LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

Átírás

1 Írta: LEITOLD ADRIEN LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK Egyetemi tananyag

2 COPYRIGHT: Dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Matematika Tanszék LEKTORÁLTA: Dr. Buzáné dr. Kis Piroska Dunaújvárosi Főiskola Központi Oktatási Intézet Matematika Tanszék Creative Commons NonCommercial-NoDerivs. (CC BY-NC-ND. A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható terjeszthető megjelentethető és előadható de nem módosítható. TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP-..-8//A-9-8 számú Tananyagfejlesztés mérnök informatikus programtervező informatikus és gazdaságinformatikus képzésekhez című projekt keretében. ISBN KÉSZÜLT: a Typote Kiadó gondozásában FELELŐS VEZETŐ: Votisky Zsuzsa AZ ELEKTRONIKUS KIADÁST ELŐKÉSZÍTETTE: Benkő Márta KULCSSZAVAK: az R tér geometriája n dimenziós euklideszi vektortér mátriok lineáris egyenletrendszerek lineáris leképezések és transzformációk. ÖSSZEFOGLALÁS: A példatár a Lineáris algebra c. tantárgy törzsanyagához szorosan kapcsolódó feladatokat tartalmaz. Az egyes fejezetekben számos részletesen kidolgozott minta feladat és gyakorló feladatok találhatóak. Utóbbiak végeredményei megtalálhatóak A gyakorló feladatok megoldásai c. fejezetben. A példatár Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására c. fejezete a teljesség igénye nélkül olyan problémákat gyűjt össze amelyekkel az informatikus szakos hallgatók tanulmányaik során különböző szaktárgyakban találkoznak és amelyeknek megoldásához alkalmazni kell a tanult lineáris algebrai ismereteket. A példatár digitális mellékletének első része a Lineáris algebra tantárgy előadásain használt ppt file-okat tartalmazza. Ezekben megtalálhatóak az adott anyagrész fogalmai állításai az alkalmazott jelölések. A digitális melléklet második része néhány típusfeladat animált megoldását mutatja be.

3 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék Bevezetés... Az R tér geometriája... Vektorműveletek... Egyenes és sík: illeszkedési feladatok... 8 Térelemek kölcsönös helyzete metszéspontja... Térelemek távolsága és szöge... Vegyes feladatok... 8 Elméleti kérdések... Az R n vektortér... Elméleti kérdések... 9 Mátriok... Elméleti kérdések... 7 Lineáris egyenletrendszerek... 9 Elméleti kérdések... 8 Lineáris leképezések... 8 Elméleti kérdések... Skaláris szorzat az R n vektortérben... Elméleti kérdések... Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására... A GYAKORLÓ FELADATOK MEGOLDÁSAI... Az R tér geometriája... Vektorműveletek... Egyenes és sík: illeszkedési feladatok... Térelemek kölcsönös helyzete metszéspontja... Térelemek távolsága és szöge... Vegyes feladatok... 7 Elméleti kérdések... 8 Az R n vektortér... 9 Elméleti kérdések... Mátriok... Elméleti kérdések... 9 Lineáris egyenletrendszerek... Elméleti kérdések... Lineáris leképezések... Elméleti kérdések... 9 Skaláris szorzat az R n vektortérben... Elméleti kérdések... A digitális melléklet leírása... Leitold Adrien PE

4 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Bevezetés A Lineáris algebra tantárgy az informatikus alapszakok tanterveinek egyik alapozó matematika tárgya. Ezen példatárban a Pannon Egyetemen oktatott törzsanyaghoz szorosan kapcsolódó feladatokat gyűjtöttem össze. Az egyes fejezetek számos részletesen kidolgozott minta feladatot és gyakorló feladatokat tartalmaznak. Utóbbiak végeredményei megtalálhatóak A gyakorló feladatok megoldásai c. fejezetben. A példatár fejezetei elméleti kérdésekkel zárulnak. Ezek a tananyag elméleti részéhez kötődően állításokat fogalmaznak meg amelyekről el kell dönteni hogy azok igazak vagy hamisak. Ezek a kérdések egyrészt alkalmasak a hallgatók számára annak ellenőrzésére hogy megértették-e az elméleti ismereteket másrészt segítik a vizsgára való felkészülést. A példatár érdekessége a Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására c. fejezet amelyben a teljesség igénye nélkül olyan problémákat gyűjtöttem össze amelyekkel az informatikus szakos hallgatók tanulmányaik során különböző szaktárgyakban találkoznak és amelyeknek megoldásához alkalmazni kell a tanult lineáris algebrai ismereteket. Itt a problémák megfogalmazása olyan hogy a még laikusnak számító első féléves hallgatók is megérthessék azokat és a kiemelt részfeladatokon gyakorolhassák a tanult lineáris algebrai ismeretek alkalmazását. Ezen összeállítás célja kettős: egyrészt a hallgatók motiválása tanulmányaik elején jelezve hogy a matematikai ismeretek elsa játítása nem öncélú másrészt néhány szaktárgyi probléma egyes részleteinek megoldása remélhetőleg könnyebbé teszi a sikeres feladatmegoldást a későbbi szaktárgyakban. Ezúton is köszönöm kollégáimnak hogy segítették a szakmai ismeretek elmagyarázásával e fejezet problémáinak megfogalmazását. A példatár digitális mellékletének első része a Lineáris algebra tantárgy elő adásain használt ppt file-okat tartalmazza. Ezekben megtalálhatóak az adott anyagrész fogalmai állításai az alkalmazott jelölések. A példatárban mind a minta feladatok megoldása során mind a gyakorló feladatok megfogalmazásában az itt bemutatott jelöléseket alkalmaztam és az összeállított elméleti ismeretekre támaszkodtam. A példatár digitális mellékletének második része néhány feladat animált meg oldását tartalmazza. A példatár a TÁMOP..-8//A program keretében készült. Köszönöm a példatár elkészítéséhez nyújtott támogatást. Bízom abban hogy a példatárat hasznos segédeszközként használhatják mind az érintett hallgatók mind a lineáris algebrai ismeretek iránt érdeklődők. Veszprém. január. dr. Leitold Adrien Pannon Egyetem Matematika Tanszék Leitold Adrien PE

5 Az R tér geometriája Az R tér geometriája Vektorműveletek. Minta feladat: Legyen a = ( és b = ( - két térbeli vektor. a Vázoljuk fel a fenti vektorok elhelyezkedését a térbeli koordináta-rendszerben! b Határozzuk meg a a+b vektort! c Határozzuk meg az a és a b vektorok hosszát! d Mekkora szöget zárnak be az a és b vektorok? e Adjuk meg az a vektor ellentettjét! Adjunk meg a-val párhuzamos ill. a-ra merőleges vektorokat! Hol helyezkednek el ezek a koordináta-rendszerben? f Adjuk meg az a vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektort! g Adjuk meg az a vektorral megegyező irányú illetve / hosszúságú vektorokat! Megoldás: a A vektorokat koordináta-rendszerben helyvektorokként helyezzük el így az a és b vektorok kezdőpontja az origó végpontja az A=( illetve B=( - pont lesz (. ábra. Mivel a b vektor második koordinátája így az az -z koordináta-síkban helyezkedik el. z A = ( a b y B = ( -. ábra: Helyvektorok a térbeli koordináta-rendszerben b a+b = ( + ( - = ( + ( - = ( c Az a vektor hossza: A b vektor hossza: Leitold Adrien PE

6 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak d Jelölje az a és b vektorok által bezárt szöget. Ekkor: innen 78. e Az a vektor ellentettje: a = (a = (- - - Az a vektorral párhuzamos vektorok az a vektor skalárszorosai például a = ( 8 /a = (. -a = ( Ezek a vektorok helyvektorként elhelyezve a koordináta-rendszerben egy origón átmenő egyenesre illeszkednek melynek irányvektora az a vektor. Az a vektorra merőleges vektorok olyan = ( vektorok melyeknek a skaláris szorzata az a vektorral. Így teljesülnie kell az alábbi egyenlőségnek: A fenti feltételnek megfelelő vektort úgy találhatunk hogy két koordinátát szabadon megválasztunk a harmadikat pedig a fenti egyenlet alapján számoljuk. Például legyen. Ekkor innen Így az = ( -8 vektor merőleges az a vektorra. Hasonlóan további merőleges vektorokat is kaphatunk pl. az y = (. - vagy a z = ( - vektor is merőleges a-ra. Az a ra merőleges vektorok a koordináta-rendszerben egy olyan origón átmenő síkon helyezkednek el (helyvektorként amely sík merőleges az a vektorra. f Az a vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektor: ( = ( g Az a vektorral megegyező irányú egység hosszúságú vektor:. Minta feladat: ( = ( Az a vektorral megegyező irányú / egység hosszúságú vektor: ( = ( Legyen v = ( - a = ( -. a Határozzuk meg a v vektor a irányába eső merőleges vetületvektorát! b Bontsuk fel a v vektort a-val párhuzamos és a-ra merőleges összetevőkre! Megoldás: a Legyen a v vektor a irányába eső merőleges vetületvektora (. ábra amely az képlettel számolható ahol az a vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektor. Leitold Adrien PE

7 Az R tér geometriája 7 v y = (va e a e a e a. ábra: Vetületvektor meghatározása Az a vektor hossza: így ( - = (. Továbbá így a keresett vetületvektor: (. b A v vektor a-val párhuzamos összetevője éppen az vetületvektor:. Minta feladat: míg az a-ra merőleges összetevő: =(-/ -/ / y = v = ( - (-/ -/ / = (/ -/ /. Legyen Végezzük el az alábbi műveleteket! Megoldás: Emlékeztető: a vektoriális szorzat számolása koordinátásan az alábbi képlettel történik: Így: a b = (ab ab -ab + ab ab ab Ellenőrizhető hogy az vektor merőleges az a és a b vektorokra: illetve Leitold Adrien PE

8 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak A vektoriális szorzás tulajdonságait felhasználva: Vegyük észre hogy az a és c vektorok párhuzamosak (egymás skalárszorosai így a vektoriális szorzás tulajdonságait felhasználva: Megjegyezzük hogy ez az eredmény is megsejthető volt előre hiszen az vektor merőleges az a vektorra így az a -val párhuzamos c-re is. Ezért a c és az vektorok skaláris szorzata kell hogy legyen. Gyakorló feladatok:. Legyen v = ( - és u = ( - két térbeli vektor. a Vázolja fel a fenti vektorok elhelyezkedését a térbeli koordináta-rendszerben! b Határozza meg a v-u vektort! c Határozza meg a v és az u vektorok hosszát! d Mekkora szöget zárnak be a v és u vektorok? e Adja meg a v vektor ellentettjét! Adjon meg v-vel párhuzamos ill. v-re merőleges vektorokat! f Adja meg a v vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektort! g Adja meg a v vektorral megegyező irányú illetve / hosszúságú vektorokat!. Legyen v = ( - a = (. a Határozza meg a v vektor a irányába eső merőleges vetületvektorát! b Bontsa fel a v vektort a-val párhuzamos és a-ra merőleges összetevőkre!. Legyen v = ( 7 9 a = ( -. a Határozza meg a v vektor a irányába eső merőleges vetületvektorát! b Bontsa fel a v vektort a-val párhuzamos és a-ra merőleges összetevőkre!. Legyen a = ( - b = ( - c = ( -. Számítsa ki az alábbi vektorokat! a + b a b a -c a + b + (-c a b a c a b b a a c a (b c. Legyen a = ( - b = ( - c = (8 -. Számítsa ki az alábbi vektorokat! a + b a b a -c a + b + (-c a b a c a b b a a c a (b c Egyenes és sík: illeszkedési feladatok. Minta feladat: Írjuk fel a P ponton átmenő v irányvektorú egyenes paraméteres és paramétermentes egyenletrendszerét ha a é ; b é ; c é ; d é Leitold Adrien PE

9 Az R tér geometriája 9 Megoldás: a A paraméteres egyenletrendszer: tr A paramétermentes egyenletrendszer: b A paraméteres egyenletrendszer: tr A paramétermentes egyenletrendszer: Az irányvektor harmadik koordinátája nulla így ez az egyenes párhuzamos az -y koordináta-síkkal. c A paraméteres egyenletrendszer: tr A paramétermentes egyenletrendszer: Az irányvektor második koordinátája nulla így ez az egyenes párhuzamos az -z koordináta-síkkal. d A paraméteres egyenletrendszer: tr Mivel az irányvektornak két koordinátája is nulla így paramétermentes egyenletrendszer nem írható fel. Az irányvektor az tengely irányába mutat így ez az egyenes párhuzamos az tengellyel.. Minta feladat: Legyen A=( és B=( két térbeli pont. Írjuk fel az A és B pontokon átmenő egyenes paraméteres egyenletrendszerét! Megoldás: Először egy irányvektort kell felírnunk: A v irányvektorú A ponton átmenő egyenes paraméteres egyenletrendszere: Leitold Adrien PE

10 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Minta feladat: tr Tekintsük az alábbi e egyenest! tr Adjuk meg az e egyenes egy irányvektorát és az egyenes néhány pontját! Illeszkedik-e az e egyenesre a P=( - és a Q=(- pont? Megoldás: Az egyenes egy irányvektorának koordinátáit a paraméteres egyenletrendszerből a t paraméter együtthatói adják: v=( -. Különböző t értékeket helyettesítve az egyenletrendszerbe az egyenes pontjainak koordinátáit kapjuk: Például t=-ra: A=( t=-re: B=(7 t=--re: C=(- - A P=( - pont rajta van az e egyenesen mert t=-re az egyenletrendszerből éppen P koordinátáit kapjuk. A Q=(- pont nincs az e egyenesen mert nincs olyan t érték amely az egyenletrendszerből Q koordinátáit adná. Az koordinátára ugyanis t=--re kaphatnánk --et de t=--re y és z. 7. Minta feladat: Tekintsük az alábbi két egyenest: e: és f : Adjuk meg mindkét egyenes egy irányvektorát és egy pontját! Illeszkedik-e az e illetve az f egyenesre a P=( pont? Megoldás: Az e egyenes paramétermentes egyenletrendszerének alakjából látható hogy irányvektorának van nulla koordinátája. Mivel az egyenes pontjainak első koordinátája állandó ( így v =. A másik egyenlet alakra hozható itt a nevezőkből olvasható ki az egyenes egy irányvektorának másik két koordinátája: v = és v =. Így az e egyenes egy irányvektora: ve = (. Az e egyenes egy pontja: Pe = (. A P=( pont koordinátái kielégítik az e egyenes egyenletrendszerét így P illeszkedik az e egyenesre. Az f egyenes egyenletrendszerét először a szabályos alakra kell hozni. Ehhez az alábbi átalakításokat végezzük el: Leitold Adrien PE

11 Az R tér geometriája Így az f egyenes egyenletrendszere az alábbi alakra hozható: Az egyenes egy irányvektorának koordinátái a nevezőkből olvashatók ki: vf = (/ - míg egy pontnak a koordinátáit a számlálók alapján írhatjuk fel: Pf = (-. A P=( pont koordinátái nem elégítik ki az f egyenes egyenletrendszerét így P illeszkedik az f egyenesre. 8. Minta feladat: Írjuk fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik a P = ( - pontra és amelynek normálvektora az n = ( vektor! Illeszkednek-e erre a síkra az A = ( és a B = ( pontok? Megoldás: A sík egyenlete: ami rendezés után az alakra hozható. Az A pont koordinátái kielégítik ezt az egyenletet így A illeszkedik a síkra. A B pont koordinátái nem elégítik ki a sík egyenletét így B nincs a síkon. 9. Minta feladat: Egy sík egyenlete pontot a síkon!. Adjuk meg a sík egy normálvektorát és néhány Megoldás: A sík egy normálvektorának koordinátáit adják az egyenletből y és z együtthatói: n = ( -. A sík pontjainak koordinátái kielégítik a sík egyenletét így olyan y és z értékeket kell keresnünk amelyek kielégítik a fenti egyenletet. Ehhez két ismeretlen értékét szabadon megválaszthatjuk a harmadikat pedig az egyenlet alapján számoljuk ki. Például: legyen = z = ekkor az egyenlet alapján y =. Így a P = ( pont illeszkedik a síkra. Legyen = y = ekkor az egyenlet alapján z =. Így a P = ( pont illeszkedik a síkra. Legyen y = z = ekkor az egyenlet alapján = 7. Így a P = (7 pont illeszkedik a síkra.. Minta feladat: Írjuk fel annak a síknak az egyenletét amely merőleges az e: és illeszkedik a P = ( - pontra! egyenesre Megoldás: Mivel a keresett sík merőleges az e egyenesre így a sík normálvektora egyben az e egyenes irányvektora. Így n = ve = ( -. A sík egyenlete: ami rendezve:. Leitold Adrien PE

12 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Minta feladat: Megoldás: Írjuk fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik az e: egyenesre és a P = ( pontra! Az adatok alapján ellenőrizhető hogy a P pont nincsen rajta az e egyenesen így egyetlen olyan sík van a térben amelyik a feltételeknek eleget tesz. A sík egyenletének felírásához szükségünk van egy normálvektorára. Keressünk először két olyan vektort amelyek kifeszítik a síkot. Legyen egyik az e egyenes egy irányvektora: ve = ( - a másik a vektor ahol P az e egyenes egy pontja: P = (. Így A keresett normálvektor merőleges kell hogy legyen a ve és a vektorokra. Ilyen vektor például a ve és a vektorok vektoriális szorzata: Így a keresett sík egyenlete: ami rendezve: Gyakorló feladatok:. Legyen P = ( - v = ( -. a Írja fel a P ponton átmenő v irányvektorú egyenes paraméteres ill. paramétermentes egyenletrendszerét! b Adja meg a fenti egyenes néhány pontját! c Illeszkedik-e a fenti egyenesre az A = ( - ill. a B = ( pont? 7. Legyen P = ( - v = (. a Írja fel a P ponton átmenő v irányvektorú egyenes paraméteres ill. paramétermentes egyenletrendszerét! b Adja meg a fenti egyenes néhány pontját! 8. Legyen P = ( - v = (. a Írja fel a P ponton átmenő v irányvektorú egyenes paraméteres ill. paramétermentes egyenletrendszerét! b Adja meg a fenti egyenes néhány pontját! 9. Legyen P = ( P = ( -. a Írja fel a P és P pontokon átmenő egyenes paraméteres ill. paramétermentes egyenletrendszerét! b Adja meg a fenti egyenes néhány pontját!. Adja meg az alábbi egyenesek egy irányvektorát és egy pontját! Írja fel az egyenesek paramétermentes egyenletrendszerét! = + t = t = e: y = -+ t f: y = - + 7t g: y = + t z = t z = z = Leitold Adrien PE

13 Az R tér geometriája. Adja meg az alábbi egyenesek egy irányvektorát és egy pontját! Írja fel az egyenesek paraméteres egyenletrendszerét! a y z b c d e z y y z y z y z. Legyen S : y z. a Adja meg az S sík egy normálvektorát és néhány pontját! b Illeszkedik-e az S síkra a P = (-8 ill. a Q = ( - pont?. Hol helyezkednek el a térbeli koordinátarendszerben az alábbi síkok? a S : - y b S : - y c S : y. Írja fel annak a síknak az egyenletét melynek a egy pontja P = ( - és egy normálvektora n = ( -; b egy pontja P = ( és egy normálvektora n = ( ; c egy pontja P = ( - és egy normálvektora n = (!. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely merőleges az egyenesre és átmegy a P = ( - ponton! e: z y. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely merőleges az z e: y egyenesre és átmegy a P = ( - ponton! 7. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely merőleges az t e : y t egyenesre és átmegy a P = ( ponton! z t Leitold Adrien PE

14 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak 8. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik az egyenesre és a P = ( - pontra! e: - y z 9. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik a P = ( - P = (- és P = ( - pontokra!. Írja fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét amely a merőleges az S : y z síkra és áthalad a P = ( - ponton; b merőleges az S : y síkra és áthalad a P = (- ponton!. Írja fel annak az egyenesnek a paramétermentes egyenletrendszerét amely a merőleges az S : y z síkra és áthalad a P = ( ponton; b merőleges az S : z síkra és áthalad a P = ( ponton! Térelemek kölcsönös helyzete metszéspontja. Minta feladat: Legyenek adottak a következő egyenesek: t e : y t z t f : - y z t g : y t z t t h : y t z t Határozzuk meg az e egyenesnek a többi egyeneshez viszonyított kölcsönös helyzetét továbbá vizsgáljuk meg a g és h egyenesek kölcsönös helyzetét! Ahol van metszéspont határozzuk meg! Megoldás: Két egyenes kölcsönös helyzetét a. ábrán látható módon vizsgálhatjuk. Leitold Adrien PE

15 Az R tér geometriája. ábra: Két egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata Az e és f egyenesek kölcsönös helyzetének vizsgálata: Először az egyenesek egyenletrendszereiből kiolvassuk azok egy irányvektorát: ve = ( - és vf = ( -. Látható hogy a két irányvektor skalárszorosa egymásnak így párhuzamosak. Eszerint az e és f egyenesek vagy párhuzamosak vagy azonosak. Ezután keresünk egy pontot az e egyenesen: Pe = ( ( t = paraméterértékhez tartozik majd megvizsgáljuk hogy ez a pont illeszkedik-e az f egyenesre. Mivel a Pe = ( pont koordinátái kielégítik az f egyenes egyenletrendszerét így a pont rajta van az f egyenesen is. Következésképpen az e és f egyenesek azonosak minden pontjuk közös pont. Az e és g egyenesek kölcsönös helyzetének vizsgálata: Az e egyenes irányvektora ve = ( - ami párhuzamos a g egyenes irányvektorával: vg= (- -. Így az e és g egyenesek vagy párhuzamosak vagy azonosak. Megvizsgáljuk hogy az e egyenes egy pontja illeszkedik-e a g egyenesre. A Pe = ( pont nincs rajta a g egyenesen ugyanis nincs olyan t paraméter amely a g egyenes paraméteres egyenletrendszeréből a Pe pont koordinátáit adná. Következésképpen az e és g egyenesek párhuzamosak nincsen közös pontjuk. Az e és h egyenesek kölcsönös helyzetének vizsgálata: Az e egyenes egy irányvektora ve = ( - a h egyenes egy irányvektora vh = ( -. Ez a két vektor nem párhuzamos így az e és a h egyenesek vagy metszők vagy kitérők. Nézzük meg hogy van-e a két egyenesnek közös pontja. Ehhez az egyenesek paraméteres egyenletrendszereit kell használnunk. Megkülönböztetjük a két egyenletrendszerben a paramétereket (t és t és megnézzük hogy vannak-e olyan t és t paraméterértékek amelyek ugyanazon y z értékeket szolgáltatják a két egyenletrendszerből. Így a következő egyenletrendszerhez jutunk: Leitold Adrien PE

