Speciális függvénysorok: Taylor-sorok

Átírás

1 Speciális függvénysoro: Taylor-soro Állítsu elő az alábbi függvénye x 0 0 helyhez tartozó hatványsorát esetleg ülönféle módszereel és állapítsu meg a hatványsor onvergenciatartományát! A cos 5x függvény hatványsora: A hatványsor alaja általános alaja: f x f 0+ f 0! x+ f 0! x + f 0 x +.! A cos5x függvény deriváltjai, és értéei az x 0 helyen: x 0 f x cos5x f x 5sin5x 0 f x 5 cos5x 5 f x 5 sin5x 0 f IV x 5 4 cos5x 5 4 f V x 5 5 sin5x 0 f VI x 5 6 cos5x 5 6 Ezeel a behelyettesítéseel a Taylor-sor: f x 5! x ! x4 56 6! x6... Konvergenciasugár: A sorozat általános tagja: a n a 5!. 5!. Györitériummal: n 5 an! 5!. Enne a sorozatna a határértée nem látszi azonnal, ezért megpróbálozu a hányadosritériummal is: a + a 5 + +! 5! 5 0, ha. + +

2 Eze szerint a sorozat minden x valós számra onvergens. Mási módszer: A cosu sorána ismeretében u 5x helyettesítés vissza ell, hogy adja a hatványsort: cosu A helyettesítést elvégezve: A sor minden x-re onvergens. u u!! + u4 4! u6 6! +. cos5x 5! x ! x4 56 6! x6 +. Az f x sinxcosx függvény hatványsora: Első módszer: Elő lehet állítani a Taylor-sort özvetlenül a deriválta meghatározásával, és behelyettesítéssel is. Másodi módszer: Tudván, hogy sinxcosx sinx: sinu Behelyettesítés után: Harmadi módszer: u + u u +! u! + u5 5! u7 7! + u9 9!. sinx x! x + 4 5! x5 6 7! x ! x9. A cost sorából tagonénti integrálással is meghatározható a Taylor-sor, hiszen f x A cos t sora: x 0 cost dt sinx. cost! t + 4 4! t4 6 6! t6 +. Tagonénti integrálással: Konvergenciasugár: Hányadosritériummal: x sinx x! + 4 x 5 4! 5 6 x 7 6! 7 +. a + a +!! 0, ha,

3 tehát a sor minden x-re onvergens. f x cos x sorbafejtése: A lehetséges módszere özül legegyszerűbbne tűni, ha cosu sorából u x helyettesítéssel állítju elő a ívánt hatványsort. cosu cos x Konvergenciasugár: a + a u u!! + u4 4! u6 6! + x! x! + x 4! x 6! + x4 8!. +!! 0, ha. + + Minden x-re onvergens, de x 0 ell legyen! 4 f x cos x π sorbafejtése az x 0 helyen: 4 Táblázattal: x 0 x 0 f x cos x π f IV x cos x π 4 4 f x sin x π f V x sin x π 4 4 f x cos x π f VI x cos x π 4 4 f x sin x π f VII x sin x π 4 4 Tehát a hatványsor: cos x π 4 + Konvergenciasugár: n0 x! a n+ a n x! x! + ]. n [ x n n! + xn+ n+! n+! n! x 4 4! + 0, ha n, n+ tehát minden x-re onvergens a sor, azaz < x < +. x 5 5!

4 5 f x sin x hatványora az x 0 helyen: Első lehetőség: Táblázattal: x 0 f x sin x 0 f x sinxcosx sinx 0 f x cosx f x 4sinx 0 f IV x 8cosx 8 f V x 6sinx 0 f VI x cosx f VII x 64sinx 0 f x! x 8 4! x4 + 6! x6 + Konvergenciasugár: a n+ a n n+ n+! n n! tehát minden x-re onvergens a sor. Mási lehetőség: n0 n n+ n+! xn+. 4 0, ha n, n+n+ A sin x cosx sorfejtésével a cosu sora ismeretében, u x helyettesítéssel: { } {cosx}! x +! x 8 4! x ! x+. Harmadi lehetőség: f x sinx ismeretében felírju sinu sorát, majd u t helyettesítéssel sint sorát, majd tagonént integrálun: sinu u + +! sint + +! t+. 4

