Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok II.

Átírás

1 Sorozatok II. DEFINÍCIÓ: (Mértani sorozat) Az (a n ) valós számsorozatot mértani sorozatnak nevezzük, ha van olyan valós szám, amellyel a sorozat bármely tagját megszorozva a következő tagot kapjuk. Jelöléssel: a 2 = a 1 q. Megjegyzés: A mértani sorozat bármelyik elemének (a másodiktól kezdve) és az azt megelőző tagjának hányadosa állandó. Ezt az állandó hányadost a sorozat kvóciensének (hányadosának) nevezzük. Jele: q. TÉTEL: (Képzési szabály) Ha egy mértani sorozat első tagja a 1, kvóciense q, akkor n edik tagja megkapható a következő összefüggés segítségével: a n = a 1 q n 1. TÉTEL: A különböző tagokból álló (a n ) mértani sorozat első n elemének összege: S n = a 1 qn 1 q 1. Megjegyzés: Amennyiben q = 1, akkor a sorozat első n tagjának összege: S n = n a 1. TÉTEL: A mértani sorozat bármely elemének négyzete (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával. Jelölés: a n 2 = a n k a n+k. Megjegyzés: Bármely elem abszolút értéke (a másodiktól kezdve) egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek mértani közepével. Jelölés: a n = a n k a n+k. DEFINÍCIÓ: (Sor) Legyen adott egy {a n } számsorozat. Az a 1 + a 2 + a a n + végtelen tagú összeget végtelen sornak (röviden sornak) nevezzük. 1

2 DEFINÍCIÓ: (Mértani sor) Ha az a 1 + a 2 + a a n + végtelen sorban az a 1 ; a 2 ; a 3 ; ; a n ; tagok egy mértani sorozat tagjai, akkor a sort mértani sornak nevezzük. Kamatos - kamat számítása: Ha T n nel jelöljük az n edik év (vagy más időszak) végén felvehető összeget, T 0 lal az induló tőkét (a kezdetkor betett összeget), p vel a százaléklábat (évente ennyi százalékkal növekszik a betett összeg), n nel az évek (vagy más időszakok) számát, akkor a betett összeg növekedése a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 + p 100 )n. Az értékcsökkenés a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 p 100 )n. Gyűjtőjáradék számítása: Ha minden év elején ugyanakkora T 0 értéket teszünk be a bankba, s ez évente p százalékkal kamatozik, akkor az n edik év végén felvehető összeg a következő képlettel írható le: T n = T 0 (1 + p ) ( p 100 )n 1 p 100. Törlesztőrészlet számítása: Ha egy T 0 nagyságú, p százalékos kamatozású kölcsönt kell visszafizetnünk n év alatt úgy, hogy minden évben ugyanakkora T n összeget fizetünk vissza, akkor a T n törlesztő részlet nagysága a következő képlettel írható le: T n = T 0 p ( )n p 100 (1+ p 100 )n 1. Nevezetes összegek: Az első n pozitív természetes szám összege: n = n (n+1) Az első n pozitív természetes szám négyzetének összege: n 2 = 2 n (n+1) (2n+1) 6 Az első n pozitív természetes szám köbének összege: n 3 = n2 (n+1) 2 4 2

3 1. Egy mértani sorozat harmadik eleme 4, hetedik eleme 64. Számítsd ki a sorozat második tagját! Először számítsuk ki a sorozat hányadosát. a 7 = a 3 q 4 64 = 4q 4 q 1 = 2 és q 2 = 2 A feladatnak két sorozat is megoldása, így mindkettőnek ki kell számolnunk a hiányzó adatát: q = 2 esetén: a 3 = a 2 q 4 = 2a 2 a 2 = 2 q = 2 esetén: a 3 = a 2 q 4 = ( 2) a 2 a 2 = 2 2. Egy mértani sorozat első tagja 7, kvóciense 2. Írd fel a sorozat általános (n - edik) tagját! Mennyi a sorozat első 5 tagjának összege? Tagja - e a sorozatnak a 448? Írjuk fel a sorozat általános (n - edik) tagját: a n = a 1 q n 1 a n = 7 2 n 1 Írjuk fel a sorozat első 5 tagjának összegét: S n = a 1 qn 1 q 1 S 5 = = 217 Amennyiben tagja a sorozatnak a 448, akkor legyen a n = 448, s számoljuk ki az n értékét. 7 2 n 1 = n 1 = 64 A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 2 n 1 = lg 64 (n 1) lg 2 = lg 64 n 1 = lg 64 lg 2 Az egyenletet megoldva azt kapjuk, hogy n = 7. Ezek alapján a sorozat hetedik tagja a

