Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.
|
|
- Etelka Orosz
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 1 = Ezt rendezve a következő hiányos másodfokú egyenlethez jutunk: 2 70 = 0 ( 70) = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján 1 = 0, vagy 70 = 0, amiből 2 = 70. Válasz: A keresett szám a 0 vagy a Egy kétjegyű szám egyik számjegye kettővel nagyobb, mint a másik. A szám és a számjegyek felcserélésével kapott szám négyzetösszege Melyik ez a szám? Legyen a tízesek száma, az egyeseké pedig + 2. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Tízesek Egyesek Szám ( + 2) + 1
2 A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( ) 2 + ( ) 2 = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 3 és 2 = 5. Válasz: A keresett szám a 35 vagy az Egy kétjegyű szám tízeseinek a száma eggyel nagyobb, mint az egyesek száma. A szám és a számjegyei összegének a szorzata Melyik ez a szám? Legyen a tízesek száma, az egyeseké pedig 1. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. Tízesek Egyesek Szám A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (10 + 1) ( + 1) = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 8 és 2 = Válasz: A keresett szám a 98. 2
3 4. Egy tört nevezője néggyel nagyobb a számlálójánál. Ha a számlálót hárommal csökkentjük és a nevezőt ugyanannyival növeljük, a tört értéke felére csökken. Melyik ez a tört? Legyen a tört nevezője, a számlálója pedig 4. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 12 és 2 = 1. Válasz: A keresett tört a 8 12 = 2 3 vagy a 3 1 = Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Mennyien vannak a társaságban, ha összesen 15 kézfogás történt? Legyen a tagok száma. Mivel egy ember önmagán kívül mindenkivel kezet fog, illetve egy kézfogást kétszer számolunk, ezért az összes kézfogások száma: ( 1) 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 1) 2 = 15. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 30 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és 2 = 5. Válasz: A társaságban 6-an vannak. 3
4 6. Van-e olyan konve sokszög, amelynek 35 átlója van? Legyen a sokszög oldalainak a száma. Mivel egy csúcsból önmagába és a szomszédos csúcsokba nem húzhatunk átlót, illetve egy átlót kétszer számolunk, ezért az összes átlók száma: ( 3) 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 3) 2 = 35. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 10 és 2 = 7. Válasz: A konve 10-szögnek 35 átlója van. 7. Melyik az a konve sokszög, amelynek 42-vel több átlója van, mint oldala? Legyen a sokszög oldalainak a száma. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 3) 2 42 =. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 12 és 2 = 7. Válasz: A keresett sokszög a konve 12-szög. 4
5 8. Hány pontot helyezhetünk el a síkon, ha a pontok összesen 28 egyenest határoznak meg, és nincs olyan 3 pont, amely egy egyenesen sorakozna? Legyen a pontok száma. Mivel egy ponton át minden más pontba húzunk egyenest, illetve egy egyenest kétszer számolunk, ezért az összes egyenesek száma: ( 1) 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( 1) 2 = 28. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 2 56 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 8 és 2 = 7. Válasz: Összesen 8 pont határoz meg a síkon 28 egyenest. 9. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 2 cm - rel nagyobb, mint a másik befogója, a háromszög területe pedig 24 cm 2. Mekkorák a háromszög befogói? Legyen a háromszög egyik befogója a =, a másik pedig b = + 2. Mivel a háromszög derékszögű, ezért a terület felírható a befogókkal is: T = a m a 2 = a b 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (+2) 2 = 24. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és 2 = 8. Válasz: A háromszög befogói 6 cm és 8 cm hosszúak. 5
6 10. Egy téglatest éleinek aránya Ha az éleket rendre 2, 1, illetve 3 cm - rel meghosszabbítjuk, a téglatest térfogata 426 cm 3 rel megnövekszik. Mekkorák a téglatest élei? Legyenek a téglatest élei a =, b = 2 és c = 3. Egy téglatest térfogatát a következőképpen számolhatjuk ki: V = a b c. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( + 2) (2 + 1) (3 + 3) = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 4 és 2 = 5. Válasz: A téglatest élei 4 cm, 8 cm és 12 cm hosszúságúak. 11. Egy téglalap kerülete 42 cm, átlója pedig 15 cm. Mekkorák a téglalap oldalai? Legyen a téglalap egyik oldala, a másik y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 2 + 2y = y 2 = 15 2 Az első egyenletből fejezzük ki -et, s a következőt kapjuk: = 21 y. Ezt helyettesítsük be a második egyenletbe, s a következőt kapjuk: (21 y) 2 + y 2 = 225. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: y 2 21y = 0. 6
