A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása

Átírás

1 A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása Bevezetés Már középiskolás koromban is érdekelt, hogy mi lehet az a borzasztó nehéz számítás, aminek csak a végeredményét közölték velünk, s amit Feldmann ~ Sapiro - elv -nek ( röviden: FSE ) neveztek. Aztán sokkal később [ ] - ben találkoztam hasonló mondatokkal: Hosszas matematikai levezetés után a következő eredmény született Aztán még később megtudtam, hogy az elv alkalmazását megkönnyíteni szánt mozgatható skálákkal bíró számolóeszközből tolótáblázatból már csak néhány működő darab van, ezek is már szinte muzeális értékek. Szóval, ez kész rejtély! Elérkezettnek látszott az idő: fel kellene már lebbenteni erről a fátylat! Hiszen a számítógépek korát éljük! Vagy nem? Az FSE kimondása és bizonyítása Az FSE a fűrészáru - kihozatali számítások kapcsán merül fel. Az a cél, hogy az adott átmérőjű fűrészrönk feldolgozása során a lehető legkisebb veszteséget, azaz a legnagyobb kihozatali % - ot érjük el. Utóbbi meghatározása: v K 00 ( % ), ( ) V ahol K: a mennyiségi kihozatali %; v: a termelt fűrészáru mennyisége ( m 3 ); V: a feldolgozott rönk mennyisége ( m 3 ). Továbbá: v = t h, ( ) V = T h, ( 3 ) így ( ), ( ), ( 3 ) - mal: t K= 00 ( % ). T ( 4 ) Itt t: a termelt fűrészáru keresztmetszeti területe ( m ); T: a feldolgozott rönk - mennyiség keresztmetszeti területe ( m ); h: a rönk, ill. a belőle termelt fűrészáru hossza ( m ). ( 4 ) szerint a kihozatali % annál nagyobb, minél nagyobb az adott bütüre rárajzolható fűrészáru keresztmetszeti területe. A FSE azt állítja, hogy a rárajzolást, vagy másként mondva a fűrészpenge - elrendezést bizonyos módon végezve, K max 85 % érhető el. A munkát úgy szervezzük, hogy először tételként kimondjuk a FSE - t, majd bebizonyítjuk azt. Ennek során nem csak a szokásos középiskolai matematikát alkalmazzuk, de igyekszünk megmutatni, vagy ötletet adni, hogy hogyan lehetne a tételt, ill. egyes részeit magasabb matematika alkalmazása nélkül is belátni.

2 Tétel: A d átmérőjű rönkből kivágható fűrészáru - keresztmetszet legnagyobb hasznos területe ld. az. ábrát is! : max t t 4 t 0,707 d 4 0,d 0,43 d.. ábra A tétel igazolása két lépésben történik:.) Igazoljuk, hogy a d átmérőjű körbe írható legnagyobb területű téglalap egy a = 0,707 d oldalú négyzet, amelyre: t a 0,707 d..) Igazoljuk, hogy a d átmérőjű körben a fennmaradó 4 darab körszeletbe írható legnagyobb területű téglalapok kereken 0,0 d x 0,43 d méretűek, így ezek területe: t 0, d 0,43 d. Ha e két állítás igazságát beláttuk, akkor a tétel állítása már a szemlélet alapján adódik..) Lépés Ehhez tekintsük a. ábrát is! A téglalap területe: T 4 x y. ( 5 ) Pitagorász - tétellel: y r x. ( 6 ) Most ( 5 ) és ( 6 ) - tal: T (x) 4 x r x.. ábra ( 7 )

3 3 A T (x) területfüggvény szélső értékének szükséges feltétele: dt (x) 0. ( 8 ) dx Elvégezve a deriválást: dt (x) x 4 r x x 0; dx r x ( 9 ) Majd ( 9 ) - ből: r x 0; ( 0 ) r x minthogy ( 0 ) nevezője ( 6 ) szerint y, ez pedig nem lehet végtelen nagy, ezért a számlálónak kell zérusnak lennie, amiből: r x*. ( ) Most ( 6 ) és ( ) - ből: r y*. ( ) Az utóbbi két képlet szerint a keresett téglalap valójában négyzet. Ennek oldalai: d a b x* r 0,707 d, tehát a b 0,707 d. ( 3 ) A négyzet területe: t a 0,707 d. ( 4 ) Annak további igazolása, hogy a vizsgált szélsőérték maximum, és nem minimum, nem szükséges, mert a terület minimuma éppen zéró lenne. Ezzel a tétel igazolásának első lépését elvégeztük.. Lépés Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Pitagorász - tétellel: y * r, innen r y*. ( 5 ) A kis téglalap területe:

4 4 3. ábra T. ( 6 ) Most ( 5 ) és ( 6 ) - tal: T r y * ; ( 7 ) majd ( ) és ( 7 ) - tel: r T r ; ( 8 ) most ( 8 ) - at r - tel osztva: T ; r r r ( 9 ) bevezetve a T, u = r r ( 0 ) rövidítő jelöléseket, ( 9 ) és ( 0 ) szerint: (u) u u. ( ) A kis téglalap területe maximális, ha d (u) 0. ( ) du Elvégezve a deriválást: d (u) u u u 0; du u rendezve:

5 5 u u u 0. Innen: Rendezve: u u u 0. u u. Négyzetre emeléssel: u u. A bal oldalon elvégezve a kijelölt műveletet: 4 u 4 u 4 u. Rendezve: 4 8u 8 u u, majd a 4 8 u 7 u 0 u - ben másodfokú egyenletre jutunk. Megoldása gyökképlettel: u,, 8 6 innen u 0, u 0, ; r majd u 0, u 0, r Itt az u - kat csak pozitív előjellel vettük, mert a 3. ábra szerint ezt használtuk a területszámításhoz. Most el kell döntenünk, hogy a két u - érték közül melyik adhatja a feladatunk megoldását. A 3. ábra szerint a pozitív értelmezési tartományban maradva 0 x*, azaz 0 0, 707 r. Eszerint u adja a megoldást: u* 0,440 * 0,440 r. ( 3 ) Felfelé (! ) kerekítéssel: * 0,43 r. ( 4 ) Most ( 5 ) és ( 3 ) - mal:

6 6 * u * 0,985, r innen * 0,0 r. ( 5 ) Most ( 6 ), ( 4 ), ( 5 ) - tel: T * * * 0,43 r 0,0 r d d 0,43 0,0 0,43d0,0d. T * t jelöléssel, ( 6 ) szerint: A ( 6 ) t 0,43d 0,0 d. ( 7 ) Ezzel a tétel. részét is igazoltuk. Eddig beláttuk, hogy a helyzet az. ábra szerinti, amelynek megfelelően a legnagyobb kifűrészelhető keresztmetszeti terület: t t 4 t, ( 8 ) max így ( 4 ), ( 7 ) és ( 8 ) képletekkel kapjuk, hogy tmax t 4 t 0,707d 4 0, 43d 0,0 d, ( 9 ) a tétel állításának megfelelően. Ezzel a tételt teljesen igazoltuk. A maximális kihozatali százalék értékének meghatározása A ( 4 ) meghatározás és ( 9 ) szerint, felhasználva a T d ( 30 Ö 4 összefüggést is: 0,707 d 40,43d0,0 d t max K max 00 85,6%. T 0,785 d Megjegyezzük, hogy ezt pontosabban számolva mintegy 85% - ot kapunk.

7 7 Azt is érdemes megemlíteni, hogy a FSE egy geometriai természetű szélsőérték - számításon alapul, amely nincs tekintettel a felhasználók egyéb feltételekre alapozott igényeire. Ilyen egyéb feltétel lehet pl. az, hogy az ácsok által felhasznált építőfa / gerenda keresztmetszetének oldalarányára ajánlott érték az 5:7, stb. Ez azt is jelenti, hogy a FSE csak segédeszköz, nem pedig alapszabály! Az. ábra szerinti eredeti FSE kis átalakításával jutunk a módosított FSE - hez ld.: 4. ábra. 4. ábra Látható, hogy a rárajzolt területek aránya a teljes kör területéhez mindkét esetben ugyanaz, vagyis az elméleti mennyiségi kihozatali százalékok megegyeznek. Az FSE alkalmazásáról Az alábbi idézetet [ ] - ben olvashatjuk. A Feldmann Sapiro - féle vágáselmélet gyakorlati alkalmazása nem terjedt el a várt mértékben. Ennek oka, hogy a számítások túlságosan bonyolultak, hosszadalmasak, a termelés üteméhez képest lassúak. A számítás azonban tolótáblázatokkal gyorsítható. A több mint három évtizede leírt fenti sorok ma már nyilván nem időszerűek, hiszen a fűrészipari technológiák is erősen számítógépesítettek, vagy egyre inkább azok lesznek. Hogy az elv a faiparban nem teljesen haszontalan, azt az is jelzi, hogy ma is része a faipari szakképzés tananyagának, főként a technikus - képzésben. Bár a faipari mérnökök, ill. üzemmérnökök számára a számítások sosem lehettek túl nehezek és hosszadalmasak, az tény, hogy a mai matematika érettségi tananyag ismeretében nem

