Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Átírás

1 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén értelmezett, ezért az egyenlet x $ 0 esetén értelmezett A metszéspont x = 0-nál van Ez megoldása az egyenletnek /II b)az a) részhez hasonlóan az egyenlet értelmezési tartománya x $ 0 A grafikonról leolvasható, hogy x = Ez jó megoldás c) Hasonlóan az elôzôekhez x = 0 az egyenlet megoldása Az értelmezési tartomány x $ 0 /III / A függvények grafikonjai nem metszik egymást, az egyenletnek nincs megoldása

2 Irracionális egyenletek 9 a) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ 0 /a A grafikonról leolvasható, hogy x = 0, x = b) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ 0 /b A grafikonról leolvasható, hogy x = 0, x = c) Az egyenlet értelmezési tartománya: x > 0 /c A grafikonról leolvasható, hogy x = d) Az egyenlet értelmezési tartománya: x # 0 /d A grafikonról leolvasható, hogy x = 0, x =-

3 96 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek /e e) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ - A grafikonról leolvasható, hogy x = /f f) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ A grafikonról leolvasható, hogy x = a) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ - Mivel mindkét oldal nemnegatív, így mindkét oldalt négyzetre emelve az egyenlet megoldása: x =-, amely eleme az értelmezési tartománynak b) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ 7, négyzetre emelés után az egyenlet megoldása x = 6 c) Az egyenlet értelmezési tartománya: x # Az egyenlet megoldása: x =-, d) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $ - Az egyenletnek nincs megoldása, mert az egyenlet bal oldalának értékkészlete, nemnegatív, jobb oldal - a) Kikötés: x $ Négyzetre emelve azt az egyenletet kapjuk, hogy: _ x - i =, ebbôl x =,, ami valóban megoldás b) Kikötés: x #, Elosztva -mal, majd négyzetre emelve, kapjuk, hogy x =, c) Kikötés: x $ - Rendezzük az egyenletet: x + = 8 Négyzetre emelés után az egyenlet gyöke x = d) Kikötés: x $ -, Rendezzük az egyenletet a következô módon: x +, =, majd négyzetre emelve kapjuk, hogy az egyenlet megoldása x = 7,

4 Irracionális egyenletek 97 e) Kikötés: x $ - 9 Rendezzük az egyenletet: x + = Négyzetre emelés után: x = megoldást kapjuk 9 6 a) Az egyenlet értelmezési tartománya x $ Vezessük be az a= x- jelölést, ekkor a= a egyenlethez jutunk, amelynek megoldása az a= 0, a= Visszahelyettesítve kapjuk, hogy x=, x= b) Az egyenlet értelmezési tartománya x $ Az egyenlet bal oldalának értékkészlete nemnegatív, így a jobb oldalnak is nemnegatívnak kell lenni Ebbôl adódik, hogy - x $ 0, azaz x # Összevetve az értelmezési tartománnyal x = megoldást kapjuk 7 a) Az egyenlet értelmezési tartománya: bal oldal: x $-, jobb oldal: x $, tehát x $ Négyzetre emelés után: x =-7 adódik, ami nem eleme az értelmezési tartománynak, tehát nem megoldása az egyenletnek 7 b) Bal oldal: x $, jobb oldal: x #, tehát az értelmezési tartomány: 7 # x # 8 Négyzetre emelés után: x = adódik, és ez megoldása a feladatnak 0 8 a) Mivel a négyzetgyök alatt teljes négyzet áll, ezért az egyenlet minden valós számra értelmezhetô Átalakítva: _ x- i = x-, ebbôl x- = x-, melynek megoldása x $ b) Minden valós számra értelmezett Átalakítás után: x- = x+ abszolútértékes egyenletet kapjuk Az abszolútérték felbontása után kapott egyenletek: Ha x $, akkor x- = x+, melynek az adott intervallumon nincs megoldása Ha x #, akkor - x+ = x+, melynek az adott intervallumon a megoldása x =-

5 98 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek c) Az egyenlet bal oldala x $ esetén, a jobb oldal x # esetén értelmezett A két halmaznak nincs közös része, tehát az egyenletnek nincs megoldása 9 Célszerû a x = y ismeretlen bevezetése a) x $ 0 esetén értelmezett az egyenlet Ekkor az új egyenlet: - y= y- elsôfokú egyenletbôl: y =, tehát x = b) Értelmezési tartomány: x $ 0, x! 6; 9 Az új ismeretlen bevezetése után a törtes egyenlet megoldása: y = 0, tehát x = 00 c)hasonlóan a b) részhez: x $ 0, x! A megoldás: x = 9 d) x $ 0 Most célszerû az y= x bevezetése Ekkor az egyenlet: _ y+ i + _ y- i = _ y+ i alakban írható Zárójelfelbontás, összevonás után: y - y = 0, melybôl y= 0, y= Az egyenlet megoldása: x= 0, x= 6 0 a) Kikötések: x$ -6, x$ -, ekkor mindkét oldal nemnegatív, tehát a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás Négyzetre emelés után az egyenlet: x + x - 8 = 0 Gyökei: x=-, x=, amelybôl az eredeti egyenlet gyöke: x = b) Kikötés: # x # Négyzetre emelés után a rendezett egyenlet: x - x + = 0, melynek gyökei: ; Az hamis gyöke az egyenletnek, így a megoldás: c) A négyzetgyök miatt egyrészt x #, másrészt x - $ 0, azaz x $ 6 teljesülése szükséges Ennek a két egyenlôtlenségnek nincs közös része, tehát a feladatnak nincs megoldása d) Kikötés x $ - 6 Rendezzük az egyenletet oly módon, hogy csak a gyökös kifejezés álljon az egyik oldalon x+ = x+, ekkor még az x $ - -nek is teljesülni kell Négyzetre emelés után: x + x - 8 = 0 egyenletet kapjuk, melynek gyökei: -; Ezek közül az eredeti egyenletnek csak az x = a megoldása e) Kikötés: x # -, majd rendezés után -- x = x+ alakban x $ -, tehát az egyenlet megoldása - # x #- intervallumon értelmezhetô A négyzetre emelés után: x + 0x + = 0, melynek gyökei: -,; -, Az eredeti egyenlet gyöke a -,

6 Irracionális egyenletek 99 f) A bal oldal - x $ 0, azaz x # 6esetén értelmezhetô, és a jobb 9 oldal x $ 6, kell hogy teljesüljön Így csak az x = 6 lehet a megoldás, ellenôrzéssel igazolható, hogy ez valóban jó a) Közös kikötés: x $ Négyzetre emelve, majd rendezve az egyenletet kapjuk: x - x + = 0, melynek gyökei: 7, Az eredeti egyenlet gyöke a 7 b) Közös kikötés: x $ Lásd elôzô feladat A kapott másodfokú egyenlet: x - 6x + 7 = 0 Megoldás a 7 c) Kikötés: x >, a kapott másodfokú egyenlet: x - x+ = 0 A megoldás: x = 8 d) Kikötés: x >, a kapott másodfokú egyenlet: x - 7x - = 0 Az egyenlet megoldása x = a) Az egyenlet értelmezési tartománya: x $, Két négyzetgyökös kifejezés összege csak akkor lehet 0, ha a két kifejezés külön-külön 0 Így tehát x=, es x=, egyszerre kell, hogy teljesüljön, de ez lehetetlen b) Kikötés: x$ Rendezve az egyenletet kapjuk, hogy: x-= x+, melybôl ellentmondásra jutunk c) A kikötések megtétele után vizsgálva az egyenletet ellentmondásra jutunk, hisz két nemnegatív kifejezés összege nem lehet d) A kikötések során a két egyenlôtlenségnek nincs közös része, mert 7 x $, és x # Így az egyenletnek az értelmezési tartománya üres halmaz A kikötések megtétele után rendezzük úgy az egyenleteket, hogy mindkét oldalon egy négyzetgyökös kifejezés legyen, majd ezután emeljünk négyzetre, majd a kapott egyenlet rendezése után ismételten emeljünk négyzetre a) Kikötés: # x # Rendezve az egyenletet: x- = - - x Emeljünk négyzetre: x- = - - x + - x Rendezés után: x- =- - x, melyet ha ismét négyzetre emelünk a kapott másodfokú egyenlet: x - 6x + 6 = 0, melynek gyökei x=, es x= Mindkét gyök megoldása az eredeti egyenletnek b) Kikötés: x $ Rendezés után: x+ = 8- x-, majd négyzetre emelve és rendezve: x- 8 = 6 x-

7 00 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Másodszori négyzetre emelés után: a kapott másodfokú egyenlet: x - 7x + 60 = 0, melynek gyökei: x = 6, és x = 0 Ellenôrzés után a megoldás: x = 0 c) Kikötés: - 7 # x # Rendezés után: x+ 7 = + - x Négyzetre emelve, majd rendezve: x- 0= - x Újból négyzetre emelve kapjuk: x + x- 88 = 0, melynek megoldásai: x=, es x=-, 76 Melyek közül csak a megoldása az egyenletnek d) Kikötés: x $ - Rendezve kapjuk: x+ 6, = x+ - Négyzetre emelve, majd rendezve: x+ = x+,, amelybôl: x+ = x+ Ennek az egyenletnek a megoldásai: x = és x =- A két gyök közül az eredeti egyenlet megoldása az x = Az ilyen típusú feladatok az egyenletek kétszeri négyzetre emelésével oldhatók meg A másodszori négyzetre emelés elôtt rendezzük úgy az egyenletet, hogy az egyik oldalon csak a négyzetgyökös kifejezés szerepeljen a) Kikötés: x $ Négyzetre emelve majd rendezve: x+ - _ x+ i_ x- i + x- = x+, illetve x= 0x + x- Újból négyzetre emelve, majd rendezve a x + x- = 0 másodfokú egyenletet kapjuk, amelynek gyökei: x=, es x=-, a kikötésnek azonban ezek a gyökök nem felelnek meg b) Kikötés: x $ 6 Az elôzôhöz hasonlóan: _ x+ i_ x- 6i =, majd ismételt négyzetre emelés után a kapott másodfokú egyenlet: x - x - 0 = 0, melynek gyökei: x = és x =- Kikötés miatt csak a lehet megoldás és ez valóban jó c) Kikötés: x $ - 7 Hasonlóan az elôzôkhöz a kapott másodfokú egyenlet: x - 8x - = 0, melynek megoldásai: x, = es x=-, ezek közül az eredeti egyenletnek a a megoldása

8 Irracionális egyenletek 0 d) Kikötés: x $ 7 Az elôzôkhöz hasonlóan: a kapott másodfokú egyenlet: x - x - = 0, melynek gyökei: x = 7, amelyek közül a ;! + 7 megoldása az eredeti egyenletnek Képletbe való behelyettesítés, majd négyzetre emelés után adódik, hogy s 6, m Egy emeletes ház egy emeletének magassága,-m között van, így a labdát az ötödik vagy hatodik emeletrôl ejtették ki 6 A megadott képlet alkalmazása során a megfelelô adatokra kell figyelni A lejtô alján elért sebesség a lassulás kezdôsebessége, majd a mozgás során a végsebesség 0 Ezek után a képletbe való behelyettesítéssel adódik: 0= 0 - $ $ s Ebbôl s 6, 7 m A szánkó közelítôleg 7 m út megtétele után áll meg 7 A képletbe való behelyettesítéssel könnyen kifejezhetô a megtett út, de m a behelyettesítés elôtt minden sebesség mértékegységet -ba kell váltani s km m a) v0 = 60 6, 67 h = s km m v = 0 = 8,, ekkor a megtett út hossza közelítôleg m h s (,88 m) km m b) v0 = 90 =, ekkor a megtett út kb 0 m hosszú (9,68 m) h s 8 a) Kikötések: x + x- 7$ 0, amelybôl x#, vagy x$, (I) 0 és x + x- 9$ 0, amelybôl x # - - 0, vagyx $ - +, (II) (I) és (II) közös része x#, vagy x$ Vezessünk be alkalmasan megválasztott ismeretlent: Legyen x + x- - 9= a, ekkor az egyenlet: a+ = a alakú lesz (a $ 0) A kikötés miatt mindkét oldal értelmezett, és nemnegatív, ezért a négyzetre emelés ekvivalens lépés A kapott másodfokú egyenlet a - 6a - 9 = 0, melynek gyökei a =, és a =- 8 8 a kikötés miatt nem lehet, ezért visszahelyettesítés után a kapott egyenlet:! 97 x + x- 9=, melynek gyökei: x ; = - Mivel az egyenlet megoldása során ekvivalens lépéseket végeztünk a megfelelô ki- kötések elvégzése után, ezért a kapott gyökök az eredeti egyenletnek is megoldásai

9 0 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek b) Kikötések: x + 7x- 8$ 0, és x + 7x- $ 0, melyekbôl 7 97 x # , vagy x $ - + Az új ismeretlen bevezetése után: x + 7x- = a kapott egyenlet: a+ = a ( a $ 0) Ennek gyökei: a=, es a=- A kikötéssel összevetve csak a lehet megoldás Visszahelyettesítve a kapott 7! másodfokú egyenlet gyökei: x ; = - Mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk a megfelelô kikötések elvégzése után, ezért az egyenletnek mindkét gyök megoldása c) Kikötés: x + x- 6$ 0, amelybôl x#, vagy x$ Vezessünk be új ismeretlent a= x + x- 6 (I) Az új egyenlet: a+ a = Rendezve a= - a, ahol a kikötések a$ 0 (II), és a# (III) (II)-bôl: x#, vagy x$ (III)-bôl: - 6 # x # (II) és (III) összevetése után: # x#, vagy # x# Most már négyzetre emelve az egyenletet a kapott gyökök a = 6, és a = (III) miatt csak a lehet a megoldás Visszahelyettesítve (I)-be a kapott gyökök: x=, es x=- Mivel a kikötések vizsgálata után ekvivalens átalakításokat végeztünk, ez a két gyök megoldása az eredeti egyenletnek 9 a) Kikötések: 6 + x $ 0 6 x! R esetén teljesül 6 - x 6 + x $ 0; és x # Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát: 6-8x+ x = 6 - x 6 + x Nullára rendezve, majd szorzattá alakítva: xc 6 + x - x+ 8m = 0 Egy szorzat akkor és csak akkor 0, ha valamelyik tényezôje 0 Így tehát x = 0 vagy 6 + x - x+ 8 = 0; melyet a 6 + x = x-8 átalakítás után megoldva x = adódik Mindkét gyök nemnegatív és megoldása az eredeti egyenletnek b) Kikötések megvizsgálása után adódik: x $ Az elôzôhöz hasonlóan négyzetre emelve majd szorzattá alakítva

10 Irracionális egyenletek 0 adódik, hogy x = 0, ami a kikötés miatt nem lehet, majd x = Ez a gyök nemnegatív és megoldása az eredeti egyenletnek 0 Vezessük be az y= x-8 jelölést A nevezôben nevezetes szorzatokat vehetünk észre, a közös nevezôre hozáskor, ezért egyenletünk összevonva és rendezve így írható: _ y-6i: 9`y - 6j+ `y -8jD = 0 `y -6j`y -8j A számlálóból származó gyökök: y =, y = 6, y =- 6, és ezek nem gyökei a nevezôben levô másodfokú tényezôknek x - 8 értékére természetesen csak a nemnegatív értékek jöhetnek szóba Ennek megfelelôen az eredeti egyenlet megoldásai: x = 7, illetve az x = Négyzetre emeléssel a bal oldalon negyedfokú tag szerepelne, így próbálkozzunk más ötlettel A négyzetgyök alatti kifejezés -gyel nagyobb, mint az egyenlet bal oldalán levô, így vezessünk be új ismeretlent: y= x + x+ 8 Ekkor egyenletünk: y -y- = 0 Ennek nemnegatív gyöke: y = 8 Visszahelyettesítve: x + x+ 8 = 8, melynek gyökei: x = és x =- 9 Behelyettesítéssel meggyôzôdhetünk, hogy ezek valóban megoldásai az eredeti egyenletnek A bal oldali összeg miatt: x - x+ 7 $ 0, így # x # Mivel x - x+ 7= _ x-i_ x- i +, így a jobb oldal értéke a vizsgált intervallumon legfeljebb Az intervallumban levô valós számokra vizsgáljuk a bal oldal értékét: x- $ x- és -x $ - x, mivel a gyök alatt -nél nem nagyobb számok vannak Így a bal oldalon levô összeg értéke legalább Tehát az egyenlôség pontosan akkor teljesülhet, ha mindkét oldal értéke Ez x = és x = esetén áll fenn Behelyettesítéssel látható, hogy ezek valóban megoldások Az értelmezési tartományok vizsgálata alapján egyenletünk nincs értelmezve, ha: < x <, vagy < x < Rendezve: _ x-i_ x- i = - _ x-i_ x-i; x - x+ = - _ x-i_ x- i + x- 7x+ Rendezve, majd ismét négyzetre emelve: _ x- i = _ x-i_ x-i;

11 0 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek _ x-i_ x- i = 0, azaz x =, illetve x = A behelyettesítés mutatja, hogy ezek valóban megoldások Kikötéseink: x $ -, illetve x $ Négyzetre emelés után az x -8x - x+ = 0 egyenletet kapjuk Mivel egész gyökei nincsenek, próbáljuk meg szorzattá alakítani x -8x - x+ = `x -x- j`x + x-j A szorzat alak egyik tényezôjét megkaphatjuk abból a megfontolásból kiindulva, hogy a két oldal függvényei egymás inverzei, így képeik az f _ xi= x egyenesén metszik egymást, azaz a metszéspont abszcisszájára fennáll: x - = x A szorzat alakot vizsgálva a következô gyököket kapjuk a tényezôkbôl:! 7! x =, illetve: x = - 7 Kikötéseinket figyelembe véve a feladat megoldásai: x = +, x = - - Az egyenletnek csak x $ esetén lehet csak megoldása Tekintsük az f _ xi= - + x függvényt A függvény az alaphalmazon szigorúan monoton nô Ha x> f _ xi, akkor a monotonitás miatt f _ xi> f ` f _ xij, és f ` f _ xij > f a f ` f _ xijk Ilyen x tehát nem lehet megoldása az egyenletnek Hasonlóan látható, hogy x akkor sem lehet megoldás, ha x< f _ xi Tehát csak akkor kaphatunk megoldást, ha x= f _ xi, azaz ha x= - + x Négyzetre emelés és rendezések után: x - x + = 0, melynek gyökei: x = és x = Ellenôrzéssel láthatjuk, hogy ezek kielégítik az eredeti egyenletet 7 6 A bal oldal akkor értelmes, ha x $ -, míg a jobb oldal ha x $ 7 7 A kikötéseink akkor teljesülnek egyszerre, ha - # x #- 7 vagy 7 # x Négyzetre emelve és rendezve: x -x - 8x+ = 0 Az együtthatókat figyelve látható, hogy ennek gyöke az x = Ezért szorzattá alakítva egyenletünk: _ x- i` x + x -x- j = 0 Vizsgáljuk a második tényezôt: x + x -x- = `x -x - 7xj+ `x -6x- j= x`x -x- 7j+ + ` x -x- 7j = _ x+ i` x -x-7j Tehát további gyök: x =- az elsô tényezôbôl, valamint: x = + és az x = - a második tényezôbôl A kikötéseinknek azonban csak az

12 Irracionális egyenletek 0 x =- és az x = + felelnek meg Ezek ki is elégítik az eredeti egyenletet 7 Emeljük köbre mindkét oldalt Rendezés után egyenletünk: x - xb x + - xl = 7 A zárójelben levô kifejezés éppen az eredeti egyenletünk bal oldala, ezért x - x $ = 7, ahonnan: 7 x_ - xi = 6 J 7 N Köbre emelve az x - x+ K = 0 6 O másodfokú egyenlethez jutunk Ennek diszkriminánsa negatív, tehát az egyenletnek nincs megoldása a valós számok hal- L P mazán 8 Köbre emelve és rendezve a következô egyenletet kapjuk: x+ - xb x+ + - xl =- x+ 8 A zárójelben levô kifejezés épp az egyenletünk bal oldala, így: _ x+ i_ - xi = x+ 8 Ismét köbre emelve: x + 86x - 7x+ 88 = 0 Az együtthatók összege 0, így _ x - i kiemelhetô, majd a kapott másodfokú tényezô szorzattá alakítható: _ x- i _ x+ 88i = 0 Ennek két gyöke van, az és a -88 Az x =, az eredeti egyenletnek nem megoldása, míg az x =-88 igen, errôl behelyettesítéssel is meggyôzôdhetünk 9 Nyilván x nem lehet negatív szám Legyen y szintén nem negatív, melyre teljesül: 6 x = y Ekkor az új ismeretlen kapott egyenlet: y + y = y Ha y = 0, akkor x = 0 és ez megoldás Ha y! 0, akkor oszthatunk y -nal Így az y - y + = 0 egyenlethez jutunk Mivel az együtthatók összege 0, így az egyik megoldás az y = Az egyenlet szorzat alakja: _ y- i` y + y- j = 0 A második tényezôbôl kapott gyökök: y = - Mivel csak pozitív értékek lehetnek a megfelelôk,! így az eredeti egyenletnek három megoldása lehet: y = 0, x= 0; y =, ekkor x= ; y = - + J, x= - + N K O K O L P 0 Emeljünk négyzetre: 6 + x x = x Újabb négyzetre emelés után: 6 x = x x

13 06 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Legyen: y= 6 - x Ekkor a következô egyenlethez jutunk: y - y + = 0 Ennek gyökei: y = és az y = 8 Ha y =, akkor x = 0, míg az y = 8 nem ad valós megoldást Tehát az egyenlet egyetlen megoldása: x = 0 Kikötésünk: x $ 0, ekkor p $ 0 is igaz Rendezzük át az egyenletet: p+ x = p- x Ábrázoljuk a következô függvényeket: f _ xi = p-x, g_ xi = p+ x Az f _ xi függvény képe egyenes, mely a tengelyeket metszi a _ 0; pi és a _ p; 0i pontokban A g_ xi függvény szigorúan monoton növekvô függvény, melynek képe az y tengely p pontjából indul ki Így pontosan akkor létezik megoldás, ha p# p, azaz ha p # p Ekkor p - p= p_ p-i $ 0 Ez pontosan akkor teljesül, ha p = 0, vagy ha p $ Kikötésünk: x $ 0 Emeljünk négyzetre: b xl + a x + b- c = 0 Ez x -re nézve másodfokú egyenlet, melynek legfeljebb két gyöke lehet a valós számok halmazán, azaz az eredeti egyenletnek semmilyen paraméterértékek esetén sem lehet végtelen sok megoldása Rendezés és négyzetre emelés után: _ a+ ci x = c -b Ha az eredeti egyenletnek végtelen sok megoldása van, akkor ennek a következményegyenletnek is végtelen sok megoldása kell hogy legyen Ez viszont csak úgy lehet, ha a=-c és b= c Visszahelyettesítve ezeket az eredeti egyenletbe: x- c x + c + x = c, vagyis c- x + x = c kell, hogy teljesüljön Ez pontosan akkor áll fenn, ha 0 < c Összegezve: az egyenletnek akkor van végtelen sok megoldása, ha: c > 0 és a=- c, b= c Rendezzük az egyenletet: x- x = `-x j -x alakra 6 Négyzetre emelve és rendezve: x - 8x + 8x - = 0 Legyen y= x, ekkor egyenletünk: y - 8y + 8y- = 0 Írjuk fel egyenletünket a következô alakban: _ yi - _ yi + 9_ yi - = 0 Az együtthatók alapján a y =, azaz y = ennek megoldása

14 Irracionális egyenlôtlenségek 07 _ y - i-et kiemelve: _ y-id_ yi - 8_ yi+ n = 0! A második tényezô 0, ha y = Tehát y-ra a megoldásaink: y =, y = +, y = -! - Az eredeti egyenlet megoldásai lehetnek: x, =!, x6, = A négyzetre emelések miatt ellenôriznünk kell a kapott gyököket, ezek alapján + - feladatunk megoldásai: x =-, x =, x = Irracionális egyenlôtlenségek Az egyenlôtlenség bal és jobb oldalán álló függvények metszéspontját M-mel jelöljük a) Közös értelmezési tartomány: x $ 0, M( 6, ), megoldás: 0# x # 6 b) Közös értelmezési tartomány: x $, M(,), megoldás: # x # c) Közös értelmezési tartomány: x $, metszéspont nincs, megoldás: nincs ilyen valós szám 6 a) Kikötés: x + $ 0, azaz x $ -, ekkor mindkét oldal nem negatív, a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás Megoldás: - # x # 0 b) Kikötés: x $ - Négyzetre emelés és rendezés után a megoldás: 0 - # x #-, vagy x $ - c) Kikötés: x $ Négyzetre emelés és rendezés után: 0< x -x- 6, melybôl a megoldás x > a) Kikötés: x $ - 6 Ha - # x < -, akkor az állítás igaz, mert a jobb oldal negatív Ha x $ -, akkor négyzetre emelés és rendezés után: a 0> x -x- egyenlôtlenségbôl: - # x < 6 Összegezve a megoldás: - # x < b) Kikötés: x $- Négyzetre emelés és rendezés után a megoldás: - # x #

15 08 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 7 c) Kikötés: x $ Négyzetre emelés és rendezés után a megoldás: x # - Ez ellentmond a kezdeti feltételnek, így az egyenlôtlenségnek nincs valós megoldása 8 a) A négyzetgyökök alatt teljes négyzetek vannak, ezért az egyenlôtlenségünk a következô alakba írható: x+ + x- # Ha x < -, akkor az egyenlôtlenség: -x-- x+ #, azaz x $ - Ez ellentmondás Ha - # x #, akkor az egyenlôtlenség: x+ - x+ # Ez is ellentmondás Ha x $, akkor az egyenlôtlenség: x+ + x- #, azaz x # Ismét ellentmondásra jutottunk, így a feladat feltételeinek egyetlen valós szám sem tesz eleget b)a négyzetgyök alatt teljes négyzet van, ezért az egyenlôtlenségünk a következô alakba írható: x+ # x+ A jobb oldal akkor lesz nem negatív, ha x $ - Ha x < -, akkor az egyenlôtlenség: -x- # x+, melybôl: x $ - Ha x $ -, akkor az egyenlôtlenség: x+ # x+, mely minden számra igaz Összegezve a feladat megoldása: x $ - valós számok c)a négyzetgyök alatt teljes négyzet van, ezért az egyenlôtlenségünk a következô alakba írható: x+ $ x- Ha x <, akkor a jobb oldal negatív, így az egyenlôtlenség fennáll Ha x < -, akkor az egyenlôtlenség: -x-$ x-, azaz x # - Ha x $ -, akkor az egyenlôtlenség: x+ $ x-, mindig igaz Összegezve: az eredeti egyenlôtlenséget minden valós szám kielégíti 9 a) Kikötés: x $, ekkor mindkét gyökös kifejezés értelmezhetô Négyzetre emelve: x -x # 8- x A jobb oldal nem negatív, ha x # 96 Ismét négyzetre emelve: x -x# x - 8x+ 96, melybôl x # 96 Összegezve a megoldás: # x # b) Kikötés: x $ 8 esetén a gyökös kifejezések értelmezhetôk Rendezve és négyzetre emelve: x+ > x x- 8 Rendezve és újra négyzetre emelve: x - 6x + 88> 0, mely teljesül, ha x<, vagy x > Tehát a megoldás: 8 # x <, vagy x >

16 Irracionális egyenlôtlenségek A bal oldal értéke mindig nem negatív, így teljesül az egyenlôtlenség, ha a gyök alatti tört nem negatív Kikötésünk és egyben az egyenlôtlenség megoldása: < x # x 6 a)kikötésünk: - + x -x- $ 0, azaz $ 0 teljesül, ha x # -, x x vagy x $ x -9x-8 Négyzetre emelve és rendezve: < 0 9x Mivel a nevezô mindig pozitív, így a számlálónak negatívnak kell lennie x - 9x - 8< 0, ha -, < x < Összevetve a kikötésekkel az egyenlôtlenség megoldása: -, < x #, vagy # x < b) Kikötéseink: x! 0, és x # Esetszétválasztással dolgozunk: Ha 0< x<, akkor beszorozva és négyzetre emelve: x 6x< 0 -, ami az alaphalmaz minden értékére igaz Ha # x #, akkor -x< - x Ez az alaphalmaz minden értékére igaz Ha - < x< 0, akkor rendezés és négyzetre emelés után: x+ 6> 0 Ez ismét az alaphalmaz bármely értéke esetén igaz Ha - # x #-, akkor - - x $ 0, és x < 0miatt a megoldás: - # x #- Összegezve az egyenlôtlenség megoldása: - # x< 0, vagy 0< x # 6 Alakítsuk teljes négyzetté a bal oldalt: c x + -m - $ 0 Szorzattá alakítva: c x + -- mc x m $ 0 A második tényezô minden x-re pozitív, így az elsô tényezônek szintén pozitívnak kell lennie Ez egyben az egyenlôtlenségünk megoldása is: x # - vagy x $ 6 Kikötéseink: x + $ 0, és - x $ 0, azaz - # x # Rendezve az egyenlôtlenséget: - x > x+ + 7 Négyzetre emelve a - x> x+ ekvivalens egyenlôtlenséget kapjuk

17 0 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek A bal oldal nem lehet negatív, így: x < 7 8 Ismét négyzetre emelve és rendezve: x - 8x+ > 0 egyenlôtlenséghez jutunk 6 J 8 8 Szorzattá alakítva: x- + NJ x- - N K OK O > 0 Ez pontosan akkor teljesül, ha x > +, vagy ha x < - K 8 OK 8 O L PL P 8 8 Összevetve a kikötésekkel az egyenlôtlenséget a következô valós számok teszik igazzá: - # x < Alakítsuk szorzattá a másodfokú kifejezéseket: _ x+ i_ x-i_ x- i_ x+ i $ 0 x + A nevezô, ha x!-, mindig pozitív A számláló tényezôinek zérushelyei rendre: -; ; ; - Tehát a megoldás: x < -, vagy - # x #, vagy x $ 6 Kikötés: x # - 7, vagy x $ 7 Az egyenlôtlenség bal oldala _ x- 7i_ x+ 7i-re másodfokú kifejezés Alakítsuk szorzattá az egyenlôtlenség bal oldalán levô kifejezést: c _ x- 7i_ x+ 7i -9mc _ x- 7i_ x+ 7i -m $ 0 Szorozzuk meg az egyenlôtlenség mindkét oldalát a biztosan pozitív c _ x- 7i_ x+ 7i + 9mc _ x- 7i_ x+ 7i + m szorzattal: Ekkor egyenlôtlenségünk: `x -0x-00j`x -0x-j $ 0 A tényezôk zérushelyei: x= 0, x=- 0, illetve x= 8, x=- 8 Összevetve a kikötésekkel, az egyenlôtlenség megoldása: x # - 0, vagy -8 # x #- 7, vagy 7 # x # 8, vagy x $ 0 66 A gyökjel alatti kifejezéseknek és a bal oldalnak is pozitívnak kell lennie, ezért a kikötések: 0< - x< + x, ezért: 0< x < Ha az egyenlôtlenséget a nevezôk szorzatával szorozzuk, nem változik a relációs jel állása, vagyis: + x -x $ - x A kisebb oldal pozitív, emiatt négyzetre emelve: - -x $ - x, ekvivalens egyenlôtlenséghez jutunk Legyen z= - x > 0 Ekkor: 0 $ z + z- = _ z+ i - = bz+ + lbz+ - l

