(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e
|
|
- Béla Pintér
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x + sh x = sh x + x + ch x, = x sin x x cos x, sin x e x x+ = e x x+ e x x+, x+ x 4 = x 4 x+ x, sinx x 4 = cosx x, e cos x = e cos x sin x, ctg e x = e sin x sin e x, x = sin x cos x, + x 6 = 6 + x5, sin x = sin x = cos x ln sin x, + x = x, ln 4x +x = 4 4x, ln x +x 4 = x+ ln x +x 4, cos x = sin x = sin x tg x cos x, = cos x, e x = e x, x + = x +, x = x / = sin x, x e x = cos x e x sin x e x, cos x = sin x cos x, +x = e, x shx e +x x = x shx+ e x chxx / / ex shx x /, x x + x = + x + x + x / x = + x + x, +x cosx = sinx x cos x, + e x / = + e x / e x, x =, x x + cos 4x + = x + cos 4x + x 4 sin 4x, x = x, x x 5/ = 5x x /, +x 4 = + x 4 / = x + x 4 /, x = x =, = x, x +x +x x = +x x = x x, +x +x +x +x = x = x / x x / x / x e x = x e x, ex = +x ln x +x xe x +x +x x +x, +x = x / +x x / x x e x + = x +x x 4ex, e x + +x = = e x +xe x +x xe x +x. x,. Számítsuk ki az alábbi deriváltakat! a Ha c Ha s = t, akkor ds dt u = e T, akkor du dt = e T T. = t. b Ha T = V, akkor dt dv =.. Számítsuk ki az alábbi határértékeket! L'Hospital-szabállyal:
2 FONTOS: Mindegyik határérték típusú, így alkalmazhatjuk a L'Hospital-szabályt. sin x lim x x cos x lim x x x sin x lim x x = lim cos x = cos = ; x sin x = lim x x cos x = lim x x = lim cos x = ; x sin x = lim x 6x = lim cos x = x 6 6 ; lim x e x x x x e = lim x x x x e = lim x x 6x = lim x e x 6 = e 6 = 6.
3 A. gyakorlat HF-inak megoldása rajzok nélkül. Keressük meg az alábbi f : R R függvények lokális minimum- és maximumhelyeit, valamint hogy mely intervallumokon növ k/csökken k! Határozzuk meg a limeszüket ± -ben, végül rajzoljuk fel a grakonjukat! a fx := x x + 5; f x := x 6x = xx f x > el tt, f x < és közt, f x > után f n el tt, csökken és közt, n után -ban lok. max., -ben lok. min. Határértékek: a f együttható el jele pozitív, így f limeszei megegyeznek x limeszeivel: lim f =, lim f = +. + b fx := x 4 x ; f x := 8x x = x4x. Itt 4x < x <, azaz ha < x <, és 4x > x >, azaz ha x < vagy x >. Így f x < el tt, f x > és közt, f x < és közt, f x > után -ben lok. min., -ban lok. max., -ben lok. min. Határértékek: a f együttható el jele pozitív, így f limeszei megegyeznek x 4 limeszeivel: lim f = lim f = +. + c fx := 5x x 5 ; f x := 5 5x 4 = 5 x 4 Itt x 4 > x <, azaz ha < x <, és x 4 < x >, azaz ha x < vagy x >. Így f x < - el tt, f x > - és közt, f x < után... f csökken - el tt, n - és közt, csökken után --ben lok. min., -ben lok. max. Határértékek: a f együttható el jele negatív, így f limeszei megegyeznek x 5 limeszeivel: lim f = +, lim f =. +. Igaz-e, hogy az alábbi f : R R függvények lokális maximumhelye egyben globális maximumhely is? a A fenti.b pontbeli fx := x 4 x esetén: nem igaz, hiszen amiatt, hogy lim f = lim f = +, a függvény akármilyen nagy értéket felvehet. + b fx := x e x. Útmutatás: itt is el ször keressük meg a lokális minimum/maximumhelyeket a tanult módszerrel. f x := e x x e x = e x x. f x > el tt, f x < után f n el tt, csökken után Itt e x > x-re, így
4 -ben lok. max., és ez globális is, mivel el tte f végig n, utána végig csökken azaz csak kisebb értékei vannak. A válasz itt tehát "igen".. Keressük meg az alábbi f : R R függvények lokális minimum- és maximumhelyeit!. deriválttal. a fx := x 6 + 6x +. f x := 6x = 6x 5 +. Itt f x = x =. f x := x 4, így f := > --ben lok. min. van b fx := 4 + x x. f x := x = x. Itt f x = x = vagy x =. f x := 6x, így f := 6 > --ben lok. min. van, f := 6 < --ben lok. max. van. 4
