SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK

Átírás

1 SZÁMTANI ÉS MÉRTANI SOROZATOK Számtani sorozatok 1. Egy vetélkedın Ft jutalmat osztottak szét. Az elsı helyezett 3000 Ft-ot kapott, a továbbiak sorra 200 Ft-tal kevesebbet, mint az elıttük lévı. Hány versenyzıt jutalmaztak? 2. Egy számtani sorozat elsı három tagjának összege 30-cal kisebb, mint a következı három tag összege. Az elsı hat tag összege 60. Melyik ez a sorozat? tól kezdıdıen összeadjuk az 5-tel osztva 2 maradékot adó számokat egészen addig, amíg összegük 5235 nem lesz. Hány számot adtunk össze és mi az utolsó szám? 4. Egy számtani sorozat elsı tagja 9, a kilencedik tagja pedig 33. a) Határozza meg a fenti számtani sorozat azon tagjainak az összegét, amelyek 149 és 301 között vannak. b) Mennyi a sorozat elsı huszonöt elemének a négyzetösszege? 5. Egy számtani sorozatban a l +a 2 +a 3 = 12; a 1 a 2 a 3 =80. Számítsa ki a sorozat elsı három elemét! 6. Egy számtani sorozatban a negyedik, nyolcadik, tizenkettedik és tizenhatodik elem összege 224. Számítsa ki a sorozat tizedik elemét és az elsı 19 elem összegét! 7. Egy számtani sorozat elsı eleme 11, az elsı tíz elem összege pedig négyszerese az ezek közül páros sorszámú elemek összegének. Írja fel a sorozat elsı tíz elemét! 8. Egy számtani sorozat négy egymás utáni elemének összege 0, e négy szám négyzetének összege 20. Melyek ezek a számok? 9. Egy n-szög belsı szögei olyan számtani sorozatot alkotnak, melynek elsı eleme 120 és különbsége 5. Hány oldalú a sokszög? 10. Számítsa ki mindazoknak a 120 és 521 közé esı egész számoknak az összegét, amelyek hárommal osztva egyet adnak maradékul! 11. Mekkora az 1994-nél kisebb és 3-mal osztva 1 maradékot adó pozitív egész számok összege? 12. Egy számtani sorozat elsı eleme 210, n-edik eleme 228. A közbülsı elemek összege 45. Írja fel a sorozat elsı n elemét! 13. Egy számtani sorozat elsı tíz elemének összege 155, az elsı és a hetedik elemének szorzata egyenlı a második és harmadik elemének a szorzatával. Számítsa ki a sorozat elsı tíz elemét! 14. Egy számtani sorozat elsı öt és elsı hat elemének összege egyaránt 60. Írja fel a sorozat elsı öt elemét! 15. Három pozitív egész szám összege 546; a három szám 2 alapú logaritmusai egy olyan számtani sorozat elsı három elemével egyenlık, amelynek különbsége 4. Melyik ez a három szám? 16. Az egységsugarú kör köré írható ABCD trapézról tudjuk, hogy az AB, BC, CD oldalak hossza és

2 az AD oldal hosszának a kétszerese ebben a sorrendben egy számtani sorozat négy szomszédos eleme. Mekkorák a trapéz oldalai? 17. Egy számtani sorozat tizedik eleme 22, a századik elem 202. Hagyja el a sorozat minden olyan elemét, amelynek utolsó számjegye 2. Számítsa ki a megmaradt sorozat elsı 200 elemének az összegét! 18. A természetes számok növekvı sorozatából kiválasztunk egy számot, azután a nála 8-cal nagyobbat, és így tovább minden nyolcadikat addig, amíg a kiválasztott számok összege 473 lesz. Hány számot választottunk ki, és mi volt az elsı szám? 19. Egy számsorozat elsı eleme 2, második eleme 3, és a n =3a n-1 2a n-2, ha n > 2. Írja fel a sorozat n- edik elemét n függvényeként! Mivel egyenlı a sorozat elsı n elemének összege? 20. Egy számtani sorozat elsı 21 eleme legyen rendre a l, a 2,..., a 21. Tudjuk, hogy ezek közül a páratlan sorszámúak (indexőek) összege 15-tel nagyobb, mint a páros sorszámúak összege, továbbá a 20 = 3a 9. Mennyi a 12? 21. Adja meg az összes olyan számtani sorozatot, amelyre a n = 2, a p = 3, a q = 5 és n + p + q = 31 (n, p és q pozitív egészek)! 