Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Átírás

1 Pataki János, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: 005. november I. rész. feladat Egy liter 0%-os alkoholhoz / liter 40%-os alkoholt keverünk. Hány százalékos lesz a keverék? ( pont). feladat Egy másodfokú polinom gyökei és 5. A függvény grafikonja a - ordinátájú pontban metszi az y-tengelyt. Határozzuk meg a polinomfüggvény szélsőértékét a valós számok halmazán! (4 pont). feladat Egy érmét négyszer dobunk fel. Mennyi a valószínűsége, hogy több fejet dobunk, mint írást? (4 pont) 4. feladat Oldja meg az egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! (4 pont) 5. feladat A P pont illeszkedik az -tengelyre és egyenlő távol van az A(; ) és a B(5; 4) pontoktól. Milyen messze van a P pont az origótól? ( pont) 6. feladat Határozza meg az alábbi kifejezés pontos értékét: lg 6 lg 4 lg 0 lg lg6. 7. feladat Az szögre cos ( pont) 5. Határozza meg cos és sin lehetséges értékeit. ( pont) 8. feladat Az ABC háromszögben AB cm, BC 6 cm, a háromszög területe pedig 54 cm. Határozza meg az Aˆ B C szöget. (4 pont) 9. feladat Egy számtani sorozat első és ötödik elemének az összege 8. A sorozat harmadik eleme 6- tal kisebb, mint az ötödik. Mennyi a sorozat első tíz elemének az összege? ( pont) 0. feladat Egy osztályba 6 diák jár. Közülük -en tanulnak angolul vagy németül, németül pedig -en tanulnak. Az osztályban csupán 7 diák nem tanul angolul. Hányan tanulják mindkét nyelvet? ( pont)

2 Pataki János, 005. november. feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log log 4; b) log log 7 II./A rész (). feladat Egy háromszög egyik szöge 0 -os, oldalaira pedig fennáll, hogy a b c 4 b 4 a c. Mekkorák a háromszög további szögei? (0 pont). feladat Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol t valós paraméter (t ) y t (t )y. II./B rész A 4-6. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania. (4 pont) 4. feladat Az ABCD trapéz egyik alapjainak hossza AB = 6, a BD átló hossza pedig 5 cm. A trapéz AC átlója 0 -os szöget zár be az alapokkal és merőleges a BD átlóra. a) Milyen hosszú az AC átló? b) Mekkora a trapéz területe? c) Mennyi a trapéz kerülete? (7 pont) 5. feladat Két évre takarékba tettünk forintot. A második év végére forintot vehettünk fel. a) Évente átlagosan hány százalékkal nőtt a betétünk? b) A tényleges kamatláb két százalékkal volt magasabb az első évben, mint a másodikban. Hány százalék volt a második évben a kamatláb? c) A szóban forgó két évben az infláció átlagos évi mértéke 6% volt. Mennyit ért a felvett forint két évvel korábban? (7 pont) 6. feladat A büfében frissen facsart narancslét árulnak. A Nemzeti Narancs Kutatóintézet Minőségbiztosítási Főosztályán megállapították, hogy egy 5 cm átmérőjű narancsnak átlagosan 80, egy 0 cm átmérőjű narancsnak pedig átlagosan a 70 százaléka narancslé. Azt is kiderítették, hogy a narancsok narancslétartalma bizonyos határok között lineárisan függ a narancsok átmérőjétől. a) Egy 8 cm átmérőjű narancs térfogatának várhatóan hány százaléka narancslé? b) A büfés 5 cm átmérőjű narancsokat rendelt. Mi járhatott a fejében? c) A Kutatóintézetben új narancsléfacsaró célszerszámot fejlesztettek ki, amely egy d átmérőjű narancs narancslétartalmának átlagosan a (00 d) százalékát facsarja ki. Mit tegyen a büfés?

