Gyakorló feladatok vektoralgebrából

Átírás

1 Gyakorló feladatok ektoralgebrából Az alábbi feladatokban, hasak nem jelezzük másként, az i, j, k bázist használjk.. a.) Milyen messze annak egymástól az A(,,) és a B(4,-,6) pontok? b.) Számítsa ki az A, B és a C(-,4,-) pontok által meghatározott háromszög kerületét, területét, szögeit, C súsán áthaladó magasságektorának koordinátit!.) Írja fel az A, B és a C(-,4,-) pontok által meghatározott sík egyenletét ax+by+z=d formában! A sík tartópontjaként használja az A pontot! Adja meg az imént meghatározott sík és a (,, ) helyektor által bezárt szöget! d.) Bontsa fel az a ektort a b ektorral párhzamos és arra merőleges összeteőkre!) a= (,, ), b=(, 0, ). Mekora e két ektor által kifeszített háromszög területe?. együk fel, hogy az (,,-), (-,, ), (, -, ) ektorok bázist alkotnak. Mik a (9,, - 7) ektor koordinátái e bázisra onatkoztata?. A szögek kiszámítása nélkül döntse el, hogy az alábbi ektorpárok hegyes-, derék- agy tompaszöget zárnak-e be. A megadott koordináták az i, j, k bázisra onatkoznak: b) (4,-, 6) és (-,4,-) ; ) (,,) és (4,-,6); d) (,,) és (-0, 7, ) 4.. Legyen az ABC háromszög három súsa: A(,4,), B(-,,6), C(0,-4,4). Számítsa ki a háromszög X-Y síkra ett merőleges etületének területét! A súsok helyektoraiból a háromszög oldalektorai meghatározhatók, ezekből ektoriális szorzással kapjk meg a háromszög területét (területektorát). Eztán az X-Y sík normálektorának az n=(0,0,) [agy akár az n=(0,0,-)] ektort ée, az imént meghatározott területektor és az n normálektor skaláris szorzata (pontosabban ennek abszolút értéke) éppen a kérdéses etület területét adja. ehát a háromszög oldalektorai AB=(-5,-,), AC =(-,-8,), a háromszög területektora pedig: t= ( AB AC )= (,-,4). Az X-Y síkra ett merőleges etület területe: t n =7. 5. Legyen az ABC háromszög három súsa: A(,4,), B(-,,6), C(0,-4,4). Számítsa ki a a háromszög legnagyobb szögét, és az X-Y síkra ett merőleges etületének területét! 6. Adottak a köetkező pontok: A ( ; ;0), B(,,), C(,,), D(,,4 ). a.) Írja fel az A ponton átmenő, BCD síkkal párhzamos sík egyenletét!

2 b.) Mekkora az a.) -ban kiszámított sík és az x y z 0 egyenlettel megadott sík által bezárt szög? 7. Egy Nap körül keringő űrszonda háromszög alakú napelem paneléel fedezi energiaszükségletét. A panelt három egymásra merőleges, a háromszög súsaiba ftó kar tartja, és egy mereítő rúd, amelyik a háromszög közepe táján érintkezik a panellel, és merőleges a felületére. Mind a négy rúd a szonda oldalán, egy pontban an rögzíte. Az egymásra merőleges karok hosszúsága m, m illete m, s ez tóbbi éppen a Nap irányába mtat. Azoknak a fotonoknak a flxsa, amelyekre a napelem érzékeny,,5 0, m s 8 azaz a Nap irányára merőlegesen m felületre másodperenként,5 0 db hasznos foton érkezik. Ha minden foton két elektront lök ki a napelem félezetőjének paneljéből, akkor mennyi elektron termelődik egy másodper alatt? Mekkora szögben esik a napfény a napelem felületére (azaz mekkora a felület normálisa és a Nap iránya által bezárt szög)? Milyen hosszú az a mereítő rúd, amely a háromszög alakú panelre merőleges? A súspontokba mtató ektorok: a (,0,0); b (0,,0); (0,0,). Kiszámítjk a háromszög területektorát az oldalektorok keresztszorzatáal: 8 CA a (,0, ); CB b (0,, ); t CA CB (,,). A napelem napirányú keresztmetszetét megkapjk, ha eszünk egy a Nap irányába mtató egységektort, n (,0,0 ), és skalárisan megszorozzk a területektorral: t n. Ez tehát m, azaz egy másodper alatt 8 8,5 0 4,5 0 elektron lép ki a lemezből. t n A fénysgarak beesési szöge: os 0, 464 t n A, amiből 64,76. m -es tartó rúd illete a m -es tartó rúd egy háromszöget határoznak meg, amelynek területe m. Ez a háromszög képezi alapját annak a gúlának, amelynek élei a tartó rdak illete a napelem panel élei. Ennek magasságát a másik m -es tartó rúd adja, így a gúla térfogata m. A mereítő rúd hossza a merőleges karok és a panel alkotta háromszög alapú V 6m gúla magassága, azaz: m,8m. m alap 8.