5 . A függvények grakonját az ismert függvények grakonja segítségével, valamint a végtelenben és a szakadási helyeken vett határértékek kiszámításával tudjuk meghatározni. a fx = x 4. Ez a függvény az függvény negyedik hatványa. A képe két hiperbolához hasonló ág. ÉT: R \. ÉK: R x + b fx = x. Ez a függvény az függvény harmadik hatványa. A képe hiperbolához x hasonló. ÉT: R \. ÉK: R \. c fx = x 5/. Ez a függvény az x függvény -nél nagyobb hatványa, x < x 5/ < x. A fv. képe hasonló egy parabola jobb oldali feléhez. ÉT: R +. ÉK: R. d fx = x /. Ez a függvény az függvény -nél nagyobb hatványa. A képe egy x hiperbolaághoz hasonló. ÉT: R +. ÉK: R. e A logaritmus alapja -nél nagyobb szám. A függvény szig. növ, + -ban vett határértéke mínusz végtelen, a plusz végtelenben vett határértéke pedig plusz végtelen. Az -a-e feladatokhoz külön le-ban ábrák is találhatók.. a A mínusz végtelenben vett határérték, a plusz végtelenben vett határérték plusz végtelen. A függvény mindenütt pozitív, és szigorúan monoton nô. b Mínusz végtelenben a kitevô mínusz végtelenhez tart, tehát a határérték ; plusz végtelenben szintén. Deriváltja f x = e x / x, ami x = esetén, el tte pozitív, utána negatív. Így f a el tt szig. növ, utána szig. csökken, így a -ban lok. maximuma van és ez. A függvény páros, azaz szimmetrikus az y tengelyre. c Ennek a függvénynek a grakonja az elôzô függvény grakonjának az x tengely irányú, egységnyi eltolásával kapható.. a f x = x = x, ennek zérushelye x =, ez bele is esik az adott intervallumba, itt f =. A végpontokban f =, f =, így min =, I max =. I b f x = x = 4 x, ennek zérushelyei x = és x =. Ezekb l esik az adott intervallumba, itt f = 5. A végpontokban f =, f = 8, így min =, max = 5. I I c f x = 5x 4 5 = 5x 4, ennek zérushelyei x = és x =. Mindkett beleesik az adott intervallumba, itt f =, ez egyben végpont is, ill. f = 6. A másik végpontban f =, így min = 6, max =. I I 4. a A feladat annak meghatározása, hogy a T t = t t függvénynek az [8, ] 6 intervallumon hol van és mennyi a maximuma és minimuma. T t = t, ennek zérushelye t = 6. Ez beleesik az adott intervallumba, itt 8 T 6 = 6. A végpontokban T 8 = és T = 5. Így a legkisebb h mérséklet 8 órakor C, a legnagyobb h mérséklet 6 órakor 6 C volt. b Ha a kerület, a félkerület 5. Az egyik oldalt x-szel jelölve a terület x5 x. Az x5 x = 5x x kifejezés maximumát a derivált segítségével határozzuk meg: f x = 5 x, így f x =, azaz x = 5 esetén lehet szélsôérték, itt a terület 5. Innen:. módszer: x [, 5], a végpontokban x5 x értéke, így x = 5 esetén maximális a terület amikor négyzet.. módszer: f x =, ami 5-ben is negatív, ezért ott lokális maximum van. Mivel az els derivált sehol máshol nem, így f végig n 5 el tt és végig csökken 5 után, így 5-ben globális maximum is van. 5
6 c N t = λn e λt <, így a függvény végig szigorúan csökken. N = N >, a + -ben pedig a határérték. 6
7 A 4. gyakorlat HF-inak megoldása x. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! x 4 dx = x5 5 + c, mert x 5 5 = x 4 ; x dx = x dx = 4 x 4 + c; x 9 5x + dx = x 9 dx 5 x dx + x dx = x 5x + x + c = 5x + x + c; x + 6 x 8 dx = x x 6 dx + x dx 8 x dx = x ln x 8x + c = = 5 x 5 + ln x x + c; cos x e x + sin x dx = cos x dx e x dx + sin x dx = sin x e x + cos x + c; e x + cos x e x + sin x dx =? útm.: a számláló a nevez deriváltja: ex + sin x = e x + cos x, így e x + cos x e x e x + sin x dx = + sin x e x + sin x dx = ln ex + sin x + c; x x x dx = x dx = ln x + c, ugyanis x = x; x x dx = x x dx = x x dx = ln x + c; x x 4 + dx = 4x 4 x 4 + dx = x x 4 + dx = 4 ln x4 + + c; sin x sin x cos x tg x dx = cos x dx = cos x dx = dx = ln cos x + c; cos x sin x dx = cos x + c; e 4x dx = 4 e4x + c; e x dx = e x = e x + c; e x 4 dx = e x x 4 + c = 4e 4 + c; 4 cos x dx = dx = x cos x dx = sin x + c; x dx = x 7 + c = x + c;