7 A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: y 1 = 9 és y 2 = 12. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy y 1 = 9 esetén 1 = 12 és y 2 = 12 esetén 2 = 9. Válasz: A téglalap oldalai 9 cm és 12 cm hosszúak. 12. Két kombájn együtt 4 nap alatt learatta a szövetkezet búzatábláját. Az egyik kombájn egyedül 6 nappal hosszabb idő alatt végezte volna el ugyanazt az aratási munkát, mint a másik. Hány napig aratott volna külön külön a két kombájn? Tegyük fel, hogy ez egyik kombájn egyedül nap alatt, a másik pedig + 6 nap alatt aratná le a búzatáblát. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. 1 nap alatt 4 nap alatt Első kombájn nap 1 4 Második kombájn + 6 nap A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és 2 = 4. Válasz: Az egyik kombájn 6 nap alatt, a másik 12 nap alatt aratná le egyedül a búzatáblát. 7
8 13. Két munkás együtt dolgozva 8 óra alatt tud befejezni egy munkát. Mennyi idő alatt lenne készen egyedül ezzel a munkával az első, illetve a második munkás, ha az utóbbinak 12 órával több időre lenne szüksége, mint az elsőnek? Tegyük fel, hogy ez első munkás egyedül óra alatt, a második pedig + 12 óra alatt végezne a munkával. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. 1 óra alatt 8 óra alatt Első munkás óra 1 8 Második munkás + 12 óra A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 12 és 2 = 8. Válasz: Az egyik munkás 12 óra alatt, a másik 24 óra alatt végezné el egyedül a munkát. 8
9 14. A tartályt az egyik csapon át 4, a másik csapon át 9 órával hosszabb idő alatt tölthetjük meg, mint ha mind a két csapot egyszerre használjuk. Mennyi idő alatt telik meg a tartály, ha csak az egyik, illetve a másik csapot nyitjuk meg? Tegyük fel, hogy a csapok együtt óra alatt töltik meg a tartályt. Ekkor az egyik + 4, a másik pedig + 9 órán keresztül töltené meg egyedül a tartályt. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. 1 óra alatt óra alatt Első csap + 4 óra Második csap + 9 óra A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1. Ezt rendezve a következő egyenlethez jutunk: 2 = 36. Ebből kapjuk, hogy a két megoldás: 1 = 6 és 2 = 6. Válasz: Az egyik csapon át 10 óra alatt, a másikon keresztül 15 óra alatt telik meg a tartály. 9
10 15. Két munkás együtt egy munkát 12 óra alatt végez el. Ha az első munkás elvégezné a munka felét, a második pedig befejezné a munkát, akkor a munka 25 óráig tartana. Hány óra alatt végzi el a munkát a két munkás külön külön? Tegyük fel, hogy az egyik munkás óra alatt, a második pedig y óra alatt végezne a munkával. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. 1 óra alatt 12 óra alatt Első munkás óra 1 12 Második munkás y óra 1 y 12 y A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: = 1 y + y = A második egyenletből fejezzük ki -et, s a következőt kapjuk: = 50 y. Ezt helyettesítsük be az első egyenletbe, s a következőt kapjuk: = y y Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: y 2 50y = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: y 1 = 20 és y 2 = 30. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy y 1 = 20 esetén 1 = 30 és y 2 = 30 esetén 2 = 20. Válasz: Az egyik munkás 20 óra alatt, a másik 30 óra alatt végezné el egyedül a munkát. 10
11 16. Egy építkezéshez 30 tonna anyagot kell kiszállítani. A szállításhoz a megrendeltnél 2 tonnával kisebb teherbírású teherautókat küldtek, de 4 gyel többet, így a szállítást időben elvégezhették. Hány teherautó végezte a szállítást és hány tonnásak voltak? Tegyük fel, hogy eredetileg rendeltek darab 30 tonna teherbírású teherautót. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: ( + 4) ( 30 2) = 30. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 6 és 2 = 10. Válasz: 10 darab 3 tonna teherbírású teherautó végezte a szállítást. 17. Egy Ft - os termék árát kétszer egymás után ugyanannyi százalékkal csökkentették. Hány százalékos volt az árleszállítás az egyes esetekben, ha a termék ára így Ft lett? Legyen az árleszállítás mértéke p százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (1 p p ) (1 ) = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: p 2 200p = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: p 1 = 10 és p 2 = 190. A p 2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: Mindkét esetben 10 % - kal csökkentették a termék árát. 11
