(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

Átírás

1 Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x + sh x = sh x + x + ch x, = x sin x x cos x, sin x e x x+ = e x x+ e x x+, x+ x 4 = x 4 x+ x, sinx x 4 = cosx x, e cos x = e cos x sin x, ctg e x = e sin x sin e x, x = sin x cos x, + x 6 = 6 + x5, sin x = sin x = cos x ln sin x, + x = x, ln 4x +x = 4 4x, ln x +x 4 = x+ ln x +x 4, cos x = sin x = sin x tg x cos x, = cos x, e x = e x, x + = x +, x = x / = sin x, x e x = cos x e x sin x e x, cos x = sin x cos x, +x = e, x shx e +x x = x shx+ e x chxx / / ex shx x /, x x + x = + x + x + x / x = + x + x, +x cosx = sinx x cos x, + e x / = + e x / e x, x =, x x + cos 4x + = x + cos 4x + x 4 sin 4x, x = x, x x 5/ = 5x x /, +x 4 = + x 4 / = x + x 4 /, x = x =, = x, x +x +x x = +x x = x x, +x +x +x +x = x = x / x x / x / x e x = x e x, ex = +x ln x +x xe x +x +x x +x, +x = x / +x x / x x e x + = x +x x 4ex, e x + +x = = e x +xe x +x xe x +x. x,. Számítsuk ki az alábbi deriváltakat! a Ha c Ha s = t, akkor ds dt u = e T, akkor du dt = e T T. = t. b Ha T = V, akkor dt dv =.. Számítsuk ki az alábbi határértékeket! L'Hospital-szabállyal:

2 FONTOS: Mindegyik határérték típusú, így alkalmazhatjuk a L'Hospital-szabályt. sin x lim x x cos x lim x x x sin x lim x x = lim cos x = cos = ; x sin x = lim x x cos x = lim x x = lim cos x = ; x sin x = lim x 6x = lim cos x = x 6 6 ; lim x e x x x x e = lim x x x x e = lim x x 6x = lim x e x 6 = e 6 = 6.

3 A. gyakorlat HF-inak megoldása rajzok nélkül. Keressük meg az alábbi f : R R függvények lokális minimum- és maximumhelyeit, valamint hogy mely intervallumokon növ k/csökken k! Határozzuk meg a limeszüket ± -ben, végül rajzoljuk fel a grakonjukat! a fx := x x + 5; f x := x 6x = xx f x > el tt, f x < és közt, f x > után f n el tt, csökken és közt, n után -ban lok. max., -ben lok. min. Határértékek: a f együttható el jele pozitív, így f limeszei megegyeznek x limeszeivel: lim f =, lim f = +. + b fx := x 4 x ; f x := 8x x = x4x. Itt 4x < x <, azaz ha < x <, és 4x > x >, azaz ha x < vagy x >. Így f x < el tt, f x > és közt, f x < és közt, f x > után -ben lok. min., -ban lok. max., -ben lok. min. Határértékek: a f együttható el jele pozitív, így f limeszei megegyeznek x 4 limeszeivel: lim f = lim f = +. + c fx := 5x x 5 ; f x := 5 5x 4 = 5 x 4 Itt x 4 > x <, azaz ha < x <, és x 4 < x >, azaz ha x < vagy x >. Így f x < - el tt, f x > - és közt, f x < után... f csökken - el tt, n - és közt, csökken után --ben lok. min., -ben lok. max. Határértékek: a f együttható el jele negatív, így f limeszei megegyeznek x 5 limeszeivel: lim f = +, lim f =. +. Igaz-e, hogy az alábbi f : R R függvények lokális maximumhelye egyben globális maximumhely is? a A fenti.b pontbeli fx := x 4 x esetén: nem igaz, hiszen amiatt, hogy lim f = lim f = +, a függvény akármilyen nagy értéket felvehet. + b fx := x e x. Útmutatás: itt is el ször keressük meg a lokális minimum/maximumhelyeket a tanult módszerrel. f x := e x x e x = e x x. f x > el tt, f x < után f n el tt, csökken után Itt e x > x-re, így

