Másodfokú egyenletek egyszerű módszerek és a megoldóképlet

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Másodfokú egyenletek egyszerű módszerek és a megoldóképlet"

Átírás

1 Másodfokú egyenletek egyszerű módszerek és a megoldóképlet 1. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket négyzetgyökvonás segítségével! a = 8 b = 484 c = 36 d 15 = 0 e + 7 = 0 f 1 = 4 7 g = 3 8 h = 8 7i i = i j + 5 = 0 5 k = 76 m + 3m = 4m (3 + m) 3n = 75 9p 8 = 71 3q = 49/7 r = 0,5 7s = 16/7 60t = 40 u 5 = 0 7v = 8 9 w = 3w 7x + 6 = 0 8y + 3 = z = 1 z.. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket kiemeléssel és a szorzat nulla voltának vizsgálatával! a 3a = 0 b 70b = 0 6c c = 0 d + 5d = 0 11e + e = f + f = 8 g = 11g h = h 4i = i j 6j = 0 3k 87k = 0 5m 85m = 0 5n 10 = 0 p 1p = 0 80q + 480q = 0 3r + 19r = 0 17s + 5s = 0 6t = 7t u / + u/3 = 0 v /4 v/7 = 0 3w /7 + w/8 = 0,5x 5,5x = 0 3,y 7,6y = 0 0,81z = 3z/5 3. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket a teljes négyzetté kiegészítés módszerével! a + 4a + 5 = 0 b + 6b + 5 = 0 c + 10c + 1 = 0 d 6d + 8 = 0 e 1e + 35 = 0 f + 14f + 45 = 0 g + 10g + 9 = 0 h + 4h + 13 = 0 i + 1i + 11 = 0 j 10j + 0 = 0 k 30k + 1 = 0 m 34m + 80 = 0 n n 3 = 0 p + 6p + 5 = 0 q q 63 = 0 r 8r + 14 = 0 s 18s 19 = 0 t t + 6 = 0 u + u + 1 = 0 v 3v + = 0 w 5w 6 = 0 x 5x 14 = 0 y + 11y + 30 = 0 z z 0 = 0 4. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket megoldóképlettel! a + 8a + 15 = 0 b + 7b + 1 = 0 c + 19c + 48 = 0 d 3d 54 = 0 e 6e 160 = 0 f f 13 = 0 g + g 4 = 0 h + 3h 108 = 0 i + 5i 66 = 0 j j 35 = 0 k 14k + 48 = 0 m 0m + 91 = 0 3n n = 0 p + 5p + = 0 4q 7q + 3 = 0 5r + r + 3 = 0 s + 5s 6 = 0 7t 11t 4 = 0 u + u + 1 = 0 6v + 5v + 1 = 0 3w + 7w + 6 = 0 x + 7x 1 = 0 10y y + = 0 3 z z = 0 4V. Az 1-3. feladatban szereplő egyenleteket oldjuk meg a megoldóképlettel is! (A hiányzó együtthatók helyére 0-t kell helyettesíteni a megoldóképletben). Vessük össze a kétféleképpen kapott eredményt minden esetben! 5. Oldjuk meg a következő másodfokú egyenleteket rendezéssel, majd megoldóképlettel! a 4a = 5 b + 7b = 1 3c 5c = 7c d + 11d = 3d + 16 e (e+) = e 5 (3f+) f = 15f 10 g(g + 1) = 3g(g 4) + 45 (h+) (h+3) = (h 5) (h 6) (i+1) (i+) = (i+3) (4-i) 1/(j+) 1/(j 1) = 1,5 (k+1)/(k ) + (k )/(k+1) =,5 (4m+1) / (m 1) = m+5 6 / (5n+4) = 3n+11 (3p 4) / (p+6) = (p ) / (p+3) 6(q 3) + (5q 1) / = (14 q)/5 q(q+4)/ (r 3) 4r = 4 (s 5) 7s + 41 = 0 (t + 7) (t 1) = 81 (u+) 3 u 3 7u = 40 (v+1) 3 = (v ) (w 1) (w+) = (w +1) 3 4 1/x + 3/(x+) = 4/(x+3) /y 1/(y+1) = 5/(y+3) 10/(z+) + 4/(z 1) = 16/(z+1) 6. Oldjuk meg a következő egyenleteket! (két másodfokú egyenlet szorzata, hányadosa egyenlő 0-val ) (a +a ) (a 4a+3) = 0 (b 1) (b +7b+10) = 0 (c + 3) (c 5c 14) = 0 (d d 4) (d + d 4) = 0 (e 5e + ) (e 70e + 60) = 0 (f 3f + ) / (f 4f + 3) = 0 (g 5g) / (g 8g + 15) = 0 (h 5h) / (h 8h + 15) = 0 (3i + 4i + 1) / (i 4i + 4) = 0 7. Adjuk meg a következő másodfokú függvények zérushelyeit (megoldóképlettel vagy a teljes négyzetté kiegészítés módszerével), majd ábrázolással ellenőrizzük a számítás helyességét! a. y = x 4x + 3 y = x + x + 1 b. y = x x 3 y = x + 6x + 8 c. y = x + x + y = x x d. y = 0,5x 3x + 4 y = x 4x + 3 e. y = x + x 3 y = x 8 f. y = (x 3 + 4x + 3x)/x y = ( x 3 + 8x 8x) / x

2 g. y = x 4x y = -0,5x + x + 1 h. y = 5x + 10x 15 y = 3x + 6x A következő egyenleteket először oldjuk meg a szorzat 0 voltának vizsgálatával, majd végezzük el a beszorzást, és a kapott szabályos alakú másodfokú egyenletet oldjuk meg megoldóképlettel! Vessük össze a két eredményt! (a + 3) (a 6) = 0 (b + 1) (b 4) = 0 (c ) (c + 9) = 0 (d + 5) (d + 1) = 0 (e + 5) (e 1) = 0 (f 4) (f + 7) = 0 (3g 7) (g + 1) = 0 (h + 5) (5h + 1) = 0 (10i + 9) (7i 6) = 0 3 (j 11) (11j 4) = 0 (3k + 4) (k 9) = 0 ( m 9) ( 3m 7) = 0 (11n+4) = n (11n+4) (p+) (3p 8) = (p+4) (5p 13) (q+) (q 3) = (6q+1) (q 3) (3 r) (r+) = (r 3) (r+10) (8s+1) s = (8s+1) (6 s) (t 8) (t 7) = (8 t) (3t 13) 9. Írjunk fel olyan másodfokú egyenletet, melynek két gyöke a megadott x 1 és x, a főegyütthatója pedig a megadott a szám! Adjuk meg az egyenletet polinom alakban is! Gyakorlás- és ellenőrzésképpen megoldhatjuk a kapott egyenletet a megoldóképlettel, sőt magunk is kitalálhatunk hasonló másodfokú egyenleteket a.) x 1 = x = 0; a = 1 b.) x 1 = x = 0; a = 5 c.) x 1 = x = 0; a = 3 d.) x 1 = 1; x = ; a = 1 e.) x 1 = 3; x = 11; a = f.) x 1 = 5; x = 9; a = 4 g.) x 1 = 1; x = 5; a = 1 h.) x 1 = 8; x = 3; a = 3 i.) x 1 = 1; x = 0; a = 7 j.) x 1 = 7; x = 4; a = 1 k.) x 1 = 1; x = 1; a = 6 m.) x 1 = x = 4; a =. Magasabbfokú egyenletek megoldása a másodfokú megoldóképlet ismeretében Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 10. x 3 8x 9x = 0 10.H a.) x 3 + 5x x = 0 b.) 8x 5 + 7x 4 + 6x 3 = 0 c.) 7x 7 x 6 x 5 = x 4 13x + 36 = 0 11.H a.) x 4 9x + 0 = 0 b.) x 4 + 0x + 64 = 0 c.) x x 16 = 0 1. x 4 17x 9 = 0 1.H a.) 4x 4 99x 5 = 0 b.) 1x 4 19x 18 = 0 c.) 4x x + 15 = x 5 85x 3 + 9x = 0 13.H a.) 4x 5 41x x = 0 b.) x 7 53x x 3 = 0 c.) x 6 + 3x 4 x = x x 3 16 = 0 14.H a.) x 6 35x = 0 b.) x 6 63x 3 64 = 0 c.) 8y 6 + 7y 3 1 = x x 5 3 = 0 15.H a.) x 8 17x = 0 b.) x x 4 81 = 0 c.) x 1 65x = x 11 37x 8 16x 5 = 0 16.H a.) 144x x x 7 = 0 b.) x 9 + x 5 + x = 0 c.) x 7 + 5x 3 + 4/x = x 4 9x 3 + 1x 9x + = 0 17.H a.) x 4 3x 3 + 4x 3x + 1 = 0 b.) x 4 x x x + 1 = 0 c.) 10x 4 7x 3 18x 7x+10 = x 5 4x 4 18x 3 4x + 3x = 0 18.H a.) x 7 + 4x 6 + 6x 5 + 4x 4 + x 3 = 0 b.) 3x 3 4x + 5x 4 + 3/x = 0 c.) 4x x 9 15x 8 +13x 7 +4x 6 = x 5x + 36 = x 5x + 4x 5x + 19.H 4 4 x 10x + 9 x + 3x + 5 a.) = 0 b.) = x 6x 14x 6x + 3 x x 3x 4x 5 0. x 3 7x + 7x = 0 0.H a.) x 3 + 6x 5x = 0 b.) x 4 4x x 10x = 0 Másodfokú egyenletrendszerek 1. Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! a. x + y = 8 és 3xy = 1 (1;7); (7;1) b. x + y = 7 és xy = 18 (9; ); ( ; 9) c. x y = 3 és xy + 1= 66 (5;13); d. x y = 8 és xy = 15 (5; 3); (3; 5) e. x + 8y = xy és xy = 100 (10;5); f. x + 3y = 15 és xy = 9 (3; 3); g. x + y + xy = 3 és xy = 14 (;7); (7;) h. x (y + 3) y = 15 és xy = 9 (3;3); i x + y = és xy = j. x xy = 1 és 1 y 1 = (3;4);( 4; 3) k. x y = 48 és x y = 6 (7; 1)

