EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

Átírás

1 EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával rendezzük az egyenletet a mérlegelv vagy a lebontogatás alkalmazásával megoldjuk az egyenletet; ellenőrizzük a megoldást. Részletesebb leírás: ) Oldja meg a következő egyenleteket az egész számok halmazán! a) ( + ) ( ) ( ) = b) ( + ) ( + ) ( + ) = 0 c) ( + ) ( ) ( ) = 0 d) (0 ) = 6 ( ) e) + ( 5) = 6 f) ( ) + = 6 ( + ) Oldja meg az egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a) 5( ) + < 5( + ) b) ( + 5) ( + 6) + c) (8 0) 5( 0) 0 d) ( 0) > 6(5 0) e) < ( 0) 6( ) f) 9( + 5) ( + 5).) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) c) = b) e) = d) + 5 = 9 f) = = 5 5 = ) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 6 = 0 b) c) e) + = + = d) 6 9 = = f) = 9

2 Abszolútértékes egyenletek 5.) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) + = b) = 0 c) = 5 d) 5 = 9 e) = 5 f) + = + g) + + = 8 h) = 0 Két ismeretlenes egyenletrendszerek 6.) Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket a valós számok halmazán! a) y = 5 y = 8 d) 0 + 8y = + y = 0 g) y = 5y = b) = + y y = 9 e) + y = 5 + y = 0 h) 5 + y = 9 y = c) + 5y = y = f) 0 + 8y = + y = 0 i) 0,5 0,5y = 0,5 y = Szöveges egyenletek Szöveges feladatok megoldásának menete Olvassa végig a feladat szövegét, és becsülje meg az eredményt! o Azt is gondolja végig, hogy milyen szám lehet, vagy nem lehet a megoldás (pl. fél ember, vagy hosszúság negatív nem lehet, stb.) Jelölje valamilyen betűvel az ismeretlent, és ezt írja is le! o Általában - de nem mindig - azt a mennyiséget célszerű ismeretlennek választani, amit válaszban meg kell adni. o Készítsen ábrát! egy jó ábra sokszor megkönnyíti a feladat megoldását. Fordítsa le a szöveget a matematika nyelvére!

3 o Érdemes a feladatban szereplő adatokat kigyűjteni és közöttük számszerű összefüggéseket keresni. Gondolja végig, hogy hogyan lehet egyenlőséghez jutni (ebből lesz az egyenlet)! o Vigyázzon, ha a szöveg azt mondja, hogy egy mennyiség öttel kevesebb a másiknál, akkor nem kivonni, hanem hozzáadni kell ötöt, hogy fennálljon az egyenlőség! Írja fel az egyenletet és oldja meg! Az eredményt vizsgálja meg: vesse össze a becsléssel, ellenőrizze a feladat szövege alapján! Mindenképp írjon szöveges választ! Forrás: Gergőnek és Zsuzsinak összesen Ft-ja van. Ha Zsuzsi kapna még Ft-ot, akkor mindkettőnek ugyanannyi pénze lenne. Hány forintja van Gergőnek, hány forintja van Zsuzsinak? 8.) Két raktárban összesen tégla volt. Amikor az első raktárba még 6 00 tégla érkezett, a másikból pedig téglát elszállítottak, akkor a két raktárban ugyanannyi tégla maradt. Hány tégla volt eredetileg a raktárakban? 9.) Iskolánkban általános iskola és gimnázium is működik. A beiratkozáskor összesen 6 tanulót vettek fel. Később az általános iskolába még 6-an, a gimnáziumba 8-an iratkoztak be. Ezzel ugyanannyi lett az általános iskolások és a gimnazisták létszáma. Hány általános iskolás és hány gimnazista iratkozott be eredetileg hozzánk? 0.) Két könyvszekrényben együtt 660 könyv volt. Amikor az egyik szekrényből kivettek 5 könyvet, és a másikból háromszor annyit, akkor mindegyik szekrényben ugyanannyi könyv maradt. Hány könyv volt eredetileg az egyes szekrényekben?.) Gergő és Bea egyszerre indulnak el otthonról a szomszéd faluba. Bea kerékpárral, Gergő motorral indul útnak. Bea egyenletesen megy km/h sebességgel, Gergő ugyancsak egyenletesen motorozik 8 km/h sebességgel. Bea,5 órával később ér a szomszéd faluba. Milyen messze van a falu?.) Reggel 6 órakor indul egy tehervonat Szegedről 5 km/h sebességgel, fél 9-kor indul utána egy személyszállító vonat 60 km/h átlagsebességgel. Mikor éri utol a személyvonat a tehervonatot? Milyen messze lesznek ekkor Szegedtől?.) km-es távolság két végpontjából egyszerre indul egy 56 km/h átlagsebességű tehergépkocsi és egy 8 km/h átlagsebességű személygépkocsi egymással szembe. Hány óra múlva találkoznak? Hány km-t tesznek meg ez alatt?

4 Másodfokú egyenletek Oldja meg a következő egyenleteket az egész számok halmazán!. = 00. = 6. = 6. y 5 = 0 5. e + = 0 6. a = 0 5.) Oldja meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán. a) + = 0 b) 8 = 0 c) + 6 = 0 d) 8 = 0 e) y y = 0 f) y + 0y = 0 g) y y = 0 h) 6y 60y = 0 i) = 0 Definíció: A másodfokú egyenlet általános alakja: a + b + c = 0, ahol a, b, c valós számok és a 0. Példa: + 6 = 0 (ebben az egyenletben a = ; b = ; c = 6) A másodfokú egyenlet megoldó képlete:, b b ac. a Definíció: A b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük. Jele: D A másodfokú egyenletnek: két valós gyöke van, ha D > 0; egy valós gyöke van, ha D = 0; nincs valós gyöke, ha D < 0. 6.) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Használjuk a megoldó képletet! Figyeljünk az előjelekre!) a) + = 0 h) + = 0 b) + 5 = 0 i) y + y 6 = 0 c) = 0 j) 5y + 0y + = 0 d) + 6 = 0 k) 5y 5y + 0 = 0 e) 8 + = 0 l) y + y + = 0 f) = 0 m) y + 6y + 08 = 0 g) = 0 n) y + 8y 60 = 0 o) y y 0 = 0 p) y 8y + = 0 q) a a = 0 r) a 5 a = 0 s) 5a 0a = 0 t) 6a 6a + = 0 u) a + a 8 = 0

5 5.) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Rendezzük az egyenletet nullára és használjuk a megoldó képletet! Figyeljünk az előjelekre!) a) = + b) = c) + 0 = d) = e) = f) + = 5 g) = + 6 h) = 8.) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Bontsuk fel a zárójelet, rendezzük az egyenletet nullára és használjuk a megoldó képletet! Figyeljünk az előjelekre!) a) = ( )( ) b) ( + ) = ( ) 6 c) 0( ) + 9 = (5 )( + 5) d) 6 = 0 e) ( )( + ) + ( )( + 5) = 0 f) = + 8 g) y y + = y 6 h) v + v + v + v = 0 9.) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Szorozzunk be a közös nevezővel, rendezzük az egyenletet nullára és használjuk a megoldó képletet!) a) b) 5 c) 9 50 d) ) )( ( e) ) )( ( f) ) )( ( g) h)

6 Másodfokú Szöveges feladatok Területtel kapcsolatos feladatok: 0.) Két négyzet oldalának a különbsége m, területüknek a különbsége 0 m. Mekkora mindegyik négyzet oldala?.) 60 facsemetét két négyzet alakú parcellába akartak ültetni. Az egyik négyzet oldala mentén 5 fával kevesebbet ültettek, mint a másik mentén, és így 5 csemete megmaradt. Hány fát ültettek egy-egy parcellába?.) Egy négyzet oldala 0 cm. Mennyivel növeljük az egyik oldalt, és csökkentsük ugyanannyival a másikat, ha azt akarjuk, hogy az így kapott téglalap területe 60 cm legyen?.) Egy 8 cm-es méretű fényképnek körben egyforma szélességű kerete van. Határozzuk meg a keret szélességét, ha területe egyenlő a kép területének 5%-ával. Sebességgel kapcsolatos feladatok.) Két állomás közötti távolság 96 km. A személyvonat, amelynek átlagsebessége km/h-val nagyobb, mint a tehervonaté, 0 perccel rövidebb idő alatt teszi meg az utat, mint a tehervonat. Mekkora a személyés a tehervonat sebessége? 5.) Egy repülőgép 0 perc késéssel érkezett az A városból a tőle 500 km-re levő B városba, mert 50 km/h sebességű ellenszéllel szemben repült. Mekkora a repülőgép saját sebessége? 6.) Egy vonatnak 00 km-es utat kellett volna megtennie. Az út felének megtétele után hóakadály miatt egy órát vesztegelt, és ezért, hogy időre érkezzék, átlagsebességét km/h-val megnövelte. Mekkora volt az eredeti átlagsebessége, és hány óra alatt ért a kiindulási állomásról a célállomásra?.) Az A városból két gépkocsi megy a B város felé. Az első gépkocsi sebessége 0 km/h-val nagyobb a másodikénál, és így egy órával hamarabb ér célhoz. Határozzuk meg a gépkocsik sebességét, ha a két város közti távolság 500 km! Közös munkavégzéssel kapcsolatos feladatok* 8.) Egy szakmunkás nappal előbb végez egy munkával, mint egy betanított munkás. Ha együtt dolgoznak, akkor két nap alatt készen vannak. Hány nap alatt végzi el a munkát a két munkás egyedül? 9.) Két kőműves együttes munkával 6 nap alatt épít fel egy falat. Hány nap alatt építenék fel a falat különkülön, ha az egyiknek az egész munka 5 nappal tovább tartana, mint a másiknak? 0.) Egy medence az első befolyó csövön át órával hamarabb telik meg, mint a másodikon. Egy alkalommal, hogy a medencét megtöltsék, mind a két csövet megnyitották. 0 óra múlva az elsőt elzárták; ezután 5 óra 5 perc múlva a medence megtelt. Mennyi idő alatt tölti meg a medencét külön az egyik, külön a másik cső? 6

7 Másodfokúra visszavezethető egyenletek Új ismeretlen bevezetésének módszere: 5 + = = 0 y: = y 5y + = 0 Új ismeretlen bevezetése y, = 5 ± 5 6 = y = y = = = = = = = Tétel: Egy n-ed fokú egyenletnek legfeljebb n valós megoldása létezik..) Oldja meg az alábbi negyedfokú egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Vezessen be új változót!) a) = 0 b) = 0 c) d) = 0 e) = 0 f) 6 + = 0 g) = 0 h) 9y + 8y = 0.) Oldja meg az alábbi hatod fokú egyenleteket a valós számok halmazán. a) 6 = 0 b) y 6 y = 0 c) y 6 89y 58 = 0 d) y 6 8y = 0 e) y 6 686y + 65 = 0 f) y 6 0y 0 = 0.) Oldja meg az alábbi négyzetgyökös egyenleteket a valós számok halmazán. (Segítség: Vizsgáljunk alaphalmazt!) a) b) 6 0 c) d) 6 0

8 Másodfokú egyenlőtlenségek Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása grafikus módszerrel + < 0 Az egyenlőtlenség bal oldalán a másodfokú kifejezéshez kapcsolódó függvénynek minimuma van (hiszen a = > 0) ). A függvény zérushelyei:, = ± = = = Ez a két zéruspont az tengelyt (a számegyenest) három intervallumra bontja. A másodfokú függvény tulajdonságaiból és az eddigi megállapításokból következik, hogy a függvényértékek előjele az ; intervallumon negatív. Forrás: Oldja meg az alábbi másodfokú egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán. a) > 00 b) < 6 c) y d) a 5 0 e) b + < 0 f) d > 0 g) > 0 h) 5 > 0 5.) Oldja meg az alábbi másodfokú egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán. a) + < 0 b) 8 > 0 c) 8 < 0 d) e) y y < 0 f) y + 0y > 0 g) y y 0 h) 6y 60y 0 6.) Oldja meg az alábbi másodfokú egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán. a) 0 0 b) c) 0 d) 8 0 e) f) 0 g) 5 0 h) 0 i) j) 8 0 k) l)

9 Megoldókulcs:. oldal:.) a) = b) = 5 c) = 5 d) = e) = f) =.) a) = b) = c) = d) = e) = 5 f) = 5.) a) < b) c) 5 d) < e) > f). oldal 5.) a) = 8; = 6 b) = 6; = c) = ; = 9 d) = ; = e) = ; = f) = ; = g) = ; = 5 h) = 9; =.) a) nincs megoldás b) = c) = 0 d) = e) nincs megoldás f) = 0,5 6.) a) (; y) = (; ) b) ; y = (5; ) c) ; y = (; ) d) (; y) = ( ; ) e) ; y = (9; ) f) ; y = ( 6,9; 8,56 ) g) (; y) = (; ) h) ; y = (0; ) i) ; y = ( ; 6). oldal.) Gergőnek 5 Ft-ja van, Zsuzsinak 6 Ft-ja. 8.) Az egyik raktárban 8 800, a másik raktárban 6 00 tégla volt. 9.) 8 általános iskolás és 86 gimnazista iratkozott be eredetileg. 0.) Az egyikben 85 könyv, a másikban 85 könyv volt..) A falu km-re van..),5 óra múlva (vagyis órakor) Szegedtől 0 km-re..) óra múlva találkoznak, a teherautó 68 km-t a személyautó 6 km-t tesz meg.. oldal ) a) = 0; = 0 c) nincs megoldás e) nincs megoldás b) = 8; = 8 d) y = 5; y = 5 f) a = ; a = 5) a) = 0; = d) = 0; = 6 g) y = 0; y = b) = 0; = 8 e) y = 0; y = h) y = 0; y = 0 c) = 0; = f) y = 0; y = 5 i) = 0; = 0 6) a) = ; = h) = 8; = o) y = 6; y = 5 b) = ; = 5 i) y = ; y = p) y = c) = 5 j) nincs megoldás q) a = d) nincs megoldás k) y = 8; y = r) a = ; a = e) = 6; = l) nincs megoldás s) nincs megoldás f) = m) y = 6 t) a = 9; a = 8 g) = ; = n) y = ; y = 5 u) a = 9

10 5. oldal ) a) = ; = b) = ; = c) = 5; = d) = e) = ; = f) = ; = 5 g) = ; = h) nincs megoldás 8) a) azonosság b) = 5; = 5 c) = 0; = 0. d) = ; = 9 e) = 8; = 8 f) = 0; = 0 g) y = 5; y = 5 h) v = ; v = 9) a) = ; = b) = ; = 0.5 c) = 5; = 5 d) = e) = f) nincs megoldás g) nincs megoldás h) =.5; = 6. oldal 0) Az oldalak m és 6 m. ) 0 és 5 fát ültettek ) Körülbelül 6. cm-rel. ) 0,96 dm ) 6 és 8 km/h 5) 00 km/h 6) kb. 59 km/h és,9 óra ) kb. 66 és 6 km/h 8) és 6 nap 9) 0 és 5 nap 0) kb. óra és 0 óra. oldal ) a) / = ± b) nincs megoldás c) / = ± d) nincs megoldás e) / = ± g) / = ± h) y / = ± f) / = ± 6 6 ) a), = b) y = 5; y = c) y = ; y = 6 d) y = e) nincs megoldás f) nincs megoldás ) a) = ; = 5 b) = 9 c) nincs megoldás d) = 6 8. oldal ) a) < 0 vagy > 0 b) < 8 vagy > 8 c) azonosság d) 5 a 5 e) nincs megoldás f) d < vagy d > g) azonosság h) < 5 vagy > 5 5) a) < < 0 b) < 0 vagy > 8 c) 0 < < 6 d) 0 e) y < vagy y > 0 f) 0 < y < 5 g) y 0 h) y 0 vagy y 0 0