4 -ben lok. max., és ez globális is, mivel el tte f végig n, utána végig csökken azaz csak kisebb értékei vannak. A válasz itt tehát "igen".. Keressük meg az alábbi f : R R függvények lokális minimum- és maximumhelyeit!. deriválttal. a fx := x 6 + 6x +. f x := 6x = 6x 5 +. Itt f x = x =. f x := x 4, így f := > --ben lok. min. van b fx := 4 + x x. f x := x = x. Itt f x = x = vagy x =. f x := 6x, így f := 6 > --ben lok. min. van, f := 6 < --ben lok. max. van. 4

5 . A függvények grakonját az ismert függvények grakonja segítségével, valamint a végtelenben és a szakadási helyeken vett határértékek kiszámításával tudjuk meghatározni. a fx = x 4. Ez a függvény az függvény negyedik hatványa. A képe két hiperbolához hasonló ág. ÉT: R \. ÉK: R x + b fx = x. Ez a függvény az függvény harmadik hatványa. A képe hiperbolához x hasonló. ÉT: R \. ÉK: R \. c fx = x 5/. Ez a függvény az x függvény -nél nagyobb hatványa, x < x 5/ < x. A fv. képe hasonló egy parabola jobb oldali feléhez. ÉT: R +. ÉK: R. d fx = x /. Ez a függvény az függvény -nél nagyobb hatványa. A képe egy x hiperbolaághoz hasonló. ÉT: R +. ÉK: R. e A logaritmus alapja -nél nagyobb szám. A függvény szig. növ, + -ban vett határértéke mínusz végtelen, a plusz végtelenben vett határértéke pedig plusz végtelen. Az -a-e feladatokhoz külön le-ban ábrák is találhatók.. a A mínusz végtelenben vett határérték, a plusz végtelenben vett határérték plusz végtelen. A függvény mindenütt pozitív, és szigorúan monoton nô. b Mínusz végtelenben a kitevô mínusz végtelenhez tart, tehát a határérték ; plusz végtelenben szintén. Deriváltja f x = e x / x, ami x = esetén, el tte pozitív, utána negatív. Így f a el tt szig. növ, utána szig. csökken, így a -ban lok. maximuma van és ez. A függvény páros, azaz szimmetrikus az y tengelyre. c Ennek a függvénynek a grakonja az elôzô függvény grakonjának az x tengely irányú, egységnyi eltolásával kapható.. a f x = x = x, ennek zérushelye x =, ez bele is esik az adott intervallumba, itt f =. A végpontokban f =, f =, így min =, I max =. I b f x = x = 4 x, ennek zérushelyei x = és x =. Ezekb l esik az adott intervallumba, itt f = 5. A végpontokban f =, f = 8, így min =, max = 5. I I c f x = 5x 4 5 = 5x 4, ennek zérushelyei x = és x =. Mindkett beleesik az adott intervallumba, itt f =, ez egyben végpont is, ill. f = 6. A másik végpontban f =, így min = 6, max =. I I 4. a A feladat annak meghatározása, hogy a T t = t t függvénynek az [8, ] 6 intervallumon hol van és mennyi a maximuma és minimuma. T t = t, ennek zérushelye t = 6. Ez beleesik az adott intervallumba, itt 8 T 6 = 6. A végpontokban T 8 = és T = 5. Így a legkisebb h mérséklet 8 órakor C, a legnagyobb h mérséklet 6 órakor 6 C volt. b Ha a kerület, a félkerület 5. Az egyik oldalt x-szel jelölve a terület x5 x. Az x5 x = 5x x kifejezés maximumát a derivált segítségével határozzuk meg: f x = 5 x, így f x =, azaz x = 5 esetén lehet szélsôérték, itt a terület 5. Innen:. módszer: x [, 5], a végpontokban x5 x értéke, így x = 5 esetén maximális a terület amikor négyzet.. módszer: f x =, ami 5-ben is negatív, ezért ott lokális maximum van. Mivel az els derivált sehol máshol nem, így f végig n 5 el tt és végig csökken 5 után, így 5-ben globális maximum is van. 5

6 c N t = λn e λt <, így a függvény végig szigorúan csökken. N = N >, a + -ben pedig a határérték. 6