5 x sin x sint dt alapján 0 sin x + x + +! + + +! x+. 6 f x e x hatványsora az x 0 helyen: Első lehetőség: Táblázattal: x 0 f x e x f x xe x 0 f x e x +x e x f x 4xe x +8xe x x e x 0 f IV x e x 4x e x 4x e x x 4 e x Innen a hatványsor: e x! x + 4! x x! + x4! +... Ez a módszer igen so munát igányel, nem elég hatéony. Mási lehetőség: e x sora alapján. e x hatványsora: e x x, < x < +.! e x hatványsora: e x x!. e x hatványsora: e x x x!! + x4!. Konvergenciasugár nyilván +, azaz < x < +. 7 f x e x hatványsora az x 0 helyen: Minthogy e x e x, ezért e u sorában u x helyettesítéssel apju a ívánt sorfejtést. A onvergenciatartomány itt is nyilvánvaló: < x < +. A eresett hatványsor tehát: e x x!. 5

6 8 f x shx sorfejtése az x 0 helyen: Az sh u sorfejtése alapján dolgozun: Innen: u 0 f u shu 0 f u chu f u shu 0 f u chu f IV u shu 0 shu! u+! u + 5! u u + +!. Nyilvánvaló, hogy a onvergenciatartomány < u < +. Innen: x + shx +!, ugyancsa < u < + onvergenciatartománnyal. 9 f x ch x sorfejtése az x 0 helyen: A ch x chx+ alapján és a chx sorfejtését felhasználva: u 0 f u chu f u shu 0 f u chu f u shu 0 f IV u chu chu +! u + 4! u4 + 6! u u!. Nyilvánvaló, hogy a onvergenciatartomány < u < +. x x chx +!! ch x chx+ + onvergenciatartománya < x < +. +! x 6

7 0 f x +x hatványsora az x 0 helyen: x 0 f x +x f x +x f x 6+x 6 f x 6 6 f IV x 0 0 Innen a +x +! x+ 6! x + 6! x +x+x +x polinom adódi, ami a öbreemelés eredménye. f x +x hatványsora az x 0 helyen: Binomiális sorfejtéssel: +x x x+6x 0x ! Konvergenciassugár meghatározása: a n+ a n n! n+ n+ n+, }{{}}{{}...n+n n+!...n+ 0 tehár R. A onvergenciatartomány: < x <. f x +x hatványsora x 0 helyen: Binomiális sorfejtéssel: +x x +... x + x 9 x x... 7

8 Két példa a binomiális együtthatóra: 0!! 9 5! 9! 9, A onvergenciatartomány meghatározása: a n+ a n n+ n+n n!n+ n n+ n! n 4 n+ n+ n+ n+. Innen R, a onvergenciatartomány: < x <. f x ln+x sorbafejtése az x 0 helyen: Táblázattal: Innen az ln + x Taylor-sora: ugyanis 4 f x +x x 0 f x ln+x 0 f x +x f x +x f x +x f IV 6 x +x 6 6 ln+x x, ln+x! x! x +! x 6 4! x x x + x x x +... sorfejtése az x 0 helyen: 8

9 Minthogy +x {ln+x}, ezért az előbbi sort tagonént differenciálva apju a ívánt sorfejtést: +x x x x. Konvergenciasugár: R, tartomány: < x <. 5 f x sorfejtése az x 0 helyen: x A sorfejtéshez szüséges deriválta: f x x x f x x +x x x x 4 x +8x x +6x x f x x x + +6x x x x 6 xx +x+6x x 4 f IV x 4x+4x x 4 4+7x x 4 +4 x x 4x+4x x 8 44x +7x 7x 4 +9x +9x 4 +x 5 0x4 +40x +4 x 5 Eze értéei az x 0 helyen rendre: f 0 ; f 0 0; f 0 ; f 0 0; f IV 0 4. Innen a érdéses Taylor-sor: x +! x + 4 4! x x +x A onvergenciatartomány: < x <. 6 f x x sorfejtése az x 0 helyen: +x Mivel [ ln +x ] x +x, x. ezért ln +x sorána tagonénti differenciálásával nyerjü a ívánt sorfejtést. Vagyis a. feladat alapján: ln +x x 9 < x <.

