11. osztály. 1. Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! (10 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: 2 ( + yz + zx) = 22.

Átírás

1 osztály Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! y + yz = 8 yz + z = 9 z + y = 5 (0 pont) Megoldás: A három egyenlet összege: ( + yz + z) = Ebből kivonva az egyenleteket: y =, yz = 6, z = Ezek szorzata: ( ) = 6 yz, így yz = 6, vagy yz = 6 y, azaz y + yz + z = ( pont) ( pont) ( pont) Az eredeti egyenletrendszer megoldásai: =, y =, z = és =, y =, z = (+ pont) Az + p + q = 0 egyenletben az együtthatók, p és q prímszámok, és az egyenlet gyökei egész számok Határozza meg p és q lehetséges (pozitív) értékeit (0 pont) Megoldás: A gyökök és együtthatók közti összefüggéseket használjuk Ez alapján a két gyök szorzata a q prímszám Ez azt jelenti, hogy az egyenlet gyökei és q, vagy és q ( pont) A két gyök összege + q = p, illetve a második esetben q = p, azaz + q = p ( pont) Az + q = p egyenletnek nincs megoldása a prímek körében, hiszen a p és q prímszámok pozitív számok ( pont) A + q = p egyenlet egyetlen megoldása p =, q = Az egyenlet gyökei valóban egész számok: és ( pont)

2 Az ABCD paralelogramma A és D csúcsából induló szögfelezői a BC oldalt három egyenlő részre osztják Mekkorák a paralelogramma oldalai, ha a kerülete 0 egység? ( pont) Megoldás: Két eset lehetséges: a szögfelezők M metszéspontja a paralelogrammán kívül, vagy a paralelogramma belsejében helyezkedik el ( pont) Mivel a paralelogramma szemközti oldalai párhuzamosak, így NAD = ANB (váltószögek) Továbbá AM szögfelező, így NAD = NAB Ezekből NAB = ANB, azaz ANB egyenlő szárú háromszög, AB = BN ( pont) a) Az első esetben AB = BN = NK = KC =, a paralelogramma kerülete ( + ) = 0, innen = 5 A paralelogramma oldalai 5 és 5 ( pont) b) A második esetben BN = KN = NC = és AB =, a paralelogramma kerülete + =, innen = A paralelogramma oldalai 8 és ( pont) ( ) 0 Pontozás: Ha csak egy jó ábrát készít és más értékelhető teljesítménye nincs a megoldónak, arra adjunk pontot, illetve pontot akkor, ha észreveszi, hogy két megoldás van Mekkora az y = kifejezés legkisebb, illetve legnagyobb értéke? ( pont) + Megoldás: 0, hiszen a számláló nemnegatív és a nevező pozitív + ( pont) Ha = 0, akkor = 0, tehát a kifejezés legkisebb értéke 0 + ( pont) Ha 0, akkor = ( pont) + + Egy pozitív szám és reciprokának összege legalább, azaz +, ( pont) tehát ( pont) + Ha = ±, akkor = Így a kifejezés legnagyobb értéke ( pont) +

3 5 Derékszögű háromszög befogóinak aránya :, a derékszög szögfelezőjének hossza egység Mekkora a háromszög kerülete? (7 pont) Pontozás: 8 pont arra, ha járható úton igyekszik megoldani a feladatot, vagy legalábbis felvázolja azt A részpontszámok adásánál kövessük azt az utat, ahogyan az érettségi dolgozatokat pontozzuk Összesen 7 pont szerezhető Megoldások: Néhány adat: CL =, BC = k, AC = k, AB = 5k (ez a Pitagorasz-tétel miatt), és a háromszög szögfelezőjére vonatkozó tétel miatt AL : LB = :, így 0 k 5 AL =, BL = k 7 7 megoldás: (Ötlet: A CKL háromszögben felírjuk a Pitagorasz-tételt) A CBK és az ABC hasonlóak, ez alapján számolva 9 k BK =, CK = k 5 5 5k 9k k KL = BL BK = = A CKL háromszögben felírjuk a Pitagorasz-tételt: ( ) k k + =, ebből k = 5 5 Az ABC háromszög kerülete k + k + 5k = k = 68 megoldás: (Ötlet: CL = CP + PL ) CP = PB = k