3 Legyen p, V R ektortér. Adott három V -beli ektor: 0, 0, ahol p alós paraméter. a.). A p paraméter mely értékére lesznek a,, ektorok lineárisan összefüggőek? (4 pont) b.) Az előző feladat alapján p értékét álasszk úgy, hogy a,, ektorok bázist alkossanak a V térben. ( pont) A Ha alaki ügyes, látja, hogy itt lehet determinánssal számolni. 0 p 0 A lineáris összefüggőséghez az kell, hogy det(a ) 0 legyen. A második sor szerint kifejte a determinánst: det( A ) 0 p 0 6p 0 kell. Innen p. 6 Ha alaki nem annyira ügyes, akkor Gass elimináióal is számolhat. Ehhez meg kell keresni, hogy az A 0 egyenletnek milyen p -re annak nemtriiális megoldásai. A jobb oldal mindig 0, ezért nem is érdemes kiírni p p p 0 ~ 0 ~ p Ahhoz, hogy be kelljen ezetnünk szabad paramétert, agyis hogy legyen nemtriiális megoldás, alamelyik ezéregyesnek 0-nak kell lennie. Elképzelhető, hogy p 0, de ez a második lépésben sorseréel kiédhető lenne. Így az egyetlen lehetőség, hogy 0. Ebből p. p 6 9. Egy háromszög súspontjainak koordinátái: A(-; -), B(4; -), C(4; 5). A B súsból indló magasságonal az AC oldalt a pontban metszi. Mekkora az A szakasz hossza?

4 (ábra) Jelölés: legyen b AB, AC, t A. Ekkor a t ektort megkaphatjk, mint a b ektor ektorra ett etületét. Ezt az alábbi módon tdjk kiszámolni: t ˆ b os, ahol a ĉ ektor a irányába mtató egységektor, pedig a b és ektorok által bezárt szög. Az egységektort behelyettesíte, a maradék tényezőket pedig a két ektor skalárszorzatából kifejeze: b t ( b ) A ektornak most sak a hosszára an szükségünk: b t ( b ) A ektorokat koordinátáit kiszámoljk, majd ezekből a skalárszorzatot, illete a ektor hosszát: b ( 6; ) (6; 6) b Ezeket behelyettesíte: b 4 t 6 0. a.)az a ( ; 4) és b ( ; y) ektorok 60 -os szöget zárnak be egymással. Mekkora az y? A két ektor skalárszorzatát kétféleképpen írjk fel: a b a b ab 4y a b a b os(60 ) 5 y Így kapnk y-ra egy másodfokú egyenletet: 6 6 8y 96y 5 64y 5 9y 96y 0 Ezt megolda: y, 78 y.4 y 5y y 0. A kettő közül azonban sak az első megoldás a jó, mert a másodiknál a két ektor által bezárt szög 0 (a négyzetre emelés miatt, os( 0 ) ). b.) Határozza meg a skalárszorzat felhasználásáal a = (, y 0, z 0 ) ektort úgy, hogy merőleges legyen az a = (,, 0) és a b = (,, -) ektorokra!. Mekkora szöget zár be egymással egy koka két kitérő helyzetű lapátlóegyenese?

5 Kitérő lapátlók két helyen találhatók. () Két szemközti oldalon. Ekkor a két egyenes által bezárt szög 90, ez jól látszik. () Két szomszédos oldalon. Ekkor a közös oldalon leő egyik súsból kiindló három oldalektorát a kokának jelöljük a, b, -el. Ezek közül legyen b a közös oldal. A két lapátlót ezek segítségéel a köetkezőképpen írhatjk fel: a b b Az általk bezárt szöget skalárszorzattal számíthatjk ki: os ( a b) ( b A koka oldalhossza legyen ) a b a b b d a b, ekkor d. Az a, b, ektorok páronként merőlegesek egymásra, így a skalárszorzatk nlla. Ezeket felhasznála: d os, d agyis a két lapátló által bezárt szög 60.. a.) Mekkora a térfogata a köetkező ektorok által meghatározott paralelepipedonnak? a(, -5, ), b(, -, ), (, -, 5) b.) Határozza meg az a x; y; ektor ismeretlen koordinátáit, ha a merőleges ;; 0 b ektorra, és az egy súsból indló a, b és ;5; 4 ektorok által meghatározott paralelepipedon térfogata 48 térfogategység!) a merőleges b : a b 0 x y x y paralelepipedon térfogata: 0 x 8y ahonnan x y az egyenletrendszer megoldása: x y. Felírható-e a b ektor az a, a, a ektorok lineáris kombináiójaként?

6 b(0,0,0) a (,,) a a (,, (,,5),, 4)., 4. Egy tetraéder súspontjai A(,,), B(4,,-), C(6,,7), D(-5,-4,-8). Számítsa ki a tetraéder D súsából húzható magasságnak a hosszát! 5. Adottak az A,,, B,, 5, C,,, D 9, 6, 5 pontok. Számítsa ki az AB és AD ektorokat! Számítsa ki az ABD területét ektoralgebrai úton! Döntse el, egy síkban annak-e a megadott pontok? Adja meg a B súsba mtató magasság ektorát. 6. Adott az ABC háromszög a súsaial: A(,, ), B(0, -, ), C(5,, ). Számítsa ki az ABC háromszög területét! Mekkora szöget zár be a x-y+z=0 egyenletű sík a háromszög síkjáal? 7. Döntse el, hogy az alábbi ponthármas egy egyenesen an-e: D ;; E 4;;7 F 5; ; Döntse el, hogy a köetkez_ pontnégyes egy síkban an-e: (;;0 0;; ;5; 4 4; ;6 Nagyon hasznosak az alábbi feladatok is: Gyakorló feladatok és megoldásaik ektoralgebrából (írta: Dr. Wettl Feren, BME. A 6. feladattól ajánlott).