22. Egy háromszög oldalainak hossza olyan számtani sorozat egymást követı három eleme, amelynek különbsége 1. A háromszög területének mérıszáma kétszer akkora, mint a kerület mérıszáma. Mekkorák az oldalak? 23. Egy derékszögő háromszögben a szögek szinusza - növekvı sorrendben - egy számtani sorozat három egymás utáni eleme. A háromszög átfogója 5. Mekkora a területe? 24. Határozza meg azt az x hegyesszöget, amelyre ctg x ; 1 sin x ; tgx egy számtani sorozat három egymás utáni eleme! 25. Melyek azok a számtani sorozatok, amelyekben az elsı n elem összegének és az utánuk következı 5n elem összegének hányadosa minden n-re ugyanannyi? 26. Van-e olyan számtani sorozat, amelyben az elsı 2n számú elem összege bármely n-re négyszerese az elsı n elem összegének? Általánosítsa a feladatot! 27. Egy számtani sorozat elsı n elemének összege b, elsı 2n elemének összege pedig c. Fejezze ki b és c segítségével az elsı 3n elem összegét! 28. Mekkora az x,. ha a lg2, lg(2 x - 1), lg(2 x + 3) számok ebben a sorrendben egy számtani sorozat egymást követı elemei? Mennyi a számtani sorozat különbsége? 29. Az x olyan valós számot jelöl, amelyre log21; log2 ( cos 2x) és log 2 cos2x egy számtani sorozatnak három egymás után következı eleme. Számítsa ki az.összes ilyen számtani sorozat különbségét! 30. Az a l, a 2,..., a n,... sorozat elsı n elemének összege Sn. = 2n 2 3n. Igazolja, hogy a sorozat számtani sorozat!

3 Igazolja, hogy ha az egymástól különbözı a 2 ; b 2 ; c 2, illetve az ; ; a + b a+ c b+ c számhármasok egyike a felírt sorrendben egy számtani sorozat három szomszédos eleme, akkor a másik szám-hármas is az adott sorrendben egy számtani sorozat egymás után következı három eleme! 2 n 32. Mutassa meg, hogy van olyan számtani sorozat, amelyben az elsı n elem összege n 4 (minden n N + esetén)!. Írja fel a sorozat elsı 5 elemét! 33. Legyen a l : a 2 ; a 3 ;...; a n ;... számtani sorozat. Igazolja, hogy a b n = a 2 n+1 a 2 n képlettel értelmezett b 1 ; b 2 ; b 3 ;...; b n...sorozat is számtani sorozat! 34. Adott p és q valós számokhoz határozza meg az összes olyan számtani sorozat elsı elemét és különbségét, amelyben az elsı négy elem összege p, a negyedik és az elsı elem hányadosa pedig q! 35. Egy számtani sorozat elemei különbözı pozitív egész számok. Bizonyítsa be, hogy ennek a sorozatnak nem lehet mindegyik eleme prímszám, de nem lehet mindegyik eleme négyzetszám sem! 36. Egy számtani sorozat elsı n elemének összege egyenlı az elsı m elemének az összegével (n m). Bizonyítsa be, hogy az elsı n + m elem összege nulla! 37. Lehetnek-e 2 ; 3 és 5 egy számtani sorozat elemei? 38. Egy sorozat elsı eleme 7, nyolcadik eleme 84, az elsı három elem összege 30, a szomszédos elemek különbségei számtani sorozatot alkotnak. Számítsa ki a. sorozat elsı öt elemét! Mértani sorozatok 39. Egy mértani sorozat elsı és kilencedik elemének szorzata 2304, a-negyedik és a hatodik elem összege 120. Írja fel a sorozat elsı elemét és hányadosát! 40. Egy mértani sorozat elsı három tagjának az összege 114. Ha a harmadik számot 72-vel csökkentjük, egy számtani sorozat elsı három tagjához jutunk. Határozza meg a mértani sorozatot! 41. Egy mértani sorozat elsı három elemének összege 7. Ha a sorozat hányadosát 1-gyel növeljük, az elsı három elem összege 6-tal növekszik. Írd fel mindkét sorozat elsı 3 elemét! 42. Egy mértani sorozatban az elsı elem 3, az elsı n elem összege 93, az elsı n elem reciprokainak 31 összege. Adja meg a sorozat elsı n elemét! Három szám egy mértani sorozat három egymást követı eleme; összegük 62, tízes alapú logaritmusuk összege 3. Melyik ez a három szám?