7 A 4. gyakorlat HF-inak megoldása x. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! x 4 dx = x5 5 + c, mert x 5 5 = x 4 ; x dx = x dx = 4 x 4 + c; x 9 5x + dx = x 9 dx 5 x dx + x dx = x 5x + x + c = 5x + x + c; x + 6 x 8 dx = x x 6 dx + x dx 8 x dx = x ln x 8x + c = = 5 x 5 + ln x x + c; cos x e x + sin x dx = cos x dx e x dx + sin x dx = sin x e x + cos x + c; e x + cos x e x + sin x dx =? útm.: a számláló a nevez deriváltja: ex + sin x = e x + cos x, így e x + cos x e x e x + sin x dx = + sin x e x + sin x dx = ln ex + sin x + c; x x x dx = x dx = ln x + c, ugyanis x = x; x x dx = x x dx = x x dx = ln x + c; x x 4 + dx = 4x 4 x 4 + dx = x x 4 + dx = 4 ln x4 + + c; sin x sin x cos x tg x dx = cos x dx = cos x dx = dx = ln cos x + c; cos x sin x dx = cos x + c; e 4x dx = 4 e4x + c; e x dx = e x = e x + c; e x 4 dx = e x x 4 + c = 4e 4 + c; 4 cos x dx = dx = x cos x dx = sin x + c; x dx = x 7 + c = x + c;

8 e x dx = e x + c; x dx = e x x dx = x = x + c; e x + dx =? útmutatás: a számláló a nevez deriváltja-e? e x + = e x e x e x + dx = e x e x + dx = ln e x + + c.. Számítsuk ki az alábbi, racionális törtfüggvényekre vonatkozó határozatlan integrálokat! 4x + dx = ln 4x + + c; 4 x dx = ln x + c; dx =? x 6x + 8 x dx = ln 4 x + c; 4 x 6x+8 = x 4x, = x 6x+8 4 x 4 x így x 6x + 8 dx = x 4 dx x dx = ln x 4 ln x + c = ln x 4 +c; x x + x dx =? x + x = x x +, =, x +x + x x+ így x + x dx = x dx x + dx = ln x ln x + + c = ln x +c; x + x x dx =? x x = xx, =, így x x x x x x dx = x dx+ x dx = ln x + ln x +c = ln x +c; x x dx = x dx =? x = x x +, =, x x x+ így x dx = ln x +c; x + x + 9 dx = x x + 9 dx = x dx x + dx = x x + 9 dx = lnx c., = x + dx ln x ln x + +c = x + dx = arc tgx + c;. Adjunk megoldóképletet az alábbi integrálokra, ahol u adott állandó! 8

9 x u dx =? x u = x ux + u. Nézzük a következ kifejezést: = x+u x u = u. Tehát =, így x u x+u x ux+u x u x u u x u x+u x u dx = u x u dx x + u dx = ln x u ln x + u +c = u u ln x u +c; x + u dx =? x u útm.: az fkx + b dx tanult típusba esik, ahol fx = = x, k =, b = u és x F x = x = x. Az órai anyag alapján fkx + b dx = F kx + b + c, azaz k x u dx = x u + c. 4. Integrálás más változó szerint. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! t + e t dt = t dt + e t dt = t + et + c; c R + s ds = s + s + c. 9

10 Az 5. gyakorlat HF-inak megoldása lesz:. Számítsuk ki az alábbi határozatlan integrálokat! cos x dx = + cos 6x dx = x + 6 sin 6x + c. x + sin x dx =? Legyen gx = x + és f x = sin x, így fx = cos x jó sin x x + dx = cos x x + x + x dx =? Itt x = t kiejti a gyököt: dx = dt t, így dx = t dt. Ezeket beírva: dx = t dt = x + x t + t = ln x + + c. e x cose x dx =? beírva: e x cose x dx = Ha x = ln t, akkor e x = t, ill. t cos t t dt = cos x dx = x + cos x + sin x + c. x = t vehet t >, ekkor + t dt = ln t+ +c = ln x+ +c dx dt cos t dt = sin t + c = sine x + c. = t, így dx = dt. Ezeket t. a Mekkora az y = x x parabola és az x tengely közti terület? Útm.: a x értékekre lesz a görbe alatti rész. [ x T = x x ] dx = x := = = 6. b Egy l hosszú inhomogén s r ség vékony rúd tömege a s r ségfügvény. Ha l = és ϱx = [ + x dx = ln + x ] +x = ln ln = ln.. Számítsuk ki az alábbi határozott integrálokat! e x dx = [ e x] = e + e = e +. x e x dx = l, mekkora a rúd tömege? ϱx dx, ha ϱ : [, l] R e x x dx = [ e x x ] e x dx = [ e x x ] [ e x] = e + e e = e +. Parc. integrálás volt, fx := e x és gx := x. π/ [ π/ cos x] x cos x dx = π/ cos x x dx = [ sin x x] π/ π/ sin x dx = [ sin x x] π/