8 8 várható el, hogy a fenti levezetést a tanuló minden részletében megértse. Megjegyzendő, hogy a [ ] mű keletkezésének idején a szakközépiskolai matematika érettségi tananyaga tartalmazta az egyváltozós függvények szélsőérték számításának alapvető ismereteit e sorok írója is tanulta azokat, így aztán végképp nem világos, hogy az akkori technikusoknak vajon miért volt ez a levezetés és az eredmények alkalmazása túl nehéz. Talán mert nem publikálták? A levezetés ha a tanórán sor kerülne rá ma bizonyára másképpen történne. Ennek az lenne a lényege, hogy a szóban forgó területek maximumát más, a deriválás alkalmazását elkerülő módon állítanánk elő. Ennek egy - egy lehetséges módját alább részletezzük. A szélsőértékek elemi meghatározási módjáról Foglalkozzunk először a T terület - függvénnyel! Ennek szélsőérték - helyét a másodfokú egyenlet megoldásának ismereteire alapozva állítjuk elő ld. pl.: [ 3 ]. Fejezzük ki x - et T - gyel! ( 7 ) átalakítását részletezve: T x r x ; 4 négyzetre emelve: T x r x ; 4 kifejtve: T 4 r x x ; 4 rendezve: 4 T x r x 0. 4 Ez utóbbi egy másodfokú egyenlet, x - re. Megoldása a gyökképlettel: 4 T r r 4 4 x,. ( ) Tudjuk, hogy a T terület lehető legnagyobb értékét keressük. Minthogy azonban a ( ) egyenletben a négyzetgyök alatt nem állhat negatív szám, ezért T legfeljebb akkora lehet, hogy a gyök alatti mennyiség éppen 0 legyen: 4 T * r ( ) Most ( ) és ( ) képletekkel:

9 9 r r x * x*. ( $ ) Majd ( 6 ) és ( $ ) képletekkel: r r r y* r x * r x*, tehát y* r. ( $$) A legnagyobb terület: r r ( $$$ ) T * T (x*, y*) 4 x * y* 4 r. Ellenőrzés : ( ) szerint T * T * r T * r, egyezésben a ( $$$ ) eredménnyel. 4 Látjuk, hogy deriválás nélkül is megkaptuk az alapvető ( $ ) és ( $$), ill. a ( ) és ( ) eredményeket. Térjünk át most a T, ill. a τ területfüggvény szélsőértékének keresésére! Sajnos, az előbbi fogást itt nem tudjuk alkalmazni, mert olyan hiányos negyedfokú egyenletet kapunk, amely már nem redukálható másodfokúra. Itt azt a megkerülő manővert választhatjuk, hogy a ( ) képlettel leírt függvényt ábrázoljuk számítógéppel ez könnyen és gyorsan mehet, majd leolvassuk a legnagyobb függvényértékekhez ( a helyi szélső - értékekhez ) tartozó u és u értékeket, végül ezekkel a már leírt módon nyerjük az eredményeket. Zárszó A fentiekben pótoltuk a magyar faipari szakképzés egy évtizedek óta fennálló hiányosságát: részletesen levezettük a Feldmann ~ Sapiro - elvként ismert, egy bizonyos értelemben optimális fűrészpenge - elrendezési esetet leíró összefüggéseket. Ennek során az érdeklődő Olvasó képet alkothatott a szükséges számítások hosszadalmasságáról, bonyolultságáról, valamint ötleteket kaphatott az eredmények elemi úton történő előállításához. Fontosnak tartjuk, hogy a szakmailag értékes mozzanatok legyenek azok bármely kor és nép eredményei fennmaradjanak, és a következő generációk tudását gyarapítsák, szemléletét formálják. Úgy is fogalmazhatunk, hogy kár lenne kiönteni a fürdővízzel együtt a gyereket is.

10 0 Irodalomjegyzék: [ ] Bálint László: Faipari technológia I. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 983. [ ] Szerk. Lugosi Armand: Faipari Kézikönyv Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 976. [ 3 ] Johannes Gabler: Mathematik und Leben, Band I. VEB Fachbuchverlag Leipzig, 966. Sződliget, 008. október 8. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár