A feladatok megoldása

Átírás

1 A feladato megoldása A hivatozáso C jelölései a i egyenleteire utalna.. feladat A beérezési léps felszíne fölött M magasságban indul a mozgás, esési ideje t = M/g. Ezalatt a labda vízszintesen ut utat, azaz Mu /g távolságot tesz meg, ami az L léps hossz Mu /gl = m/-szerese. A /m ombináió a továbbiaban so összefüggésben el fordul. A feladat megadja anna szemléletes jelentését: minél nagyobb /m, annál rövidebb az el z léps fo végér l vízszintesen induló hajítás els besapódásána relatív távolsága.. feladat A xpontora vonatozó egyenlete C5-C7-b l: v = v + mn, [ N = x + ] v + v + mn, x = x + v + v + mn N. 3 Az -ben lev négyzetgyööt behelyettesítve 3-ba v = N. 4 Ezt -be visszaírva: v = mn = mv = m. 5 Ebb l C8, majd C9 övetezi. Érdees, hogy N sa m/-t l függ. A C7 egyenletb l ezeel azt apju, hogy N = [x + N ], 6 ami nem határozza meg x -ot, sa annyit jelent, hogy x nem lehet nagyobb -nél. 3. feladat Enne feltétele C0 alapján az, hogy N > 0, vagyis > m/n. 4. feladat A sebességxponto a C8, C0 egyenleteb l v N = N/ m. 7 A sebesség tehát egyenletesen n N-nel, és vn 5. feladat Írju át a C0 egyenletet a is sa diszrét értéeet vehet fel. N = N/m + N/m + = N/m + 8 formába. a N nagy, a nevez ben az additív tag elhanyagolható, és megapju C-et. Érdemes megjegyezni, hogy ugyanez az összefüggés minden N-re érvényes, ha. osszú léps re ugyanis a léps ön átível pattogáso sa -hez özeli ütözési együtthatóval lehetségese.

2 6. feladat A ilusértéeet jelöljü x, x, v, v -vel. A megfelel N n értée legyene N = N és N = K. Els dleges élun most rögtön a étindexes N,K spetrum meghatározása, azon ütözési paraméterértéeé, ahol az attrator N majd K hosszúságú ugrásoból áll, s ez ismétl di. Mivel az -es index ponto a -es index ebe épz dne, majd vissza, a ettes iluso egyenletei C5-b l és C7-b l: v = v + m N, v = v + m K, 9 x x = v + x x = v + m N N, v + v + m K K, 0 Ez utóbbi ét egyenletet összeadva, és a gyööet az els egyenletpárból beírva: v + v = N + K. A 9 egyenleteb l az egyes sebességere: v = m 4 N + K, v = m 4 N + K. Ezeet -be helyettesítve, és az ütözési együtthatót most már N,K -val jelölve azt apju, hogy N,K N,K N,K N,K N + K + N + N,K K = N +K, N, K =,,.... m 3 Adott N, K mellett az ebb l az irraionális egyenletb l apott ziailag értelmes azaz 0 és özé es valós N,K értée alotjá a ettes iluso ütözésiegyüttható-spetrumát. Vegyü észre, hogy eze az értée továbbra is sa az /m aránytól függne. Érdemes meggyelni azt is, hogy N = K esetén visszaapju C0-et, azaz N,N = N. Továbbá tetsz leges N és K számpárora igaz, hogy N,K = K,N. 7. feladat Az N =, K = 0 értéeet 3-ba helyettesítve,0 3,0,0 = m feladat Az u vízszintes, v i függ leges indulási sebességgel induló ferde hajítás távolsága x 0 = uv i /g. A függ leges besapódási sebesség nagysága megegyezi a ezdeti v i -vel, s az ütözés után v i -ra vált. Az ezzel a függ leges és u vízszintes sebességgel történ ferde hajítás elmozdulása x = uv i /g. A j-edi ütözés után x j = j uv i /g. A végtelen so ütözés alatti teljes elmozdulás x = j=0 x j = uv i g j uv i = g. j=0