16 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak t t t t t t A második és harmadik egyenletet összeadva és rendezve t = értéket kapunk amit visszahelyettesíthetünk a második egyenletbe így t = adódik. A t = és t = értékek az első egyenletet is kielégítik így a teljes egyenletrendszer megoldásai. Mivel a fenti egyenletrendszer megoldható így az e és a h egyeneseknek van közös pontja tehát metszők. A metszéspont koordinátáit megkapjuk ha a t = értéket az e egyenes egyenletrendszerébe illetve a t = értéket a h egyenes egyenletrendszerébe visszahelyettesítjük. Így az M = ( metszéspont adódik. A g és h egyenesek kölcsönös helyzetének vizsgálata: A g egyenes egy irányvektora vg = (- - a h egyenes egy irányvektora vh = ( -. Ez a két vektor nem párhuzamos így a g és h egyenesek vagy metszőek vagy kitérőek. Megvizsgáljuk hogy van-e a két egyenesnek közös pontja. Az egyenletrendszerekben a paraméterértékeket megkülönböztetve és közös y z értékeket keresve az alábbi egyenletrendszert kapjuk: t t t t t t Itt az első és harmadik egyenlet felhasználásával a t = -/ t = / értékek adódnak amik viszont nem elégítik ki a második egyenletet. Így az egyenletrendszer nem oldható meg azaz nincs a két egyenesnek közös pontja. Következésképpen a g és h egyenesek kitérőek.. Minta feladat: Legyenek S : y z e : y t z t f : y z. Milyen az e egyenes és az S sík illetve az f egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozzuk meg a metszéspontot! Megoldás: Egyenes és sík kölcsönös helyzetét a. ábrán látható módon vizsgálhatjuk. Leitold Adrien PE

17 Az R tér geometriája 7. ábra: Egyenes és sík kölcsönös helyzetének vizsgálata Az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete: Az e egyenes egy irányvektora: v e = ( az S sík egy normálvektora: n = ( -. Először megnézzük hogy ez a két vektor merőleges-e. Skaláris szorzatuk: ve n = + (- + = azaz a két vektor merőleges. Így az e egyenes vagy párhuzamos az S síkkal vagy benne van az S síkban. Megnézzük hogy az e egyenes egy pontja a Pe =( pont illeszkedik-e az S síkra. Mivel a Pe pont koordinátái kielégítik az S sík egyenletét így a Pe pont és a teljes e egyenes is rajta van a síkon. Az e egyenes tehát része az S síknak és így az e egyenes minden pontja közös pontja a két alakzatnak. Az f egyenes és az S sík kölcsönös helyzete: Az f egyenes egy irányvektora: vf = (- az S sík egy normálvektora: n = ( -. Skaláris szorzatuk: vf n = - + (- + = azaz a két vektor merőleges. Így az f egyenes vagy párhuzamos az S síkkal vagy benne van az S síkban. Megvizsgáljuk hogy az f egyenes egy pontja a Pf =( - pont illeszkedik-e az S síkra. Mivel a Pf pont koordinátái nem elégítik ki az S sík egyenletét így a Pf pont nincs rajta az S síkon. Következésképpen az f egyenes és az S sík párhuzamos.. Minta feladat: Legyenek S : y z t e : y t z Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozzuk meg a metszéspontot! Megoldás: Az e egyenes egy irányvektora: v e = (- az S sík egy normálvektora: n = ( -. Ez a két vektor nem merőleges mert skaláris szorzatuk nullától különböző. Így az e egyenes és az S sík metszők. A metszéspont meghatározásához az egyenes paraméteres egyenletrendszeréből y és z t-től függő kifejezését behelyettesítjük a sík egyenletébe: Leitold Adrien PE

18 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak (-t + +t = Innen t = - adódik amit visszahelyettesítve az egyenes paraméteres egyenletrendszerébe megkapjuk a metszéspont koordinátáit: M = (7.. Minta feladat: Tekintsük az alábbi síkokat: S : y z 8 S : y z 8 S : y z Határozzuk meg az S sík helyzetét a többi síkhoz képest! S : y z Megoldás: S és S kölcsönös helyzete: Mivel az S és S síkok egyenleteiből kiolvasható normálvektorok n = ( - és n = ( - egymással nem párhuzamosak így az S és S síkok metszők. S és S kölcsönös helyzete: Mivel az S és S síkok egyenleteiből kiolvasható normálvektorok n = ( - és n = ( - párhuzamosak egymással így az S és S síkok vagy azonosak vagy párhuzamosak. Az S sík egyenletének baloldala kétszerese az S sík egyenletében baloldalon álló kifejezésnek ugyanakkor a jobboldalon álló konstansok aránya nem kettő így a két sík párhuzamos. S és S kölcsönös helyzete: Mivel az S és S síkok egyenleteiből kiolvasható normálvektorok n = ( - és n = ( - párhuzamosak egymással így az S és S síkok vagy azonosak vagy párhuzamosak. Az S sík egyenlete (bal- és jobboldal is háromszorosa az S sík egyenletének így a két sík azonos.. Minta feladat: Legyenek S y z 9 S : y z Határozzuk meg a két sík metszésvonalának paraméteres egyenletrendszerét! Megoldás: Ellenőrizhető hogy a két sík normálvektora nem párhuzamos tehát S és S metszők metszésvonaluk egy egyenes. Ezen egyenes paraméteres egyenletrendszerének felírá - sához szükségünk van egy pontra és egy irányvektorra. A metszésvonal egy pontja rajta van az S és S síkok mindegyikén így koordinátái mindkét sík egyenletét ki kell hogy elégítsék. Keressük tehát a következő egyenletrendszer egy megoldását: - y z 9 y z Leitold Adrien PE

19 Az R tér geometriája 9 Mivel a két egyenletből álló egyenletrendszer három ismeretlenes így egy megoldásának megkereséséhez az egyik ismeretlent szabadon megválaszthatjuk legyen például =. Ezt behelyettesítve az egyenletrendszerbe a másik két ismeretlenre y = és z = értékek adódnak. Tehát a P = ( pont rajta van a metszésvonalon. Keressünk ezután egy irányvektort! A metszésvonal irányvektora merőleges az S sík normálvektorára is és az S sík normálvektorára is. Ilyen vektor például a két normálvektor vektoriális szorzata: v = n n = ( - ( - = (- 7 Így a metszésvonal paraméteres egyenletrendszere: t e : y t. z 7t Gyakorló feladatok:. Legyen - t e : y t z t t f : y t z t -t g : y t z t. Vizsgálja meg az e és f az e és g valamint az f és g egyenesek kölcsönös helyzetét! A metsző egyeneseknél határozza meg a metszéspontot!. Legyen S : y z és e : y z. Milyen az S sík és az e egyenes kölcsönös helyzete? Ha van adja meg a metszéspontjukat!. Legyen S : y S : y z S : y z S : y 9z. Milyen az S síknak a többi síkhoz viszonyított helyzete?. Legyen S : y z S : - y z 8. Határozza meg a két sík metszésvonalának az egyenletrendszerét! Leitold Adrien PE

20 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Térelemek távolsága és szöge 7. Minta feladat: Határozzuk meg a P = (. pont és az egyenes távolságát! Megoldás: Ellenőrizhető hogy a P pont nincs rajta az e egyenesen. t v P P v d Pont és egyenes távolságát a. ábra: Pont és egyenes távolsága összefüggéssel számolhatjuk (. ábra ahol v az egyenes egy irányvektora P pedig az egyenes egy pontja. Az egyenes egyenletrendszeréből a v = ( irányvektort és a P = (. pontot olvashatjuk ki. Így továbbá Innen. A P pont és az e egyenes távolsága. 8. Minta feladat: Határozzuk meg az 8t z e: y és f : y t z t egyenesek távolságát! Leitold Adrien PE

21 Az R tér geometriája Megoldás: Ellenőrizhető hogy a két egyenes párhuzamos. Két párhuzamos egyenes távolságának számolása visszavezethető pont és egyenes távolságának meghatározására: felveszünk egy pontot az egyik egyenesen és meghatározzuk annak távolságát a másik egyenestől. Az f egyenes egy pontja a P = ( pont. Az e egyenes egy pontja a P = ( pont egy irányvektora a v = ( vektor. Így továbbá Innen. Tehát a két egyenes távolsága. 9. Minta feladat: Határozzuk meg az t e : y t és z f : y z egyenesek távolságát! Megoldás: Ellenőrizhető hogy az e és f egyenesek kitérőek. Vegyünk fel mindegyik egyenesen egy-egy pontot: az e egyenes egy pontja P = ( az f egyenes egy pontja P = ( -. A két kitérő egyenes távolsága a vektornak a normáltranzverzális irányába eső merőleges vetületének hosszával egyenlő (. ábra. Keressünk egy a normáltranzverzális irányába mutató vektort! A normáltranzverzális az e és az f egyenesre is merőleges így az n = ve vf vektor a normáltranzverzális irányába mutat: n = ve vf = (- ( = (( - Határozzuk meg ezután az n vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektort! Ehhez az n vektor hossza: így (. A hossza: vektor normáltranzverzális irányába eső merőleges vetületének 7 Tehát az e és f egyenesek távolsága 7. Leitold Adrien PE

22 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Minta feladat: Megoldás:. ábra: Két kitérő egyenes távolsága Határozzuk meg a P = ( - pont és az S: +y+z = sík távolságát! Ellenőrizhető hogy a P pont nincs rajta az S síkon. Írjuk fel először annak az e egyenesnek a paraméteres egyenletrendszerét amely átmegy a P ponton és merőleges az S síkra (7. ábra. 7. ábra: Pont és sík távolsága Az e egyenes irányvektora egyben az S sík normálvektora: ve = n = ( így az e egyenes paraméteres egyenletrendszere. t e : y t z t Ezután meghatározzuk az e egyenes és az S sík metszéspontját. Az egyenes egyenletrendszeréből a sík egyenletébe helyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk: Leitold Adrien PE

23 Az R tér geometriája (+t + (-+t + (+t = innen t =. Ezt a paraméterértéket visszahelyettesítve az e egyenes egyenletrendszerébe megkapjuk a metszéspont koordinátáit: M = (.. Ezután a keresett távolság a vektor hosszával egyenlő: Tehát a P pont és az S sík távolsága.. Minta feladat: Legyenek: t f : y t z t S : - y z -7. Megoldás: Határozzuk meg az f egyenes és az S sík távolságát! Ellenőrizhető hogy az f egyenes és az S sík párhuzamos.. Sík és vele párhuzamos egyenes távolságának meghatározása visszavezethető pont és sík távolságának számolására. Először felveszünk egy pontot az f egyenesen: P = (. Ezután meghatározzuk P és az S sík távolságát. Írjuk fel a P-n átmenő S síkra merőleges e egyenes paraméteres egyenletrendszerét! Az e egyenes irányvektora: ve = n = ( - így: e : y t z t t Ezután meghatározzuk az e egyenes és az S sík metszéspontját. Az egyenes egyenletrendszeréből a sík egyenletébe helyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk: t (-t + (+t = -7 innen t = -. Ezt a paraméterértéket visszahelyettesítve az e egyenes egyenletrendszerébe megkapjuk a metszéspont koordinátáit: M = (-. -. Így a keresett távolság a vektor hosszával egyenlő: Tehát az f egyenes és az S sík távolsága.. Minta feladat: Határozzuk meg az é síkok távolságát! Leitold Adrien PE

24 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Megoldás: Ellenőrizhető hogy a két sík párhuzamos. Párhuzamos síkok távolságának meghatározása visszavezethető pont és sík távolságának számolására. Vegyünk fel egy pontot az S síkon: P = (. majd keressük a P pont és az S sík távolságát. Felírjuk a P-n átmenő S-re merőleges e egyenes paraméteres egyenletrendszerét. Ehhez ve = ns = ( - így: t e : y t z t Az e egyenes és az S sík metszéspontjának meghatározásához a sík egyenletébe helyettesítünk: (+t (t + t = Innen t = amit az e egyenletrendszerébe visszahelyettesítve megkapjuk a metszéspontot: M = ( -. Így a keresett távolság a vektor hosszával egyenlő: Tehát a két sík távolsága.. Minta feladat: Határozzuk meg az e és f egyenesek szögét ha t z a e: y f : y t z t b t e : y t z t f : z y Megoldás: Két egyenes szögét irányvektoraik szögéből határozhatjuk meg (8. ábra. Leitold Adrien PE

25 Az R tér geometriája a b 8. ábra: Két egyenes szögének meghatározása a Jelölje a két egyenes szögét. A két egyenes irányvektora: ve = ( és vf = (-. Számoljuk ki először az irányvektorok szögét (! Ehhez: = innen. Mivel az irányvektorok szöge hegyesszög (8.a ábra így. b Jelölje a két egyenes szögét. A két egyenes irányvektora: ve = (- és vf = ( -.Számoljuk ki először az irányvektorok szögét (! Ehhez: = innen. Mivel az irányvektorok szöge tompaszög (8.b ábra így.. Minta feladat: Határozzuk meg az e egyenes és az S sík szögét ha a t e : y t z S : - y z b t e: y t z t S : z Megoldás: Egyenes és sík szögét az egyenes irányvektorának és a sík normálvektorának szögéből kiindulva kaphatjuk meg (9. ábra. Leitold Adrien PE

26 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak a b 9. ábra: Egyenes és sík szögének meghatározása a Jelölje az egyenes és a sík szögét. Az egyenes irányvektora: v = (- a sík normálvektora: n = (- -. Számoljuk ki a két vektor szögét (! Ehhez: = innen. Mivel az irányvektor és a normálvektor szöge hegyesszög (9.a ábra így. b Jelölje az egyenes és a sík szögét. Az egyenes irányvektora: v = (- a sík normálvektora: n = ( -. Számoljuk ki a két vektor szögét (! Ehhez: = innen. Mivel az irányvektor és a normálvektor szöge tompaszög (9.b ábra így. Minta feladat: Határozzuk meg az S és S síkok szögét ha a S : y + z = és S : y + z = ; b S : - + y z = és S : + y + z =. Megoldás: Síkok szögére normálvektoraik szögéből következtethetünk. a Jelölje a két sík szögét. Az S sík normálvektora: n = ( - az S sík normálvektora: n = ( -. Határozzuk meg először a két normálvektor szögét (: = innen. Mivel a normálvektorok szöge hegyesszög így. Leitold Adrien PE

27 Az R tér geometriája 7 b Jelölje a két sík szögét. Az S sík normálvektora: n = (- - az S sík normálvektora: n = (. Határozzuk meg először a két normálvektor szögét (: = innen. Mivel a normálvektorok szöge tompaszög így. Gyakorló feladatok:. Legyen P = ( és t e : y t z t. a Határozza meg a P pont és az e egyenes távolságát! b Írja fel annak a síknak az egyenletét amely tartalmazza a P pontot és az e egyenest! 7. Legyen -t e : y t z t és -t f : y t. z t a Ellenőrizze hogy az e és az f egyenesek párhuzamosak! b Határozza meg a két egyenes távolságát! 8. Legyen -t e : y t z t és f: y z. a Ellenőrizze hogy az e és az f egyenesek kitérők! b Határozza meg a két egyenes távolságát! 9. Legyen S : y z és Q = ( -. Határozza meg a Q pont és az S sík távolságát!. Legyen S : y z és f : y t z t. Leitold Adrien PE

28 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak a Milyen helyzetű az f egyenes és az S sík? b Határozza meg az f egyenes és az S sík távolságát!. Legyen S : y z S : - y. a Milyen a két sík kölcsönös helyzete? b Határozza meg a két sík távolságát!. Legyen e : y t z t és f: y z. a Határozza meg az e és f egyenesek metszéspontját (ha van! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét!. Legyen S : y z és z Határozza meg az S sík és az e egyenes szögét! -t e : y t.. Legyen S : y z és -t e : y t z. Határozza meg az S sík és az e egyenes szögét!. Legyen S : y z S : - y z 8. Határozza meg a két sík szögét! Vegyes feladatok Gyakorló feladatok:. Legyen t e : y t z t t f : y t z t S : y z. Leitold Adrien PE

29 Az R tér geometriája 9 a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot ha párhuzamosak akkor a távolságukat! d Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! 7. Legyen e: y z S : y z S : y z. a Írja fel annak a síknak az egyenletét amely merőleges az e egyenesre és tartalmazza a P = ( - pontot! b Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! c Milyen az S és S sík kölcsönös helyzete? Ha párhuzamosak akkor határozza meg a távolságukat ha metszők akkor adja meg a metszésvonal paraméteres egyenletrendszerét! d Határozza meg az S és S sík szögét! 8. Legyen S : y z e : y z t f : y t z t. a Határozza meg a Q = ( - pont és az S sík távolságát! b Írja fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik az e és f egyenesekre! c Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! d Határozza meg az e és f egyenesek szögét! 9. Legyen - t e : y t z t f z : y. a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét!. Írja fel annak a síknak az egyenletét amely illeszkedik a P = ( P = ( és P = ( - pontokra! Leitold Adrien PE

30 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Legyen t - t e : y t f : y t S : y z 8. z t z t a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot ha párhuzamosak akkor a távolságukat! d Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét!. Legyen t e : y t z S : y z S : y z 8. a Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! c Milyen az S és S sík kölcsönös helyzete? d Határozza meg a Q = ( - pont és az S sík távolságát! e Határozza meg az S és S síkok szögét!. Legyen t t e : y t f : y t S : y z. z t z a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? d Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! e Határozza meg a P = ( pont f egyenestől való távolságát! Leitold Adrien PE

31 Az R tér geometriája. Legyen t t e : y t f : y t S : - y z. z z t a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha van közös pontjuk akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? d Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét! e Határozza meg a P = ( pont e egyenestől való távolságát!. Legyen t t e : y t f : y t S : y z. z t z t a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Határozza meg az e és f egyenesek távolságát! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az e egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot ha párhuzamosak akkor a távolságukat! d Határozza meg az e egyenes és az S sík szögét!. Legyen t t e : y t f : y t S : y z. z t z t a Milyen az e és f egyenesek kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot! b Határozza meg az e és f egyenesek szögét! c Milyen az f egyenes és az S sík kölcsönös helyzete? Ha metszők akkor határozza meg a metszéspontot ha párhuzamosak akkor a távolságukat! d Határozza meg az f egyenes és az S sík szögét! Elméleti kérdések Döntse el az alábbi állításokról hogy igazak vagy hamisak!. Ha két térbeli egyenesnek nincs közös pontja akkor párhuzamosak. Leitold Adrien PE

32 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Egy térbeli egyenest egyértelműen meghatározza egy irányvektora.. Egy térbeli egyenest egyértelműen meghatározza egy pontja és egy rá merőleges nem nulla vektor.. Ha az e és e térbeli kitérő egyenesek akkor léteznek olyan S és S síkok hogy e S e S és S S.. Ha a térben egy sík normálvektorának és egy egyenes irányvektorának a vektoriális szorzata nullvektor akkor az egyenes merőleges a síkra.. Ha két sík párhuzamos akkor a normálvektoraiknak a skaláris szorzata negatív. 7. Ha egy sík és egy vele párhuzamos térbeli egyenes távolsága d akkor bármely PS és Qe esetén a P és Q pontok távolsága d. 8. Egy térbeli síkot meghatározza egy pontja és egy vele párhuzamos nem nulla vektor. Leitold Adrien PE

33 Az R n vektortér Az R n vektortér. Minta feladat: Legyen a = ( - b = ( c = ( -. a Határozzuk meg az alábbi vektorokat! a + b a c a -b a +bc b Adjuk meg az a b és c vektorok - és skalárokkal vett lineáris kombinációját! Megoldás: a Az R vektortérben az összeadást kivonást és skalárral való szorzást komponensenként végezzük el így: a + b = ( - + ( = (9 a c = ( - ( - = ( - a = ( - = ( - -b = -( = ( a +bc = ( - + ( ( - = ( ( - ( - = ( b Az a b és c vektorok - és skalárokkal vett lineáris kombinációja: a + (-b +c = ( - ( ( - = ( ( (8-8 = ( -7. Minta feladat: Legyen a = ( - b = (. Előállítható-e az a és b vektorok lineáris kombinációjaként az = (9 - illetve az y = (7 - vektor? Geometriailag is értékeljük az eredményt! Megoldás: Olyan és skalárokat keresünk amelyekre a + b = teljesül azaz ( - + ( = (9 -. Ez a vektoregyenlet ekvivalens a megfelelő komponensekre felírt egyenlőségekkel így: 9 A második egyenletből = ezt az első egyenletbe helyettesítve = adódik. Ezek az értékek kielégítik a harmadik egyenletet is azaz a teljes egyenletrendszer meg - oldásai. Így az vektor előáll az a és b vektorok lineáris kombinációjaként: = a + b. Ez geometriailag azt jelenti hogy az vektor benne van az a és b vektorok által kifeszített síkban. Leitold Adrien PE

34 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Ezután olyan és skalárokat keresünk amelyekre a + b = y teljesül azaz ( - + ( = (7 -. Ez a vektoregyenlet ekvivalens a megfelelő komponensekre felírt egyenlőségekkel így: 7 A második egyenletből = ezt az első egyenletbe helyettesítve = adódik. Ezek az értékek azonban nem elégítik ki a harmadik egyenletet azaz a teljes egyenletrendszernek nincs megoldása. Így az y vektor nem állítható elő az a és b vektorok lineáris kombinációjaként. Geometriailag ez azt jelenti hogy y nincs benne az a és b vektorok által kifeszített síkban.. Minta feladat: Legyen a = ( - b = (- c = ( d = ( -. H := {a b c} és H := {a b d}. Állapítsuk meg hogy lineárisan független vagy lineárisan összefüggő a H illetve a H vektorhalmaz? Megoldás: Megvizsgáljuk hogy milyen lineáris kombinációval lehet a H vektorhalmaz elemeiből az R vektortér nullvektorát előállítani: a + b + c = o azaz ( - + (- + ( = (. A vektoregyenletet átírjuk a komponensekre vonatkozó egyenlőségekre: - - Az első egyenletből =. Ezt a második egyenletbe behelyettesítve = adódik. Ezt a negyedik egyenletbe írva = -t kapunk s így a korábbiak szerint =. Ezek az értékek a még fel nem használt harmadik egyenletet is kielégítik. Így a teljes egyenletrendszer megoldása: = = =. Vagyis a H vektorhalmaz elemeiből csak a triviális lineáris kombinációval lehet a nullvektort előállítani azaz a H vektorhalmaz lineárisan független. A H vektorhalmazt vizsgálva: a + b + d = o azaz ( - + (- + ( - = (. A vektoregyenletet átírjuk a komponensekre vonatkozó egyenlőségekre: Leitold Adrien PE

