Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 2 1 = 217.

Átírás

1 Megoldások 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, hetedik eleme 64. Számítsd ki a sorozat második tagját! Először számítsuk ki a sorozat hányadosát: a 7 = a 3 q 4 64 = 4q 4 q 1 = 2 és q 2 = 2 Ezek alapján két megoldás adódik: q = 2 esetén: a 3 = a 2 q 4 = 2a 2 a 2 = 2 q = 2 esetén: a 3 = a 2 q 4 = ( 2) a 2 a 2 = 2 2. Egy mértani sorozat első tagja 7, kvóciense 2. Írd fel a sorozat általános (n - edik) tagját! Mennyi a sorozat első 5 tagjának összege? Tagja - e a sorozatnak a 448? Írjuk fel a sorozat általános (n - edik) tagját: a n = 7 2 n 1. Írjuk fel a sorozat első 5 tagjának összegét: S 5 = = 217. Amennyiben tagja a sorozatnak a 448, akkor legyen a n = 448, s számoljuk ki az n értékét. Írjuk fel a következő egyenletet: 7 2 n 1 = 448. Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy n = 7. Ezek alapján a 448 a sorozat hetedik tagja. 3. Egy mértani sorozat negyedik és második tagjának különbsége 18. Az ötödik és harmadik tag különbsége 36. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Az adatokat a 1 és q segítségével felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 4 a 2 = 18 a 5 a 3 = 36 } a 1 q 3 a 1 q = 18 a 1 q 4 a 1 q 2 = 36 } a 1 q (q 2 1) = 18 a 1 q 2 (q 2 1) = 36 } 1

2 A második egyenletet elosztva az első egyenlettel a következő adódik: q = 2. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = Egy mértani sorozat második eleme 6, ötödik eleme 162. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és hányadosát: a 5 = a 2 q = 6q 3 q = 3 a 2 = a 1 q 6 = 3a 1 a 1 = 2 A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb háromjegyű szám a 999, és tudjuk, hogy a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek. Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget, s számoljuk ki az n értékét: 10 a n n n 1 498,5 lg 15 lg 3 n lg 1498,5 lg 15 n lg 3 lg 1498,5 2,5 n 6,65 Mivel n csak egész szám lehet így a következő adódik: n = 3; 4; 5; 6. Ezek alapján 4 olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű. 5. Egy növekvő mértani sorozat első három tagjának összege 31. Az első és harmadik tag összege 26. Mennyi a sorozat első tagja és kvóciense? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 3 = 26 a 1 + a 2 + a 3 = 31 } a 1 + a 1 q 2 = 26 a 1 + a 1 q + a 1 q 2 = 31 } A második egyenletből az elsőt kivonva, rendezés után a következő adódik: a 1 = 5 q. 2

3 Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s a következő adódik: 5q 2 26q + 5 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 5 és q 2 = 1 5. Mivel a sorozat növekvő, ezért a q 2 nem felel meg a feladatnak. Ezek alapján a megoldás: q = 5 és a 1 = 5 5 = Egy mértani sorozat első három tagjának összege 112, a következő három tagjának összege 14. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 1 q + a 1 q 2 = 112 a 1 q 3 + a 1 q 4 + a 1 q 5 = 14 } a 1 (1 + q + q 2 ) = 112 a 1 q 3 (1 + q + q 2 ) = 14 } A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: q = 1 2. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 15, a második, harmadik, negyedik és ötödik tag összege pedig 30. Melyik ez a sorozat? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q 3 = 15 a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q 3 + a 1 q 4 = 30 } a 1 (1 + q + q 2 + q 3 ) = 15 a 1 q (1 + q + q 2 + q 3 ) = 30 } A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: q = 2. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = 1. 3

4 8. Egy mértani sorozat első és harmadik tagjának összege 25, a második és negyedik tag összege 50. Melyik ez a sorozat? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 1 q 2 = 25 a 1 q + a 1 q 3 = 50 } a 1 (1 + q 2 ) = 25 a 1 q (1 + q 2 ) = 50 } A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: q = 2. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = Egy mértani sorozat első három tagjának összege nyolcadrésze a következő három tag összegének. Mennyi a sorozat hányadosa? Írjuk fel a következő egyenletet: 8 (a 1 + a 1 q + a 1 q 2 ) = a 1 q 3 + a 1 q 4 + a 1 q 5. Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 8 a 1 (1 + q + q 2 ) = a 1 q 3 (1 + q + q 2 ). Ezek alapján a megoldás: q = Egy mértani sorozat harmadik tagja 36 tal nagyobb a másodiknál. E két tag szorzata 243. Mennyi a sorozat első tagja? Legyen a 3 = a Írjuk fel a következő egyenletet: a 2 (a ) = 243. Ebből rendezés után a következő másodfokú egyenlet adódik: a a = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldása a 21 = 9 és a 22 = 27. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha a 2 = 9, akkor a 3 = 27; q = 3 és a 1 = 3. Ha a 2 = 27, akkor a 3 = 9; q = 1 3 és a 1 = 81. 4

5 11. Egy mértani sorozat ötödik és hetedik tagja is 12. Mennyi az első tíz tag összege? Írjuk fel a következő egyenletet: 12 = ( 12) q 2. Ebből azt kapjuk, hogy q 1 = 1 és q 2 = 1. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha q = 1, akkor a 1 = 12 és S 10 = 10 ( 12) = 120. Ha q = 1, akkor a 1 = 12 és S 10 = 12 ( 1) = Hány tagot kell összeadnunk az első tagtól kezdve az a n = 3 2 n sorozatból, hogy az összeg 1 milliónál nagyobb legyen? A szöveg alapján a következő adatokat tudjuk: a 1 = 6 és q = 2. Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: 6 2n Az egyenlőtlenséget rendezve azt kapjuk, hogy n 17,34. Ezek alapján legalább 18 tagot kell összeadni a feltétel teljesüléséhez. 13. Egy számtani sorozat második tagja 7, s e sorozat első, harmadik és nyolcadik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a mértani sorozat hányadosát! Legyenek a tagok sorrendben a következők: 7 d 7 + d 7 + 6d Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. Írjuk fel a következő egyenletet: 7 + d 7 d = 7 + 6d 7 + d. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: d 2 3d = 0. Ebből azt kapjuk, hogy d 1 = 0 és d 2 = 3. 5