8 e x dx = e x + c; x dx = e x x dx = x = x + c; e x + dx =? útmutatás: a számláló a nevez deriváltja-e? e x + = e x e x e x + dx = e x e x + dx = ln e x + + c.. Számítsuk ki az alábbi, racionális törtfüggvényekre vonatkozó határozatlan integrálokat! 4x + dx = ln 4x + + c; 4 x dx = ln x + c; dx =? x 6x + 8 x dx = ln 4 x + c; 4 x 6x+8 = x 4x, = x 6x+8 4 x 4 x így x 6x + 8 dx = x 4 dx x dx = ln x 4 ln x + c = ln x 4 +c; x x + x dx =? x + x = x x +, =, x +x + x x+ így x + x dx = x dx x + dx = ln x ln x + + c = ln x +c; x + x x dx =? x x = xx, =, így x x x x x x dx = x dx+ x dx = ln x + ln x +c = ln x +c; x x dx = x dx =? x = x x +, =, x x x+ így x dx = ln x +c; x + x + 9 dx = x x + 9 dx = x dx x + dx = x x + 9 dx = lnx c., = x + dx ln x ln x + +c = x + dx = arc tgx + c;. Adjunk megoldóképletet az alábbi integrálokra, ahol u adott állandó! 8
9 x u dx =? x u = x ux + u. Nézzük a következ kifejezést: = x+u x u = u. Tehát =, így x u x+u x ux+u x u x u u x u x+u x u dx = u x u dx x + u dx = ln x u ln x + u +c = u u ln x u +c; x + u dx =? x u útm.: az fkx + b dx tanult típusba esik, ahol fx = = x, k =, b = u és x F x = x = x. Az órai anyag alapján fkx + b dx = F kx + b + c, azaz k x u dx = x u + c. 4. Integrálás más változó szerint. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! t + e t dt = t dt + e t dt = t + et + c; c R + s ds = s + s + c. 9
10 Az 5. gyakorlat HF-inak megoldása lesz:. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! cos x dx = + cos 6x dx = x + 6 sin 6x + c. x + sin x dx =? Legyen gx = x + és f x = sin x, így fx = cos x jó sin x x + dx = cos x x + x + x dx =? Itt x = t kiejti a gyököt: dx = dt t, így dx = t dt. Ezeket beírva: dx = t dt = x + x t + t = ln x + + c. e x cose x dx =? beírva: e x cose x dx = Ha x = ln t, akkor e x = t, ill. t cos t t dt = cos x dx = x + cos x + sin x + c. x = t vehet t >, ekkor + t dt = ln t+ +c = ln x+ +c dx dt cos t dt = sin t + c = sine x + c. = t, így dx = dt. Ezeket t. a Mekkora az y = x x parabola és az x tengely közti terület? Útm.: a x értékekre lesz a görbe alatti rész. [ x T = x x ] dx = x := = = 6. b Egy l hosszú inhomogén s r ség vékony rúd tömege a s r ségfügvény. Ha l = és ϱx = [ + x dx = ln + x ] +x = ln ln = ln.. Számítsuk ki az alábbi határozott integrálokat! e x dx = [ e x] = e + e = e +. x e x dx = l, mekkora a rúd tömege? ϱx dx, ha ϱ : [, l] R e x x dx = [ e x x ] e x dx = [ e x x ] [ e x] = e + e e = e +. Parc. integrálás volt, fx := e x és gx := x. π/ [ π/ cos x] x cos x dx = π/ cos x x dx = [ sin x x] π/ π/ sin x dx = [ sin x x] π/
11 4 beírva: 4 = π + = π. Parc. integrálás volt, fx := sin x és gx := x. e x x dx =? Itt x = t kiejti a gyököt: x = t vehet t >, ekkor dx dt = t, így dx = t dt. Végpontok: ha x = vagy 4, akkor t = x = vagy. Ezeket e x e t dx = t dt = x t x e x dx = t e t t dt = e t dt = [ e t] = e e = e. e t dt = [ e t ] = e e = e, ahol az x = dx t helyettesítést használtuk; = dt, ill. az x = és végpontokból t t = x = és lesz, azaz most nem változnak. megadott x = sin t helyettesítést használjuk a [, π ] intervallumon. dx =? A x Mint a gyakorlaton: ez a helyettesítés a t =, t = π végpontokat x = -ba és x = -be viszi; = cos t, így dx = cos t dt; dx dt felhasználjuk, hogy ha t [, π ], akkor sin t = cos t = cos t = cos t. Ezeket beírva: π/ dx = x π/ sin t cos t dt = cos t cos t dt = π/ dt = [t] π/ = π.