3 m. x y = 117 és x + y = 13 (11; ) n. x + y = 1 és x + y = 53 nincs mo. p. x + y = 58 és x y = 4 (3;7); ( 7; 3) q. x + y = 15 és 3x 4y = 5 (11;) r. x + y = 36 és x y + 6 = 0 ( 6;0); (0;6) s. y = x + 3x + 3 és y = x 1 ( 1;1); ( 4;7) t. y x = 9 és y x = 9 (0;9); (1;10) u. 4x + 4y = 17xy és x + y = 10 v. 1 1 (3;1,5); + = 1 és x + y = 4,5 x y w. x. y. z = és x y = 1 y x = 0 x y = 3 x y = x + y x y és = x y 6 5 és + = 3 3 x y 3 4 és + = 7 x + y x y (;3);. Adjuk meg a következő egyenletrendszerek valós megoldásait! a.) x y = 4 és x + y + 4xy = 14 (7; 3); ( 3; 7) b.) x y = 4 és x y + 5xy = 401 (10; 7); c.) x 7xy 8y = 0 és x + y = 18 (16; ). d.) x + 3xy + y = 0 és x y = 15 Másodfokú egyenletrendszerek + magasabb fokú egyenletek 31. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a racionális számok halmazán! x + y = 10 és xy = 3 31.H Mely valós számpárokra teljesülnek a következő egyenletrendszerek? a.) x + y = 50 és 3xy = 1 (7; 1); (1; 7); ( 1; 7); ( 7; 1). b.) x + y = 449 és xy = 140 (0; 7); (7; 0); ( 7; 0); ( 0; 7) 3. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán! x y = 1 és xy = 3 3.H Adjuk meg az egyenletrendeszerek racionális megoldásait! a.) x 7y = 3 és xy = 10 (5; ) és ( 5; ) b.) 3x + y = 61 és xy = 8 c.) 9x = 6y + 30 és xy + 1 = Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a természetes számok halmazán! x + y + x + y = 14 és xy = 3 33H. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az egész számok halmazán! x + y + x + y = 6 és xy = Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a természetes számok halmazán! x + y + x + y = 1 és xy = 3 34H. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán! x + y + x + y = 7 és xy = Mely természetes számok lehetnek a következő egyenletrendszer megoldásai? x + y = 4,5xy és x + y = 5 35.H Adjuk meg a következő egyenletrendszer valós megoldásait! a.) x + y + xy = 37 és x + y = 4 b.) x + y 5xy = 67 és x + y = Oldja meg az egész számok halmazán a következő egyenletrendszert! 169x + y = 177 és 13x 4y = 3 36.H Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán! a.) 3x 8y = 60 és 17x y = 3 b.) x 3 + 7y = 174 és 9x 3 y = Melyek azok a valós számpárok, amelyekre teljesül, hogy x + y + xy = 9 és xy (x + y) = 0 37.H Adjuk meg a következő egyenletrendszer egész megoldásait! a.) x + 3xy = 198 y és x y + xy = 840 b.) x + xy y = 1 és x y xy = 6 c.) 4x + 6y + 4xy = 30 és x y + 3xy = 7 d.) x + y (5+x) = 91 és x y + 5xy 30 = Melyek azok az (x;y) valós számpárok, amelyekre teljesül, hogy

4 3x xy 4y 5x 6y = 0 és x + 5y 6 = 0 38.H Mely valós számpárok alkotják a következő egyenletrendszer megoldáshalmazát? a.) 3x 4xy + y 3x + y 76 = 0 és x 3y + 3 = 0 (9; 7) és ( 39/11; 37/11) b.) x x + 4y 4y + 1 = 0 és 19x + 37y + 91 = 0 c.) x 3xy + y 7x + y + 1 = 0 és 5x = 6y Határozzuk meg azokat az (x; y) valós számpárokat, amelyekre: x 3 + y 3 = 341 és x + y = H Oldjuk meg a következő egyenletrendszert a valós számok halmazán! a.) x 3 y 3 = 39,5 és x y = b.) x 6 + y 6 = 16 és (x+y) xy = 6 c.) x 6 y 6 = 665 és (x+y) (x y) = 5 Másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közti összefüggés 41. Határozzuk meg a következő egyenletek gyökeinek összegét és szorzatát a tanult összefüggések alapján, majd ellenőrizzük a megoldást a gyökök vizsgálatával! a.) x 5x + = 0 b.) x + 7x + 9 = 0 c.) x = 5 d.) x + 3x +,5 = 0 41.H Határozzuk meg a következő egyenletek gyökeinek összegét és szorzatát a tanult összefüggések alapján, majd ellenőrizzük a megoldást a gyökök vizsgálatával! a.) 3x 8x+ 3 = 0 b.) 5x + x + 3 = 0 c.) x = 8x d.) 0,5x 7x + 5 = 0 4. Az 5x px + 9 = 0 egyenletben mekkora a p értéke, ha tudjuk, hogy a két gyök összege 1? 4.H a.) A 3x px + 7 = 0 egyenletben a két gyök összege. Mekkora a p értéke? b.) A x + (3p+1)x 1 = 0 egyenletben a két gyök összege 7. Mekkora a p értéke, mekkora a két gyök hányadosa? 43. A 9x 45x + q = 0 egyenletben határozzuk meg q értékét, ha tudjuk, hogy a két gyök szorzata 4. Mekkora a gyökök különbsége? 43.H a.) A x 7x + q = 0 egyenletben határozzuk meg q értékét, ha tudjuk, hogy a két gyök szorzata 3/. Mekkora a gyökök különbsége? b.) A 5x 9x 3q = 0 egyenletben mekkora a q, ha tudjuk, hogy a két gyök szorzata 1,8. Mekkora a gyökök reciprokösszege? 44. Határozzuk meg az x 8x 17 = 0 egyenlet gyökeinek reciprokösszegét a gyökök kiszámítása nélkül, majd ellenőrizzük az eredményt a gyökök kiszámításával! 44.H Mekkora a következő egyenletek gyökeinek reciprokösszege? (Egyik-másik eredményt ellenőrizzük is a gyökök kiszámításával!) a.) 7x 9x 5 = 0. b.) 6x + 9x + 7 = 0 c.) x 8x + 11 = 0 d.) 3x + 5x + 1 = 0 Határozzuk meg a következő egyenletek valós gyökeinek reciprokösszegét! e.) 7x 6x + 5 = 0 f.) x 6x 8 = Határozzuk meg az alábbi egyenlet valós gyökeinek négyzetösszegét! x 7x 13 = 0 45.H Határozzuk meg a következő másodfokú egyenlet valós gyökeinek négyzetösszegét! a.) x + x + 1 = 0 b.) 4x 17x + 4 = 0 c.) 7x 8x 9 = 0 d.) 5x px 11 = 0 (p egész paraméter) 46. A 6x 1x + 9 = 0 egyenlet gyökeinek kiszámítása nélkül adjuk meg a.) a gyökök összegét b.) a gyökök szorzatát c.) a gyökök reciprokösszegét d.) a gyökök négyzetösszegét e.) a gyökök négyzeteinek reciprokösszegét f.) a gyökök köbeinek összegét 46.H A következő egyenletek gyökeinek kiszámítása nélkül adjuk meg a.) a gyökök összegét b.) a gyökök szorzatát c.) a gyökök reciprokösszegét d.) a gyökök négyzetösszegét e.) a gyökök négyzeteinek reciprokösszegét f.) a gyökök köbeinek összegét! Az egyenletek: A.) x x 9 = 0 B.) x 11x + 8 = 0 C.) 9x 8x 1 = 0 D.) x 6x + = 0 Vizsgáljuk meg, hogy melyik esetben valósak a gyökök! 47. Adjuk meg az x px 1 = 0 egyenletben p értékét úgy, hogy a gyökök reciprokösszege 1/1 legyen! 47.H a.) Adjuk meg az x px 1 = 0 egyenletben p értékét úgy, hogy a gyökök reciprokösszege 11/1 legyen! b.) Adjuk meg az x px + 0 egyenletben p értékét úgy, hogy a gyökök reciprokösszege 0,45 legyen! 48. Adjuk meg az x 7x + q = 0 egyenletben q értékét úgy, hogy a gyökök négyzetösszege 5 legyen! 48.H a.) Adjuk meg az x 7x + q = 0 egyenletben q értékét úgy, hogy a gyökök négyzetösszege 9 legyen! b.) Adjuk meg az x 7x + q = 0 egyenletben q értékét úgy, hogy a gyökök négyzetösszege 65 legyen! 49. Az x px + q = 0 egyenletben az egyik valós gyök a másiknak a reciproka. Határozzuk meg p és q lehetséges értékeit! 49.H a.) Az x px + q = 0 egyenletben az egyik valós gyök a másiknak éppen az ellentettje. Határozzuk meg p és q lehetséges értékeit! b.) Az x px + q = 0 egyenletben az egyik valós gyök a másik gyök reciprokának ellentettje. Határozzuk meg p és q lehetséges értékeit!

