Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Átírás

1 Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb feladatokat jelöli Többváltozós függvények () Ábrázolja a koordinátasíkon a H halmazt ha (a) H = {(x y) R d((x y) (0 0)) }; (b) H = {(x y) R d((x y) ( )) > }; (c) H = {(x y) R x x + y 3 x y 3x + 4y } () Határozza meg a következő függvények értelmezési tartományát (és ábrázolja a kapott halmazokat az R ill R 3 térben): (a) f(x y) = ln xy; (b) f(x y) = x a y b (a b > 0); (c) f(x y) = sin π(x + y ); (d) f(x y z) = R x y z + (R > r > 0) x +y +z r (3) Határozza meg milyen alakzatot alkotnak az f(x y) = z 0 egyenlet megoldásai ha (a) f(x y) = x + y z 0 = 5; (b) f(x y) = cos π(x + y) z 0 = ; (c) f(x y) = tg π 4 xy z 0 = ; (d) f(x y) = sin π(x + y ) z 0 = 0 (4) Létezik-e határértéke az (R 3 -beli) (a n ) sorozatnak? Ha igen határozza meg ( ) n (a) a n = n 3 + n n! ; ( ( ) ) (b) a n = + n n sin n n n n+ ; (c) a n = ( sin πn n n ) (5) Léteznek-e a következő függvényhatárértékek? Ha igen határozza meg (a) (b) (c) (d) x + xy + y lim (xy) ( ) x y ; lim (xy) (30) lim (xy) () sin xy ; y x y ; x + xy y lim (xy) (00) x + xy + y (6) Folytonosak-e az alábbi az egész R -n értelmezett függvények? (a) f(x y) = x y;

2 (b) f(x y) = sin xy; (c) f(x y) = ln(x + y + ) (7) Folytonosak-e (0 0)-ban a következő függvények? { x y (a) f(x y) = x +y ha (x y) (0 0) 0 ha (x y) = (0 0); { x (b) f(x y) = +y ha (x y) (0 0) 0 ha (x y) = (0 0); { xy x (c) f(x y) = +y ha (x y) (0 0) 0 ha (x y) = (0 0) (8) Mutassa meg hogy az alábbi függvény parciális differenciálhányadosai az origóban nem folytonosak de ott a függvény mégis differenciálható { (x + y ) sin x f(x y) = +y ha (x y) (0 0) 0 ha (x y) = (0 0) (9) Számítsa ki a következő függvények első parciális deriváltjait majd hozza őket egyszerűbb alakra (a) f(x y) = x xy + y x + ; (b) f(x y) = (x 3 x y + y ) 7 ; (c) f(x y) = xy cos x y ; (d) f(x y) = e x +y ; (e) f(x y) = (x + y) x y (0) Számítsa ki a következő függvények másodrendű parciális deriváltjait (a) f(x y) = x 3 3x y + xy + y 3 ; (b) f(x y) = x y x+y ; (c) f(x y) = sin x cos y; (d) f(x y) = x +y () Határozza meg az alábbi függvények iránymenti deriváltját az a irány mentén (figyelem a nem egységvektor!) a megadott (x 0 y 0 ) pontban! (a) f(x y) = x + y a = ( ) (x 0 y 0 ) = ( ) (b) f(x y) = xe xy xy a = (3 4) (x 0 y 0 ) = ( ) () Legyen f : D R R differenciálható az (x 0 y 0 ) D belső pontban és tegyük fel hogy itt az első parciális deriváltak legalább egyike nem nulla Milyen e irány mentén lesz a D e f(x 0 y 0 ) iránymenti derivált maximális (minimális)? (3) A láncszabály segítségével számítsa ki h (t)-t ha h(t) = f(ϕ(t) ψ(t)) és (a) f(x y) = x + y xy ϕ(t) = t ψ(t) = t 3 (b) f(x y) = x ln y + y ln x ϕ(t) = t + ψ(t) = ln t (4) A láncszabály segítségével számítsa ki F (u u ) F (u u )-t ha és F (u u ) = f(g(u u ) h(u u ) k(u u )) (a) f(x x x 3 ) = x + x 3x x 3 g(u u ) = u u h(u u ) = u k(u u ) = u /u

