9. évfolyam 2. forduló

Átírás

1 9. évfolyam. forduló. különbözı pozitív egész szám átlaga. Legfeljebb mekkora lehet ezen számok közül a legnagyobb? (A) (B) 8 (C) 9 (D) 78 (E) 44 Válasz: (D) 78 Megoldás: Ha a szám átlaga, akkor összegük 44. A szám összege 44, így közülük az egyik akkor a legnagyobb, ha a többi értéke a lehetı legkisebb, vagyis,,,. Ennek a számnak az összege 66, a tizenkettedik szám (A) 0 (B) 0055 (C) (D) 00 (E) 0 Válasz: (B) 0055 Megoldás: Az a b ( a b)( a + b) azonosságot alkalmazva K Mennyi az 59 prímosztóinak összege? (A) 70 (B) 80 (C) 90 (D) 00 (E) 0 Válasz: (B) 80 Megoldás: ( 40 )( 40 + ) 7 4, továbbá a 7 és 4 számok prímek, így az 59 szám prímosztóinak összege Az ABC derékszögő háromszög derékszögő csúcsa C, az A csúcsnál levı szög 0 -os. A B csúcsból induló belsı szögfelezı az AC oldalt D-ben metszi. Mekkora a CDB szög? (A) 40 (B) 45 (C) 55 (D) 60 (E) 70 Válasz: (C) 55 Megoldás: Az ábráról leolvasható a megoldás.

2 5. Írd be a körökbe az,,, 4, 6, 8, 9 számokat úgy, hogy mindegyik egyenesen az ott álló három szám szorzata ugyanannyi legyen. Melyik szám kerül a befestett körbe? (A) (B) (C) 6 (D) 8 (E) 9 Válasz: (B) Megoldás: A két függıleges egyenesen lévı számok szorzatának négyzetszámnak kell lenni a feltételek alapján. Az adott számok törzstényezıs alakjából megállapítható, hogy a szorzat csak 7 lehet, és a befestett mezıben a -esnek kell állnia. 6. Egy háromszög oldalhosszai: 5; ;. Mekkora a háromszög legrövidebb magasságának hossza? 60 0 (A) (B) 5 (C) (D) 4 (E) 60 Válasz: (A) Megoldás: 5 +, így Pitagorasz-tétele miatt a háromszög derék- 5 m szögő. Jelölje a háromszög területét T. T, tehát a hosszú átfogóhoz tartozó 60 m magasság m, és ez a háromszög legrövidebb magassága. 7. Artúr király kerekasztalánál hatan ülnek. A szomszédos lovagok haragszanak egymásra, a nem szomszédosak barátságban vannak. A kerekasztal lovagjai közül hányféleképpen lehet kiválasztani lovagot, akik barátságban vannak? (A) (B) (C) 6 (D) 9 (E) Válasz: (D) 9 Megoldás: Választhatunk a fehér lovagok közül kettıt, vagy a fekete lovagok közül kettıt. Ha a fehér lovag közül -t kiválasztunk, akkor egy fehér lovagot nem választunk. Ez a fehér lovag - féle lehet. Ugyanígy -féleképp választhatunk két fekete lovagot. Választhatunk még két szemközt ülı lovagot is (ık is barátságban vannak!), ez is -féleképp tehetı meg. A két lovag kiválasztása ++9- féleképp történhet.

3 8. Ha y a, z b, yz c és yz 0, akkor + y + z (A) ab + bc + ca (B) a + b + c (C) ( a + b + c ) (D) ( ab + bc + ca ) (E) ( ) ( ) ab + bc + ( ca ) Válasz: (E) ( ) ( ) ab + bc + ( ca ) Megoldás: + y + z ( y)( z) ab ac bc, és ugyanígy kapjuk, hogy y, z. yz c b a ab c + ac b + bc a ( ab) ( ac) ( bc) ( ab) + ( bc) + ( ca) Az ABCD téglalap P belsı pontjára teljesülnek a következık: PA 6, PB 7, PC 5. Milyen hosszú a PD szakasz? (A) (B) (C) 4 (D) 8 (E) nem határozható meg egyértelmően Válasz: (B) Megoldás: Az ábra jelölései szerint írjunk fel Pitagorasz-tételeket: a + d 6, c + b 5, a + b 7, d + c. Adjuk össze az elsı kettı, illetve az utolsó kettı egyenlıséget: a + b + c + d Innen ( 6 + 5) 49,.