12 18. Egy áru árát felemelték, majd később mivel nem fogyott kétszer annyi százalékkal csökkentették, mint ahány százalékkal felemelték annak idején. Így az eredeti árnál 5, 5 % - kal lett olcsóbb. Hány százalékkal emelték fel az árát eredetileg? Legyen az áru ára forint és a növelés mértéke pedig p százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (1 + p 2p ) ( ) = (1 5,5 100 ). Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: p p 275 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: p 1 = 5 és p 2 = 55. A p 2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Válasz: 5 % - kal emelték meg eredetileg az áru árát. 19. Kamatozó betétbe betettünk a bankba Ft ot. Az első évi kamatnál 3 % - kal több volt a második évi kamat. Két év múlva Ft lett a kamattal növelt összeg. Hány százalékos volt a kamat az első, és mennyi a második évben? Legyen az első éves kamat mértéke p, a második éves kamat mértéke pedig p + 3 százalék. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (1 + p p+3 ) (1 + ) = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: p p 1040 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: p 1 = 5 és p 2 = 208. Válasz: 5 % volt az első éves kamat és 8 % a második éves kamat. 12
13 20. Két kénsavoldat közül az első 0, 8 kg, a második 0, 6 kg tömény kénsavat tartalmaz. Ha a két oldatot összeöntjük, akkor 10 kg harmadik töménységű kénsavoldatot kapunk. Mekkora volt az első és a második oldat tömege, ha a kénsavtartalom százaléka az első esetben 10 - zel több, mint a másodikban? Legyen az első oldat tömege, a másodiké pedig y. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletrendszert: 0,8 0,6 100 = y + y = A második egyenletből fejezzük ki -et, s a következőt kapjuk: = 10 y. Ezt helyettesítsük be az első egyenletbe, s a következőt kapjuk: 80 = y y Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: y 2 + 4y 60 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: y 1 = 6 és y 2 = 10. Az y 2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. Visszahelyettesítés után kapjuk, hogy y = 6 esetén = 4. Válasz: A két oldalt tömege 4 kg és 6 kg volt. 13
14 21. Két turista egyszerre indul el egy 40 km hosszúságú úton. Az egyik turista óránként 2 km - rel többet tesz meg, mint a másik, és ezért egy órával előbb ér az út végére. Mekkora a két turista sebessége? Legyen az egyik turistának a sebessége, a másiknak pedig + 2. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t Első turista 40 Második turista A megoldáshoz a következő képleteket használjuk fel: v = s t = s s = t v. t v Mivel a lassabb turista ideje lesz a több, ezért abból kell kivonnunk a gyorsabb turista idejét ahhoz, hogy az egy órát megkapjuk. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 8 és 2 = 10. Válasz: Az első turista sebessége 8 km h, a második sebessége pedig 10 km h. 14
15 22. Két folyóparti város távolsága 120 km. Egy hajó oda - vissza 12, 5 óra alatt teszi meg az utat. A folyó sebessége 4 km. Mekkora lenne a hajó sebessége állóvízben? h Legyen a hajó sebessége. Amennyiben a sodrással egy irányba haladunk, akkor a sebességünkhöz hozzá kell adnunk a folyó sebességét. Amennyiben folyásiránnyal szemben haladunk, úgy a sebességünkből ki kell vonnunk a folyó sebességét. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t folyással ellenkező irányban haladva folyás irányában haladva A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 12,5. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 12, = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 20 és 2 = 0,8. Válasz: A hajó sebessége állóvízben 20 km h. 15
16 23. Két kikötő között a távolság egy folyón 21 km. Egy motorcsónak elindul az egyik kikötőből a másikba, ott 30 percet áll, majd visszaindul, és így az első indulás után 4 órával ér vissza a kikötőbe. A folyó vizének sebessége 2, 5 km h. Mekkora a motorcsónak sebessége állóvízben? Legyen a motorcsónak sebessége. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t folyással ellenkező irányban haladva 21 2,5 folyás irányában haladva ,5 21 2, ,5 Mivel 30 percet állt, ezért az út megtételéhez 3,5 órára volt szüksége. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 3,5. 2,5 +2,5 Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: 1 = 12,5 és 2 = 0,5. Válasz: A motorcsónak sebessége 12,5 km h állóvízben. 16