35 Az R n vektortér - - A negyedik egyenletből = - adódik. Ezt beírva az első egyenletbe a = - összefüggést kapjuk. Ezeket behelyettesítve a második és harmadik egyenletbe mindkét esetben azonosságot kapunk. Ez azt jelzi hogy az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van: = -t = -t = t ahol tr. Így a H vektorhalmaz vektoraiból triviálisan és nem triviálisan is előáll a null vektor. Például egy nem triviális előállítás: -a b + d = o. Tehát a H vektorhalmaz lineárisan összefüggő. Megjegyezzük hogy vektorhalmazok lineáris függetlensége illetve összefüggősége a bázistranszformáció algoritmusával is vizsgálható (lásd. minta feladat. Gyakorló feladatok:. Legyen a = ( - b = (. Előállítható-e az a és b vektorok lineáris kombinációjával a c = (- vektor?. Legyen a = ( - b = (-. Előállítható-e az a és b vektorok lineáris kombinációjával a c = ( vektor?. Legyen a = ( - b = ( - c = ( -. a Végezze el az alábbi műveleteket! a + b -c -a + b + c b Adja meg azt a vektort amely az a b és c vektorok - skalárokkal vett lineáris kombinációja! c Előállítható-e az a b és c vektorok lineáris kombinációjával az = ( 9 vektor?. Legyen a = (- b = ( c = (-. a Állítsa elő a a -b c lineáris kombinációt! b Legyen H = {a b c}. Hogyan állítható elő a H vektorhalmaz elemeiből az R vektortér nullvektora? Lineárisan független vagy lineárisan összefüggő a H vektorhalmaz? c Legyen = ( 9 y = ( -. Előállítható-e az a és b vektorok lineáris kombinációjával az illetve az y vektor? Geometriailag is értékelje az eredményt!. Minta feladat: Legyen a = ( - a = ( a = ( a = ( -. Bázist alkotnak-e az R vektortérben az a a a és a vektorok? Ha igen akkor határozzuk meg a v = ( - vektor ezen bázisra vonatkozó koordinátáit! Leitold Adrien PE

36 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Megoldás: Tekintsük az R vektortér kanonikus bázisát. Elemi bázistranszformációk sorozatával próbáljuk meg kicserélni a kanonikus bázis vektorait az a a a és a vektorokra. Az induló táblázat: bázis a a a a v e a = e e - e - - Észrevehetjük hogy az a vektor azonos az e vektorral így lényegében már indu láskor a bázisban van. Válasszuk generáló elemnek az a vektor első koordinátáját azaz vonjuk be a bázisba a-et az e vektor helyére (jelölés: a e és a bázistranszformációs képleteknek megfelelően számoljuk a vektorok új koordinátáit. Így az alábbi táblázathoz jutunk: bázis a a a a v a a e e Ezután hajtsuk végre az a e vektorcserét a bázisban így a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a v a - a - a e - Végül bevonhatjuk a bázisba az a vektort az e helyére: bázis a a a a v a a a a Mivel a kanonikus bázis vektorai kicserélhetőek voltak az a a a és a vektorokkal így azok bázist alkotnak az R vektortérben. A végső táblázatból kiolvashatóak a v vektor ezen bázisra vonatkozó koordinátái: és. Leitold Adrien PE

37 Az R n vektortér 7. Minta feladat: Legyen a = ( a = ( a = ( a = (8 a = (. a Bázist alkotnak-e az R vektortérben az a a és a vektorok? Ha igen akkor határozzuk meg az a és a vektorok ezen bázisra vonatkozó koordinátáit! b H:= {a a a} és H:= {a a a}. Lineárisan független vagy lineárisan összefüggő a H illetve a H vektorhalmaz? Megoldás: a Tekintsük az R vektortér kanonikus bázisát. Elemi bázistranszformációk sorozatával próbáljuk meg kicserélni a kanonikus bázis vektorait az a a és a vektorokra. Az induló táblázat: bázis a a a a a e 8 e e Válasszuk generáló elemnek az a vektor első koordinátáját azaz vonjuk be a bázisba a-et az e vektor helyére (jelölés: a e és a bázistranszformációs képleteknek megfelelően számoljuk a vektorok új koordinátáit. Így az alábbi táblázathoz jutunk: bázis a a a a a a 8 e - - e Ezután az a e vektorcserét végrehajtva a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a a a 8 a - - e Végül vonjuk be a bázisba az a vektort az e vektor helyére (a e: bázis a a a a a a a a Mivel a kanonikus bázis vektorai kicserélhetőek voltak az a a és a vektorokkal így azok bázist alkotnak az R vektortérben. A végső táblázatból kiolvashatóak az a és a vektorok ezen bázisra vonatkozó koordinátái: Leitold Adrien PE

38 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak az a vektor koordinátái az a a és a vektorokra vonatkozóan: ; az a vektor koordinátái az a a és a vektorokra vonatkozóan:. b Mivel a H vektorhalmaz vektorai bázist alkotnak az R vektortérben így H lineárisan független. A végső táblázatból kiolvasható hogy a = a + a azaz az a vektor előáll az a és a vektorok lineáris kombinációjaként. Vagyis a H vektorhalmazban található olyan vektor amely előáll a többi vektor lineáris kombinációjaként így H lineárisan összefüggő.. Minta feladat: Legyen a = ( a = ( a = ( a = ( a = (9. H:= {a a a a a}. a Határozzuk meg a H vektorhalmaz rangját! b Adjuk meg a H vektorhalmaz egy maimális lineárisan független részhalmazát! c Van-e olyan vektor az R vektortérben amely nem fejezhető ki H-beli vektorok lineáris kombinációjával? d Van-e illetve vektorból álló lineárisan független részhalmaza H-nak? e Van-e illetve vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaza H-nak? Megoldás: a A rang a vektorhalmazból kiválasztható lineárisan független vektorok maimális számát jelenti. Bázistranszformációval a bázisba bekerülő vektorok mivel bázis részhalmazát képezik lineárisan függetlenek. Igazolható hogy a bázisba bevonható vektorok maimális száma független a bevonandó vektorok konkrét kiválasztásától. Így igaz hogy bármely vektorhalmaz esetén a rang egyenlő a bázisba bevonható vektorok maimális számával függetlenül attól hogy éppen melyik vektorokat vontuk be a bázisba. Igyekezzünk tehát H vektorai közül minél többet bevonni a kanonikus bázis vektorainak helyébe. Az induló táblázat: bázis a a a a a e 9 e e Az a e vektorcsere végrehajtása után a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a a e a e Hajtsuk végre ezután az a e vektorcserét: Leitold Adrien PE

39 Az R n vektortér 9 bázis a a a a a e - - a a Végül a-t bevonva az e helyére: bázis a a a a a a a a Mivel a kanonikus bázis mindhárom vektorát ki tudtuk cserélni H-beli vektorokkal így r(h =. b A H vektorhalmaz egy maimális lineárisan független részhalmaza: H ={a a a}. c Mivel a fenti H részhalmaz bázis R -ban így minden R -beli vektor kifejezhető H- beli vektorok lineáris kombinációjával. Így nincs olyan vektor az R vektortérben amely nem fejezhető ki H-beli vektorok lineáris kombinációjával. d vektorból álló lineáris független részhalmaz: van pl. {a}; vektorból álló lineáris független részhalmaz: van pl. {a a}; vektorból álló lineáris független részhalmaz: van pl. {a a a}; vektorból álló lineáris független részhalmaz: nincs mert R -ban négy vektor mindig lineárisan összefüggő. e vektorból álló lineáris összefüggő részhalmaz: nincs mert egyik vektor sem nullvektor; vektorból álló lineáris összefüggő részhalmaz: nincs mert H-ban nincs két párhuzamos vektor; vektorból álló lineáris összefüggő részhalmaz: van {a a a} mert a táblázatból látszik hogy a előáll a másik két vektor lineáris kombinációjaként; vektorból álló lineáris összefüggő részhalmaz: pl. {a a a a} hiszen R - ban négy vektor mindig lineárisan összefüggő. 7. Minta feladat: Legyen a = ( a = ( a = (- - - a = ( a = (. a H:= {a a a a a}. Határozzuk meg a H vektorhalmaz rangját! b Van-e a H vektorhalmaznak két vektorból álló lineárisan független és két vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaza? c Megadható-e olyan R -beli vektor amelyet H-hoz csatolva megnöveli a rangot? Megoldás: a A bázistranszformáció során a bázisba bevonható vektorok maimális száma adja a rangot (lásd. minta feladat így igyekezzünk minél több vektort a bázisba bevonni! Leitold Adrien PE

40 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Az induló táblázat: bázis a a a a a e - e - e - Hajtsuk végre az a e vektorcserét a bázisban: Vonjuk be ezután a t az e helyére: bázis a a a a a a - e - e - bázis a a a a a a a - e Több vektort nem lehet bevonni a bázisba így r(h =. b Két vektorból álló lineáris független részhalmaz: {a a} mivel bázis részhalmaza lineárisan független. Két vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaz: {a a} mivel az a és a vektorok párhuzamosak. c Igen minden olyan vektor növeli a rangot amely nem áll elő az a és a vektorok lineáris kombinációjával. Ilyen vektor például az e hiszen e az a és a vektorokkal bázist alkot. Gyakorló feladatok:. Legyen a = ( a = ( a = (. Bázist alkotnak-e az R térben az a a és a vektorok? Ha igen akkor határozza meg a v = ( 7 8 vektor rájuk vonatkozó koordinátáit!. Legyen a = ( b = (- c = ( - d = (. a Hogyan állítható elő az a b és c vektorokból az R vektortér nullvektora? b Hogyan állítható elő az a b és d vektorokból az R vektortér nullvektora? c Megadható-e olyan R vektor amely nem állítható elő az a b és c (illetve az a b és d vektorok lineáris kombinációjaként? d Bázist alkotnak-e az R térben az a b és c (illetve az a b és d vektorok? Ha igen akkor határozza meg a v = ( vektor rájuk vonatkozó koordinátáit! Leitold Adrien PE

41 Az R n vektortér 7. Legyen a = ( a = ( a = ( -. Megadható-e olyan R vektor amely az a a és a vektorok lineáris kombinációjával nem fejezhető ki? Ha igen akkor adjon példát ilyen vektorra! 8. Legyen H = { ( ( } H = { ( ( ( } H = { ( ( ( ( }. A fenti vektorhalmazokra mi illik az alábbi felsorolásokból? lineárisan független lineárisan összefüggő bázis a vektorhalmaz vektoraiból lineáris kombinációval előállítható az R vektortér összes vektora. 9. Adjon példát az R vektortérben olyan vektorhalmazra amely lineárisan összefüggő és nem generátorrendszer lineárisan összefüggő és generátorrendszer lineárisan független és nem bázis lineárisan független és bázis.. Legyen a = ( a = (- a = (- a = (- a = ( H = {a a a a a}. Mennyi a H vektorhalmaz rangja?. Legyen a = ( b = ( c = (- d = ( 7. a Bázist alkotnak-e a térben az a b és c vektorok? Ha igen akkor határozza meg az = (-8 - vektor ezen bázisra vonatkozó koordinátáit! b Hogyan állítható elő az a b és d vektorok lineáris kombinációjával az R tér nullvektora? c Mennyi a H = a b d vektorhalmaz rangja?. Legyen a = ( - a = (- - - a = ( a = ( - a = ( - H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Adjon meg olyan a o vektort amelyet a H vektorhalmazhoz csatolva nem növeli a vektorhalmaz rangját!. Legyen a = ( - a = ( - - a = ( - a = ( a = (. H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Adjon meg olyan a R vektort amely nem állítható elő a H vektorhalmaz vektorainak lineáris kombinációjaként!. Legyen a = (- a = ( a = ( - a = (- 7 H = {a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Előállítható-e az a vektor az a és a vektorok lineáris kombinációjaként? c Előállítható-e az a vektor az a és a vektorok lineáris kombinációjaként? Leitold Adrien PE

42 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Legyen a = ( - a = (- - a = (- - a = (- - a = ( - - H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Van-e a H vektorhalmaznak olyan legalább elemű részhalmaza amelynek rangja kisebb a H rangjánál? c Van-e a H vektorhalmaznak ill. elemű lineárisan független részhalmaza? (Ha van akkor adjon példát ha nincs akkor indoklást! d Van-e a H vektorhalmaznak ill. elemű lineárisan összefüggő részhalmaza? (Ha van akkor adjon példát ha nincs akkor indoklást!. Legyen a = ( a = (- a = ( a = ( - a = ( - - H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Válasszon ki H-ból egy maimális lineárisan független részhalmazt és annak elemeivel állítsa elő H elemeit! c Előállítható-e az R vektortér minden vektora H elemeinek lineáris kombinációjaként? Ha igen: adjon meg olyan részhalmazt H-ban amely bázis az R térben! Ha nem: egészítse ki H-t úgy további vektorokkal hogy az R tér minden vektora előállítható legyen! 7. Legyen a = ( a = ( - a = ( a = ( - a = ( H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Válasszon ki H-ból egy maimális lineárisan független részhalmazt és annak elemeivel állítsa elő H elemeit! c Előállítható-e az R vektortér minden vektora H elemeinek lineáris kombinációjaként? Ha igen: adjon meg olyan részhalmazt H-ban amely bázis az R térben! Ha nem: egészítse ki H-t úgy további vektorokkal hogy az R tér minden vektora előállítható legyen! 8. Legyen a = ( - a = ( - a = ( a = ( - -9 a = ( - 8 H = {a a a a a} H = a. a H = a a a. a Mennyi a H H és H vektorhalmazok rangja? b Adjon meg egy maimális lineárisan független részhalmazt a H H és H vektorhalmazokban! c Adjon meg egy olyan R vektort amely nem fejezhető ki a H elemeivel! d Adjon meg egy olyan R vektort amelyet H-hez csatolva nem növeli meg a vektorhalmaz rangját! 9. Legyen a = ( a = (- a = ( 7 a = (- - a = ( H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b El lehet-e hagyni egy vektort a H vektorhalmazból úgy hogy a maradék halmaz rangja kisebb legyen H rangjánál?. Legyen a = (- - a = (- a = ( - a = ( - a = ( -9 H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? Leitold Adrien PE

43 Az R n vektortér b El lehet-e hagyni egy vektort a H vektorhalmazból úgy hogy a maradék halmaz rangja kisebb legyen H rangjánál?. Legyen a = ( - a = ( - a = (- - a = ( - a = ( - H = {a a a a a}. a Mennyi a H vektorhalmaz rangja? b Megadható-e H-nak ill. vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaza? Ha igen adjon meg ilyen(eket! 8. Minta feladat: Egy bázistranszformációs eljárás során a következő táblázathoz jutottunk: bázis a a a a a a e e a Számolás nélkül válaszoljunk az alábbi kérdésekre! a Mely vektortér elemei az a a a a a vektorok? b Töltsük ki a táblázat hiányzó adatait! c Mennyi a H ={a a a a a} vektorhalmaz rangja? d Adjuk meg a H vektorhalmaz egy maimális lineárisan független részhalmazát! e A H vektorhalmaz mely elemei állíthatók elő a és a lineáris kombinációjaként? f Előállítható-e az a vektor az a és a lineáris kombinációjaként? g Előállítható-e az a vektor az a és a lineáris kombinációjaként? Megoldás: a Mivel négy vektor alkotja a bázist ezért az a a a a a vektorok az R vektortér elemei. b A hiányzó koordináták bázisban lévő vektorok koordinátái így: bázis a a a a a a e e a c Maimálisan két vektort lehet H elemei közül bevonni a bázisba így r(h =. d A H vektorhalmaz egy maimálisan lineárisan független részhalmaza: {a a}. e a = a+a; a = a+a; a = a+a; a = a+a; a = a+a. f A táblázatból látható hogy az a vektor előáll az a és a vektorok lineáris kombinációjaként. Mivel az a és a vektorok párhuzamosak így az a és a vektorokból pontosan azok a vektorok állíthatók elő lineáris kombinációval mint az a és a vektorokból. Tehát az a vektor előáll az a és a vektorok lineáris kombinációjaként is. Leitold Adrien PE

44 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak g Mivel az a és a vektorok párhuzamosak így az a és a vektorokból pontosan azok a vektorok állíthatók elő lineáris kombinációval mint amelyek csak az a vektorból előállíthatóak. Mivel az a vektor nem állítható elő csak az a vektor lineáris kombinációjaként ezért nem áll elő az a és a vektorokból sem. Gyakorló feladatok:. Egy bázistranszformációs eljárás során a következő táblázathoz jutottunk: bázis a a a a a a - e a a Számolás nélkül válaszoljon az alábbi kérdésekre! a Mely vektortér elemei az a a a a a vektorok? b Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! c Mennyi a H ={a a a a a} vektorhalmaz rangja? d Adja meg a H vektorhalmaz egy maimális lineárisan független részhalmazát! e A H vektorhalmaz mely elemei állíthatók elő a és a lineáris kombinációjaként?. Egy bázistranszformációs eljárás során a következő táblázathoz jutottunk: bázis a a a a a e a - a - e Számolás nélkül válaszoljon az alábbi kérdésekre! a Mely vektortér elemei az a a a a a vektorok? b Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! c Mennyi a H ={a a a a a} vektorhalmaz rangja? d Adja meg a H vektorhalmaz egy maimális lineárisan független részhalmazát! e A H vektorhalmaz mely elemei állíthatók elő a és a lineáris kombinációjaként?. Egy bázistranszformációs eljárás során a következő táblázathoz jutottunk: bázis a a a a a e a - a - e Leitold Adrien PE

45 Az R n vektortér 9. Minta feladat: Számolás nélkül válaszoljon az alábbi kérdésekre! a Mely vektortér elemei az a a a a a vektorok? b Töltse ki a táblázat hiányzó adatait! c Mennyi a H ={a a a a a} vektorhalmaz rangja? d Mennyi a H ={a a a} vektorhalmaz rangja? e Előállítható-e az a vektor az a és a vektorok lineáris kombinációjaként? f Előállítható-e az a vektor az a és a vektorok lineáris kombinációjaként? g Előállítható-e az a vektor az a és a vektorok lineáris kombinációjaként? a Az alábbi vektorhalmazok közül melyek alterek az R térben? Az altereknél adjuk meg az altér dimenzióját és egy bázisát! H = { ( z R z R } H = { λ( - λ } H = { λ( - λ R } H = { ( R = = } H = { λ( λ R } H = { λ( + ( λ R } H7 = { λ( + λ ( λ λ R } H8 = { ( R }. b Melyek azok az alterek a fentiek közül amelyeknek direkt összege az R vektortér? Megoldás: a Az alterek olyan vektorhalmazok amelyek zártak a vektorösszeadásra és a skalárral való szorzásra. Az R vektortérben az dimenziós alterek olyan vektorhalmazok melyek vektorai egy origón átmenő egyenesre esnek míg a dimenziós alterek vektorai egy origón átmenő síkra esnek. Ezek alapján: H az -z koordinátasík vektorait tartalmazza altér dim(h = egy bázis H- ben: B = {( ( }; H vektorai a ( - irányvektorú origóból induló félegyenesre esnek H zárt az összeadásra de nem zárt a skalárral való szorzásra így nem altér; H vektorai a ( - irányvektorú origón átmenő egyenesre esnek altér dim(h = egy bázis H-ban: B = {( -}; H vektorai a z tengelyre esnek altér dim(h = egy bázis H-ban: B = {( }; H vektorai az ( irányvektorú origón átmenő egyenesre esnek altér dim(h = egy bázis H-ban: B = {( }; H vektorai nem zártak sem az összeadásra sem a skalárral való szorzásra nem altér; H7 vektorai az ( és a ( vektorok által kifeszített síkra esnek altér dim(h7 = egy bázis H7-ben: B7 = {( ( }; H8 vektorai az első tér-nyolcadban helyezkednek el az összeadásra zártak de a skalárral való szorzásra nem nem altér. Leitold Adrien PE

46 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak b A fenti alterek közül egy dimenziós és egy dimenziós vagy három dimenziós altérnek lehet direkt összege az R vektortér feltéve hogy a megfelelő alterek bázisainak uniója bázis R -ban. Ez bázistranszformációval ellenőrizhető. Például a H és H alterek esetén a B = BB = {( ( ( -} bázis R -ban hiszen az induló táblázatból látható hogy az első két vektor eleve bázisban van a harmadik pedig bevonható e helyére: bázis b b b b=e e b= e - Így R = HH. Ugyanakkor a H és H alterek esetén a B = BB = {( ( } ami nem bázis R -ban így R HH. Hasonló vizsgálatokat elvégezve a többi esetben is a következő altereknek lesz még direkt összege az R vektortér: R = HH R = H7H R = H7H R = HHH.. Minta feladat: Adjuk meg az alábbi alterek dimenzióját és egy bázisát! Igaz-e hogy R direkt összege a V és V altereknek? Ha igen akkor bontsa fel az = ( - vektort a megfelelő alterekbe eső összetevőkre! Megoldás: a V = { λ( - + λ ( λ λ R } V = { λ( λ R }; b V = { λ( + λ ( λ λ R } V = { λ( + λ ( λ λ R }; c V = { λ( + λ ( λ λ R } V = { λ( + λ ( λ λ R }; a dim(v = B = { ( - ( } és dim(v = B = { ( }. A szükséges (de nem elégséges feltétel teljesül: dim(v + dim(v = + = dim(r. Ellenőrizzük ezután hogy az alterek bázisainak uniója B = BB bázis-e R -ban és közben számoljuk az vektor koordinátáit is. Az induló táblázat: bázis b b b b= e e - - e A b vektor bent van a kanonikus bázisban (b= e vonjuk be b-t az e vektor helyére: Leitold Adrien PE

47 Az R n vektortér 7 bázis b b b b - - e - - b Végül vonjuk be a b vektort az e helyére: bázis b b b b b b Mivel a B = BB vektorhalmaz bázis R ban így R = VV. Az vektor előállítása a B bázison: = b + b + b. Mivel b és b a V altér bázisvektorai így az vektor V-be eső összetevője: v = b + b = ( -. A b vektor a V altér bázisvektora így az vektor V-be eső összetevője: v = b = (. b dim(v = B = { ( ( } és dim(v = B = { ( ( }. A szükséges feltétel nem teljesül: dim(v + dim(v = + dim(r így R VV. c dim(v = B = { ( ( } és dim(v = B = { ( }. Utóbbi esetben vegyük észre hogy az ( és ( vektorok párhuzamosak így lineáris kombinációik dimenziós alteret határoznak meg. Ellenőrizzük ezután hogy az alterek bázisainak uniója B = BB bázis-e R ban és közben számoljuk az vektor koordinátáit is. Az induló táblázat: bázis b b b e b= e - e A b vektor bent van a kanonikus bázisban (b= e vonjuk be b-t az e vektor helyére: bázis b b b b b - - e Látható hogy b nem vonható be a bázisba az e vektor helyére azaz a B = BB vektorhalmaz nem bázis R ban így R VV. Leitold Adrien PE