12 [ x dx = x / e x dx = [e x [ ] + x dx = ln x [ x dx = x ] A 6. gyakorlat HF-inak megoldása ] + ] + = lim x + x = = ; = lim x + e e = = ; = lim ln x ln = + = + ; x + = =.. Számítsuk ki az alábbi függvények els parciális deriváltjait! a fx, y := e x sin y fx, y = e x sin y, fx, y = e x cos y; fx, y := x y 4 fx, y =, fx, y = ; fx, y := x y + xy fx, y = xy + y, fx, y = x + xy; fx, y := x y 5 xy 4 + 7y fx, y = x y 5 y 4, fx, y = 5x y 4 xy + 7; fx, y := e x y fx, y = e x y, fx, y = e x y ; fx, y := e x y fx, y = e x y x, fx, y := x y fx, y = x y, fx, y = e x y y; fx, y = x y ; fx, y := lnx + y fx, y = x, x +y fx, y = y ; x +y fx, y := lnx 4 + y 4 fx, y = 4x, x 4 +y 4 fx, y = 4y ; x 4 +y 4 fx, y := x + y + fx, y = x x = x +y + x, fx, y = +y + y x +y + ; fx, y := x + y 4 / fx, y = x + y 4 / x, fx, y = x + y 4 / y; b fu, v := 4u + 9v fx, y = 4 4u+9v, fx, y = 9 4u+9v ; fm, T := mt fx, y =, m T fx, y = ; mt c fx, y, z := x + y + z fx, y, z = x, fx, y, z = y, fx, y, z = z;
13 fx, y, z := xy z fx, y, z = y z, fx, y, z = xy z, fx, y, z = xy z.. Második parc. deriváltak=? Felhasználjuk, hogy f = f. fx, y = e x sin y. Ekkor fx, y = e x sin y fx, y = e x sin y, fx, y = e x cos y; fx, y = e x cos y fx, y = e x sin y. fx, y = lnx + y. Ekkor fx, y = x x +y fx, y = x +y x x x +y = y x x +y, fx, y = x y x +y = 4xy x +y ; fx, y = y x +y fx, y = x +y y y x +y = x y x +y. fx, y, z = xyz. Ekkor fx, y, z = yz fx, y, z =, fx, y, z = z, fx, y, z = y; fx, y, z = xz fx, y, z =, fx, y, z = x; és fx, y, z = xy fx, y, z =. 4. f x, y =? fx, y = lnx + y f x, y = x x +y fx, y = x 5y, x 4 y + x f x, y = y x +y ; x 5 8x y + 6x 4 y.
14 A 7. gyakorlat HF-inak megoldása. Írjuk fel az alábbi f : R R függvények Hesse-mátrixát; els - és másodfokú Taylor-polinomját! a., fx, y := e x cos y. e f x, y := e x cos y, e x sin y, f x, y = x cos y e x sin y e x sin y e x cos y u f, =,, T u, v := +, = + u; v f, =, ennek kvadr. alakja: u u u u = = u v, ebb l v v v v ; T u, v = + u + u v. b., fx, y := ln + x + y. f x, y := +x+y, +x+y, f x, y = +x+y +x+y 4 +x+y +x+y = u + v; u f, =,, T u, v := +, v f, =, ennek kvadr. alakja: 4 u u u v u = = u 4 4uv 4v, ebb l v v u 4v v T u, v = u + v u + 4uv + 4v. ; c., fx, y := + x y. 6 + x y 6 + x y f x, y := +x y, +x y, f x, y = 6 + x y 6 + x y u f, =,, T u, v := +, = + u v; v 6 6 f, =, ennek kvadr. alakja: u u 6u 6v u = = 6u 6 6 uv + 6v, ebb l v v 6u + 6v v ; T u, v = + u v + 6u uv + 6v = + u v + u 6uv + v. 4
15 . Számítsuk ki azaz írjuk fel z = a + ib algebrai alakban: + i + + i = 4 + i, + i + i = + i + i + i = + 5i = + 5i, + i = 4 + 4i + i = 4 + 4i = + 4i.. Ábrázoljuk a komplex síkon: z = i: a sík, vektorának feleltethet meg, z = i + 6: a sík 6, vektorának feleltethet meg, z = 5e i π : azaz r = 5 és ϕ = π. Ekkor z = 5cos π +i sin π = 5 +i = 5+ 5 i, vagyis a sík 5, 5 vektorának feleltethet meg. 4. Oldjuk meg! x + 4x + = x, = 4± 6 5 = 4± 6 = 4±6i = ± i. x 4x + 9 = x, = 4± 6 6 = 4± i = ± i. x + = x = x, = ±i. Kijön a megoldóképletb l is. 5. Írjuk fel polárkoordinátákkal, majd annak exponenciális alakjában! z = i : a jobb alsó negyedsíkban van, a valós rész a képzetesnek -szerese, így ϕ = 7π 4 ; r = + =. Ebb l z = cos 7π + i sin 7π = 4 4 ei 7π 4. z = + i: a bal fels negyedsíkban van, a valós rész a képzetesnek -szerese, így