Algebrai és transzcendens számok

Átírás

1 MATEMATIKA Szakköri füzet Algebrai és transzcenens számok Készítette: Klement Anrás 00

2 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok Bevezetés A szakköri füzetben áttekintjük a számhalmazokat és új szempont szerint csoportosítjuk azokat algebrai ill. transzcenens számokra. Külön foglalkozunk a két legnevezetesebb transzcenens számmal a π-vel és az e-vel. Levezetünk egy nagyon szép közelítést π-re a körbe írt szabályos n olalú sokszög kerületének kiszámításával. A Buffon-féle tőprobléma néven híressé vált mószerrel kísérletileg is meghatározzuk π értéket. Ehhez szemléltetésül segítségül hívunk egy szimulációs programot is. Foglalkozunk továbbá a matematika egyik leghíresebb problémájával a kör négyszögesítésével is. A szakköri füzetben szerepel néhány felaat is ezek megolása a füzet végén található meg. I. Számhalmazok Tekintsük át a számfogalom kialakulását és fejlıését! Véges halmazok számosságai alkotják a természetes számokat. Az üres halmaz számossága 0 az egyetlen elemet tartalmazó halmazé. Két halmaz számossága azonos ha a halmazok elemei között kölcsönösen egyértelmő hozzárenelést tuunk létesíteni. A természetes számok halmaza N. Számosságát megszámlálhatóan végtelennek nevezzük.. Felaat. Igaz-e hogy ha az A halmaz valói részhalmaza B-nek akkor kisebb a számossága? A természetes számok halmazában nem olható meg az xa0 egyenlet ezért bevezették a negatív számokat. Együttesen az egész számok halmazát alkotják jele Z. Itt sem olható meg azonban az x a egyenlet így bevezették a racionális számokat is. efiníció: Az a számot racionális számnak nevezzük ha felírható két egész szám hányaosaként. A racionális számok halmazának jele Q. Q már zárt az

3 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 3 összeaásra és a szorzásra nézve s minkét mőveletre nézve bármely 0-tól különbözı racionális számnak van Q-ban inverze az egységelemekre nézve: a ill.. Ebbıl következik hogy Q a kivonásra és az osztásra nézve is zárt. a Az összeaás és a szorzás is kommutatív asszociatív mővelet és a szorzás az összeaásra nézve isztributív. Tétel: A racionális számok halmaza azonos a véges és a végtelen szakaszos tizees törtek halmazával. Bizonyítás:. Minen racionális szám véges vagy végtelen szakaszos tizees tört alakba írható. Az osztási maraék kisebb a nevezınél így véges számú lépés után 0 lesz vagy ismétlıés kezıik.. Minen véges és a végtelen szakaszos tizees tört racionális szám. A végtelen mértani sor összegképlete racionális számokat tartalmaz Q peig zárt az összeaásra szorzásra kivonásra és osztásra is.. Felaat. Ír fel két egész szám hányaosaként a végtelen vegyes szakaszos tizees törtet! A végtelen nem szakaszos tizees törtek nem racionális számok. Ezeket irracionális számoknak nevezzük. A racionális és irracionális számok együtt alkotják a valós számok halmazát. Jele R. Cantor bizonyította hogy Q megszámlálhatóan végtelen viszont R nem az tehát nagyobb számosságú amit kontinuum számosságnak nevezünk.

4 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 4 Győjtımunka: Nézz utána a könyvtárban vagy az interneten hogyan bizonyíthatók be a fenti tételek. 3. Felaat: Keress irracionális számokat! 4. Felaat: Mutassuk meg hogy a irracionális szám! A matematika két leghíresebb száma az e és a π is irracionális. Felsıbb matematikai eszközökkel bizonyítható hogy a sinx és cosx függvények az x0 kivételével minen racionális helyen irracionális értéket vesznek fel így pl. sin irracionális. 5. Felaat: önts el az alábbi számokról hogy racionálisak vagy irracionálisak: log a sin π b log 9 c lg II. Algebrai és transzcenens számok A racionális számok halmazában nem olható meg az x a0 egyenlet. Ezért vált szükségessé a számfogalom további bıvítése az algebrai számok értelmezése a racionális számok halmazának lehetséges kiterjesztéseként. efiníció: Az a számot algebrai számnak nevezzük ha létezik olyan racionális együtthatós legalább elsıfokú polinom melynek az a szám gyöke. Az algebrai számok halmazának jele: A