48 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Gyakorló feladatok:. a Az alábbi vektorhalmazok közül melyek alterek az R térben? Az altereknél adja meg az altér dimenzióját és egy bázisát! H = { λ( + λ( λ λ R } H = { λ( - λ R + } H = { λ( - λ R } H = { ( R } H = { λ( - λ R } H = { λ( - + ( λ R } H7 = { λ( - + λ ( λ λ R } H8 = { (λ λ R }. b Melyek azok az alterek a fentiek közül amelyeknek direkt összege az R vektortér?. Legyen V = ( y z R y = és V = ( - R. a Igazolja hogy V V = R! b Bontsa fel az = ( - vektort a V és V alterekbe eső összetevőkre! 7. Legyen V = (t t t R tr és V = ( +(- R. a Igazolja hogy V V = R! b Bontsa fel az = ( vektort a V és V alterekbe eső összetevőkre! 8. Legyen V = ( - R és V = ( +( R. a Igazolja hogy V V = R! b Bontsa fel az = ( - vektort a V és V alterekbe eső összetevőkre! 9. Legyen V = ( R V = ( - +( R V = ( - +( R. a Adjon meg egy-egy bázist a V V és V alterekben! b Igaz-e hogy V V = R illetve V V = R? (Indoklás! Ha igen akkor bontsa fel az = (8 vektort a megfelelő alterekbe eső összetevőkre!. Legyen V = ( - R V = ( +( R V = ( - R. a Adja meg a fenti alterek dimenzióját és egy-egy bázisát! b Igaz-e hogy V V = R illetve V V V = R? (Indoklás! Ha igen akkor bontsa fel az = (7 vektort a megfelelő alterekbe eső összetevőkre!. Adjon meg az R vektortérben illetve db olyan alteret amely altereknek direkt összege az R vektortér! Leitold Adrien PE

49 Az R n vektortér 9 Elméleti kérdések Döntse el az alábbi állításokról hogy igazak vagy hamisak!. R n -ben bármely vektorhalmaz rangja n.. Ha egy H vektorhalmaz rangja k akkor H nem tartalmazhat k- darab lineárisan összefüggő vektort.. Ha egy vektorhalmaz rangja megegyezik az elemszámával akkor a vektorhalmaz lineárisan független.. Ha a H R n vektorhalmazra r(h = r akkor H-nak nem lehet r-nél kevesebb vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaza.. Ha egy vektorhalmaz rangja r akkor a vektorhalmazt egy vektorral bővítve a rang r+-re nő.. Ha egy vektorhalmaz generátorrendszer akkor az bázis is. 7. Ha LR n lineárisan független GR n generátorrendszer akkor G-ben legalább annyi vektor van mint L-ben. 8. Egy lineárisan független vektorhalmazt további vektorokkal bővítve a függetlenség megőrződik. 9. R n ben minden bázis generátorrendszer.. Ha a H R n vektorhalmaz generátorrendszer akkor H nem lehet lineárisan összefüggő.. R n -ben n darab lineárisan független vektor bázist alkot.. R n -ben létezik n-nél kevesebb vektorból álló lineárisan független vektorhalmaz.. R n -ben létezik n-nél kevesebb vektorból álló generátorrendszer.. R n -ben létezik n-nél több vektorból álló generátorrendszer.. Ha a H R n vektorhalmaz generátorrendszer és Hn akkor H lineárisan összefüggő.. Ha a H R n vektorhalmaz generátorrendszer és H = n akkor H bázis. 7. Ha a H R n vektorhalmaz lineárisan független és H = n akkor H generátorrendszer. 8. Lineárisan összefüggő vektorhalmaz részhalmaza is lineárisan összefüggő. 9. Ha egy R n beli generátorrendszer n vektorból áll akkor az bázis.. Minden lineárisan összefüggő vektorhalmaz tartalmazza a nullvektort.. R n ben minden bázis n vektorból áll.. Ha egy vektorhalmaz minimális generátorrendszer akkor az lineárisan független.. Ha egy vektorhalmaz minimális generátorrendszer akkor az lineárisan összefüggő. Leitold Adrien PE

50 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. R n ben minden bázis tartalmazza a nullvektort.. R n ben minden generátorrendszer legalább n vektorból áll.. R n -ben létezik olyan B bázis hogy valamely a R n vektorra ab és -ab. 7. Ha H R n lineárisan összefüggő és a R n \ H akkor H {a} is lineárisan összefüggő. 8. Legyen A={a ak} R n lineárisan összefüggő. Ekkor r(a < k. 9. Ha A={a ak} R n lineárisan független akkor k n.. Ha a H R n vektorhalmaz lineárisan összefüggő akkor van H-nak olyan részhalmaza amely bázis R n -ben.. Ha a H R n vektorhalmaz lineárisan összefüggő akkor van olyan R n -beli vektor amely többféleképpen áll elő H-beli vektorok lineáris kombinációjaként.. Van olyan R n -beli generátorrendszer amely nem tartalmaz bázist.. R n -ben nincs -dimenziós altér.. Ha dim(v=k akkor a V altér vektorai közül maimálisan k darab lineárisan független vektor választható ki.. R n minden altere tartalmazza a nullvektort.. Ha R n V V akkor dim(v+ dim(v = n. 7. Ha dim(v+dim(v=n akkor. R n = V V. 8. R és R altere R -nak. 9. Ha a V vektorhalmaz altér R n ben akkor V lineárisan független.. Ha a V vektorhalmaz altér R n ben akkor V lineárisan összefüggő.. Két R -beli vektor lineáris kombinációi mindig egy origón átmenő síkot határoznak meg.. Alterek metszete is altér.. Alterek uniója is altér. Leitold Adrien PE

51 Mátriok Leitold Adrien PE Mátriok. Minta feladat: Adjuk meg azt a A -es mátriot amelynek (ij-edik eleme: aij = i j! Írjuk fel a fenti mátri transzponáltját! Megoldás: Számoljuk ki a megadott összefüggést felhasználva a mátri elemeit! a= = a= = a= = a= =- a= = a= = a= = a= = a= =8 a= =7 a= = a= = Így az A mátri: 7 8 A A fenti mátri transzponáltját a sorok és oszlopok felcserélésével kapjuk: 7 8 T A. Minta feladat: Legyen A B. a Írjuk fel a fenti mátriok transzponáltjait! b Határozzuk meg az A+B AB A T -B T A+B A T B T mátriokat! Megoldás: a A transzponált mátriok: T A T B. b A mátriösszeadás definíciója szerint az azonos méretű mátriokat elemenként adjuk össze míg egy mátri skalárszorosát úgy kapjuk meg hogy minden mátrielemet az adott skalárral megszorzunk. Így: B A

52 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE B A 8 T T B A 9 8 B A T A T B. Minta feladat: Legyen A B C D. a Adjuk meg a fenti mátriok méretét (típusát! b Írjuk fel a fenti mátriok transzponáltját! c Melyik létezik az alábbi mátriszorzatok közül? Amelyik létezik azt számítsuk ki! AB BA BC CD C T D CC CC T C T C A A Megoldás: a Az A mátri -es a B mátri -as a C mátri -es a D mátri -es. b A transzponált mátriok: T A T B T C T D c Két mátri összeszorozhatóságának feltétele hogy az első mátri oszlopainak a száma egyezzen meg a második mátri sorainak a számával. Ez a fenti mátri - szorzatok közül a BA CD és CC szorzatok esetén nem teljesül így ezek a mátriszorzatok nem léteznek. Ha az összeszorozhatóság feltétele teljesül a szorzatmátri (ij-edik elemét ún. sor-oszlop szorzással számoljuk azaz az első mátri i-edik sorát és a második mátri j-edik oszlopát felhasználva a megfelelő elemeket rendre összeszorozzuk és a szorzatokat összeadjuk. (Számoláskor hasznos az ún. Falk-féle elrendezést használni.

53 Mátriok Leitold Adrien PE Ennek megfelelően: 9 B A 7 C B 8 9 D C T 8 8 T C C C C T 8 A A A 8 A A A A.. Minta feladat: Legyenek A B C. Melyik létezik az alábbi szorzatok közül? Amelyik létezik azt számítsuk ki! BA T C T C T AB T C T AB Megoldás: Először is megjegyezzük hogy a mátriszorzás asszociatív művelet azaz a többtényezős szorzatok tetszés szerint zárójelezhetőek illetve a zárójelek el is hagyhatóak. A BA T C T szorzatban a B mátri -es az A T mátri -es ezért a BA T szorzás nem végezhető el (első mátri oszlopainak száma nem egyenlő a második mátri sorainak számával. Így a BA T C T szorzat sem létezik.

54 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak A C T AB T szorzatban a C T mátri -es az A mátri -as ezért a C T A szorzás elvégezhető és a szorzatmátri -as mátri lesz. Ez a mátri viszont nem szorozható meg jobbról a B T -as mátriszal így a C T AB T szorzat sem létezik. A C T AB szorzatot vizsgálva láttuk hogy a C T A szorzás elvégezhető és -as mátriot eredményez. Ez megszorozható jobbról a B -es mátriszal és eredményül -es mátriot kapunk. A számolást elvégezve: C T C T A A B. Minta feladat: Megoldás: Tekintsük az A mátriot! Határozzuk meg az A mátri rangját! Bármely mátrira az oszloprang azaz az oszlopvektorok alkotta vektorhalmaz rangja megegyezik a sorranggal azaz a sorvektorok halmazának rangjával. Ezt a közös értéket hívjuk röviden a mátri rangjának. Jelölje a a a a az A mátri oszlopvektorait. Bázistranszformációval határozzuk meg az A mátri oszloprangját. Az induló táblázat: bázis a a a a e e e Az a vektort bevonva a bázisba az e helyére a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a a e - - e Hajtsuk végre ezután az a e vektorcserét: bázis a a a a a a - - e 9 Leitold Adrien PE

55 Mátriok Leitold Adrien PE Végül az a e vektorcsere után a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a a. a - a. Mivel az A mátri oszlopvektorai közül hármat lehetett a bázisba bevonni így az A mátri rangja: r(a =. Gyakorló feladatok:. Adja meg azt a -as mátriot amelynek (ij-edik eleme: aij = i+ j!. Adja meg azt a -as mátriot amelynek (ij-edik eleme: aij = i+ j ha i j aij = ha i j.. Legyen A B. Határozza meg az A+B AB A -B A+B mátriokat!. Legyen A B. Melyik létezik az AB és a BA szorzatok közül? Amelyik létezik azt számítsa ki!. Legyen A B 7 C. Mutassa meg hogy (ABC=A(BC!. Legyen A B C. Mutassa meg hogy a fenti mátriokra: AB=BA= AC=A CA=C.

56 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE 7. Legyen A B. C. Ellenőrizze az A(B+C=AB+AC disztributív tulajdonságot! 8. Legyenek A és B nn-es mátriok. Igazolja hogy általában (A+B(AB AABB (A+B( A+B AA+AB+BB Adja meg mindkét esetben az egyenlőség teljesüléséhez szükséges feltételt! 9. Legyen A. B C D E F. Melyik létezik az alábbi mátriok közül? Amelyik létezik azt számítsa ki! AC C+D C+D T B+E AB AC AD EB BE B E AE EA CF DC CD DE.. Legyen A 8 B 7 C D E F. Melyik létezik az alábbi mátriok közül? Amelyik létezik azt számítsa ki! A+B C+B C+D E+F E+F T A F BC BC T B T C BA AB BD BE AD DE EE EF FE.. Megválaszthatóak-e az a és b valós paraméterek úgy hogy AA=A teljesüljön ha b a A b a A.

57 Mátriok 7 Leitold Adrien PE 8 A B C. D 7 7 E F Határozza meg a fenti mátriok rangját!. Mutassa meg hogy általában r(ab r(ba! Útmutatás: -es mátriokkal próbálkozzon!. Minta feladat: Legyen A és / / / / B. Mutassuk meg hogy az A és B mátriok egymás inverzei! Megoldás: Elég megmutatni hogy az AB illetve BA szorzat egységmátriot ad eredményül: / / / / A B / / / / B A bbá tová. Minta feladat: Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozzuk meg az inverzét! Megoldás: Egy nn-es mátri pontosan akkor invertálható ha teljes rangú azaz oszlopvektorai bázist alkotnak az R n vektortérben. Továbbá az inverz mátri a kanonikus bázis vektorainak az A mátri oszlopvektoraira mint bázisra vonatkozó koordinátáiból épül fel. Ennek megfelelően az inverz mátri bázistranszformációval történő számolása a. ábrán látható séma szerint történhet.

58 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. ábra: Mátri inverzének meghatározása bázistranszformációval Ennek megfelelően az induló táblázat: bázis a a a e e e e e e A bázistranszformáció során az A mátri oszlopvektorait igyekezünk a bázisba bevonni. Mátriinvertálásnál a bázisba bekerülő a vektorok oszlopát a következő táblázatból elhagyhatjuk. Vonjuk be az a vektort a bázisba az e helyére: bázis a a e e e a e - e - Hajtsuk végre ezután az a e vektorcserét: bázis a e e e a - - a - e - Végül vonjuk be az a vektort az e helyére. Megjegyezzük hogy itt már látszik hogy az A mátri rangja azaz teljes rangú így invertálható. bázis e e e a. -. a a -.. A kapott táblázat alapján felírható az A mátri inverze. Az inverzmátri felírásánál arra kell figyelnünk hogy a kanonikus bázis vektorainak az a a és a vektorokra Leitold Adrien PE

59 Mátriok 9 vonatkozó koordinátáit a megfelelő sorrendben kell az inverzmátri oszlopaiba beírni azaz a bázistranszformációs táblázat sorait kell a megfelelő módon rendezni: A Megjegyezzük hogy a számolás helyességéről meggyőződhetünk az AA - = E egyenlőség ellenőrzésével. 7. Minta feladat: mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval hatá- Invertálható-e az A rozzuk meg az inverzét! 7 Megoldás: Az előző minta példához hasonlóan az induló táblázat: bázis a a a e e e e e 7 e Vonjuk be először az a vektort a bázisba az e helyére: bázis a a e e e a e - e - Az a vektort az e helyére vonva a következő táblázatot kapjuk: bázis a e e e a a -/ / e -/ -/ Látható hogy az a vektort már nem tudjuk a bázisba bevonni az e vektor helyére. Tehát az A mátri rangja azaz nem teljes rangú így nem invertálható. Leitold Adrien PE

60 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE Gyakorló feladatok:. Legyen A és / / B. Mutassa meg hogy az A és B mátriok egymás inverzei!. Legyen A és 8 / 8 / 8 / / b a B. Megválaszthatóak-e az a és b valós paraméterek úgy hogy A és B egymás inverzei legyenek?. Legyen A B C 7 D F G 7 H. Invertálhatóak-e a fenti mátriok? Ha igen akkor bázistranszformáció alkalmazásával határozza meg az inverzüket! 7. Legyen / / / / A. Mutassa meg hogy A =E! Ezt felhasználva keresse meg az A - inverzmátriot! 8. Legyen A és 8 7 b b a B ahol a és b valós számok. a Mutassa meg hogy a és b megválaszthatóak úgy hogy az A és B mátriok egymás inverzei legyenek! b Határozza meg azt az X mátriot amelyre teljesül a DX= X+C egyenlet ahol D és C. Útmutatás: használja fel az a pont eredményét! 8. Minta feladat: Tekintsük a következő mátriokat!

61 Mátriok Leitold Adrien PE A 7 B C D E F. Határozzuk meg a fenti mátriok determinánsát! Milyen egyéb mátritulajdonságokra következtethetünk a determináns értékéből? Megoldás: Az -es mátriok determinánsa egyenlő egyetlen elemükkel így det(a = és det(b = -7. A -es mátriok determinánsát a főátlóbeli elemek szorzatának és a mellékátlóbeli elemek szorzatának különbségeként kapjuk: det(c = = det(d = (- (- =. Az E és F mátri determinánsa az első sor szerint kifejtve: - - ( ( ( det( det( det( det( E ( ( ( det( det( (- det( det( 8 F det(a tehát az A mátri nemszinguláris így r(a = (teljes rangú invertálható oszlop- ill. sorvektora lineárisan független. det(b tehát a B mátri nemszinguláris így r(b = (teljes rangú invertálható oszlop- ill. sorvektora lineárisan független. det(c tehát a C mátri nemszinguláris így r(c = (teljes rangú invertálható oszlop- ill. sorvektorai lineárisan függetlenek. det(d = tehát a D mátri szinguláris így r(d < (nem teljes rangú nem invertálható oszlop- ill. sorvektorai lineárisan összefüggőek. det(e tehát az E mátri nemszinguláris így r(e = (teljes rangú invertálható oszlop- ill. sorvektorai lineárisan függetlenek. det(f = tehát az F mátri szinguláris így r(f < (nem teljes rangú nem invertálható oszlop- ill. sorvektorai lineárisan összefüggőek. 9. Minta feladat: Tekintsük a következő mátriot: A. Határozzuk meg az A mátri determinánsát a az első sor szerint kifejtve b a második sor szerint kifejtve c a második oszlop szerint kifejtve.

62 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE Megoldás: a Az első sor szerint kifejtve a determinánst: ( ( ( det( det( ( det( det( A b A második sor szerinti kifejtés: ( ( ( det( det( det( det( A c A második oszlop szerint kifejtve: ( det( det( det( ( det( A A fenti példából látható hogy ha a mátri elemei között vannak nullák akkor a deter - mináns számolásakor érdemes olyan sort vagy oszlopot választani a kifejtésre amiben minél több nulla található.. Minta feladat: Tekintsük a következő mátriokat: 8 A B 7 C 7 7 D 9 7 E F. Határozzuk meg minél egyszerűbben a determináns tulajdonságaira vonatkozó állítások felhasználásával a fenti mátriok determinánsát! Megoldás: Az A mátri felsőháromszög-mátri így determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata: det( 8. A A B mátrinál cseréljük fel a második és a harmadik oszlopot ennek során a determináns előjelet vált. Az oszlopcsere után diagonális mátriot kapunk amelynek determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata:

63 Mátriok Leitold Adrien PE ( ( ( - det( ( det(b A C mátrinak van két azonos sora így det(. C A D mátrinál használjuk ki hogy a determináns számolásánál egy adott sorból vagy oszlopból konstanst ki lehet emelni. Emeljünk ki az első oszlop elemeiből -t! Az így kapott mátrinak két azonos oszlopa van tehát a determinánsa nulla: 7 7 det( det( D Az E mátriot a determináns kifejtése előtt alakítsuk át úgy hogy a determinánsa ne változzon meg de valamelyik sorában vagy oszlopában minél több nulla jöjjön létre. Ezt elemi sor- vagy oszlop átalakításokkal tudjuk elérni. Egy lehetséges átalakítás: Elemi sorátalakításokkal hozzunk létre olyan mátriot amelynek második oszlopában az alábbi elemek találhatóak:. Ehhez a harmadik és negyedik soron kell elemi sorátalakítást végrehajtani. (Egy adott sorhoz hozzáadhatjuk egy másik sor konstansszorosát ez az átalakítás nem változtatja meg a determináns értékét. Először a harmadik sor elemeiből vonjuk ki az első sor elemeinek kétszeresét majd második lépésként az átalakított mátri negyedik sorához adjuk ho zzá az első sort: det( det( det( det( 9 7 E Mivel az átalakítások után kapott mátrinak van két azonos sora így annak determinánsa és így az E mátri determinánsa is nulla:. E det( Az F mátri esetén is alkalmazzunk először elemi átalakításokat. Egy lehetséges átalakítás: Elemi oszlop átalakításokkal érjük el hogy az első sorba kerülő elemek le - gyenek. Ehhez első lépésként a harmadik oszlop elemeiből vonjuk ki az első oszlo p elemeinek kétszeresét. Második lépésként az átalakított mátri negyedik oszlopából vonjuk ki az első oszlopot:

64 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE det( det( det( det( F Az átalakított mátri determinánsát az első sor szerint fejtsük ki majd az adódó részmátri determinánsát a harmadik sora szerint kifejtve számoljuk: F. (- (- ( - det( det( det( det(. Minta feladat: Tekintsük a következő mátriot: 7 c A. Állapítsuk meg hogy milyen cr paraméter esetén lesz az A mátri a nem invertálható; b invertálható! Megoldás: Tudjuk hogy egy négyzetes mátri pontosan akkor nem invertálható ha determinánsa nulla és pontosan akkor invertálható ha determinánsa nem nulla. Így először határozzuk meg az A mátri determinánsát a c paraméter függvényében! A determinánst a harmadik oszlop szerint kifejtve: 7 c c c c A ( 7 ( det( 7 det( det( det( Így az A mátri pontosan akkor nem invertálható ha det( azaz. A c c Továbbá az A mátri pontosan akkor invertálható ha det( azaz. A c c. Minta feladat: Tekintsük a következő mátriokat: A B. a Határozzuk meg a fenti mátriok adjungált mátriát! b Invertálhatóak-e a fenti mátriok? Ha igen akkor az adjungált mátri felhasználásával adjuk meg az inverzmátriot!

65 Mátriok Leitold Adrien PE Megoldás: a A -es A mátri adjungált mátriát megkapjuk ha a főátlóbeli elemeket megcseréljük és a mellékátlóban lévő elemeket szorozzuk --gyel:. A adj( A B mátri esetén használjuk az adjungált mátri definícióját: annak (j i-edik eleme (- i+j det(bij ahol Bij a B mátri (ij-edik eleméhez tartozó részmátri determinánsa. Az adjungált mátriot célszerű több lépésben előállítani. Határozzuk meg először azt a B mátriot amelynek (i j-edik eleme det(bij majd transzponáljuk ezt a mátriot. Végül a sakktáblaszabálynak megfelelően min den mátrielemet szorozzunk meg (- i+j -vel :. adj( det( det( det( det( det( det( det( det( det( B ' B b A mátriok invertálhatóságát a determináns értéke alapján vizsgáljuk:. (- det( det( A Mivel a determináns értéke nem nulla így az A mátri invertálható. Inverze az adjungált mátri segítségével számolható:. A A A adj( det( A B mátri determinánsát fejtsük ki az első sor szerint:. ( ( det( det( B Mivel a determináns értéke nem nulla így a B mátri invertálható. Inverze az adjungált mátri segítségével számolható:. B B B adj( det(

66 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE. Minta feladat: Legyenek a = (- és b = ( - R -beli vektorok. Határozzuk meg az a b vektoriális szorzatot! Megoldás: Az a b vektoriális szorzat az alábbi determináns formális (első sor szerinti kifejtésével kapható meg: k j k j k j k j i b b b a a a k j i b a i ( (-8 ( i - - det( - det( - det( i det( det( Így a b = (. Gyakorló feladatok: 9. Számítsa ki az alábbi mátriok determinánsát! Milyen egyéb mátritulajdonságokra következtethetünk a determináns értékéből? A B C D E 8 F G H I 9 J 7 K 7 L.. Legyen A. A determináns kifejtése nélkül igazolja hogy det(a=!