5 50. A 3x (m+1)x 3 = 0 egyenletben az egyik gyök a másiknak az ellentettje. Mekkorák ezek a gyökök és mekkora az m értéke? 50.H Az 5x (m 3m + )x 0 = 0 egyenletben az egyik gyök a másiknak az ellentettje. Mekkorák ezek a gyökök és mekkora az m értéke? 51. Az x (a+b)x + 5a b = 0 egyenlet gyökei 1 és 3. Határozzuk meg az a és b értékét! 51.H Az x (4a+7b)x + 19a+8b = 0 egyenlet gyökei 4 és 11. Határozzuk meg az a és b értékét! 5. Adott az x 1990x 005 = 0 egyenlet. a.) Ránézésre állapítsuk meg, hogy valósak-e az egyenlet gyökei! b.) Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei a fenti egyenlet gyökeinek ellentettjei! c.) Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei a fenti egyenlet gyökeinek a reciprokai! 5.H Adott az x πx 3 = 0 egyenlet. a.) Ránézésre állapítsuk meg, hogy valósak-e az egyenlet gyökei! b.) Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei a fenti egyenlet gyökeinek ellentettjei! c.) Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei a fenti egyenlet gyökeinek a reciprokai! 53. Az x px + q = 0 egyenlet gyökei x 1 és x. Mekkora a p és q érték, ha tudjuk, hogy x 1 +x = 147 és x 1 x + x 1 x = 143? 53.H a.) Az x px + q = 0 egyenlet gyökei x 1 és x. Mekkora a p és q érték, ha tudjuk, hogy x 1 +x = 67 és x 1 x + x 1 x = 63? b.) Mekkora a p és q paraméter értéke az x px + q = 0 egyenletben, ha x 1 +x = 170 és x 1 x + x 1 x = 1386? 54. Az x (t+1)x + 5t = 0 egyenletben mekkora a t értéke, ha tudjuk, hogy a gyökök négyzetösszege 41? 54.H Az x (t )x 4t 1 = 0 a gyökök négyzetösszege 65. Mekkora lehet a t paraméter? 55. Egy másodfokú egyenlet gyökei x 1 és x. Határozzuk meg az egyenletet, ha tudjuk, hogy 4x 1 9x 1 x +4x = 74; 6/x 1 + 6/x = 5, valamint az egyenletben a másodfokú tag együtthatója egy pozitív páros prímszám. 55.H Egy másodfokú egyenlet gyökei x 1 és x. Tudjuk, hogy az egyenlet főegyütthatója 5. Ismeretes az is, hogy x 1 +7x 1 x +x = 17, továbbá 4x 1 + x 1 (1 x ) + 5x = 16. Határozzuk meg az egyenletet! 56. Egy másodfokú egyenlet gyökeinek négyzetösszege 9, köbeinek összege 117. Határozzuk meg az egyenletet, ha tudjuk, hogy a főegyüttható H Egy másodfokú egyenlet gyökeinek négyzetösszege 85, köbeinek összege 17. Határozzuk meg az egyenletet, ha tudjuk, hogy a főegyüttható. 57. A p paraméter mely valós értékei mellett lesz az x (p+1)x + p = 0 egyenlet gyökeinek négyzetösszege 97? 57.H a.) A p paraméter mely valós értékei mellett lesz az x +,5px + p = 0 egyenlet gyökeinek négyzetösszege 7? b.) A p paraméter mely valós értékei mellett lesz az x px + p = 0 egyenlet gyökeinek négyzetösszege 18? 58. A x(x 1) = 3 (px 4) (p+3) (p 3) egyenlet gyökei x 1 és x. Tudjuk, hogy x 1 + x 8x 1 x = 9,75. Határozzuk meg a nemnegatív p értékét és a gyököket! 58.H A 3 [x (x p) + 1] = p (x p) x (1+p) = 0 egyenlet gyökei x 1 és x. Tudjuk, hogy a gyökök reciprokainak összege 5/3. Határozzuk meg az egész p értékét és a gyököket! Másodfokú egyenletek felírása a gyökeik ismeretében 59. Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei 4 és 9! Adjuk meg az egyenlet szorzat, polinom és teljes négyzetté kiegészített alakját! 59.H Írjuk fel azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei és 7! Adjuk meg az egyenlet szorzat, polinom és teljes négyzetté kiegészített alakját! 60. Egy egész együtthatós másodfokú egyenlet egyik gyöke 8 +. Adjuk meg a másik gyökét, majd írjuk fel a másodfokú egyenletet! 60.H a.) Egy egész együtthatós másodfokú egyenlet egyik gyöke ( )/8. Adjuk meg a másik gyökét, majd írjuk fel a másodfokú egyenletet! b.) Egy egész együtthatós másodfokú egyenlet egyik gyöke π. Adjuk meg a másik gyökét! c.) Egy egész együtthatós másodfokú egyenlet egyik gyöke + 3. Adjuk meg a másik gyökét, majd írjuk fel a másodfokú egyenletet! Másodfokúra vezető négyzetgyökös egyenletek 61. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a.) x + x = b.) x + x = 5 c.) x 5 x + 6 = 0 61.H Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a.) x + x = 3 b.) x + 4 x = 1 c.) (x+1) = 5 x d.) 7 x x = 1 6. Adjuk meg a következő egyenletek valós megoldásait! a.) x+1 + (x+1) = 6 b.) x 3x 6 (x 3x 6) = 1 6.H Adjuk meg a következő egyenletek valós megoldásait! a.) x (x ) = 1 b.) x 11x (x 11x+46) = Adjuk meg a következő egyenlet valós megoldásait! x 9x + 3 = 6 x 9x H Oldjuk meg a következő egyenleteket az egész számok halmazán! a.) x + 8x + 40 = 8 x + 8x + 5 b.) x + 13x 54 = 6 x 13x + 46 c.) x 11x + 4 = 6 x 11x + 34 d.) x + x 6 = 4 x + x Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán!

6 x = 8 x H Adjuk meg a következő egyenlet racionális megoldásait! 7 x = 180 7x Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! x 5x = x 5x H Oldjuk meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! x 7x = 3 x 7x Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 3 + x x = 5x H Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a.) x x + 16 = 6x + 36 b.) x x 7 = 9x c.) 3+ x 5 + x = x + 1x + 14 d.) x x = x Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 16 x 3 x = 67 x 67.H Adjuk meg a következő egyenletek egész megoldásait! a.) 6 x 1 x = 5 x b.) 7 + x + x = 5 + x 68. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 5 + x x + 1 = H Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a.) 4 x 1 = x b.) 4x x 1 = 4 x c.) x 1 = 1 x 16 + x d.) 9 + x 7 + x = x Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 15 3 x x = 10 x 69.H Adjuk meg a következő egyenlet valós megoldásait! 4 x a.) + x + x = b.) x 3 x 5 = + x x 5 Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok 70. a.) Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 35 cm, az átfogó ennél 10 cm-rel rövidebb. Mekkora a háromszög legrövidebb oldala? b.) Egy derékszögű háromszög leghosszabb oldala 4 cm-rel nagyobb, a legrövidebb oldala 14 cm-rel kisebb a középsőnél. Határozzuk meg a háromszög oldalait! 70.H c.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 1 cm-rel hosszabb a másodiknál. Az átfogó 39 cm. Határozzuk meg a háromszög befogóit! d.) Egy derékszögű háromszög befogóinak különbsége 6 cm, az átfogó 8 cm. Határozzuk meg a háromszög befogóit! e.) Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 31 cm, a háromszög köré írható kör átmérője 5 cm. Határozzuk meg a háromszög területét! f.) Egy derékszögű háromszög két hosszabbik oldala 34 illetve 36 egységgel hosszabb a legrövidebbnél. Mekkora a háromszög átfogóhoz tartozó súlyvonala? 71. Egy derékszögű háromszög befogói 1 illetve 8 cm-rel rövidebbek az átfogónál. Határozzuk meg a háromszög köré írt és beírt körének sugarát, valamint az átfogóhoz tartozó súlyvonalának hosszát! 71.H a.) Egy derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm-rel rövidebb, mint a másik. Az átfogó hossza 0 cm. Adjuk meg a háromszög köré írt körének sugarát! b.) Derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm-rel hosszabb a másiknál, a háromszög köré írható körének sugara 10 cm. Határozzuk meg a beírt kör sugarát! c.) Egy derékszögű háromszög befogóinak összege 3 cm, az átfogóhoz tartozó súlyvonal hossza 8,5 cm. Számítsuk ki a háromszög területét! 7. Derékszögű háromszög kerülete 4 cm, területe 4 cm. Mekkorák az oldalai? 7.H a.) Derékszögű háromszög kerülete 90 cm, területe 180 cm. Mekkora a háromszög leghosszabb súlyvonala? b.) Derékszögű háromszög átfogója 5 cm, területe 84 cm. Mekkora a kerülete? 73. Téglalap alakú lemez kerülete 96 cm. Felül nyitott, 880 cm 3 térfogatú dobozt készítünk belőle úgy, hogy a sarkokról 4 cm-es négyzeteket vágunk ki, és azután az oldalakat felhajtjuk. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai? 30 és 18 cm