4 44. Egységnyi sugarú gömbbe írjunk kockát, majd ebbe gömböt és így tovább! Az így nyert gömbök sorozatában állapítsa meg annak az elsı olyan gömbnek a sugarát, amelynek térfogata kisebb az adott gömb térfogatának ezredrészénél! Hányadik eleme ez a sorozatnak? 45. Melyek azok a mértani sorozatok, amelyeknek elsı elemük 1, és bármely elemük a rákövetkezı két elem számtani közepével egyenlı? 46. Igaz-e, hogy az alábbi mennyiségek a megadott sorrendben egy mértani sorozat szomszédos elemei? π sin ; 5 log25 6 log ; log Egy mértani sorozat elsı, harmadik és ötödik elemének összege 182, a második és negyedik elem összege a hányados 20-szorosa. Írja fel a sorozat elsı öt elemét! 48. Egy trapéz magassága, egyik, illetve mások átlója ebben a sorrendben egy q = 2 hányadosú mértani sorozat három szomszédos tagja. A trapéz területe T = területegység. Mekkora a trapéz magassága? 49. Két, pozitív számokból álló mértani sorozatban az elsı elemek egyenlık; az elsı sorozat minden további eleme nagyobb a második sorozat ugyanolyan sorszámú eleménél, mégpedig a második elemek különbsége 2, a harmadik elemek különbsége 10, a negyedik elemek különbsége 38. Írja fel a két sorozat elsı négy-négy elemét! 50. Egy mértani sorozat három szomszédos elemének összege 217. A három szám 35-ös alapú logaritmusainak összege 3. Melyik ez a három szám? 51. Egy egyenlı szárú háromszög szárának, alapjának, az alaphoz tartozó magasságnak és a háromszög területének számértéke a megadott sorrendben egy mértani sorozat elsı négy eleme. Mekkorák a háromszög oldalai? 52. Egy pozitív számokból álló mértani sorozat elsı n elemének Összege S, az elsı n elem reciprokainak összege R. Fejezze ki az elsı n elem szorzatát az S-sel, R-rel és n-nel! 53. Adja meg azokat az a; b; c számjegyeket, amelyekre fennáll, hogy az egyjegyő a, a kétjegyő ba és a háromjegyő cba szám egy mértani sorozat egymást követı elemei! 54. Négy testvért életkorukról kérdeznek. A legidısebb ezt mondja: "Születési éveink egy számtani sorozat elsı négy elemét adják." A korban utána következı pedig: 15 évvel ezelıtt testvéreim 11 életkora egy mértani sorozat elsı három elemével volt egyenlı, most pedig életkoruk összege - 4 szerese az enyémnek." Számítsa ki a testvérek jelenlegi életkorát! 55. Három szakasz hossza egy mértani sorozat három egymást követı eleme. Milyen értékek közt változhat a mértani sorozat hányadosa, hogy a három szakaszból háromszöget lehessen szerkeszteni? 56. Egy mértani sorozat hányadosa q. A sorozat elsı n páratlan sorszámú elemének összege S (a 1 + a a 2n-1 = S). Fejezze ki q-val és S-sel a sorozat elsı n páros sorszámú elemének összegét!