4 3. Egy mértani sorozat negyedik és második tagjának különbsége 18. Az ötödik és harmadik tag különbsége 36. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Az adatokat a 1 és q segítségével felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 4 a 2 = 18 a 5 a 3 = 36 } a 1 q 3 a 1 q = 18 a 1 q 4 a 1 q 2 = 36 } a 1 q (q 2 1) = 18 a 1 q 2 (q 2 1) = 36 } A második egyenletet elosztva az első egyenlettel a következő adódik: q = 2. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = Egy mértani sorozat második eleme 6, ötödik eleme 162. Mennyi olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű? Először számoljuk ki a sorozat első elemét és hányadosát. a 5 = a 2 q = 6q 3 q = 3 a 2 = a 1 q 6 = 3a 1 a 1 = 2 A legkisebb kétjegyű szám a 10, a legnagyobb háromjegyű szám a 999, és tudjuk, hogy a kérdésnek megfelelő tagok ezen két szám közé esnek. A keresett elemeket az általános tag képletével számíthatjuk ki, így felírható a következő: 10 a n n n 1 498,5 A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 15 lg 3 n lg 1498,5 lg 15 n lg 3 lg 1498,5 lg 15 lg 3 n lg 1498,5 lg 3 Ebből az n edik tagra azt kapjuk, hogy 2,5 n 6,65. Mivel n csak egész szám lehet így a következő egyenlőtlenség adódik: 3 n 6. Ezek alapján 4 olyan tagja van a sorozatnak, amely legalább kétjegyű, legfeljebb háromjegyű. 4

5 5. Egy növekvő mértani sorozat első három tagjának összege 31. Az első és harmadik tag összege 26. Mennyi a sorozat első tagja és kvóciense? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 3 = 26 a 1 + a 2 + a 3 = 31 } a 1 + a 1 q 2 = 26 a 1 + a 1 q + a 1 q 2 = 31 } A második egyenletből az elsőt kivonva, rendezés után a következő adódik: a 1 = 5 q. Ezt helyettesítsük vissza az első egyenletbe, s azt kapjuk, hogy 5 + 5q = 26. q Ebből a következő másodfokú egyenlet adódik: 5q 2 26q + 5 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 5 és q 2 = 1 5. Mivel a sorozat növekvő, ezért a q 2 nem felel meg a feladatnak. A q 1 = 5 visszahelyettesítése után a következő adódik: a 1 = 5 5 = Egy mértani sorozat első három tagjának összege 112, a következő három tagjának összege 14. Mennyi a sorozat első tagja és hányadosa? Az adatokat felírva a következő egyenletrendszert kapjuk: a 1 + a 1 q + a 1 q 2 = 112 a 1 q 3 + a 1 q 4 + a 1 q 5 = 14 } a 1 (1 + q + q 2 ) = 112 a 1 q 3 (1 + q + q 2 ) = 14 } A második egyenletet elosztva az első egyenlettel, rendezés után a következő adódik: q = 1 2. Ezt visszahelyettesítve az első egyenletbe, rendezés után azt kapjuk, hogy a 1 = 64. 5