6 Ezek alapján két megoldás adódik: Ha d = 0, akkor a sorozat tagjai 7; 7; 7, vagyis q = 1. Ha pedig d = 3, akkor a sorozat tagjai 4; 10; 25, vagyis q = Egy számtani sorozat első négy tagjához rendre 5 öt, 6 ot, 9 et és 15 öt adva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk. Határozd meg a mértani sorozat hányadosát! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d a 2 + 2d A mértani sorozat tagjai: a 2 d + 5 a a 2 + d + 9 a 2 + 2d + 15 Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. Írjuk fel a következő egyenletrendszert: a = a 2 + d + 9 a 2 d + 5 a a 2 + d + 9 a = a 2 + 2d + 15 a 2 + d + 9 } Az egyenletrendszert rendezve a következő adódik: a 2 = 2d. Ezt visszahelyettesítve azt kapjuk, hogy d 1 = 3 és d 2 = 3. Ha d = 3, akkor a 2 = 6 és a sorozat tagjai: 8; 12; 18; 27. Ezek alapján q = 3 2. Ha d = 3, akkor a 2 = 6 és a sorozat tagjai: 2; 0; 0; 3. Ez nem mértani sorozat. 15. Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 20. A második, a harmadik és az ötödik tag ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 3 2d a 3 d a 3 a 3 + d a 3 + 2d A mértani sorozat tagjai: a 3 d a 3 a 3 + 2d 6

7 A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: a 3 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 4 d d Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. Írjuk fel a következő egyenletet: 4 = 4 + 2d 4 d 4. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 2d 2 4d = 0. Ebből azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 0 és d 2 = 2. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha d = 2, akkor a számtani sorozat tagjai 0, 2, 4, 6, 8; a mértanié pedig 2, 4, 8. Ha d = 0, akkor a számtani sorozat tagjai 4, 4, 4, 4, 4; a mértanié pedig 4, 4, Egy növekvő számtani sorozat első három elemének összege 54. Ha az első elemet változatlanul hagyjuk, a másodikat 9 - cel, a harmadikat 6 - tal csökkentjük, akkor egy mértani sorozat három egymást követő elemét kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d a 2 9 a 2 + d 6 A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: a 2 = 18. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 18 d d Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. Írjuk fel a következő egyenletet: 9 18 d 12 + d =. 9 7

8 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 6d 135 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 15 és d 2 = 9. Mivel növekvő számtani sorozatról van szó, így a d 2 nem felel meg a feladatnak. Ezek alapján a megoldás: a számtani sorozat tagjai 3, 18, 33; a mértanié pedig 3, 9, Egy mértani sorozat első három tagjának összege 35. Ha a harmadik számot 5 - tel csökkentjük, egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d + 5 A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: a 2 = 10. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 10 d d Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. Írjuk fel a következő egyenletet: d = 15 + d 10. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 + 5d 50 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 5 és d 2 = 10. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha d = 5, akkor a számtani sorozat tagjai 5, 10, 15; a mértanié pedig 5, 10, 20. Ha d = 10, akkor a számtani sorozat tagjai 20, 10, 0; a mértanié pedig 20, 10, 5. 8

9 18. Egy mértani sorozat első három elemének összege 42. Ugyanezek a számok egy növekvő számtani sorozat első, második és hatodik elemei. Melyek ezek a számok? A számtani sorozat tagjai: a 1 a 1 + d a 1 + 5d A mértani sorozat tagjai: a 1 a 1 + d a 1 + 5d A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: a 1 = 14 2d. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 14 2d 14 d d Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. Írjuk fel a következő egyenletet: 14 d 14 2d = d 14 d. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: 7d 2 42d = 0. Ebből azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 0 és d 2 = 6. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha d = 0, akkor a 1 = 14 és a mértani sorozat tagjai 14, 14, 14. Ha d = 6, akkor a 1 = 2 és a mértani sorozat tagjai 2, 8, Egy mértani sorozat három egymást követő tagjához rendre 1 - et, 14 - et és 2 - t adva egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 150. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d 1 a 2 14 a 2 + d 2 A számtani sorozat tagjait összeadva rendezés után a következő adódik: a 2 = 50. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 49 d d 9

10 Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. Írjuk fel a következő egyenletet: d =. 49 d 36 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 d 1056 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 33 és d 2 = 32. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha d = 33, akkor számtani sorozat tagjai 17, 50, 83; a mértanié pedig 16, 36, 81. Ha d = 32, akkor számtani sorozat tagjai 82, 50, 18; a mértanié pedig 81, 36, Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 6 - ot, 7 - et és 12 - t adva egy olyan mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek szorzata Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d + 6 a a 2 + d + 12 Mértani sorozat esetén egy elem négyzete megegyezik a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával: (a 2 d + 6) (a 2 + d + 12) = (a 2 + 7) 2. Írjuk fel a következő egyenletet: (a 2 + 7) (a 2 + 7) 2 = Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy a 2 = 17. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 23 d d Mértani sorozat esetén a szomszédos tagok hányadosa megegyezik. Írjuk fel a következő egyenletet: d = 29 + d 24. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 + 6d 91 = 0. 10