ϕ = π 4 ; r = + =. Ebb l z = cos π + i sin π = e i π z = i: A sík, vektorának feleltethet meg ϕ = π, r = + =. Ebb l z = cos π + i sin π = ei π. z = : A sík, vektorának feleltethet meg ϕ = π, r = + =. Ebb l z = cos π + i sin π = e iπ. 6. Írjuk fel algebrai azaz a + ib alakban! z = e i π : azaz r = és ϕ = π. Ekkor z = cos π + i sin π = + i = i. z = e i π 6 : azaz r = és ϕ = π 6. Ekkor z = cos π 6 + i sin π 6 = + i. z = e 4iπ : azaz r = és ϕ = 4π. Ekkor z = cos 4π + i sin 4π = + i =. z = e iπ : azaz r = és ϕ = π. Ekkor z = cos π + i sin π = + i =. 7. Legyen z = e i π 4. Ábrázoljuk a z, z, z,..., z 8 hatványokat! Útmutatás: itt z n = e iϕ n = e inϕ. z n = e i nπ 4, azaz az egységkörön az nπ szögnél lev pontba mutató vektor. Itt z tehát 4 a π = 4 45 szög egységvektor, és n növelésével ezt forgatjuk tovább mindig 45 -kal. Ha n = 8, akkor visszajutunk az pontba, azaz z 8 = e 8i π 4 = e πi =. Menet közben a páros hatványok: z = i, z 4 =, z 6 = i, z 8 =. A páratlan hatványokra z n == ±±i megfelel el jelekkel. 5
16 A 8. gyakorlat HF-inak megoldása Számítsuk ki az alábbi függvényt! Γ f vonalintegrálokat! Ahol lehet, használjunk primitív a ϕ : [, ] R, ϕt := t +, t; fx, y := x y, x + y. Itt f x, y = f x, y =, így nincs primitív függvény. fϕt =, 5t +, ϕ t :=,, fϕt ϕ t =, 5t +, = + 5t + = 5t + 4 [ 5 f = 5t + 4 dt = t + 4t] =. Γ b ϕ : [, π] R, ϕt := cos t, sin t; fx, y := x y, x + y. fϕt = cos t sin t, cos t + sin t, ϕ t := sin t, cos t, fϕt ϕ t = cos t sin t, cos t+sin t sin t, cos t = cos t sin t+ sin t+ cos t + sin t cos t = sin t + cos t = t π f = dt = 4π. Γ c ϕ : [, π] R, ϕt := cos t, sin t; fx, y := x y, x + y. Itt f x, y = = f x, y, így van primitív függvény. F x, y = x y dx = x4 4 xy + cy x 4 xy + cy = x + c y = 4 x + y, azaz c y = y, így F x, y = x4 4 xy + y4 4 + c. Itt ϕ = cos, sin =,, és hasonlóan ϕπ =,, így = Γ f = 4 4 d ϕ : [, ] R, ϕt := t, t; fx, y := x, y. Itt f x, y = = f x, y, így van primitív függvény. F x, y = x + y + c. Itt ϕ =, és ϕ =,, így f = =. Γ A tanult módszerrel e ϕ : [, π] R, ϕt := cos t, sin t; fx, y := x x +y, y x +y. xy Itt f x, y = f x, y =, így van primitív függvény. A iii mintapéldához hasonlóan, most az α = / esetben, F x, y = x + y + c. x +y / Mint a c feladatban, ϕ =, és ϕπ =,, így f = =. Γ 6
17 f ϕ : [, ] R, ϕt := t, t; fx, y := x x +y +, xy y x +y +. Itt f x, y = f x, y =, így van primitív függvény. A iii mintapélda módszerét használjuk: most ht =, így Ht = ln t + c. Ebb l F x, y = x +y + t lnx + y + + c. Itt ϕ =, és ϕ =,, így f = ln ln = ln. g ϕ : [a, b] R, melynek Γ képe ellipszis; fx, y := x x +y +, Γ y x +y +. Az el z f feladat szerint van primitív függvény. Mivel Γ zárt görbe, így Γ f =. 7
18 A 9. gyakorlat HF-inak megoldása. Számítsuk ki div f-et és rot f-et! a fx, y := x + y, x y div fx, y = x y, rot fx, y = x y. b fx, y := x y, x + y div fx, y = 4, rot fx, y = 6. c fx, y, z := x + y, y + z, x + z div fx, y, z = x + y + z, rot fx, y, z = z, x, y T. c fx, y, z := x + y + z, xyz, div fx, y, z = + xz, rot fx, y, z = xy,, yz T. A T transzponáltat jelent, azaz sor helyett a megfelel oszlopvektort.. Számítsuk ki az alábbi f Riemann-integrált! T := [ π, π ] [, π], fθ, ϕ := cos θ. f = T π π π A bels integrál: Ebb l T f = T cos θ dθ dϕ =? π π π cos θ dθ = [ ] π sin θ θ= π