7 73.H a.) Négyzet alakú papírlapból dobozt készítünk úgy, hogy a papírlap sarkaiból cm-es négyzeteket vágunk ki, és azután az oldalakat felhajtjuk. Milyen nagyságú négyzetből lehet az 1000 cm 3 térfogatú (felül nyitott) dobozt elkészíteni? b.) Egy téglalap kerülete 100 cm. Sarkaiból 7 cm-es négyzeteket vágunk ki, majd a keletkező oldalakat felhajtjuk, így egy 735 cm 3 térfogatú felül nyitott dobozhoz jutunk. Mekkora volt az eredeti téglalap hosszabbik oldala és mekkora a doboz testátlója? 74. Egy 1, m és 10 m oldalú téglalap alakú tér közepére 33,6 m nagyságú, téglalap alakú virágágyat akarnak elhelyezni úgy, hogy a virágágy szélei egyforma távolságra legyenek a tér szélétől. Mekkora távolságra kell lenniük a virágágy széleinek a tér széleitől? 74.H a.) Egy 0 cm hosszú, 15 cm széles téglalap alakú doboztetőn 100 cm -es nagyságú nyílást kell vágni úgy, hogy a nyílás széle mindenütt egyenlő távolságra legyen a doboz szélétől. Mekkora távolságra kell lennie a nyílás szélének a doboz szélétől? b.) Egy,1 m szélességű és 4,4 hosszútéglalap alakú virágágyat körül egyforma széles út szegélyez. Határozzuk meg az út szélességét, ha területe 10-szer akkora, mint a virágágy területe! 75. Két szabályos sokszög oldalszámának különbsége 10, az összes átlók számának különbsége 15 híján a kisebb oldalszámú sokszög egy szögének fokszáma. Hány oldalúak a sokszögek? 75.H a.) Hány oldalú sokszögnek van annyi átlója, mint ahány oldala? b.) Melyik az a sokszög, amelyben az átlók száma annyival nagyobb az oldalak számánál, ahányszor a belső szögek összege nagyobb 90º-nál? c.) Egy szabályos sokszög oldalainak száma n. Ha az oldalak számát eggyel növeljük, akkor a keletkezett n+1 oldalú szabályos sokszög egy-egy belső szöge 1º-kal lesz nagyobb az n oldalú szabályos sokszög egy belső szögénél. Hány oldalú a sokszög? 76. Egy városból két gépkocsi megy egy másik város felé. Az első gépkocsi sebessége 10 km/h-val nagyobb a másodikénál, és így egy órával hamarabb ér célhoz. Határozzuk meg mindkét gépkocsi sebességét, ha a két város közti távolság 560 km. 76.H a.) Egy gyalogos az 110 m hosszú lejtős úton felfelé percenként 4 m-rel kevesebbet tesz meg, mint lefelé, s ezért ezt az utat felfelé 6 perccel hosszabb idő alatt teszi meg, mint lefelé. Hány perc alatt megy fel a gyalogos a lejtőn, és mekkora a sebessége? b.) Egy turista 80 km-t gyalogolt. Ha naponta 4 km-rel kevesebbet tett volna meg, akkor útja 1 nappal tovább tartott volna. Hány km-t tett meg naponta eredetileg? c.) Egy vonatnak 70 km-es utat kellett volna megtennie. Az út felének megtétele után hóakadály miatt két órát vesztegelt, és ezért, hogy időre érkezzék, sebességét 1 km/h-val megnövelte. Mennyi volt az eredeti sebessége és hány óra alatt ért a kiindulási állomásról a célállomásra? 77. Két folyami kikötő távolsága 6,7 km. A gőzhajónak 4 óra 30 percre van szüksége, hogy eljusson az egyik kikötőből a másikba és vissza. A gőzhajó sebessége állóvízben 30 km/h. Mekkora a folyó sebessége? 77.H a.) Egy csónak utasai 3,5 km-t eveznek lefelé és ugyanannyit felfelé, összesen 1 óra 40 perc alatt, folyóvízben. A folyó sebessége km/h. Mekkora a csónak sebessége állóvízben? b.) Egy motorcsónak sebessége állóvízben 0 km/h lenne, a folyón 6 óra 15 perc alatt jut megállás nélkül egyik ponttól a másikig és vissza. A távolság a két pont között 60,5 km. Mekkora a folyó vizének sebessége? 3,58 km/h. 78. Két kőműves együttes munkával 6 nap alatt épít fel egy falat. Hány nap alatt építenék fel a falat külön-külön, ha az egyiknek az egész munka 5 nappal tovább tartana, mint a másiknak? 78.H a.) Két munkás együttes munkával 6 egész /3 óra alatt végez el egy munkát. Az egyik egyedül 3 órával kevesebb idő alatt végzi el, mint a másik. Hány óra alatt végzik el a munkát külön-külön? 1 illetve 15 óra alatt. b.) Apja és fia együtt gyomlálják a kertet. Ha mindvégig együtt dolgoznak, 4 óra 48 perc alatt végeznek. Apja egyedül 4 órával hamarabb végezne a kerttel, mint ha csak a fia dolgozna. Hány óra alatt végeznének külön-külön? apja 8, fia 1 óra alatt. 79. Két munkás együtt 8 óra alatt végez el egy munkát. Ha először az első elvégzi a munka 4/5 részét, utána a másik a hátralévő részt, a munka 14,4 óráig tart. Mennyi idő alatt végeznék el külön-külön ugyanezt a munkát? 79.H Két munkás együttes munkával 1 nap alatt tud elvégezni egy feladatot. Ha kezdetben csak egyikük dolgozik, és miután a munka felét elvégezte, felváltja őt a második, az egész munka 0 napig tart. Mennyi idő alatt végezné el a munkát egyedül az egyik, illetve a másik munkás? 80. Egy áru árát felemelték, majd később mivel így nem fogyott kétszer annyi százalékkal csökkentették, mint ahány százalékkal felemelték annak idején. Ily módon az eredeti áránál 5,5 százalékkal lett olcsóbb. Hány százalékkal emelték fel az árat eredetileg? 5 százalékos. 80.H a.) Egy vászon árát annyi százalékkal csökkentették, ahány forintba került egy méter az árcsökkenés előtt. Hány százalékkal csökkentették a vászon árát, ha új ára méterenként 4 forint? (40% vagy 60%). b.) Egy áru árát leszállították, majd mivel így túl olcsónak bizonyult és nem érte meg árulni fele annyi százalékkal felemelték, mint ahány százalékkal lecsökkentették annak idején. Ily módon az eredeti áránál 6,7 %- kal lett olcsóbb. Hány százalékkal szállították le az árat eredetileg? (1%) 81. Sakkversenyen minden játékos pontosan egyszer játszott bármelyik másikkal. Összesen 190 játszmát játszottak. Hány versenyző volt? 81.H a.) Minden érettségiző kapott egy-egy fényképet minden társától. Hányan érettségiztek, ha összesen 435 fényképcsere történt? b.) Egy régi ismerős társaság találkozik, mindenki mindenkivel koccint. 78 koccintás történt. Hányan találkoztak? c.) Egy kiránduláson 1 fiú és 8 lány vesz részt. Túra végén mindenki mindenkitől elköszön. Hány kézfogást és hány puszit jelent ez, ha a fiúk egymástól kézfogással, a lányok pedig bárkitől puszival búcsúznak el? d.) Egy jól sikerült kerti rendezvény után a résztvevők szétszélednek, mindenki mindenkitől elköszön. A férfiak egymástól kézfogással, a hölgyek mindenkitől puszival búcsúznak el. Ez 84 puszit és 36 kézfogást jelent. Hány hölgy vett részt a rendezvényen? 7.

8 8. Kétezer forintot kell bizonyos számú személy között elosztani. Ha kettővel kevesebben volnának, akkor mindegyiknek 50 forinttal több jutna. Hányan voltak eredetileg? 8.H a.) Egy színház nézőterén 30 férőhely volt. Miután a helyek számát minden sorban 4-gyel megnövelték, és még egy sort betettek, a férőhelyek száma 40 lett. Hány sor lett a színház kibővített nézőterén? 1 vagy 5 sor. b.) Könyvtárból 70 oldalas könyvet kölcsönöztem. Ha naponta 0 oldallal többet olvasnék el, mint kezdetben terveztem, akkor 3 nappal előbb olvasnám el a könyvet. Hány napig olvastam volna a könyvet eredetileg? 1 nap. 83. Húsz liter űrtartalmú, alkohollal teli edényből bizonyos mennyiségű alkoholt kiöntenek, majd az edényt vízzel töltik fel, ezután az előbbinek megfelelő mennyiséget kiürítenek a keverékből, és az edényt ismét vízzel töltik tele. Így az edényben kb. 6 liter tiszta alkohol marad. Hány liter folyadékot öntöttek ki minden alkalommal? 83.H Nyolc literes edény tele van 16 százalékos oxigéntartalmú levegővel. Kiengedünk belőle bizonyos mennyiségű levegőt, és tiszta nitrogént töltünk a helyébe. Ezután az így kapott gázelegyből kiengedünk ugyanannyit, mint először, és ezt ismét tiszta nitrogénnel pótoljuk. Ekkor 9 százalékos oxigéntartalmú elegyet kapunk. Hány liter gázt engedtünk ki mindegyik alkalommal az edényből? Másodfokú függvény tizedikes összefoglalás, kiegészítés I. A másodfokú alapfüggvény: y = x. Rácspontjai: (0; 0); (1; 1); (; 4); (3; 9); ; (-1; 1); (-; 4); (-3; 9); Képe: parabola (jövőre bizonyítjuk, hogy megfelel a görbe a parabola definíciójának). A függvény jellemzése: ÉT.: R ÉK: R + 0 Zh: x = 0 Nv: ] ; 0] szig. egyv. fogyó; [0; + [ szig. egyv. növő Szé: x alj = 0; y alj = 0; legnagyobb érték nincs. II. Az alapfüggvény eltoltjai, széthúzottjai (transzformációi): Az y = a (x u) + v függvény ábrázolása: 0. y = x másodfokú függvény görbéjének elkészítése 1. Ennek eltolása +u-val x irányban.. A kapott alakzat a-szoros nyújtása y irányban; helyben marad az x tengely. *. Ha a<0, akkor a -szoros a nyújtás, majd x tengelyre tükrözzük is a kapott görbét. 3. Végül v-vel y irányban eltoljuk a. vagy *. pontban kapott alakzatot. Így kapjuk az eredeti függvény görbéjét. A függvény általános jellemzése i.) a>0 esetén: ÉT: R ÉK: [v; + [ Zh: v>0 esetén nincs; v=0 esetén x = u (1 darab); v<0 esetén x = u ± ( v/a) ( darab). Nv: ] ; u] szig. egyv. fogyó; [u; + [ szig. egyv. növő Szé: x alj = u; y alj = v; legnagyobb érték nincs. Előjel: v>0 esetén mindenütt pozitív; v = 0 esetén a zérushelyeket leszámítva mindenütt pozitív, v<0 esetén a két zérushely között negatív, a zérushelyeken 0, a többi helyen pozitív. ii.) a<0 esetén: ÉT: R ÉK: [ ; v[ Zh: v<0 esetén nincs; v=0 esetén x = u (1 darab); v>0 esetén x = u ± ( v/a) ( darab). Nv: ] ; u] szig. egyv. növő; [u; + [ szig. egyv. fogyó. Szé: x tető = u; y tető = v; legnagyobb érték nincs. Előjel: v<0 esetén mindenütt negatív; v = 0 esetén a zérushelyeket leszámítva mindenütt negatív, v>0 esetén a két zérushely között pozitív, a zérushelyeken 0, a többi helyen negatív. III. Az y = ax + bx + c alakú másodfokú függvény Ábrázolása: legegyszerűbb teljes négyzetté alakítani: y = a (x + b/(a)) + (4ac b )/(4a). Így u = b/a és v = (4ac b )/(4a), és ld. II. pont. Ami a fent megadott alakból azonnal látható (nem ismétlem meg azokat az észrevételeket, amelyekhez fenti átalakítást és u; v helyettesítést kell alkalmazni: i.) a>0 esetén: - a görbe olyan parabola, amelynek szárai felfelé állnak, tehát legkisebb értéke van.

