3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió)

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, RC és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió)"

Átírás

1 3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, R és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió Zoli október 28.

2 1

3 Tartalomjegyzék 1. Frekvenciafüggő elemek, kondenzátorok és tekercsek: Kondenzátorok: Tekercsek: Nem ideális eszközök: Négypólusok: Négypólusok általában: Soros kapcsolások: Soros R feszültséggenerátorral: Soros RL feszültséggenerátorral: Soros R áramgenerátorral: Soros RL áramgenerátorral: Párhuzamos kapcsolások: Párhuzamos R feszültséggenerátorral: Párhuzamos RL feszültséggenerátorral: Párhuzamos R áramgenerátorral: Párhuzamos RL áramgenerátorral:

4 A jegyzetről: Jelen jegyzet a harmadik konzultációm anyagát tartalmazza, egyelőre sajnos még kissé hiányos, de ami ki van dolgozva, az korrektül végig van számolva. A jegyzet tartalmaz olyan levezetéseket, amelyek ismerete nem szükséges a ZH-khoz. Az órákon és ZH-kon általában csak speciális esetekkel foglalkozunk és a megoldások ismerete bőven elég. A levezetések konkrétan differenciálegyenlet-megoldások. A differenciálegyenletek megoldásának készsége nélkülözhetetlen az egyetemen, ezért gondoltam nem árt, ha a jegyzetem ezeket alapból tartalmazza, lehetőleg korrekt végigszámításokkal. A második félévben lévő Differenciálegyenletek (vagy hasonló című tárgy kapcsán elő szoktak fordulni R, illetve RL áramkörök működésének leírása differenciálegyenletek segítségével, ebben sokat segíthet ez a jegyzet. A jegyzet szabadon hozzáférhető a honlapomon, saját felelősségre letölthető és használható, az egyetlen kérésem, hogy senki ne terjessze! Továbbá, hogy tanárok nem tudhatnak róla! A jegyzet esetlegesen hibákat tartalmazhat, ha netán valaki találna, akkor kérem jelezze azt ben! Későbbi verziók várható módosításai, bővitései: a kondenzátorok feszültséggel való töltése külön fejezetbe kerül, továbbá bővül majd periodikus jelek vizsgálatával, állandósult jelalak kiszámításával és egyenáramú leválasztással. Továbbá várható függelékek: határozott integrálok számítása és differenciálegyenletek megoldása (persze szorítkozva a jelen esetben szükséges esetekre. 3

5 1. Frekvenciafüggő elemek, kondenzátorok és tekercsek: 1.1. Kondenzátorok: A kondenzátor egy töltéstárolásra alkalmas eszköz. Fő jellemző paramétere a kapacitás, mely definíció szerint azt mondja meg, hogy egy kondenzátor hány oulomb töltést tud tárolni 1 Volt feszültség mellett: = Q [] = F F : Farád Egy kondenzátor általános felépítése: van két vezető réteg (ezeket fegyverzeteknek nevezzük, melyeket valamilyen szigetelő választ el (vákuum, levegő, vagy valamilyen dielektrikum. A kapacitás pontos értéke az adott geometriai elrendezéstől függ, így általánosan csupán annyi mondható, hogy a fegyverzetek felületével egyenes, távolságukkal fordítottan arányos a kapacitás 1. Például síkkondenzátor esetén: sik = Q = A ε E E d Ahol A a síkkondenzátor egyik fegyverzetének felülete, d a fegyverzetek távolsága, ε pedig a két fegyverzet közti anyag dielektromos állandója. Most vizsgáljuk olyan tekintetben a kondenzátort, hogy mi történik, ha valamilyen áramot kapcsolunk rá. Ekkor az áramgenerátor által kiadott töltések mind a kondenzátor fegyverzetein halmozódnak fel. Hogyan is kell ezt precízen megfogalmazni? A kondenzátor összegyüjti az időben érkező töltéseket, vagyis nem csinál mást, mint az áramot idő szerint integrálja: Q(t = = ε A d I(t + Q 0 (1 Ahol Q 0 a kondenzátoron a t = 0 időpillanatban lévő töltés (egy konstans paraméter. A kapacitás definíciója alapján ebből megkapható a kondenzátor időfüggő feszültsége: (t = Q(t = 1 I(t + Q 0 = 1 I(t + 0 (2 Ahogy fent is jelölve van, a kezdeti Q 0 töltés egy Q0 = 0 kezdeti feszültséget okoz a kondenzátorban. De mi van abban az esetben, ha nem áramot, hanem feszültséget kapcsolunk a kondenzátorra? Ebben az esetben az áram időfüggése a kérdéses, így az ide vonatkozó összefüggést a (2 egyenlet idő szerinti deriválásával kaphatjuk meg: (t = 1 d(t I(t + Q 0 = 1 I(t + d Q 0 } {{ } =0 I(t = d(t Összefoglalva a számunkra szükséges összefüggések: / d (3 / (4 (5 (t = 1 I(t + Q 0 I(t = d(t (6 1 A pontos számításokhoz a Gauss-törvényt kell alkalmazni (ez egyben az I. Maxwell egyenlet: E( rdf = Q. Továbbá a potenciált is A ε 0 az = E( rdr integrállal kell kiszámítani. 4

6 Eredő kapacitás: ugyan úgy, ahogy az ellenállásokat, a kondenzátorokat is lehet sorosan, illetve párhuzamosan kapcsolni és ezeknek is van egy eredő kapacitása. Soros kapcsolás esetén: e = n (7 Szemléletesen úgy is lehet tekinteni, mintha az egymás utáni kondenzátorok fegyverzetei közti szigetelőrétegek vastagságai összeadódnának (nő a d, csökken a kapacitás. Párhuzamos kapcsolás esetén: e = n k (8 Szemléletesen: mintha a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok felületei összeadódnának Tekercsek: k=1 Egy tekercs jellemző paramétere az induktivitás. Hasonlóan, mint a kondenzátor esetében, itt is a konkrét geometriától függ, hogy ez a paraméter mekkora. Általánosan annyi mondható, hogy minél nagyobb az n menetszám (változatlan N tekercshosszúság mellett, és nagyobb a felület, annál nagyobb az induktivitás. Egy egyszerű henger alakú tekercs esetében: L = µ N 2 A l [L] = H H : Henry Ahol A a henger alapjának felülete, l a tekercs hossza, N a menetszáma, µ a tekercs belsejét kitöltő anyag permeabilitása. Ha valamilyen áramot kapcsolunk a tekercsre, akkor az indukciós törvény alapján: (t = L di(t Ebből integrálással kapható meg az az eset, amikor a feszültség adott, és az áram ismeretlen: (9 (t = L di(t / (10 (t + L I 0 = L I(t /: L (11 I(t = 1 L (t + I 0 (12 Ahol I 0 egy integrációs konstans, jelentése: a t = 0 időpillanatban a folyó áram 2. A számunkra lényeges két fő összefüggés tehát: (t = L di(t I(t = 1 L (t + I 0 (13 Eredő induktivitás: a rizsa hasonló, mint a kondiknál. Soros kapcsolás esetén: Párhuzamos kapcsolás esetén: n L e = L k (14 k=1 L e = L 1 L 2... L n (15 2 Ez a jelentés rögtön meg is kapható, ha az I(t = 1 L t (t + I egyenletbe behelyettesítjük a = t = 0 kezdeti paramétereket, 0 ekkor az integrál értéke 0, és marad az, hogy I(t = 0 = I 0. 5