4 A BPL háromszögben felírjuk a Pitagorasz-tételt: 7 k k k azaz LP = CL = CP + PL, így = +, ebből k = 7 7 Az ABC háromszög kerülete k = 68 megoldás: (Ötlet: koszinusztétel) 5k k k LP = = K =, 7 A CBL háromszögben felírjuk a koszinusztételt a BL oldalra: 5 k = k, a könnyebb számolás kedvéért legyen k = 7t 7 5t = t t, 6t 008t + 5 = 0, t t + 6 = 0, ennek gyökei t =, t = 8 A t = esetben a háromszög oldalai, 56 és 70, a háromszög kerülete 68 A ( k) + ( ) 8 t = eset nem lehetséges (Miért?) megoldás: (Ötlet: szinusztétel) A CBL háromszögben felírjuk a szinusztételt (a B csúcsnál levő szög szinusza 5 ): CL BL = 5 8, azaz =, k = 5k 5 7

5 5 megoldás: (Ötlet: terület) A háromszög területe a két kisebb háromszög területének összege k k k sin 5 k sin 5 t = = +, azaz k = = 6 megoldás: (Ötlet: hasonlóság) 5 Az LKB háromszög kerülete: + + = 7 7 Az LKB és az ACB háromszögek hasonlóak, a hasonlóság aránya, így az ACB háromszög 7 kerülete 7 = 68

6 7 megoldás: (Ötlet: részháromszögek kerületének összege) Az ABC háromszög kerülete egyenlő az ANL és az LKB háromszögek kerületének összegével Az ABC, ANL és az LKB háromszögek hasonlóak, mindegyikben : : 5 az oldalak aránya Az LKB háromszög LK = oldala az LKB háromszög kerületének -e, tehát a kerület = 7 Az ANL háromszög NL = oldala az ANL háromszög kerületének -e, tehát a kerület = 96 Az ABC háromszög kerülete = 68 6 A H halmaz a következő tulajdonságú: H, ha n H, akkor n + 5 is, és n is eleme H- nak Melyik az a 0-nél nem nagyobb legnagyobb szám, amely nem tartozik H-ba? (8 pont) Megoldás: H-nak elemei a, 7,, 7,, sorozat tagjai (tekintettel az n + 5 -re vonatkozó feltételre) ( pont) H-nak eleme = 6, és így a 6,, 6,, 6,, számok is ( pont) Eleme a halmaznak 6 = 8, és így a 8,, 8,, 8,, számok is ( pont) H-hoz tartozik 8 = 5, és így az 5, 59, 6, 69, 7, számok is ( pont) Azt látjuk, hogy H-nak eleme minden olyan (50-nél nagyobb) szám, amely 5-tel osztva,, vagy maradékot ad ( pont) Az 5-tel osztható számok nem tartoznak H-hoz, így a keresett szám: 00 ( pont)

7 7 Az, y pozitív egészekre ( + ) y( y + ) és nem osztója y -nak, nem osztója ( y +) - nek; továbbá ( +) nem osztója y -nak, és nem osztója ( y +) -nek Van-e ilyen tulajdonságú ( ; y) számpár? Ha van ilyen számpár, keresse meg azt, amelyre + y értéke a legkisebb (0 pont) ; számpárt, arra ad- Pontozás: Ha a megoldó talál a feltételeket teljesítő tulajdonságú ( y) junk 8 pontot Ha ez a számpár a (, 0), akkor adjunk 0 pontot Ha kellően indokolja, hogy ez a legkisebb, akkor adjuk meg a 0 pontot Megoldás: Nyilván sem, ( +) sem lehet prím, hiszen ha valamelyik prím, akkor az osztója y -nak vagy ( y +) -nek Továbbá és ( +) relatív prímek, valamint y és ( +) ( +) sem lehet prímhatvány Ha például m nem osztója ( y +) -nek, így y is relatív prímek, ezért sem, k = p lenne, akkor mivel nem osztója y -nak, n k m n p osztója y -nak és y + -nek, ahol p = p p Ez nem lehet, hiszen y és ( y +) is relatív prímek Tehát és ( +) egyike sem lehet prím, és egyike sem lehet prímhatvány A legkisebb ilyen tulajdonságú szám a, a következő ilyen szám a 0 ( + ) = 5 = 7 5, így a feltételek alapján, valamint 5 7 számok egyike y - nak, a másik ( y +) -nek osztója; vagy 5, valamint 7 számok egyike y -nak, a másik ( y +) -nek osztója Gyorsan megtalálható a feltételeket kielégítő y, ( y +) számpár Első esetben ( 5, 6), második esetben ( 0, ) Találtunk két, a feltételeknek megfelelő (, y) számpárt: (, 0), (, 5) + y értéke, illetve 9 Vizsgáljuk a következő értéket, = 0 Nem fontos megkeresni a megfelelő (, y) számpárt, hiszen ( + ) y( y + ), így y, tehát + y = 0, és ez nagyobb - nél A kérdezett legkisebb összeg + y = + 0 = p osztója ( )

