Matematika kisérettségi

Átírás

1 Matematika kisérettségi május 11. I. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 30 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot használhatja, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 4. A feladatok végeredményét az erre a célra szolgáló keretbe írja, a megoldást csak akkor kell részleteznie, ha erre a feladat szövege utasítást ad! 5. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja. Az ábrákon kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 6. Minden feladatnál csak egy megoldás értékelhető. Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 7. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon! 8. Munkája végeztével adja meg a tisztázati és piszkozati pótlapok számát az alábbi táblázat kitöltésével! Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati

2 1. Mivel egyenlő? (A halmazt jelöl.) (a) A (b) A A Név:...osztály:... I. rész (a) kifejezés: (b) kifejezés: 2. Egy szám felének 75%-a 24. Melyik ez a szám? Ez a szám a: 2 pont 3. A Hold sugara 3 11 része a Föld sugarának. Hányad része a térfogata a Földének? A Hold térfogata a Földének... része 2 pont 4. Egy Ft-ba kerülő termék árát előbb 15%-kal emelték, majd - mivel így nagyon keveset tudtak belőle eladni - csökkentették 15%-kal. Mennyibe kerül most? Állítását számítással indokolja! A termék ára most:

3 5. Melyik igaz, melyik hamis? (a) Minden másodfokú egyenletnek legfeljebb két valós gyöke van. (b) A háromszög bármely két szögének összege nagyobb a harmadik szögénél. (c) Minden trapéz konvex. (a) (b) (c) 6. Mekkorák a szögei annak a háromszögnek, amelyet egyik súlyvonala egy szabályos és egy egyenlő szárú háromszögre bont? Állítását indokolja! 3 pont A háromszög szögei: 7. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy szabályos hatoldalú dobókockával prímszámot dobunk? Válaszát indokolja! Válasz: 8. Egy összejövetelen 5 fiú és 5 lány vesz részt. A táncoló pároknak hányféle összetétele lehetséges, ha mindenki egyszerre táncol, és a lányok egymással illetve a fiúk egymással nem táncolnak? Válasz: 2 pont

4 9. Igazolja a következő állítást: (a b jelentése: a osztója b-nek) Gondolatmenetét részletesen fejtse ki! 10 ( ) 3pont 10. A valós számoknak melyik az a legbővebb részhalmaza, amelyen a következő kifejezés értelmezhető? Állítását indokolja! 2 3x 1 3pont 11. A következő hozzárendelések közül melyek adnak meg egyenes és melyek fordított arányosságot? a) x 2x 1 b) f(x) = 3 x c) x 4x d) g(x) = 1 x + 2 Egyenes arányosság: Fordított arányosság: 12. Mely valós számpárok elégítik ki a következő egyenletrendszert? Megoldásának ellenőrzéséért most nem jár pont. Állítását indokolja! x 2y = 3 3x + 2y = 5 Megoldás: 2 pont

5 Matematika kisérettségi május 11. II. Időtartam: 90 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati

6

7 II. rész Fontos tudnivalók 1. A feladatok megoldására 90 percet fordíthat, az idő elteltével a munkát be kell fejeznie. 2. A megoldások sorrendje tetszőleges. 3. A B részben kitűzött feladatok közül csak kettőt kell megoldania. A nem választott feladat sorszámát írja be a dolgozat befejezésekor az alábbi téglalapba! Ha a javító tanár részére nem derül ki egyértelműen, hogy melyik feladat értékelését nem kéri, akkor a 18. feladatra nem kap pontot. 4. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet és bármelyik négyjegyű függvénytáblázatot használhatja, más elektronikus vagy írásos segédeszköz használata tilos! 5. A megoldások gondolatmenetét minden esetben írja le, mert a feladatra adható pontszám jelentős része erre jár! 6. Ügyeljen arra, hogy a lényegesebb részszámítások is nyomon követhetőek legyenek! 7. A feladatok megoldásánál használt tételek közül az iskolában tanult, névvel ellátott tételeket (pl. Pitagorasz-tétel, magasság-tétel) nem kell pontosan megfogalmazva kimondania, elég csak a tétel megnevezését említenie, de alkalmazhatóságát röviden indokolnia kell. 8. A feladatok végeredményét (a feltett kérdésre adandó választ) szöveges megfogalmazásban is közölje! 9. A dolgozatot tollal írja, az ábrákat ceruzával is rajzolhatja. Az ábrákon kívül ceruzával írt részeket a javító tanár nem értékelheti. Ha valamilyen megoldást vagy megoldásrészletet áthúz, akkor az nem értékelhető. 10. Minden feladatnál csak egy megoldás értékelhető. Több megoldási próbálkozás esetén egyértelműen jelölje, hogy melyiket tartja érvényesnek! 11. Kérjük, hogy a szürkített téglalapokba semmit ne írjon!