5 Kamatszámítás 57. Valamely gép beszerzési ára Ft. Mekkora értékkel tartják nyilván a leltárban 10 év múlva, ha az évi értékcsökkenési leírás 6%? 58. Autótvásárláshoz 1,8 millió Ft kölcsönt veszünk fel 3 évre, 3,6%-os HTM-mel. a) Mennyi a havi törlesztırészlet? b) Hány százalékkal fizzetünk többet így, mintha egyösszegben kifizettük volna? c) Hány %-ot veszített volna a pénzünk az értékébıl, ha a fenti összeget 3 évig a párna alatt tartjuk, és az éves infláció 6%? d) Hány Ft-ot kellene 3 éven át havonta a bankban elhelyeznünk, hogy évi 6%-os kamatláb mellett összegyőljön a fenti összeg? 59. Egy erdıben a faállomány egy idıpontban m 3. Ettıl kezdve a faállomány 20 éven át évente átlagosan 6%-kal gyarapszik. A 20. év végén ritkítás céljából kivágják az állomány 10%át. Ettıl kezdve az évi gyarapodás 15%-os lesz. A 10%-os ritkítást a 23. és a 26. év végén is megismétlik. Az évi gyarapodás 15%-os marad. Mennyi fát termelnek ki összesen a három ritkítás alkalmával? 60. Valamilyen termékbıl két üzem termelése 1970-ben egyaránt 100 egység volt, 1980-ban pedig mindkettıben 1000 egység. Az elsı üzem termelése évente mindig ugyanannyival növekedett, a másikban viszont a termelésnövekedés minden évben ugyanannyi százalékos volt. Melyik üzem termelt többet 1979-ben, és mennyivel? 61. Hat éven át minden év elején elhelyezünk a takarékpénz ugyanakkora összeget p%-os kamatláb mellett, majd a hatodik év letelte után még további négy éven át kamatoztatjuk. Mennyit tettünk a takarékpénztárba évenként, ha pénzünk a tizedik év végére S forintra növekedett? 62. Egy 20 literes alkohollal teli edénybıl kiöntünk 1 liter vizet, és helyébe 1 liter vizet öntünk. Egyenletesen elkeverjük, majd ismét kiöntünk 1 liter folyadékot és helyébe 1 liter vizet öntünk. Hány liter tiszta alkohol marad az edényben, ha ezt az eljárást 10-szer megismételjük? 63. Családi ház építésére januárban Ft kölcsönt kaptunk évi 5%-os kamatos kamatra. Évente, december végén, 6000 Ft-ot tudunk törleszteni. Hány év múlva fizetjük vissza adósságunkat? 64. Egy almatárolóban az almát 6 hónapig tárolják kétféle módszerrel. Az elsı módszer alkalmazásánál a tárolt alma súlyvesztesége havonként 4% (az elızı havi súlyhoz képest),-a második módszernél az elsı két hónapban nincs súlyveszteség, utána azonban havi 6%. Melyik módszer alkalmazása jár kevesebb súlyveszteséggel? 65. Egy szövet árát elıször p százalékkal, az új árat további q százalékkal csökkentették. Hány százalékkal csökkent az eredeti ár? 66. Az I. üzem termelése a II. üzem termelésének 80%-a. Az I. üzem termelése évenként 10%-kal, a II. üzemé évenként 6%-kal nı. Hány év múlva lesz a két üzem termelése egyenlı? 67. Egy mezıgazdasági üzem tíz éven át minden év elején munkába állít egy a Ft értékő munkagépet; ezek értéke évenként p százalékkal csökken. Mekkora a 10 gép együttes értéke a tizedik év végén? 68. Öt éven át minden év elején elhelyezünk a takarékpénztárban 5000 Ft-t 26 %-os kamatláb mellett.