17 24. Két állomás közötti távolság 96 km. A személyvonat, amelynek átlagsebessége 12 km val nagyobb, mint a tehervonaté, 40 perccel rövidebb idő alatt teszi meg az h utat, mint a tehervonat. Mekkora a személy és a tehervonat sebessége? Legyen a személyvonatnak a sebessége, a tehervonatnak pedig 12. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t Személyvonat 96 Tehervonat Mivel a tehervonat ideje lesz a több, ezért abból kell kivonnunk a személyvonat idejét ahhoz, hogy a 40 percet megkapjuk. A 40 perc átszámítva pedig 2 3 óra. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 48 és 2 = 36. Válasz: A személyvonat sebessége 48 km h, a tehervonat sebessége pedig 36 km h. 17
18 25. A 150 km hosszúságú útszakaszon az egyik gépkocsi 10 km sebességgel gyorsabban h haladt, mint a másik, és ezért fél órával a hamarabb ért célba. Mekkora sebességgel haladt a két gépkocsi? Legyen az egyik kocsinak a sebessége, a másiknak pedig 10. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t Első kocsi 150 Második kocsi Mivel a második kocsi ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk az első kocsi idejét, ahhoz, hogy a fél órát megkapjuk. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = 1 2. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 60 és 2 = 50. Válasz: Az egyik kocsinak a sebessége 60 km h, a másiknak pedig 50 km h. 18
19 26. Egy kerékpárosnak 30 km-es utat kell megtennie. Mivel a kitűzött időnél 3 perccel később indult, ahhoz, hogy idejében megérkezzék, óránként 1 km-rel többet kellett megtennie, mint ahogy eredetileg tervezte. Mekkora sebességgel haladt? Legyen a kerékpáros tervezett sebessége, s a valós pedig + 1. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t Tervezett 30 Valós Mivel a tervezett út ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk a 3 percet, ahhoz, hogy megkapjuk a megvalósult kerékpározás idejét. A 3 perc átszámítva pedig 3 60 = 1 20 óra. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 24 és 2 = 25. Válasz: A kerékpáros valós sebessége tehát 25 km h volt. 19
20 27. Az A vasútállomásról reggel 5 órakor tehervonat indul B-be, mely A-tól 1080 km távolságra van. 8 órakor B-ből gyorsvonat indul A-ba, ez óránként 15 km-rel többet tesz meg a tehervonatnál. Félúton találkoznak. Hány órakor történik ez? Legyen a tehervonatnak a sebessége, a gyorsvonatnak pedig Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t Tehervonat 540 Gyorsvonat Mivel a tehervonat ideje lesz a több, ezért abból le kell vonnunk a két indulás között eltelt 3 órát, ahhoz, hogy megkapjuk a gyorsvonat idejét. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 45 és 2 = 60. Válasz: A tehervonat 12 órát, a gyorsvonat 9 órát ment, így 17 órakor találkoztak. 20
21 28. Az A város 78 km-re van B-től. A-ból elindult egy kerékpár B-be. Egy órával később pedig egy másik kerékpáros B-ből A-ba. Ez utóbbi sebessége 4 km - val több, mint az h elsőé, így B-től 36 km-re találkoztak. Mennyi ideig kerékpározott mindegyik az indulástól a találkozásig és mekkora sebességgel? Legyen az első kerékpárosnak a sebessége, a másodiknak pedig + 4. Készítsünk táblázatot, melyben feltüntetjük az adatokat. s v t A-ból B-be 42 B-ből A-ba Mivel a második kerékpáros ideje volt a kevesebb, ezért ahhoz hozzá kell adnunk az 1 órát, ahhoz, hogy megkapjuk az első kerékpáros idejét. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 42 = Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: 1 = 14 és 2 = 12. Válasz: Az első kerékpáros 14 km h - val haladt 3 óráig, a második pedig 18 km h - val 2 óráig. 21
22 29. Egy gépkocsi 10 m sebességgel halad el mellettünk, de abban a pillanatban s 4 m s2 gyorsulással egyenletesen növelni kezdi sebességét. Mennyi idő múlva halad el a tőlünk 100 m távolságra lévő oszlop mellett? Mekkora lesz ekkor a sebessége? Az egyenletesen gyorsuló, egyenes vonalú mozgással kapcsolatban a következő képleteket kell használnunk: v = v 0 + a t s = v 0+v 2 t s = s 0 + v 0 t + a 2 t2 Ahol t az eltelt idő; s 0 az óra elindulásáig megtett út; s a t időpillanatig megtett út; v 0 a test kezdő sebessége; v a végsebessége, a test gyorsulása. A szövegben megadott adatok a következők: s 0 = 0 m, s = 100 m, v 0 = 10 m s, a = 4 m s 2. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 100 = t t2. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: t 2 + 5t 50 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: t 1 = 5 és t 2 = 10. Az t 2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. A végsebességét pedig a következőképpen számíthatjuk ki: v = = 30. Válasz: A kocsi 5 másodperc alatt ér el az oszlopig és ekkor a sebessége 30 m s lesz. 22
