Hogyan számítjuk ki az y = f(x) görbe a x b ívének hosszát? s = g) Forgassuk meg az y = f(x), a x b görbét az X tengely körül. Hogyan számítjuk ki a keletkezett forgástest térfogatát? V X = g) Forgassuk meg az y = f(x), c y d görbét az Y tengely körül. Hogyan számítjuk ki a keletkezett forgástest térfogatát? V Y = g) Forgassuk meg az y = f(x), a x b görbét az X tengely körül. Hogyan számítjuk ki a keletkezett forgásfelület felszínét? A X = g) Forgassuk meg az y = f(x), a x b görbét az Y tengely körül. Hogyan számítjuk ki a keletkezett forgásfelület felszínét? A Y =

12 Improprius integrálok g) Hogyan értelmezzük az alábbi improprius integrált? a f(x)dx = g) Hogyan értelmezzük az alábbi improprius integrált? a f(x)dx = g) Hogyan értelmezzük az alábbi improprius integrált? f(x)dx = Nevezetes Felületek f) Írja fel az origó középpontú a sugarú gömb egyenletét! f) Írja fel a háromtengelyű ellipszoid egyenletét! f) Írja fel az egyköpenyű hiperboloid egyenletét! f) Írja fel a kétköpenyű hiperboloid egyenletét! f) Írja fel a hiperbolikus paraboloid (nyeregfelület) egyenletét! f) Írja fel az elliptikus kúp egyenletét! Kettős Integrál a) Hogyan számítjuk ki a f(x, y)dxdy = T kettős integrált, ha a T tartomány T = { (x, y) R 2 a x b, c y d }?

13 a) Hogyan számítjuk ki a f(x, y)dxdy = T kettős integrált, ha a T tartomány T = { (x, y) R 2 c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y) }? c) Hogyan számítjuk ki a f(x, y)dxdy = T kettős integrált, ha a T tartomány T = { (x, y) R 2 a x b, φ 1 (x) y φ 2 (x) }? c) Hogyan számítjuk ki a T tartomány területét kettős integrállal? d) Legyen f : R 2 R kétváltozós függvény. Tegyük fel, hogy a T D f tartományon a függvény nemnegatív és folytonos. Hogyan számítjuk ki annak a térrésznek a térfogatát, amelyet felülről a z = f(x, y) felület, alulról a T tartomány, oldalról pedig a T tartomány határára, mint vezérgörbére emelt, a Z tengellyel párhuzamos alkotójú hengerfelület zár közre? b) Hogyan számítjuk ki egy z = f(x, y) egyenlettel megadott felület felszínét, aminek az XY síkra való merőleges vetülete a T tartomány? f) Hogyan térünk át kettős integráloknál Descartes-koordinátákról polár-koordinátákra? Mennyi a Jacobi determináns értéke az áttéréskor? x =, y =, J = d) Hogyan térünk át gömbi koordináta-rendszerre? Mennyi a Jacobi determináns értéke az áttéréskor? x = y = z = J =

14 d) Hogyan térünk át hengerkoordináta-rendszerre? Mennyi a Jacobi determináns értéke az áttéréskor? x = y = z = J = Differenciálegyenletek h) Milyen alakú egyenletet nevezünk szétválasztható változójú differenciálegyenletnek? h) Milyen alakú egyenletet nevezünk közönséges elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek? h) Milyen alakú egyenletet nevezünk Bernoulli-féle differenciálegyenletnek? j) Milyen helyettesítéssel lehet elsőrendű lineáris differenciálegyenletté visszavezetni egy Bernoulli-féle differenciálegyenletet? j) Milyen helyettesítéssel lehet szétválaszthatójú differenciálegyenletté visszavezetni az y = f(ax + by + c) differenciálegyenletet? c) Írja fel az a 2y + a 1 y + a 0 y = 0 homogén differenciálegyenlet általános megoldását, ha tudjuk, hogy a karakterisztikus polinomnak két egybeeső λ 1 = λ 2 valós gyöke van! y hom = d) Írja fel az a 2y + a 1 y + a 0 y = 0 homogén differenciálegyenlet általános megoldását, ha tudjuk, hogy a karakterisztikus polinomnak két λ 1 = a + bi, λ 2 = a bi komplex gyöke van! y hom = d) Írja fel az a 2y + a 1 y + a 0 y = 0 homogén differenciálegyenlet általános megoldását, ha tudjuk, hogy a karakterisztikus polinomnak két λ 1 λ 2 valós gyöke van! y hom =

15 Vektor-skalár, skalár-vektor, vektor-vektor függvények j) Egy r(t) = (x(t), y(t), z(t)) vektor-skalár függvény esetén mi a főnormális egységvektor? j) Egy r(t) = (x(t), y(t), z(t)) vektor-skalár függvény esetén mi a binormális egységvektor? j) Egy r(t) = (x(t), y(t), z(t)) vektor-skalár függvény esetén mi a érintő egységvektor? f) Hogyan számítjuk ki a g : r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t a t t b térgörbe ívhosszát? b) Legyen u : R 3 R egy skalár-vektor függvény. Mit nevezünk az u függvény gradiensének? gradu = j) Hogyan számítjuk ki egy u : R 3 R skalár-vektor függvény g : r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t a t t b görbe menti ívhossz szerinti vonalintegrálját? i) Mit értünk egy v : R 3 R 3, v(x, y, z) = (v 1 (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z)) vektorvektor függvény divergenciáján? i) Mit értünk egy v : R 3 R 3, v(x, y, z) = (v 1 (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z)) vektorvektor függvény rotációján? g) Egy v : R 3 R 3 vektor-vektor függvény esetén mikor mondjuk, hogy van potenciálfüggvény? e) Hogyan számítjuk ki egy v : R 3 R 3 vektor-vektor függvény g : r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t a t t b görbe menti vonalintegrálját?

16 Numerikus sorok, hatványsorok a) Írja fel az alábbi két sort: geometriai sor, harmonikus sor. b) Mit tudunk mondani a fenti két sor konvergenciájáról? e) Milyen sort nevezünk Leibniz-típusúnak? f) Mit tudunk mondani a Leibniz-típusú sor konvergenciájáról? c) Hogyan számítjuk ki egy c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + hatványsor konvergenciasugarát? r =