11 4 beírva: 4 = π + = π. Parc. integrálás volt, fx := sin x és gx := x. e x x dx =? Itt x = t kiejti a gyököt: x = t vehet t >, ekkor dx dt = t, így dx = t dt. Végpontok: ha x = vagy 4, akkor t = x = vagy. Ezeket e x e t dx = t dt = x t x e x dx = t e t t dt = e t dt = [ e t] = e e = e. e t dt = [ e t ] = e e = e, ahol az x = dx t helyettesítést használtuk; = dt, ill. az x = és végpontokból t t = x = és lesz, azaz most nem változnak. megadott x = sin t helyettesítést használjuk a [, π ] intervallumon. dx =? A x Mint a gyakorlaton: ez a helyettesítés a t =, t = π végpontokat x = -ba és x = -be viszi; = cos t, így dx = cos t dt; dx dt felhasználjuk, hogy ha t [, π ], akkor sin t = cos t = cos t = cos t. Ezeket beírva: π/ dx = x π/ sin t cos t dt = cos t cos t dt = π/ dt = [t] π/ = π.

12 [ x dx = x / e x dx = [e x [ ] + x dx = ln x [ x dx = x ] A 6. gyakorlat HF-inak megoldása ] + ] + = lim x + x = = ; = lim x + e e = = ; = lim ln x ln = + = + ; x + = =.. Számítsuk ki az alábbi függvények els parciális deriváltjait! a fx, y := e x sin y fx, y = e x sin y, fx, y = e x cos y; fx, y := x y 4 fx, y =, fx, y = ; fx, y := x y + xy fx, y = xy + y, fx, y = x + xy; fx, y := x y 5 xy 4 + 7y fx, y = x y 5 y 4, fx, y = 5x y 4 xy + 7; fx, y := e x y fx, y = e x y, fx, y = e x y ; fx, y := e x y fx, y = e x y x, fx, y := x y fx, y = x y, fx, y = e x y y; fx, y = x y ; fx, y := lnx + y fx, y = x, x +y fx, y = y ; x +y fx, y := lnx 4 + y 4 fx, y = 4x, x 4 +y 4 fx, y = 4y ; x 4 +y 4 fx, y := x + y + fx, y = x x = x +y + x, fx, y = +y + y x +y + ; fx, y := x + y 4 / fx, y = x + y 4 / x, fx, y = x + y 4 / y; b fu, v := 4u + 9v fx, y = 4 4u+9v, fx, y = 9 4u+9v ; fm, T := mt fx, y =, m T fx, y = ; mt c fx, y, z := x + y + z fx, y, z = x, fx, y, z = y, fx, y, z = z;

13 fx, y, z := xy z fx, y, z = y z, fx, y, z = xy z, fx, y, z = xy z.. Második parc. deriváltak=? Felhasználjuk, hogy f = f. fx, y = e x sin y. Ekkor fx, y = e x sin y fx, y = e x sin y, fx, y = e x cos y; fx, y = e x cos y fx, y = e x sin y. fx, y = lnx + y. Ekkor fx, y = x x +y fx, y = x +y x x x +y = y x x +y, fx, y = x y x +y = 4xy x +y ; fx, y = y x +y fx, y = x +y y y x +y = x y x +y. fx, y, z = xyz. Ekkor fx, y, z = yz fx, y, z =, fx, y, z = z, fx, y, z = y; fx, y, z = xz fx, y, z =, fx, y, z = x; és fx, y, z = xy fx, y, z =. 4. f x, y =? fx, y = lnx + y f x, y = x x +y fx, y = x 5y, x 4 y + x f x, y = y x +y ; x 5 8x y + 6x 4 y.