3 3 (b) f(x x x 3 ) = (x x x 3 ) g(u u ) = ln(u + u ) h(u u ) = u k(u u ) = (u /u ) (5) Az y 6 + y 5 x x + 4 = 0 egyenlet implicit módon meghatározza az y = f(x) függvényt és f() = Határozza meg f ()-et! (6) Az x 5 + 3xyz 4z = 0 egyenlet implicit módon meghatározza az x = f(y z) függvényt f( ) = Határozza meg a x f(x y) y f(x y) parciális deriváltakat! Számolja ki ezen parciális deriváltakat az ( ) pontban is (7) Az x 5 +3xyz +5z +u = 0 xyzu+e y 0x = 0 egyenletek implicit módon meghatározzák az x = f(z u) y = g(z u) függvényeket Határozza meg a z f(z u) u f(z u) parciális deriváltakat! (8) Határozza meg az alábbi függvények stacionárius pontjait és lokális szélsőérték helyeit azok típusát és nagyságát (a) f(x y) = x + y x y (x y R); (b) f(x y) = x y 3xy + y 4 (c) f(x y) = x 4 + y 4 x xy y (x y R); (x y R); (d) f(x y) = x 4 + y 4 x y (x y R); (e) f(x y) = 0 x + 50 y (f) f(x y) = e (x xy+y ) + xy (x > 0 y > 0); (x y R); (g) f(x y) = x 4xy + y 3 + y + 5 (x y R) (9) Határozza meg az alábbi függvények feltételes szélsőértékeit! (a) f(x y) = x + y ha x + y 3 = ; (b) f(x y z) = x y + z ha x + y + z = ; (c) f(x y z) = xyz ha x + y + z = x + y + z = ; (d) f(x y z) = xy + yz ha x + y = y + z = x y z > 0 (0) A közgazdász-hallgató Töhötöm 00 Ft egységárú virslire és 300 Ft egységáru sörre költi el (teljes egészében) 9000 Ft zsebpénzét Tudja hogy hasznossági függvénye U(x x ) = 3 ln(x ) + 3 ln(x ) alakú ahol x a virsliből x a sörből vásárolt mennyiséget jelöli Melyik termékből mennyit vásároljon Töhötöm hogy U-t maximalizálja (az adott mellékfeltételek mellett)? Vektorterek () Alteret alkotnak-e az R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x x x 3 x 4 x 5 ) x = x 5 x = x 3 } (b) L = { (x x x 3 x 4 x 5 ) x x + x 3 x 4 + x 5 = 0 } (c) L = { (x x x 3 x 4 x 5 ) x i = k páros szám k Z i = 5 } (d) L = { (x x x 3 x 4 x 5 ) x x 5 Q } (e) L = { (x x x 3 x 4 x 5 ) x + x + x 3 = 0 } () Igazolja hogy az a b c vektorrendszer pontosan akkor lineárisan független ha az a+b+c a+b a vektorrendszer lineárisan független

4 4 (3) Mutassa meg hogy az a a a k vektorrendszer pontosan akkor lineárisan független ha a a a a k a k is az (4) Igazolja hogy b b b k bázis R k -ban s adja meg az x vektor koordinátáit az adott bázisra vonatkozóan: k = 4 k = 3 b b = ( ) = ( 0 ) b b = ( ) = ( 3 ) b b 3 = ( 3) 3 = ( 0 0) b x = (6 9 4) 4 = (0 ) x = (0 0 0 ) (5) Határozza meg a következő vektorok által generált altér bázisát és dimenzióját! a = ( 3 ) a = ( 3 ) a 3 = (4 5 3 ) a 4 = ( 5 3 ) b = ( 0) b = ( ) b 3 = ( 0 0 ) b 4 = ( 5 5 ) b 5 = ( 0 0) (6) Tekintsük a legfeljebb n-edfokú valós együtthatós polinomok P n vektorterét! Alteret alkotnak-e s ha igen hány dimenziósat a megadott polinomhalmazok? (a) L = { p P n p(006) = 0 } (b) L = { p P n p(t) = p( t) (t R) } (c) L = { p P n p(t) = a n t n + + a t + a 0 (a i Q i = n) } (d) L = { p P n p() + p( ) = 0 } (7) Lineárisan független-e a P 3 vektortérben a vektorrendszer? p (t) = (t ) p (t) = t p 3 (t) = t + t 3 Mátrixok és determinánsok (8) Számítsa ki az AB BA AC ABC ADF DF G 3G G + 5G 0 mátrixokat ha ( ) ( ) ( ) 0 0 A = B = C = D = ( 0 0 ) F = 0 G = (9) Határozza meg az AX X A mátrixokat ha A = és (a) X = 0 (b) X = (30) Bizonyítsa be hogy ( cos α sin α sin α cos α ) n ( cos nα sin nα = sin nα cos nα )

5 5 (3) Igazolja hogy a) b) x x x x = x x x x x x x 3 x x x 3 x 3 x 3 x 33 = x x x 33 + x x 3x 3 + x 3x x 3 x 3 x x 3 x x x 33 x x 3 x 3 (3) Felléphetnek-e egy hetedrendű determinánsban az a 45 a 7 a 3 a 67 a 34 a a 56 a 6 a 35 a 44 a 7 a 53 a 6 a 3 szorzatok ha igen akkor milyen előjellel? (33) Számítsa ki a következő determinánsok értékét: a) 3 b) 4 c) d) (34) A kifejtési tétel alkalmazásával számítsa ki a következő determinánsok értékét: a 3 a) b 0 c 0 b) d (35) Határozza meg az A mátrix determinánsát ha az A mátrix a ij eleme a) a ij = min(i j) b) a ij = max(i j) (36) Írja fel x polinomjaként az alábbi determinánsokat: 3 3 n a) x 3 x + 3 n 3 6 b) x + n 3 9 x 3 x + (37) Határozza meg x-et ha x x 3 x = 0 (38) Mutassa meg kizárólag sorok (vagy oszlopok) egymásból való kivonásával hogy =

