Kiegészítő részelőadás 2. Algebrai és transzcendens számok, nevezetes konstansok

Átírás

1 Kiegészítő részelőadás. Algebrai és transzcendens számo, nevezetes onstanso Dr. Kallós Gábor A valós számo ategorizálása Eml. (óori felismerés): nem minden szám írható fel törtszámént (racionálisént) Eze az irracionális számo Egyszerű példá:, 3, 5, 6, 7 stb. De: irracionális szám a G (vagy: φ), az e és a π is A racionális és az irracionális számo együtt hézagmentesen lefedi a teljes számegyenest Állítás: Egy szám racionális törtfelírása periodius, vagy egy idő múlva periodius Ez bármely (egész alapú) számrendszerben igaz Feladat: mi az eredeti szám, ha a tört ala 0,3777 0,57878 Minden periodiusságot nélülöző szám irracionális Vigyázzun, a felírás lehet néha becsapós, pl. 0, *0-es számrendszerben egy leegyszerűsített törtszám tizedes alaja véges, ha a nevezőjében csa a és 5 (hatványai) szerepelne tiszta szaaszos (periodius), ha a nevezőjében csa -től és 5-től ülönböző príme (hatványai) szerepelne vegyes szaaszos (egy idő múlva periodius), ha a nevezőjében vegyesen szerepelne és 5, ill. -től és 5-től ülönböző príme (hatványai)

2 A valós számo ategorizálása Vanna olyan szép irracionális számo, amelye egyszerű egész együtthatós egyenlete megoldásai, pl. : x =, 3 : x 3 =, (G vagy φ) : x = x + Egy számot algebraina nevezün, ha található olyan egész (vagy: racionális) együtthatós véges(egész)foú polinom (egyenlet), amelyne ő gyöe (megoldása) Megj.: csupa 0 együttható nem megengedett Nyilvánvaló, hogy a racionális számo is algebraia (p/q-ra: = q/p x vagy 0 = p/q x) Természetes érdés: minden irracionális szám ilyen vajon? Vá.: nem! Liouville, 844: létezne nem algebrai számo (transzcendens számo elnevezés: Euler; amelye nem elégítene i semmiféle algebrai egyenletet sem)!! 3! 4! Konrétan a onstans transzcendens 880-as éve eleje: már ismert, hogy az e és a π is transzcendens Cantor: szinte minden szám transzcendens (!) Az algebrai számo megszámlálhatóan soan vanna (ugyanúgy, mint a racionális számo), a transzcendens számo számossága ellenben nem megszámlálhatóan végtelen Azaz: a számegyenesre véletlenül ráböve szinte biztosan transzcendens számot apun 3 A valós számo ategorizálása Lánctört ala Az irracionális (tehát: algebrai és transzcendens) számo jegyeiben hagyományos (tizedes)tört felírás általában nem látszi semmiféle szabályosság A lánctört ala azonban már mélyebb bepillantást enged a számo 6 =, = + természetébe, és itt egyes irracionális + számo megszelídülne 4 + Ilyenor a lánctört ala mindig végtelen Állítás (már tudju): Egy szám megoldása egy másodfoú algebrai egyenletne lánctört alaja periodius, vagy egy idő múlva periodius Ezeet a számoat vadratius irracionalitásna is nevezi (, 3, 5 stb.) Továbbá tudju, hogy az e számnál és a vele apcsolatban levő számonál is látszi bizonyos szabályosság Általában azonban egy szám, amely nem vadratius irracionalitás, nem mutat a lánctört alajában szabályosságot Példá:. slidesor *Feladat: Próbáljun eresni olyan egyéb irracionális számot, amely nem tartozi a fenti ategóriába, és mégis mutat valamilyen szabályosságot a lánctört alajában! 4

3 Algebrai számo Tétel: Algebrai számo összege, ülönbsége, szorzata és hányadosa (nem nulla nevezővel) is algebrai szám Pl. : + 3 megoldása az x 4 0x + = 0 egyenletne Pl. : 5 7 felírható 5 7 -ént, és így gyöe az x 5 7 polinomna Bármilyen gyöös ifejezést írun fel, az mindig algebrai Pl.: gyöe az ( x 3) polinomna De: nem minden algebrai szám írható fel gyöös ifejezésént! (eml.: ötödfoú egyenlete) Pl.: az x 5 4x polinom gyöei nem állítható elő gyöös ifejezésént 5 Transzcendens számo Probléma: a transzcendens számoat nehéz elépzelni Az általun használt számo néhány ivételtől elteintve nem ilyene Ha véletlenszerűen írun számjegyeet egy tizedestörtbe, szinte biztosan transzcendens számot apun Persze a végtelenségig ell folytatnun a felírást De: anna pontos bizonyítása, hogy egy megadott onrét onstans valóban transzcendens (pl. e + π, e π, π π ) nehéz (vagy: nagyon nehéz) feladat (!) Hilbert (900, Párizs): 3 egyszerűen megfogalmazható probléma, amelye az aori matematia számára megoldhatatlano volta (és nagyon nehezen megoldhatóna tűnte) A 7. probléma: igazolju, hogy transzcendens! Megoldás (930-as éve, Gelfond és Schneider, tétel): Ha a 0, algebrai szám, és b nem racionális algebrai szám, aor a b transzcendens Ezzel rengeteg transzcendens szám onstruálható *A tétellel igazolható, hogy e π transzcendens. Valóban, az Euler-féle azonosságból e i π = (az i épzetes egység algebrai). i i Átalaítással e π π =, azaz ( ) e =. i ( ) ( ) i 6