3 Pataki János, 005. november (7 pont) Pataki János 005. novemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója. feladat A másfél liter keverékben összesen +=4 deci alkohol lesz, így 00 0,4/,5 6, 67 %-os keveréket kapunk.. feladat A polinom gyöktényezős alakja: p() a( )( 5). Összesen: pont Mivel p(0) a ( 5), innen a 0. 5 A függvénynek minimuma van és azt a gyökök felezőpontjában veszi fel: p min p() 5 ( )( 5) 7 5. Összesen: 4 pont. feladat A szóban forgó esemény két egymást kizáró módon valósulhat meg: úgy, hogy 4 fejet dobunk, vagy pedig fejet és írást. Az első esemény valószínűsége /6, a másodiké pedig 4/6=/4. A keresett valószínűség tehát 5/6. Összesen: 4 pont A feladat másképp is megoldható. Ha p jelöli a keresett valószínűséget, akkor p nyilván annak a valószínűsége, hogy ugyanannyi fejet dobunk, mint írást. Ez a valószínűség 6/6, így p = 5/6. 4. feladat Grafikusan: ha az egyenlet gyökei, akkor az egyenlőtlenség akkor telje- sül, ha, vagy. Az egyenletet rendezve ( )( ) 0. Az egyenlőtlenség megoldása: vagy. Összesen: 4 pont

4 Pataki János, 005. november 5. feladat Az AB felező merőlegesének egyenlete: y 9 0. Az egyenes az -tengelyt a 4,5 abszcisszájú pontban metszi. P távolsága az origótól 4,5. 6. feladat A logaritmus azonosságai szerint a kifejezés lg A logarimus definíciója szerint a kifejezés értéke. 7. feladat cos cos sin cos lg sin cos Összesen: pont Összesen: pont Ha pld hegyesszög, akkor 0< <80, így sin pozitív, míg ugyanezen szög ellentettjére, a (- ) szögre 0>- <-80, így sin negatív. Összesen: pont 8. feladat A háromszög kétszeres területe t sin AB ˆ t 08 C AB BC 7 AB BC sinaˆ B C. Innen Az Aˆ B C szögre így két lehetőség adódik: 60 vagy feladat 8 a a 5 a a 9. a 5 a A sorozat differenciája, első eleme. Az első tíz elem összege 65. Összesen: 4 pont Összesen: pont 0. feladat Készítsünk táblázatot. A táblázat belső mezőiben a megfelelő halmazok közös részének az elemszáma áll. A kitöltés alapja, hogy a keretben álló számok soronként és oszloponként is a táblázat mezőiben álló számok összegeként kaphatók. Az indeekbe írt sorszámmal jelezzük, hogy a gondolatmenet hányadik lépésében határozhatjuk meg azt a számot. A 0 indeű számok a szöveg alapján közvetlenül beírhatók a táblázatba. 4

5 Pataki János, 005. november Angolul tanulók nem tanulók összesen tanulók 8 = = 7 0 ném 4 etül nem tanulók 4 = 6 5 = 6 összesen 9 = A táblázat helyes kitöltéséért vagy Venn diagramért Összesen 8 diák tanulja mindkét nyelvet. feladat Mindkét egyenlet akkor értelmes, ha pozitív és nem. Összesen: pont a) y log y log. Az egyenlet az új vátozóban rendezés után: y 4y 0. Ennek megoldásai y, y. A logaritmus definíciója szerint, 7. Mindkét szám gyöke az eredeti egyenletnek b) A logarimus azonosságai szerint log log log log 4log. A logaritmus definíciója szerint az log egyenlet ekvivalens az / egyenlettel: ennek megoldása 9. A kapott érték megoldása az eredeti egyenletnek. Összesen:. feladat Rendezve és szorzattá alakítva: 0 a b a c c 4 b 4 a (b c ) (c b )(c b ) (a c b )(b c ). 5 pont Ha a szorzat első tényezője 0, akkor a Pitagorasz tétel megfordítása szerint a háromszög derékszögű. Ebben az esetben nem lehet tompaszög a háromszögben. pont Így a szorzat második tényezője 0, ekkor a háromszög egyenlő szárú. 5