6 Öt éve eltelte után legalább hány teljes évet kell még várnunk, hogy a pénzünk Ft-ra növekedjen? 69. András és Béla együtt 1 millió Ft-ot örökölt. András takarék betétkönyvet nyitott, és egy év múlva 96 ezer Ft kamatot kapott. Béla a takarékbetétnél 2%-kal magasabb kamatozású hitellevelet vásárolt, egy év múlva 12 ezer Ft kamatot kapott. Mennyi volt külön-külön András és Béla öröksége? 70. Egy bankban 3 évre elhelyeztünk Ft-ot kamatos kamatra. Az elsı évben a bank 25%-os kamatot számolt el, a második évben a kamatlábat p%-kal, a harmadik évben újabb p%-kal csökkentette. Ily módon a harmadik év végén 4106,25 Ft-tal kevesebbet fizettek vissza, mint amennyit a 25%-os kamatláb mellett reméltünk. Számítsa ki p értékét! Vegyes feladatok 71. Különbözı egész számokból álló számtani sorozatban az elsı elem négyzetösszege kisebb 500- nál; az elsı, harmadik és hetedik szám pedig mértani sorozatot alkot. Írja fel e hét számot! 72. Egy növekedı számtani sorozat elsı három tagjának összege 60. Az elsı tagot 64-gyel növelve, a másik két tagot változatlanul hagyva, egy mértani sorozat elsı három tagjához jutunk. Mennyi a két sorozat elsı három tagja? 73. Egy számtani sorozat elsı három tagjának összege 24. Ha az elsı tagjához 1-et, a másodikhoz 2-t, a harmadikhoz pedig 35-öt adunk, akkor egy mértani sorozat szomszédos tagjait kapjuk. Melyik ez a sorozat? 74. Egy nyolctagú számtani és egy négytagú mértani sorozat elsı tagja 1, és az utolsó tagjuk is megegyezik. Határozzuk meg a két sorozat tagjait, ha a mértani sorozat tagjainak összege 21- gyel nagyobb a számtani sorozat nyolcadik tagjánál. 75. Egy növekvı mértani sorozat elsı eleme 5. Alkossunk egy olyan számtani sorozatot, amelynek elsı eleme ugyancsak 5, negyedik és tizenhatodik eleme viszont rendre megegyezik a mértani sorozat harmadik és ötödik elemével! Mennyi a számtani sorozat elsı tíz elemének összege? 76. Egy számtani és egy mértani sorozatnak közös az elsı és a második eleme; a mértani sorozat harmadik eleme eggyel nagyobb a számtani sorozat harmadik eleménél, és hárommal nagyobb a mértani sorozat elsı eleménél. Írja fel mindkét sorozat elsı öt elemét! 77. Egy számtani sorozat elsı eleme egy mértani sorozat hányadosával egyenlı; ennek a mértani sorozatnak az elsı eleme a számtani sorozat különbsége. A számtani sorozat elsı öt elemének összege 40, a mértani sorozat elsı két elemének összege 10. Melyek ezek a sorozatok? 78. Három szám egy számtani sorozatnak, négyzeteik - ugyanabban a sorrendben - egy mértani sorozatnak egymást követı elemei. A három szám összege 9. Melyek ezek a számok? 79. Egy számtani sorozat elsı eleme egyenlı egy mértani sorozat hányadosával, és a mértani sorozat elsı eleme egyenlı a számtani sorozat differenciájával. A számtani sorozat elsı öt elemének összege 40, a mértani sorozat elsı két elemének összege 10. Melyik ez a két sorozat? 80. Három szám, amelyek összege 114, tekinthetı egy mértani sorozat három szomszédos elemének is

7 és egy számtani sorozat elsı, negyedik és huszonötödik elemének is. Melyik ez a három szám? 81. Négy adott szám egy mértani sorozat négy egymást követı eleme. Ha az elsı számból kivonunk l-et, a másodikhoz hozzáadunk 6-ot, a harmadikhoz hozzáadunk 4-et és a negyedikbıl kivonunk 4-et, akkor az így kapott négy szám egy számtani sorozatnak négy egymást követı eleme lesz. Határozza meg az eredeti négy számot! 82. Az a 1, a 2,, a n sorozat n- edik eleme az [n, n ] zárt intervallumba esı egész számok összege; a b 1, b 2,..., b n,... sorozat n-edik eleme pedig az [n, n ] zárt intervallumba esı egész számok összege. Bizonyítsa be, hogy az elıbbi sorozatban végtelen sok négyzetszám van, az utóbbiban viszont egyetlenegy sincs!