11 A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 7 és d 2 = 13. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha d = 7, akkor a számtani sorozat tagjai 10, 17, 24; a mértanié pedig 16, 24, 36. Ha d = 13, akkor a számtani sorozat tagjai 30, 17, 4; a mértanié pedig 36, 24, Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának szorzata 64. Ha az első elemhez hozzáadunk 1 et, a másodikhoz 4 et, a harmadikhoz pedig 5 öt, akkor egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Melyek a sorozatok tagjai? A mértani sorozat tagjai: a 2 q a 2 a 2 q A számtani sorozat tagjai: a 2 q + 1 a a 2 q + 5 A mértani sorozat tagjait összeszorozva rendezés után a következő adódik: a 2 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a számtani sorozat tagjaiba: 4 q q + 5 Számtani sorozat esetén a szomszédos tagok különbsége megegyezik. Írjuk fel a következő egyenletet: 8 ( 4 + 1) = 4q q Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2q 2 5q + 2 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 2 és q 2 = 1 2. Ezek alapján két megoldás adódik: Ha q = 2, akkor a mértani sorozat tagjai 2, 4, 8; a számtanié pedig 3, 8, 13. Ha q = 1, akkor a mértani sorozat tagjai 8, 4, 2; a számtanié pedig 9, 8,

12 22. Egy mértani sorozat négy egymást követő tagja közül a két szélső összege 112, a két középső összege 48. Mennyi a sorozat hányadosa? A mértani sorozat tagjai: a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q 3 Írjuk fel a következő egyenletrendszert: a 1 + a 1 q 3 = 112 a 1 q + a 1 q 2 = 48 } a 1 (1 + q 3 ) = 112 a 1 q (1 + q) = 48 } a 1 (1 + q) (1 q + q 2 ) = 112 } a 1 q (1 + q) = 48 Az első egyenletet elosztva a másodikkal a következőt kapjuk: 1 q+q2 = 7. 3 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3q 2 10q + 3 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 3 és q 2 = 1. 3 q 23. Egy pozitív tagú mértani sorozat első és kilencedik tagjának szorzata 2304, a negyedik és hatodik tag összege 120. Határozd meg a sorozat első elemét és a hányadosát! Írjuk fel a következő egyenletrendszert: a 1 a 9 = 2304 a 4 + a 6 = 120 } a 2 1 q 8 = 2304 a 5 + a q 5 q = 120 } Az első egyenletből azt kapjuk, hogy (a 1 q 4 ) 2 = 2304, vagyis a 51 = 48 és a 52 = 48. Mivel a sorozat pozitív tagú, így az a 52 nem felel meg a feladatnak. Ezt helyettesítsük vissza a második egyenletbe: q = 120. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2q 2 5q + 2 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 2, vagy q 2 = 0,5. q Ezek alapján két megoldás adódik: q 1 = 2 esetén a 1 = 3, ha pedig q 1 = 0,5, akkor a 1 =

13 24. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának összege 126, szorzata Határozd meg a sorozat hányadosát! A mértani sorozat tagjai: a 2 q a 2 a 2 q Írjuk fel a következő egyenletrendszert: a 2 + a q 2 + a 2 q = 126 a 2 a q 2 a 2 q = } A második egyenletet rendezve a következőt kapjuk: a 2 = 24. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe: q = 126. q Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 4q 2 17q + 4 = 0 A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai: q 1 = 4, vagy q 2 = Egy mértani sorozat első négy tagjának összege 0. A sorozat harmadik tagja 7. Határozd meg a tagot! Írjuk fel a következő egyenletet: a 1 q4 1 q 1 = 0. Egy szorzat értéke csak akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ebből azt kapjuk, hogy a 1 = 0, vagy q4 1 q 1 = 0. Az a 1 = 0 nem lehetséges, mert akkor minden tag 0 lenne. A q4 1 q 1 = 0 egyenletből azt kapjuk, hogy q 1 = 1, vagy q 2 = 1. A q 2 nem lehetséges, mert akkor minden tag 7 lenne, melyek összeg nem 0. Ezek alapján a megoldás: q = 1 esetén a 2008 = 7 ( 1) 2005 = 7. 13

14 26. Egy mértani sorozat első 5 tagjának az összege 155, e számok reciprokának az összege 0, Határozd meg ennek az öt tagnak a szorzatát! Írjuk fel a következő egyenletrendszert: a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q 3 + a 1 q 4 = = 0,3875 } a 1 a 1 q a 1 q 2 a 1 q 3 a 1 q 4 a 1 (1 + q + q 2 + q 3 + q 4 ) = q+q 2 +q 3 +q 4 } = 0,3875 a 1 q 4 Az első egyenletet elosztva a második egyenlettel a következőt kapjuk: a 12 q 4 = 400. Ebből azt kapjuk, hogy (a 1 q 2 ) 2 = 400, vagyis a 31 = 20 és a 32 = 20. A a 32 = 20 nem felel meg a feladat szövegének. Ezek alapján a megoldás: 20 q 2 20 q 20 20q 20q2 = Egy mértani sorozat első tagja 2. A sorozat első néhány tagjának az összege 62, ugyanezen tagok reciprokának összege pedig 0, 62. Melyik ez a sorozat? Írjuk fel a következő egyenletrendszert: 2 + 2q + 2q q n 1 = } = 0,62 2 2q 2q 2 2 qn q + q q n 1 = 31 1+q+q 2 + +q n 1 } = 1,24 q n 1 Az első egyenletet elosztva a második egyenlettel a következőt kapjuk: q n 1 = 25. Az első egyenletet alakítsuk át a következőképpen: 1 qn 1 1 q 1 Helyettesítsük be a kapott értéket: = 31. q 1 Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy q = 5. + q n 1 = 31. Ezek alapján a megoldás: a n = 2 5 n 1 14