6 7. Egy növekvő számtani sorozat első három elemének összege 54. Ha az első elemet változatlanul hagyjuk, a másodikat 9 - cel, a harmadikat 6 - tal csökkentjük, akkor egy mértani sorozat három egymást követő elemét kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d a 2 9 a 2 + d 6 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 18. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 18 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis d felírhatjuk a következő törtes egyenletet: =. 18 d 9 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 6d 135 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 15 és d 2 = 9. Mivel növekvő számtani sorozatról van szó, így a d 2 nem felel meg a feladatnak. Ezek alapján, ha d = 15, akkor a számtani sorozat tagjai 3, 18, 33; a mértani sorozat tagjai pedig 3, 9, Egy számtani sorozat első öt tagjának összege 20. A második, a harmadik és az ötödik tag ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 3 2d a 3 d a 3 a 3 + d a 3 + 2d A mértani sorozat tagjai: a 3 d a 3 a 3 + 2d A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 3 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 4 d d 6

7 A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis 4 felírhatjuk a következő törtes egyenletet:. = 4 + 2d 4 d 4 Az egyenlet rendezése után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: 2d 2 4d = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá a következőképpen: 2d (d 2) = 0. Mivel egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így az egyenlet megoldásai: d 1 = 0 és d 2 = 2. Ezek alapján, ha d = 2, akkor a számtani sorozat tagjai 0, 2, 4, 6, 8; a mértani sorozat tagjai pedig 2, 4, 8. Amennyiben d = 0, akkor a számtani sorozat tagjai 4, 4, 4, 4, 4; a mértani sorozat tagjai pedig 4, 4, Egy mértani sorozat első három tagjának összege 35. Ha a harmadik számot 5 - tel csökkentjük, egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d + 5 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 10. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 10 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis d felírhatjuk a következő törtes egyenletet: =. 10 d 10 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 + 5d 50 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 5 és d 2 = 10. 7

8 Ezek alapján, ha d = 5, akkor a számtani sorozat tagjai 5, 10, 15; a mértani sorozat tagjai pedig 5, 10, 20. Amennyiben d = 10, akkor a számtani sorozat tagjai 20, 10, 0; a mértani sorozat tagjai pedig 20, 10, Egy mértani sorozat első három elemének összege 42. Ugyanezek a számok egy növekvő számtani sorozat első, második és hatodik elemei. Melyek ezek a számok? A számtani sorozat tagjai: a 1 a 1 + d a 1 + 5d A mértani sorozat tagjai: a 1 a 1 + d a 1 + 5d A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 1 = 14 2d. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 14 2d 14 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő törtes egyenletet: 14 d d =. 14 2d 14 d Az egyenlet rendezése után a következő hiányos másodfokú egyenlet adódik: 7d 2 42d = 0. Az egyenlet bal oldalát alakítsuk szorzattá a következőképpen: 7d (d 6) = 0. Mivel egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, így az egyenlet megoldásai: d 1 = 0 és d 2 = 6. Ezek alapján, ha d = 0, akkor a 1 = 14 és a mértani sorozat tagjai 14, 14, 14. Amennyiben d = 6, akkor a 1 = 2 és a mértani sorozat tagjai 2, 8, 32. 8

9 11. Egy mértani sorozat három egymást követő tagjához rendre 1 - et, 14 - et és 2 - t adva egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek összege 150. Határozd meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d 1 a 2 14 a 2 + d 2 A számtani sorozat tagjait összeadva a következő adódik: a 2 = 50. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 49 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis d felírhatjuk a következő törtes egyenletet: =. 49 d 36 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 d 1056 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 33 és d 2 = 32. Ezek alapján, ha d = 33, akkor a számtani sorozat tagjai 17, 50, 83; a mértani sorozat tagjai pedig 16, 36, 81. Amennyiben d = 32, akkor a számtani sorozat tagjai 82, 50, 18; a mértani sorozat tagjai pedig 81, 36, Egy számtani sorozat három egymást követő tagjához rendre 6 - ot, 7 - et és 12 - t adva egy olyan mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk, melyek szorzata Határozzuk meg a számtani sorozat és a mértani sorozat tagjait! A számtani sorozat tagjai: a 2 d a 2 a 2 + d A mértani sorozat tagjai: a 2 d + 6 a a 2 + d + 12 A mértani sorozat elemeire igaz, hogy egy elem négyzete egyenlő a tőle szimmetrikusan elhelyezkedő elemek szorzatával, vagyis felírhatjuk a következő egyenletet: (a 2 d + 6) (a 2 + d + 12) = (a 2 + 7) 2. 9