8 II. A 13. (a) Oldja meg grafikusan az alábbi egyenlőtlenséget: 2 x > 1 x. (b) Oldja meg az egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: 2 + 3x x 5 0. (c) Adja meg a fenti két egyenlőtlenség megoldáshalmazainak metszetét intervallumjelöléssel! (a) 5 pont (b) 5 pont (c) 2 pont Ö 12 pont y x

9

10 14. A fizika órai tanulókísérlet egy tömegmérési feladat volt. A mérést 19 tanuló végezte el. A következő adatokat kapták: 37g, 33g, 37g, 36g, 35g, 36g, 37g, 40g, 38g, 33g, 37g, 36g, 35g, 35g, 38g, 37g, 36g, 35g, 37g. (a) Készítse el a mért adatok gyakorisági táblázatát! (b) Mennyi a mérési adatok átlaga 1 tizedesjegyre kerekítve? (c) Mekkora a kapott eredmények mediánja, módusza? (d) Készítsen oszlopdiagramot a mérési eredményekről! tengelyeken ábrázolt mennyiségeket! Egyértelműen jelölje a (a) 3 pont (b) 3 pont (c) 2 pont (d) 4 pont Ö 12 pont

11

12 15. Egy derékszögű háromszög átfogójához tartozó magasság az átfogót egy 4 cm-es és egy 12 cm-es darabra osztja. (a) Készítsen ábrát! Jelölje rajta a feladatban szereplő ismert és ismeretlen menynyiségeket! (b) Mekkora az átfogóhoz tartozó magasság? (c) Mekkorák a befogók? (d) Mekkora a háromszög legkisebb szöge? Állításait indokolja részletesen! Válaszait egy tizedesjegy pontossággal adja meg! (a) 3 pont (b) 3 pont (c) 4 pont (d) 2 pont Ö 12 pont

13

14 II. B A feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be az 1. oldalon az üres négyzetbe! 16. Egy téglalap alapterületű étkező hosszúsága 5,25 m, szélessége 2,75 m. (a) A tervrajzon a hosszabbik oldalnak 20 cm felel meg. Milyen hosszú a tervrajzon a rövidebbik oldal? (Pontos értékkel válaszoljon!) (b) Az étkezőt egybevágó téglalap alakú járólapokkal szeretnénk lefedni úgy, hogy járólapokat nem vágunk el. A járólapok oldalai egész cm hosszúak, a lapok közötti hézagoktól eltekintünk. Az étkező hosszabb és rövidebb oldala mentén ugyanannyi lapot szeretnénk lerakni. Add meg annak a járólapnak a méreteit, amelyből ilyen módon a legtöbbre van szükség! (c) Legalább hány darab egész cm oldalhosszúságú négyzetlappal burkolható le az étkező? (a) 4 pont (b) 7 pont (c) 6 pont Ö 17 pont

15

16 A feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be az 1. oldalon az üres négyzetbe! 17. (a) Adja meg a következő egyenlet megoldáshalmazát! 2x = x (b) Az x 2 bx 15 = 0 másodfokú egyenlet egyik megoldása x 1 = 3. (i) Határozd meg a b paraméter értékét! (ii) Oldd meg az egyenletet! (iii) Add meg az x 2 bx 15 < 0 egyenlőtlenség egész megoldásait! (a) 8 pont (b) (i) 2 pont (ii) 3 pont (iii) 4 pont Ö 17 pont

17

18 A feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania, a kihagyott feladat sorszámát írja be az 1. oldalon az üres négyzetbe! 18. Egy rejtvényújságban egymás mellett két, szinte azonos rajz található, amelyek között 23 apró eltérés van. Ezek megtalálása a feladat. Először Ádám és Tamás nézték meg figyelmesen az ábrákat: Ádám 11, Tamás 15 eltérést talált, de csak 7 olyan volt, amelyet mindketten észrevettek. (a) Hány olyan eltérés volt, amelyet egyikük sem vett észre? Közben Margó is elkezdte számolni az eltéréseket, de ő sem találta meg az összeset. Mindössze 4 olyan volt, amelyet mind a hárman megtaláltak. Egyeztetve kiderült, hogy a Margó által bejelöltekből hatot Ádám is, kilencet Tamás is észrevett, és örömmel látták, hogy hárman együtt az összes eltérést megtalálták. (b) A feladat szövege alapján töltse ki az alábbi halmazábrát arról, hogy ki hányat talált meg! Ádám Tamás Margó (c) Fogalmazza meg a következő állítás tagadását! Margó minden eltérést megtalált. (d) Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy eltérést véletlenszerűen kiválasztva, azt legalább ketten megtalálták? (a) 4 pont (b) 7 pont (c) 2 pont (d) 4 pont Ö 17 pont

19

20 II./A rész a feladat sorszáma elért pontszám összesen maximális pontszám II.B rész 17 nem választott feladat ÖSSZESEN 70 elért pontszám maximális pontszám I. rész 30 II. rész 70 MINDÖSSZESEN 100