5 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 5 6. Felaat: Bizonyítsuk be hogy ha a algebrai szám akkor létezik olyan egész együtthatós legalább elsıfokú polinom is melynek az a szám gyöke. 7. Felaat: Igazoljuk hogy minen racionális szám algebrai szám! 8. Felaat: Mutassuk meg hogy az a számok is algebrai számok! és b 3 5 irracionális Bizonyítható hogy bármely két nullától különbözı algebrai szám összege különbsége szorzata és hányaosa is algebrai szám. Látható hogy minen racionális számokból álló gyökkifejezés algebrai szám. Forítva viszont nem igaz. Galois bizonyította be hogy van olyan ötöfokú polinom melynek nincs megoló képlete azaz a gyökei nem ahatók meg gyökkifejezés segítségével. Ilyen pl. az x 5 4x polinom is. Cantor bizonyította be 874-ben hogy az algebrai számok halmaza ugyanúgy mint a természetes és a racionális számok halmaza szintén csak megszámlálhatóan végtelen. Ez bizonyítja hogy vannak nem algebrai számok is ezeket transzcenens számoknak nevezzük. Az elnevezés Eulertıl származik és az a magyarázata hogy ezek a számok túlhalaják az algebrai mószerek teljesítıképességét. Liouville 85-ben bizonyította hogy az !!! 3! Végtelen mértani sor összege transzcenens szám....

6 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 6 Összegzésül tekintsük át egy bemutató segítségével a megismert számhalmazokat most már az algebrai számok halmazának figyelembe vételével! Lás a mellékelt Power Point bemutatót! A trigonometrikus exponenciális és logaritmus függvényeket transzcenens függvényeknek nevezik mert bizonyítható hogy egyikük sem hala keresztül egynél több algebrai ponton azaz olyan ponton melynek minkét koorinátája algebrai. Ezek az algebrai pontok valamelyik koorináta tengelyen vannak. 9. Felaat: A meg a sinx cosx tgx ctgx x 0 x log x lgx függvények algebrai pontjait!

7 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 7 III. A π és az e szám A π története jelentısége 739-ben javasolta Euler hogy a kör kerületének és átmérıjének arányát a π betővel jelöljük. A π története azonban sokkal korábban kezıött. Az egyipto- mi Rhin-papiruszon (ie ) a kör területét a t 9 képlet található ahol a kör átmérıjét jelöli. Eszerint π Ugyanekkor Mezopotámiában a π3 vagy a π35 jóval urvább értékeket használták. Az iniai 8 Szulvaszusztrák kb. ie. 500-ból π értékére két érekes kifejezést atak. Ezek a π 8 (3 ) és a π Más iniai mővekben π-t 0 -nek vették. A görög Arkhiméész (ie. 87-) KÖRMÉRÉS címő mővében a kör kerületét a körbe írt és a kör köré írt szabályos sokszögek kerületével közelítette meg. A számítást a 96 olalú szabályos sokszögre elvégezve azt találta hogy 0 3 < π < A III. százaban élt kínai Huj a kör kerületét a körbe írt 307 olalú szabályos sokszöggel közelítette meg és így a π3459 értéket kapta. Mintapéla: Az egységsugarú kör kerületét a körbe írt n (n ) olalú szabályos sokszöggel közelítjük.

8 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 8 Megolás: Jelölje s n a körbe írt szabályos n-szög olalhosszúságát. Az ábra szerint AB s n E E C s n B Az ABC erékszögő háromszög területe t B A C B A azaz C B A B A. Mivel Pithagorasz tétele szerint B B A A azt kapjuk hogy ( ) E B B azaz ( ) s s s n n n 4.

9 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 9 Ezt az egyenletet megolva a geometriai feltételeknek megfelelı megolás: Mivel tujuk hogy s s 4 n n. s ezért 4 s 8 s 6 s... n n- b egymásba skatulyázott négyzetgyökkel. Ezek szerint a körbe írt n olalú szabályos sokszög kerülete azaz az egységsugarú kör kerületét megközelíthetjük a s n n k... n értékkel mely n- b egymásba skatulyázott négyzetgyököt tartalmaz. Ez a kifejezés tehát π közelítı értékét aja meg. A XVI. Százaban Luolph 35 tizees jegyig számította ki π értékét ezért a π-t szokás Luolph-féle számnak is nevezni. A π értéke 35 tizees jegyig: A XVII. százaban Leibniz egy végtelen sor segítségével ata meg 4 π értékét: π Azóta is ez a π legegyszerőbb és legszebb kifejezése Lambert 76-ben igazolta hogy a π irracionális maj Linemann 88-ben igazolta a π transzcenenciáját is.

10 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 0 Az e szám 748-ban vezette be Euler az e számot a matematika egyik legfontosabb számát. Azonban ennél jóval korábban Napier logaritmusról írt mővében jelentek meg az elsı utalások az e számra 68-ban. Népszerőségére jellemzı hogy vicc is született róla: Rettegve rohannak a függvények az utcán szinte fellökik egymást: - Gyertek függvények fusson ki merre lát! Az egyik nyugotan szivarozva sétálgat tovább. A cosx majnem keresztülesik rajta rohanás közben és ráförme: - Te süket vagy? Miért nem futsz? Nyakunkon a minent leeriváló rém! - Na és? - sétál tovább nyugotan a függvény: én az e a x vagyok. Ki nem érti a vicc poénját? İ nézzen utána az e x függvény ifferenciálhányaosának! Az e szám efiníciói: Harminc tizees jegyre: e 0! e! n! lim 3! n e ! n... Az e szám a természetes alapú logaritmus alapszáma és az e x függvény különleges jelentıségét az aja hogy a eriváltja önmaga. 873-ban Hermite bizonyította be elıször hogy az e szám transzcenens. Győjtımunka: Keress érekességeket a könyvtárban vagy az interneten a π és az e számok történetével kapcsolatban keress π-verseket!

11 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok IV. A Buffon-féle tőprobléma a kör négyszögesítése A Buffon-féle tőprobléma 777-ben Buffon vetette fel a tőprobléma néven közismertté vált felaatot. Ennek megolásával nagyon érekes lehetıséget aott a π kísérleti meghatározására. A felaatot a következıképpen fogalmazhatjuk meg: Rajzoljunk egy vízszintes lapra azonos távolságban levı párhuzamos egyeneseket. objunk erre a lapra véletlenszerően irányítás nélkül egy l < hosszúságú tőt. Mi a valószínősége annak hogy a tő metszi valamelyik egyenest? Feltehetjük hogy a tő középpontja egy a párhuzamos egyenesekre merıleges e egyenesre esik.

12 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok A tő helyzetét ekkor a metszés szempontjából egyértelmően jellemzik az ábrán jelölt φ és x aatok melyekre 0 ϕ π 0 x Könnyen látható hogy a tő akkor metszi valamelyik egyenest ha l 0 x sinϕ vagy l sinϕ x Ábrázoljuk koorináta-renszerben az egyenlıtlenségek által meghatározott ponthalmazokat:

13 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 3 A geometriai valószínőséget a kevezı terület és az összes terület hányaosaként kapjuk meg tehát annak a valószínősége hogy a tő metszi valamelyik rácsvonalat: P l π 0 sinϕ π ϕ Innen kifejezhetjük a π közelítı értékét: π l [ cosϕ] 0 π l P π l ν n ( ) l π l π ahol ν n a relatív gyakorisága annak hogy n obás esetén a tő metszi valamelyik rácsvonalat. 850-ben Wolf végezte el elıször a kísérletet és 5000 obás után π értékére 3596-ot kapott. A BuffonsNeeles.exe szimulációs programmal nekünk is lehetıségünk van rá hogy kísérleti úton meghatározzuk π értékét sokkal több véletlen obás és jóval kényelmesebb körülmények között. Egy kép a szimulációs programból:

14 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 4 A kör négyszögesítése A matematika történetének évezreeken át az egyik legnépszerőbb felaata volt a kör négyszögesítése azaz olyan négyzet szerkesztése eukliészi szerkesztéssel azaz csupán egyenes vonalzó és körzı segítségével amelynek területe egy aott r sugarú kör r π területével egyenlı. Az eukliészi szerkesztés fogalma Nézzük meg elıször mit is kell értenünk pontosan eukliészi szerkesztésen! A vonalzót két aott ponton átmenı egyenes meghúzására a körzıt peig aott középpontú és aott sugarú kör megrajzolására használhatjuk.

15 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 5 efiníció: Alapszerkesztéseknek nevezzük a) két egyenes metszéspontjának meghatározását b) egyenes és kör metszéspontjának meghatározását c) Két kör metszéspontjának meghatározását. Az alapszerkesztések véges számú ismétlésével végrehajtható szerkesztéseket eukliészi szerkesztéseknek nevezzük. 0. Felaat: Egy aott egységszakasz továbbá az a és b szakaszok ismeretében szerkesszük meg eukliészi móon az hosszúságú szakaszokat! a ab a b a b ( b 0 ) és a b Ennek alapján az egységszakasz ismeretében meg tujuk szerkeszteni eukliészi móon bármelyik racionális számot a számegyenesen ezen kívül peig azokat a számokat melyek racionális számok alapmőveletek és négyzetgyökvonás segítségével véges számú lépésben elıállíthatók. Nem szerkeszthetık meg viszont a transzcenens számok melyek nem állíthatók elı ilyen móon. A kör négyszögesítésének lehetetlensége Aott az r sugarú kör ennek területe r π a vele azonos területő négyzet olala r π. Mivel a π transzcenens szám ez nem szerkeszthetı meg eukliészi móon ezzel elılt hogy a kör négyszögesítése lehetetlen felaat.

16 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 6 Hilbert 7. problémája Végül egy érekesség. Hilbert 900-ban a párizsi matematikai kongresszuson tartott híres elıaásában 3 egyszerően megfogalmazható matematikai problémát vetett fel melyek megolatlanok voltak és az akkori matematikai technika számára nem is látszottak egyhamar megolhatónak. Az egyik legreménytelenebbnek tőnı probléma annak a bizonyítása volt hogy a transzcenens szám. Három évtizeen át a leghalványabb remény sem mutatkozott arra hogy valamilyen irányból meg lehetne közelíteni a problémát. Végül 934-ben Gelfon maj 935-ben Schneier egymástól függetlenül igazolták a következı tételt: Gelfon-Schneier tétel: Ha a 0-tól és -tıl különbözı algebrai szám és b nem racionális algebrai szám akkor a b transzcenens szám. A Gelfon-Schneier tételbıl rögtön következik hogy a transzcenens szám. Megjegyzés: Az Euler-féle ei π azonosságból ahol i az imaginárius egység: i ( ) i π i ( ) i e e π ( ) i Ez peig a Gelfon-Schneier tétel szerint azt jelenti hogy e π transzcenens.

17 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 7 Megolások. Felaat megolása: Csak véges halmazokra pl. a páros természetes számok halmazának számossága azonos az 5-tel osztható természetes számok halmazának számosságával.. Felaat megolása:. mószer mószer x x x x 3 Innen x Felaat megolása Megolás: Pl vagy

18 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 8 4. Felaat megolása: Inirekt úton bizonyítjuk hogy nem lehet racionális. Tegyük fel hogy p q ahol p és q természetes számok. Ekkor q p lenne ami ellentmon a számelmélet alaptételének a prímtényezıs felbontás egyértelmőségének. 5. Felaat megolása: a0 racionális. b irracionális ez inirekt úton szintén könnyen bizonyítható. p Tegyük fel hogy log 9 ahol p és q természetes számok. Ekkor log q 9 q p q p lenne ahonnan q-aik hatványra emelve ami ellentmon a számelmélet alaptételének a prímtényezıs felbontás egyértelmőségének. 9 c 5 tehát racionális. nagyon érekes eset irracionális szám irracionális kitevıjő hatványa vajon lehet-e racionális? log 9 3 tehát a legnagyobb meglepetésünkre racionális. 6. Felaat megolása: Szorozzuk meg az egyenletet a polinom együtthatóinak nevezıiben szereplı természetes számok legkisebb közös többszörösével. 7. Felaat megolása: Az a racionális szám gyöke az x a racionális együtthatós polinomnak.

19 SZAKKÖRI FÜZET Algebrai és transzcenens számok 9 8. Felaat megolása: 5 7 Mivel a a gyöke az x polinomnak. A b szám peig gyöke az (x 3) 5 polinomnak. 9. Felaat megolása: Renre: (00) (0) (00) nincs (0) (0) (0) (0) 0. Felaat megolása: A párhuzamos szelık tételét alkalmazhatjuk az a b és b a szerkesztésére (negyeik arányos szerkesztése) ill. a magasságtételt egy szakasz négyzetgyökének a -nak a szerkesztésére.