3 A x elmozdulást L, a v i sebességet u egységeben mérve megapju C-t. 9. feladat Az u sebesség vízszintes hajítás távolsága M magasságból Mu /g. A besapódási sebesség Mg, ezért az elpattanási indulási sebesség v i = Mg. L és u egységeben eze Mu x i = m gl = l. az. feladatot és Mg v i = = m u leszne. C3-ba behelyettesítve, s az egyenl séget véve megapju C4-et. 0. feladat A C3 egyenl tlenségben a v i helyére a v = m/ értéet, x i helyett /-et írva a 8m < egyenl tlenséghez jutun. Grausan ez a feltétel egy = -hez tartozó minimumú, álló parabola és egy pozitív meredeség egyenes els metszéspontjától az origó felé es tartományna felel meg. a az +8m/+ = 0 másodfoú egyenlet gyöeit ± -szal jelöljü < +, aor a súszási megoldáso a 0, intervallumban fordulhatna el. tehát az az ütözési együttható, amely fölött a súszási megoldás nem jeleni meg hosszú távon, itt sais a pattogó mozgás lehet attrator. A másodfoú egyenletet megoldva = + 8m 4 + 8m 8m. Alapesetünben 8m/ =, s = 3 5/ = 0, 38, ami a ereítés után megegyezi tehát jó özelítése a numeriusan apott értéel sa a övetez tizedesjegyben van eltérés.. feladat Legyen x 0, v 0 a ezd feltétel az egyi léps r l a másira való ugrás után, az ezutáni oordinátá pedig rendre: x, v,... x j, v j. Utóbbia mind ugyanazon a léps n vanna, ezért N 0 = N = N j = 0. A övetez ugrással a test egy léps vel lejjebb erül, azaz N j =. Ezzel visszaerülün a leépezésben a iindulási oordinátához, azaz: x n = x 0, v n = v 0. Az C5 reurzió szerint az els j lépés egyszer sillapodó pattogás, így a sebesség függ leges omponense: v = v 0, v = v = v 0,,, v j = j v 0. Az utolsó lépés utáni elpattanási sebességet, azaz v j = j v 0 -t, C5-be helyettesítésével apju: v j+ = j v0 + m. Mivel ez a v j+ nem más, mint v 0, innét övetezi, hogy a ilus ezd sebessége: m v 0 =. 5 j+ Ez azonban sa egyetlen értére érvényes, mely az x oordináta visszatérési x j+ = x 0 feltételéb l adódi. Az elmozduláso C7 szerint: x 0 x x 0 = v 0, x x x = v,, x j x j x j = v j. 3

4 A teljes elmozdulás mértani sort alot: j x j x 0 = x i = v 0 i=0 Az utolsó elmozdulás C7-b l: x j+ x j = x 0 x j = + + j = v 0 v j + v j + m. j. 6 A jobb oldalt 6-ból behelyettesítve, és használva, hogy v j = j v 0, azt apju hogy x 0 elt ni az egyenletb l!: j v 0 + j v 0 + m + v 0 j =. 7 elyettesítsü el ször v 0 -t, 5-öt, a négyzetgyö alatti ifejezésbe: Ezt és v 0 -t 7-be beírva j v0 + m = j m + m = m j+. j+ j+ m j+ + m m + j+ j+ j =. Átrendezve apju a j+ j j+ j + + j j+ j = j m 8 sajátértéegyenletet azora az j +-es ilusohoz tartozó j értéere, melye j azonos léps n történ pattogásból és egy továbbpattanásból állna. A j = eset természetesen megegyezi az N = 0, K = ettes ilussal =,0, l. 4. Az összes j > ilus más, és j növelésével egyre isebb ütözési együtthatóna felelne meg. Mivel ilyenor lépés esi j + ütözésre, az átlagos lépésszám N = /j +. A 9. ábra feete pontjai ezeet az ütözési együttható értéeet jelzi. A nagy j határesetben visszaapju -t, hiszen eor j 0, és 8 átmegy a = m. 9 egyenletbe, ami evivalens C4-gyel.. feladat A j értée j -re egymáshoz nagyon özel esne és -hez tartana. Mivel szinte folytonosan öveti egymást, jelöljü et -val, de ne feledjü, hogy eze az értée függne a N = /j + átlagos ugrásszámtól. Nagy j-re j+ jóval isebb, mint j+, a 8 gyöifejezésében ezért j+ elhagyható. Ugyanaor j+ isinysége miatt és amiatt, hogy már nagyon özel van -hez, alalmazhatju a j+ = j+ átrendezésével azt apju, hogy 4 = = özelítést. Így 8 m. 0

5 Anna érdeében, hogy önnyen összevethessü ezt az összefüggést 9-el, írju át a bal oldalon álló / törtet az = + = + + alaba. Kihasználva, hogy x = / nagyon isi, és az / + x x özelít azonosságot, azt apju, hogy = + = +. Ebben a ifejezésben az els tört 9 szerint éppen /m, így a 0 egyenlet az alara egyszer södi. Innét + Mindét oldal logaritmusát véve azaz + Ezt a özelít alaot ábrázoltu a 9. ábrán pontozott vonallal. = 3 =. 4 N ln = ln, 5 ln N = ln + ln. 6 5