67 Mátriok 7 Leitold Adrien PE Legyen c A c c B c C. Milyen legyen a c valós paraméter értéke hogy a fenti mátriok invertálhatóak legyenek?. Legyen c A 7 c B c c C. Milyen legyen a c valós paraméter értéke hogy a fenti mátriok ne legyenek invertálhatóak?. A 9 B C D F G H 8 8 I J a Határozza meg a fenti mátriok adjungált mátriát! b Invertálhatóak-e a fenti mátriok? Ha igen akkor az adjungált mátri felhasználásával adja meg az inverzmátriot!. Legyenek a = ( - b = ( c = ( - d = (- -. A determináns alkalmazásával határozza meg az a b b a a c a d c d vektoriális szorzatokat! Elméleti kérdések Döntse el az alábbi állításokról hogy igazak vagy hamisak!. Ha egy mátri és a transzponáltja összeadható akkor a mátri négyzetes.. Ha az A és B mátriok összeszorozhatóak akkor a B és az A is összeszorozhatóak.. Ha az A és B mátriok összeadhatóak akkor az A és B T mátriok összeszorozhatóak.. Az nn-es mátriok körében a szorzás nem kommutatív.. Ha az A és B mátriokra létezik az AB és a BA mátri akkor A és B négyzetes mátri.. Ha az A mátri speciálisan egy sorvektor akkor az AB szorzat eredménye (ha létezik szintén sorvektor. 7. Ha a B mátri speciálisan egy oszlopvektor akkor az AB szorzat eredménye (ha létezik szintén oszlopvektor.

68 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak 8. Ha az AB szorzat létezik akkor A T B T is létezik és a két szorzat egyenlő. 9. Ha az AB szorzat létezik akkor az A T B T szorzat is létezik.. Ha az AB szorzat létezik akkor a B T A T szorzat is létezik.. Ha A egy n-es mátri akkor AA T és A T A is létezik.. Ha A n-es mátri akkor AA T és A T A is létezik.. Vannak olyan A és B -es nem nulla mátriok hogy AB =.. Ha az A mátri rangja akkor minden eleme.. Ha A invertálható mátri akkor A négyzetes.. Minden négyzetes mátri invertálható. 7. Ha egy mátri invertálható akkor a rangja megegyezik a sorainak a számával. 8. Ha A=A T akkor az A mátri invertálható. 9. Ha az A mátri invertálható akkor az A - mátri is invertálható.. (A - - = A.. Ha az A és B négyzetes mátriok invertálhatóak akkor A+B is invertálható.. Ha az A és B azonos méretű négyzetes mátriok invertálhatóak akkor AB is invertálható.. det(a+b=det(a+det(b. det(a=det(a. det(a = det(a T.. det(a = det(a A determináns értéke --szeresére változik ha a mátriban felcserélünk két sort. 8. Ha A invertálható akkor det(adet(a - =. 9. Ha A invertálható akkor det(a+det(a - =.. A determináns értéke nem változik ha a mátriban valamelyik oszlopot megszorozzuk egy skalárral majd ehhez hozzáadjuk egy másik oszlopot.. A determináns értéke nem változik ha valamelyik oszlophoz hozzáadjuk egy másik oszlop skalárszorosát.. A determináns értéke nem változik ha a mátriban felcserélünk két oszlopot.. Ha egy mátri determinánsa egyenlő a főátlóbeli elemek szorzatával akkor a mátri diagonális.. Ha egy mátri felsőháromszög mátri akkor determinánsa egyenlő a főátlóbeli elemek szorzatával.. Ha egy négyzetes mátri nem teljes rangú akkor a determinánsa negatív.. Ha egy négyzetes mátri teljes rangú akkor a determinánsa pozitív. 7. Vannak olyan A és B nn-es mátriok hogy det(a = és det(ab. Leitold Adrien PE

69 Lineáris egyenletrendszerek 9 Lineáris egyenletrendszerek. Minta feladat: Oldjuk meg bázistranszformáció alkalmazásával az alábbi lineáris egyenletrendszereket! Adja meg az egyenletrendszerek homogén párjának a megoldáshalmazát is! a 7 b 8 c d 7 Megoldás: a Írjuk fel az egyenletrendszerhez tartozó induló bázistranszformációs táblázatot amelyben feltüntetjük az egyenletrendszer együtthatómátriának oszlopvektorait és a jobboldalon álló konstansokból felépülő b vektort: bázis a a a a b e - e 7 e - Leitold Adrien PE

70 7 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak A bázistranszformáció során vonjunk be a bázisba az a vektorok közül annyit amennyit csak lehet azaz határozzuk meg az együtthatómátri rangját. Az a e vektorcsere után a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a b a - e e - Vonjuk be ezután az a vektort az e helyére: bázis a a a a b a e a - További a vektort nem lehet a bázisba bevonni így az együtthatómátri rangja: r(a =. A táblázatból az is látható hogy nemcsak további a vektort nem lehet a bázisba bevonni hanem a b vektort sem lehet az e helyére bevonni így a kibővített mátri rangja: r(ab =. Mivel az együtthatómátri és a kibővített mátri rangja megegyezik így teljesül a megoldhatóság szükséges és elégséges feltétele azaz az egyenletrendszer megoldható. Alkalmazzuk a megoldó képletet! d D B Itt B a kötött ismeretlenek vektora R pedig a szabad ismeretlenek vektora. A kötött ismeretlenek a végső bázistranszformációs táblázat alapján a bázisba bevont a vektorokhoz tartozó ismeretlenek míg a szabad ismeretlenek a bázisba nem bevont a vektorokhoz tartozó ismeretlenek: B R R A d vektor a b vektornak a bázisba bevont a és a vektorokra vonatkozó koordinátáit tartalmazza míg a D mátri a bázisba nem bevont a és a vektoroknak a bázisba bevont a és a vektorokra vonatkozó koordinátáiból épül fel: d D Így: azaz: = Leitold Adrien PE

71 Lineáris egyenletrendszerek 7. Tehát az egyenletrendszer megoldáshalmaza: M R R Az egyenletrendszer homogén párja: 7 A bázistranszformációs megoldás során az eredeti egyenletrendszerhez képest annyi a változás hogy a b vektort nullvektorral cseréljük ki amelynek a koordinátái minden bázison nullák. Így ebben az esetben a végső táblázat: bázis a a a a o a e a - A megoldó képletbe való helyettesítésnél csak a d vektor változik ami most a o vektornak a bázisba bevont a és a vektorokra vonatkozó koordinátáit tartalmazza: d. Így: = azaz:. Tehát a homogén egyenletrendszer megoldáshalmaza: M R R b Írjuk fel az egyenletrendszerhez tartozó induló bázistranszformációs táblázatot amelyben feltüntetjük az egyenletrendszer együtthatómátriának oszlopvektorait és a jobboldalon álló konstansokból felépülő b vektort: Leitold Adrien PE

72 7 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak bázis a a a b e - e e - e 8 Vonjuk be a bázisba az a vektort az e helyére: bázis a a a b a - e - e - e 8 - Hajtsuk végre az a e vektorcserét: bázis a a a b a a - e e További a vektort nem lehet bevonni a bázisba. A táblázatból látható hogy az egyenletrendszer együtthatómátriának és a kibővített mátrinak a rangja megegyezik: r(a = r(ab = így az egyenletrendszer megoldható. Alkalmazzuk a megoldó képletet! d D B Itt B a kötött ismeretlenek vektora R pedig a szabad ismeretlenek vektora. A kötött ismeretlenek a végső bázistranszformációs táblázat alapján a bázisba bevont a vektorokhoz tartozó ismeretlenek míg a szabad ismeretlenek a bázisba nem bevont a vektorokhoz tartozó ismeretlen: B A d vektor a b vektornak a bázisba bevont a és a vektorokra vonatkozó koordinátáit tartalmazza míg a D mátri a bázisba nem bevont a vektornak a bázisba bevont a és a vektorokra vonatkozó koordinátáiból épül fel: R R d D Leitold Adrien PE

73 Lineáris egyenletrendszerek 7 Így: azaz: =. Tehát az egyenletrendszer megoldáshalmaza: M R R Az egyenletrendszer homogén párja: 8 A bázistranszformációs megoldás során az eredeti egyenletrendszerhez képest annyi a változás hogy a b vektort nullvektorral cseréljük ki amelynek a koordinátái minden bázison nullák. Így ebben az esetben a végső táblázat: bázis a a a b a a e e A megoldó képletbe való helyettesítésnél csak a d vektor változik ami most a o vektornak a bázisba bevont a és a vektorokra vonatkozó koordinátáit tartalmazza: d. Így: = azaz:. Tehát a homogén egyenletrendszer megoldáshalmaza: M R R c Írjuk fel az egyenletrendszerhez tartozó induló bázistranszformációs táblázatot: Leitold Adrien PE

74 7 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak bázis a a a b e - e e - Vonjuk be az a vektort a bázisba az e helyére: bázis a a a b e - - a e - Hajtsuk végre ezután az a e vektorcserét: bázis a a a b a - - a e - - Végül vonjuk be az a vektort az e helyére: bázis a a a b a a a A táblázatból látható hogy az egyenletrendszer mátriának és a kibővített mát - rinak a rangja megegyezik: r(a = r(ab = így az egyenletrendszer megoldható. Mivel az összes a vektor bekerült a bázisba így az összes ismeretlen kötött. Nincs szabad ismeretlen így a megoldó képlet az alábbi formára zsugorodik: d B A végső táblázat alapján figyelembe véve a bázisban lévő vektorok sorrendjét: B míg a d vektor a b vektor a vektorokra vonatkozó koordinátáit tartalmazza: d Leitold Adrien PE

75 Lineáris egyenletrendszerek 7 így: = Az egyenletrendszernek egyértelmű megoldása (egy megoldásvektora van: M Az egyenletrendszer homogén párja: Ha az inhomogén egyenletrendszer egyértelműen megoldható akkor a homogén párjának csak triviális megoldása van: M. d Az egyenletrendszerhez tartozó induló táblázat: bázis a a a a b e - e 7 e - Az a e vektorcsere után a következő táblázatot kapjuk: bázis a a a a b a - e e - Vonjuk be ezután az a vektort az e helyére: bázis a a a a b a - e a - További a vektort nem lehet a bázisba bevonni ugyanakkor látható hogy a b vektort még be lehetne vonni a bázisba az e helyére. Így r(a = és r(ab =. Mivel r(a r(ab így az egyenletrendszer nem oldható meg. Az egyenletrendszer homogén párja megegyezik az a részben felírt homogén egyenletrendszerrel amit már megoldottunk. Leitold Adrien PE

76 7 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE Gyakorló feladatok:. Oldja meg bázistranszformáció alkalmazásával az alábbi lineáris egyenletrendszereket! a b c d e f g

77 Lineáris egyenletrendszerek 77. Legyen A=[a a a] egy mátri br. Tekintsük az A = b lineáris egyenletrendszert. Az egyenletrendszer megoldása során bázistranszformációval az alábbi táblázatot nyertük. Megoldható-e az A = b egyenletrendszer? Ha igen akkor írja fel a megoldáshalmazt! Adja meg az A = o homogén egyenletrendszer megoldáshalmazát! a bázis a a a a a b e a - e a b c bázis a a a a a b a - e e a - bázis a a a a a b e a - e e d bázis a a a a a b a - a a a Leitold Adrien PE

78 78 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Legyen A=[a a a a] egy mátri b b R. Tekintsük az A = b és az A = b lineáris egyenletrendszereket. Az egyenletrendszerek megoldása során bázistranszformációval az alábbi táblázatot nyertük. Megoldható-e az A = b és az A = b egyenletrendszer? Ha igen akkor írja fel a megoldáshalmazokat! Adja meg az A = o homogén egyenletrendszer megoldáshalmazát! a bázis a a b b a - e a - e b c d bázis a a a b b e a - e e bázis a b b a - - e a a bázis b b a - a a - a Leitold Adrien PE

79 Lineáris egyenletrendszerek 79. Legyen A=[a a a a] egy mátri b R. Az alábbi táblázatot ismerjük: bázis a a a a b a e a a - A táblázat hiányzó helyeire válasszon számértékeket úgy hogy. Minta feladat: az A = b lineáris egyenletrendszernek ne legyen megoldása; az A = b lineáris egyenletrendszernek pontosan egy megoldásvektora legyen; az A = b lineáris egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektora legyen! Az utóbbi két esetben adja meg az egyenletrendszer megoldáshalmazát! Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket a Cramer szabály segítségével! a b c Megoldás: a Határozzuk meg először az egyenletrendszer együtthatómátriának determinánsát! D det( A det( ( - ( Leitold Adrien PE

80 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Mivel az együtthatómátri determinánsa nem nulla így az egyenletrendszer egyértelműen megoldható és a megoldásvektor a Cramer szabállyal megkapható. Cseréljük ki az egyenletrendszer jobboldalán álló konstansok b vektorával az együtthatómátri egyes oszlopvektorait és határozzuk meg az így előálló mátriok determinánsát! D det( ( - ( D det( ( D Ezután az ismeretlenek értéke: det( ( ( - ( D D D D D D Így az egyenletrendszer megoldáshalmaza: M. b Határozzuk meg először az egyenletrendszer együtthatómátriának determinánsát! D det( A det( ( ( Mivel az együtthatómátri determinánsa nulla így az egyenletrendszernek vagy végtelen sok megoldása van vagy nincsen megoldása. Cseréljük ki az egyenletrendszer jobboldalán álló konstansok b vektorával az együtthatómátri egyes oszlopvektorait és határozzuk meg az így előálló mátriok determinánsát! D det( ( ( Leitold Adrien PE

81 Lineáris egyenletrendszerek 8 D det( ( D det( ( ( Mivel D D D D így a Cramer szabállyal nem lehet eldönteni hogy megoldható-e az egyenletrendszer illetve ha megoldható nem lehet a megoldásvektorokat előállítani. Megjegyezzük hogy a bázistranszformációs megoldási módszerrel megmutatható hogy ennek az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van és megadható a megoldásvektorok jellemzése. c Határozzuk meg először az egyenletrendszer együtthatómátriának determinánsát!. Minta feladat: D det( A det( ( - ( - Mivel az együtthatómátri determinánsa nulla így az egyenletrendszernek vagy végtelen sok megoldása van vagy nincsen megoldása. Cseréljük ki az egyenletrendszer jobboldalán álló konstansok b vektorával az együtthatómátri egyes oszlopvektorait és határozzuk meg az így előálló mátriok determinánsát! D det( ( - - ( - Mivel D = és D így a többi determinánst már nem kell kiszámolnunk a Cramer szabály következményeként megállapítható hogy az egyenletrendszer nem oldható meg. Tekintsük az alábbi homogén lineáris egyenletrendszert! c Leitold Adrien PE

82 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE Hogyan kell megválasztani a cr paraméter értékét hogy a fenti egyenletrendszernek a csak triviális megoldása legyen; b legyen triviálistól különböző megoldása is? Megoldás: Mivel az egyenletrendszer együtthatómátria négyzetes annak determinánsa alapján következtethetünk a megoldásvektorok számára. Határozzuk meg tehát először az együtthatómátri determinánsát a c paraméter függvényében! c c A D ( ( c det( det( a A fenti egyenletrendszernek pontosan akkor van csak triviális megoldása ha D azaz c/. b A fenti egyenletrendszernek pontosan akkor létezik triviálistól különböző megoldása is ha D = azaz c = /. Megjegyezzük hogy ebben az esetben az egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektora van a megoldáshalmazt a bázis - transzformációs megoldási módszer segítségével lehet felírni. Gyakorló feladatok:. Oldja meg Cramer szabállyal az alábbi lineáris egyenletrendszereket! a b c d z y z y z y 8 z y z y z y z y z y z y z y z y z y

83 Lineáris egyenletrendszerek 8 Leitold Adrien PE Hogyan kell megválasztani a c paraméter értékét hogy az alábbi egyenletrendszernek csak triviális megoldása legyen? a b 7. Hogyan kell megválasztani a c paraméter értékét hogy az alábbi egyenletrendszernek legyen a triviálistól különböző megoldása? A c paraméter ilyen értéke mellett oldja meg az egyenletrendszert! a b 8. Melyik tanult módszert lehet alkalmazni az alábbi lineáris egyenletrendszer megoldására? Amelyik módszer használható azzal oldja meg az egyenletrendszert! a b c z c y z y c z y z c y y z y z c y z y z y c z y z c y z y

84 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE d e f g Elméleti kérdések Döntse el az alábbi állításokról hogy igazak vagy hamisak!. Ha az A=o lineáris egyenletrendszer megoldható akkor az inhomogén párja is megoldható.. Egy homogén lineáris egyenletrendszer mindig megoldható.. Egy homogén lineáris egyenletrendszernek csak triviális megoldása van.. Egy homogén lineáris egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.. Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer mátriának a rangja megegyezik az ismeretlenek számával akkor létezik a triviálistól különböző megoldása.. Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer mátriának a rangja kisebb az ismeretlenek számánál akkor létezik a triviálistól különböző megoldása. 7. Ha a homogén lineáris egyenletrendszer együtthatómátriának rangja kisebb mint az ismeretlenek száma akkor az egyenletrendszer nem oldható meg. 8. Egy homogén lineáris egyenletrendszer bármely véges számú megoldásának a lineáris kombinációi is megoldások. 9. Minden lineáris egyenletrendszernek van triviális megoldása.

85 Lineáris egyenletrendszerek 8. Ha az együtthatómátri rangja kisebb mint az ismeretlenek száma akkor az egyenletrendszer nem oldható meg.. Van olyan egyenletből álló ismeretlenes lineáris egyenletrendszer amelynek pontosan egy megoldásvektora van.. Ha az együtthatómátri rangja kisebb mint az ismeretlenek száma akkor az A=o egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektora van.. Ha egy inhomogén egyenletrendszer egyértelműen megoldható akkor a homogén párjának csak triviális megoldása van.. Ha egy lineáris egyenletrendszernek pontosan egy megoldásvektora van akkor a mátriának a rangja megegyezik az ismeretlenek számával.. Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer egyértelműen megoldható akkor az inhomogén párjának is mindig egy megoldásvektora van.. Ha egy inhomogén egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektora van akkor a homogén párjának is végtelen sok megoldásvektora van. 7. Ha az A mátri nn-es akkor az A=b egyenletrendszernek n különböző megoldásvektora van. 8. Ha A nn-es mátri akkor az A=o egyenletrendszernek n db különböző megoldása van. 9. Homogén-inhomogén egyenletrendszerpár esetén a homogén egyenletrendszer egy megoldásvektorához hozzáadva az inhomogén egyenletrendszer egy megoldásvektorát egy inhomogén megoldásvektort kapunk.. A Cramer szabállyal bármely n egyenletből álló n ismeretlenes homogén lineáris egyenlet-rendszer megoldható.. Ha det(a = akkor az A=o lineáris egyenletrendszer nem oldható meg.. Ha az A=o lineáris egyenletrendszer megoldható akkor det(a =.. Ha det(a = akkor az A=o lineáris egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektora van.. Ha egy homogén lineáris egyenletrendszer együtthatómátriának a determinánsa akkor az egyenletrendszernek van triviálistól különböző megoldása.. Ha det(a = akkor az A=b lineáris egyenletrendszernek végtelen sok megoldásvektora van.. Ha det(a akkor az A=o lineáris egyenletrendszernek csak triviális megoldása van. Leitold Adrien PE

86 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Lineáris leképezések. Minta feladat: Adjuk meg azt a leképezést amely egy R -beli vektorhoz hozzárendeli annak -y koordináta-síkra vonatkozó merőleges vetületét! Igazoljuk hogy a fenti leképezés lineáris! Adjuk meg a leképezés magterét képterét és mátriát! Megoldás: Ha egy térbeli koordináta-rendszerben egy helyvektort az -y koordinátasíkra merőlegesen vetítünk a vetítés során a vektor első két koordinátája nem változik míg a harmadik koordináta nulla lesz. Így a vetítést megvalósító leképezés: A R R : ( ( Annak igazolására hogy a fenti leképezés lineáris be kell látni hogy additív és homogén. Legyenek = ( és y = (y y y tetszőleges térbeli vektorok pedig tetszőleges valós szám. Ekkor: A y A y y y y y továbbá A A y ( ( y y y y. Így A y A A y azaz a leképezés additív. Hasonlóan: A A továbbá A (. Így A A azaz a leképezés homogén. Tehát A lineáris leképezés. Az A leképezés magterének felírásához azokat a térbeli vektorokat kell megkeresnünk amelyekhez az A leképezés nullvektort rendel. Az -y koordinátasíkra történő merőleges vetítés során a z tengelyre eső helyvektorok merőleges vetülete lesz nullvektor így az A leképezés magtere: A R ker Az A leképezés képterébe az -y koordinátasíkra eső vetületvektorok tartoznak. Minden az -y koordinátasíkra eső helyvektor előállhat va lamely térbeli vektor vetületeként így a képtér: Leitold Adrien PE

87 Lineáris leképezések 87 im A R Az A leképezés mátria az a -as mátri lesz amelynek oszlopvektorai az A(e = ( A(e = ( és A(e = ( vektorok így: M. Minta feladat: Tekintsük az alábbi lineáris leképezést: A: R R ( (. a Adjuk meg az A lineáris leképezés mátriát! b Határozzuk meg az = ( - vektorhoz rendelt képvektort a hozzárendelési szabály segítségével; a leképezés mátriának segítségével! c Határozzuk meg az A lineáris leképezés rangját! d Adjuk meg az A lineáris leképezés magterét! Injektív-e az A lineáris leképezés? Megoldás: A. a Az A lineáris leképezés mátriának oszlopvektorai az R vektortér kanonikus bázisának vektoraihoz rendelt képvektorok: A(e = A(( = ( A(e = A(( = ( A(e = A(( = (. Így: M A. b Az = ( - vektorhoz rendelt képvektor a hozzárendelési szabály szerint ( + (- + + = ( azaz A( = (. Az = ( - vektorhoz rendelt képvektort úgy is megkaphatjuk ha a leképezés mátriát megszorozzuk az komponenseit tartalmazó oszlopvektorral. Ekkor a képvektort is oszlopvektorként felírva kapjuk meg: M A. c Az A lineáris leképezés rangja megegyezik mátriának rangjával. Bázis transzformációval kiszámolható (lásd d pont hogy az M(A mátri rangja így r(a = r(m(a =. d A magtér megadásához keressük azokat az R -beli vektorokat amelyekhez a leké - pezés nullvektort rendel. Így az alábbi homogén lineáris egyenletrendszer írható fel: Leitold Adrien PE