23 30. Egy gépkocsi 10 m - t megtéve érte el a 2 m sebességet. Ekkor 2, 6 m s s2 egyenletes gyorsulással (egyenes úton) növelni kezdte a sebességét, és indulási helyétől 160 m távolságra elérte a végsebességét. Mennyi ideig gyorsított, és mekkora lett a végsebessége? A szövegben megadott adatok a következők: s 0 = 10 m, v 0 = 2 m, a = 2,6 m s s2, s = 160 m. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 160 = t + 2,6 2 t2. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: 13t t 1500 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: t 1 = 10 és t 2 = 11,5. Az t 2 nem lehetséges a szövegnek megfelelően. A végsebességet pedig a következőképpen számíthatjuk ki: v = 2 + 2,6 10 = 28. Válasz: A kocsi 10 másodpercig gyorsított és 28 m s lett a végsebessége. 31. Legyen a = 5 és b = 125. Határozd meg a és b számtani, illetve mértani közepét! A közepek kiszámításához a következő képleteket kell használnunk. Az n darab nem negatív szám számtani közepén a következőt értjük: a 1+a a n. n n Az n darab nem negatív szám mértani közepén a következőt értjük: a 1 a 2 a n. Ezek alapján a megoldások: Számtani közép: A (a; b) = = 65. Mértani közép: G (a; b) = =
24 32. Egy 2 m hosszú fonál segítségével képezzünk téglalapot. Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait, hogy a terület maimális legyen? Használjuk fel azt az összefüggést, hogy n darab szám mértani közepe mindig kisebb vagy egyenlő, mint a számok számtani közepe. Legyen a téglalap egyik oldala. Mivel a kerülete 2, ezért a másik oldal 1 lesz. A téglalap területe ekkor: T = (1 ). A két oldalra írjuk fel a mértani és számtani közepek közötti összefüggést: (1 ) Ezt rendezve a következőt kapjuk: (1 ) 1 4. Ebből következik, hogy a téglalap területe akkor lesz a legnagyobb, ha pontosan 1 4. Ezek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: (1 ) = 1 4. Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: = 1 2. Válasz: A legnagyobb területű téglalap az 1 m oldalú négyzet lesz. 2 24
25 33. A 100 cm 2 területű téglalapok közül melyiknek a legkisebb a kerülete? A téglalap kerülete: K = 2a + 2b. Ezt átrendezve a következőt kapjuk: K 4 = a+b 2. A téglalap területe: T = a b. Ezt átrendezve a következőt kapjuk: T = a b. Ezek alapján a téglalap kerületének negyede a két oldal számtani közepével egyenlő, míg a terület négyzetgyöke éppen a két oldal mértani közepét adja eredményül. Írjuk fel a két oldal segítségével a számtani és mértani közepek közötti összefüggést: 100 K 4. Ezt rendezve a következőt kapjuk: 40 K. Ebből következik, hogy a téglalap kerülete akkor lesz a legkisebb, ha pontosan 40. A terület képletéből fejezzük ki a-t, s a következőt kapjuk: a = 100 b. Ezt helyettesítsük be a kerület képletébe, s a következő egyenletet kapjuk: 40 = b. b Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlethez jutunk: b 2 20b = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása: b = 10. Visszahelyettesítés után azt kapjuk, hogy b = 10 esetén a = 10. Válasz: A 40 cm kerületű, vagyis 10 cm oldalú négyzetnek lesz a legkisebb a kerülete. 25
26 34. Adj meg olyan f () másodfokú függvényt, amelynek maimuma a (4; 3) pont, illetve egy olyan g () függvényt, melynek minimuma van az (1; 0) pontban! A szélsőérték meghatározásához előbb teljes négyzetté kell alakítanunk a másodfokú kifejezést. Általános alakot használva a következőt kapjuk: a 2 + b + c = a [( + b 2a )2 b2 4a 2] + c = a ( + b 2a )2 b2 4a + c. A függvénynek az = b 2a helyen lesz szélsőértéke, s ennek az értéke: y = b2 4a + c. Ha az a > 0, akkor a függvény képe egy felfelé nyíló parabola, így a szélsőérték minimum, ha az a < 0, akkor a függvény képe egy lefelé nyíló parabola, így a szélsőérték maimum. Tekintsük az első esetet. Mivel a feladat szerint maimuma lesz a függvénynek, ezért a < 0. Az értékét mi választhatjuk meg tetszőlegesen, legyen a = 1. Ezek alapján a függvény hozzárendelési szabálya a következőképpen adódik: f () = ( 1) ( 4) 2 3 = ( ) 3 = Tekintsük most a második esetet. Mivel a feladat szerint minimuma lesz a függvénynek, ezért a > 0. Az értékét mi választhatjuk meg tetszőlegesen, legyen a = 1. Ezek alapján a függvény hozzárendelési szabálya a következőképpen adódik: g () = 1 ( 1) 2 0 =