9 - a minimumhely (az aljhoz tartozó x) a két zérushely között félúton található, már amennyiben vannak zérushelyek: x min = (x 1 + x )/. - a függvény a két zérushely között negatív értékű, a zérushelyeken 0; minden egyéb helyen pozitív. Ha nincsenek zérushelyek, akkor mindenütt pozitív. - A fv minimumhelye ugyanott van, mint az y = ax + bx függvénynek (a c-vel való függőleges eltolás nem befolyásolja a legkisebb érték helyét, csak az értéket). Ennek a függvénynek a zérushelyei: 0 és b/a. A minimum helye a két zérushely között félúton helyezkedik el, így x min = b/a. Az érték kiszámításánál természetesen az eredeti függvénybe kell behelyettesítenünk. ii.) a<0 esetén: - a görbe olyan parabola, amelynek szárai lefelé állnak, tehát legnagyobb értéke van. - a maximumhely (az tetőhöz tartozó x) a két zérushely között félúton található, már amennyiben vannak zérushelyek: x max = (x 1 + x )/. - a függvény a két zérushely között pozitív értékű, a zérushelyeken 0; minden egyéb helyen negatív. Ha nincsenek zérushelyek, akkor mindenütt negatív. - A fv maximumhelye ugyanott van, mint az y = ax + bx függvénynek (a c-vel való függőleges eltolás nem befolyásolja a legnagyobb érték helyét, csak az értéket). Ennek a függvénynek a zérushelyei: 0 és b/a. A maximum helye a két zérushely között félúton helyezkedik el, így x max = b/a. Az érték kiszámításánál természetesen az eredeti függvénybe kell behelyettesítenünk. IV. Egyéb hasznos megjegyzések: i.) Megjegyzendő tehát, hogy x szélső = b/a. ii.) Ha az a és c együtthatók előjele ellentétes, akkor mindenképpen két zérushely van. iii.) A GYEHÖF kiegészíthető egy harmadik, ritkábban használatos, de igaz összefüggéssel: x 1 x = D / a. Mindezek figyelembevételével egyszerű megfontolások alapján válaszoljunk az alábbi kérdésekre: 91. Hány zérushelye van a következő függvényeknek? a.) y = 4x + 5x 7 b.) y = 7x 9x 110 c.) y = 6x 7x + d.) y = x 10x 11 e.) y = 3x 4x f.) y = 1,5x + 3,5x + 1 g.) y = (x+) + 6 h.) y = (x+) + 7 i.) y = 4 (x+11) 9. Hány zérushelye van a következő függvényeknek? 3x x + 9 x + x x + 79x 85 a.) y = b.) y = x 4x + 3 4x 469x x x Határozzuk meg a következő függvények értékkészletét! a.) y = 4(x 5) 7,5 b.) y = 3 (x+) 1 c.) y = (x+5) / + 11 d.) y = (4x+5) Határozzuk meg a következő függvények szélsőértékének helyét és fajtáját! a.) y = 9x + 7x 11 b.) y = (x 3) + 5 c.) y = x + 7x d.) y = 146x 1460x 006 e.) y = 4x 9x 11,496 f.) y = 6x x Adjuk meg a következő kifejezések legkisebb és legnagyobb értékét a [ 5; 9] számközben! a.) (x 7) + 19 b.) 3 (x+1) 73 c.) 1, (x+6) + d.) x + 8x + 10 e.) x + 7x 11 f.) 6x + x Egy másodfokú függvény két zérushelye 7 és 13. Határozzuk meg a szélsőértékének helyét és fajtáját! 97. Adjuk meg a következő másodfokú függvények növekedési viszonyait! a.) y = x + 3x + 4 b.) y = 17x + 5x + 49 c.) 7x 63x Egy másodfokú függvénynek egyik zérushelye ; a legnagyobb értéke 5, és ezt az x = 7 helyen veszi fel. Határozzuk meg a függvény másik zérushelyét! 99. Milyen valós x helyeken lesz az y = 3x + 4x + 5 függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív d.) tiszta képzetes? 100. Mely valós helyeken lesz az y = x + 5x + függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív? 101. Mely valós helyeken lesz az y = 5x 10x + 1 függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív? 10. Mely valós helyeken lesz az y = 3x + 7x 11 függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív? 103. Mely valós helyeken lesz az y = 5x 8x + 1 függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív? 104. Mely valós helyeken lesz az y = x + 8x 8 = 0 függvény értéke a.) pozitív b.) nulla c.) negatív? 105. Az y = 4x 5x 1 függvénynek határozzuk meg az első és második síknegyedbeli rácspontjait! 106. Adjunk meg olyan másodfokú függvényt, amely minden egész helyen negatív, de végtelen sok helyen pozitív! 107. Határozzuk meg a lehető legegyszerűbb számolással az y = 4x 7x 1 függvény zérushelyeinek távolságát! 108. Az y = x 7x 6 függvény zérushelyeinek adjuk meg a a.) szorzatát b.) összegét c.) különbségét d.) négyzetösszegét

10 e.) négyzeteinek különbségét f.) köbeinek különbségét! Házi feladatok másodfokú függvény 109. Az y = 3x 7x 11 függvény vizsgálata alapján válaszoljunk az alábbi kérdésekre! a.) Hány zérushelye van a függvénynek? b.) Hol és milyen jellegű szélsőértéke van a függvénynek? c.) Határozzuk meg a szélsőértéket! d.) Adjuk meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [ 5; [ számközben! e.) Adjuk meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a ] 4; [ számközben! f.) Adjuk meg a függvény növekedési viszonyait a valós számok halmazán! g.) Adjuk meg a függvény értékkészletét! h.) Milyen x értékekre vesz fel a függvény pozitív értékeket? i.) Határozzuk meg a függvénynek az összes III. vagy IV. síknegyedbe eső rácspontját! j.) Adjuk meg a zérushelyek köbeinek összegét és különbségét! 110. Az y = 8x + 7x 1000 függvény vizsgálata alapján válaszoljunk a következő kérdésekre! a.) Hány zérushelye van a függvénynek? b.) Hol és milyen jellegű szélsőértéke van a függvénynek? c.) Határozzuk meg a szélsőértéket! d.) Adjuk meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [ 5; [ számközben! e.) Adjuk meg a függvény legnagyobb és legkisebb értékét a [ 4; 10[ számközben! f.) Adjuk meg a függvény növekedési viszonyait a valós számok halmazán! g.) Adjuk meg a függvény értékkészletét! h.) Milyen x értékekre vesz fel a függvény negatív értékeket? i.) Határozzuk meg a függvénynek az összes I. síknegyedbe eső rácspontját! Hány zérushelye van az 81x + 73x 311 6x 4 x x y = függvénynek? 4 x + 3x 4 x + 5x x 11. A c szám kétjegyű pozitív prím lehet. Adjuk meg a következő kifejezés lehetséges legnagyobb és legkisebb értékét! a.) A = 6c + 18c 133 b.) B = 13c + 100c C = 6c 11c + 50 Másodfokú és másodfokúra vezethető egyenlőtlenségek 11. Vázlatosan ábrázoljuk a következő másodfokú függvényeket, majd állapítsuk meg, hogy melyik számhalmazon pozitív, nulla, illetve negatív az értékük! a.) y = 4x + 6x + 3 b.) y = x + 8x + 7 c.) y = 7x d.) y = x + 5x 4 11.H Ábrázoljuk vázlatosan a következő másodfokú függvényeket, majd állapítsuk meg, hogy melyik számhalmazon pozitív, nulla, illetve negatív az értékük! a.) y = x 6x 16 b.) y = x + 3x + 70 c.) y = 4x +4x 1 d.) y = x + 10x Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a.) x 3x 0 b.) x + 6x 8 > 0 c.) 5x 6x d.) 6 + x x > 0 e.) x + 5x 1 < 0 f.) 9x + 7x < 0 g.) 4x + 5x h.) x + 6x H Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a.) x 4 0 b.) 8x + 7x + 6 > 0 c.) 3x + x d.) 9x + 6x e.) x 7x f.) 3x + x + 9 < 0 g.) x 8 x > 0 h.) 10x 7x 6 < 0 i.) 5x + 0x 0 0 j.) x 7x 1 > 0 k.) 7x + 19x + 0 l.) 0,5 x 6x + 18 < 0 m.) 3x + 7x 48 0 n.) 9x + 17x + 0 < 0 o.) 7x + 4x + 63 > 0 p.) x + 8x 16 > 0 q.) 7x + x 1 0 r.) 8x + 5x 5 0 s.) 11x x 1 < 0 t.) 31x + 6x 31 < Adjuk meg a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! a.) x + 5 3x b.) 8x + 4x 0,5 c.) 7x + 5 > 1x + 1 d.) 5x + x + 1 3x + 3x + 13.H Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a.) x + 7 x + 6 b.) 6x < x 1 c.) 4x + 7x 3x 6 d.) 10x 3 4x 14. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán: x (x 3) x (4 x) 14.H Adjuk meg a következő egyenlőtlenségek valós megoldásait! a.) 4x (x+) 6 (x+) 3x (x 6) (x 3) b.) x (x+4) (3x+1) (x 7) c.) x (x 10)<x 8 d.) (x (x 10)+15) > (x+5) e.) (x+) (x+3) > (x + 1) f.) 5x (x ) < 3x (x+9) Adjuk meg a következő egyenlőtlenség egész megoldásait! 5x + 6x 5 > 0 15.H Adjuk meg a következő egyenlőtlenségek egész megoldásait! a.) x + 7x + 10 < 0 b.) 3x + 10x 3 0 c.) 7x + x 1 0 d.) 6x + 5x Oldjuk meg a következő egyenlőtlenség-rendszert! x + 7x + 6 < 0 és x + 3x H Oldjuk meg a következő egyenlőtlenség-rendszereket! a.) x + 4x és x 4x b.) x + 4x és x 4x c.) x + 9x 4 < 0 és x + x + 3 > 0 d.) x + 9x 4 < 0 és x + x + 3 < 0 e.) x 11x + 10 < 0 és x + 7x + 1 < 0 f.) x 11x + 10 > 0 és x + 7x + 1 < 0 g.) x + x + 3 < 0 és x + x 1 < 0 h.) x + x + 3 > 0 és x + x 1 > Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget! (x + 8x + 1) ( x x + 3) 0 17.H Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket! a.) (x + x + 1) ( x x + 3) 0 b.) (3x + 10x + 3) ( x 5x ) 0 c.) (3x + x + 1) (x + x + 3) > 0 d.) (3x + x 1) (x + x 3) > 0