18 Irracionális egyenlôtlenségek Mivel a jobb oldali elsô tényezô pozitív, így a második tényezônek negatívnak kell lennie: z+ - = - x + - # 0 Ebbôl: -x # -, azaz x $ - A feltételek miatt: x $ - Tehát az egyenlôtlenség pontosan akkor teljesül, ha - # x < 67 a)ha x # p, akkor a gyökös kifejezés értelmezhetô Ha p = 0, akkor x< - x Ez csak akkor teljesül, ha x < 0 Ha p < 0, akkor x< p- x A gyök alatti kifejezés miatt: x # p < 0 Ha p > 0, akkor a következô eseteket kell vizsgálnunk: () p > 0 és x # 0, akkor az egyenlôtlenség mindig teljesül p () p > 0 és x > 0, akkor a gyökös tag miatti kikötésünk: x # Ekkor négyzetre emelve: x + x- p< 0 Ez teljesül, ha -- + p < x< p Mivel x pozitív, így 0< x< - + p+ Összegezve () és () eseteket: ha p > 0, akkor x< - + p+ b) Kikötés: x # Ha p # -, akkor a bal oldal értéke negatív vagy 0, minden olyan esetben, ha x # Ha p > -, akkor a bal oldali szorzat tényezôi nem negatívak, így négyzetre emelve: _ p+ i _ -xi < Az egyenlôtlenség teljesül, ha - < x # _ p + i 68 A feltételek miatt: a+ b> x> a- b> 0, így ezek négyzetgyökére is igaz, hogy: a+ b > x > a- b Adjunk a -t az egyenlôtlenséglánc minden tagjához: a+ b + a > x + a > a + a- b Mivel ezek a mennyiségek is pozitívak, így reciprokaikra: < < a+ b + a x + a a + a-b Ebbôl a nevezôket gyöktelenítve a bizonyítandó állítást kapjuk

19 Abszolútértékes egyenletek, egyenlôtlenségek i+ n + i 69 Elég belátnunk azt, hogy az < < egyenlôtlenség teljesül minden i=,,, n számra, mert ezeket összeadva az ere- n + n+ i n + i+ n _ i deti egyenlôtlenséget kapjuk Nézzük elôször az állítás bal oldalát! Rendezve: _ n+ ii n + i+ < _ n+ ici+ n + im ami igaz, mert: n+ i< i+ n + i, és n + i+ < n+ Hasonlóan vizsgálva a jobb oldalt: ni + n n + i < n n + i + + i n + i +, ami igaz, mert ni < i n + i +, és n n + i < n n + i+ Ezzel a bizonyítást befejeztük Abszolútértékes egyenletek, egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenletek 70 a) x =! 0, x =!, x =!,, x =! ; 7 b) x =!, x =!, nincs megoldás; c) x = 8, x =-, x = 9, x =-, x = 0,, x =- 0, 7 a) x =, x =-, x =, x =- 7, x =-, x =- 6; 9 b) x =, x =-, x =, x =-, x = 8, x = 0 7 a) nincs megoldás, x =!, x $ ; b) x =-, x =, x = 7 a) x, =! 6, x, =! 6, x, =!, x, =! ; b) x, =!, x =, x =-, x =-, x = ; c) x =-, x =, x =, x = -!!, x, =, x, = 7 a) # x #, - # x # ; b) x =, x =,!,!