4 0. Az a, b, c oldalú háromszög oldalaira a b c 4 teljesül. Legfeljebb mekkora lehet a háromszög területe? (A),5 (B) (C),5 (D) 4 (E) 4,5 Válasz: (B) a m a b Megoldás: A háromszög területe t. A terület nagysága lehet, ha a, b, és ez a két oldal derékszöget zár be egymással. Ekkor teljesül a c oldalra az elvárt c 4 egyenlıtlenség Legyen,,, 4, 5, Mennyi 6 értéke? (A) (B) 48 (C) 64 (D) 04 (E) 6560 Válasz: (B) Megoldás: Egy téglatest egyik csúcsából induló lapátlóinak hossza 4, 58 és 74. Mekkora a téglatest térfogata? (A) 05 (B) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 498 Válasz: (A) 05 Megoldás: A téglatest élei legyenek a, b és c. Ekkor a Pitagorasz-tétel miatt: a + b 4, b + c 58, c + a 74. Ezek összegének fele: a + b + c 8. Ezt az eredményt rendre összehasonlítva az elızı három egyenlettel kapjuk, hogy c 49, a 5, b 9. Tehát: a 5, b, c 7. V

5 0. évfolyam. forduló. Az A szám négyzetszám (egy egész szám négyzete). Ha B is négyzetszám úgy, hogy A<B, valamint A és B között nincs másik négyzetszám, akkor B (A) A + (B) A+ (C) ( A +) (D) A + A + (E) A + A Válasz: (D) A + A Mennyi + értéke? (A) 8 (B) 5 (C) 5 + (D) 5 (E) 7 Válasz: (A) 8 Megoldás: Az Az cba 0047szorzásban azonos betők azonos, különbözı betők különbözı számjegyeket jelölnek. Mennyi a + b + c értéke? (A) (B) (C) (D) 4 (E) 5 Válasz: (A) Megoldás: Az utolsó jegyek szorzata 7-re végzıdik, ez a két számjegy lehet és 7, vagy és 9. Ez utóbbi nem lehet, mert akkor a két háromjegyő szám szorzata nagyobb lenne 00 ezernél. Tehát b 7 7b A középsı számjegyet néhány próbálkozás után megtaláljuk Hány olyan pozitív egészekbıl álló (; y) rendezett számpár van, amelyre y 75? (A) (B) (C) (D) 4 (E) 5 Válasz: (C) Megoldás: Az a b ( a b)( a + b) azonosságot alkalmazva ( y )( + y ) Az ( y, + y) számpárok lehetséges értékei: (, 75 ), ( 5, 55 ), (, 5). Ezért három olyan pozitív egészekbıl álló (; y) rendezett számpár van, amely megoldása az egyenletnek.