10 Tehát: x +x x +. A onvergenciatartomány: < x <. 7 f x sorfejtése az x 0 helyen: x Első lehetőség: x binomiális sorfejtésével: x x ++x +4x +... Másodi lehetőség: A 4. feladat alapján. x x sorfejtésből, alapján, tagonénti differenciálással: x x +x. onvergenciatartomány: < x <. 8 f x lnx sorfejtése az x 0 helyen: alapján és sorából 7. feladat. A övetező ifejezést tagonént integrálju: x Ebből apju: x lnx x dx 0 +x. x x lnx x x. onvergenciatartomány: < x <. x + + x. 9 f x ln x sorfejtése az x 0 helyen: Első lehetőség: x x ahol < x < sorból. ln x 0 x 0 x x dx

11 felhasználásával x-szel szorozva és tagonént integrálva Innen: ln x x x x +. A onvergenciatartomány: < x <. x+ + x + +. Másodi lehetőség: ln x lnx+x lnx + + ln+x alapján, a lnx és ln+x sorána összegeént.. és 8. feladat. ln+x x x x + x x4 4 + x lnx Ezen soro összege: x x x x x4 4 x ln x x x4 4 x x f x ln +x sorfejtése az x 0 helyen: ln+x x ahol < x < sor alapján. feladat: ln +x x, ugyancsa < x < onvergenciatartománnyal. +x f x ln sorfejtése az x 0 helyen: x +x ln x ln+x x alapján: ln+x lnx x x x + x x x x x x x4 4...

12 Innen: ln +x x x+ x +x x + +. onvergenciatartomány: < x <. f x arc tgx sorfejtése az x 0 helyen: Az arusz tangens deriváltját fejtjü sorba, majd tagonént integrálun: Innen: arc tgx +x x, arc tgx x A onvergenciatartomány: < x <. 0 +x dx x + +. Írju fel az alábbi függvénye Taylor-sorfejtését az x 0 helyen! f x e x sorfejtése az x 0 helyen: Táblázattal: x 0 f x e x f x e x f x e x f x e x f IV x e x e e e e e Innen a érdéses sor: e x e+ e! x+ e! x e ex! x +...!. A onvergenciatartomány: < x < + 4 f x lnx sorfejtése az x 0 helyen: Táblázattal:

13 x 0 f x lnx 0 f x x f x x f x x x 4 x f IV x 6x x 6 6 x 4 6 Innen az lnx sora: lnx 0+ x! x+ + 4 x +!! + 5 6x !x 4!! + x. Konvergenciasugár: a n+ a n n+ n n n+. Tehát R, a onvergenciatartomány eze szerint 0 < x, ugyanis x 0-nál az lnx deriváltjai nincsene értelmezve. 5 f x x x sorfejtése az x 0 helyen: Táblázattal: Innen a övetező polinom adódi: f x 4 + x 0 f x x x 4 f x 6x f x x 6 f x f IV x 0 0 x + x + x. 6 f x x+ x+ sorfejtése az x 0 helyen:

14 Első lehetőség: A Taylor-formula alalmazásával, deriválással, táblázattal. A deriválást az x+ x+ átalaítással végezzü. x+ Másodi lehetőség: A övetező mértani sor felhasználásával: x+ x+ x+ +x+ [ ] x++x+ x x+. A onvergenciasugár: R A onvergenciatartomány: a n+ a n x+ n+ x+ n x+ < Innen < x+ <, azaz < x <. 7 f x x+ x+ sorfejtése az x 0 helyen: x+ x+ x+ x+ x+ +x+ + x+ A másodi tag egy q x+ hányadosú mértani sor összege. Emiatt: [ x+ x+ x+ + x+ 4 + x+. A onvergenciasugár: R x+ 8 A onvergenciatartomány: [ R; + R], azaz < x <. 8 f x +x sorfejtése az x 0 helyen: ] x f x +x +x + x [ x x x ] n x n n+ n0 4

15 A -gal jelölt helyen a q x+ hányadosú mértani sor összegépletét használtu fel. onvergenciatartomány: x < x < < x < 5. 9 Felírandó az y tgx függvény hatodfoú Taylor-polinomja az x 0 0 helyen. Egy f függvény n-edfoú Taylor-polinomja: T n x f x 0 + f x 0 xx 0 + f x 0 xx fn x 0 xx 0 n!! n! a övetező éplet szerint özelíti meg az f függvényt: H f xt n x xx 0 n+ max f n+ x. n+! x,x 0 Az egyes deriválta: dy dx cos x sin x+cos x cos + tg x +y x d y dx d +x yy dx d x dy d dx yy y +yy y 4 d dx y +yy y y +y y +yy y 5 d dx y y +y y +yy y +y y +y y +yy 4 y 6 d 6y +8y y +yy 4 y y +8y y +8y y 4 +y y 4 +yy 5 dx Az egyes deriválta értéei az x 0 0 helyen: Innen a Taylor-polinom: y0 0 y 0 y 0 0 y 0 y y y T 5 x T 6 x x x x5 x + +6 x+!! 5! + 5 x5. 5