14 A 7. gyakorlat HF-inak megoldása. Írjuk fel az alábbi f : R R függvények Hesse-mátrixát; els - és másodfokú Taylor-polinomját! a., fx, y := e x cos y. e f x, y := e x cos y, e x sin y, f x, y = x cos y e x sin y e x sin y e x cos y u f, =,, T u, v := +, = + u; v f, =, ennek kvadr. alakja: u u u u = = u v, ebb l v v v v ; T u, v = + u + u v. b., fx, y := ln + x + y. f x, y := +x+y, +x+y, f x, y = +x+y +x+y 4 +x+y +x+y = u + v; u f, =,, T u, v := +, v f, =, ennek kvadr. alakja: 4 u u u v u = = u 4 4uv 4v, ebb l v v u 4v v T u, v = u + v u + 4uv + 4v. ; c., fx, y := + x y. 6 + x y 6 + x y f x, y := +x y, +x y, f x, y = 6 + x y 6 + x y u f, =,, T u, v := +, = + u v; v 6 6 f, =, ennek kvadr. alakja: u u 6u 6v u = = 6u 6 6 uv + 6v, ebb l v v 6u + 6v v ; T u, v = + u v + 6u uv + 6v = + u v + u 6uv + v. 4

15 . Számítsuk ki azaz írjuk fel z = a + ib algebrai alakban: + i + + i = 4 + i, + i + i = + i + i + i = + 5i = + 5i, + i = 4 + 4i + i = 4 + 4i = + 4i.. Ábrázoljuk a komplex síkon: z = i: a sík, vektorának feleltethet meg, z = i + 6: a sík 6, vektorának feleltethet meg, z = 5e i π : azaz r = 5 és ϕ = π. Ekkor z = 5cos π +i sin π = 5 +i = 5+ 5 i, vagyis a sík 5, 5 vektorának feleltethet meg. 4. Oldjuk meg! x + 4x + = x, = 4± 6 5 = 4± 6 = 4±6i = ± i. x 4x + 9 = x, = 4± 6 6 = 4± i = ± i. x + = x = x, = ±i. Kijön a megoldóképletb l is. 5. Írjuk fel polárkoordinátákkal, majd annak exponenciális alakjában! z = i : a jobb alsó negyedsíkban van, a valós rész a képzetesnek -szerese, így ϕ = 7π 4 ; r = + =. Ebb l z = cos 7π + i sin 7π = 4 4 ei 7π 4. z = + i: a bal fels negyedsíkban van, a valós rész a képzetesnek -szerese, így ϕ = π 4 ; r = + =. Ebb l z = cos π + i sin π = e i π z = i: A sík, vektorának feleltethet meg ϕ = π, r = + =. Ebb l z = cos π + i sin π = ei π. z = : A sík, vektorának feleltethet meg ϕ = π, r = + =. Ebb l z = cos π + i sin π = e iπ. 6. Írjuk fel algebrai azaz a + ib alakban! z = e i π : azaz r = és ϕ = π. Ekkor z = cos π + i sin π = + i = i. z = e i π 6 : azaz r = és ϕ = π 6. Ekkor z = cos π 6 + i sin π 6 = + i. z = e 4iπ : azaz r = és ϕ = 4π. Ekkor z = cos 4π + i sin 4π = + i =. z = e iπ : azaz r = és ϕ = π. Ekkor z = cos π + i sin π = + i =. 7. Legyen z = e i π 4. Ábrázoljuk a z, z, z,..., z 8 hatványokat! Útmutatás: itt z n = e iϕ n = e inϕ. z n = e i nπ 4, azaz az egységkörön az nπ szögnél lev pontba mutató vektor. Itt z tehát 4 a π = 4 45 szög egységvektor, és n növelésével ezt forgatjuk tovább mindig 45 -kal. Ha n = 8, akkor visszajutunk az pontba, azaz z 8 = e 8i π 4 = e πi =. Menet közben a páros hatványok: z = i, z 4 =, z 6 = i, z 8 =. A páratlan hatványokra z n == ±±i megfelel el jelekkel. 5