8 osztály Hány megoldása lehet az egész számok körében -re az 0 = k paraméter egész számot jelöl? egyenletnek, ha a k (0 pont) Megoldás Ha k < 0, akkor az egyenletnek nincs megoldása Sok más esetben sincs megoldás, például k =,,, 5 esetén ( pont) megoldása van az egyenletnek k = 0 esetén Hiszen az abszolutérték elhagyása után az 0 = 0 és 0 = 0 egyenleteket kapjuk Az = 0 egyenletnek nincs egész megoldása Az = 0 egyenlet megoldása = 0 ( pont) megoldása van az egyenletnek például k = esetén Ekkor 0 =, vagy 0 =, azaz =, illetve = 9 Az egész számok körében két megoldás van: = és = ( pont) megoldása van az egyenletnek k = 6 esetén Ekkor az 0 = 6 és 0 = 6 egyenleteket kapjuk = 6, = ±, és =, = ± ( pont) Az abszolutérték elhagyása után két egyenletet kapunk: 0 = k, vagy 0 = k, azaz = 0 + k, illetve = 0 k Ha mindegyiknek van nullától különböző megoldás az egész számok körében, akkor gyöke van az egyenletnek, több nem lehet gyök úgy lenne, ha a két egyenlet egyike = 0, ám ekkor a másik egyenlet = 0 Így a megoldások száma 0,, vagy lehet ( pont) Oldja meg az egyenletrendszert a valós számok halmazán! lg lg y = lg + lg y = 5 (0 pont) Megoldás: Legyen a = lg, b = lg y, ekkor az egyenletrendszer az a b = a + b = 5 alakot ölti Innen kapjuk az + b = 0, ( b + )( b ) = 0 b ( pont) Ha b =, a =, akkor az = 0,, y = 0, 0 ( pont) Ha b =, a =, akkor = 00, y = 0 ( pont)

9 Az ABC háromszög körülírt körének középpontja O, beírt körének középpontja K Ha AOC = 60, akkor mekkora AKC? (6 pont) Megoldás: OA = OB = BC = R, BAC = α, ABC = β, BCA = γ AC = R sin β, azaz R = R sin β, sin β =, tehát β = 0 (ez a kerületi-középponti szögek kapcsolatából is adódik), ( pont) vagy β = 50 ( pont) α γ 50 Ha β = 0, akkor α + γ = 50 és AKC = 80 + = 80 = 05 ( pont) Ha β = 50 (az ábrán ez az AB C háromszög), akkor α + γ = 0 és ha itt a beírt kör közepe α γ 0 K, úgy AK C = 80 + = 80 = 65 ( pont) Pontozás: Ha csak egy jó ábrát készít és más értékelhető teljesítménye nincs a megoldónak, arra adjunk pontot, illetve pontot akkor, ha észreveszi, hogy két megoldás van

10 + Mekkora az y = kifejezés legkisebb, illetve legnagyobb értéke? + + (6 pont) Pontozás: A minimum helyes megállapítására és indoklására adjunk 8 pontot, a maimumra szintén 8 pontot Megoldás: Ha = 0, akkor a kifejezés értéke + ( + + ), akkor Ha 0 Két esetet nézünk = + + = + + = Ha > 0, akkor +, így + +, és Következésképpen y = < < + + Ha < 0, akkor +, így + +, és 0 > + + Következésképpen < y = Tehát y = legkisebb értéke, legnagyobb értéke Ezeket =, illetve = + + értékekre veszi fel