6 Pataki János, 005. november Ekkor a háromszög hegyeszögei egyenlők, nagyságuk feladat Az első egyenlet (t )-szereséből vonjuk ki a második egyenlet -szorosát: (t )(t ) t(t ) 6 Rendezve és szorzattá alakítva () (t )(t ) (t )(t ). Most az első egyenletből vonjuk ki a második egyenlet (t )-szeresét: (t ) y t (t ), azaz Összesen: 0 pont t. (y) ( t)( t)y t. Ha t, akkor az egyenletrendszer y 6 y. Az első egyenlet a második -szorosa, az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van. Ezek az ; számpárok, ahol tetszőleges valós szám. Ha t, akkor az egyenletrendszer y 6 y. Az egyenletrendszernek ebben az esetben nincs megoldása. Ha (t )(t ) 0, akkor az () és (y) egyenletekben egyszerűsíthetünk (t )-vel és mindkét oldalt oszthatjuk (t )-vel: (t ) t és y A kapott számpár megoldása az egyenletrendszernek. Összesen: 4 pont 4. feladat Jelölje M az átlók metszéspontját. Az ABM derékszögű háromszögben Mˆ A B 0, azért a) MA, MB = és így MA =. Az MDC derészögű háromszögben tehát DC = 4. Az AMB és a CMD derékszögű háromszögek hasonlók, a hasonlóság aránya AB : CD :. Így CM, tehát AC 5. b) Az átlók merőlegesek egymásra, azért a négyszög területe a szorzatuk fele: 6

7 Pataki János, 005. november AD AC BD t 5,65 cm. 5 pont c) A kerület meghatározásához a szárak hosszát kell kiszámolni. Pithagorasz-tétele szerint AM MD 5,57 cm BC BM MC 4,58 cm A trapéz kerülete k 0, 5 cm. Összesen: 7 pont 5. feladat a) A betétünk két év alatt,05-szörösére nőtt. Ha mindkét évben s-szeresére nőtt a betét, akkor s =,05, ahonnan s,05. pont A betétünk tehát átlagosan 5%-kal nőtt évente. b) Ha az. évben s-szeresére nőtt a pénzünk, akkor a. évben a szorzószám (s 0,0). A két év során összesen,05-szörös volt a növekedés, így,05 s(s 0,0). Az egyenlet pozitív megoldása s,06. A második évben tehát 6%-os volt a kamatláb. -- c) Ki kell számolnunk, mekkora összeg () növekszik évi 6%-os növekedési arányt követve év alatt forintra., , ahonnan forint. 4 pont Összesen: 7 pont 6. feladat a) Feltéve, hogy a linearitás fennáll a 5 cm;0cm intervallumban, a szóban forgó függvény N ( d 0) 70 d 50, ahol N a narancslétartalom térfogatszázalékban, d pedig a kifacsarandó narancs átmérője centiméterben pont Ebben az esetben egy 8 cm átmérőjű narancsnak várhatóan a 86%-a narancslé. b) A fenti formula azt mondja, hogy egy 5 cm átmérőjű narancsnak a 00%-a narancslé, a büfés ebben reménykedhetett. Ez nyilván képtelenség, a tapasztalt linearitás ebben a tartományban már nem lehet igaz. c) Ha a büfés d átmérőjű narancsokat rendel, akkor feltéve, hogy a lineáris összefüggés érvényes az ilyen méret esetén a szállítmánynak ( d 50)% -a lesz narancslé, amelynek a célszerszám segítségével a (00 d)%-át tudja hasznosítani. Így az érkező szállítmánynak 00 d összesen a (d 50) % -a hasznosul. 00 pont 7

8 Pataki János, 005. november Ez d-nek másodfokú függvénye, amely akkor maimális, ha d,5. A maimálisan hasznosítható narancslétartalom az adott körülmények között 56,5%. 5 pont Összesen: 7 pont 8