15 28. Egy mértani sorozat első tagja 0, 1. Az első négy tag összege 1 gyel nagyobb a sorozat hányadosánál. Határozd meg a sorozat első négy tagját! Írjuk fel a következő egyenletet: 0,1 q4 1 q 1 = q + 1. Alakítsuk át az egyenletet a következőképpen: 0,1 (q2 + 1) (q 1) (q + 1) q 1 Ebből azt kapjuk, hogy q 1 = 1, q 2 = 3 és q 3 = 3. = q + 1. Ezek alapján három megoldás is adódik: Ha q = 1, akkor a sorozat első négy tagja: a 1 = 0,1; a 2 = 0,1; a 3 = 0,1; a 4 = 0,1. Ha q = 3, akkor a sorozat első négy tagja: a 1 = 0,1; a 2 = 0,3; a 3 = 0,9; a 4 = 2,7. Ha q = 3, akkor a sorozat első négy tagja: a 1 = 0,1; a 2 = 0,3; a 3 = 0,9; a 4 = 2, Öt szám közül az első három egy mértani, a négy utolsó pedig egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A négy utolsó szám összege 20, a második és az ötödik szám szorzata 16. Melyik ez az öt szám? Legyen az öt szám: a; b; c; d; e. Számtani sorozat esetén teljesül a következő: b + e = c + d. Írjuk fel a következő egyenletrendszert: b + e = 10 b e = 16 } Az első egyenletből fejezzük ki az egyik ismeretlent: b = 10 e. Ezt helyettesítsük a második egyenletbe: e 2 10e + 16 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai e 1 = 2 és e 2 = 8. Ha e = 2, akkor b = 8. A számtani sorozatból azt kapjuk, hogy c = 6 és d = 4. A mértani sorozatból pedig 8 a = 6 8 adódik, vagyis a =

16 Ha e = 8, akkor b = 2. A számtani sorozatból azt kapjuk, hogy c = 4 és d = 6. A mértani sorozatból pedig 2 = 4 adódik, vagyis a = 1. a 2 Ezek alapján a megoldások: 1; 2; 4; 6; 8 és 8; 6; 4; 2; Egy mértani sorozat második tagja négyszer akkora, mint a negyedik tagja. A harmadik és az ötödik tag szorzata 100. Melyik ez a sorozat? Írjuk fel a következő egyenletrendszert: a 1 q = 4 a 1 q 3 a 1 q 2 a 1 q 4 = 100 } Az első egyenletből a következőt kapjuk: q 1 = 1 2 és q 2 = 1 2. Mindkét hányados esetén a második egyenletből a következő adódik: a 1 2 = Ebből a következőt kapjuk: a 11 = 80 és a 12 = 80. Ezek alapján négy megoldás adódik: a n = 80 ( 1 2 )n 1 a n = 80 ( 1 2 )n 1 a n = 80 ( 1 2 )n 1 a n = 80 ( 1 2 )n Az a n mértani sorozat első négy tagjának az összege 81. Tudjuk továbbá, hogy a 4 a 1 = 13. Melyik ez a sorozat? a 3 a 2 3 Alakítsuk át a megadott képletet a következőképpen: a 4 a 1 = a 1 q 3 a 1 = a 1 (q 3 1) = a 1 (q 1) (q 2 +q+1) a 3 a 2 a 1 q 2 a 1 q a 1 q (q 1) a 1 q (q 1) = q2 +q+1. q 16

17 Írjuk fel a következő egyenletet: q2 +q+1 q = Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 3q 2 10q + 3 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 3 és q 2 = 1 3. Ezt követően írjuk fel a következő egyenletet: a 1 q4 1 q 1 = 81. Ekkor q 1 = 3 esetén a 1 = 81 40, míg q 2 = 1 3 esetén pedig a 1 = Ezek alapján két megoldás adódik: a n = n 1 és a n = (1 3 )n Egy mértani sorozat első három tagjának az összege 28. Ha a második tagot megszorozzuk az első és a harmadik tag összegével 160 at kapunk. Melyik ez a sorozat? Legyen a következő: a 2 = x és a 1 + a 3 = y. Írjuk fel a következő egyenletrendszert: x + y = 28 xy = 160 } Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x 1 = 8; y 1 = 20 és x 2 = 20; y 2 = 8. Az első esetben a következő adódik: a 3 = 20 a 1. Mivel a 2 2 = a 1 a 3, így felírhatjuk a következő egyenletet: 64 = a 1 (20 a 1 ). Ebből azt kapjuk, hogy a 1 = 4, vagy a 1 = 16. Ekkor a 1 = 4 esetén q = 2, míg a 1 = 16 esetén pedig q = 1. 2 A második esetben a következő adódik: a 3 = 8 a 1. Mivel a 2 2 = a 1 a 3, így felírhatjuk a következő egyenletet: 400 = a 1 (8 a 1 ). Ebből azt kapjuk, hogy az egyenletnek nincs megoldása. Ezek alapján két megoldás adódik: a n = 4 2 n 1 és a n = 16 ( 1 2 )n 1. 17

18 33. Egy mértani sorozat első nyolc tagjának az összege 250. Tudjuk továbbá, hogy (a 2 + a 4 + a 6 + a 8 ) (a 1 + a 3 + a 5 + a 7 ) = 150. Határozd meg az első tagot és a sorozat hányadosát! Tekintsük a következő jelöléseket: x = a 1 + a 3 + a 5 + a 7 és y = a 2 + a 4 + a 6 + a 8. Írjuk fel a következő egyenletrendszert: x + y = 250 y x = 150} x q = y Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 50; y = 200; q = 4. Írjuk fel a következő egyenletet: a = 250 Ebből azt kapjuk, hogy a 1 = Négy, adott sorrendben felírt számról a következőket tudjuk: a két szélső szám összege 14 a két középső szám összege 12 az első három szám egy mértani sorozat három egymást követő tagja az utolsó három szám egy számtani sorozat három egymást követő tagja. Melyik ez a sorozat? Legyen a négy szám a negyedik pontnak megfelelően a következő: x; a 2 d; a 2 ; a 2 + d. A második pontnak megfelelően írjuk fel a követkeőzt: a 2 d + a 2 = 12. Ebből a következő adódik: d = 2a Az első pontnak megfelelően írjuk fel a következőt: x + a 2 + d = 14. Helyettesítsük be a kapott kifejezést: x = 14 a 2 (2a 2 12) = 26 3a 2. 18