88 88 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Oldjuk meg bázistranszformációval az egyenletrendszert! Az induló táblázat: bázis a a a o e e Az a e vektorcsere után az alábbi táblázatot kapjuk: bázis a a a o e - a Vonjuk be ezután az a vektort az e helyére: bázis a a a o a - a A megoldó képletbe helyettesítve: azaz: =. Tehát az A lineáris leképezés magtere: ker( A M R R. Egy lineáris leképezés pontosan akkor injektív ha magterében csak a nullvektor található. Ez a fenti A leképezés esetén nem teljesül így A nem injektív.. Minta feladat: Tekintsük az alábbi lineáris leképezéseket: A R R : ( ( : ( (. B R R Leitold Adrien PE

89 Lineáris leképezések 89 a Határozzuk meg az A lineáris leképezés magterét! Injektív-e az A leképezés? b Legyen b = ( - és b = (. Igaz-e hogy bim(a illetve bim(a? Ha igen akkor adjuk meg azon vektorokat amelyekhez az A lineáris leképezés a b illetve a b vektort rendeli! c Melyik létezik az AoB illetve BoA leképezések közül? Amelyik létezik annak adjuk meg a mátriát! Megoldás: A feladat a és b részét egyszerre egy bázistranszformáció sorozatot végrehajtva érdemes megoldani. A magtér meghatározásához olyan R -beli vektorokat keresünk amelyekhez az A leképezés nullvektort rendel. Így a keresett vektorok komponenseinek az alábbi homogén lineáris egyenletrendszert kell kielégíteniük: A b illetve b vektorok akkor elemei a képtérnek ha található olyan R -beli vektor amelynek képe b illetve b azaz ha megoldhatóak az alábbi inhomogén lineáris egyenletrendszerek: ( ( Mivel a fenti három lineáris egyenletrendszer együtthatómátria azonos a három egyenletrendszer egyszerre egy bázistranszformáció sorozattal megoldható. Az induló táblázat: bázis a a o b b e e e - Az a e vektorcsere után a következő táblázatot kapjuk: bázis a a o b b a e - - e - Leitold Adrien PE

90 9 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Vonjuk be ezután a-t az e helyére: bázis a a o b b a a - e A táblázatból az alábbiak olvashatóak ki: Mivel az egyenletrendszer együtthatómátriának rangja ami megegyezik az ismeretlenek számával így a homogén egyenletrendszernek csak triviális megoldása van. Tehát az A lineáris leképezés magtere:. ker( A M Mivel A magtere csak a nullvektort tartalmazza így az A leképezés injektív. Az ( inhomogén egyenletrendszer megoldható hiszen az együtthatómátri és a kibővített mátri rangja egyaránt. Így b im(a. Az egyenletrendszernek egyértelmű megoldása van: M. Tehát egyetlen olyan R -beli vektor van mégpedig az = ( - amelynek a képe b. A ( inhomogén egyenletrendszer nem oldható meg ugyanis a táblázatból látható hogy a kibővített mátri rangja nagyobb az együtthatómátri rangjánál. Így bim(a. c Összetett függvény létezésének feltétele hogy a belső függvény képterének és a külső függvény értelmezési tartományának a metszete ne legyen üres halmaz. A fenti lineáris leképezések esetén ez az AoB összetétel esetén teljesül. Tudjuk hogy lineáris leképezések összetétele is lineáris és M(AoB = M(AM (B. Írjuk fel először az A és B leképezések mátriát: M A Így az AoB összetett leképezés mátria: M M B. A B M A M B.. Minta feladat: Tekintsük a következő mátriokat! A B C. Leitold Adrien PE

91 Lineáris leképezések 9 Adjuk meg azokat a lineáris leképezéseket (a leképezés típusát és hozzárendelési szabályát amelyeknek a mátria A B illetve C! Megoldás: Tudjuk hogy egy R m R n típusú lineáris leképezésnek a mátria nm-es így a leképezés típusa a mátri mérete alapján azonosítható. A hozzárendelési szabály felírásához felhasználjuk hogy az A( képvektor az M(A mátriszorzással is meghatározható. Az A mátri mérete így a hozzá tartozó lineáris leképezés típusa R R. Továbbá M Így a keresett lineáris leképezés: A R R : ( (. A B mátri mérete így a hozzá tartozó lineáris leképezés típusa R R. Továbbá Így a keresett lineáris leképezés: B R R : (. A C mátri mérete így a hozzá tartozó lineáris leképezés típusa R R. Továbbá Így a keresett lineáris leképezés: C : R R.. Minta feladat: A. M Tekintsük a következő lineáris transzformációkat! A R R : ( ( - : ( (. B R R B. C. M a Adjuk meg a fenti lineáris transzformációk mátriát! b Adjuk meg az A+B A AoB lineáris transzformációkat és mátriaikat! c Injektívek-e a fenti lineáris transzformációk? Amelyik injektív annak adjuk meg az inverzét (az inverz transzformáció típusát és hozzárendelési szabályát! Leitold Adrien PE

92 9 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Megoldás: a A transzformációk mátriai: M b Lineáris transzformációk összege is lineáris továbbá M A B M A M B. Így az A+B leképezés: A B : R R ( ( -. Lineáris transzformációk konstansszorosa is lineáris továbbá M Így a A leképezés: A B : R R ( ( -. Lineáris transzformációk kompozíciója is lineáris továbbá M A Így az AoB leképezés: A: R R ( ( -. c Lineáris transzformációk injektivitását determinánsuk segítségével is vizsgálhatjuk: A M A det det így az A lineáris transzformáció nem injektív. Továbbá B M B A M A. det det így a B lineáris transzformáció injektív. Lineáris transzformáció inverze is lineáris és M B M B adjm B. det M B Ennek alapján a B lineáris transzformáció inverze: B : R R ( ( -. 8 A B M A M B. M B. Leitold Adrien PE

93 Lineáris leképezések 9 Gyakorló feladatok:. Adja meg azt a leképezést amely a egy R -beli vektorhoz hozzárendeli annak tengelyre vonatkozó tükörképét: b egy R -beli vektorhoz hozzárendeli annak origóra vonatkozó tükörképét: c egy R -beli vektorhoz hozzárendeli annak -szorosát (R rögzített: d egy R -beli vektorhoz hozzárendeli annak v-vel való eltoltját (vr v o rögzített e egy R -beli vektorhoz hozzárendeli annak y tengelyre eső merőleges vetületét! Melyek lineárisak a fenti leképezések közül? A lineáris leképezéseknél adja meg azok magterét. képterét mátriát!. Adja meg azt a leképezést amely a egy R -beli vektorhoz hozzárendeli annak -z síkra vonatkozó tükörképét: b egy R -beli vektorhoz hozzárendeli annak y tengelyre vonatkozó tükörképét: c egy R -beli vektorhoz hozzárendeli annak y-z síkra eső merőleges vetületét: d egy R -beli vektorhoz hozzárendeli annak z tengelyre eső merőleges vetületét! Igazolja hogy a fenti leképezések lineárisak! Adja meg a fenti lineáris leképezések magterét. képterét mátriát!. Tekintsük az alábbi leképezéseket! A R R : ( ( : ( ( : ( ( A R R A R R A: R R ( A R R : ( ( : ( ( A R R Melyik lineáris a fenti leképezések közül? Amelyik lineáris ott adja meg a leképezés mátriát!. Adja meg azon lineáris leképezések típusát és hozzárendelési szabályát amelyeknek a mátria: A B C D E F G H. Leitold Adrien PE

94 9 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE. Tekintsük az alábbi lineáris leképezéseket! : ( ( : ( ( A R R B R R a Adja meg a fenti lineáris leképezések mátriát! b Legyen = ( -. Adja meg az A( és a B( képvektort! c Melyik létezik az AoB és a BoA leképezések közül? Amelyik létezik annak adja meg a mátriát!. Határozza meg az alábbi lineáris leképezések rangját! A : R R ( y ( +y -y B : R R ( y z (-y+z y +y+z C : R R ( y z (+y-z +z. 7. Tekintsük az alábbi lineáris transzformációkat: A : R R ( ( + -+ B : R R ( ( a Írja fel a fenti lineáris transzformációk mátriát! b Adja meg az A+B A AoB BoA lineáris leképezéseket és azok mátriát! c Invertálható-e az A illetve a B lineáris transzformáció? Amelyik invertálható annak adja meg az inverzét (az inverz transzformáció típusát és hozzárendelési szabályát! 8. Tekintsük az alábbi lineáris transzformációkat: A : R R ( ( + + B : R R ( ( + +. a Írja fel a fenti lineáris transzformációk mátriát! b Adja meg a fenti lineáris transzformációk magterét! Melyik invertálható? Az invertálható leképezések esetén adja meg az inverz leképezést! c Legyen b = (7. Igaz-e hogy b im(a. illetve b im(b? Ha igen akkor adja meg azon vektorokat amelyekre A( = b illetve B( = b teljesül! 9. Tekintsük az alábbi lineáris leképezéseket! ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( - ( ( ( ( ( ( ( ( b R R A : b R R A : b R R A : b R R A : b R R A : b R R A : b R R A : b R R A :

95 Lineáris leképezések 9 a Adja meg a fenti lineáris leképezések magterét! Invertálható-e az A leképezés? b Igaz-e hogy bim(a? Ha igen akkor adja meg azokat az vektorokat az A leképezés értelmezési tartományából amelyekre A( = b!. Határozza meg az alábbi lineáris transzformációk determinánsát! Invertálható -e az A lineáris transzformáció? A : R R ( ( + + A : R R ( ( -+ + A : R R ( ( A : R R ( ( Minta feladat: A definíció alapján ellenőrizzük hogy a megadott vektorok közül melyik sajátvektora az A lineáris transzformációnak! A : R R ( (- + v=( v=(- v=( v=(- Megoldás: Az A lineáris transzformáció sajátvektorán olyan nullvektortól különböző v vektort értünk amelyre A(v = v teljesül valamely R konstansra. Határozzuk meg a fenti vektorokhoz tartozó képvektorokat! A(v = A(( = ( 7 ( v nem sajátvektor; A(v = A(( - = ( - = ( - v = sajátértékhez tartozó sajátvektor; A(v = A(( = ( ( v nem sajátvektor; A(v = A((- = (- = (- v = sajátértékhez tartozó sajátvektor. 7. Minta feladat: A definíció alapján ellenőrizzük hogy a megadott vektorok közül melyik sajátvektora az A négyzetes mátrinak! Megoldás: A v v v v. Az A négyzetes mátri sajátvektorán olyan v nullvektortól különböző oszlopvektort értünk amelyre Av = v teljesül valamely R konstansra. Határozzuk meg az A mátri és a fenti oszlopvektorok szorzatát! A v v nem sajátvektor; A v v = sajátértékhez tartozó sajátvektor; Leitold Adrien PE

96 9 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE v A v nem sajátvektor; v A v = sajátértékhez tartozó sajátvektor. 8. Minta feladat: Határozzuk meg az alábbi lineáris transzformációk sajátértékeit sajátaltereit! Adjuk meg a sajátértékek algebrai és geometriai multiplicitását! Adjunk példát egy sajátvektorra! a : ( (. A R R b : ( (. A R R c : ( (. A R R Megoldás: a Az A lineáris transzformáció mátria:. A A sajátértékeket a karakterisztikus egyenlet gyökeiként kapjuk meg: 7 - det( det E A P Innen 9 8 Mivel a másodfokú egyenlet diszkriminánsa negatív így nincs valós gyök. Következésképpen az A lineáris transzformációnak nincs sajátértéke és sajátvektora. b Az A lineáris transzformáció mátria:. A A sajátértékeket a karakterisztikus egyenlet gyökeiként kapjuk meg: 8 - det( det E A P Innen. Mivel a fenti megoldás kétszeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek így a = sajátérték algebrai multiplicitása. A = sajátértékhez tartozó sajátaltér az (A-E = o homogén lineáris egyenletrendszer megoldáshalmazával egyenlő. Így meg kell oldanunk (általában bázis - transzformációval az alábbi egyenletrendszert:

97 Lineáris leképezések 97 Az induló bázistranszformációs táblázat: bázis a a o e - - e Hajtsuk végre az a e vektorcserét! bázis a a o a e A táblázat alapján a kötött és szabad ismeretlenek közti összefüggés: Így a = sajátértékhez tartozó sajátaltér: H M R R. A = sajátérték geometriai multiplicitása a sajátaltér dimenziójával egyenlő. Ez megegyezik az M megoldáshalmazban a szabad ismeretlenek számával azaz itt. A = sajátértékhez tartozó sajátvektorok a H( sajátaltér nullvektortól különböző vektorai ilyen vektor például a v = ( - vektor. c Az A lineáris transzformáció mátria: A. A sajátértékeket a karakterisztikus egyenlet gyökeiként kapjuk meg: P det A E det( - Innen és. Mivel kétszeres pedig egyszeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek így a = sajátérték algebrai multiplicitása míg a = sajátérték algebrai multiplicitása. A = sajátértékhez tartozó sajátaltér az (A-E = o homogén lineáris egyenletrendszer megoldáshalmazával egyenlő. Így meg kell oldanunk (általában bázistranszformációval az alábbi egyenletrendszert: Leitold Adrien PE

98 98 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Az induló bázistranszformációs táblázat: bázis a a a o e e - e Hajtsuk végre az a e vektorcserét! bázis a a a o e a - e 9 Vonjuk be ezután a-t az e helyére! bázis a a a o e a a A táblázat alapján a kötött és szabad ismeretlenek közti összefüggés: Így a = sajátértékhez tartozó sajátaltér: H M R R. A = sajátérték geometriai multiplicitása a sajátaltér dimenziójával egyenlő. Ez megegyezik az M megoldáshalmazban a szabad ismeretlenek számával azaz. A = sajátértékhez tartozó sajátvektorok a H( sajátaltér nullvektortól különböző vektorai ilyen vektor például a v = ( vektor. A = sajátértékhez tartozó sajátaltér az (A-E = o homogén lineáris egyenletrendszer megoldáshalmazával egyenlő. Így meg kell oldanunk (általában bázistranszformációval az alábbi egyenletrendszert: Leitold Adrien PE

99 Lineáris leképezések Minta feladat: Az induló bázistranszformációs táblázat: bázis a a a o e e a= e Hajtsuk végre az a e vektorcserét! bázis a a a o e a a A táblázat alapján a kötött és szabad ismeretlenek közti összefüggés: Így a = sajátértékhez tartozó sajátaltér: H M R R. A = sajátérték geometriai multiplicitása a sajátaltér dimenziójával egyenlő. Ez megegyezik az M megoldáshalmazban a szabad ismeretlenek számával azaz. A = sajátértékhez tartozó sajátvektorok a H( sajátaltér nullvektortól különböző vektorai ilyen vektor például a v = ( - vektor. Ellenőrizzük a Cayley-Hamilton tételt az alábbi négyzetes mátrira! A Megoldás: A Cayley-Hamilton tétel szerint minden négyzetes mátri gyöke a saját karakterisztikus polinomjának. Ez azt jelenti hogy ha az A nn-es mátri karakterisztikus polinomja n n P a... a a akkor a karakterisztikus polinomba behelyettesítve az A mátriot. a n... n P A a A a A a E mátri az nn-es nullmátriot adja eredményül. Írjuk fel tehát először az A mátri karakterisztikus polinomját! Leitold Adrien PE

100 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE 8 - det( det E A P Helyettesítsük be ebbe az A mátriot! E A A A P Tehát a Cayley-Hamilton tétel az A mátrira igaz. Gyakorló feladatok:. Van-e az alábbi geometriai transzformációknak sajátvektoruk illetve sajátalterük? a R -ben az tengelyre vonatkozó tükrözés; b R -ben az origóra vonatkozó tükrözés; c R -ben paraméterű nyújtás; d R -ban az y tengelyre vonatkozó tükrözés; e R -ban az -y síkra való merőleges vetítés.. A definíció alapján ellenőrizze hogy a megadott vektorok közül melyik sajátvektora az A lineáris transzformációnak! a A : R R ( ( + v=( v=( v=( v=(- b A : R R ( ( + v=( v=( v=( v=(-.. A definíció alapján ellenőrizze hogy a megadott vektorok közül melyik sajátvektora az A négyzetes mátrinak! a A. v v v v b A. v v v v c A. v v v v. Határozza meg az alábbi lineáris transzformációk sajátértékeit sajátaltereit! Adja meg a sajátértékek algebrai és geometriai multiplicitását! Adjon példát egy sajátvektorra! a A : R R ( ( + b A : R R ( ( + c A : R R ( ( + -+ d A : R R ( ( + + e A : R R ( ( f A : R R ( ( -+ --

101 Lineáris leképezések g A : R R ( ( h A : R R ( ( i A : R R ( ( Legyen az A lineáris transzformáció injektív. Igazolja hogy ha sajátértéke az A lineáris transzformációnak akkor / sajátértéke az A - lineáris transzformációnak!. Ellenőrizze a Cayley-Hamilton tételt az alábbi lineáris transzformációkra! a A : R R ( ( + b A : R R ( ( + 7. Ellenőrizze a Cayley-Hamilton tételt az alábbi négyzetes mátriokra! a A b A Elméleti kérdések Döntse el az alábbi állításokról hogy igazak vagy hamisak!. Ha A : R m R n lineáris leképezés akkor im(a = R n.. Ha A:R m R n típusú lineáris leképezés akkor dim(im(an.. Minden lineáris leképezés nullvektorhoz nullvektort rendel.. Minden lineáris leképezés magtere tartalmazza a nullvektort.. Egy A lineáris leképezés mátriának k-adik oszlopvektora A(ek.. Egy A lineáris leképezés mátriának k-adik sorvektora A(ek. 7. Minden lineáris leképezés lineárisan összefüggő vektorokhoz lineárisan összefüggő képvektorokat rendel. 8. Minden lineáris leképezés lineárisan független vektorokhoz lineárisan független képvektorokat rendel. 9. Ha az A lineáris leképezés injektív akkor a magtere üres halmaz.. Lineáris leképezések kompozíciója (ha létezik lineáris.. Ha az A és B lineáris leképezésekre AoB létezik akkor az M(AM(B szorzás elvégezhető.. Ha A: R R és B: R R típusú lineáris leképezés akkor AoB létezik.. Minden A: R n R n lineáris transzformációnak létezik valós sajátértéke.. Van olyan R n R n típusú lineáris transzformáció amelynek nincs sajátvektora.. Egy A: R n R n lineáris transzformációnak legfeljebb n különböző sajátvektora lehet. Leitold Adrien PE

102 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Egy lineáris transzformáció sajátalterének minden vektora sajátvektor. 7. Egy A: R n R n lineáris transzformációnak létezhet olyan sajátértéke amelyhez egyetlen sajátvektor tartozik. 8. Egy A: R n R n lineáris transzformáció bármely sajátértékének az algebrai multiplicitása nem kisebb a sajátértékekhez tartozó sajátaltér dimenziójánál. 9. Egy A: R n R n lineáris transzformáció karakterisztikus polinomjának az A gyöke. Leitold Adrien PE

103 Skaláris szorzat az R n vektortérben Skaláris szorzat az R n vektortérben. Minta feladat: Legyen = ( - és y = ( két R vektortérbeli vektor. a Határozzuk meg az és y vektorok skaláris szorzatát! b Határozzuk meg az valamint az y vektorok normáját (hosszát! c Adjuk meg az valamint az y vektorokkal egyirányú egységre normált vektorokat! d Határozzuk meg az és y vektorok szögét! e Ellenőrizzük a Cauchy- Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenséget az és y vektorokra! f Ellenőrizzük a Minkowsky egyenlőtlenséget az és y vektorokra! Megoldás: a Két vektor skaláris szorzata a megfelelő komponensek szorzatának összege: y b Egy vektor normája (hossza komponensei négyzetösszegének gyökével egyenlő: y c Az vektorral megegyező irányú egységre normált vektor: e Az y vektorral megegyező irányú egységre normált vektor: y e y y d Jelölje az és y vektorok szögét! Ekkor: cos y y 9 Innen a szög (radiánban megadható: = rad. e A Cauchy- Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség szerint az és y vektorokra: y y A fenti két vektor esetén: Leitold Adrien PE

104 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Tehát az és y vektorokra teljesül a Cauchy- Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség. f A Minkowsky egyenlőtlenség szerint az és y vektorokra: Számoljuk ki az +y vektort! Az +y vektor normája: y y 8 y y 8. Minta feladat: A Minkowsky egyenlőtlenségbe helyettesítve: Tehát az és y vektorokra teljesül a Minkowsky egyenlőtlenség. Legyen a = ( - - b = (. Milyen R értékre lesznek ortogonálisak az a és b vektorok? Megoldás: Két vektor ortogonális ha skaláris szorzatuk nulla. Így: Innen =.. Minta feladat: a b 8 Legyen = ( - v = (. a Határozzuk meg az vektor v re vonatkozó Fourier-együtthatóját! b Bontsuk fel az vektort v vel párhuzamos és v re merőleges összetevőkre! Megoldás: a Az vektor v-re vonatkozó Fourier-együtthatója: v vv b Az vektor v vektorral párhuzamos összetevője: v Leitold Adrien PE

105 Skaláris szorzat az R n vektortérben. Minta feladat: Az vektor v vektorra merőleges összetevője: Legyen b ( v. b ( b (. a Ellenőrizzük hogy a B = { b b b } vektorhalmaz ortonormált bázis R -ban! b Határozzuk meg az =( vektor B bázisra vonatkozó koordinátáit! Megoldás: a Egy vektorhalmaz ortogonális ha elemei páronként ortogonálisak és nullvektortól különbözőek. Mivel b b b b b b így a B vektorhalmaz ortogonális. Határozzuk meg a vektorok normáját! b b b Tehát B vektorai egységre normáltak így B ortonormált. Ha egy vektorhalmaz ortogonális akkor lineárisan független. Három lineárisan független vektor bázist alkot R -ban így B ortonormált bázis R -ban. b Legyen az vektor előállítása a B bázison a következő: b b b Egy vektor ortonormált bázisra vonatkozó koordinátái egyszerű skaláris szorzással megkaphatóak: b b b. Leitold Adrien PE