dϕ = π = 4π. = =.. Rajzoljuk fel az alábbi r függvények által meghatározott forgástesteket, majd számítsuk ki a térfogatukat a tanult képletb l! a Legyenek R, m > számok és r : [, m] R +, Ez egy R sugarú, m magasságú henger. m m [ V = π r x dx = π R dx = π R x ] m x= b r : [, ] R +, rx := + x. V = π r x dx = π +x dx = π [x+ x = π Számítsuk ki az alábbi f felszíni integrálokat! a S egy sugarú gömbfelület, f. S = πr m. ] x= A gyakorlaton szerepelt, hogy ha c R állandó, akkor rx R konstans. = π + = S c = c AS, ahol AS az S felszíne. Most c =, és tudjuk, hogy az sugarú gömbfelszíne A = 4r π = 4π; így 4π = π. = S b S egy sugarú gömbfelület, melyet vízszintes felez síkkal az S alsó és S fels félgömbre bontunk; 8
19 {, ha x S, fx :=, ha x S. Útmutatás: S f = f + S f. S Itt AS = π, a félgömb felszínére vonatkozó r π képlet alapján, így AS = π. Ugyanígy AS = π. π + π = π. Így S = AS = π. Vagyis S f = S = f + f = S S c Az egyes oldalak felszíne 4, így az egyes oldalakon vett integrálok értéke a megfelel konstans 4-szerese. Az S-en vett integrál értéke ezek összege, azaz f = =. 5. Ellen rizzük az alábbi példákon a vektoranalízis ismert azonosságait! a rot f = f, ahol legyen D az egységkörlap és Γ annak határa azaz az D Γ egységkörvonal pozitív irányítással, valamint fx, y := y, x. Útmutatás: A jobboldali integrál: a kérdéses vonalintegrált már kiszámoltuk, ill. rot f konstans lesz. Legyen ϕ : [, π] R, ϕt := cos t, sin t egységkörív, Γ a képe, fx, y := y, x. Ekkor f = π. A 8. gyakorlaton számoltuk ki. Γ A baloldali integrál: rot f = f f = D D D = D = AD = π. Ugyanis D az egységkörlap, így a területe: AD = π = π. b div f = f ν, ahol legyen D az egységgömb és S annak felülete, valamint D fx, y, z := x, y, z. Útmutatás: S az el adáson láttuk, hogy f ν ; másrészt div f is konstans lesz. A jobboldali integrál: f ν = = AS = 4π. S S A baloldali integrál: div f = f + f + f = D D D + + = ugyanis az egységgömb térfogata: V D = 4 π = 4π. D = V D = 4π S = 4π, 9
20 . y = Ky alakú egyenletek. A. gyakorlat HF-inak megoldása i Megoldás: Az egyenlet: y =, 4y. Megoldása: a modell miatt y >, ebb l dy dx =, 4 y dy y =, 4 dx ln y =, 4 x + c c R tetsz. y = e c e,4 x = c e,4 x, azaz yx = c e,4 x c > tetsz. A kezdeti értékb l y := y = c e = c, így yx = y e,4 x. ii Megoldás: Az egyenlet: y = λy, azaz y =, 45 y. A modell miatt y >, ebb l dy dx =, 45 y dy y =, 45 dx ln y =, 45 x + c c R tetsz. y = e c e,45 x = c e,45 x, azaz yx = c e,45 x c > tetsz. A kezdeti értékb l = y = c e = c, így yx = e,45 x. Ha x = 5568: y5568 = e, = e,696, 5 = 5. Azaz, kb év a felezési id.. y = ay + b alakú egyenletek i Megoldás: Az egyenlet: y =, y, 45.. lépés: konstans megoldás y, 45, de ez nem felel meg a megadott y =, 8 kezdeti feltételnek.. lépés: ha y, 45, azaz a kezdeti feltétel miatt mindvégig y >, 45. Ekkor dy dx =, y, 45 dy y, 45 =, dx lny, 45 =, x + c c R tetsz. y, 45 = e c e, x = c e, x, azaz yx =, 45 + c e, x c > tetsz. A kezdeti értékb l, 8 = y =, 45 + c, azaz c =, 5. Tehát yx =, 45 +, 5 e, x. ii Megoldás: Az egyenlet: T =, 66 T.. lépés: konstans megoldás T, de ez nem felel meg a megadott T = kezdeti feltételnek.. lépés: ha T, azaz a kezdeti feltétel miatt mindvégig T >. Ekkor dt dt =, 66 T dt T =, 66 dt ln T =, 66 t + c c R tetsz.
