Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180

Átírás

1 Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Bizonyítás: legyenek az ABC háromszög belső szögei α, β, γ. Húzzunk a C csúcson át párhuzamost AB-vel. A C csúcsnál keletkezett egyenesszöget a háromszög oldalai három szögre bontják. Az egyik az A csúcsnál, a másik a B csúcsnál lévő szög váltószöge, a középső pedig a γ. Így a C csúcsnál lévő egyenesszög egyenlő a háromszög belső szögeinek összegével: α + β + γ = 180 Ezt kellett bizonyítani.

2 Mérlegelv I, II. I.: Korábban egyes feladatokat úgy oldottunk meg, hogy képzeletben egy kétserpenyős, egyenlő karú mérlegre helyeztük a feladatban szereplő dolgokat. Azt az egyenletmegoldási módszert, amelynek során az egyenlet mindkét oldalával ugyanazt a műveletet hajtjuk végre, mérlegelvnek nevezzük. A mérlegelv végrehajtása során a következő átalakításokat végezhetjük: Az egyenlet mindkét oldalához hozzáadhatjuk ugyanazt a számot; az ismeretlen ugyanannyiszorosát. Az egyenlet mindkét oldalából kivonhatjuk ugyanazt a számot; az ismeretlen ugyanannyiszorosát. Az egyenlet mindkét oldalát megszorozhatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal. Az egyenlet mindkét oldalát eloszthatjuk ugyanazzal a 0-tól különböző számmal. Mindig úgy alakítjuk át az egyenletet, hogy végül az egyik oldalon az ismeretlen, a másikon pedig egy szám álljon. II.: A mérlegelv alkalmazása során gyakran használjuk a betűs kifejezéseknél megismert átalakításokat. Az egyenletek megoldását célszerű azzal kezdeni, hogy az egy oldalon szereplő egynemű kifejezéseket összevonjuk, vagyis rendezzük az egyenletet. Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával rendezzük az egyenletet; a mérlegelv vagy a lebontogatás alkalmazásával megoldjuk az egyenletet; ellenőrizzük a megoldást.

3 1. Oldjuk meg az egyenleteket a mérlegelv segítségével! 3x+4=x+1. Andi és Bandi nagyon szerettek dámázni. Egyszer egy héten át statisztikát is vezettek a játékaik eredményéről. A hét végére kiderült, hogy Andinak 7-tel több győzelme volt, mint Bandinak. Hány játszmát nyert Bandi, ha összesen 3 játékot játszottak, és döntetlen nem volt? M.o.: Legyen x Bandi nyertes játszmáinak a száma Bandi Andi x x + 7 Egyenlettel felírva: x + (x + 7) = 3 x = 8 Andi győzelmeinek a száma tehát = 15 lenne. Lehetséges-e? Ha összesen 3 játszma volt, és ebből 8-at nyert Bandi, akkor 3 8 = 15 győzelme volt Andinak, és ez valóban 7-tel több, mint Bandié.

4 A háromszög köré írható kör középpontja az oldalfelező merőlegesek metszéspontja:

5 Hatványműveletek: Definíció: jelöljön a egy természetes számot, n pedig legyen pozitív egész szám. Ekkor a n-dik hatványának nevezzük azt az n tényezős szorzatot, melynek minden tényezője a. Jele: a n = a a a a (n db tényező) Az a-t a hatvány alapjának, az n-et a kitevőnek nevezzük. Pl: 1. Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük! = = ; = 3. Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy a közös alapot a kitevők különbségére emeljük, mégpedig a számláló kitevője mínusz a nevező kitevője! Pl.: : = 5 = = ; 3 : 3 = 3 ; 5 = 5 3. Hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük! Pl.: ( ) = 7 = 7 ; ( ) = ; ( ) = 5 4. Azonos kitevőjű hatványokat úgy szorzunk, hogy az alapok szorzatát a közös kitevőre emeljük! Pl.: 3 = ( 3) = ( 3) ( 3) = 6 6 = 6 = Azonos kitevőjű hatványokat úgy oszthatunk, hogy az alapok hányadosát a közös kitevőre emeljük: Pl.: = = = Negatív kitevőjű hatványból reciprok segítségével csinálunk pozitív kitevőt! Pl.: 3 = ; 5 7 = ; azaz ha a kitevő a számlálóban volt negatív akkor a nevezőben lesz pozitív, illetve 3 ha nevezőben volt negatív akkor számlálóban lesz pozitív! 7. Bármely szám nulladik hatványa 1! a 0 = 1 Pl.: 5 0 = 1; ( 0,3) 0 = 1; = 1; = Bármely szám első hatványa önmaga! a 1 = a Pl.: = 8; ( 0,31) 1 = 0, 31; = Egynek bármely hatványa 1! 1 n = 1 pl: 1 3 = 1; 1 35 = 1 n nak bármely hatvány nulla! 0 = 0 n > 0 pl: 0 6 = 0; 0 1 = 0