106 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. Minta feladat: Adjuk meg a H altér ortogonális komplementerét! a H = { ( - R } b H = { (- +( R } Megoldás: a A H altér dimenziós altér R -ban (vektorai egy origón átmenő egyenesre esnek így H ortogonális komplementere dimenziós (vektorai egy origón átmenő síkra esnek amely sík ortogonális az előző egyenesre. A H altér felírásához szükségünk van annak két nem párhuzamos vektorára. Keresünk tehát két olyan vektort (legyenek a és b amelyek merőlegesek a H altérre és egymással nem párhuzamosak. Az a és b vektorok pontosan akkor merőlegesek H-ra ha merőlegesek a H altér megadásában szereplő v = ( - vektorra: a v a a a b v b b b Ilyen vektorok például az a = ( és a b = ( - vektorok. Így a H altér ortogonális komplementere: H = { ( +( - R }. b A H altér dimenziós altér R -ban (vektorai egy origón átmenő síkra esnek így H ortogonális komplementere dimenziós (vektorai egy origón átmenő egyenesre esnek amely egyenes ortogonális az előző síkra. A H altér felírásához szükségünk van annak egy nullvektortól különböző vektorára. Keresünk tehát egy olyan nullvektortól különböző vektort (legyen vo amely merőleges a H altérre. A v vektor pontosan akkor merőleges H-ra ha egyidejűleg merőleges a H altér megadásában szereplő a = (- és b = ( vektorokra:. Minta feladat: v a v v v v b v v v Ilyen vektor például a v = ( - vektor. Így a H altér ortogonális komplementere: H = { ( - R }. Legyen H = { ( +( R }. a Adjuk meg a H altér ortogonális komplementerét! b Bontsuk fel az = (8 - vektort H-ba és H -be eső összetevőkre! c Adjuk meg a fenti vektor H altérre eső ortogonális vetületvektorát! d Melyik az a vektor a H altérben amelyik legközelebb van az vektorhoz? Leitold Adrien PE

107 Skaláris szorzat az R n vektortérben 7 Megoldás: a A H altér dimenziós altér R -ban (vektorai egy origón átmenő síkra esnek így H ortogonális komplementere dimenziós (vektorai egy origón átmenő egyenesre esnek amely egyenes ortogonális az előző síkra. A H altér felírásához szükségünk van annak egy nullvektortól különböző vektorára. Keresünk tehát egy olyan nullvektortól különböző vektort (legyen vo amely merőleges a H altérre. A v vektor pontosan akkor merőleges H-ra ha egyidejűleg merőleges a H altér megadásában szereplő a = ( és b = ( vektorokra: v a v v v v b v v v Ilyen vektor például a v = ( - vektor. Így a H altér ortogonális komplementere: H = { ( - R }. b Az ortogonális felbontás tétele alapján R = H H. Így a H és H alterek bázisainak uniója bázis az R vektortérben. Tehát az a b és v vektorok bázist alkotnak R -ban. Az vektor kívánt felbontásának meghatározásához számoljuk ki először az vektor fenti bázisra vonatkozó koordinátáit! Az induló bázistranszformációs táblázat: bázis a b v Vonjuk be az a vektort az e helyére: A v e vektorcsere után: Tehát az vektor előállítása: e 8 e=b e - - bázis a b v e b a - - bázis a b v v b a a b v Leitold Adrien PE

108 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Figyelembe véve hogy a és b a H altérnek v pedig a H altérnek a bázisvektorai így az vektor felbontása a következő: a H altérbe eső összetevő: h = a +b = ( + ( = ( a H altérbe eső összetevő: h = v = ( - = ( -. c A H altérre vonatkozó ortogonális projekció definíciója szerint az vektor H altérre eső ortogonális vetületvektora: ( = h ahol h az vektor H altérbe eső összetevője. Így a keresett vetületvektor: ( = h = (. d A legjobb approimáció tétele szerint a H altér vektorai közül a ( vetületvektor van az vektorhoz legközelebb. Tehát az -hez legközelebbi H-beli vektor: ( = h = (. Gyakorló feladatok:. Legyen = ( - y = ( - z = (. a Határozza meg az és y az és z valamint az y és z vektorok skaláris szorzatát! b Határozza meg az az y valamint a z vektorok normáját (hosszát! c Adja meg az az y valamint a z vektorokkal egyirányú egységre normált vektorokat! d Határozza meg az és y az és z valamint az y és z vektorok szögét!. Legyen a = ( - - b = (- c = ( -. a Ellenőrizze a skaláris szorzatra vonatkozó tulajdonságokat a fenti vektorok esetén! b Számítsa ki a következő normákat! a b c c Ellenőrizze a Cauchy- Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenséget az a és b illetve a b és c vektorokra! d Ellenőrizze a Minkowsky egyenlőtlenséget az a és b illetve a b és c vektorokra! e Számítsa ki az a és b illetve a b és c vektorok szögét!. Az alábbi vektorok közül melyek ortogonálisak? (- és ( ( - és ( - ( - és ( 8 ( - és ( - ( - és ( -.. mely értékeire lesznek ortogonálisak az alábbi vektorok? ( - és ( ( és ( - ( és ( -.. Legyen = ( - v = (- -. a Határozza meg az vektor v re vonatkozó Fourier-együtthatóját! b Bontsa fel az vektort v vel párhuzamos és v re merőleges összetevőkre!. Legyen = ( - v = ( -. Leitold Adrien PE

109 Skaláris szorzat az R n vektortérben 9 a Határozza meg az vektor v re vonatkozó Fourier-együtthatóját! b Bontsa fel az vektort v vel párhuzamos és v re merőleges összetevőkre! 7. Legyen b=( b=(-. a Ellenőrizze hogy a B = { b b } vektorhalmaz ortonormált bázis R -ben! b Határozza meg az =( - vektor B bázisra vonatkozó koordinátáit! 8. Legyen b ( b (. a Ellenőrizze hogy a B = { b b } vektorhalmaz ortonormált bázis R -ben! b Határozza meg az =( - vektor B bázisra vonatkozó koordinátáit! 9. Legyen b ( b (. a Ellenőrizze hogy a B = { b b } vektorhalmaz ortonormált bázis R -ben! b Határozza meg az =( vektor B bázisra vonatkozó koordinátáit!. Adja meg azt a legbővebb alteret R -ban amelyre az vektor ortogonális! a = ( - b = ( -.. Adja meg a H altér ortogonális komplementerét! a H = { (t t tr } b H = { ( R } c H = { ( - +( R } d H = R.. Adja meg az R vektor H és H alterekbe eső összetevőit! a = (- H = { ( R } b = ( H = { ( +( R } c = ( H = { (- +( R } d = ( - H = { ( R }.. Határozza meg a H altér azon vektorát amely legközelebb van az vektorhoz! a = ( - H = { ( R } b = ( - H = { ( +( R }. Leitold Adrien PE

110 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Elméleti kérdések Döntse el az alábbi állításokról hogy igazak vagy hamisak!. Az ( ( és ( - vektorok ortogonális vektorhalmazt alkotnak.. Az ( ( és (- vektorok ortogonális vektorhalmazt alkotnak.. Az ( vektor egységre normált.. A (- vektor egységre normált.. Az ( - vektor egységre normált.. Az ( és ( vektorok ortonormált bázist alkotnak R -ben. 7. Az ( és ( vektorok ortonormált bázist alkotnak R -ben. 8. Minden ortogonális vektorhalmaz lineárisan független. 9. R n -ben a kanonikus bázis ortonormált.. Ha H altér R n -ben akkor dim(h = dim(h.. Ha a H R n altérre dim(h = k akkor dim(h = n-k.. Ha H altér R n -ben akkor dim(h + dim(h = n. Leitold Adrien PE

111 Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására. gyártórendszerek modellezése Adott az alábbi szétválasztási hálózat darab komponensű (A B C betáplálással ahol mindegyik komponens áramlási sebessége kg/h. Feladat: olyan szétválasztási hálózat tervezése amely ebből a betáplálásból két kevert terméket állít elő melyekben a komponensek áramlási sebessége rendre és kg/h illetve és 8 kg/h. A hálózatban az S éles szeparátor az A B C komponensű bemenetet csak A-t illetve B-t és C-t tartalmazó áramokra választja szét míg az S éles szeparátor az A B C komponensű bemenetet A-t és B-t illetve csak C-t tartalmazó áramokra bontja. D M D D M S M [] D M [] D S D D D S D D M [8] S M D M D D M Jelölje a D megosztó kilépő áramait egységnyi belépő áram esetén. Ekkor a fenti szétválasztási hálózat az alábbi lineáris egyenletrendszerrel modellezhető: 8 Leitold Adrien PE

112 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Bázistranszformációt alkalmazva vizsgálja meg megoldható-e a fenti lineáris egyenletrendszer? Ha igen akkor hány megoldás van?. gyártórendszerek modellezése Tekintsük eredő kémiai reakcióként a bután dehidrogénezését: CH CH8 + H A feladat annak megállapítása hogy az eredő kémiai reakció az alábbi elemi reak ciólépések milyen együttműködésének eredményeként jöhet létre. ( CH + l CH8 l + H ( CH8 l CH8 + l ( CH8 l CH l + H ( CH + l + CH l CH8 l Az eredő reakció (E és az elemi reakciók (e e sztöchiometriai együtthatói az alábbi táblázatba rendezhetőek: Résztvevők Reakciók e e e e E CH CH8 H l - - CH8 l - - CH l - Legyen A = e e e e -es mátri. A problémához kapcsolódóan keressük az A = E lineáris egyenletrendszer úgynevezett bázismegoldásait. Bázismegoldást úgy kaphatunk hogy az egyenletrendszert bázistranszformációval megoldva a végső táblázat alapján olyan megoldásvektort írunk fel ahol a szabad ismeretlenek értékét nullának választjuk. Oldja meg a fenti egyenletrendszert több változatban (többféle módon választva ge - neráló elemet és a végső táblázatok alapján keressen több bázismegoldást! Leitold Adrien PE

113 Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására. irányítástechnika Legyen adott az A Bu y C állapottér modell az alábbi paraméterekkel: A B C a Stabil-e a fenti modell? (A modell pontosan akkor stabil ha az A mátri sajátértékeinek valós része negatív. b Határozza meg az -beli állapotváltozók u-beli bementi változók és y-beli kimeneti változók számát! c Határozza meg a modell irányíthatóságát! Az irányíthatóság feltétele hogy az ún. irányíthatósági mátri: teljes rangú legyen azaz r(c = teljesüljön.. irányítástechnika Legyenek az alábbiak az mátriai: A A Bu B y C C állapottér modell együttható a Adja meg az állapotváltozók bemeneti és kimeneti változók számát! b Határozza meg a modell megfigyelhetőségét! A megfigyelhetőség feltétele hogy az ún. megfigyelhetőségi mátri: teljes rangú legyen azaz r(o = teljesüljön.. irányítástechnika Határozza meg a G s tag stabilitását! s s s Az ún. Hurwitz-kritérium szerint a tag stabilitásához az alábbi két feltételnek kell teljesülnie: a nevezőben szereplő valamennyi együttható legyen pozitív; a nevező együtthatóiból képezzük az alábbi mátriot: Írjuk fel a főátlóra támaszkodó alábbi mátriokat: Leitold Adrien PE

114 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak A rendszer stabil ha ezeknek a mátrioknak a determinánsa pozitív. Ellenőrizze hogy teljesülnek-e a Hurwitz-kritérium feltételei!. irányítástechnika a Határozza meg az állapot a bementi és a kimeneti változók számát az alábbi modellben: u y b Határozza meg az állapottér modell irányíthatóságát és megfigyelhetőségét! 7. irányítástechnika Határozza meg az A Bu mátriok a következők: A B y C C állapottér modell átviteli függvényét ha a Az állapottér modellhez tartozó átviteli függvényt a következő képlet szerint lehet meghatározni: ahol az invertálást a következő módon végezhetjük el: 8. irányítástechnika Adja meg hogy milyen K értékre lesz az alábbi rendszer aszimptotikusan stabil! w(t + e(t u(t y(t G (s G (s -. A megoldás során az alábbi eredő átviteli függvényt nyerjük: Határozza meg hogy milyen K értékekre lesz az alábbi Hurwitz-mátrinak és a részmátriainak a determinánsa pozitív! Leitold Adrien PE

115 Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására 9. irányítástechnika Adja meg hogy milyen K értékre lesz az alábbi rendszer aszimptotikusan stabil! u =Ke w(t + e(t + u(t y(t y - ( + y ( + y = u u ( = e + A megoldás során az alábbi eredő átviteli függvényt nyerjük: Határozza meg hogy milyen K értékekre lesz az alábbi Hurwitz-mátrinak és a részmátriainak a determinánsa pozitív!. képfeldolgozás Színkomponensek transzformációja Egy standard felbontású digitális videokamera RGB színrendszerben azaz egy (R G B számhármassal jellemezve rögzíti a képpontok értékeit. Kódolási szempontból nem hatékony az RGB értékek tárolása és hálózati átvitele ezért az ITU -R BT. szabvány szerint egy világossági és két krominanica értékre kell konvertálni a kamera által rögzített RGB értékeket. (Egy későbbi lépésben a színi csatornák felbontását felére csökkentve jelentősen csökkenthető a tárolandó adatmennyiség miközben az emberi szem nem érzékeny a CB és CR csatornák degradációjára.. A kódolás a fenti szabvány szerint az alábbi összefüggéssel történik: Számolja ki hogy 8 bites bemenet esetén azaz ha Y CB és CR mekkora lehet minimálisan és maimálisan a világosság Y (luma és a két kroma csatorna CB és CR értéke!. képfeldolgozás Két kép hasonlósága igazított keresztkorrelációval Adottak az A és B normalizált -es szürke skálás képrészletek (ahol egy piel egy számmal van jelölve amelyeknek átlagértékük nulla. Melyik hasonlít jobban a C képrészletre? Leitold Adrien PE

116 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Első lépésként fejtse oszlopvektorba a képek pieleit azaz a -es mátriok oszlopvektorait összefűzve állítsa elő a nekik megfelelő a b és c R vektorokat! Ezután a hasonlóságot kétféle módon vizsgálhatjuk: A két vektor különbségének a normáját vesszük. Ebben az esetben a két kép annál inkább hasonlít minél közelebb van a számolt érték a nullához. A két vektor skaláris szorzatát számoljuk ki. Ebben az esetben a két kép annál inkább hasonlít minél nagyobb a skaláris szorzat értéke. Hasonlítsa össze az A illetve a B képeket a C képpel a fenti módszereket alkalmazva!. képfeldolgozás Képtorzulás korrekciója A D képalkotás feladata hogy a térben lévő pontok koordinátáit határozza meg és ábrázolja grafikai eszközökkel. Sok esetben a térbeli - X=(X Y Z - objektumok geometriai torzulása leírható ún. affin transzformációval. Az affin transzformációk lehetővé teszik a képi objektumok kicsinyítését-nagyítását eltolását tükrözését elforgatását nyírását (míg az euklideszi transzformációk csak az eltolást tükrözést és elforgatást teszik lehetővé. Ha az =(X Y Z homogén koordinátákkal írjuk le a D pontokat akkor a torzulás az alábbi mátriszal írható le (ahol T -es A -as b pedig -es mátri míg a torzult pontok homogén koordinátái az összefüggéssel kaphatóak meg. Legyen adott a T affin transzformációs mátri valamint az torzult mérési adatok: Keressük a megfelelő D-s pontok pontos helyzetét. Ez az alábbi módokon tehető meg: A T mátri inverzét felhasználva: = T - Megjegyezzük hogy a T mátri inverze felírható az alábbi formában: A fenti összefüggést felhasználva elegendő a T -es mátri helyett a belőle kiolvasható A -as mátriot invertálni.. Leitold Adrien PE

117 Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására 7 Sok esetben nem magára a T mátrira van szükségünk hanem csak a visszaállított koordinátákra. Ebben az esetben az inverz koordináták még gyorsabban meghatározhatók: ahol X az X=(X Y Z pont torzított változata. Alkalmazza a D-s pontok pontos helyzetének megállapítására mindkét ismertetett módszert!. robotika Adja meg annak a lineáris transzformációnak a típusát és hozzárendelési szabályát amely egy térbeli vektorhoz hozzárendeli a annak z tengely körüli szöggel való elforgatottját; b annak tengely körüli szöggel való elforgatottját! Adja meg a fenti transzformációk (kanonikus bázisokra vonatkozó mátriát!. robotika Adja meg a mátriát a következő lineáris transzformációknak: a forgatás a z tengely körül / -vel; b forgatás a z tengely körül / -vel majd forgatás az tengely körül / -vel. Mutassa meg hogy a fenti forgatási mátriok ortogonálisak azaz A - = A T! A fenti eredményt felhasználva adja meg a forgatási mátriok inverzeit!. villanytan Feladat: A hurokáramok módszerét alkalmazva a hálózat ágáramainak a meghatározása az alábbi hálózatban: A megoldás során az alábbi részfeladatot kapjuk: J ( J J ( J J ( J J 8J J 8mA Írja fel a fenti lineáris egyenletrendszert mátrios írásmóddal A = b alakban és oldja azt meg!. villanytan Feladat: A Kirchhoff és Ohm törvények mátrios formalizmusának felírása az alábbi hálózatra: Leitold Adrien PE

118 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE A megoldás során az alábbi mátriok nyerhetők: A vágatmátri: Q a hurokmátri: B az ellenállásmátri: 7 R. Az áramvektor: i A továbbá a feszültségvektor: u V. A fenti mátriok és vektorok felhasználásával írja fel az ágáramok vektorát az alábbi formában V A u B i Q R B Q i! 7. villanytan Feladat: Az alábbi hálózat állapotegyenletének megadása ha a gerjesztés feszültség.

119 Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására 9 A megoldás során az alábbi egyenletek írhatók fel: C u i u u C V C i R(i Li i u u C u C LiL u V RC C RC u C il L uc Legyen az állapotváltozók vektora: a gerjesztés: e u V i. L Rendezze a fenti egyenletrendszert A Be formára! C L i i L C C 8. villanytan Feladat: Az alábbi hálózat állapotegyenletének megadása ha a gerjesztés feszültség. V L C A megoldás során az alábbi egyenletek írhatók fel: di L L u u i R L R R dt u u u u C C L V dil u u u C C V dt L L L duc C i C dt uc i i C V R duc C i V dt du u du L di C C i i i i i u u u C C C L V L R L L C C V dt R dt R dt R R R Leitold Adrien PE

120 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Legyen az állapotváltozók vektora: il u C a gerjesztés: e u V. uc Rendezze a fenti egyenletrendszert A Be formára! 9. villanytan Feladat: Az alábbi két tárolós hálózatban a sajátértékek meghatározása. A megoldás során az alábbi mátrihoz jutunk: A. Határozza meg a fenti mátri sajátértékeit a komple számok körében adja meg a sajátértékek valós és képzetes részét valamint abszolút értékét!. villanytan Feladat: Az alábbi kéttárolós hálózat állapotegyenletének felírása és a sajátértékek meghatározása. A megoldás során az alábbi egyenletek írhatók fel: ahol C =nf L=mH R=k. i i C R CuC Li R L Leitold Adrien PE

121 Vegyes feladatok a lineáris algebrai ismeretek alkalmazására Írja fel a hálózat állapotegyenletét il. uc Határozza meg az A mátri sajátértékeit! A formában ahol az állapotváltozók vektora:. villanytan Feladat: Határozza meg R értékét úgy hogy az alábbi másodrendű hálózatnál kriti kusan csillapított rezgés jöjjön létre! A megoldás során az alábbi A mátrihoz jutunk: A C L ahol L = H és C = F. RC Határozza meg az R értékét úgy hogy a fenti mátrinak darab (kétszeres algebrai multiplicitású valós sajátértéke legyen! Leitold Adrien PE

122 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak A GYAKORLÓ FELADATOK MEGOLDÁSAI Leitold Adrien PE

123 Az R tér geometriája Az R tér geometriája Vektorműveletek. b v-u = ( 9 - c d e a v vektor ellentettje: v = (- - v-vel párhuzamos vektorok: ( - ( - v-re merőleges vektorok: ( - ( f v vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektor: g v vektorral megegyező irányú egységnyi hosszúságú vektor: v vektorral megegyező irányú/ hosszúságú vektor:. a a v vektor a irányába eső merőleges vetületvektora: = ( b a-val párhuzamos összetevő: = ( a-ra merőleges összetevő: y =( -. a a v vektor a irányába eső merőleges vetületvektora: = ( - b a-val párhuzamos összetevő: = ( - a-ra merőleges összetevő: y =( 9. a + b = ( a b = ( - a = ( - -c = (- - 8 a + b + (-c = ( a b = - a c = - a b = (-8 b a = (8 - - a c = (- a (b c = -. a + b = ( a b = ( - a = ( - -c = (- -8 a + b + (-c = (- 8 - a b = a c = a b = (- b a = ( - - a c = ( a (b c = Egyenes és sík: illeszkedési feladatok. a A paraméteres egyenletrendszer: tr A paramétermentes egyenletrendszer: b P = ( P = ( - P = ( - 8 c Az A = ( - és a B = ( pont nem illeszkedik az egyenesre. 7. a A paraméteres egyenletrendszer: Leitold Adrien PE

124 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak tr A paramétermentes egyenletrendszer: b P = (7 - P = (- - - P = ( - 8. a A paraméteres egyenletrendszer: tr A paramétermentes egyenletrendszer nem létezik. b P = ( P = ( - P = ( 9 9. a A paraméteres egyenletrendszer: tr A paramétermentes egyenletrendszer: b A = ( 8-7 B = (-. y z paramétermentes egyenletrendszer nem írható fel. a tr b tr c tr d Leitold Adrien PE

125 Az R tér geometriája e tr tr. a b A P = (-8 pont rajta van a síkon a Q = ( - pont nincs rajta a síkon.. a Útmutatás: A térbeli koordináta-rendszer -y koordináta-síkjában keressük meg az y = egyenletű egyenest a keresett sík ezen egyenesre merőlegesen helyezkedik el a térben.. a b c.. 7. b Útmutatás: A térbeli koordináta-rendszer -y koordináta-síkjában keressük meg az y = - egyenletű egyenest a keresett sík ezen egyenesre merőlegesen helyezkedik el a térben. c Útmutatás: A térbeli koordináta-rendszer -y koordináta-síkjában keressük meg az y = egyenletű egyenest a keresett sík ezen egyenesre merőlegesen helyezkedik el a térben. 8. -y= 9.. a b tr tr Leitold Adrien PE

126 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. a b Térelemek kölcsönös helyzete metszéspontja. e és f: metszők M = ( - e és g: párhuzamosak f és g: kitérők. metszők M =(- -. Az S és S metsző az S és S azonos az S és S párhuzamos.. A metszésvonal paraméteres egyenletrendszerének egy lehetséges alakja: e : y t z 8 9t t Térelemek távolsága és szöge. a b d a Az f egyenes és az S sík párhuzamos. b. a A két sík párhuzamos. b. a M = ( b = 7. = Leitold Adrien PE