16 0 Írju fel az y cos x függvény Maclaurin-sorát! cosz z! + z4 4! +...+n z n n! +... Ezzel a érdéses sor némi átalaítás után: y cos x +cosx + cosx + x + 4 x n n x n! 4! n! +. Ez a sor is onvergens a < x < számözben, mert a maradétag 0-hoz tart, ha n. Ugyanis tetszőleges x esetén xn 0, ha n. n! Váltaozó előjelű sor esetében a hiba isebb, mint a legelső figyelembe nem vett tag. Hasonló módon adódi, hogy sin x x! 8x4 4! sor is a < x < számözben onvergens. Felírandó az y A binomiális sorfejtés értelmében: x x n n n x n +... n! x függvény Taylor-sora x 0 0 helyen. 0 + x + x + n x + + n+ x n +... n! + x + 4 x n 4 n A sor a < x < intervallumon mindenütt onvergens. x x n x Számítsu i az y ch4x hatodfoú özelítő Taylor-polinomját a 0 hely özelében! A szüséges deriválta és azo értéei az x 0 helyen: 6

17 Innen a Taylor-polinom: x 0 f x ch4x f x 4sh4x 0 f x 4 ch4x 4 f x 4 sh4x 0 f IV x 4 4 ch4x 4 4 f V x 4 5 sh4x 0 f VI x 4 6 ch4x 4 6 T 6 x + 4! x ! x ! x6 Ugyanehhez az eredményhez jutun, ha az y chu sorában u helyett 4x-et írun a megfelelő tagoban: T 6 u + u! + u4 4! + u6 6!, ahonnan egyszerű behelyettesítés után apju a ívánt sort. Meghatározandó az y e x függvény n-edfoú Taylor-féle polinomja a 0 hely özelében. Az y e u Maclaurin-sora ismert: e u + u! + u! Itt u helyébe x -et helyettesítve: un n! +... x x x n T n x ,!! n! tehát a érdéses sor: T n x x.! 4 Határozzu meg az y lnx n-edfoú polinomját az x 0 pont örnyezetében! 7

18 x 0 f x lnx 0 f x x f x x. f n x n+ n x n Eze alapján a Taylor-polinom:. n+ n T n x! x! x +!! x n+ n! n x n + x. n! 5 Meghatározandó T 4 x, ha f x Mivel +x. +x, ezért a itevő n. A binomiális együttható +x iszámítása: n 0 n n n 0 n! n nn nnn n nnnn Tehát a Taylor-sor: T 4 x x+ 8 x 5 6 x x4. 6 Meghatározandó az e értée ét tizedes pontossággal. Véve az f x e x sorát az x 0 0 helyen, és x -et helyettesítve: e +! +! n!

19 A ét tizedesjegyű pontosság matematiai feltétele: + e! +! n! H < 0,005. A hibaéplet szerint: H < xx 0 n+ n+! max x fn+ x, 0,x tehát minthogy x 0 0 és x, f n+ x < a 0,-ban, ezért H < n+ n+! n+! < 0, , tehát < n+!, 5 ahonnan n 5, hiszen n+! 6! 70. T 5 x-szel számolva: T 5 x + x! + x! + x! + x4 4! + x5 5! ,5+0,667+0,047+0,008, Meora szaaszon helyettesíthető az y chx görbe másodfoú parabolával, ha előírju, hogy a hiba isebb legyen, mint 5 0? A hibatag: chx + x! x4 4! max x4 chx < 0,x 4! ex < x4 x < 0,005. 4! A helyettesítés azon az x 0 < x < x 0 szaaszon tehető meg, ahol x 0 ielégíti az x 4 x 4! 0,005, azaz a x 4 x 0,0 egyenletet. Ezt csa özelítő módszerrel lehet megoldani, mely alapján x 0 0,5 és 0,6 özé esi. Összegzésül álljon itt néhány fontosabb függvény Taylor-sora és azo onvergenciaintervallumai: e x sinx x, < x < +! x +, < x < + +! 9

20 cosx x, < x < +! shx chx ln+x ar thx x +, < x < + +! x, < x < +! x, < x < +x ln x x +, < x < + 0