7 1.3. Nem ideális eszközök: Természetesen (ahogy forrásoknál és műszereknél is megbeszéltük már, ideális tekercsek és kondenzátorok sincsenek. Sőt, ami azt illeti, sok esetben messze nem tekinthetőek az egyes eszközök pusztán tekercsnek, vagy kondenzátornak (vagy akár ellenállásnak. Tekercs esetében: ha nagy induktivitású tekercset akarunk készíteni, akkor minél nagyobb menetszámot kell feltekercselnünk minél kisebb helyre. Ez így hosszú és vékony vezetékkel érhető el, ami egyértelműen nagy ellenállást jelent. Emellett az egymás mellett lévő huzalok kondenzátornak is felfoghatóak, így részben ellenállások, és kondenzátorok is. De azt hozzá kell tenni, hogy az idealizált esettől való eltérések nem mindíg mutatkoznak meg látványosan. Kapacitások esetében: kapacitásoknál a lényeg a minél nagyobb felölet, és minél közelebbi vezető rétegek. Ahhoz, hogy ezek használhatóak legyenek, minél vékonyabb anyagokat kell minél kisebb helyre összepréselni. A vékony vezetőrétegek ellenállása szintén lehet nagy (bár messze nem olyan nagy, mint a hosszú vékony vezetékeké, továbbá a feltekert vezetőrétegek valamelyest tekercsként is felfoghatóak, így a kapacitás mellett is jelen lehet mind az ohm-os ellenállás, mind az induktivitás. Általában nagyon nehéz jó tekercseket készíteni, kondenzátorokból jobbak vannak, ezért ha egy áramkör megvalósítható tekercses kapcsolások helyett kondenzátorokkal is, akkor inkább a kondenzátorosat választják. 2. Négypólusok: 2.1. Négypólusok általában: Általában négypólusnak nevezünk egy olyan "dobozt", aminek van két bemeneti pontja, és két kimeneti pontja. Előfordulhat, hogy egy négypólus belső felépítése ismeretlen. Ekkor, ha meg szeretnénk tudni, hogy mit is rejt a doboz, akkor valahogy meg kell vizsgálnunk (lehetőleg nem kalapáccsal ;. A vizsgálatnak többféle módja is lehet. Az egyik mód, hogy különböző időfüggésű feszültség és áramjeleket adunk be az egyik oldalon, és megnézzük, hogy miként alakul a "túlvég". Ennek egy speciális esete, ha különböző frekvenciájú szinuszos jeleket adunk be az egyik oldalon, majd megfigyeljük, hogy a kimenet amplitúdója és fázisa hogyan viszonyul a bemenethez képest. Ez utóbbi vizsgálatra később térünk vissza. A következőkben megnézzük, hogy különböző időfüggő jelekre hogyan reagálnak a soros és párhuzamos R és RL kapcsolások. Most először megnézzük, hogy az egyes kapcsolások hogyan reagálnak tetszőleges időfüggésű áramokra és feszültségekre. Ezek egy részét "Bekapcsolási jelenségeknek 3 " is szokás nevezni. Külön kell választanunk az RL és R kapcsolásokat soros-párhuzamos esetekre, valamint ezeken belül is még áramgenerátor és feszültséggenerátor esetére is Soros kapcsolások: Soros R feszültséggenerátorral: Általánosan: Ekkor az időfüggő feszülség tekinthető "adottnak", és ennek megfelelően alakul majd az áram. Továbbá a huroktörvény itt is teljesül: egy adott pillanatban a kondenzátoron és az ellenáson eső feszültségek összege megegyezik a generátor feszültségéve. Induljunk ki ebből: g (t = R (t + (t (16 g (t = R I(t + 1 I(t + Q 0 3 A bekapcsolási jelenségek konkrétan azt takarják, hogy ha rákapcsolunk egy feszültséget, vagy áramot egy kapcsolásra, akkor abban különböző jelalakok fordulnak elő. Például ha felkattintunk egy kapcsolót, akkor durva közelítéssel az történik, hogy t = 0 idő alatv -ról egy bizonyos feszültségre ugrik fel a potenciál, ekkor nem árt, ha tudjuk, hogy mi törtnik bekapcsoláskor az áramkörben. De ugyanakkor az is előfordulhat, hogy mondjuk lineárisan növeljük az áramot, és így állítjuk be a kívánt értéket (lehet, hogy pont bizonyos bekapcsolási jelenségek kivédése érdekében. (17 6

8 Ez így egy integrálegyenlet I(t-re. Az integrálegyenleteket "nem szeretjük", a differenciálegyenleteket sokkal inkább, ezért inkább deriváljuk le az integrálegyenletet, és oldjuk meg a kapott differenciálegyenletet! di(t g (t = R I(t + 1 d g (t = R di(t + 1 R I(t = 1 R d g(t I(t + Q 0 / d ( I(t /: R (19 Ez így egy inhomogén differenciálegyenlet az I(t áramra. Az ilyen differenciálegyenletek általános megoldása úgy kapható meg, ha összeadjuk a homogén eset általános megoldását és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását: I(t = I h (t + I p (t (21 A homogén eset az (20 egyenlet esetéban az, amikor a differenciálegyenlet jobb oldala 0. A homogén egyenletből kapott megoldás alapján írjuk fel először a partikuláris megoldást. Tehát vizsgáljuk először a homogén esetet: di h (t + 1 R I h(t = 0 (22 di h (t = 1 R I h(t (23 1 I h (t di h(t + ln 1 A = 1 (24 R ln I h (t + ln 1 A = t R (25 ln I h(t = t A R (26 I h (t A = e t R (27 I h (t = A e t R (28 Szokásos jelölés az R = τ, ahol τ egy idő dimenziójú mennyiség, karakterisztikus időnek, vagy időállandónak is szokás nevezni, egy adott R kapcsolásra jellemző érték. A homogén egyenlet megoldása így: (20 I h (t = A e t τ (29 Az egyenletekben A egy integrációs konstans, melynek jelentését akkor kapjuk meg, ha a megoldást illesztjük t = 0-ban a kezdeti feltételekhez. Vagyis: I h (t = 0 = A e 0 τ }{{} = A := I 0 (30 =1 Vagyis A az az áram, amely az áramkörben t = 0 időpillanatban folyik. Ezt a megoldást később még részletezzük a lépcsőfüggvényes speciális esetnél. Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását hasonló alakúnak feltételezzük, mint a (29 homogén megoldást. A különbség az, hogy ebben az esetben az A integrációs konstansnál feltételezzük, hogy van valamilyen időfüggése. Tehát a partikuláris megoldás alakja: I p (t = A(t e t τ (31 Ekkor persze A(t egy ismeretlen függvény. Ahhoz, hogy megkapjuk az A(t függvényt, és ezáltal a teljes partikuláris megoldást, a partikuláris megoldás feltételezett (31 alakját be kell helyettesítenünk az (20 inhomogén differenciálegyenletbe: da(t d ( e t τ + A(t ( 1 τ A(t e t τ di p (t + 1 τ I p(t = 1 R d g(t + 1 τ A(t e t τ = 1 R d g(t e t 1 τ + τ A(t e t τ = 1 R d g(t (32 (33 (34 7

9 Így a partikuláris megoldás: da(t e t τ = 1 R d / g(t e t τ (35 da(t = 1 R d g(t e t τ (36 A(t = 1 dg (t e t τ (37 R I p (t = 1 R És az inhomogán egyenlet általános megoldása: I(t = I 0 e t τ + 1 R ( dg (t ( dg (t e t τ e t τ (38 Az integrál természetesen nem számítható ki a konkrét feszültségfüggvény ismrete nélkül. Egy speciális megoldás: lépcsőfüggvény esetében e t τ e t τ (39 Vegyük azt az esetet, amikor t = 0-ban rákapcsolunk egy konstans feszültséget a kapcsolásra. Ekkor g (t-t lépcsőfüggvénynek is szokás nevezni, matematikai megfogalmazásban 4 : { 0 ha t < 0s g (t = ha t 0s 1. ábra. (t lépcsőfüggvény Továbbá a kondenzátoron kezdetben ne legyen semennyi töltés (Q 0 = 0. Számunkra csupán a t = 0 utáni időszak érdekes. Ebben a tartományban a feszültésg időben állandó, vagyis deriváltja zérus. Ez nem más, mint a differenciálegyenletünk homogén esete: di(t + 1 R I(t = 1 R d g(t = 1 R d }{{} =0 (40 Ennek megoldását ismerjük: di(t + 1 I(t = 0 (41 R I(t = A e t τ (42 4 A lépcsőfüggvényt szokás Heavyside-függvénynek is nevezni, különböző függvények és függvénysorozatok limeseként is szokás felírni, most mi egy egyszerűbb megfogalmazásnál maradunk. 8

10 Ahhoz, hogy megkapjuk az A paraméter értékét (azt már tudjuk, hogy kezdeti áram lesz, de hogy mégis mik határozzák meg, azt még csak sejthetjük, vissza kell helyettesítenünk az EREDETI egyenletbe, NEM A DIFFER- ENIÁLEGYENLETBE!!! 5 Azt kell csinálni, hogy az eredeti integrálegyenletbe (17 kell visszaírni a megoldást, mégpedig úgy, hogy az integrál = 0-tól t-ig tart: = R I(t + 1 = R A e t τ + 1 = R A e t A τ + = R A e t A τ + I(t (46 A e t [ τ e t τ [( τ e t τ τ ] t =t t ==0 = R A e t A [ τ + τ e t τ = R A e t τ + A τ ( 1 e t τ = R A e t A ( τ + R 1 e t τ = R A e t τ + R A (1 e t τ ( τ e 0 τ }{{} ] + τ =1 ] (47 (48 (49 (50 (51 (52 (53 = R A e t τ + R A R A e t τ (54 = R A (55 A = R := I (56 Ha belegondolunk, akkor ez egy tökéletesen ésszerű megoldás, ugyanis abban a pillanatban, mikor bekapcsoljuk a feszültséget, a kondenzátor még semmilyen ellenállást nem tanusít. Egyedül az Ohm-os ellenállás korlátozza az elektronok áramlását, vagyis az Ohm-törvénynek megfelelő áram folyik, ami megegyezik a mostani I-vel. Tehát az áram: I(t = R e t τ = I e t τ (57 2. ábra. Az áramkörben folyó I(t áram, fépcsős generátorfeszültség esetén 5 Ha nem az eredeti egyenletbe helyettesítünk vissza, akkor nem kapjuk meg az A paraméter értékét: di(t + 1 I(t = 0 (43 R ( A 1 e τ t τ + 1 τ A e τ t = 0 (44 0 = 0 (45 9