127 Az R tér geometriája 7. =88. = Vegyes feladatok. a Az e és f egyenesek metszők M = (-. b =7 c Az e egyenes és az S sík párhuzamos. d = 7. a b = c Az S és S síkok metszők. A metszésvonal paraméteres egyenletrendszere: t y 9t z t d = a b c = d = 9. a Az e és f egyenesek metszők M = ( -. b =.. a Az e és f egyenesek metszők M = ( -. b = 79 c Az e egyenes és az S sík párhuzamos d =. a Az e egyenes és az S sík metsző M = (- -. b = c Az S és S síkok párhuzamosak. d e =. a Az e és f egyenesek kitérőek. b = c Az e egyenes az S síkban fekszik. d = e Leitold Adrien PE

128 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. a Az e és f egyenesek metszők M = (. b =. c Az e egyenes az S síkban fekszik. d = e. a Az e és f egyenesek párhuzamosak. b = c Az e egyenes és az S sík metsző M = (. d = 8. a Az e és f egyenes kitérő. b = c Az f egyenes és az S sík párhuzamos. d = Elméleti kérdések. hamis. hamis. hamis. igaz. igaz. hamis 7. hamis 8. hamis Leitold Adrien PE

129 Az R n vektortér 9 Az R n vektortér. Igen c = - a + b. Nem.. a a + b = (7-8 -c = ( a + b + c = ( - b ( - c Nem.. a a -b c = ( b Csak triviális lineáris kombinációval így H lineárisan független. c Az vektor előáll az a és b vektorok lineáris kombinációjaként: = a +b azaz az vektor benne van az a és b által kifeszített síkban. Az y nem áll elő az a és b vektorok lineáris kombinációjaként azaz y nincs benne az a és b által kifeszített síkban.. Igen. A v vektor koordinátái az a a a bázisra vonatkozóan.. a Csak a triviális lineáris kombinációval. b Triviális és nem triviális lineáris kombinációval is pl. a + b -d = o. c Nincs olyan R vektor amely nem állítható elő az a b és c vektorok lineáris kombinációjával. Van olyan R vektor amely nem állítható elő az a b és d vektorok lineáris kombinációjával ilyen vektor pl. = e. d Az a b és c vektorok bázist alkotnak a v vektor koordinátái ezen a bázison:. Az a b és d vektorok nem alkotnak bázist. A v vektor nem állítható elő ezen vektorok lineáris kombinációjával. 7. Igen pl. = e. 8. H : lineárisan független H : lineárisan független bázis a vektorhalmaz vektoraiból lineáris kombinációval előállítható az R vektortér összes vektora H : lineárisan összefüggő a vektorhalmaz vektoraiból lineáris kombinációval elő - állítható az R vektortér összes vektora. 9. Például: lineárisan összefüggő és nem generátorrendszer: ( ( lineárisan összefüggő és generátorrendszer: ( ( ( ( ( lineárisan független és nem bázis: ( ( lineárisan független és bázis: ( ( ( (. r(h = Leitold Adrien PE

130 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. a Igen koordinátái ezen a bázison: -. b Triviálisan és nem triviálisan is pl. a +b -d = o c r(h =. a r(h = b Pl. a = a + a = ( -. a r(h = b Pl. a = e = (. a r(h = b Nem. c Nem.. a r(h = b Igen H=a a a. r(h = c vektorból álló lineárisan független részhalmaz: van pl. a. vektorból álló lineárisan független részhalmaz: van pl. a a. vektorból álló lineárisan független részhalmaz: van pl. a a a. vektorból álló lineárisan független részhalmaz: nincs mert R -ban minden elemű vektorhalmaz lineárisan összefüggő. d vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaz: nincs mert H-ban minden vektor nullvektortól különböző. vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaz: nincs mert H-ban nincs két olyan vektor amely skalárszorosa lenne egymásnak. vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaz: van a a a. vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaz: R -ban minden elemű vektorhalmaz lineárisan összefüggő pl. a a a a.. a r(h = b Egy maimális lineárisan független részhalmaz: a a a. a = a + a + a a = a + a + a a = a + a + a a = a + (-a + a a = (-a + (-a + a c Igen mivel H-ban van darab lineárisan független vektor amely bázist alkot R -ban. Ilyen részhalmaz: a a a. 7. a r(h = b Egy maimális lineárisan független részhalmaz: a a. a = a + a a = a + a a = a + a a = a + (-a a = a + a Leitold Adrien PE

131 Az R n vektortér c Nem mivel nincs olyan részhalmaza H-nak amely bázis R -ban. Pl.: He generátorrendszer R -ban. 8. a r(h = r(h = r(h =. b Egy maimális lineárisan független részhalmaz H-ben: a a. Egy maimális lineárisan független részhalmaz H-ben: a. Egy maimális lineárisan független részhalmaz H-ben: a a. c Pl.: = e mivel ez a vektor az a és a és e vektorokkal együtt bázist alkot R - ben. d Pl.: = a + a = ( a r(h = b Nem mert ehhez az kellene hogy legyen H-ban olyan négy vektorból álló részhalmaz amelynek a rangja azaz a négy vektor párhuzamos. Ilyen részhalmaz viszont nincs H-ban.. a r(h = b Igen az a vektor elhagyásával olyan részhalmazt kapunk amelynek a rangja azaz a négy megmaradó vektor párhuzamos.. a r(h = b vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaz nincsen mivel H-nak egyetlen eleme sem nullvektor. vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaz: a a mivel a két vektor párhuzamos. vektorból álló lineárisan összefüggő részhalmaz: pl.: a a a. Bármelyik vektor lineárisan összefüggő hiszen a vektorhalmaz rangja.. a Az R vektortér elemei. b bázis a a a a a a - e a a c r(h = d Egy maimális lineárisan független részhalmaz: a a a. e a = a + a a = a + a a = -a + a Leitold Adrien PE

132 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. a Az R vektortér elemei. b bázis a a a a a e a - a - e c r(h = mert az a vektort még be lehet vonni a bázisba. d Egy maimális lineárisan független részhalmaz: a a a. e a = a + a a = a + a a = a + (-a. a Az R vektortér elemei. b bázis a a a a a e a - a - e c r(h = d r(h = e Igen a = a + (-a. f A táblázatból látható hogy az a vektor az a skalárszorosa így az a és a vektorokból lineáris kombinációval előállítható vektorok előállíthatóak az a és a vektorok lineáris kombinációjaként is. Mivel az a vektor előáll az a és a vektorokból lineáris kombinációval így előállítható az a és a vektorokból is. g Mivel az a vektor az a skalárszorosa így az a és a vektorokból lineáris kombinációval előállítható vektorok előállíthatóak csak az a vektor lineáris kombinációjaként is. Az a vektor viszont nem állítható elő csak az a vektor lineáris kombinációjaként így nem állítható elő az a és a vektorokból sem.. a H az -y koordinátasík vektorait tartalmazza altér dim(h = egy bázis H-ben: B = {( ( }; H vektorai az ( - irányvektorú origóból induló félegyenesre esnek H zárt az összeadásra de nem zárt a skalárral való szorzásra így nem altér; H vektorai az ( - irányvektorú origón átmenő egyenesre esnek altér dim(h = egy bázis H-ban: B = {( -}; H vektorai a térbeli koordináta-rendszerben egy tér-nyolcadban helyezkednek el az összeadásra zártak de a skalárral való szorzásra nem nem altér. H vektorai a ( - irányvektorú origón átmenő egyenesre esnek altér dim(h = egy bázis H-ban: B = {( - }; Leitold Adrien PE

133 Az R n vektortér H vektorai nem zártak sem az összeadásra sem a skalárral való szorzásra nem altér; H7 vektorai a ( - és az ( vektorok által kifeszített síkra esnek altér dim(h7 = egy bázis H7-ben: B7 = {( - ( }; H8 vektorai az tengelyre esnek H8 altér dim(h8 = egy bázis H8-ban: B8 = {( }; b R = HH R = HH R = H7H R = H7H8 R = HHH8.. a Útmutatás: Mutassa meg bázistranszformációval hogy a V és V alterek bázisainak uniója bázis R -ban. b v = ( - és v = (-. 7. a Útmutatás: Mutassa meg bázistranszformációval hogy a V és V alterek bázisainak uniója bázis R -ban. b v = ( és v = ( a Útmutatás: Mutassa meg bázistranszformációval hogy a V és V alterek bázisainak uniója bázis R -ban. b v = ( - és v = (7. 9. a B = ( B = ( - ( B = ( - (. b R = VV mert a V és V alterek bázisainak uniója bázis R -ban. Az vektor felbontása: v = ( és v = ( -. R VV mert dim(v + dim(v dim(r.. a dim (V = B = ( - ; dim (V = B = ( ( ; dim (V = B = ( -. b R VV mert dim(v + dim(v dim(r. R = VVV mert a V V és V alterek bázisainak uniója bázis R -ben. Az vektor felbontása: v = ( - v = ( és v = ( Egy lehetőség hogy az R vektortér kanonikus bázisából kiindulva konstruáljuk meg a kívánt altereket. altér melyek direkt összege az R vektortér: V = ( + ( R V = ( + ( R. altér melyek direkt összege az R vektortér: V = ( + ( R V = ( R V = ( R. altér melyek direkt összege az R vektortér: V = ( R V = ( R V = ( R V = ( R. Leitold Adrien PE

134 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Elméleti kérdések. igaz. hamis. igaz. hamis. hamis. hamis 7. igaz 8. hamis 9. igaz. hamis. igaz. igaz. hamis. igaz. igaz. igaz 7. igaz 8. hamis 9. igaz. hamis. igaz. igaz. hamis. hamis. igaz. hamis 7. igaz 8. igaz 9. igaz. hamis. igaz. hamis Leitold Adrien PE

135 Az R n vektortér. hamis. igaz. igaz. igaz 7. hamis 8. hamis 9. hamis. igaz. hamis. igaz. hamis Leitold Adrien PE

136 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE Mátriok. 8 7 A. A. 7 B A B A A B B A. 8 B A BA nem létezik.. Útmutatás: az egyenlőség mindkét oldalán elvégezve a szorzásokat eredményül az alábbi -es mátriot kapjuk: 79.. Útmutatás: a megadott szorzások elvégzésével ellenőrizhetőek az egyenlőségek. 7. Útmutatás: az egyenlőség mindkét oldalán elvégezve a kijelölt műveleteket eredményül az alábbi -as mátriot kapjuk:. 8. Útmutatás: mindkét esetben a mátriszorzás azon tulajdonságát kell felhasználni hogy a mátriszorzás nem kommutatív. Az egyenlőség olyan A és B mátriokra teljesülne ahol AB =BA C A C+D nem létezik 8 T D C 8 E B

137 Mátriok 7 AB nem létezik AC nem létezik A D E B B E B E AE nem létezik E A C F D C C D D E A+B nem létezik C B C+D nem létezik E+F nem létezik T E F A F BC nem létezik T B C B T C BA nem létezik A B BD nem létezik B E A D DE nem létezik 7 8 EE nem létezik E F F E. AA=A teljesül ha a = és b = - vagy a =- és b = ; nincs ilyen a és b valós paraméter.. r(a = r(b = r(c = r(d = r(e = r(f =. Például: A és B esetén r(ab = és r(ba =.. Útmutatás: Ellenőrizze az AB = E és BA = E egyenlőségeket!. Igen a = -¾ és b = ¾. Leitold Adrien PE

138 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. A B nem invertálható C - = C D nem invertálható F nem invertálható G H Útmutatás: Mátriszorzással ellenőrizze az A = E egyenlőséget. Ennek alapján A A. 8. a Az AB = E egyenlőség a = - és b = paraméterértékek esetén teljesül. b Útmutatás: A mátri-egyenletet rendezve: X D E C A C. 9. det (A = - det (B = det (C = det (D = det (E = - det (F = - det (G = - det (H = det (I = det (J = -7 det (K = 7 det (L =. A mátriokra jellemző tulajdonságok: ha a determináns értéke nullától különböző a mátri invertálható teljes rangú oszlop- és sorvektorai lineárisan függetlenek ha a determináns értéke nulla a mátri nem invertálható nem teljes rangú oszlop- és sorvektorai lineárisan összefüggőek.. Útmutatás: adjuk hozzá a mátri első sorához rendre a második harmadik negyedik és ötödik sort!. c c és c c. c c 7 c vagy c -. a Az adjungált mátriok: adj A adjb adjc adj 9 D Leitold Adrien PE

139 Mátriok 9 Leitold Adrien PE adj F adj G adj H adj I adj J b Az inverz mátriok: A B nem invertálható C D nem invertálható F G H 7 8 I J nem invertálható. a b = (-9 - b a = (9 - a c = ( 8 a d = (- - - c d = ( Elméleti kérdések. igaz. hamis. igaz. igaz. hamis. igaz 7. igaz 8. hamis 9. hamis. igaz. igaz. igaz. igaz

140 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. igaz. igaz. hamis 7. igaz 8. hamis 9. igaz. igaz. hamis. igaz. hamis. hamis. igaz. hamis 7. igaz 8. igaz 9. hamis. hamis. igaz. hamis. hamis. igaz. hamis. hamis 7. hamis Leitold Adrien PE

141 Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek. a a és a bázisba vonása után: M R R 8 7 b a és a bázisba vonása után: M R R 8 c a a és a bázisba vonása után: d a és a bázisba vonása után: e a és a bázisba vonása után: f a és a bázisba vonása után: M M M M R R g a a és a bázisba vonása után: M. a b c d M R R M R R M M R R M R R M R R M R R Leitold Adrien PE

142 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. a b c d M R R M R R M M R R M M R R M R R M M R R M R R M - M M. Legyen az a vektor hiányzó koordinátája c és a b vektor hiányzó koordinátája c! Nincs megoldás: c = c Pontosan egy megoldásvektor: c c R Végtelen sok megoldásvektor: c = c =.. a M b M c Nem oldható meg Cramer szabállyal. d M. a c és c - b c Leitold Adrien PE

143 Lineáris egyenletrendszerek 7. a c = vagy c =- b c = esetén: c =- esetén: c esetén: 7 8. a bázistranszformációval b bázistranszformációval M y z R zr z y z M y z R R y z M y z R zr z y z M R R M R R c bázistranszformációval M d bázistranszformációval Cramer szabállyal M e bázistranszformációval a Cramer szabály nem használható (D = D = D = D = M R R f bázistranszformációval Cramer szabállyal M g bázistranszformációval Elméleti kérdések. hamis. igaz. hamis. hamis. hamis. igaz 7. hamis 8. igaz 9. hamis. hamis M Leitold Adrien PE

144 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. hamis. igaz. igaz. igaz. hamis. igaz 7. hamis 8. hamis 9. igaz. hamis. hamis. hamis. igaz. igaz. hamis. igaz Leitold Adrien PE

145 Lineáris leképezések Lineáris leképezések. a b c d e A R R : ( ( lineáris ker A o im A R M A A R R : ( ( lineáris ker A o im A R M A A R R : ( ( ha : lineáris ker A o im A R M A ha = : lineáris ker A R im A o M A A R R nem lineáris : ( ( v v : ( ( A R R lineáris ker A im A M A. Útmutatás: a linearitás ellenőrzéséhez az additivitás és homogenitás teljesülését kell vizsgálni. a b c d A R R : ( ( ker A o im A R M A A R R : ( ( ker A o im A R M A A R R : ( ( A ker A R R : ( ( M A i m A Leitold Adrien PE

146 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak Leitold Adrien PE ker A i m A A M. A M R R A : A M R R A : R R A : R R A : R R A : A M R R A : lineáris ( ( lineáris ( ( nem lineáris ( nem lineáris ( ( nem lineáris ( ( lineáris ( (. R R H : R R G : R R F R R E : R R D : R R R R B : R R A : ( - ( ( : ( ( (- ( ( C : - ( ( ( (. a A M B M b 7 A B c B A létezik B A M. r(a = r(b = r(c = 7. a A M B M

147 Lineáris leképezések 7 b 9 A B : R R ( ( 9 - M A B A : R R ( ( - M A A B : R R ( ( - 8 M A B 8 B A : R R ( ( - 8 M B A 8 c Az A lineáris transzformáció invertálható az inverze: : ( ( A R R A B lineáris transzformáció nem invertálható. 8. a M A B 9. a M b ker A o ker B - R R Az A lineáris transzformáció invertálható inverze: A : R R ( (- M c b im(a b im(b ker A R 8 - A nem injektív ker A o ker A R - A nem injektív A injektív ker A R A nem injektív ker A R A nem injektív ker A R A nem injektív ker A R A nem injektív ker A R 7 A nem injektív Leitold Adrien PE

148 8 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak b b im(a b im(a b im(a M b im(a M R 8 b im(a b im(a b im(a b im(a M R M R M R M R. A transzformációk determinánsa: det(a = az A lineáris transzformáció nem invertálható det(a = - az A lineáris transzformáció invertálható det(a = - az A lineáris transzformáció invertálható det(a = az A lineáris transzformáció nem invertálható. a H R R. H R R H R b H R c. d H R R. H R R e H R R. H R R.. Sajátvektorok a fenti sajátalterek nullvektortól különböző elemei.. a v sajátvektor v v v nem sajátvektor b vv sajátvektor v v nem sajátvektor. a vv sajátvektor v v nem sajátvektor b vv sajátvektor v v nem sajátvektor c vv sajátvektor v v nem sajátvektor. a = algebrai multiplicitás: H R R. geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = ( - b = algebrai multiplicitás: = algebrai multiplicitás:. H R R geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = ( H R R. geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = ( c = algebrai multiplicitás: Leitold Adrien PE

149 Lineáris leképezések 9 H R R. geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = ( d = algebrai multiplicitás: = algebrai multiplicitás:. H R R. geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = ( - H R R geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = ( e = - algebrai multiplicitás: = 8 algebrai multiplicitás: 8 9. H R R. geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = ( - H R R geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = ( 9 f nincs valós sajátérték nincs sajátvektor g = algebrai multiplicitás: = algebrai multiplicitás: = algebrai multiplicitás: H R R. geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.: v = ( H R R. geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = ( H R R. geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = ( h = algebrai multiplicitás: H R R. geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.: v = ( i = algebrai multiplicitás: = algebrai multiplicitás: H R R. geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = (- H R R. geometriai multiplicitás: sajátvektor: pl.:v = (. Útmutatás: használja fel az inverz függvény illetve a sajátérték sajátvektor definícióját!. Útmutatás: a transzformációk mátriával is elvégezhető az ellenőrzés lásd 9. minta feladat. 7. Útmutatás: lásd 9. minta feladat. Elméleti kérdések. hamis. igaz. igaz Leitold Adrien PE

150 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak. igaz. igaz. hamis 7. igaz 8. hamis 9. hamis. igaz. igaz. hamis. hamis. igaz. hamis. hamis 7. hamis 8. igaz 9. igaz Leitold Adrien PE

151 Skaláris szorzat az R n vektortérben Skaláris szorzat az R n vektortérben. a y z 9 yz b 9 y z c e y e z e d és y szöge: = 7 rad és z szöge: = rad y és z szöge: = 8 rad. a c d Útmutatás: helyettesítsen be a megfelelő azonosságokba képletekbe! b a b c e a és b szöge: = 8 rad b és c szöge: = rad. A skaláris szorzat értéke alapján: (- és ( ortogonális ( - és ( - nem ortogonális ( - és ( 8 ortogonális ( - és ( - ortogonális ( - és ( - nem ortogonális. A skaláris szorzat értéke alapján: ( - és ( vektorokra: = ( és ( - vektorokra: = vagy = ( és ( - vektorokra: nincs ilyen. a Az vektor v-re vonatkozó Fourier-együtthatója: b Az vektor v vektorral párhuzamos összetevője: v Az vektor v vektorra merőleges összetevője: 7 9 v.. a Az vektor v-re vonatkozó Fourier-együtthatója: b Az vektor v vektorral párhuzamos összetevője: v Az vektor v vektorra merőleges összetevője: v. Leitold Adrien PE

152 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak 7. a Útmutatás: mutassa meg hogy b és b ortogonális továbbá mindkét vektor egységre normált. b és 8. a Útmutatás: mutassa meg hogy b és b ortogonális továbbá mindkét vektor egységre normált. b és 9. a Útmutatás: mutassa meg hogy b és b ortogonális továbbá mindkét vektor egységre normált. b és. a H = { ( +( - R } b H = { ( +( R }. a H = { ( - +( - R } b H = { ( R } c H = { (- - R } d H = { o }. a h = (- h = ( b h = ( h = ( c h = ( h = ( d h = 7 8 h =. a b 7 7 Elméleti kérdések. hamis. hamis. hamis. igaz Leitold Adrien PE

153 Skaláris szorzat az R n vektortérben. hamis. igaz 7. igaz 8. igaz 9. igaz. hamis. igaz. igaz Leitold Adrien PE

154 Lineáris algebra példatár mérnök informatikusoknak A digitális melléklet leírása A digitális melléklet első része a Lineáris algebra tantárgy előadásain használt ppt file-okat tartalmazza. Ezekben megtalálhatóak az adott anyagrész fogalmai állításai az alkalmazott jelölések. A példatárban mind a minta feladatok megoldásai mind a gyakorló feladatok megfogalmazásai az itt bemutatott jelöléseket használják és az összeállított elméleti ismeretekre támaszkodnak. Az m m sorszámú ppt file-ok a példatár fejezeteinek megfelelően az alábbi anyagrészeket tartalmazzák: m: Az R tér geometriája m: Az R n vektortér m: Mátriok m: Lineáris egyenletrendszerek m: Lineáris leképezések m: Skaláris szorzat az R n vektortérben Az m7 m8 és m9 sorszámú mellékletek az elméleti anyagból kiemelve néhány lineáris algebrai fogalom geometriai szemléltetését mutatják az R térben: m7: A lineáris kombináció szemléltetése az R térben m8: A lineáris függetlenség összefüggőség geometriai szemléltetése m9: Vektorhalmazok összege; alterek összege direkt összege A digitális melléklet második része néhány alapvető lineáris algebrai feladat részletes lépésről lépésre történő megoldását mutatja be animált változatban. A megoldások részletes magyarázatokat útmutatásokat tartalmaznak. Az animációk a következő feladattípusok megoldását mutatják be: m: Bázistranszformáció alkalmazása vektorhalmaz rangjának meghatározására m: Mátri inverzének meghatározása bázistranszformációval m: Lineáris egyenletrendszerek megoldása bázistranszformációval m: Mátriszorzás a Falk elrendezés alkalmazásával Leitold Adrien PE