6 5. Adott két szám, az elsı és a második. A harmadik szám az elsı és a második összege. A negyedik szám a második és a harmadik szám összege, az ötödik a harmadik és a negyedik összege, a hatodik a negyedik és az ötödik szám összege. Ennek a hat számnak az összege 000. Mekkora az ötödik szám? (A) 50 (B) 80 (C) 00 (D) 50 (E) Nem határozható meg egyértelmően. Válasz: (A) 50 Megoldás: Az elsı szám a, a második b. A harmadik a + b, a negyedik a + b, az ötödik a + b, a hatodik a + 5b. Ennek a hat számnak az összege: 8 a + b. Az ötödik szám ennek a negyede, azaz Hány olyan 50-nél kisebb természetes szám van, amely számnak pontosan 4 osztója van? (A) (B) (C) 4 (D) 5 (E) 6 Válasz: (D) 5 Megoldás: A p q és a p alakú számoknak (p és q különbözı prímek) van 4 osztója. A p q alakú számok: 6, 0, 4,, 6, 4, 8, 46, 5,,, 9, 5. Ez szám. A p alakú számok a 8 és a 7, azaz ilyen szám van. Összesen 5 + ilyen szám van. 7. Az ( m + ) + m + m 0 egyenletnek az m valós értékő paraméter mely értékeire lesz két különbözı valós gyöke? (A) Bármely m valós számra. (B) Bármely m valós számra. (C) Bármely m 0 valós számra. (D) Bármely m 0 valós számra. (E) Elızı válaszok egyike sem helyes. Válasz: (B) Bármely m valós számra. Megoldás: Egy másodfokú egyenletnek akkor van két különbözı valós gyöke, ha a diszkriminánsa pozitív. D ( m) 4( m + )( m ) 4 > 0. Tehát a diszkrimináns mindig pozitív. Azonban van még egy feltétel, amellyel törıdni kell, hogy az egyenlet másodfokú legyen, azaz m + 0. Így egy kikötést kell teljesíteni m-nek: m. 8. Hány valós megoldása van a egyenletnek? (A) 0 (B) (C) (D) 4 (E) Elızı válaszok egyike sem helyes. Válasz: (C) Megoldás: Legyen y +. Ekkor az egyenlet 5 7y ( y ) 9 alakba írható. A y 7 y egyenlet gyökei: y, y. 5 Ha +, akkor,. Ha +, akkor nem találunk megoldást.

7 9. Az ABC háromszögben AB 6, BC, AC 9. A háromszög beírható körének középpontjára illeszkedı, a BC oldallal párhuzamos egyenes az AB oldalt P-ben, a BC oldalt Q-ban metszi. Mekkora az APQ háromszög kerülete? (A) 8 (B) (C) 5 (D) (E) 9,5 Válasz: (C) 5 Megoldás: A beírható kör középpontját a szögfelezık metszik ki. Az ábrán az azonos módon jelölt szögek egyenlık. Ezért a BOP és a COQ háromszögek egyenlı szárúak. K APQ AP + PQ + AQ AP + PO + OQ + AQ AP + PB + QC + AQ AB + AC Egy konve hatszög átlói legfeljebb hány különbözı metszéspontot határozhatnak meg a hatszög belsejében? (A) 6 (B) (C) 5 (D) 8 (E) 0 Válasz: (C) 5 Megoldás: Két átló metszéspontjához rendeljük hozzá a két átló végpontjait, azaz egy konve négyszöget. Ez a hozzárendelés fordítva is mőködik: ha kiválasztjuk a hatszög 4 csúcsát, akkor az általuk meghatározott konve négyszögben az átlók adnak egy metszéspontot. Annyi metszéspontja lehet a konve hatszög átlóinak, amennyi négyszöget tudunk választani a hatszög csúcsaiból. Ha 6 pontból 4-et választunk, akkor pont megmarad. A kimaradó 6 5 pontot 5 -féle módon választhatjuk.

8 . Egy egység oldalú négyzet két szomszédos oldala, mint átmérı fölé befele félköröket rajzolunk. Határozd meg az egyik félkört és a négyzetet belülrıl, a másik félkört kívülrıl érintı kör sugarát. (A) (B) (C) 9 4 (D) (E) 5 Válasz: (C) 9 4 Megoldás: Az ábra szerint kössük össze a körök középpontjait. A vonalkázott derékszögő háromszögek oldalaira írjuk fel a Pitagorasz-tételt. r + ), azaz ( r ( r + r r + ) + ( ) ( ), ebbıl: + 4r +. Elıbbi eredményt felhasználva: + + ( ). A másodfokú egyenlet pozitív gyöke. Ez alapján r Mennyi az ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) 5 polinom legkisebb értéke? (A) 8 (B) 0 (C) (D) 4 (E) Elızıek egyike sem helyes. Válasz: (C) Megoldás: Az f () polinomban a másodfokú tag együtthatója, tehát a függvény képe egy olyan parabola, melynek a szárai felfele mutatnak. Vegyük észre, hogy a függvény szimmetrikus 6-ra: f ( 6 + ) f (6 ). Ezért a függvény a legkisebb értékét az 6 helyen veszi fel. f ( 6) ( + 9 4). Másképp: A négyzetre emeléseket és az összevonásokat elvégezve egy másodfokú polinomot kapunk, amelynek a minimumát rutinfeladat meghatározni.