11 Ennek megfelelően az ellenálláson eső feszültséget rögtön kiszámolhatjuk: R (t = R I(t = R R e t τ = e t τ (58 3. ábra. Az ellenálláson eső R (t feszültség lépcsős generátorfeszültség esetén És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a kondenzátor feszültsége: (t = g (t R (t = e t τ = (1 e t τ (59 4. ábra. Az kondenzátoron eső (t feszültség lépcsős generátorfeszültség esetén (kondenzátor töltődése Az eredmények összefoglalva: I(t = R e t τ R (t = e t τ (t = 1 e t τ (60 Megjegyzés: jogosan merülhet fel az a kérdés, hogy miért van az, hogy a homogén megoldást az integrálegyenletbe helyettesítettük vissza, hogy megkapjuk az A paramétert, míg a partikuláris megoldás esetében az inhomogén differenciálegyenletbe. Azért az integrálegyenletbe helyettesítettünk vissza a homogén esetben, mert a deriválással elveszítjük a konstanst, amiből az A paramétert megkapjhatjuk. Nem veszítünk el akkor semmit, ha a partikuláris megoldást nem oda írjuk vissza? Nem! Mivel csak olyan információt veszítünk el a deriválással, ami a homogén esethez tartozik, vagyis a partikuláris megoldásnak nem része, mivel az csak olyan megoldásokat tartalmaz, melyek esetében a jobb oldal nem nulla, vagyis konstanstól különbözik. 10

12 A kondenzátorok töltődése: Most kicsit részletezzük a kondenzátorok töltődését, valamint megbeszéljük a hasonló jellegű görbék pár jellemvonását. A korábbi képletek alapján kiszámítható, hogy tetszőleges idő elteltével mekkora lesz egy kondenzátor feszültsége (és mivel az ellenálláson lévő feszültség (t, ez is hasonlóan egyszerűséggel számítható. Előfotdul, hogy nem az idő adott, hanem azt kell meghatározni, hogy mennyi idő alatt töltődik fel egy kondenzátor valamekkora feszültségre. Ekkor (117 alapján: (t = 1 e t τ (61 (t = 1 e t τ (62 e t τ = 1 (t t ( = ln 1 (t τ ( t = τ ln 1 (t A kondenzátor töltődési idejének azt az időt nevezzük, amennyi idő alatt a kondenzátor 0.1 -ról 0.9 -ig feltöltődik, mint ahogy a 5. ábrán is látható. Legyen t 1 az az időtartam, ameddig a kondenzátor 0.1 -ig feltölt, t 2 pedig az az idő, amíg 0.9 -ra feltőlt, ekkor t tolt = t 2 t 1. Ez az előző összefüggés alapján: ( t tolt = t 2 t 1 = τ ln 1 ( (t 2 + τ ln 1 (t 1 = ( = τ ln ( + τ ln = τ ln( τ ln(1 0.1 = 0.9 = τ ln(0.1 + τ ln(0.9 = τ (ln(0.9 ln(0.1 = τ ln = 0.1 = τ ln(9 = τ 2.2 τ (63 (64 (65 Tehát a töltődési idő: 5. ábra. A kondenzátor töltési ideje t tolt 2.2 τ (66 A töltődési idő egy eléggé önkényes definíció, semmi komoly fizikai alapja nincs. Az 5. ábrán egyértelműen látható, hogy messze sem mondható, hogy ennyi idő alatt feltölt a kondenzátor. Talán a legtöbben azt mondanánk, hogy úgy kb. 5 6 τ idő az, amíg 0-ról közel a maximumig tölt. De ez épp ugyan olyan onkényes definíció volna, mint a 2.2 τ-s definíció... 11

13 Soros RL feszültséggenerátorral: Általánosan: Most is abból indulunk ki, hogy a feszültségek összeadódnak: g (t = R (t + L (t (67 g (t = R I(t + L di(t (68 Szuper! gyanis rögtön egy differenciálegyenlet adódott. Ráadásul hasonló alakú, mint az imént. Az egyetlen dolgunk, hogy leosszunk az induktivitással, és máris beazonosíthatjuk a megoldásokat. di(t + R L I(t = g(t L Tehát ismét inhomogén a differenciálegyenletünk, a megoldás hasonló képen keresendő, mint az előbb: (69 A homogén esetet vizsgálva: I(t = I h (t + I p (t (70 di h (t + R L I h(t = 0 (71 Ez ugyan az a differenciálegyenlet, mint az R esetében, az egyetlen különbség, hogy most τ = L R. Tehát a homogén eset általános megoldása (29-hez hasonlóan: Ez alapján az inhomogén eset partikuláris megoldásának feltételezett alakja: Visszahelyettesítve az eredeti differenciálegyenletbe: da(t di p (t I h (t = A e t τ (72 I p (t = A(t e t τ ( τ I p(t = g(t L ( e t τ + A(t 1 e t 1 τ + τ τ A(t e t τ = g(t L da(t (74 (75 e t τ = g(t (76 L da(t = g(t L e t τ (77 A(t = 1 g (t e t τ (78 L Tehát az általános megoldás: I(t = A e t τ + ( 1 L g (t e t τ e t τ (79 Egy speciális megoldás: lépcsőfüggvény esete Most is vizsgáljuk meg azt a speciális esetet, amikor ugrásfüggvény érkezik a kapcsolásra. { 0 ha t < 0s g (t = ha t 0s Tehát t = 0 után g (t =. Ekkor a differenciálegyenlet: di(t + R L I(t = L (80 12

14 6. ábra. Az (t lépcsős generátorfeszültség Nézzük meg az inhomogén esetet: A(t = 1 L = τ L Így a partikuláris megoldás: 0 [ g (t e t τ = 1 L ] e t τ e 0 τ }{{} =1 = L R L I p (t = A(t e t τ Ekkor az inhomogén egyenlet általános megoldása: 0 e t τ = L (e t τ 1 = (e t τ 1 R 0 e t τ = L = (e t τ 1 e t τ = 1 e t τ R R I(t = I h (t + I p (t = A e t τ + 1 e t τ R Az A paraméter jelentsének megértéséhez helyettesítsük be a t = 0 időpontot ] t [τ e t =t τ = (81 t =0 I(t = 0 = A e 0 τ }{{} + 1 e 0 τ R }{{} = A + (1 1 = A (85 R } {{ } =1 =1 =0 Tehát A nem más most sem, mint egy I kezdeti áram az áramkörben 6. Jelen esetben nincs ilyen, de ha volna, akkor az exponenciálisan lecsengene, elhalna. Így a mostani áram: I(t = R 1 e t τ (82 (83 (84 (86 7. ábra. Az áramkörben folyó I(t áram lépcsős generátorfeszültség esetén Ennek megfelelően az ellenálláson eső feszültséget rögtön kiszámolhatjuk: R (t = R I(t = R 1 e t τ = 1 e t τ R (87 13

15 8. ábra. Az ellenálláson eső R (t feszültség lépcsős generátorfeszültség esetén És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a tekercs feszültsége: L (t = g (t R (t = 1 e t τ = e t τ (88 9. ábra. Az induktivitáson eső L (t feszültség lépcsős generátorfeszültség esetén Az eredmények összefoglalva: I(t = R 1 e t τ R (t = 1 e t τ L (t = e t τ ( Soros R áramgenerátorral: Ez egy nagyon jó kis eset, mert ekkor nincs sok számolni valónk. Soros kapcsolás lévén az összes elemen folyó áram ugyan az kell legyen, és most pont a generátor mondja meg, hogy mi legyen ez az áram: Ekkor az ellenállás feszültsége "leköveti" a generátor áramát: A kondenzátor meg a korábban megbeszélteknek megfelelően integrál: (t = 1 I g (t = I R (t = I (t (90 R (t = R I g (t (91 I g (t + 0 (92 6 Ezt úgy kéne elképzelni, hogy kezben direkt folyatunk egy áramot (már jó sok ideje, mondjuk áramgenerátorral tápláljuk, majd t = 0 időpillanatban rövidre zárjuk az áramgenerátor helyét. Ekkor az indukció miatt a tekercs még egy ideig folyatja az áramot, de az Ohm-os ellenállás okozta veszteségek miatt leáll az áramlás. 14