11 18. Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! x 7x 15 > 0 b.) x + < 0 x + 6x + 8 x 4 x H Adjuk meg a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! a.) x + 3x + < 0 b.) x 3x + 0 c.) x + 7x + 1 < 0 x 4x + 3 x 4x + 3 x 7x 10 d.) x + 3x + < 0 e.) 3 + > 0 f.) x + 1 x x 11x 6 x x 3 x x Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! x + 5x + 5,5 1 x 7x H Ezeket is! a.) 3 x + < 1 b.) + 1 x x 3 x 3 x + 4 c.) 5 x 1 + d.) 0 3x x + 1 x + 3 3x 1 3x Adjuk meg az x 4 5x + 4 < 0 egyenlőtlenség megoldáshalmazát! 130.H Adjuk meg a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! a.) x 4 13x + 36 > 0 b.) x 4 + x 0 0 c.) x 4 + x Milyen valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? a.) x 3 + 7x 18x 0 b.) 3x 3 + x 5x > 0 c.) x 6 + 9x 5 + 4x 4 < H Oldjuk meg a következő egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán! a.) x 3 11x + 30x < 0 b.) x 4 5x 3 + x 0 c.) 7x 3 + x + x 0 d.) x 5 + 7x 3 44x > Az x px + 1,5p = 0 egyenletnek milyen p paraméter esetén lesz, 1 illetve 0 valós megoldása? 13.H Határozzuk meg a p paraméter értékét úgy, hogy a következő egyenleteknek két különböző valós megoldása legyen! a.) x px + p + 3 = 0 b.) x p x p + 1 = 0 c.) 0,5px + px p + 5 = 0 p < vagy p > p > 1 vagy 5 < p < 0 Melyek azok a valós p értékek, amelyre a következő egyenleteknek nincs megoldásuk? d.) 3x + (p+1)x + p + 3 = 0 e.) x + px + p = 0 f.) x (p+1)x + 9 = 0 A következő egyenletnek két egybeeső valós gyöke van. Határozzuk meg a p paraméter értékét. g.) px /4 + (p +1)x + 9(p + 5p/18 + 1) = 0 Másodfokú szélsőérték-feladatok Elméleti háttér: I. Egy teljes négyzet értéke legalább nulla. II.A Egy pozitív számnak és reciprokának összege legalább kettő (ez az 1-nél valósul meg egyedül). II.B Egy negatív számnak és reciprokának összege legfeljebb kettő (ez a 1-nél valósul meg egyedül). III. A másodfokú függvény szélsőértéke a két zérushelye között félúton található. a.) Ha nincs zérushely, akkor a függvény függőlegesen eltolható úgy, hogy legyen (pl. a nulladfokú tag elhagyásával). b.) Ha a másodfokú tag együtthatója pozitív, akkor a függvénynek a fent említett helyen minimuma (legkisebb értéke), ha negatív, akkor maximuma (legnagyobb értéke) van. Feladatok: 141. Egy 100 méter hosszú kerítéssel a lehető legnagyobb területű téglalapot akarjuk elkeríteni. Mekkorának válasszuk az oldalakat? 141.H a.) Osszuk fel a 40-et két pozitív összeadandóra úgy, hogy a szorzatuk a lehető legnagyobb legyen! b.) Az olyan derékszögű háromszögek közül, amelyek befogóinak összege 16 cm, melyiknek legnagyobb a területe? Mekkora ez a terület? 14. Határozzuk meg a cd szorzat legnagyobb értékét, ha c+d = H Egy 100 méter hosszú kerítéssel a lehető legnagyobb területű téglalapot akarjuk elkeríteni, de a téglalap egyik oldala egy már bekerített telek igen hosszú oldalához csatlakozik (így oda nem kell kerítés). Hogyan válasszuk meg a téglalap oldalait? 143. Bontsuk fel a 1-t két összeadandóra úgy, hogy a négyzetösszegük a lehető legkisebb legyen! 143.H Két szám összege 90. Legalább mennyi a négyzeteik összege? 144. Bontsunk egy 50 cm-es szakaszt két részre úgy, hogy az egyes részek fölé rajzolt négyzetek területének összege a lehető legkisebb legyen! 144.H a.) Bontsunk egy 0 cm-es szakaszt két részre úgy, hogy az egyes részek fölé rajzolt szabályos háromszögek területeinek összege a lehető legkisebb legyen! b.) Bontsunk egy 60 méteres szakaszt két részre úgy, hogy az egyes részek fölé rajzolt félkörök területeinek összege a lehető legkisebb legyen! 145. Egy derékszögű háromszög befogói 0 cm és 30 cm. Mekkorák a háromszögbe írható lehető legnagyobb területű téglalap oldalai, ha a téglalap egyik szöge a háromszög derékszögével esik egybe? 145.H Egy derékszögű háromszög csúcsai: A(0; 0); B(1; 0); C(0; 0). Olyan téglalapot szeretnénk a háromszögbe írni, amelynek egyik szöge a háromszög derékszögével esik egybe, és területe a lehető legnagyobb. Határozzuk meg a téglalap csúcsainak összetevőit! 146. Egy téglalap átlója 10 cm hosszú. Milyen határok között változhat a téglalap területe? 146.H a.) Egy téglalap köré írható körének sugara 0 cm. Milyen határok között változhat a téglalap területe?