16 A 8. gyakorlat HF-inak megoldása Számítsuk ki az alábbi függvényt! Γ f vonalintegrálokat! Ahol lehet, használjunk primitív a ϕ : [, ] R, ϕt := t +, t; fx, y := x y, x + y. Itt f x, y = f x, y =, így nincs primitív függvény. fϕt =, 5t +, ϕ t :=,, fϕt ϕ t =, 5t +, = + 5t + = 5t + 4 [ 5 f = 5t + 4 dt = t + 4t] =. Γ b ϕ : [, π] R, ϕt := cos t, sin t; fx, y := x y, x + y. fϕt = cos t sin t, cos t + sin t, ϕ t := sin t, cos t, fϕt ϕ t = cos t sin t, cos t+sin t sin t, cos t = cos t sin t+ sin t+ cos t + sin t cos t = sin t + cos t = t π f = dt = 4π. Γ c ϕ : [, π] R, ϕt := cos t, sin t; fx, y := x y, x + y. Itt f x, y = = f x, y, így van primitív függvény. F x, y = x y dx = x4 4 xy + cy x 4 xy + cy = x + c y = 4 x + y, azaz c y = y, így F x, y = x4 4 xy + y4 4 + c. Itt ϕ = cos, sin =,, és hasonlóan ϕπ =,, így = Γ f = 4 4 d ϕ : [, ] R, ϕt := t, t; fx, y := x, y. Itt f x, y = = f x, y, így van primitív függvény. F x, y = x + y + c. Itt ϕ =, és ϕ =,, így f = =. Γ A tanult módszerrel e ϕ : [, π] R, ϕt := cos t, sin t; fx, y := x x +y, y x +y. xy Itt f x, y = f x, y =, így van primitív függvény. A iii mintapéldához hasonlóan, most az α = / esetben, F x, y = x + y + c. x +y / Mint a c feladatban, ϕ =, és ϕπ =,, így f = =. Γ 6

17 f ϕ : [, ] R, ϕt := t, t; fx, y := x x +y +, xy y x +y +. Itt f x, y = f x, y =, így van primitív függvény. A iii mintapélda módszerét használjuk: most ht =, így Ht = ln t + c. Ebb l F x, y = x +y + t lnx + y + + c. Itt ϕ =, és ϕ =,, így f = ln ln = ln. g ϕ : [a, b] R, melynek Γ képe ellipszis; fx, y := x x +y +, Γ y x +y +. Az el z f feladat szerint van primitív függvény. Mivel Γ zárt görbe, így Γ f =. 7

18 A 9. gyakorlat HF-inak megoldása. Számítsuk ki div f-et és rot f-et! a fx, y := x + y, x y div fx, y = x y, rot fx, y = x y. b fx, y := x y, x + y div fx, y = 4, rot fx, y = 6. c fx, y, z := x + y, y + z, x + z div fx, y, z = x + y + z, rot fx, y, z = z, x, y T. c fx, y, z := x + y + z, xyz, div fx, y, z = + xz, rot fx, y, z = xy,, yz T. A T transzponáltat jelent, azaz sor helyett a megfelel oszlopvektort.. Számítsuk ki az alábbi f Riemann-integrált! T := [ π, π ] [, π], fθ, ϕ := cos θ. f = T π π π A bels integrál: Ebb l T f = T cos θ dθ dϕ =? π π π cos θ dθ = [ ] π sin θ θ= π dϕ = π = 4π. = =.. Rajzoljuk fel az alábbi r függvények által meghatározott forgástesteket, majd számítsuk ki a térfogatukat a tanult képletb l! a Legyenek R, m > számok és r : [, m] R +, Ez egy R sugarú, m magasságú henger. m m [ V = π r x dx = π R dx = π R x ] m x= b r : [, ] R +, rx := + x. V = π r x dx = π +x dx = π [x+ x = π Számítsuk ki az alábbi f felszíni integrálokat! a S egy sugarú gömbfelület, f. S = πr m. ] x= A gyakorlaton szerepelt, hogy ha c R állandó, akkor rx R konstans. = π + = S c = c AS, ahol AS az S felszíne. Most c =, és tudjuk, hogy az sugarú gömbfelszíne A = 4r π = 4π; így 4π = π. = S b S egy sugarú gömbfelület, melyet vízszintes felez síkkal az S alsó és S fels félgömbre bontunk; 8