16 Soros RL áramgenerátorral: Ez is egy kedvelt eset hasonló okokból. Az áramok: I g (t = I R (t = I L (t (93 Ekkor az ellenállás feszültsége "leköveti" a generátor áramát: R (t = R I g (t (94 A tekercs pedig "derivál": L (t = L di g(t ( Párhuzamos kapcsolások: Párhuzamos R feszültséggenerátorral: Párhuzamos kapcsolás esetén a feszültségek megegyeznek. Mivel pont feszültséggenerátor van az áramkörre kapcsolva, ezért a generátor mondja meg azt. Így ismét egy egyszerű esettel állunk szemben: g (t = R (t = (t (96 Az ellenálláson folyó áram "leköveti" a feszültséggenerátor jelét: A kondenzátor pedig "derivál": I R (t = g(t R I (t = d g(t (97 ( Párhuzamos RL feszültséggenerátorral: Ez a másik könnyű eset párhuzamos kapcsolás esetén. A feszültségek itt is megegyeznek, tehát: Az ellenállás hasonló, mint az előbb: g (t = R (t = L (t (99 A tekercs viszont integrál: I R (t = g(t R (100 I L (t = 1 L Párhuzamos R áramgenerátorral: g (t + I 0 (101 Általánosan: Na ez már nem olyan egyszerű, mint az előző pár eset. Induljunk ki abból, hogy áramgenerátor által leadott áram megoszlik a két alkatrész között, vagyis: Írjuk be az egyes értékek számítási módjait: I g (t = (t R I g (t = I R (t + I (t (102 + d(t Ezen egyenletekben az (t nem más, mint a két elemen ugyan abban a pillanatban eső feszültség. Erre a feszültségre kaptunk tehát egy differenciálegyenletet, ami pont olyan, mint a soros kapcsolás esetében az RL kapcsolásé volt, (103 15

17 a különbség az, hogy itt L helyett van, R helyett 1 R, valamint az áramok és feszültségek szerepe felcserélődött. Írjuk fel a differenciálegyenletet hasonló alakban, mint a korábbi esetnél: d(t + 1 R (t = 1 I g(t (104 A megoldás számításának módja ugyan az, mint korábban. Az általános megoldás: ( (t = 0 e t 1 τ + I g (t e t τ e t τ (105 Természetesen most τ = L R. 0 jelentése: ha kezdetben van valamekkora töltés a kondenzátoron, akkor ez egy bizonyos potenciálkülönbséget okoz. Ekkor elindul egy áram az ellenálláson keresztül a kondenzátor másik fegyverzete felé, a töltéskiegyenlítődés érdekében. Ha nem lenne ellenállás, akkor 0 idő alatt végbemenne a kiegyenlítődés, de mivel van, így csupán exponenciálisan csökken. Speciális eset: ugrásfüggvény Ebben az esetben a feszültség: Ennek alapján az ellenálláson folyó áram: A kondenzátor árama pedig: { 0 ha t < 0s I g (t = I ha t 0s (t = I R 1 e t τ I R (t = (t R = 1 R I R 1 e t τ = I 1 e t τ (106 (107 I (t = I g (t I R (t = I I 1 e t τ = I e t τ (108 Összefoglalva: (t = I R 1 e t τ I R (t = I 1 e t τ I (t = I e t τ (109 Gondoljunk bele, hogy mit is jelentenek az eredmények: kezdetben a kondenzátor nem jelent semekkora ellenállást, ezért nagy áram folyik. Ahogy kezd feltöltődni, a potenciálkülönbség egyre nagyobb lesz, és elkezdi akadályozni az áramlást. A töltődésből származó potenciál jelenik meg az ellenálláson, és az ennek megfelelő áram folyik azon. A kondenzátor akkora feszültségre tölt fel, mint ami akkor esne a kapcsoláson, ha az ellenálláson folyna az összes generátoráram Párhuzamos RL áramgenerátorral: Általánosan: Ez az eset a feszültséggenerátoros soros R esethez lesz hasonló. Persze hasonlóan az előbbi esethez, itt is felcserélődik L és szerepe, valamint a feszültség és áram is. De azért írjuk fel rendesen az áramkört jellemző egyenleteket. Induljunk ki hasonlóan, mint az előző esetben: I g (t = I R (t + I L (t (110 I g (t = (t R + 1 L Ez ugye egy integrálegyenlet, amit nem szeretünk, ezért lederiváljuk: (t + I 0 (111 d(t di g (t = 1 d(t R + R L (t = R di g(t + 1 L (t + di 0 }{{} =0 (112 (113 16

18 A megoldás: Speciális eset: ugrásfüggvény (t = 0 e t τ ( dig (t + R e t τ e t τ (114 { 0 ha t < 0s I g (t = I ha t 0s A speciális megoldás is hasonló alakú lesz, mint a soros R feszültséggenerátor esetében: (t = e t τ = I R e t τ (115 Ennek megfelelően az ellenálláson eső feszültséget rögtön kiszámolhatjuk: I R (t = I e t τ (116 És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a kondenzátor feszültsége: I (t = I 1 e t τ Az eredmények összefoglalva: (t = I R e t τ I R (t = I e t τ I (t = I 1 e t τ (117 (118 17

ElMe 6. labor. Helyettesítő karakterisztikák: Valódi karakterisztika 1 pontosabb számításoknál 2 közelítő számításoknál 3 ideális esetben

ElMe 6. labor. Helyettesítő karakterisztikák: Valódi karakterisztika 1 pontosabb számításoknál 2 közelítő számításoknál 3 ideális esetben ElMe 6. labor 1. Rajzolja fel az ideális és a valódi dióda feszültség-áram jelleggörbéjét! 5. Hogyan szokás közelíteni a számítások során a dióda karakterisztikáját? 4. Rajzolja fel a dióda karakterisztikáját,

Részletesebben

19. Az elektron fajlagos töltése

19. Az elektron fajlagos töltése 19. Az elektron fajlagos töltése Hegyi Ádám 2015. február Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Mérési összeállítás 4 2.1. Helmholtz-tekercsek.............................. 5 2.2. Hall-szonda..................................

Részletesebben

MÉRÉSTECHNIKA I. Laboratóriumi mérések

MÉRÉSTECHNIKA I. Laboratóriumi mérések SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK MÉRÉSTECHNIKA I. Laboratóriumi mérések Győr, 2005. 1. Bevezetés A laboratóriumban elvégzendő mérési gyakorlat a Méréstechnika I. tantárgy része. A laboratóriumi

Részletesebben

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I.

A 2011/2012. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából. I. Oktatási Hivatal A 11/1. tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából I. kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható.

Részletesebben

Labor tápegység feszültségének és áramának mérése.

Labor tápegység feszültségének és áramának mérése. Labor tápegység feszültségének és áramának mérése. (Ezek Alkotó gondolatai. Nem tankönyvekbıl ollóztam össze, hanem leírtam ami eszembe jutott.) A teljességre való törekvés igénye nélkül, néhány praktikus

Részletesebben

Huroktörvény általánosítása változó áramra

Huroktörvény általánosítása változó áramra Huroktörvény általánosítása változó áramra A tekercsben indukálódott elektromotoros erő: A tekercs L önindukciós együtthatója egyben a kör önindukciós együtthatója. A kondenzátoron eső feszültség (g 2

Részletesebben

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN)

KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) 0801 ÉRETTSÉGI VIZSGA 009. május. KÖZGAZDASÁGI ALAPISMERETEK (ELMÉLETI GAZDASÁGTAN) EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

Részletesebben

5. Mérés Transzformátorok

5. Mérés Transzformátorok 5. Mérés Transzformátorok A transzformátor a váltakozó áramú villamos energia, feszültség, ill. áram értékeinek megváltoztatására (transzformálására) alkalmas villamos gép... Működési elv A villamos energia

Részletesebben

BME Villamos Energetika Tanszék Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport Nagyfeszültségű Laboratórium. Mérési útmutató

BME Villamos Energetika Tanszék Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport Nagyfeszültségű Laboratórium. Mérési útmutató BME Villamos Energetika Tanszék Nagyfeszültségű Technika és Berendezések Csoport Nagyfeszültségű Laboratórium Mérési útmutató Az Elektronikai alkalmazások tárgy méréséhez Nagyfeszültség előállítása 1 1.

Részletesebben

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom

Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Elektromágneses terek gyakorlat - 6. alkalom Távvezetékek és síkhullám Reichardt András 2015. április 23. ra (evt/hvt/bme) Emt2015 6. alkalom 2015.04.23 1 / 60 1 Távvezeték

Részletesebben

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.

4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002. M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy

Részletesebben

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8.

Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. Fizikaverseny, Döntő, Elméleti forduló 2013. február 8. 1. feladat: Az elszökő hélium Több helyen hallhattuk, olvashattuk az alábbit: A hélium kis móltömege miatt elszökik a Föld gravitációs teréből. Ennek

Részletesebben

VHR-23 Regisztráló műszer Felhasználói leírás

VHR-23 Regisztráló műszer Felhasználói leírás VHR-23 Regisztráló műszer Felhasználói leírás TARTALOMJEGYZÉK 1. ÁLTALÁNOS LEÍRÁS... 3 1.1. FELHASZNÁLÁSI TERÜLET... 3 1.2. MÉRT JELLEMZŐK... 3 1.3. BEMENETEK... 4 1.4. TÁPELLÁTÁS... 4 1.5. PROGRAMOZÁS,

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell

Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás. 1. Bevezetés. 2. A modell . Bevezetés Kaotikus vagy csak összetett? Labdák pattogása lépcs n Gruiz Márton, Meszéna Tamás, Tél Tamás Egy osztrák gimnáziumi tankönyvben több, közismerten kaotikus mozgással járó jelenség bemutatása

Részletesebben

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka

Bináris keres fák kiegyensúlyozásai. Egyed Boglárka Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Bináris keres fák kiegyensúlyozásai BSc szakdolgozat Egyed Boglárka Matematika BSc, Alkalmazott matematikus szakirány Témavezet : Fekete István, egyetemi

Részletesebben

A készletezés Készlet: készletezés Indok Készlettípusok az igény teljesítés viszony szerint

A készletezés Készlet: készletezés Indok Készlettípusok az igény teljesítés viszony szerint A készletezés Készlet: Olyan anyagi javak, amelyeket egy szervezet (termelő, vagy szolgáltatóvállalat, kereskedő, stb.) azért halmoz fel, hogy a jövőben alkalmas időpontban felhasználjon A készletezés

Részletesebben

8. előadás EGYÉNI KERESLET

8. előadás EGYÉNI KERESLET 8. előadás EGYÉNI KERESLET Kertesi Gábor Varian 6. fejezete, enyhe változtatásokkal 8. Bevezető megjegyzések Az elmúlt héten az optimális egyéni döntést elemeztük grafikus és algebrai eszközökkel: a preferenciatérkép

Részletesebben

Kibernetika korábbi vizsga zárthelyi dolgozatokból válogatott tesztkérdések Figyelem! Az alábbi tesztek csak mintául szolgálnak a tesztkérdések megoldásához, azaz a bemagolásuk nem jelenti a tananyag elsajátítását

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 5 V ELEmI ALGEbRA 1 BINÁRIS műveletek Definíció Az halmazon definiált bináris művelet egy olyan függvény, amely -ből képez -be Ha akkor az elempár képét jelöljük -vel, a művelet

Részletesebben

Billenőkörök. Billenő körök

Billenőkörök. Billenő körök Billenő körök A billenőkörök, vagy más néven multivibrátorok pozitívan visszacsatolt, kétállapotú áramkörök. Kimeneteik szigorúan két feszültségszint (LOW és HIGH) között változnak. A billenőkörök rendszerint

Részletesebben

DT320 x. Túlfeszültségvédő, 4 20 ma áramhurokhoz. Kezelési útmutató

DT320 x. Túlfeszültségvédő, 4 20 ma áramhurokhoz. Kezelési útmutató Túlfeszültségvédő, 4 20 ma áramhurokhoz Kezelési útmutató Tartalomjegyzék 1. Kezelési útmutató...3 1.1. Rendeltetése... 3 1.2. Célcsoport... 3 1.3. Az alkalmazott szimbólumok... 3 2. Biztonsági útmutató...4

Részletesebben

1. Adja meg az áram egységének mértékrendszerünkben (m, kg, s, A) érvényes definícióját!

1. Adja meg az áram egységének mértékrendszerünkben (m, kg, s, A) érvényes definícióját! 1. Adja meg az áram egységének mértékrendszerünkben (m, kg, s, A) érvényes definícióját! A villamos áram a villamos töltések rendezett mozgása. A villamos áramerősség egységét az áramot vivő vezetők közti

Részletesebben

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást!

b) Adjunk meg 1-1 olyan ellenálláspárt, amely párhuzamos ill. soros kapcsolásnál minden szempontból helyettesíti az eredeti kapcsolást! 2006/I/I.1. * Ideális gázzal 31,4 J hőt közlünk. A gáz állandó, 1,4 10 4 Pa nyomáson tágul 0,3 liter térfogatról 0,8 liter térfogatúra. a) Mennyi munkát végzett a gáz? b) Mekkora a gáz belső energiájának

Részletesebben

23. ISMERKEDÉS A MŰVELETI ERŐSÍTŐKKEL

23. ISMERKEDÉS A MŰVELETI ERŐSÍTŐKKEL 23. ISMEKEDÉS A MŰVELETI EŐSÍTŐKKEL Céltűzés: A műveleti erősítők legfontosabb tlajdonságainak megismerése. I. Elméleti áttentés A műveleti erősítők (továbbiakban: ME) nagy feszültségerősítésű tranzisztorokból

Részletesebben

Háromfázisú hálózat.

Háromfázisú hálózat. Háromfázisú hálózat. U végpontok U V W U 1 t R S T T U 3 t 1 X Y Z kezdőpontok A tekercsek, kezdő és végpontjaik jelölése Ha egymással 10 -ot bezáró R-S-T tekercsek között két pólusú állandó mágnest, vagy

Részletesebben

3. számú mérés Szélessávú transzformátor vizsgálata

3. számú mérés Szélessávú transzformátor vizsgálata 3. számú mérés Szélessávú transzformátor vizsgálata A mérésben a hallgatók megismerkedhetnek a szélessávú transzformátorok főbb jellemzőivel. A mérési utasítás első része a méréshez szükséges elméleti

Részletesebben

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 1 1 Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk Jelfeldolgozás 1 Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk 2 Bevezetés 5 Kérdések, feladatok 6 Fourier sorok, Fourier transzformáció 7 Jelek

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Az általam használt (normál 5mm-es DIP) LED maximális teljesítménye 50mW körül van. Így a maximálisan alkalmazható üzemi árama:

Az általam használt (normál 5mm-es DIP) LED maximális teljesítménye 50mW körül van. Így a maximálisan alkalmazható üzemi árama: Az alábbi néhány egyszerű kapcsolás próbál segíteni megérteni a tranzisztor alapvető működését. Elsőre egy olyan kapcsolást szemlélünk, amelyben egy kapcsolót ha felkapcsolunk, akkor egy tetszőleges fogyasztó

Részletesebben

2) Mit csináljon a kábel árnyékolásával: csak az egyik oldalon (ha igen akkor melyiken), vagy mindkét oldalon kösse rá a hideg pontra.

2) Mit csináljon a kábel árnyékolásával: csak az egyik oldalon (ha igen akkor melyiken), vagy mindkét oldalon kösse rá a hideg pontra. Takida fórumtársunk RCA összekötő készítését tervezi Klotz SQ450PSW STAR QUAD PUR kábel (4 ér + árnyékolás) felhasználásával. A kábel: 1. ábra Klotz SQ450PSW STAR QUAD PUR kábel A kábel 4 db 0,5 mm 2 keresztmetszetű

Részletesebben

NEMAUTOMATIKUS MŰKÖDÉSŰ I PONTOSSÁGI OSZTÁLYÚ MÉRLEGEK HE 7-1998

NEMAUTOMATIKUS MŰKÖDÉSŰ I PONTOSSÁGI OSZTÁLYÚ MÉRLEGEK HE 7-1998 HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS NEMAUTOMATIKUS MŰKÖDÉSŰ I PONTOSSÁGI OSZTÁLYÚ MÉRLEGEK HE 7-1998 1998 január FIGYELEM! Az előírás kinyomtatott formája tájékoztató jellegű. Érvényes változata az OMH minőségirányítási

Részletesebben

ALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖRVÉNYEK

ALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖRVÉNYEK A ALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖVÉNYEK Elektromos töltés, elektromos tér A kémiai módszerekkel tová nem ontható anyag atomokól épül fel. Az atom atommagól és az atommagot körülvevő elektronhéjakól áll. Az atommagot

Részletesebben

Integrált áramkörök termikus szimulációja

Integrált áramkörök termikus szimulációja BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM Villamosmérnöki és Informatikai Kar Elektronikus Eszközök Tanszéke Dr. Székely Vladimír Integrált áramkörök termikus szimulációja Segédlet a Mikroelektronika

Részletesebben

Az 5-2. ábra két folyamatos jel (A és B) azonos gyakoriságú mintavételezését mutatja. 5-2. ábra

Az 5-2. ábra két folyamatos jel (A és B) azonos gyakoriságú mintavételezését mutatja. 5-2. ábra Az analóg folyamatjeleken - mielőtt azok további feldolgozás (hasznosítás) céljából bekerülnének a rendszer adatbázisába - az alábbi műveleteket kell elvégezni: mintavételezés, átkódolás, méréskorrekció,

Részletesebben

MŰVELETI ERŐSÍTŐS KAPCSOLÁSOK MÉRÉSE (DR. Kovács Ernő jegyzete alapján)

MŰVELETI ERŐSÍTŐS KAPCSOLÁSOK MÉRÉSE (DR. Kovács Ernő jegyzete alapján) Miskolci Egyetem Elektrotechnikai- Elektronikai Intézeti Tanszék MŰVELETI ERŐSÍTŐS KAPCSOLÁSOK MÉRÉSE (DR. Kovács Ernő jegyzete alapján) A mérések célja: megismerni a leggyakoribb alap- és alkalmazott

Részletesebben

1. A hőmérsékleti sugárzás vizsgálata

1. A hőmérsékleti sugárzás vizsgálata 1. A hőmérsékleti sugárzás vizsgálata PÁPICS PÉTER ISTVÁN csillagász, 3. évfolyam Mérőpár: Balázs Miklós, Molnár László, Plachy Emese 2006.03.29. Beadva: 2006.05.18. Értékelés: A MÉRÉS LEÍRÁSA A mérés

