Tartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Elsőfokú egyenletek Valós szám abszolút értéke...

Átírás

1

2 Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal Gyökök és hatványozás Hatványozás Gyökök Azonosságok Egyenlőtlenségek Függvények A függvény fogalma Injektív, szürjektív függvények Függvények összetétele Inverz függvény Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Elsőfokú egyenletek Valós szám abszolút értéke Másodfokú függvény Komplex számok Algebrai alak Az i hatványai A z konjugáltja Komplex szám abszolút értéke Trigonometriai alak Moivre-képlet Exponenciális alak Binom egyenlet Haladványok Számtani sorozatok Mértani sorozatok Egy alkalmazás... 20

3 7. Logaritmusok Alap logaritmikus és exponenciális egyenletek Alap logaritmikus és exponenciális egyenlőtlenségek Mértan Vektorok Nevezetes helyzetvektorokkal kapcsolatos tételek Analitikus mértan térben, síkban Egy pont és két nem párhuzamos irány által meghatározott sík egyenlete Három nem kollineáris pont által meghatározott sík egyenlete A sík tengelymetszetes egyenlete A sík általános egyenlete A koordináta-rendszerhez viszonyítva sajátos helyzetű síkok egyenletei Egyenesek egyenletei Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete Az egyenes általános egyenlete Síkbeli egyenesek egyenletei Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete Két térbeli egyenes szöge Pont távolsága egyenestől (síkban) Szögfelezők egyenletei (síkban) Pont távolsága egyenestől (térben) A kör Az ellipszis A hiperbola Parabola Skaláris szorzat további alkalmazásai A matematikai indukció módszere A Peano-féle axiómák A matematikai indukció módszere A matematikai indukció módszerének egy változata Kombinatorika Permutációk... 52

4 11.2. Variációk Kombinációk Newton binomiális képlete Azonos hatványösszegek Polinomok Egy polinom algebrai alakja Polinomok oszthatósága Irreducibilis polinomok Polinomok gyökei Algebrai egyenletek Polinomok melyek együtthatói R, Q, Z-ből vannak Permutációk, mátrixok és determinánsok Permutációk Mátrixok Műveletek mátrixokkal Determinánsok Mátrix inverse A mátrix nyoma, Tr(A) További képletek Lineáris rendszerek Jelölések Összeférhetőség Trigonometria Trigonometriai képletek Trigonometria alkalmazása a mértanban Matematikai analízis Rekurziók Elsőrendű rekurziók Másodrendű rekurziók Sorozatok határértéke Általános határértékek, konvergencia kritériumok Függvényhatárértékek Műveletek függvényhatárértékekkel Alaphatárértékek... 82

5 16.5. Függvények folytonossága Folytonosságra vonatkozó tételek Deriválható függvények Derivált értelmezése egy pontban Deriválási szabályok Néhány függvény deriváltja Összetett függvény deriváltja Magasabbrendű deriváltak Deriválható függvények tulajdonságai Integrálok Határozatlan integrálok Primitiválhatósága Racionális függvények primitívje Integrálok amelyek tartalmazzák az r = (x 2 + a 2 ) 1/ Integrálok amelyek tartalmazzák az s = (x 2 a 2 ) 1/ Integrálok amelyek tartalmazzák a t = (a 2 x 2 ) 1/ Integrálok amelyek tartalmazzák az R = (ax 2 + bx + c) 1/ Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a sin-t tartalmazzák Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a cos-t tartalmazzák Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a tan-t tartalmazzák Trigonometrikus integrálok, amelyek tartalmazzák a sin-t és cos-t Logaritmikus integrálok A határozott integrál tulajdonságai Integrálok additivitása intervallumokon Fundamentális tétel (Alaptétel) Egyenlőtlenségek Más tételek Primitiválható függvények Integrálható függvények Algebrai struktúrák Csoportok Tulajdonságok és nevezetes tételek Monoidok Gyűrűk Testek Vektorterek

6 1 Műveletek valós számokkal 1.1 Gyökök és hatványozás Hatványozás 1. a m n = a m a n 2. a m b m = (a b) m 3. a m : a n = a m n 4. a m : b m = (a : b) m 5. a m = 1 a m 6. (a m ) n = a mn. A valós számok hatványai kiterjeszthetőek racionális, irracionális, illetve valós hatványokkál is sorok segítségével. Ezek a hatványok is rendelkeznek azokkal a tulajdonságokkal amivel a természetes kitevöjű hayványok Gyökök Az alábbi képletekben értelemszerűen az n, m 2, valamint az a, b, c számok olyan valós számok, amelyekre az adott kifejezéseknek van értelme: 1 1. n a = a n, a > 0; n 1 2. a = n 1 = a n 1 ; a 3. ( n a) n = a; 4. n n a b = n ab; ( ) n n 1 5. = 1 a a ; 1

7 n a n b n c = n abc; n a : n b = n a b ; m a n a = nm a n+m ; m a : n nm a = a n m ; n a nm = a m ; m a n = a m n ; mn a mp = n a p ; m a p n b q = nm a pn b qm ; m n a = nm a; a 2 = a ; 2n+1 a = 2n+1 a; a ± a + c a c b = ± ahol a c egynlőségből határozzuk meg a c értékét. = a 2 b Tekintsük a következő példát a 17 képletre. Hozzuk egyszerűbb alakra kifejezést. Ebben az esetben nehéz dolgunk van és nem igazán tudunk vele mit kezdeni, ezért folyamodunk a fenti képlethez: c 2 = = 1, tehát = + = Azonosságok Bármely x, y, z, t, a, b, c, d R és n N esetén: 1. a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2. (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax by) 2 + (ay + bx) 2 2

8 8.2.1 Egy pont és két nem párhuzamos irány által meghatározott sík egyenlete Tekintjük az A(x 0, y 0, z 0) S rögzített pontot és a d 1(p 1, q 1, r 1) d 2(p 2, q 2, r 2) V egymással nem párhuzamos vektorokat. Jelölje a és b a d 1 illetve a d 2vektorok tartóegyeneseit. Ekkor létezik egy és csakis egy a egyenes úgy, hogy a a, A a és létezik egy és csakis egy b egyenes úgy, hogy b b, A b. Ekkor dir a = dir d 1 és dir b = dir d 2. Mivel a b = {A} kapjuk, hogy az (a, b ) = α sík jól meghatározott. Tehát egy sík egyértelműen meghatározott egy pont és két nem párhuzamos irány által Ėgy sík egyenlete meghatározott, ha bármely M pontjának ismerjük a helyzetvektorát. Legyen M egy tetszőleges pont az A pont valamint a d 1, d 2 vektorok által meghatározott α síkban. Felírható, hogy r M = r A + AM. Mivel az AM vektor koplanáris a d 1, d 2 vektorokkal, léteznek a λ, µ R valós számok úgy, hogy AM = λ d 1 + µ d 2. Tehát a sík vektoriális egyenlete: r M = r A + λ d 1 + µ d 2, λ, µ R. (12) Az alábbi egyenletrendszert tekintve { x = x0 + λ p 1 + µ p 2 y = y 0 + λ q 1 + µ q 2 z = z 0 + λ r 1 + µ r 2, λ, µ R 35

9 megkapjuk { sík paraméteres egyenleteit. λ p1 + µ p 2 = x x 0 λ q 1 + µ q 2 = y y 0. λ r 1 + µ r 2 = z z 0 Ennek az egyenletrendszernek a λ és µ ismeretlenekkel akkor van megoldása, ha: p 1 p 2 x x 0 q 1 q 2 y y 0 = 0, r 1 r 2 z z 0 vagy átírva x x 0 y y 0 z z 0 p 1 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 = 0. (13) Az így kapott egyenletet a sík algebrai vagy kanonikus egyenletének nevezzük. Ha a determinánst az első sora szerint kifejtjük, akkor az A(x x 0) + B(y y 0) + C(z z 0) = 0 (14) egyenletet kapjuk, ahol A = B = C = q1 r1 q 2 r 2 r1 p1 r 2 p 2 p1 q1 p 2 q Három nem kollineáris pont által meghatározott sík egyenlete Legyen R = {O, e 1, e 2, e 3} egy Descartes koordinátarendszer és M 1(x 1, y 1, z 1), M 2(x 2, y 2, z 2), M 3(x 3, y 3, z 3) S három nem kollineáris pont. Ekkor az M 1, M 2, M 3 pontok 36

10 egyértelműen meghatároznak egy (M 1M 2M 3) = α síkot. Hasonlóan, mint a fentiekben, kapjuk, hogy { x = (1 λ µ)x1 + λx 2 + µx 3 y = (1 λ µ)y 1 + λy 2 + µy 3 z = (1 λ µ)z 1 + λz 2 + µz 3, ahol λ, µ R amelyet a sík parametrikus egyenletének nevezünk. Ha átrendezzük a fenti rendszert kapunk λ, µ -ben egy két ismeretlenes egyenletrendszert: { x x1 = λ(x 2 x 1) + µ(x 3 x 1) y y 1 = λ(y 2 y 1) + µ(y 3 y 1) z z 1 = λ(z 2 z 1) + µ(z 3 z 1) Rouché tételből következik, hogy az egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van megoldása, ha: x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0. (15) Ezt az egyenletet nevezzük a három nem kollineáris ponton áthaladó sík algebrai egyenletének. Ez az egyenlet még átírható a következő alakba: x y z 1 x 1 y 1 z 1 1 x 2 y 2 z 2 1 x 3 y 3 z 3 1 = 0. (16) A sík tengelymetszetes egyenlete Legyenek az A(a, 0, 0), B(0, b, 0) és a C(0, 0, c) pontok a térben. Ekkor az (ABC) sík egyenlete: x a y z a b 0 = 0. a 0 c 37

11 Kiszámolva a determinánst és átrendezve az egyenletet megkapjuk a sík tengelymetszetes egyenletét : x a + y b + z = 1. (17) c A sík általános egyenlete Tétel 8.5. A sík általános egyenlete alakú, ahol A, B, C, D R úgy, hogy rang[a, B, C] = 1. Ax + By + Cz + D = 0 (18) Mivel rang[a, B, C] = 1 következik, hogy az Ax + By + Cz + D = 0 egyenletnek létezik legalább egy megoldása, vagyis (x 0, y 0, z 0) R 3 Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. (19) Az A(x x 0) + B(y y 0) + C(z z 0) + D = 0, amely egy síkot ábrázol, amely áthalad az (x 0, y 0, z 0) ponton. Adott ponton átmenő adott normálvektorú sík egyenlete A koordináta-rendszerhez viszonyítva sajátos helyzetű síkok egyenletei Azt vizsgáljuk, hogy amennyiben a sík 38 Ax + By + Cz + D = 0

12 8.5 Pont távolsága egyenestől (térben) Legyen R{O, i, j, k} egy descartes féle koordináta-rendszer, M 0(x 0, y 0, z 0) egy rögzített pont és e : x x1 p = y y1 q = z z1 r egy egyenes. Legyen pr e(m 0) = M. Ekkor az M 0 pont e egyenestől való távolságán az alábbi számot értjük d(m 0, e) = M 0M. Legyen M 1(x 1, y 1, z 1) és A két pont az e egyenesről úgy, hogy M 1A = d(p, q, r), ahol d vektorral az e egyenes irányvektorát jelöltük. Ekkor az M 1M 0A háromszög területét kétféleképpen felírva a következő egyenlőséghez jutunk: σ(m 0M 1A) = 1 2 M 0M M 1A = = 1 2 M 1M 0 d. Ha ebből a képletből kifejezzük az M 0M = d(m 0, e) számot kapjuk, hogy: d(m 0, e) = M 1M 0 d d, (34) 45

13 8.6 A kör Legyen M 0 egy rögzített pont a P síkban és legyen r > 0 egy rögzített szám. Értelmezés Az M 0 középpontú és r sugarú C kör azon M pontok mértani helye a síkból, amelyeknek az M 0 ponttól vett távolsága állandó és egyenlő r-rel, vagyis C(M 0, r) = {M P : MM 0 = r.} (35) Tétel 8.7. Az M(x, y) pont akkor és csakis akkor van az M 0(x 0, y 0) középpontú, r sugarú körön, ha (x x 0) 2 + (y y 0) 2 = r 2. (36) Tétel 8.8. Az (x x 0) 2 + (y y 0) 2 = r 2 egyenletű kör M 1(x 1, y 1) pontjában szerkesztett érintő egyenlete: (x x 0)(x 1 x 0) + (y y 0)(y 1 y 0) = r 2, amelyet még a kör duplázott egyenletének is nevezünk az M 1(x 1, y 1) pontban. 8.7 Az ellipszis Értelmezés Azon pontok mértani helyét a síkból, amelyeknek két rögzített ponttól mért távolságuk összege állandó, ellipszisnek nevezzük. Legyen c > 0 és F, F két rögzített pont a síkban úgy, hogy F F = 2c és legyen a > c. A sík azon M pontjainak mértani helyét, amelyre MF + MF = 2a, ellipszisnek nevezzük: 46 E = {M P : MF + MF = 2a}.