27 35. Határozd meg az f () = függvény szélsőértékeit, ha R, illetve ha [ 3; 2] vagy [0; 1]! A szélsőértékeket meghatározhatjuk anélkül is, hogy ábrázolnánk a függvényt. Mivel az 2 együtthatója egy pozitív szám, így a függvény képe egy felfelé nyíló parabola, vagyis minimuma van. Alakítsuk teljes négyzetté a függvény hozzárendelési szabályát: = 2 ( 2 + 2) 6 = 2 [( + 1) 2 1] 6 = 2 ( + 1) 2 8 Tekintsük az első esetet, ahol bármilyen értéket felvehet a függvény. Mivel a kapott alakban ( + 1) 2 0, ezért a legkisebb értéket akkor kapjuk, ha + 1 = 0. Ebből kapjuk, hogy a függvény minimumának helye: = 1. A függvény minimumának értékét pedig a teljes négyzetes alak második tagja adja meg, mert a transzformáció során a függvényt az y tengely mentén azzal az értékkel toljuk el. Ezek alapján a függvény minimumának értéke: y = 8. Tekintsük most a második esetet, vagyis az [ 3; 2] értékeket. Mivel az intervallum a függvény minimumának bal oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton csökkenő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maimuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A maimumának helye = 3 és értéke y = 2 ( 3) ( 3) 6 = 0. A minimumának helye = 2 és értéke y = 2 ( 2) ( 2) 6 = 6. 27
28 Tekintsük most a harmadik esetet, vagyis az [0; 1] értékeket. Mivel az intervallum a függvény minimumának jobb oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton növekvő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maimuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A minimumának helye = 0 és értéke y = = 6. A maimumának helye = 1 és értéke y = = 0. Az eredményeket ellenőrizhetjük, ha transzformációk segítségével ábrázoljuk a teljes négyzet segítségével kapott függvényalakot: 28
29 36. Határozd meg az f () = függvény szélsőértékeit, ha R, illetve ha [ 2; 0] vagy [2; 3]! A szélsőértékeket meghatározhatjuk anélkül is, hogy ábrázolnánk a függvényt. Mivel az 2 együtthatója egy negatív szám, így a függvény képe egy lefelé nyíló parabola, vagyis maimuma van. Alakítsuk teljes négyzetté a függvény hozzárendelési szabályát: = ( 2 2) + 3 = [( 1) 2 1] + 3 = ( 1) Tekintsük az első esetet, ahol bármilyen értéket felvehet a függvény. Mivel a kapott alakban ( 1) 2 0, ezért a legnagyobb értéket akkor kapjuk, ha 1 = 0. Ebből kapjuk, hogy a függvény minimumának helye: = 1. A függvény minimumának értékét pedig a teljes négyzetes alak második tagja adja meg, mert a transzformáció során a függvényt az y tengely mentén azzal az értékkel toljuk el. Ezek alapján a függvény minimumának értéke: y = 4. Tekintsük most a második esetet, vagyis az [ 2; 0] értékeket. Mivel az intervallum a függvény maimumának bal oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton növekvő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maimuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A minimumának helye = 2 és értéke y = ( 1) ( 2) ( 2) + 3 = 5. A maimumának helye = 0 és értéke y = ( 1) = 3. 29
30 Tekintsük most a harmadik esetet, vagyis az [2; 3] értékeket. Mivel az intervallum a függvény minimumának jobb oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton csökkenő lesz, vagyis az ezen intervallumon értelmezett függvénynek lesz minimuma és maimuma is. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y értékeket úgy kaphatjuk meg, hogy a kapott értékeket behelyettesítjük a függvény alakjába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők lesznek. A maimumának helye = 2 és értéke y = ( 1) = 3. A minimumának helye = 3 és értéke y = ( 1) = 0. Az eredményeket ellenőrizhetjük, ha transzformációk segítségével ábrázoljuk a teljes négyzet segítségével kapott függvényalakot: 30
31 37. Bontsd fel a 30-at két szám összegére úgy, hogy a tagok négyzetösszege a lehető legkisebb legyen! Legyen az egyik szám, a másik pedig 30. Ekkor a két szám négyzetösszege: 2 + (30 ) 2. Tekintsük ezt úgy, mint egy függvény és keressük meg a minimumát. f () = 2 + (30 ) 2 = = = = 2 ( 2 30) = 2 [( 15) 2 225] = 2 ( 15) Ezek alapján a függvénynek az = 15 helyen lesz minimuma. Válasz: Akkor lesz a legkisebb a tagok négyzetösszege, ha a két szám lesz. 38. Bizonyítsd be, hogy egy pozitív számnak és reciprokának összege nem kisebb 2-nél! Legyen a feladatnak megfelelő szám ( > 0). A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: Ezt rendezve a következő másodfokú egyenlőtlenséghez jutunk: Az egyenlőtlenség bal oldala nevezetes azonossággal szorzattá alakítható: ( 1) 2 0. Mivel bármely valós szám négyzete nem negatív, így az egyenlőtlenség mindig teljesül. Az egyenlőség csak akkor áll fenn, ha = 1. 31
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 1 = 7. 5 Ezt rendezve
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek IX.
Egyenletek, egyenlőtlenségek IX. Szöveges feladatok megoldása: A szöveges feladatok esetén írjunk fel egyenletet a korábban tanultak alapján, majd a kapott másodfokú egyenletet oldjuk meg a megoldóképlet
RészletesebbenMásodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!
Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és
RészletesebbenI. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!
Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!
Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden
RészletesebbenMásodfokú egyenletek Gyakorló feladatok. Készítette: Porkoláb Tamás. Milyen p valós paraméter esetén lesz az alábbi másodfokú egyenlet egyik gyöke 5?
Másodfokú egyenletek Gyakorló feladatok Készítette: Porkoláb Tamás Gyökök Milyen p valós paraméter esetén lesz az alábbi másodfokú egyenlet egyik gyöke? 3 ( p ) = Milyen p paraméter esetén lesz a következı
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.
Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
Részletesebben8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
Részletesebben11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:
11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x
10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 1 1 számtani közép efiníció 1. (Két nemnegatív szám számtani közepe) Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
Részletesebben3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenGyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!
1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
RészletesebbenEGYENLETEK. Mérleg-elv. = + x 1. = x + 12 2. 2 x + = 1 3x 10. = 1. 17. 13 3x. 5 x 11. ( ) Abszolutértékes egyenletek, egyenlőtlenségek. 28.
EGYENLETEK Mérleg-elv..... 6. + = 7 = + = 7+ 7+ 6 + = + = = ( ) 7. = + + 6 8 6 8. = 7 7 9.. 7 = + ( ) + + =. + Abszolutértékes egyenletek, egyenlőtlenségek. = 7. =. =. 8 = 6. 7 9 = 7. = 8. 8 = 9. =. 6.
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek X.
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak
RészletesebbenEGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK
EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával
RészletesebbenFeladatok MATEMATIKÁBÓL II.
Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenJelenlegi életkor Életkor 11 év múlva Anya x x + 11 Gyermek x 29 x 29 + 11 = x 18
Szöveges feladatok Életkori feladatok. Feladat. Egy anya 29 éves volt, amikor a a született. év múlva az életkora évvel lesz kevesebb, mint a a akkori életkorának kétszerese. Hány évesek most? Megoldás.
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő exponenciális egyenletrendszereket! (Alaphalmaz: R) 5 3 x 2 2 y = 7 2 3 x + 2 y = 10 7 x+1 6 y+3 = 1 6 y+2 7 x = 5 (6 y + 1) c) 25 (5 x ) y = 1 3 y 27 x = 3 Megoldás:
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
Részletesebben4,5 1,5 cm. Ezek alapján 8 és 1,5 cm lesz.
1. Tekintse az oldalsó ábrát! a. Mekkora lesz a 4. sor téglalap mérete? b. Számítsa ki az ábrán látható három téglalap területösszegét! c. Mekkora lesz a 018. sorban a téglalap oldalai? d. Hány téglalapot
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenIrracionális egyenletek, egyenlôtlenségek
9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenMATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS = KÖZÉP SZINT = I. rész: z alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Oldd meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! tg
RészletesebbenKisérettségi feladatsorok matematikából
Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Részletesebbenc.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3
1. Az alái feladatok egyszerűek, akár fejen is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonan erre a papírra írja! a.) Írja fel egy olyan egész együtthatós másodfokú egyenlet
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenMozgással kapcsolatos feladatok
Mozgással kapcsolatos feladatok Olyan feladatok, amelyekben az út, id és a sebesség szerepel. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén jelölje s= a megtett utat, v= a sebességet, t= az id t. Ekkor érvényesek
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217.
Megoldások 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, hetedik eleme 64. Számítsd ki a sorozat második tagját! Először számítsuk ki a sorozat hányadosát: a 7 = a 3 q 4 64 = 4q 4 q 1 = 2 és q 2 = 2 Ezek alapján
RészletesebbenKisérettségi feladatgyűjtemény
Kisérettségi feladatgyűjtemény Halmazok 1. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik
RészletesebbenI. A négyzetgyökvonás
Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. EMELT SZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani,
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály IV. rész: Egyenletrendszerek Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék IV.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenSzélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely
Szélsőérték problémák elemi megoldása II. rész Geometriai szélsőértékek Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Ebben a részben geometriai problémák szélsőértékeinek a megállapításával foglalkozunk, a síkgeometriai
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
RészletesebbenHatvány, gyök, normálalak
Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet 25. old. 3. feladat
Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása TK. II. kötet. old.. feladat a. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés: Az egyenlet bal oldalának ábrázolása függvényként.. lépés:
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Függvények 1/9
Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett
RészletesebbenHasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok)
Hasonlósági transzformációk II. (Befogó -, magasság tétel; hasonló alakzatok) DEFINÍCIÓ: (Hasonló alakzatok) Két alakzat hasonló, ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik alakzatot a másikba
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: R) a) log 4 (x ) = 3 b) lg (x 4) = lg (8x 10) c) log x + log 3 = log 15 d) log x 0x log x 5 = e) log 3 (x 1) = log 3 4 f) log 5 x = 4 g) lg
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
Részletesebbenfüggvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(
FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenNÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2014 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 7.