Részletesebben

I. A légfékrendszer időszakos vizsgálatához alkalmazható mérő-adatgyűjtő berendezés műszaki

I. A légfékrendszer időszakos vizsgálatához alkalmazható mérő-adatgyűjtő berendezés műszaki A Közlekedési Főfelügyelet közleménye a nemzetközi forgalomban használt autóbuszok (M2 és M3 jármű-kategóriába tartozó gépkocsik) vizsgálatát (is) végző vizsgálóállomásokon alkalmazandó mérő-adatgyűjtő

Részletesebben

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák

Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,

Részletesebben

MÁSODIK TÍPUSÚ TALÁLKOZÁS A MÁTRÁBAN CLOSE ENCOUNTERS OF THE SECOND KIND IN MÁTRA HILL

MÁSODIK TÍPUSÚ TALÁLKOZÁS A MÁTRÁBAN CLOSE ENCOUNTERS OF THE SECOND KIND IN MÁTRA HILL MÁSODIK TÍPUSÚ TALÁLKOZÁS A MÁTRÁBAN CLOSE ENCOUNTERS OF THE SECOND KIND IN MÁTRA HILL Nagy Péter 1, Pintér István, Bagány Mihály Kecskeméti Főiskola GAMF Kar 1 az ELTE Fizika Tanítása doktori program

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

SZOLGÁLATI TITOK! KORLÁTOZOTT TERJESZTÉSŰ!

SZOLGÁLATI TITOK! KORLÁTOZOTT TERJESZTÉSŰ! SZOLGÁLATI TITOK! KORLÁTOZOTT TERJESZTÉSŰ! 1. sz. példány T 0900-06/2/20 1. feladat 16 pont Az alábbi táblázat különböző mennyiségek nevét és jelét, valamint mértékegységének nevét és jelét tartalmazza.

Részletesebben

1. ZÁRTTÉRI TŰZ SZELLŐZETÉSI LEHETŐSÉGEI

1. ZÁRTTÉRI TŰZ SZELLŐZETÉSI LEHETŐSÉGEI A tűz oltásával egyidőben alkalmazható mobil ventilálás nemzetközi tapasztalatai A zárttéri tüzek oltására kiérkező tűzoltókat nemcsak a füstgázok magas hőmérséklete akadályozza, hanem annak toxicitása,

Részletesebben

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 10. évfolyam 2015.

Tanulói munkafüzet. FIZIKA 10. évfolyam 2015. Tanulói munkafüzet FIZIKA 10. évfolyam 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia Lektorálta: Dr. Kornis János Szakképző Iskola és ban 1 Tartalom Munka- és balesetvédelmi, tűzvédelmi szabályok... 2 1-2.

Részletesebben

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való

Részletesebben

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok

Részletesebben

Kísérletek az alagúteffektussal

Kísérletek az alagúteffektussal Kísérletek az alagúteffektussal Attila és Tamás leírtak egy érdekes jelenséget, melyben az alagúteffektus makróméretekben történő alkalmazását javasolták. Ezt elolvasva Varnyú Ferenc kedvet kapott a jelenség

Részletesebben

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa

Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa Számelméleti feladatok az általános iskolai versenyek tükrében dr. Pintér Ferenc, Nagykanizsa 1. Mutasd meg, hogy a tízes számrendszerben felírt 111111111111 tizenhárom jegyű szám összetett szám, azaz

Részletesebben

ÉRTÉKELÉS. Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzat Polgármesteri Hivatala részére végzett munkanap fényképezésről

ÉRTÉKELÉS. Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzat Polgármesteri Hivatala részére végzett munkanap fényképezésről ÉRTÉKELÉS Budapest Főváros IX. Kerület Ferencváros Önkormányzat Polgármesteri Hivatala részére végzett munkanap fényképezésről Készítette: B u d a p e s t, 2009. augusztus 03. A projekt az Európai Unió

Részletesebben

1. A Nap, mint energiaforrás:

1. A Nap, mint energiaforrás: A napelem egy olyan eszköz, amely a nap sugárzását elektromos árammá alakítja át a fényelektromos jelenség segítségével. A napelem teljesítménye függ annak típusától, méretétől, a sugárzás intenzitásától

Részletesebben

Egyenáramú biztonsági egység S8TS tápegységekhez

Egyenáramú biztonsági egység S8TS tápegységekhez Egyenáramú biztonsági egység S8TS tápegységekhez Egyenáramú biztonsági egység S8TS tápegységekhez a 24 V-os egyenfeszültség hirtelen áramkimaradások okozta megszakadásának elkerülésére 24 V-os egyenáramot

Részletesebben

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I.

Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Tudományos Diákköri Konferencia Tűgörgős csapágy szöghiba érzékenységének vizsgálata I. Szöghézag és a beépítésből adódó szöghiba vizsgálata

Részletesebben

Írta: Kovács Csaba 2008. december 11. csütörtök, 20:51 - Módosítás: 2010. február 14. vasárnap, 15:44

Írta: Kovács Csaba 2008. december 11. csütörtök, 20:51 - Módosítás: 2010. február 14. vasárnap, 15:44 A 21. század legfontosabb kulcskérdése az energiaellátás. A legfontosabb környezeti probléma a fosszilis energiahordozók elégetéséből származó széndioxid csak növekszik, aminek következmény a Föld éghajlatának

Részletesebben

Fogalomtár és Gyakran Ismételt Kérdések (GYIK) a Demokráciajátékhoz

Fogalomtár és Gyakran Ismételt Kérdések (GYIK) a Demokráciajátékhoz Fogalomtár és Gyakran Ismételt Kérdések (GYIK) a Demokráciajátékhoz Fogalomtár A törvényalkotás folyamata: az Alaptörvény szerint a köztársasági elnök, a kormány, minden országgyűlési bizottság és bármely

Részletesebben

Kondenzátorok. Fizikai alapok

Kondenzátorok. Fizikai alapok Kondenzátorok Fizikai alapok A kapacitás A kondenzátorok a kapacitás áramköri elemet megvalósító alkatrészek. Ha a kondenzátorra feszültséget kapcsolunk, feltöltődik. Egyenfeszültség esetén a lemezeken

Részletesebben

5 Egyéb alkalmazások. 5.1 Akkumulátorok töltése és kivizsgálása. 5.1.1 Akkumulátor típusok

5 Egyéb alkalmazások. 5.1 Akkumulátorok töltése és kivizsgálása. 5.1.1 Akkumulátor típusok 5 Egyéb alkalmazások A teljesítményelektronikai berendezések két fõ csoportját a tápegységek és a motorhajtások alkotják. Ezekkel azonban nem merülnek ki az alkalmazási lehetõségek. A továbbiakban a fennmaradt

Részletesebben

Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Elektrotechnikai-Elektronikai Intézeti Tanszék. Villamosmérnöki szak Villamos energetikai szakirány

Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Elektrotechnikai-Elektronikai Intézeti Tanszék. Villamosmérnöki szak Villamos energetikai szakirány Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Elektrotechnikai-Elektronikai Intézeti Tanszék Villamosmérnöki szak Villamos energetikai szakirány Háztartási méretű kiserőművek hálózati visszahatásának

Részletesebben

BUDAPESTI MŰSZAKI EGYETEM Anyagtudomány és Technológia Tanszék. Hőkezelés 2. (PhD) féléves házi feladat. Acélok cementálása. Thiele Ádám WTOSJ2

BUDAPESTI MŰSZAKI EGYETEM Anyagtudomány és Technológia Tanszék. Hőkezelés 2. (PhD) féléves házi feladat. Acélok cementálása. Thiele Ádám WTOSJ2 BUDAPESTI MŰSZAKI EGYETEM Anyagtudomány és Technológia Tanszék Hőkezelés. (PhD) féléves házi feladat Acélok cementálása Thiele Ádám WTOSJ Budaest, 11 Tartalomjegyzék 1. A termokémiai kezeléseknél lejátszódó

Részletesebben

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával

Illeszkedésvizsgálat χ 2 -próbával Illeszkedésvizsgálat χ -próbával Szalay Krisztina 1. feladat (tiszta illeszkedésvizsgálat) Négy pénzérmét 0-szor feldobunk. A kapott gyakoriságok: fejek száma 0 1 3 4 Összes gyakoriság 5 35 67 41 1 0 Elfogadható-e

Részletesebben

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok.

A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A rádió* I. Elektromos rezgések és hullámok. A legtöbb test dörzsölés, nyomás következtében elektromos töltést nyer. E töltéstől függ a test elektromos feszültsége, akárcsak a hőtartalomtól a hőmérséklete;

Részletesebben

DT9541. Környezeti hőmérséklet érzékelő. Kezelési útmutató

DT9541. Környezeti hőmérséklet érzékelő. Kezelési útmutató Környezeti hőmérséklet érzékelő Kezelési útmutató Tartalomjegyzék 1. Kezelési útmutató...3 1.1. Rendeltetése... 3 1.2. Célcsoport... 3 1.3. Az alkalmazott szimbólumok... 3 2. Biztonsági útmutató...4 2.1.

Részletesebben

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet!

Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály. 2. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola,. osztály. feladat. Oldjuk meg a következ logaritmikus egyenletet! lg(0x ) lg(x + ) = lg () Kikötések: x > 5 és x >. lg(0x ) lg(x + ) = lg () lg 0x (x + ) = lg (3)

Részletesebben

DULCOMETER DMT Mérési adat: ph / redoxpotenciál / hőmérséklet

DULCOMETER DMT Mérési adat: ph / redoxpotenciál / hőmérséklet Szerelési és üzemeltetési utasítás DULCOMETER DMT Mérési adat: ph / redoxpotenciál / hőmérséklet A1454 Először teljesen olvassa át az üzemeltetési útmutatókat! Ne dobja el! A telepítési- vagy kezelési

Részletesebben

A fáradási jelenség vizsgálata, hatások, a fáradásra vonatkozó Eurocode szabvány ismertetése

A fáradási jelenség vizsgálata, hatások, a fáradásra vonatkozó Eurocode szabvány ismertetése 1 / 29 oldal A fáradási jelenség vizsgálata, hatások, a fáradásra vonatkozó Eurocode szabvány ismertetése Tartalomjegyzék: Bevezetés Ismétlődő terhelés jellemzői Wöhler-kísérlet, Wöhler-görbe Fáradást

Részletesebben

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára

Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Összefoglaló valószínűségszámításból a Gépészmérnök Msc szak hallgatói számára Matematikai alapszöveg: Bálint Péter, BME Differenciálegyenletek Tanszék Konzultáció, kiegészítések gépészmérnöki szempontok

Részletesebben

4. mérés Jelek és jelvezetékek vizsgálata

4. mérés Jelek és jelvezetékek vizsgálata 4. mérés Jelek és jelvezetékek vizsgálata (BME-MI, H.J.) Bevezetés A mérési gyakorlat első része a mérésekkel foglalkozó tudomány, a metrológia (méréstechnika) néhány alapfogalmával foglalkozik. A korszerű

Részletesebben

Bevezetés és gyakorlati tanácsok Az első lépés minden tudomány elsajátítása felé az, hogy megértjük az alapjait, és megbízható tudást szerzünk

Bevezetés és gyakorlati tanácsok Az első lépés minden tudomány elsajátítása felé az, hogy megértjük az alapjait, és megbízható tudást szerzünk Bevezetés és gyakorlati tanácsok Az első lépés minden tudomány elsajátítása felé az, hogy megértjük az alapjait, és megbízható tudást szerzünk belőle. A következő az, hogy a megszerzett tudást elmélyítjük.

Részletesebben

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK

HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK HITELESÍTÉSI ELŐÍRÁS TARTÁLYOK GEOMETRIAI TARTÁLYHITELESÍTÉS HE 31/4-2000 TARTALOMJEGYZÉK 1. AZ ELŐÍRÁS HATÁLYA 2. MÉRTÉKEGYSÉGEK, JELÖLÉSEK 3. ALAPFOGALMAK 3.1 Tartályhitelesítés 3.2 Folyadékos (volumetrikus)

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR. Győr, 2009

Dr. Kuczmann Miklós SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR. Győr, 2009 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Mérési jegyzőkönyv segédlet Dr. Kuczmann Miklós Válogatott mérések Villamosságtanból Győr, 2009 A mérési segédlet L A TEX szerkesztővel

Részletesebben

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés)

4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) 4. A GYÁRTÁS ÉS GYÁRTÓRENDSZER TERVEZÉSÉNEK ÁLTALÁNOS MODELLJE (Dudás Illés) ). A gyártás-előkészítés-irányítás funkcióit, alrendszereit egységbe foglaló (általános gyártási) modellt a 4.1. ábra szemlélteti.

Részletesebben

A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása

A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása A Feldmann ~ Sapiro - elv igazolása Bevezetés Már középiskolás koromban is érdekelt, hogy mi lehet az a borzasztó nehéz számítás, aminek csak a végeredményét közölték velünk, s amit Feldmann ~ Sapiro -

Részletesebben

Szaktanári segédlet. FIZIKA 10. évfolyam 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia

Szaktanári segédlet. FIZIKA 10. évfolyam 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia Szaktanári segédlet FIZIKA 10. évfolyam 2015. Összeállította: Scitovszky Szilvia 1 Tartalom Munka- és balesetvédelmi, tűzvédelmi szabályok... 2 1-2. Elektrosztatika... 4 3. Egyszerű áramkörök... 9 4. Ohm

Részletesebben

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Analízisfeladat-gyűjtemény IV. Oktatási segédanyag a Programtervező matematikus szak Analízis. című tantárgyához (003 004. tanév tavaszi félév) Analízisfeladat-gyűjtemény IV. (Függvények határértéke és folytonossága) Összeállította

Részletesebben

Feladatok GEFIT021B. 3 km

Feladatok GEFIT021B. 3 km Feladatok GEFT021B 1. Egy autóbusz sebessége 30 km/h. z iskolához legközelebb eső két megálló távolsága az iskola kapujától a menetirány sorrendjében 200 m, illetve 140 m. Két fiú beszélget a buszon. ndrás

Részletesebben

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása

Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Forgásfelületek származtatása és ábrázolása Ha egy rögzített egyenes körül egy tetszőleges görbét forgatunk, akkor a görbe úgynevezett forgásfelületet ír le; a rögzített egyenes, amely körül a görbe forog,

Részletesebben

2.9.18. INHALÁCIÓS KÉSZÍTMÉNYEK VIZSGÁLATA: A FINOMRÉSZECSKÉK AERODINAMIKAI VIZSGÁLATA

2.9.18. INHALÁCIÓS KÉSZÍTMÉNYEK VIZSGÁLATA: A FINOMRÉSZECSKÉK AERODINAMIKAI VIZSGÁLATA 2.9.18. Inhalációs készítmények vizsgálata. Ph.Hg.VIII. Ph.Eur.5.2-1 2.9.18. INHALÁCIÓS KÉSZÍTMÉNYEK VIZSGÁLATA: A FINOMRÉSZECSKÉK AERODINAMIKAI VIZSGÁLATA 04/2005:20918 javított A vizsgálatot inhalációs

Részletesebben

103. számú melléklet: 104. számú Elıírás. Hatályba lépett az Egyezmény mellékleteként 1998. január 15-én

103. számú melléklet: 104. számú Elıírás. Hatályba lépett az Egyezmény mellékleteként 1998. január 15-én 1998. január 22. ENSZ - EGB 104. sz. Elıírás EGYEZMÉNY A KEREKES JÁRMŐVEKRE, VALAMINT AZ ILYEN JÁRMŐVEKRE FELSZERELHETİ ÉS/VAGY ILYENEKEN ALKALMAZHATÓ SZERELVÉNYEKRE ÉS ALKATRÉSZEKRE VONATKOZÓ EGYSÉGES

Részletesebben

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal

Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: példákkal, szimulációkkal Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni András 2013.05.07 Tartalom Tartalom 1 1. Bevezetés, véletlen kísérletek 4 1.1 Bevezetés...................................

Részletesebben

Matematikai programozás gyakorlatok

Matematikai programozás gyakorlatok VÁRTERÉSZ MAGDA Matematikai programozás gyakorlatok 2003/04-es tanév 1. félév Tartalomjegyzék 1. Számrendszerek 3 1.1. Javasolt órai feladat.............................. 3 1.2. Javasolt házi feladatok.............................

Részletesebben

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Épületgépészeti és Gépészeti Eljárástechnika Tanszék VARJU EVELIN

BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Épületgépészeti és Gépészeti Eljárástechnika Tanszék VARJU EVELIN BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR Épületgépészeti és Gépészeti Eljárástechnika Tanszék VARJU EVELIN Térfogati hőátadási tényező meghatározása fluidizációs szárításnál TDK

Részletesebben

www.percept.hu BIZTONSÁGI ÉS JELZŐ BERENDEZÉSEK SZÁMÁRA KIFEJLESZTETT "LSzR" TÍPUSÚ FÉLVEZETŐS FÉNYFORRÁSOK

www.percept.hu BIZTONSÁGI ÉS JELZŐ BERENDEZÉSEK SZÁMÁRA KIFEJLESZTETT LSzR TÍPUSÚ FÉLVEZETŐS FÉNYFORRÁSOK BIZTONSÁGI ÉS JELZŐ BERENDEZÉSEK SZÁMÁRA KIFEJLESZTETT "LSzR" TÍPUSÚ FÉLVEZETŐS FÉNYFORRÁSOK Tartalom Bevezető 3. oldal 1, Elméleti alapok 6. oldal 2, Nagy intenzitású LED-ek 6. oldal 3, Tipizálás 8. oldal

Részletesebben

DT13xx Gyújtószikramentes NAMUR / kontaktus leválasztók

DT13xx Gyújtószikramentes NAMUR / kontaktus leválasztók DOC N : DT1361-1393-62 DT13xx Gyújtószikramentes NAMUR / kontaktus leválasztók Felhasználói leírás DT1361, DT1362, DT1363, DT1364, DT1371, DT1372, DT1373, DT1381, DT1382, DT1384, DT1393 típusokhoz Gyártó:

Részletesebben

Nagy Gergely. Kapacitív szenzorok kiolvasó áramkörei

Nagy Gergely. Kapacitív szenzorok kiolvasó áramkörei Nagy Gergely Kapacitív szenzorok kiolvasó áramkörei Budapest, 2006 Tartalomjegyzék. Bevezetés 3 2. A kapacitív szenzorok elektronikus interfészeinek alapjai 4 2.. Kapacitív érzékelés és beavatkozás............................