12 b.) Egy téglalap átlója 1 cm hosszú. Milyen határok között változhat a téglalap kerülete? 4 és 4 cm között változhat Egy trapéz egyik párhuzamos oldala 8 dm, másik párhuzamos oldalának és magasságának összege 0 dm. Milyen határok között változhat a trapéz területe? 147.H Egy trapéz egyik párhuzamos oldala 7 dm, másik párhuzamos oldalának és magasságának összege 13 dm. Hogyan válasszuk meg a trapéz méreteit, ha azt akarjuk, hogy területe a lehető legnagyobb legyen? Mekkora ez a terület? 148. Egy téglalap oldalai 5 cm és 9 cm-esek. Az A csúcsból pozitív körüljárási irányban a téglalap kerületén x cm-t haladva (x<5) az A 1 pontba jutunk. A B csúcsból ugyanilyen körüljárás szerint a kerületen x cm-t haladva a B 1 pontba jutunk, hasonló módon keletkezik a téglalap kerületén a C 1 és D 1 pont is. Mekkora x esetén lesz az A 1 B 1 C 1 D 1 négyszög területe a lehető legkisebb? 148.H Egy téglalap oldalai 3 m és 7 m hosszúak. Minden csúcsban ül egy katicabogár. Egyszerre elindulnak, mindegyik a téglalap kerületén halad egyforma, 1 cm/s sebességgel, azonos forgásirányban. Mennyi idő múlva határozzák meg a lehető legkisebb területű négyzetet? 149. Egy derékszögű háromszög befogói a és b. Tudjuk, hogy 3a + b = 100. Milyen határok között változhat a háromszög területe, illetve átfogója? 149.H Határozzuk meg az ab szorzat és az a + b négyzetösszeg lehetséges értékeit a következő feladatokban! Az a és b számok nemnegatívak. a.) a + b = 4 b.) a + 5b = 0 c.) 9a b = 10 d.) 7a + 3b = Százezer forintot vettünk fel hitelre. Két részletben fizethetjük vissza; az első x forint után x ezred százalék kamatot, a második y forint után 3y ezred százalék kamatot fizetünk. Hogyan válasszuk meg a részleteket, hogy a lehető legkevesebb kamatot kelljen fizetni? 150.H a.) Százezer forintot vettünk fel hitelre. Két részletben fizethetjük vissza; az első x forint után x ezred százalék kamatot, a második y forint után y ezred százalék kamatot fizetünk. Hogyan válasszuk meg a részleteket, hogy a lehető legkevesebb kamatot kelljen fizetni? Mindkét részlet forint legyen. b.) Százezer forintot vettünk fel hitelre. Két részletben fizethetjük vissza; az első x forint után x ezred százalék kamatot, a második y forint után 3y ezred százalék kamatot fizetünk. Hogyan válasszuk meg a részleteket, hogy a lehető legkevesebb kamatot kelljen fizetni? Az első részlet , a második forint legyen a.) Egy 60 cm-es szakaszt két részre osztunk. Az első részt egy négyzet oldalának, a második részt egy másik négyzet átlójának tekintjük. Milyen határok között változhat ennek a két négyzetnek a területösszege? b.) Egy 60 cm-es szakaszt két részre osztunk. Az első rész fölé mint átmérő fölé félkört, a második rész fölé mint egy átfogó fölé egyenlő szárú derékszögű háromszöget szerkesztünk. Milyen határok között változhat a két idom területösszege? 151.H a.) Egy 36 cm hosszú szakaszt két részre osztunk. Az első rész fölé négyzetet, a második rész fölé egy szabályos háromszöget szerkesztünk. Hogyan osszuk két részre a szakaszt, hogy az így nyert idomok területének összege a lehető legkisebb legyen? b.) Egy 36 cm hosszú szakaszt két részre osztunk. Az első rész fölé négyzetet, a második rész fölé mint átfogó fölé egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget szerkesztünk. Milyen határok között változhat a két idom területének összege? c.) Egy 36 cm hosszú szakaszt két részre osztunk. Az első rész fölé négyzetet, a második rész fölé mint befogó fölé egy egyenlő szárú derékszögű háromszöget szerkesztünk. Milyen határok között változhat a két idom területének összege? d.) Milyen határok között változhat egy szabályos háromszög és egy négyzet területének összege, ha tudjuk, hogy kerületeik összege 10 cm? e.) Egy kör és egy négyzet kerületének összege 30 cm. Milyen határok között változhat a területeik összege? 15. Milyen x valós szám esetén veszi föl az 3x 5x + 6 x + 3 y = + függvény a lehető legkisebb pozitív x + 3 3x 5x + 6 értéket? 15.H Milyen x valós szám esetén veszi föl az x 5x + 6 x + x y = + függvény a lehető legkisebb pozitív x + x x 5x + 6 értéket? 153. Milyen x valós szám esetén veszi föl az x + 1 x + x y = + függvény a lehető legkisebb pozitív értéket? x 3 x H Milyen x valós szám esetén veszi föl az x 5 x 4x 4 y = + függvény a lehető legkisebb pozitív értéket? 4x 1 x Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! 8x 3x + 1 x x 17 = x + 3x x 1 8x H Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! a.) x x 3 + = b.) x + 5x + 90 x 7x = 1 c.) x x + x = x 3 x x 7x + 1 x + 5x + 9 x 3 x 155. Hol veszi fel a következő függvény a lehető legkisebb értékét? ( x + 1) y = 1+ x 155.H Hol veszi fel a következő függvény a lehető legkisebb értékét? + 1

13 4 x + 8x + 1 y = x 156. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számhármasok halmazán! (x+1) + (y 3) + (3z 5) = H Oldjuk meg a következő egyenleteket úgy, hogy valamennyi változó egész szám legyen! a.) (x+5) + y = 0 b.) (x+) + 3 (y 10) = 0 c.) x + 6y + c + 1 = 0 d.) x x y = 0 e.) x + y + 4x 6y = 13 f.) x + y + z + z = Határozzuk meg a következő kifejezések legkisebb ill. legnagyobb értékét (ha van)! a.) x + y + 1 b.) x (y 1) c.) x y x + 8y d.) x + w 10w + y e.) 7x + 3x + y + 5y 157.H Határozzuk meg a következő kifejezések legkisebb és legnagyobb értékét (ha van)! a.) a + b + 6a + 1b b.) 4x + 7y 3x 11y c.) s + t + 3s + 4t d.) 3x y + 6x 8y + 1 e.) (x 6 5x 4 + x )/x f.) a + b + c + a + b 3c Másodfokú egyenlet összefoglaló feladatok I. Egyszerű, 1-3 pontos feladatok 161. Hol van a x + 6x kifejezés szélsőérték-helye? Milyen jellegű a szélsőérték? x = 1,5. Jellege: maximum. 16. Oldjuk meg az x + x + 11 > 0 egyenlőtlenséget! minden valós szám megoldása Hány megoldása van az x 4 + 5x + 4 = 0 egyenletnek a valós számok halmazán? Nincs megoldás Mekkora p értéke az 5x px 6 = 0 másodfokú egyenletben, ha tudjuk, hogy az egyik gyök? p = Adjuk meg a ( x x+) kifejezés értelmezési tartományát! Így tehát [ ; 1] az értelmezési tartomány Az y = x + 6x 11 kifejezésnek mennyi a legnagyobb értéke a [ 4; 0] számközön? Mekkora az x 8x 11 = 0 egyenletben a gyökök összegének és szorzatának összege? Hány zérushelye van az (x + 5x 6)/(x + 8x + 1) kifejezésnek? egy zérushelye van Határozzuk meg az x + y + x 4y kifejezés legkisebb értékét! Hány megoldása van a valós számok halmazán a következő egyenletnek? 3 + x x 4 + x + 4 x + x + 3 x = A bal oldalon egy pozitív (értelmes vagy nem értelmes) számnak és reciprokának összege áll, amelyről tudjuk, hogy legalább. A jobb oldal viszont kisebb -nél. Így az egyenletnek biztosan nincs megoldása. Az összefoglaló feladatok megoldásai: 171. Két munkás együttes munkával 1 nap alatt tud elvégezni egy feladatot. Ha kezdetben csak egyikük dolgozik, és miután a munka felét elvégezte, felváltja őt a második, az egész munka 5 napig tart. Mennyi idő alatt végezné el a munkát egyedül az egyik, illetve a másik munkás? Az egyik tehát 0, a másik 30 nap alatt 17. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! x + 8x + 40 = 8 x + 8x + 5 { 8; 4; 0} Egy 1 cm-es szakaszt két részre osztunk. Az első rész egy négyzet oldala, a második rész egy négyzet átlója. Milyen határok között változhat a két négyzet területének összege? A területösszeg értéke tehát a [48; 144] tartományba esik, cm -ben mérve Milyen valós p paraméterek esetén nincs valós megoldása a következő egyenletnek? x p x p + 1 = 0 p-nek a ] ; [ számközbe kell esnie, pontosan ekkor nincs megoldása a fenti egyenletnek Az x (t+4)x 3t + 1 = 0 a egyenletben a valós gyökök négyzetösszege 65. Mekkora lehet a t paraméter? t = 3 a jó megoldás. A felelés kérdései: 181. A másodfokú függvény és jellemzése 18. Transzformációs szabályok 183. A másodfokú egyenlet általános alakja 184. A másodfokú egyenlet megoldása grafikusan ill. a teljes négyzetté kiegészítés módszerével 185. A másodfokú egyenlet megoldása a megoldóképlet segítségével; a megoldások száma és a diszkrimináns előjele 186. A megoldóképlet levezetése 187. Hiányos másodfokú egyenletek megoldása 188. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések 189. Hiányos negyedfokú egyenletek visszavezetése másodfokúra 190. Reciprok egyenletek megoldása (csak jeleseknek) 191. Másodfokú egyenletrendszerek megoldási módjai 19. Másodfokú szélsőérték-feladatok megoldása 193. Másodfokú egyenlőtlenségek általános megoldási módja 194. A reciprok-egyenlőtlenség és bizonyítása

14 195. A számtani és mértani közép közötti összefüggés és algebrai bizonyítása elem esetén 196. Szöveges feladatok megoldásának lépései 197. Négyzetgyökös egyenletek megoldási módja 198. A négyzetszámok 1000-ig 199. Nevezetes szögek szögfüggvényei (0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90 ) 00. Szakasz felosztása p:q arányban (szerkesztéssel és számítással) A dőlt betűvel szedettek önálló ismétlés alapján. JÓ FELKÉSZÜLÉST!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok!

I. A gyökvonás. cd c) 6 d) 2 xx. 2 c) Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam. Kedves 10. osztályos diákok! Kedves 10. osztályos diákok! Szakaszvizsgára gyakorló feladatok 10. évfolyam Közeleg a szakaszvizsga időpontja, amelyre 019. április 1-én kerül sor. A könnyebb felkészülés érdekében adjuk közre ezt a feladatsort,

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával

Részletesebben

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek

3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek . Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek IX.

Egyenletek, egyenlőtlenségek IX. Egyenletek, egyenlőtlenségek IX. Szöveges feladatok megoldása: A szöveges feladatok esetén írjunk fel egyenletet a korábban tanultak alapján, majd a kapott másodfokú egyenletet oldjuk meg a megoldóképlet

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1 1 = 7. 5 Ezt rendezve

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

I. A négyzetgyökvonás

I. A négyzetgyökvonás Definíció: Négyzetgyök a ( a : a a 0 I. A négyzetgyökvonás a ) jelenti azt a nem negatív számot, amelynek a négyzete a. a 0 b : b b R A négyzetgyök-függvény értéke is csak nem negatív lehet. Ha a b-t abszolút

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3

c.) Mely valós számokra teljesül a következő egyenlőtlenség? 3 1. Az alái feladatok egyszerűek, akár fejen is kiszámíthatóak, de a piszkozatpapíron is gondolkodhat. A megoldásokat azonan erre a papírra írja! a.) Írja fel egy olyan egész együtthatós másodfokú egyenlet

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van!