14 vagy lim h 0,x 0 +h A Ekkor értelmezhető f(x 0 + h) f(x 0). h f s (x0) = lim f(x) f(x 0) x x 0 x x x<x 0 0 és f d (x0) = lim f(x) f(x 0). x x 0 x x x>x 0 0 Ekkor f (x 0) létezik ha f s (x0) = f d (x0), és f (x 0) = f s (x0) = f d (x0) Deriválási szabályok Tétel Legyenek f, g : A R f, g deriválhatóak az x A pontban. Ekkor 1. (f + g) (x) = f (x) + g (x); 2. (cf) (x) = cf (x) 3. (f g) (x) = f (x) g(x) + g (x) f(x) 4. Ha g(x) 0, ( ) f(x) (x) g(x) 88 = f (x)g(x) g (x)f(x) g 2 (x)

15 5. Ha f : I J, g : J R, f deriválható az x 0 I-ben és g deriválható y 0 = f(x 0), akkor (g f) (x 0) = g (y 0)f (x 0) 6. Ha f : I J folytonos, bijektív, deriválható x 0 pontban úgy, hogy f (x 0) 0, akkor f 1 : J I deriválható az y 0 pontban, y 0 = f(x 0) és. ( f 1) (y0) = 1 f (x 0) Néhány függvény deriváltja 1) f(x) = c f (x) = 0; 2) f(x) = x n, n N f (x) = nx n 1 ; 3) f(x) = x r, r R, x > 0 f (x) = rx r 1 ; 4) f(x) = x, x > 0 f (x) = 1 2 x ; 5) f(x) = ln(x), x > 0 f (x) = 1 x ; 6) f(x) = a x, a 1, a > 0, x > 0 f (x) = a x ln(a); 7) f(x) = e x f (x) = e x ; 8) f(x) = sin(x) f (x) = cos(x); 89

16 9) f(x) = cos(x) f (x) = sin(x); 10) f(x) = tan(x), x (2k + 1) π 2, k Z f (x) = 1 cos 2 (x) ; 11) f(x) = cot(x), x kπ, k Z f (x) = 1 sin 2 (x) ; 12) f(x) = arcsin(x), x [0, 1] f 1 (x) = ; 1 x 2 13) f(x) = arccos(x), x [0, 1] f 1 (x) = ; 1 x 2 14) f(x) = arctan(x) f (x) = x Összetett függvény deriváltja 1) f(u) = c f (u) = 0; 2) f(u) = u n, n N f (u) = nu n 1 u ; 3) f(u) = u r, r R, u > 0 f (u) = ru r 1 u ; 4) f(u) = u, u > 0 f (u) = 1 2 u u ; 5) f(u) = ln(u), u > 0 f (u) = 1 u u 6) f(u) = a u, a 1, a > 0, u > 0 f (u) = a u ln(a) u ; 7) f(u) = e u f (u) = e u u ; 90

17 8) f(u) = sin(u) f (u) = cos(u) u ; 9) f(u) = cos(u) f (u) = sin(u) u ; 10) f(u) = tan(u), cos(u) 0, f 1 (u) = cos 2 (u) u ; 11) f(u) = cot(u), sin(u) 0 f (u) = 1 sin 2 (u) u ; 12) f(u) = arcsin(u), u [0, 1] f 1 (u) = 1 u 2 u ; 13) f(u) = arccos(u), u [0, 1] f 1 (u) = 1 u 2 u ; 14) f(u) = arctan(u) f (u) = u 2 u Magasabb rendű deriváltak 1) f(x) = x m, m N, m n f (n) (x) = m(m 1)(m 2)...(m n + 1)x m n ; 2) f(x) = e x f (n) (x) = e x ; 3) f(x) = a x, f (n) (x) = (ln(a)) n a x ; 4) f(x) = ln(x) 91