Részletesebben

DT7001. Gyújtószikramentes nyomáskülönbség távadó. Kezelési útmutató

DT7001. Gyújtószikramentes nyomáskülönbség távadó. Kezelési útmutató Gyújtószikramentes nyomáskülönbség távadó Kezelési útmutató - Tartalomjegyzék 1. Kezelési útmutató...4 1.1. Rendeltetése... 4 1.2. Célcsoport... 4 1.3. Az alkalmazott szimbólumok... 4 2. Az Ön biztonsága

Részletesebben

Elektrotechnika alapjai

Elektrotechnika alapjai Elektrotechnika alapjai 1. mérés Ismerkedés az oszcilloszkóppal 1. Ismertesse a periodikus villamos jel jellemzőit! - Amplitúdó (U y ), - periódusidő (T p ), - frekvencia (f p ), - fázisszög. 2. Ismertesse

Részletesebben

IDŐSOROS ROMA TANULÓI ARÁNYOK ÉS KIHATÁSUK A KOMPETENCIAEREDMÉNYEKRE*

IDŐSOROS ROMA TANULÓI ARÁNYOK ÉS KIHATÁSUK A KOMPETENCIAEREDMÉNYEKRE* CIGÁNY KISEBBSÉG: OKTATÁS, EGYHÁZ, KULTÚRA PAPP Z. ATTILA IDŐSOROS ROMA TANULÓI ARÁNYOK ÉS KIHATÁSUK A KOMPETENCIAEREDMÉNYEKRE* Tanulmányunkban két témakört szeretnénk körüljárni. Egyrészt megvizsgáljuk,

Részletesebben

A stabil üzemű berendezések tápfeszültségét a hálózati feszültségből a hálózati tápegység állítja elő (1.ábra).

A stabil üzemű berendezések tápfeszültségét a hálózati feszültségből a hálózati tápegység állítja elő (1.ábra). 3.10. Tápegységek Az elektronikus berendezések (így a rádiók) működtetéséhez egy vagy több stabil tápfeszültség szükséges. A stabil tápfeszültség időben nem változó egyenfeszültség, melynek értéke független

Részletesebben

Hallgatói szemmel: a HÖK. A Politológus Műhely közvélemény-kutatásának eredményei

Hallgatói szemmel: a HÖK. A Politológus Műhely közvélemény-kutatásának eredményei Hallgatói szemmel: a HÖK A Politológus Műhely közvélemény-kutatásának eredményei Tartalomjegyzék Elnöki köszöntő... 3 Bevezetés... 4 Évfolyamképviselők és megítélésük... 7 A Hallgatói Önkormányzat és a

Részletesebben

Elektrotechnika jegyzet

Elektrotechnika jegyzet SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM ATOMATIZÁLÁSI TANSZÉK Elektrotechnika jegyzet Elektrotechnika jegyzet Készítette: dr. Hodossy László fiskolai docens eladásai alapján Tomozi György Gyr, 4. - - Tartalomjegyzék

Részletesebben

TÁJÉKOZTATÓ A HARMONIKUS ZAVAROKRÓL

TÁJÉKOZTATÓ A HARMONIKUS ZAVAROKRÓL TÁJÉKOZTATÓ A HARMONIKUS ZAVAROKRÓL - ÜZEMELTETŐKNEK - Önök a munkájuk során vélhetően korszerű gyártó- és kiszolgáló berendezéseket üzemeltetnek, melyben az egyenáramú-, vagy frekvenciaváltós hajtás,

Részletesebben

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László

Általános statisztika II. Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Általános statisztika II Kriszt, Éva Varga, Edit Kenyeres, Erika Korpás, Attiláné Csernyák, László Publication

Részletesebben

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák

Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gráfokkal megoldható hétköznapi problémák Szakdolgozat Készítette Vincze Ágnes Melitta Konzulens Héger Tamás Budapest, 2015 Tartalomjegyzék Bevezetés

Részletesebben

Esettanulmány Evezőlapát anyagválasztás a Cambridge Engineering Selector programmal. Név: Neptun kód:

Esettanulmány Evezőlapát anyagválasztás a Cambridge Engineering Selector programmal. Név: Neptun kód: Esettanulmány Evezőlapát anyagválasztás a Cambridge Engineering Selector programmal Név: Neptun kód: Miskolc 2014 1 Evezőlapát anyagválasztás Az evezőlapáttal hajtott hajók felfedezése egészen az ókori

Részletesebben

16. VILÁGÍTÓ, FÉNYJELZŐ BERENDEZÉSEK ÉS AZOK ALKALMASSÁGÁNAK VIZSGÁLATA. Összeállította: Gál István

16. VILÁGÍTÓ, FÉNYJELZŐ BERENDEZÉSEK ÉS AZOK ALKALMASSÁGÁNAK VIZSGÁLATA. Összeállította: Gál István 16. VILÁGÍTÓ, FÉNYJELZŐ BERENDEZÉSEK ÉS AZOK ALKALMASSÁGÁNAK VIZSGÁLATA Összeállította: Gál István 2 A közúti közlekedésre gyártott különböző járművek világító és fényjelző berendezéseire meghatározott

Részletesebben

VEGA Energiagazdálkodó rendszer

VEGA Energiagazdálkodó rendszer VEGA Energiagazdálkodó rendszer többfogyasztós objektumok energiagazdálkodásának felügyeletére, optimalizálására és költségelszámolására 1 VEGA Energiagazdálkodó rendszer többfogyasztós objektumok energiagazdálkodásának

Részletesebben

Gépelemek szerelésekor, gyártásakor használt mérőezközök fajtái, használhatóságuk a gyakorlatban

Gépelemek szerelésekor, gyártásakor használt mérőezközök fajtái, használhatóságuk a gyakorlatban Molnár István Gépelemek szerelésekor, gyártásakor használt mérőezközök fajtái, használhatóságuk a gyakorlatban A követelménymodul megnevezése: Gépelemek szerelése A követelménymodul száma: 0221-06 A tartalomelem

Részletesebben

Érettségi vizsgatárgyak elemzése. 2009 2012 tavaszi vizsgaidőszakok FÖLDRAJZ

Érettségi vizsgatárgyak elemzése. 2009 2012 tavaszi vizsgaidőszakok FÖLDRAJZ Érettségi vizsgatárgyak elemzése 2009 2012 tavaszi vizsgaidőszakok FÖLDRAJZ Láng György Budapest, 2014. január TARTALOM 1. A vizsgák tartalmi elemzése... 5 1.1. Az írásbeli feladatlapok szakmai jellemzői

Részletesebben

Gróf Gyula HŐKÖZLÉS. Ideiglenes jegyzet

Gróf Gyula HŐKÖZLÉS. Ideiglenes jegyzet Gróf Gyula HŐKÖZLÉS Ideiglenes jegyzet Budapest, 999 Az. 5. fejezet a Termodinamka részt jelenti. TARTALOMJEGYZÉK 6. HŐVEZETÉS SZILÁRD TESTEKBEN...5 6..A hőterjedés mechanizmusa, leírása... 5 6... A hőterjedés

Részletesebben

Vetülettani és térképészeti alapismeretek

Vetülettani és térképészeti alapismeretek Vetülettani és térképészeti alapismeretek A geodéziában - mint ismeretes - a földalak első megközelítője a geoid. Geoidnak nevezzük a nehézségi erőtér potenciáljának azt a szintfelületét, amelynek potenciálértéke

Részletesebben

ACRYLCOLOR. akril homlokzatfesték. MŰSZAKI ADATLAP 06.01.01-hun HOMLOKZATFESTÉKEK. 1. Leírás, alkalmazás. 2. Kiszerelés, színárnyalatok

ACRYLCOLOR. akril homlokzatfesték. MŰSZAKI ADATLAP 06.01.01-hun HOMLOKZATFESTÉKEK. 1. Leírás, alkalmazás. 2. Kiszerelés, színárnyalatok MŰSZAKI ADATLAP 06.01.01-hun HOMLOKZATFESTÉKEK ACRYLCOLOR akril homlokzatfesték 1. Leírás, alkalmazás Az ACRYLCOLOR polimer kötések vizes diszperzióján alapuló homlokzatfesték. Alkalmas elsősorban a szilárd,

Részletesebben