9 . évfolyam. forduló. Ha < 0, akkor ( ) (A) (B) (C) + (D) (E) Elızı válaszok egyike sem helyes. Válasz: (B) Megoldás: ( ) ( ).. Ha + 5, akkor + (A) 5 (B) 0 (C) 5 (D) 000 (E) 0 Válasz: (E) 0 Megoldás: , + így Egy osztály létszáma 4. Az osztályban három nyelvet tanulnak: angolt, németet és franciát. Minden tanuló tanul legalább egy nyelvet. Angolul 4-en, németül 5-en, franciául 5-en tanulnak. Pontosan két nyelvet összesen 4 diák tanul. Hányan tanulják mindhárom nyelvet? (A) (B) (C) 4 (D) 5 (E) 6 Válasz: (B) Megoldás: Az osztálylétszám: , ahol a mindhárom nyelvet tanulók száma. Az egyenlet megoldása:. 4. Az,,,, 5 számokból legfeljebb hány számot választhatunk úgy, hogy a kiválasztottak között ne legyen kettı, melyek szorzata négyzetszám? (A) (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 Válasz: (D) 6 Megoldás. 6 szám kiválasztható:,,, 5, 6, 7, 0,,, 4, 5, 7, 9,,,. Ha 7 számot választunk, azok között lesz kettı, melyek szorzata négyzetszám. Tekintsük a következı 6 számhalmazt: {, 4, 9, 6, 5}, {, 8, 8}, {, }, {5, 0}, {6, 4}, {7}, {0}, {}, {}, {4}, {5}, {7}, {9}, {}, {}, {}. Ha 7 számot választunk, akkor valamelyik számhalmazból kiválasztunk kettıt, és ennek a kettınek a szorzata négyzetszám.

10 5. Egy egység oldalhosszú négyzet oldalainak harmadolópontjait az ábra szerint összekötöttük. Mekkora a befestett terület nagysága? (A) 0 (B) (C) 6 (D) 40 (E) 48 Válasz: (B) Megoldás: Kössük össze a szemközti harmadolópontokat. Így a négyzetet 9 egybevágó kis négyzetre daraboltuk. A festett terület egy egész kis négyzet, és még négy olyan háromszög, melyekbıl összerakható egy második kis négyzet. Tehát a festett terület a négyzet területének /9-ed része, azaz Az + a + b egyenlet két gyöke és. Mennyi a b értéke? (A) 5 (B) (C) (D) 5 (E) Válasz: (A) 5 Megoldás: Helyettesítsük az + a + b egyenletbe a és a számokat a + b + 6 0, 7 + 9a + b Az elsı egyenlıség kétszeresébıl vonjuk ki a második egyenlıséget: a + b + 6 0, azaz b a A másodfokú egyenlet gyökei és. Ekkor (A) (B) (C) (E) Elızı válaszok egyike sem helyes. 4 Válasz: (C) 7 Megoldás: + ( + ) ( + ) ) (D)