19 A harmadik pontnak megfelelően írjuk fel a következőt: (a 2 d) 2 = x a 2. Helyettesítsük be a kapott kifejezéseket: (12 a 2 ) 2 = (26 3a 2 ) a 2. Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2a a = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai a 2 = 8, vagy a 2 = 9 2. Ekkor a 2 = 8 esetén d = 4, míg a 2 = 9 esetén pedig d = 3. 2 Ezek alapján két megoldás adódik: 2; 4; 8; 12 és 25 ; 15 ; 9 ; Az a; b; c egy mértani sorozat első három tagja. Ha a c t az a és a b összegével csökkentjük, egy számtani sorozat három szomszédos tagjához jutunk. Az a; b + 10; c pedig szintén egy számtani sorozat egymás utáni tagjai. Határozd meg az a; b; c számokat! Írjuk fel a következő egyenletrendszert: b 2 = ac b = a+c (a+b) 2 } b + 10 = a+c 2 Ezt megoldva azt kapjuk, hogy a 1 = 5; b 1 = 15; c 1 = 45 és a 2 = 20; b 2 = 0; c 2 = 0. Ezek alapján két megoldás adódik: 5; 15; 45 és 20; 0; Egy pozitív tagú, nem állandó számtani sorozat első, második és ötödik tagja egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Milyen k ra teljesül, hogy a sorozat első, harmadik és k adik tagja ugyancsak egy mértani sorozat egymást követő tagjai lesznek? Mértani sorozat esetén egy elem négyzete megegyezik a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával: a 1 (a 1 + 4d) = (a 1 + d) 2. Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy d = 2a 1. 19

20 A második feltételből írjuk fel a következőt: a 3 2 = a 1 a k. Ebből a következő egyenlet adódik: (a 1 + 2d) 2 = a 1 [a 1 + (k 1) d]. A kapott kifejezést behelyettesítve azt kapjuk, hogy k = Van e olyan nem állandó számtani sorozat, ami mértani sorozat is egyben? Legyenek a számtani sorozat szomszédos tagjai: a 2 d; a 2 ; a 2 + d. Mértani sorozat esetén teljesül a következő: a 2 2 = (a 2 d) (a 2 + d). Ebből azt kapjuk, hogy d = 0. Ezek alapján a számtani sorozat csak konstans tagok esetén lehet mértani is. 38. Melyek azok a számtani sorozatok, amelyeknek az első három tagját 2 vel megszorozva egy mértani sorozat egymást követő tagjait kapjuk? Amennyiben 2a 1 ; 2a 2 ; 2a 3 egy mértani sorozat egymást követő tagjai, akkor az a 1 ; a 2 ; a 3 számhármasra is tagja egy mértani sorozatnak, továbbá a két sorozat kvóciense megegyezik. Ezek alapján csak a konstans sorozatok tesznek eleget a feladat feltételének, mert csak abban az esetben lesz a számtani sorozat tagjai mértani sorozatnak is tagjai. 39. Van e olyan mértani sorozat, amelynek minden tagja irracionális? Lehetséges, ha az első tag irracionális, a hányados pedig racionális (q 0). 40. Van e olyan nem állandó mértani sorozat, amelynek minden tagja négyzetszám? Lehetséges, ha az első tag és a hányados is négyzetszám. 20

21 41. Igazold, hogy ; 1 ; Számítsuk ki az egymást követő tagok hányadosát: egy mértani sorozat három egymást követő tagja! = 2 1 = 2 1 = 2 2 (2 2) ( 2+1) = Mivel a kapott értékek megegyeznek így a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai. 42. Igazold, hogy a következő számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai 5 2 ; 1 ; 5 + 2; 3! Számítsuk ki az egymást követő tagok hányadosát: = = 3 ( 5+2) ( 5 2) ( 5+2) = 3 ( 5 + 2) = 3 ( 5 + 2) = 3 1 = 3 = 3 ( 5 + 2) Mivel a kapott értékek megegyeznek így a számok egy mértani sorozat egymást követő tagjai. 43. Írj fel egy olyan mértani sorozat három további tagját, amelynek a tagjai között vannak a következő számok: 3; 8 9 ; 32 81! Számítsuk ki a lehetséges hányadost: 8 : 3 = 8 32, illetve : 8 = A kapott értékek q egész kitevőjű hatványai, vagyis a kvóciens egy lehetséges értéke: q = 2 3. Ezek alapján egy lehetséges megoldás: 3; 2; 4 3 ; 8 9 ; ; ;

22 44. Van e olyan mértani sorozat, amelynek az 1, a 2 és a 3 is tagja? Tegyük fel, hogy lehetséges, így a sorozat tagjai: a k = 1; a m = 2; a n = 3. Számítsuk ki a tagok hányadosát: a m a k = 2; a n a k = 3; a n a m = 3 2 A kapott értékek a q pozitív egész kitevőjű hatványai. x Ebből azt kapjuk, hogy q = 3 y = 2, vagyis 3 y = 2 x. Ellentmondást kaptunk, mert a prímtényezős felbontás miatt nem lehet egyenlő a két oldal. Ezek alapján nincs ilyen sorozat. 45. Számítsd ki a 2 első tíz nemnegtaív egész kitevőjű hatványának összegét! Írjuk fel a következő összeget: Ebből adódik, hogy egy mértani sorozat egymást követő tagjai, ahol: a 1 = 1; q = 2; n = 10. Ezek alapján a megoldás: S 10 = = Írd le a 3 első száz (pozitív egész kitevőjű) hatványát egymás mellé, majd két két szomszédos szám közé írd be ezek különbségét úgy, hogy mindig a nagyobbikból vond ki a kisebbet! Mennyi a beírt számok összege? Írjuk fel a következő összeget: ( ) + ( ) + + ( ). Ebből adódik, hogy a tagok egy mértani sorozat egymást követő tagjai, ahol: a 1 = 6 és q = 3. Ezek alapján a megoldás: S 99 = =