1. Falióránk három mutatója közül az egyik az órát, a másik a percet, harmadik a másodpercet mutatja. Egy bolha ráugrik déli órakor a másodpercmutatóra és megkezdi egy órás körutazását. Ha fedésbe kerül
Részletesebbenf x 1 1, x 2 1. Mivel > 0 lehetséges minimum. > 0, így f-nek az x 2 helyen minimuma van.
159 5. SZÉLSŐÉRTÉKSZÁMÍTÁS = + 1, R + 1 f = 1 R +,, f = R +, 1 Az 1 = 0 egyenlet gyökei : 1 1, 1. Mivel ezért az 1 helyen van az f-nek minimuma. 5.1. f f 1 0, 5.. Legyen az egyik szám, a másik pedig A.
RészletesebbenGyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:
Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold
RészletesebbenA III. forduló megoldásai
A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak
RészletesebbenSZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok
SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Add meg az alábbi sorozatok következő három tagját! a) ; 7; ; b) 2; 5; 2; c) 25; 2; ; 2. Egészítsd ki a következő sorozatokat! a) 7; ; 9; ; b) 8; ; ; 9; c) ; ; ;
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2006-2007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 006-007. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Melyek azok a pozitív egészek, amelyeknek pontosan négy pozitív
RészletesebbenXXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.
XXIV NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, 05 április 8- XII évfolyam A szabályos hatoldalú csonka gúla alapélei és ( a b ) A csonka gúla oldalfelülete megegyezik az alaplapok területének összegével
RészletesebbenHódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt
RészletesebbenMATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc
MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI 2014. Ponthatárok: (5) 83-100 (4) 65-82 (3) 47-64 (2) 30-46 (1) 0-29 Név, osztály Pontszám I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc I. rész 30 pont Érdemjegy II. rész 70 pont
RészletesebbenNémeth László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
RészletesebbenJavítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök
Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenArany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a b pozitív egészek és tudjuk hogy a 2
RészletesebbenBolyai János Matematikai Társulat. 1. Az a és b valós számra a 2 + b 2 = 1 teljesül, ahol ab 0. Határozzuk meg az. szorzat minimumát. Megoldás.
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási Minisztérium Alapkezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 005/00-os tanév első iskolai) forduló haladók II. kategória nem speciális
RészletesebbenParaméteres és összetett egyenlôtlenségek
araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:
Részletesebben} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =
. Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra
RészletesebbenSzámelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
RészletesebbenBoronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Vác, Németh László u : /fax:
200 Vác, Németh László u. 4-. : 27-17 - 077 /fax: 27-1 - 09. OSZTÁLY 1.) Hány olyan négyjegyű természetes szám van, melynek jegyei között az 1 és 2 számjegyek közül legalább az egyik szerepel? Négyjegyű
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egy háromszög egyik oldala 10 cm hosszú, s a rajta fekvő két szög 50 és 70. Számítsd ki a hiányzó szöget és oldalakat! Legyen a = 10 cm; β = 50 és γ = 70. A két szög ismeretében a harmadik
RészletesebbenXXIII. Vályi Gyula Emlékverseny május 13. V. osztály
XXIII. Vályi Gyula Emlékverseny Marosvásárhely 207. május 3. V. osztály. Sári néni a piacon 00 db háromféle tojást vásárolt 00 RON értékben. Tudva azt, hogy a tyúktojás ára 50 bani, a libatojás 5 RON és
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egy sorozat első tagja ( 5), a második tagja. Minden további tag a közvetlenül előtte álló két tag összegével egyenlő. Mennyi a sorozat első 7 tagjának összege? A szöveg alapján írjuk fel
RészletesebbenSZÁMTANI SOROZATOK. Egyszerű feladatok. 1. Egy számtani sorozatban:
SZÁMTANI SOROZATOK Egyszerű feladatok. Egy számtani sorozatban: a) a, a 29, a? 0 b) a, a, a?, a? 80 c) a, a 99, a?, a? 0 20 d) a 2, a2 29, a?, a90? 2 e) a, a, a?, a00? 2. Hány eleme van az alábbi sorozatoknak:
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:
RészletesebbenSzámokkal kapcsolatos feladatok.
Számokkal kapcsolatos feladatok. 1. Egy tört számlálója -tel kisebb, mint a nevezője. Ha a tört számlálójához 17-et, a nevezőjéhez -t adunk, akkor a tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? A szám: 17
RészletesebbenI. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?
1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan
RészletesebbenMásodfokú egyenletek egyszerű módszerek és a megoldóképlet
Másodfokú egyenletek egyszerű módszerek és a megoldóképlet 1. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket négyzetgyökvonás segítségével! a = 8 b = 484 c = 36 d 15 = 0 e + 7 = 0 f 1 = 4 7 g = 3 8 h =
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.
Részletesebben