11 8. Az 000-nél kisebb páratlan természetes számok szorzata melyik mőveletsorral egyezik meg? 000! 000! 999! 000! 500! (B) (C) (D) (E) ! (A) ( ) 500! 000! Válasz: (D) ! Megoldás: K K K ! 000! K ! Az a, b, c, d egész számokra a b c d a + b teljesül. Mennyi lehet c + d a b c d értéke? (A) 00 (B) 0 (C) 00 (D) 05 (E) 00 Válasz: (D) 05 Megoldás: Átrendezés után ad bc, ezért a b c d értéke négyzetszám, és az öt szám között csak egy négyzetszám van, a 05. Ha a, b 5, c 9, d 5, akkor a feltétel teljesül, és a szorzat Egy téglalapnak levágtuk az egyik sarkát, és az így kapott ötszög oldalaink hossza (valamilyen sorrendben) 8, 0,, 5, 0. Mekkora az ötszög területe? (A) 5 (B) 50 (C) 70 (D) 75 (E) 80 Válasz: (C) 70 Megoldás: A téglalap egyik oldala 0 egység. A levágott derékszögő háromszög oldalai egész számok, az egyik befogó (0-) hossza 5, 7, 0 vagy ; a másik befogó 8, 0, vagy 5. Az átfogó vagy 5. Két egész oldalú derékszögő háromszög van ilyen átfogóval: {5,, } és {9,, 5}. Utóbbit a lehetséges oldalhosszakból nem tudjuk összerakni. Marad az 5,, oldalú háromszög. A téglalap oldalai 0 és 5, az ötszög területe: Egy téglalap csúcsainak koordinátái: ( ;0), ( 6;0), ( 6;4), ( 0;4) 0. Mi annak az egyenesnek az egyenlete, amely párhuzamos az y + egyenessel és felezi a téglalap területét? (A) y 4 (B) y 5 (C) y 6 (D) y 7 (E) y 8 Válasz: (D) y 7 Megoldás: A téglalap területét felezı egyenesek átmennek a téglalap középpontján, a ( ;) ponton. Az y + egyenessel párhuzamos és a középponton átmenı egyenes egyenlete: y 7.

12 . Az a, b, c pozitív számokra log b + log c + log a 0 Mennyi ( ) ( ) ( ) log a b c. b + log c log a értéke? a b + c (A) (B) 0 (C) (D) (E) 6 Válasz: (D) Megoldás. log a b, y log b c, ekkor log c a ( + y). Ki kell számolnunk + y ( + y ) értékét. + y ( + y) y( + y) Mivel ( + ) log log log, y y a b b c c a így a válasz..

13 . évfolyam. forduló. Melyik az a legkisebb pozitív egész n, amelyre ( n ) n 00 0? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 40 (E) Nincs ilyen n. Válasz: (A) ( n ) n Megoldás: n n ( n + ) n n + 00, 0 n 00.. Mennyi sin 0 o o o o o + sin 0 + sin 0 + K + sin 80 + sin 90 értéke? (A) 4 (B) 5 (C) 5,5 (D) 6 (E) 9 Válasz: (B) 5 o o o o Megoldás: sin 0 + sin 80 sin 0 + cos 0 o o, és hasonlóan sin 0 + sin 70, sin 0 o + sin 60 o, sin 40 o + sin 50 o, és sin o 90, így az összeg értéke 5.. A,, 4,, 999 számok közül töröljük a többszöröseit, majd a megmaradtak közül a többszöröseit, ezután az 5, a 7, a, a, a 7, a 9 és a többszöröseit. Mennyi a megmaradt összetett számok összege? (A) 740 (B) 70 (C) 4096 (D) 496 (E) A törlések után nem maradt szám. Válasz: (B) 70 Megoldás: A megmaradó számoknak 9-nél kisebb prímosztója nem lehet. Ezért a megmaradó számok: , 96, Ezek összege Az egyenlet egyik gyöke. Mennyi a másik két gyök összege? (A) (B) + (C) (D) 5 (E) Elızı válaszok egyike sem helyes. Válasz: (B) + Megoldás: A gyökök és együtthatók közti összefüggés alapján a gyökök összege 5. Tehát + + 5, + ( ) A 8 8 -as sakktábla fekete mezıire hányféleképp lehet feltenni 8 bástyát úgy, hogy azok ne üssék egymást?