23 47. Igaz e tetszőleges n > 0 egészre, hogy = , ahol az 1 esekből álló szám 2n jegyű, a 2 esekből és 3 asokból álló számok pedig n jegyűek? Írjuk fel az adott számokat a következő alakban: = n 1 = 1 102n 1 = 102n = n 1 = 2 10n 1 = 2 10n = n 1 = 3 10n 1 = 10n Írjuk fel az első két szám különbségét és alakítsuk át a következőképpen: 10 2n n 2 9 = 102n 2 10 n = ( 10n 1 ) 2 3 Ezek alapján az állítás teljesül minden pozitív egész n - re. 48. A Papp család betesz a bankba Ft - ot 5 évre, évi 7 % - os kamatozással. Mennyi pénzt vehetnek ki az ötödik év végén? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) A kamatos kamat képletével a következő adódik: ,07 5 = Ezek alapján 5 év után kb Ft - ot vehet majd ki a bankból a Papp család. 49. Beteszünk a bankba Ft - ot évi 11 % - os kamatozással. Mennyi év után vehetjük ki a pénzünket, ha minimum Ft - ot szeretnénk kivenni majd? A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: ,11 n ,11 n 20 lg 1,11 n lg 20 n lg 1,11 lg 20 n Ezek alapján kb. 29 év után vehetjük ki a pénzünket a bankból. 23 lg 20 lg 1,11 28,7

24 50. Egy autó ára újonnan Ft. Mennyi százalékkal csökken az autó ára minden évben, ha 3 év után Ft - ért tudjuk majd eladni? (A megoldást egészre kerekítve add meg!) A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenletet: (1 p 100 )3 = Az egyenlet rendezése után a következő adódik: p 12,06. Ezek alapján kb. 12 % - kal csökken minden évben az autó ára. 51. Egy gépsor értéke új korában 15 millió forint. Évenként 13 % - os értékcsökkenéssel számolva mikor kerül a gépsor értéke 6 millió forint alá? A kamatos kamat képletével írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: > ( )n. Az egyenlőtlenség rendezése után a következő adódik: n > Ezek alapján kb. 7 év után teljesül a feltétel. lg 0,4 lg 0,87 6, Egy bankba a Kovács család minden év elején betesz Ft - ot, mely év végén 5 % - ot kamatozik. 20 év után mekkora összeget tudnak majd kivenni a bankból? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Az első év végén kivehető összeg: ,05. A második év végén: ( , ) 1,05 = , ,05. A huszadik év végén felvehető összeg: , , ,05 = ,05 (1 + 1, ,05 19 ) = ,05 1 1, , Ezek alapján 20 év után kb Ft - ot vehet majd ki a bankból a Kovács család. A gyűjtőjáradék képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 24

25 53. Valaki 40 éves korában életbiztosítást köt a következő feltételekkel. Minden év elején azonos összeget fizet be a biztosító társasághoz, és 70 éves korában 5 millió forintot kap. A befizetett pénz 8 % - kal kamatozik. Mekkora összeget kell befizetnie minden év elején? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az évente befizetett összeg: x. Ekkor az első év végén a kamatozással keletkező összeg: x 1,08. A második év végén: (x 1,08 + x) 1,08 = x 1, x 1,08. A harmincadik év végén felvehető összeg: x 1, x 1, x 1,08 = x 1,08 (1 + 1, ,08 29 ) = = x 1,08 1 1, ,08 1 Ebből felírható a következő egyenlet: x 1,08 1 1, ,08 1 = Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján kb Ft - ot kell befizetnie az illetőnek minden év elején. A gyűjtőjáradék képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 54. Kovács Zoltán 30 évesen lakást szeretne venni. Ehhez felvesz 9 millió kölcsönt, 15 évre évi 7 % - os kamatozással. Mekkora lesz az éves törlesztőrészlete? (A törlesztőrészletet ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az éves törlesztőrészlet: x. A 15. év végére visszafizetendő összeg: , Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden év végén, így a 15. év végére befizetett összeg: x 1, x 1, x 1, x 1,07 + x = = x (1 + 1,07 + 1, ,07 14 ) = x 1 1, ,

26 Ebből felírható a következő egyenlet: x 1 1, ,07 1 = ,0715. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján az éves törlesztőrészlet kb Ft lesz. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 55. A Futó család új lakást akar vásárolni. Ehhez kölcsönt vesznek fel, méghozzá 10 millió Ft - ot 20 évre, évi 6 % - os kedvezményes kamatra. Minden év végén úgy törlesztenék a kölcsönt és kamatait, hogy 20 éven át minden évben ugyanakkora összeget akarnak befizetni. Mekkora legyen ez az összeg? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az éves törlesztőrészlet: x. Az első év végén fennmaradó összeg: ,06 x. A második végén: ( ,06 x) 1,06 x = ,06 2 x 1,06 x. A huszadik év végén: ,06 20 x 1,06 19 x 1,06 18 x 1,06 x = ,06 20 x (1 + 1,06 + 1, ,06 19 ) = ,06 20 x 1 1, ,06 1 Ebből felírható a következő egyenlet: ,06 20 x 1 1, ,06 1 = 0. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján az éves törlesztőrészletnek kb Ft nak kell lennie. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 26

27 56. Elhelyezünk Ft ot évi 4 % - os kamatra. A következő évtől kezdve tíz éven át egynelő összegeket akarunk felvenni midnen év elején úgy, hogy a tíz év letelte után ne maradjon pénzünk. Mennyi pénzt vegyünk fel egy évben? Legyen az éves felvett összeg: x. Az első év végén fennmaradó összeg: ,04 x. A második végén: ( ,04 x) 1,04 x = ,04 2 x 1,04 x. A tizedik év végén: ,04 10 x 1,04 9 x 1,04 8 x 1,04 x = ,04 10 x (1 + 1,04 + 1, ,04 9 ) = ,04 10 x 1 1, ,04 1 Ebből felírható a következő egyenlet: ,04 10 x 1 1, ,04 1 = 0. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x 1233 Ft. Ezek alapján kb Ft ot kell felvenni. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 57. Aladár Ft ot vesz fel kölcsönbe évi 12 % - os kamatra. Két év alatt kell visszafizetnie, havi egyenlő részletekben. Mennyi lesz a havi törlesztőrészlet? A szövegből adódik, hogy a havi kamat: 1 %. Legyen a havi törlesztőrészlet: x. A 2. év végére visszafizetendő összeg: ,