10 A szöveg alapján így felírható a következő egyenlet: (a 2 + 7) (a 2 + 7) 2 = Az egyenletet rendezve azt kapjuk, hogy a 2 = 17. Ezt helyettesítsük vissza a mértani sorozat tagjaiba: 23 d d A mértani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok hányadosa megegyezik, vagyis d felírhatjuk a következő törtes egyenletet: =. 23 d 24 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: d 2 + 6d 91 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai d 1 = 7 és d 2 = 13. Ezek alapján, ha d = 7, akkor a számtani sorozat tagjai 10, 17, 24; a mértani sorozat tagjai pedig 16, 24, 36. Amennyiben d = 13, akkor a számtani sorozat tagjai 30, 17, 4; a mértani sorozat tagjai pedig 36, 24, Egy mértani sorozat három egymást követő tagjának szorzata 64. Ha az első elemhez hozzáadunk 1 et, a másodikhoz 4 et, a harmadikhoz pedig 5 öt, akkor egy számtani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Melyek a sorozatok tagjai? A mértani sorozat tagjai: a 2 q a 2 a 2 q A számtani sorozat tagjai: a 2 q + 1 a a 2 q + 5 A mértani sorozat tagjait összeszorozva a következő adódik: a 2 = 4. Ezt helyettesítsük vissza a számtani sorozat tagjaiba: 4 q q + 5 A számtani sorozat definíciója szerint a szomszédos tagok különbsége megegyezik, vagyis felírhatjuk a következő egyenletet: 8 ( 4 + 1) = 4q q 10

11 Az egyenlet rendezése után a következő másodfokú egyenlet adódik: 2q 2 5q + 2 = 0. A megoldó képlet segítségével azt kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai q 1 = 2 és q 2 = 1 2. Ezek alapján, ha q = 2, akkor a mértani sorozat tagjai 2, 4, 8; a számtani sorozat tagjai pedig 3, 8, 13. Amennyiben q = 1, akkor a mértani sorozat tagjai 8, 4, 2; a számtani sorozat tagjai pedig 9, 8, A Papp család betesz a bankba Ft - ot 5 évre, évi 7 % - os kamatozással. Mennyi pénzt vehetnek ki az ötödik év végén? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) A kamatos - kamat számítás képletével a következő adódik: ,07 5 = Ezek alapján 5 év után kb Ft - ot vehet majd ki a bankból a Papp család. 15. Beteszünk a bankba Ft - ot évi 11 % - os kamatozással. Mennyi év után vehetjük ki a pénzünket, ha minimum Ft - ot szeretnénk kivenni majd? A kamatos - kamat számítás képletével felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: ,11 n ,11 n 20 A kitevőből az ismeretlent logaritmus bevezetésével tüntethetjük el. lg 1,11 n lg 20 n lg 1,11 lg 20 n lg 20 lg 1,11 28,7 Ezek alapján kb. 29 év után vehetjük ki a pénzünket a bankból. 11

12 16. Egy autó ára újonnan Ft. Mennyi százalékkal csökken az autó ára minden évben, ha 3 év után Ft - ért tudjuk majd eladni? (A megoldást egészre kerekítve add meg!) A kamatos - kamat számítás képletével felírhatjuk a következő egyenletet: (1 p 100 )3 = Az egyenlet rendezése után a következő adódik: p 12,06. Ezek alapján kb. 12 % - kal csökken minden évben az autó ára. 17. Egy bankba a Kovács család minden év elején betesz Ft - ot, mely év végén 5 % - ot kamatozik. 20 év után mekkora összeget tudnak majd kivenni a bankból? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Az első év végén kivehető összeg: ,05. A második év végén: ( , ) 1,05 = , ,05. A huszadik év végén felvehető összeg: , , ,05 = ,05 (1 + 1, ,05 19 ) = ,05 1 1, , Ezek alapján 20 év után kb Ft - ot vehet majd ki a bankból a Kovács család. A gyűjtőjáradék számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 12