19 {, ha x S, fx :=, ha x S. Útmutatás: S f = f + S f. S Itt AS = π, a félgömb felszínére vonatkozó r π képlet alapján, így AS = π. Ugyanígy AS = π. π + π = π. Így S = AS = π. Vagyis S f = S = f + f = S S c Az egyes oldalak felszíne 4, így az egyes oldalakon vett integrálok értéke a megfelel konstans 4-szerese. Az S-en vett integrál értéke ezek összege, azaz f = =. 5. Ellen rizzük az alábbi példákon a vektoranalízis ismert azonosságait! a rot f = f, ahol legyen D az egységkörlap és Γ annak határa azaz az D Γ egységkörvonal pozitív irányítással, valamint fx, y := y, x. Útmutatás: A jobboldali integrál: a kérdéses vonalintegrált már kiszámoltuk, ill. rot f konstans lesz. Legyen ϕ : [, π] R, ϕt := cos t, sin t egységkörív, Γ a képe, fx, y := y, x. Ekkor f = π. A 8. gyakorlaton számoltuk ki. Γ A baloldali integrál: rot f = f f = D D D = D = AD = π. Ugyanis D az egységkörlap, így a területe: AD = π = π. b div f = f ν, ahol legyen D az egységgömb és S annak felülete, valamint D fx, y, z := x, y, z. Útmutatás: S az el adáson láttuk, hogy f ν ; másrészt div f is konstans lesz. A jobboldali integrál: f ν = = AS = 4π. S S A baloldali integrál: div f = f + f + f = D D D + + = ugyanis az egységgömb térfogata: V D = 4 π = 4π. D = V D = 4π S = 4π, 9

20 . y = Ky alakú egyenletek. A. gyakorlat HF-inak megoldása i Megoldás: Az egyenlet: y =, 4y. Megoldása: a modell miatt y >, ebb l dy dx =, 4 y dy y =, 4 dx ln y =, 4 x + c c R tetsz. y = e c e,4 x = c e,4 x, azaz yx = c e,4 x c > tetsz. A kezdeti értékb l y := y = c e = c, így yx = y e,4 x. ii Megoldás: Az egyenlet: y = λy, azaz y =, 45 y. A modell miatt y >, ebb l dy dx =, 45 y dy y =, 45 dx ln y =, 45 x + c c R tetsz. y = e c e,45 x = c e,45 x, azaz yx = c e,45 x c > tetsz. A kezdeti értékb l = y = c e = c, így yx = e,45 x. Ha x = 5568: y5568 = e, = e,696, 5 = 5. Azaz, kb év a felezési id.. y = ay + b alakú egyenletek i Megoldás: Az egyenlet: y =, y, 45.. lépés: konstans megoldás y, 45, de ez nem felel meg a megadott y =, 8 kezdeti feltételnek.. lépés: ha y, 45, azaz a kezdeti feltétel miatt mindvégig y >, 45. Ekkor dy dx =, y, 45 dy y, 45 =, dx lny, 45 =, x + c c R tetsz. y, 45 = e c e, x = c e, x, azaz yx =, 45 + c e, x c > tetsz. A kezdeti értékb l, 8 = y =, 45 + c, azaz c =, 5. Tehát yx =, 45 +, 5 e, x. ii Megoldás: Az egyenlet: T =, 66 T.. lépés: konstans megoldás T, de ez nem felel meg a megadott T = kezdeti feltételnek.. lépés: ha T, azaz a kezdeti feltétel miatt mindvégig T >. Ekkor dt dt =, 66 T dt T =, 66 dt ln T =, 66 t + c c R tetsz.