11 5 Az ABC derékszögű háromszög AC és BC befogóira kifelé építettük az ACFG és BCDE négyzeteket, és BC = AC Az AE és a BG szakaszok a befogókat a K és H pontokban metszik Mekkora a CKH? ( pont) Pontozás: Ha csak egy jó ábrát készít és más értékelhető teljesítménye nincs a megoldónak, arra adjunk pontot A részpontszámok adásánál kövessük azt az utat, ahogyan az érettségi dolgozatokat pontozzuk Megoldás: Legyen a = BC, b = AC KC a A KCB és a GFB háromszögek hasonlóak, így = b a + b HC b A HCA és az EDA háromszögek hasonlóak, így = a a + b ab Ezekből KC = HC =, ezért CKH = 5 a + b Megjegyzés: A BC = AC feltétel felesleges, nem használjuk, és nem befolyásolja a végeredményt Egyetlen szerepe, megzavarni a feladat megoldóját 6 Jelölje V ( n) az n szám egyjegyű pozitív osztóinak számát Például V ( 00 ) =, mivel a 00-nak egyjegyű osztója van:,, és 5 Mennyi V ( ) + V ( ) + V ( ) + K + V ( 99) + V ( 00) értéke? Megoldás: A V ( ) V ( ) + V ( ) + + V ( 99) + V ( 00) (6 pont) + K összeg megszámlálja, hogy az,,,, 99, 00 számoknak összesen hány egyjegyű osztója van, vagyis közülük hány számnak osztója az, a, a,, a 8 és a 9 Számoljuk össze! Az az,,,, 00 számok mindegyikének osztója, a osztója 50 számnak, olyan szám van, amely osztható -mal,, azaz + + = = K 9 Pontozás: A részpontszámok adásánál kövessük azt az utat, ahogyan az érettségi dolgozatokat pontozzuk

12 7 Az y = + és y = + paraboláknak van két közös érintőjük Bizonyítsa be, hogy a parabolákon levő négy érintési pont egy paralelogramma csúcsait alkotja (8 pont) megoldás: A két parabola egybevágó, hiszen mindkettő az y = parabola eltolásával, és a második parabolánál még tükrözéssel kapható A két parabola ellentétes állású, egyikből a másik megkapható középpontos tükrözéssel Csúcspontjaik A ( 0; ) és B ( ; ), így a tükrözés középpontja C ; = C ; Ha a C pontból érintőt húzok az első parabolához, akkor az M érintési pontot tükrözve C-re megkapjuk a második parabola egy M pontját A CM egyenes érintője a második parabolának, hiszen ha két pontban is metszené ezt a parabolát, akkor a tükrözés miatt a CM egyenes is két pontban metszené az első parabolát, noha ez annak érintője Tehát az M, C, M pontok egy egyenesen vannak, ez az egyenes közös érintője a két parabolának, és C az MM szakasz felezőpontja Ugyanígy a másik közös érintő is átmegy a C ponton, és C felezi a két érintési pont által kijelölt szakaszt Ez azt jelenti, hogy a négy érintési pont paralelogrammát alkot, melynek középpontja C megoldás: Határozzuk meg a négy érintési pont koordinátáit Az y = + parabola a abszcisszájú pontjában húzott érintőjének meredeksége a, és az érintő egyenlete y = a a + Az y = + parabola b abszcisszájú pontjában húzott érintőjének meredeksége b +, és az érintő egyenlete ( ) y = b + + b Ha a két parabola közös érintőjét vesszük, akkor a = b + és a + = b Az egyenletrendszernek két megoldása van (két közös érintő van): a =, b =, illetve a =, b = Az érintési pontok: P = ;, 7 7 Q = ;, R = ;, S = ; 5 A PR és a QS szakaszok felezőpontja azonos, mindkét esetben C ;, így a PQRS négyszög paralelogramma Pontozás: A részpontszámok adásánál kövessük azt az utat, ahogyan az érettségi dolgozatokat pontozzuk