MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

Átírás

1 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! 1) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? x A 10 x 0 egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. x 10 Összesen: pont ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) 3 x log 1 1, ahol x valós szám és x 1 b) cos x 4 5sin x, ahol x tetszőleges forgásszöget jelöl (11 pont) a) A logaritmus definíciója szerint b) x x 1 8 x 1 64 x 63 Ellenőrzés. cos x 1sin x helyettesítéssel, sin x 5sin x 4 0 sin x y új változóval y 5y 0. 1 y1 ; y y nem megoldás, mert sin x x k vagy x k (fokban is megadható) (3 pont) 6 6 k Ellenőrzés, vagy le kell írni, hogy a gyökök igazzá teszik az eredeti egyenletet, mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk. Összesen: 17 pont

2 3) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) x x b) lg 15 lg 3 5 lg 0 x 3 x a) Értelmezési tartomány: x 3 A logaritmus azonosságának helyes alkalmazása. (A lg függvény kölcsönösen egyértelmű.) x x 5 x 30x 15 0 x1 5 és x 5 Mindkét megoldás megfelel. b) x 0 x 13 x 5 5 x 1 A négyzetgyök értéke nemnegatív szám, ezért nincs valós megoldás. Összesen: 1 pont 4) Válassza ki az A halmaz elemei közül azokat a számokat, amelyek megoldásai a x x egyenletnek! A 1; 0; 1; ; 3 Az egyenlet megoldásai az A halmaz elemei közül: 1 és 0. 5) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! x 7 Az egyenlet megoldása a 9 és a 5. Összesen: pont

3 6) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 5 x x 71 b) sin x 1 cos x a) A négyzetgyök értéke csak nemnegatív lehet: x 5. és csak nemnegatív számnak van négyzetgyöke: x 35,5 Négyzetre emelve: x 10x 5 x 71. Rendezve: x 10x 96 0 amelynek valós gyökei a 16 és a 6. Az utóbbi nem felel meg az első feltételnek, ezért nem megoldása az egyenletnek Az egyenlet egyetlen megoldása a 16, hiszen ez mindkét feltételnek megfelel, s az adott feltételek mellett csak ekvivalens átalakításokat végeztünk. b) A bal oldalon a sin x 1cos x helyettesítést elvégezve kapjuk: 1 cos x 1 cos x cos x cos x 0 cos x cos x 0 Ha cos x 0, akkor x k, ahol k. x egyenletnek nincs megoldása (mert cos x nem lehetséges). Összesen: 1 pont A cos 0 7) Adja meg azt az x valós számot, melyre a következő egyenlőség teljesül! 1 x x 16

4 8) a) Melyik xy ; valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? x 6y 4 3x 5y 0 b) Oldja meg az alábbi egyenletet! x x a) 1 x 6y 4 3x 5y 0 1 x 4 6y x 3y y 3 3 5y 0 6 9y 5y 0 y 1 x 3y 5 Ellenőrzés. 51 ;. b) x x x x x x x1, x 1 x 1 Ellenőrzés: x 1 hamis gyök. x1 megoldása az egyenletnek. Összesen: 1 pont 9) Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? x1 x 7 7 Összesen: pont 10) Adott a valós számok halmazán értelmezett f x x 4 függvény. Mely x értékek esetén lesz f x 6? x1, x 10

5 11) a) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! x 4 4x 1 b) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert, ahol x és y valós számot jelöl! 3x y 16 5x y 45 a) Értelmezési tartomány: 4x 1 0 és x 4 0 x 4 Négyzetre emelve mindkét oldalt (a belső kikötés elvégzése miatt lehetséges): x x x Rendezve: x 4x 5 0 Az egyenlet gyökei: x1 5, x 1 A 5 nem része az értelmezési tartománynak, így nem valódi gyök. Az 1 ennek megfelelő gyök. b) Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazva az első egyenletet beszorozva - vel: 6x y 3 5x y 45 Egyszerűsítés után adódik: 11x 77 x 7 Visszahelyettesítve x-et: y 5 Ellenőrzés. A feladat megoldható a klasszikus behelyettesítős módszerrel is! Összesen: 1 pont 1) Az ábrán a 1;5 intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x 3 1 B: x x 3 1 C: x x 3 1 D: x x 3 1 C

6 13) Adja meg az alábbi egyenlet megoldásait a valós számok halmazán! x 8 8 (3 pont) x1 0 x 4 x3 4 Összesen: 3 pont 14) a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: x 3 3x 1. (7 pont) Az f : ; f x a x b lineáris függvény zérushelye 4. Tudjuk továbbá, hogy az x 4 helyen a függvényérték 6. b) Adja meg a és b értékét! a) Az egyenlet alakja x 3 esetén: x 3 3x 1, amiből x 1, ami nem megoldása az eredeti egyenletnek. Az egyenlet alakja 3 x 3 3x 1, x esetén: amiből x 1. Ellenőrzés behelyettesítéssel vagy ekvivalenciára hivatkozva. a 4 b 0, b) A megadott feltételek szerint továbbá a 4b 6. Az egyik egyenletből az egyik ismeretlent kifejezve és a másik egyenletbe helyettesítve vagy a két egyenletet összeadva kapjuk, hogy b 3, a 0, 75. Összesen: 13 pont