21 T = e c e,66 t = c e,66 t c > tetsz., azaz T = c e,66 t c R tetsz., azaz T t = c e,66 t c R tetsz. A kezdeti értékb l = T = c, azaz c = 9. Tehát T t = + 9 e,66 t, végül ebb l T 6 = + 9 e, C.. y = ay + by + d alakú egyenletek i Megoldás: Az egyenlet: y = KyM y.. lépés: konstans megoldások y nincs bakt. és y M egyensúlyi állapot.. lépés: ha < y < M, akkor dy dx = KyM y dy ym y = K dx dy yy M = K dx. Integrálunk: a bal oldal nevez je y-nak másodfokú polinomja a és M valós gyökökkel, így a tanult képlet használható, amib l M ln y M = Kt + c c R tetsz., ez a < y < M feltétel miatt y M ln M y y M y y = Kt + c c R tetsz. Ebb l kell kifejeznünk y-t: = e KMt+c = c e KMt c > tetsz. Ez y-nal szorozva lineáris egyenlet, megoldása: y = M + c e KMt. Észrevétel: yt id ben növ függvény, és t esetén y tart az M eltartóképességhez. ii Megoldás: Az egyenlet: y =, 5 y y.. lépés: a konstans megoldások y és y, de ezek nem felelnek meg a megadott y < feltételnek.. lépés: y < miatt leoszthatunk. Azaz: dy dy =, 5 y y dx y y =, 5 dx dy y y =, 5 dx. Integrálunk: a bal oldal nevez je y-nak másodfokú polinomja a és valós gyökökkel, így a tanult képlet használható, amib l ln y =, 5 t + c c R tetsz., ez a y < feltétel miatt y ln y y =, 5 t + c c R tetsz. Ebb l kell kifejeznünk y-t: y y = et+c = c e t c > tetsz. Ez y-nal szorozva lineáris egyenlet, megoldása: y = c e t c e t. A kezdeti értékb l = y = c c, így c =. Tehát y = et e t.

22 A. gyakorlat HF-inak megoldása. Adjuk meg az alábbi KDE-k általános megoldását! a Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ +6λ 8 =, melynek megoldása: 4,. Így a megoldása általános alakja: c e 4t + c e t. b Megoldás: Az karakterisztikus polinom: λ + λ + =, melynek megoldása: 6 4 kétszeres gyök. Így a megoldása általános alakja: c e 4 t + c te 4 t. c Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: 4λ + 9 =, melynek megoldása: ± ß,. Így a megoldása általános alakja: c cos t + c sin t = A cos t ϕ. d Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ λ+7 =, melynek. Rezg körök. megoldása: 4ß, + 4ß. Így a megoldása általános alakja: e c t cos4t + c sin4t = Ae t cos 4t ϕ. a Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: Lλ + =, melynek C megoldása: ±ß C L. Így az általános megoldás c cos t+c CL sin t = CL A cos CL t ϕ. b Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ + =, melynek megoldása: ß/, ß/. Így a megoldása általános alakja: c cos t + c sin t = A cos t ϕ. c Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ + λ + 4 =, mely- ±ß nek megoldása:. Így a megoldása általános alakja: e c t cos t + c sin t = Ae t cos t ϕ. d Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ + λ +,8 =, melynek egy kétszeres megoldása:, 5. Így a megoldása általános alakja: c e,5t + c te,5t. e Megoldás: Az egyenlet karakterisztikus polinomja: λ + 4, 5λ + =, melynek megoldása:,, 5. Így a megoldása általános alakja: c e t + c e,5t.. Megoldás: a A KDE karaktersiztikus egynelete: λ + 6 =, amelynek két megoldása ±4ß, azaz a megoldás általános alakja: yt = c cos4t + c sin4t, ebb l az y = feltételt felhasználva kapjuk, hogy c =, továbbá y = = 4c, azaz c =. Megoldás: b Láttuk, hogy az általános megoldás yt = c e t + c e 4t, ebb l y = = c + c és y = = c 4c következik. Az egyeletrendszert megoldva c = és c = adódik.

23 4. Megoldás: a Az dierenciálegyenlet rendszer mátrixa:, melynek 4 karakterisztikus polinomja: λ + λ 6 =, amelynek megoldásai λ =, λ =. Egy-egy konkrét sajátvektor pedig: és. A megoldás tehát: xt = c yt e t + c e t 4c e = t + c e t c e t + c e t Megoldás: b Hasonlóan, az egyenletrendszer mátrixa:, melynek karakterisztikus polinomja: λ 6λ + 5 =, amelynek megoldásai λ = 5, λ =. 4 Egy-egy konkrét sajátvektor pedig: és. A megoldás tehát: xt = c yt e 5t + c e t c e = 5t + c e t c e 5t c e t..