4 Transzcendens számo *Az első ismert transzcendens szám ilyen tulajdonságána (vázlatos) igazolása Tétel (Liouville, 844): Az α = = 0, onstans transzcendens! = 0 Megj.: Az összeg nyilvánvalóan véges A bizonyításban ihasználju (igazolás nélül): Tétel. (Liouville): Ha α gyöe egy egész együtthatós n-edfoú polinomna, aor csa véges so olyan p/q tört létezi, amelyre p α < n+ q q Azaz: az algebrai számo racionális törteel nem özelíthető nagyon jól, tehát ha egy szám törteel nagyon-nagyon jól özelíthető, aor transzcendens Bizonyítás: Teintsü α özelítő részösszegeit. A -adi részösszeg legyen p /q, ahol lno(p, q ) =. 0A + Közös nevezőre hozva =, azaz q = 0!, és p utolsó jegye. n!! 0 0 n= p A γ ülönbség becsülhető a övetezőéppen: 0 < γ = α = <. m! ( + )! q m= Itt felhasználtu, hogy γ -ban az első nullától ülönböző jegy a (+)!-adi helyen szerepel, és a további jegye özött so nulla is van; ezért γ biztosan isebb azon számnál, ahol az eggyel isebb pozícióban szerepel, és utána csupa 0 van. Mivel ( + )! =! + (! ) >!, ezért γ < /0! = /(q ) -nál. Legyen most n rögzített, és teintsü az összes > n + számot. p Ezere α = γ <. n+ q ( q ) ( q ) Eze a törte egyszerűsíthetetlen alaban vanna megadva, ezért mind ülönbözőe. Eszerint α bármely n-re végtelen soszor jól özelíthető, tehát egyetlen n-re sem lehet gyöe egy egész együtthatós n-edfoú polinomna. Így α transzcendens. 7 Nevezetes onstanso A G (vagy: φ) szám (már tudju) Bevezetés (már az óorban is ismert): az aranymetszés aránya Kapcsolat a Fibonacci-sorozattal és az eulideszi algoritmussal Algebrai szám, lánctört alaja egyszerű π (már tudju) Bevezetés (már az óorban is ismert) Nevezetes óori probléma a ör négyszögesítése Jegye meghatározása legalább éves problémaör Irracionalitás és transzcendens tulajdonság igazolása (Lambert és Lindemann) e szám (már tudju) n Bevezetés (Bernoulli): bani probléma (690.), lim = e n + n Vizsgálat (Euler, 740-es és 50-es éve): fontosabb tulajdonságo, irracionalitás, e x függvény Transzcendens tulajdonság igazolása (Hermite, 873) π ζ() = 6 Bevezetés: Riemann zeta-függvény, négyzetszámo reciproösszege Reciproa: anna esélye, hogy ét véletlenül választott nagy szám relatív prím Transzcendens További nevezetes onstanso Euler-γ és Catalan-állandó (még nem ismert, hogy irracionálisa-e), ζ(3) irracionális, sin() transzcendens, Champernowne-onstans transzcendens 8

5 Nevezetes onstanso A Brun-onstans Sejtés: Végtelen so ierprím van Tétel (Brun): Az ierpríme reciproösszege véges Definíció (Brun-onstans): B = = Nem tudju, hogy a Brun-onstans irracionális vagy racionális-e Maple program a Brun-onstans meghatározására, futtatási eredménye 0-ig:, ig:, ig:, ig:, , Ajánlott irodalom Fried Ervin: Létezne-e transzcendens számo?, KÖMAL, 00/4. Edward Kofler: Fejezete a matematia történetéből, Gondolat, Budapest, 965 Németh Regina: Nevezetes számo a matematiában (szadolgozat), ELTE, 03 Pelián József: Matematiai onstanso (előadás, pdf változat Törö L., Hrasó A.), 006 0