28 Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden hó végén, így a 2. év végére befizetett összeg: x 1, x 1, x 1, x 1,01 + x = = x (1 + 1,01 + 1, ,01 23 ) = x 1 1, ,01 1 Ebből felírható a következő egyenlet: x 1 1, ,01 1 = ,0124. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján a havi törlesztőrészlet kb Ft lesz. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 58. Tíz év alatt minden év elején 4000 Ft ot teszünk a takarékba. Tíz év elteltével 4000 Ft ot veszünk ki évenként. Mennyi pénzünk lesz a huszadik év végén, ha 5 % - os a kamat? Az első év végén levő összeg: a 1 = ,05. A második év végén levő összeg: a 2 = (4000 1, ) 1,05. A tízedik év végén levő összeg: a 10 = 4000 (1, ,05 10 ) = ,05 1, , Ft. A tízenegyedik év végén levő összeg: a 11 = ( ) 1,05. A huszadik év végén levő összeg: a 20 = , (1, ,05 10 ) = = , Ft Ezek alapján kb Ft lesz a huszadik év végén. 28

29 59. András munkába állás során két ajánlat közül választhat. Az első szerint a kezdő fizetése Ft lenne és minden hónapban Ft tal növelnék meg az előző havi jövedelmét. A második szerint a kezdő fizetése Ft lenne és minden hónapban az előző havi jövedelmét 3 % - kal növelnék. Melyik ajánlatot válassza, ha 5 évre tervez előre, s a legtöbbet szeretné keresni ezen időszak alatt, s melyiket, ha az utolsó hónapban? Változik e az álláspontja, ha legalább 6 évre tervez? Az 5 év alatt összesen 60 hónapon keresztül kap fizetést András. Az első ajánlat során a fizetések egy számtani sorozat egymást követő tagjai. A sorozat első tagja , differenciája Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: a 60 = = Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: S 60 = = A második ajánlat során a fizetések egy mértani sorozat egymást követő tagjai. A sorozat első tagja , kvóciense 1,03. Számítsuk ki az utolsó havi fizetését: a 60 = , Számítsuk ki az 5 év alatt szerzett összjövedelmét: S 60 = , , Ezek alapján 5 év elteltével, az utolsó hónapot szem előtt tartva a másodikat, az összjövedelmet figyelve pedig az elsőt kell választania. Végül számítsuk ki a 6 éves (72 hónap) összjövedelmeket: S 72 = = S 72 = , , Ezek alapján 6 év elteltével minden tekintetben a második ajánlat lesz a kedvezőbb. 29

30 60. Egy cég termelése havonta 3 % - kal növekszik. Három év elteltével a termelés hányszorosa lesz a kezdeti (első havi) termelésnek? A szövegből a következők adódnak: q = 1,03 és n = 36. Ebből írjuk fel a következőt: a 36 = a 1 1, ,81 a 1. Ezek alapján kb. 2,81 szeresére változik. 61. Egy 50 literes hordóban tiszta alkohol van. Óránként 1 litert vesznek ki belőle, és óránként befolyik 1 liter víz. Mennyi idő múlva lesz 40 % - os keverék a hordóban? Egy óra múlva a tiszta alkohol mennyisége szeresére változik. Írjuk fel a következő egyenletet: 50 ( )n = 50 0,4. Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy n = lg 0,4 lg 0,98 45,35. Ezek alapján kb. 46 óra múlva lesz 40 % - os a keverék. 62. Egy szigeten élő rágcsálópopuláció 3 havonként az aktuális létszám 8 % - ával gyarapszik. Hány évvel ezelőtt voltak 30 an, ha jelenleg a csapdázások alapján végzett számítások szerint mintegy 1500 egyed él a szigeten, és a megfigyelések szerint a rágcsálók legalább 50 évig élnek? Egy év elteltével a rágcsálók száma: 30 1,08 4. Írjuk fel a következő egyenletet: 30 1,08 4n = Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy n = lg 50 4 lg 1,08 12,7. Ezek alapján kb. 13 évvel ezelőtt voltak 30 - an. 30

31 63. Egy erdő faállománya 3500 m 3. A mindenkori állomány évenként 3 % - kal gyarpaszik, és kétévenként a meglévő állomány 2 % - át kivágják. Mennyi fa lesz az erdőben 20 év múlva? Két év után az eredeti állomány 1,03 2 0,98 szerese lesz. Ezek alapján a megoldás: 3500 (1,03 2 0,98) m Egy nyúlékony zsinórra felfüggesztünk egy súlyt. A zsinór nyúlása az első négy órában minden eltelt órában másfélszeresére nő. Kezdetben 70 cm hosszú volt. Mennyi idő (egész órában) elteltével lesz legalább 3, 5 m hosszú? A szövegből a következők adódnak: q = 1,5 és a 1 = 70. Írjuk fel a következő egyenlőtlenséget: 70 1,5 n > 350. Ebből rendezés után azt kapjuk, hogy n > lg 5 lg 1,5 3,97. Ezek alapján 4 óra kell hozzá. 65. Egy berendezés értéke újonnan euró. Az avulás mértéke évenként 15 %, de minden évben ráköltenek 6000 eurót, ezzel emelve a gép értékét. Hány év múlva lesz a berendezés értéke a kezdeti értékének kevesebb, mint fele? Az első év végén a berendezés értéke: , A második év végén a berendezés értéke: ( , ) 0, Az n edik év végén az értéke: ,85 n (1 + 0, ,85 n 1 ). Ebből felírható a következő egyenlőtlenség: ,85 n ,85n 1 0,85 1 Az egyenlőtlenség rendezése után a következő adódik: n > 14,17. < Ezek alapján 15 év kell hozzá. 31