14 (A) 4 (B) 64 (C) 5 (D) 576 (E) 70 Válasz: (D) 576 Megoldás: A tábla szürkére festett 4 4 mezıjére 4 bástya 4! 4 -féleképp helyezhetı úgy, hogy ne üssék egymást. A tábla feketére festett 4 4 mezıjére 4 bástya ugyancsak 4! 4 -féleképp helyezhetı úgy, hogy ne üssék egymást. A 8 bástya a kívánt feltételek szerint féle módon helyezhetı el. 6. Legfeljebb hány nullára végzıdhet a tízes számrendszerben felírt N szám, ha n n n n N , ahol n tetszıleges pozitív egész szám? (A) (B) (C) (D) 4 (E) 5 Válasz: (B) Megoldás: Ha n, akkor N 0 ; ha n, akkor N 0 ; ha n, akkor N 00. Tehát N értéke nullára végzıdhet. nullára nem végzıdhet, mert N nem osztható 8-cal. 7. Az n, n +, n + 4, n + 5, n + 6, n + 8, n + 0, n +, n + 5 számok mediánja 0. Mennyi a számok átlaga? (A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 0 (E) Válasz: (E) Megoldás: A kilenc szám közül a listán a középsı n + 6, ennek értéke 0, így n 4. A számok összege 9 n A kilenc szám átlaga 99 / Ha y + 5 és y + y 9, akkor mennyi y + értéke? (A) 4 (B) (C) (D) (E) 4 Válasz: (A) 4 5 Megoldás. Az elsı egyenletbıl: y 0 y +. Az eddigi két eredmény alapján y + +. A második egyenletbıl: ( +) 0 5 y + 0, tehát y y y +., tehát 9. Egy számtani sorozatban az elsı tíz elem összege 00, az elsı száz elem összege 0. Menynyi az elsı száztíz elem összege?

15 (A) 00 (B) 90 (C) 0 (D) 90 (E) 0 Válasz: (E) 0 Megoldás: 0 (a + 9d) 00, 00 (a + 99d) 0. Ezek különbsége 90 (a + 09d) 80. Tehát a + 09d, ezért S 0 (a + 09d) 0, S o 0. Az ABC háromszögben AB 8, AC, BAC < 60, és az A csúcsból induló szögfelezı a szemközti oldalt a D pontban metszi. Mekkora a CD szakasz? 7 4 (A) (B) (C) (D) (E) Válasz: (D) Megoldás: A koszinusz-tétellel számolva BC 7. A szögfelezı-tétel miatt CD BC 7. CD DB, így 8. Melyik az egyenlete az + y 4 és az + y 4y körök közös húrja egyenletének? (A) y (B) y (C) y (D) y (E) y Válasz: (B) y Megoldás: A két egyenletben a bal oldalak megegyeznek, ezért a jobb oldalak is egyenlık. y, ezért 4, így 0, vagy. A két kör metszéspontjai: ( 0 ; 0) és ( ; ). A közös húr ezt a két pontot köti össze, ennek egyenlete: y.. Mekkora az ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c c d d e e f f a a b kifejezés legkisebb értéke, ha a, b, c, d, e és f különbözı egész számok?

16 (A) 6 (B) 8 (C) 0 (D) 4 (E) 0 Válasz: (B) 8 Megoldás. A hat különbözı egész szám közül a legnagyobb és a legkisebb különbsége legalább 5. Ezért az a b, b c, c d, d e, e f, f a különbségek közül néhány egymás utáninak az összege is legalább 5, és a többi különbség összege is legalább 5. Továbbá az abszolút értékek összege páros szám. Ha van olyan különbség, amely legalább 5, akkor a négyzetösszeg 5-nél nagyobb. (Ha a hat szám,,, 4, 5, 6, akkor a négyzetösszeg: ) Nézzük az abszolút értékek néhány lehetséges sorozatát. Ha van közöttük és, akkor a többi legalább,,, lenne, ám az abszolút értékek öszszege páros, tehát ez a négy különbség legalább,,,. Ekkor a négyzetösszeg legalább 0. Ha a különbségek 4 és, ekkor a többi tekintettel a párosságra is legalább,,,. Ezek négyzetösszege 4. Ha négy egymás utáni különbség,,,, akkor a maradék két különbség is legalább 5, jobb esetben ezek és. Ekkor a négyzetösszeg 0. A,, különbségekhez a,, társul. Itt a négyzetösszeg 8. Legyen a hat szám 0,,, 5, 4,. A négyzetösszeg: n K. Megjegyzés. Általános esetben ( a a ) + ( a a ) + ( a a ) + + ( a a ) 4n 6 A feladat más utakon is megoldható.