13 18. Valaki 40 éves korában életbiztosítást köt a következő feltételekkel. Minden év elején azonos összeget fizet be a biztosító társasághoz, és 70 éves korában 5 millió forintot kap. A befizetett pénz 8 % - kal kamatozik. Mekkora összeget kell befizetnie minden év elején? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az évente befizetett összeg: x. Ekkor az első év végén a kamatozással keletkező összeg: x 1,08. A második év végén: (x 1,08 + x) 1,08 = x 1, x 1,08. A harmincadik év végén felvehető összeg: x 1, x 1, x 1,08 = x 1,08 (1 + 1, ,08 29 ) = = x 1,08 1 1, ,08 1 Ebből felírható a következő egyenlet: x 1,08 1 1, ,08 1 = Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján kb Ft - ot kell befizetnie az illetőnek minden év elején. A gyűjtőjáradék számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 19. Kovács Zoltán 30 évesen lakást szeretne venni. Ehhez felvesz 9 millió kölcsönt, 15 évre évi 7 % - os kamatozással. Mekkora lesz az éves törlesztőrészlete? (A törlesztőrészletet ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az éves törlesztőrészlet: x. A 15. év végére visszafizetendő összeg: , Mivel a befizetett összeg is kamatozik minden év végén, így a 15. év végére befizetett összeg: x 1, x 1, x 1, x 1,07 + x = = x (1 + 1,07 + 1, ,07 14 ) = x 1 1, ,

14 Ebből felírható a következő egyenlet: x 1 1, ,07 1 = ,0715. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján az éves törlesztőrészlet kb Ft lesz. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 20. A Futó család új lakást akar vásárolni. Ehhez kölcsönt vesznek fel, méghozzá 10 millió Ft - ot 20 évre, évi 6 % - os kedvezményes kamatra. Minden év végén úgy törlesztenék a kölcsönt és kamatait, hogy 20 éven át minden évben ugyanakkora összeget akarnak befizetni. Mekkora legyen ez az összeg? (Az értéket ezres kerekítéssel add meg!) Legyen az éves törlesztőrészlet: x. Az első év végén fennmaradó összeg: ,06 x. A második végén: ( ,06 x) 1,06 x = ,06 2 x 1,06 x. A huszadik év végén: ,06 20 x 1,06 19 x 1,06 18 x 1,06 x = ,06 20 x (1 + 1,06 + 1, ,06 19 ) = ,06 20 x 1 1, ,06 1 Ebből felírható a következő egyenlet: ,06 20 x 1 1, ,06 1 = 0. Az egyenlet rendezése után a következő adódik: x Ezek alapján az éves törlesztőrészletnek kb Ft nak kell lennie. A törlesztőrészlet számítás képletébe való behelyettesítéssel ellenőrizhetjük a kapott megoldást. 14

15 21. Egy derékszögű háromszög oldalai rendre egy mértani sorozat egymást követő tagjai. Mekkorák a háromszög szögei? Legyenek a háromszög oldalai: a 1 a 1 q a 1 q 2 Alkalmazzuk a Pitagorasz tételt: a a 1 2 q 2 = a 1 2 q 4. Ebből rendezés után a következő egyenlet adódik: q 4 q 2 1 = 0. Legyen b = q 2, s a behelyettesítés után azt kapjuk, hogy b 2 b 1 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy az egyenlet megoldásai b 1 = és b 2 = A b 2 értéke nem felel meg a feladatnak. A b 1 visszahelyettesítése után a következő adódik: q 2 = A háromszög szögeit így kiszámíthatjuk a szögfüggvények segítségével: sin α = a 1 a 1 q 2 = 1 q 2 = α 38,17 cos β = a 1 a 1 q 2 = 1 q 2 = β 51,83 15