32 66. Egy 60 - os szög egyik szárán jelölünk ki egy P pontot. Ebből a másik szárra állítsunk merőlegest, amelynek talppontja a másik száron legyen P 1. Innen újabb merőleges metszi ki az előző szárból P 2 t. Folyatassuk ezt végtelensokszor. A PP 1 szakaszt jelöljük a 1 gyel. Mekkora lesz a nyolcadik merőleges szakasz hossza, illetve az első nyolc szakasz hosszának összege? Tekintsük a következő ábrát: Legyen az OP távolság x. Tekintsük az első néhány merőleges szakasz hosszát: a 1 = x sin 60 = x 3 2 ; a 2 = a 1 sin 30 = x 3 4 ; a 3 = a 2 sin 30 = x 3 8 ; A merőleges szakaszok hosszai mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 1 2. Ezek alapján a megoldások: a 8 = x 3 2 (1 2 )7 = x S 8 = x 3 ( ) = x = x ,725x 32

33 67. Egy egységnégyzetnek felezzük meg az oldalait, s a második négyzet az oldalfelező pontok alkotta négyszög lesz. Ezután ennek felezzük meg az oldalait és kapunk egy kisebb négyzetet. 100 lépés után mennyi lesz a keletkező négyzetek kerületeinek és területeinek összege? Tekintsük a következő ábrát: Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: a 1 = 2 2 ; a 2 = a = 1 2 ; a 3 = a = 2 4 ; Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: K 1 = 2 2; K 2 = 2; K 3 = 2; Tekintsük az első néhány terület nagyságát: T 1 = 1 2 ; T 2 = 1 4 ; T 3 = 1 8 ; A kerületek és területek mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 2 2, illetve q = 1 2. Ezek alapján a megoldások: 100 S K100 = 2 2 ( 2 2 ) 1 9, S T100 = 1 2 (1 2 ) = 1 33

34 68. A 7 egység oldalhosszúságú négyzet oldalait osszuk fel az egyik csúcspontjától kezdve 3: 4 aránybban. A kapott osztópontok ismét négyzetet határoznak meg. Ennek az oldalait is osszuk fel az adott arányban. Folytassuk ezt végtelen sokszor. Mekkora lesz a hetedik négyzet oldala, illetve az első hét négyzet kerületének, területének összege? Tekintsük a következő ábrát: Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: a 1 = 7; a 2 = a = 5; a 3 = a = 25 7 ; Tekintsük az első néhány kerület nagyságát: K 1 = 28; K 2 = 20; K 3 = ; Tekintsük az első néhány terület nagyságát: T 1 = 49; T 2 = 25; T 3 = ; Az oldalak, a kerületek és a területek mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 5 25, illetve q = Ezek alapján a megoldások: a 7 = 7 ( 5 7 )6 = ,93 S K7 = 28 (5 7 ) ,17 S T7 = 49 (25 49 ) = 49 34

35 69. Egy a oldalú négyzetbe érintőkört írunk, ebbe négyzetet, amibe ismét kört. Ezt így folytatva mekkora lesz a hatodik négyzet oldala, illetve a hatodik kör sugara? Mekkora az első hat négyzet, illetve kör kerületének összege? Tekintsük a következő ábrát: Legyen a négyzetek oldalhossza a 1 ; a 2 ;, a beírt körök sugarának hossza: r 1 ; r 2 ;. Tekintsük az első néhány négyzetoldal hosszát: a 1 = a; a 2 = a = a 2 2 ; a 3 = a = a 1 2 ; Tekintsük az első néhány sugár hosszát: r 1 = a = a 1 2 ; r 2 = a = a 2 4 ; r 3 = a = a 1 4 ; Tekintsük az első néhány négyzet kerületét: K 1 = 4a; K 2 = a 2 2; K 3 = 2a; Tekintsük az első néhány kör kerületét: k 1 = a π; k 2 = a 2 2 π; k 3 = a 1 2 π; Az oldalak, sugarak és kerületek mértani sorozatot alkotnak, ahol q =

36 Ezek alapján a megoldások: a 6 = a ( 2 5 ) = a r 6 = a ( 2) = a S ak6 = 4a ( 2 2 ) = 4a 6 S rk6 = a π ( 2 2 ) = 4a = a π 7 (2 + 2) (2 + 2) = a 11,95a ,39a 70. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Legyenek a háromszög oldalai: a 1 a 1 q a 1 q 2 Alkalmazzuk a Pitagorasz tételt: a a 1 2 q 2 = a 1 2 q 4. Ebből rendezés után a következő egyenlet adódik: q 4 q 2 1 = 0. Legyen b = q 2, s a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy b 2 b 1 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai b 1 = 1+ 5 A b 2 értéke nem felel meg a feladatnak. 2 és b 2 = A b 1 visszahelyettesítése után a következő adódik: q 2 = A háromszög szögeit így kiszámíthatjuk a szögfüggvények segítségével: sin α = a 1 a 1 q 2 = 1 q 2 = α 38,17 cos β = a 1 a 1 q 2 = 1 q 2 = β 51,83 36

37 71. Egy négyzetet 4 egybevágó négyzetre bontunk, majd 3 négyzetet befestünk rendre pirosra, kékre, zöldre. A negyedik négyzetet újra 4 egybevágó négyzetre bontjuk, s a kapott kisebb négyzeteket ismét beszínezzük az előzőek szerint. Ezt az eljárást folytatva, mennyi lesz n lépés után a pirosra festett részek területe? Az első kis négyzet területe: 1 4. A második kis négyzet területe: = Ebből adódik, hogy a mértani sorozat adatai: a 1 = 1 4 ; q = 1 4. Ezek alapján a megoldás: S n = 1 4 (1 4 )n = n. 72. Bizonyítsd be, hogy ha a; b; c egy mértani sorozat három egymást követő eleme, akkor teljesül a következő: (a + b + c) (a b + c) = a 2 + b 2 + c 2! Tekintsük a következő jelöléseket: a = a 1 ; b = a 1 q; c = a 1 q 2. Ezek alapján adódik a bizonyítandó állítás: (a 1 + a 1 q + a 1 q 2 ) (a 1 a 1 q + a 1 q 2 ) = = a a 12 q 2 + a 12 q 4 = a (a 1 q) 2 + (a 1 q 2 ) 2. 37