Gyökvonás. Másodfokú egyenlet. 3. Az egyenlet megoldása nélkül határozd meg, hogy a következő egyenleteknek mennyi gyöke van! 1. Melyik a nagyobb? a) 6 5 vagy 5 7 b) vagy 11 10 vagy Gyökvonás 5 11 vagy 6 8 55 e) 7 vagy 60 16 1. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket! a) 7 18 b) 1 5 75 8 160 810 650 8a 5 a 7a e) 15a

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal: Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VIII. 1. Melyik az a szám, amelynek a felét és az ötödét összeszorozva, a szám hétszeresét kapjuk? Legyen a keresett szám:. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet:

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010. Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Kisérettségi feladatsorok matematikából

Kisérettségi feladatsorok matematikából Kisérettségi feladatsorok matematikából. feladatsor I. rész. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) Ha két egész szám összege páratlan, akkor a szorzatuk páros. b)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

Kisérettségi feladatgyűjtemény

Kisérettségi feladatgyűjtemény Kisérettségi feladatgyűjtemény Halmazok 1. Egy fordítóiroda angol és német fordítást vállal. Az irodában 50 fordító dolgozik, akiknek 70%-a angol nyelven, 50%-a német nyelven fordít. Hány fordító dolgozik

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz Halmazok 1. Feladat. Adott négy halmaz: az alaphalmaz, melynek részhalmazai az A, a B és a C halmaz: U {1, 2,,..., 20}, az A elemei a páros számok, a B elemei a hárommal oszthatók, a C halmaz elemei pedig

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika

Hasonlóság. kísérleti feladatgyűjtemény POKG 2015. 10. osztályos matematika Hasonlóság kísérleti feladatgyűjtemény 10. osztályos matematika POKG 2015. Hasonló háromszögek oldalaránya 0. Keressük meg az alábbi háromszögek összetartozó oldalpárjait és arányossággal számítsuk ki

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Geometriai feladatok, 9. évfolyam

Geometriai feladatok, 9. évfolyam Geometriai feladatok, 9. évfolyam Szögek 1. Nevezzük meg az ábrán látható szögpárokat. Mekkora a nagyságuk, ha α =52 o fok? 2. Mekkora az a szög, amelyik a, az egyenesszög 1/3-ad része b, pótszögénél 32

Részletesebben

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny 9. osztály 1. feladat: Oldjuk meg a természetes számok halmazán az 1 1 1 egyenletet? x y 009 Kántor Sándor (Debrecen). feladat: B Az ABCD deltoidban az A és C csúcsnál derékszög van, és a BD átló 1 cm.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek Gyakorló feladatok. Készítette: Porkoláb Tamás. Milyen p valós paraméter esetén lesz az alábbi másodfokú egyenlet egyik gyöke 5?

Másodfokú egyenletek Gyakorló feladatok. Készítette: Porkoláb Tamás. Milyen p valós paraméter esetén lesz az alábbi másodfokú egyenlet egyik gyöke 5? Másodfokú egyenletek Gyakorló feladatok Készítette: Porkoláb Tamás Gyökök Milyen p valós paraméter esetén lesz az alábbi másodfokú egyenlet egyik gyöke? 3 ( p ) = Milyen p paraméter esetén lesz a következı

Részletesebben

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6

Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 Érettségi feladatok: Síkgeometria 1/6 2005. május 10. 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA

Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Függvények határértéke, folytonossága FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, SZÉLSŐÉRTÉK FELADATOK MEGOLDÁSA Alapvető fogalmak: Függvény fogalma Függvény helyettesítési értéke (függvényérték) Függvény grafikonja A

Részletesebben

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Matematika 7. osztály

Matematika 7. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály V. rész: Egyenletek Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék V. rész:

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/5 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

2014. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 11. évfolyam

2014. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 11. évfolyam 01. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat

Részletesebben

Matematika kisérettségi

Matematika kisérettségi Matematika kisérettségi 2010. május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3.

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét.

(d) a = 5; c b = 16 3 (e) b = 13; c b = 12 (f) c a = 2; c b = 5. Számítsuk ki minden esteben a háromszög kerületét és területét. Euklidész tételei megoldások c = c a + c b a = c c a b = c c b m c = c a c b 1. Számítsuk ki az derékszögű ABC háromszög hiányzó oldalainak nagyságát, ha adottak: (a) c a = 1,8; c b =, (b) c = 10; c a

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Síkgeometria 1) Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! a) A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító Azonosító: ME-III.1./1 Változatszám: 2 Érvényesség 2013. 09. 01. kezdete: Oldal/összes: 1/7 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK- DC-2013 MATEMATIKA

Részletesebben

PYTAGORIÁDA. 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó?

PYTAGORIÁDA. 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó? Az iskolai forduló feladatai 2006/2007-es tanév Kategória P 3 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó? 2. Számítsd ki: 19 18 + 17 16 + 15 14 =

Részletesebben

Hasonlóság 10. évfolyam

Hasonlóság 10. évfolyam Hasonlóság Definíció: A geometriai transzformációk olyan függvények, melyek értelmezési tartománya, és értékkészlete is ponthalmaz. Definíció: Két vagy több geometriai transzformációt egymás után is elvégezhetünk.

Részletesebben

A kör. A kör egyenlete

A kör. A kör egyenlete A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +

Részletesebben

Bartha Gábor feladatjavaslatai az Arany Dániel Matematika Versenyre

Bartha Gábor feladatjavaslatai az Arany Dániel Matematika Versenyre Bartha Gábor feladatjavaslatai az Arany Dániel Matematika Versenyre Kérem, hogy a megoldásokat elektronikus (lehetőleg doc vagy docx) formában is küldjétek el a következő e- mail címre: balgaati@gmail.com

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Koordináta geometria III.

Koordináta geometria III. Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r

Részletesebben

5. feladatsor megoldása

5. feladatsor megoldása megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180.

Részletesebben

2009. májusi matematika érettségi közép szint

2009. májusi matematika érettségi közép szint I 1.feladat Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! 2 x 2 +13x +24=0 2.feladat Számítsa ki a 12 és 75 számok mértani közepét! 3.feladat Egy négytagú csoportban minden tagnak pontosan két

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok )

Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok ) Koordinátageometriai gyakorló feladatok I ( vektorok./ Határozd meg az AB szakasznak azt a pontját, amely a szakaszt : ha A ( ; és a B ( ; 8!./ Adott az A ( 3 ; 5 és a ( ; 6 B pont. Számítsd ki az AB vektor

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm

HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK. 5 cm 3 cm. 2,4 cm HASONLÓSÁGGAL KAPCSOLATOS FELADATOK Egyszerű, hasonlósággal kapcsolatos feladatok 1. Határozd meg az x, y és z szakaszok hosszát! y cm cm z x 2, cm 2. Határozd meg az x, y, z és u szakaszok hosszát! x

Részletesebben

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK MATEMATIKA TÉMAKÖRÖK 11. évfolyam 1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK 1.1. HALMAZOK 1.1.1. Halmazok megadásának módjai 1.1.2. Halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges,

Részletesebben

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira:

Koordinátageometria. , azaz ( ) a B halmazt pontosan azok a pontok alkotják, amelynek koordinátáira: 005-0XX Emelt szint Koordinátageometria 1) a) Egy derékszögű háromszög egyik oldalegyenese valamelyik koordinátatengely, egy másik oldalegyenesének egyenlete x + y = 10, egyik csúcsa az origó. Hány ilyen

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2013. április 8. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. Jelöljük x-szel az adott hónapban megkezdett 100 kb-s csomagok számát. Az első szolgáltatónál

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x

A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x 10. osztály:nevezetes középértékek Összeállította:Keszeg ttila 1 1 számtani közép efiníció 1. (Két nemnegatív szám számtani közepe) Két nemnegatív szám számtani közepének a két szám összegének a felét

Részletesebben

Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló

Megyei matematikaverseny évfolyam 2. forduló Megyei matematikaverseny 0. 9. évfolyam. forduló. Mennyi a tizenkilencedik prím és a tizenkilencedik összetett szám szorzata? (A) 00 (B) 0 (C) 0 (D) 04 (E) Az előző válaszok egyike sem helyes.. Az 000

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás: Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével

Részletesebben

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2

Pitagorasz-tétel. A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! 2 2 2 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Pitagorasz-tétel A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy

Részletesebben

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész Pataki János, november Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november I rész feladat Oldja meg az alábbi egyenleteket: a) log 7 log log log 7 ; b) ( )

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a szinusz- és koszinusztétel témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár, 010.

Részletesebben

Elérhető pontszám: 30 pont

Elérhető pontszám: 30 pont MEGOLDÓKULCS: Elérhető pontszám: 30 pont Dr. Enyedy Andor Református Általános Iskola, Óvoda és Bölcsőde 3450 Mezőcsát Szent István út 1-. 5.osztály DÖNTŐ 016.március 18. 1. Írj a számok közé megfelelő

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök

Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök Javítóvizsga témakörök, gyakorló feladatok 13. i osztály Témakörök I. Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok Állítás (igazságérték), állítás tagadása, állítás megfordítása Halmazok

Részletesebben

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója?

Feladatok. 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? Feladatok 1. a) Mekkora egy 5 cm oldalú négyzet átlója? A háromszög derékszögű, ezért írjuk fel a Pitagorasz-tételt! e 5 5 50 e 50 7,07 cm b) Mekkora egy a oldalú négyzet átlója? e a a a e a. Egy négyzet

Részletesebben

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR

VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR VERSENYFELADATOK 5 12. évfolyam részére I. FELADATSOR 5. osztály 1. Az ötödik osztályban 13 fiúból négy szemüveges. A lányok harmada visel szemüveget. Összesen nyolc szemüveges van az osztályban. Mennyi

Részletesebben