21 T = e c e,66 t = c e,66 t c > tetsz., azaz T = c e,66 t c R tetsz., azaz T t = c e,66 t c R tetsz. A kezdeti értékb l = T = c, azaz c = 9. Tehát T t = + 9 e,66 t, végül ebb l T 6 = + 9 e, C.. y = ay + by + d alakú egyenletek i Megoldás: Az egyenlet: y = KyM y.. lépés: konstans megoldások y nincs bakt. és y M egyensúlyi állapot.. lépés: ha < y < M, akkor dy dx = KyM y dy ym y = K dx dy yy M = K dx. Integrálunk: a bal oldal nevez je y-nak másodfokú polinomja a és M valós gyökökkel, így a tanult képlet használható, amib l M ln y M = Kt + c c R tetsz., ez a < y < M feltétel miatt y M ln M y y M y y = Kt + c c R tetsz. Ebb l kell kifejeznünk y-t: = e KMt+c = c e KMt c > tetsz. Ez y-nal szorozva lineáris egyenlet, megoldása: y = M + c e KMt. Észrevétel: yt id ben növ függvény, és t esetén y tart az M eltartóképességhez. ii Megoldás: Az egyenlet: y =, 5 y y.. lépés: a konstans megoldások y és y, de ezek nem felelnek meg a megadott y < feltételnek.. lépés: y < miatt leoszthatunk. Azaz: dy dy =, 5 y y dx y y =, 5 dx dy y y =, 5 dx. Integrálunk: a bal oldal nevez je y-nak másodfokú polinomja a és valós gyökökkel, így a tanult képlet használható, amib l ln y =, 5 t + c c R tetsz., ez a y < feltétel miatt y ln y y =, 5 t + c c R tetsz. Ebb l kell kifejeznünk y-t: y y = et+c = c e t c > tetsz. Ez y-nal szorozva lineáris egyenlet, megoldása: y = c e t c e t. A kezdeti értékb l = y = c c, így c =. Tehát y = et e t.
22 A. gyakorlat HF-inak megoldása. Adjuk meg az alábbi KDE-k általános megoldását! a Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ +6λ 8 =, melynek megoldása: 4,. Így a megoldása általános alakja: c e 4t + c e t. b Megoldás: Az karakterisztikus polinom: λ + λ + =, melynek megoldása: 6 4 kétszeres gyök. Így a megoldása általános alakja: c e 4 t + c te 4 t. c Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: 4λ + 9 =, melynek megoldása: ± ß,. Így a megoldása általános alakja: c cos t + c sin t = A cos t ϕ. d Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ λ+7 =, melynek. Rezg körök. megoldása: 4ß, + 4ß. Így a megoldása általános alakja: e c t cos4t + c sin4t = Ae t cos 4t ϕ. a Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: Lλ + =, melynek C megoldása: ±ß C L. Így az általános megoldás c cos t+c CL sin t = CL A cos CL t ϕ. b Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ + =, melynek megoldása: ß/, ß/. Így a megoldása általános alakja: c cos t + c sin t = A cos t ϕ. c Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ + λ + 4 =, mely- ±ß nek megoldása:. Így a megoldása általános alakja: e c t cos t + c sin t = Ae t cos t ϕ. d Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ + λ +,8 =, melynek egy kétszeres megoldása:, 5. Így a megoldása általános alakja: c e,5t + c te,5t. e Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ + 4, 5λ + =, melynek megoldása:,, 5. Így a megoldása általános alakja: c e t + c e,5t.. Megoldás: a A KDE karaktersiztikus egynelete: λ + 6 =, amelynek két megoldása ±4ß, azaz a megoldás általános alakja: yt = c cos4t + c sin4t, ebb l az y = feltételt felhasználva kapjuk, hogy c =, továbbá y = = 4c, azaz c =. Megoldás: b Láttuk, hogy az általános megoldás yt = c e t + c e 4t, ebb l y = = c + c és y = = c 4c következik. Az egyeletrendszert megoldva c = és c = adódik.