6 6 ( ) a b (39) Mikor invertálható az mátrix? Hogyan számíthatjuk ki az inverzét? c d (40) Invertálhatók-e az alábbi mátrixok és ha igen határozza meg az inverzüket! ( ) 5 4 a) b) c) e) g) d) f) h) (4) Mennyi az A mátrix rangja? Adja meg a sorvektorai által generált altér egy bázisát! a) A = b) A = (4) Milyen λ értékek mellett invertálhatók az alábbi mátrixok: a) 3 λ b) λ 3 λ c) 6 λ 0 λ 0 0 λ (43) Mutassa meg hogy az A = mátrix invertálható és határozza meg az A X = B egyenlet összes X M 3 3 megoldását ha 4 7 B = (44) Határozza meg az A mátrix sajátétékeit és sajátvektorait ahol a) A = 3 b) A = Lineáris egyenletrendszerek

7 7 (45) Oldja meg Gauss eliminációval az alábbi lineáris homogén egyenletrendszereket: 8x +x +9x 3 +5x 4 = 0 4x +x +3x 3 +x 4 = 0 8x +x +5x 3 +x 4 = 0 x +x 4x 3 = 0 3x +5x 7x 3 = 0 4x 5x 6x 3 = 0 3x +x +x 3 = 0 x +x +x 3 = 0 9x +x 5x 3 +5x 4 = 0 x +8x 0x 3 +7x 4 = 0 (46) Oldja meg Gauss eliminációval az alábbi lineáris inhomogén egyenletrendszereket: 3x x +x 3 +x 4 = x +x x 3 x 4 = x x +3x 3 = 4 x +5x 8x 3 = 8 4x +3x 9x 3 = 9 x +3x 5x 3 = 7 x +8x 7x 3 = (47) Oldjuk meg Cramer szabállyal a következő lineáris egyenletrendszereket: a) b) x x x 3 (48) Oldjuk meg a következő lineáris egyenletrendszereket! x +x +x 3 +3x 4 = 3x x x 3 x 4 = 4 x +3x x 3 x 4 = 6 x +x +3x 3 x 4 = 4 x x x 3 x 4 = = x +x +x 3 = x +3x +x 3 = 5 x +x +5x 3 = 7 x +3x 3x 3 = 4 (49) Adjuk meg a következő lineáris egyenletrendszerek összes megoldását! (50) Tekintsük a következő lineáris egyenletrendszert: x x x 3 x 4 x 5 x x x 3 x 4 x 5 x +3x x 3 = 3x +λx +4x 3 = 5 7x +4x +x 3 = k = = a) Legyen k = 8 λ milyen értékei esetén nincs megoldása az egyenletrendszernek? b) Most legyen λ = Milyen k esetén oldható meg az egyenletrendszer? Lineáris leképezések diagonalizálás

8 8 (5) Számítsuk ki az alábbi vektorpárok összegét belső szorzatát normáját és szögét: a = ( ) b = ( 3) a = (5 3 4) b = (0 6 8) a = (0 3 0 ) b = (0 0 3) Az a b vektorok 0 ϕ π szögét az a b = a b cos ϕ összefüggés alapján számoljuk ki (5) Legyen a ϕ: R 3 R 3 lineáris leképezés mátrixa (a természetes bázisra vonatkozóan) A ϕ = a) Határozzuk meg az x = ( ) vektor képét! b) Határozzuk meg azt az x vektort melynek képvektora az y = ( 5 5) vektor! (53) Vizsgáljuk meg hogy melyek diagonalizálhatók az alábbi mátrixok közül A diagonalizálhatók esetében határozzuk meg azt az S mátrixot amellyel S AS diagonális mátrix A = 0 0 A = 0 A = (54) Határozzuk meg az alábbi mátrixok sajátértékeit és sajátvektorait! A = 3 A = (55) Diagonalizáljuk az alábbi szimmetrikus mátrixokat azaz határozzunk meg olyan U ortogonális mátrixot melyre U AU diagonális! (U oszlopvektorai a mátrix normált lin független sajátvektorai) ( ) ( ) 9 A = A = 5 6 A = A = (56) Határozzunk meg a következő kvadratikus formák kanonikus alakját és döntsük el hogy definitség szempontjából milyenek! a) x + 5x + 4x x b) 9x + 6x + 4x x c) x x + x 3 + 6x x x x 3 d) x + x + x 3 + 6x x + 8x x 3