23 4. Megoldás: a Az dierenciálegyenlet rendszer mátrixa:, melynek 4 karakterisztikus polinomja: λ + λ 6 =, amelynek megoldásai λ =, λ =. Egy-egy konkrét sajátvektor pedig: és. A megoldás tehát: xt = c yt e t + c e t 4c e = t + c e t c e t + c e t Megoldás: b Hasonlóan, az egyenletrendszer mátrixa:, melynek karakterisztikus polinomja: λ 6λ + 5 =, amelynek megoldásai λ = 5, λ =. 4 Egy-egy konkrét sajátvektor pedig: és. A megoldás tehát: xt = c yt e 5t + c e t c e = 5t + c e t c e 5t c e t..
ANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
RészletesebbenGYAKORLAT. 1. Egyváltozós függvények deriválása (ismétlés)
GYAKORLAT. félév I. Bevezető.. Egyváltozós függvények deriválása (ismétlés). Jelölés: f (x) helyett néha kényelmesebb ( f(x) ) -t írni, pl. (e x ) = e x. (Bár a függvényt és nem a függvényértéket deriváljuk.).
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok
Kalkulus I. gyakorlat, megoldásvázlatok Fizika BSc I/.. Ábrázoljuk a következ halmazokat a síkon! a {, y R : + y < }, b {, y R : + y < }, c {, y R : + y
RészletesebbenFigyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!
Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
Részletesebben1. Monotonitas, konvexitas
1. Monotonitas, konvexitas 1 Adjuk meg az alabbi fuggvenyek monotonitasi intervallumait! a) f (x) = x 2 (x 3) B I b) f (x) = x x 5 I c) f (x) = (x 2) p x I d) f (x) = e 6x 3 3x 2 I 2 A monotonitas vizsgalat
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok 9. november Határozatlan integrálás Elemi függvények integrálja 4.5. 4.6. 3 4.7. ( ) 4.8. ( ) 4.9. + 4 4.. ( + )( + ) 4.4. + ( + ) 4.5. 4.6. 6 5 + 5 ln + 4.8. cos cos sin
Részletesebben1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.
Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7
RészletesebbenMatematikai analízis II.
Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
Részletesebben2. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 2014/2015 tanév első félév)
. Házi feladat és megoldása (DE, KTK, 4/5 tanév első félév) () Határozza meg a következő függvények (első) deriváltját: 3 + f() ctg, g() (3 )3 tg, h() cos( 3 + e ), i() lg(ln(e + 4 ln )), j() (3) ln, k()
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
Részletesebben1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása
Tartalomjegyzék. Analizis A) gyakorló feladatok megoldása.................... Egyenl tlenségek, matematikai indukció, számtani-mértani közép....... Számsorozatok............................... 5... Számorozatok................................
RészletesebbenA gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
Részletesebben= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.
. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenMatematika A1. 9. feladatsor. A derivált alkalmazásai. Függvény széls értékei
Matematika A1 9. feladatsor A derivált alkalmazásai Függvény széls értékei 1. Keressük meg a függvények abszolút maximumát és minimumát a megadott intervallumon. Ezután rajzoljuk fel a függvény grakonját.
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)
Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
RészletesebbenFüggvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenMatematika M1 Gyakorlat
Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA dierenciálszámítás alapjai és az érint
A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenGyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz
Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F
RészletesebbenSpeciális függvénysorok: Taylor-sorok
Speciális függvénysoro: Taylor-soro Állítsu elő az alábbi függvénye x 0 0 helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel és állapítsu meg a hatványsor onvergenciatartományát! A cos 5x függvény
RészletesebbenSzélsőérték-számítás
Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
Részletesebben