Konvexitás, elaszticitás

Átírás

1 DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSAI Konveitás, elaszticitás Tanulási cél A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának megismerése. Motivációs példa A közgazdászok gyakran használják a derivált helyett az elaszticitást. Arra a kérdésre keressük a választ, hogy ha a termék árát megváltoztatjuk, akkor az hogy hat a termék iránti keresletre. Például, ha euroval növeljük a termék árát, akkor mennyivel változik meg a termék utáni kereslet. Azonban több szempont is létezik, amely szerint nem elegendő az árral szembeni érzékenységét a keresletnek ilyen módon mérni. Ugyanis kg kenyér árának euros növekedése nagyon jelentős, míg egy autó árának euros növekedése jelentéktelen. Célszerűbb tehát arra a kérdésre keresni a választ, hogy ha a termék árát % -kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Az így kapott számot a kereslet árelaszticitásának vagy árrugalmasságának nevezzük Egy termékből eladott mennyiséget az 0.üggvény adja meg, ahol a termék ára. Hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 000 Ft-os árát %-kal növelik? Elméleti összeoglaló KONVEXITÁS Az elsőrendű derivált előjele meghatározza a üggvény monotonitását. A másodrendű derivált előjeléből is következtetéseket vonhatunk le a üggvény görbéjének alakjáról, ebben az esetben a üggvény konveitására vonatkozóan. Deiníció: Egy intervallumon értelmezett valós üggvény konve, ha a üggvénygörbe két pontját összekötő húr a üggvénygörbe elett halad. Egy intervallumon értelmezett valós üggvény konkáv, ha a üggvénygörbe két pontját összekötő húr a üggvénygörbe alatt halad.

2 Tétel: Legyen az üggvény kétszer dierenciálható az ab, intervallumon. Az üggvény akkor és csak akkor konve az ab, -n, ha ( ) 0 az ab, intervallumon, illetve az üggvény akkor és csak akkor konkáv az ab, -n, ha ( ) 0 ab, intervallumon. az Deiníció: Legyen az üggvény olytonos az ab, intervallumon és c a, b. Ha konve ac, -n és konkáv cb, -n, vagy konkáv ac, -n és konve cb, -n, akkor c inleiós pontja az üggvénynek. Tétel: Legyen az üggvény a c hely környezetében kétszer dierenciálható. Ha a c pontban az üggvénynek inleiós pontja van, akkor (c) 0. Fontos megjegyezni, hogy a tétel megordítása nem igaz. Abból, hogy az (c) 0, még nem következik, hogy c inleiós pont., továbbá, 0 és cb, -n 0, vagy ac, -n 0 és cb, -n 0 üggvény c -ben előjelet vált, akkor c inleiós pontja az üggvénynek. Tétel: Ha az üggvény kétszer dierenciálható c -ben és (c) 0 ac -n, azaz az A enti tételek birtokában a következő módon vizsgálhatjuk majd a üggvényeket konveitás és inleiós pont szempontjából.. Megvizsgáljuk, mi a legbővebb halmaz, amelyen a üggvény értelmezhető.. Kétszer deriváljuk a üggvényt.

3 . Megoldjuk az 0 lehet. egyenletet. Ezzel megkapjuk azokat a helyeket, ahol inleiós pont 4. Az értelmezési tartományt a szakadási helyekkel és a másodrendű derivált zérushelyeivel részekre bontjuk, s az adott részeken megvizsgáljuk a derivált előjelét. Ezt például úgy hajtjuk végre, hogy mindegyik részből választunk egy számot, melyet a deriváltba behelyettesítünk. 5. Az értelmezési tartomány egyes részein a másodrendű derivált előjeléből következtetünk a konveitásra. Az utolsó két pontban leírtakat célszerű egy táblázatban összeoglalni, mert akkor tömörebben írhatjuk le az adatokat. Az inleiós pontnak van egy szemléletes jelentése is. Ha üggvény az inleiós pontja előtt és után is növekvő, akkor ez az a pont, ahol a növekedés mértéke csökkeni kezd. Ha a üggvény csökkenve halad át az inleiós pontján, akkor abban a pontban a csökkenés mértéke kezd lelassulni. Kidolgozott eladatok:. eladat Az ( ) üggvény értelmezési tartománya második deriváltja? ( ) ( )( 7) D. Hol konve az ( ) üggvény, ha Amikor egy üggvényt olyan szempontból vizsgálunk, hogy hol konve, illetve hol konkáv, akkor ugyanúgy járhatunk el, mint a növekedés és csökkenés vizsgálatánál. Ilyenkor azonban a második derivált előjelével kell oglalkoznunk. Ahol ugyanis pozitív egy üggvény második deriváltja, ott konve a üggvény, ahol pedig negatív a második derivált, ott konkáv a üggvény. Először meghatározzuk a második derivált zérushelyeit, azaz megoldjuk az ( ) 0 egyenletet. ( )( 7) 0 Egy szorzat akkor egyenlő nullával, ha valamelyik tényezője nulla, így a szorzat két egyenletre bontható. 0 vagy ( 7) 0 Ezen egyenletek megoldásai: és 7. Most hasonló táblázatot készítenünk, mint amikor növekedés és csökkenés, azaz monotonitás szempontjából vizsgáltunk üggvényt. Annyi csak a változás, hogy a második sorban nem az első, hanem a második derivált előjelét tüntetjük majd el. Természetesen az értelmezési tartományt most a második derivált zérushelyei bontják részekre, hiszen ezeken a helyeken változhat meg a második derivált előjele. Ha egyelőre csak az első sort töltjük ki, akkor táblázatunk az alábbi lesz.

4 ; 7 7 7; ; ( ) ( ) Ezután vizsgáljuk meg a második derivált előjelét az értelmezési tartomány egyes részein. Ezt végrehajthatjuk úgy, hogy mindegyik intervallumból kiválasztottunk egy számot, és azt behelyettesítjük a ( ) üggvénybe. Mivel azonban a második derivált egy szorzat, így megtehetjük azt is, hogy külön vizsgáljuk az egyes tényezők előjelét, és ebből következtetünk a szorzat előjelére. Ha a ; 7 intervallumból választunk egy számot, akkor nyilván 0, azaz a derivált első tényezője negatív. Ekkor 7 0 szintén teljesül, amiből ( 7) 0 is következik, tehát a második tényező is negatív. Két negatív szám szorzata pedig pozitív, azaz ; 7 esetén pozitív a második derivált, s ebből következően itt konve a üggvény. Hasonlóan, ha 7; intervallumból választunk egy tetszőleges számot, akkor 0 és 7 0, amiből ( 7) 0. Vagyis a szorzat egyik tényezője negatív, másik tényezője pedig pozitív, tehát ekkor negatív a második derivált. Ez azt jelenti, ezen az intervallumon konkáv a üggvény. Végül ha ; intervallumból választunk egy számot, akkor 0 és 7 0, amiből ( 7) 0. Tehát mindkét tényező pozitív, s így a második derivált is pozitív. Ennek következtében ezen az intervallumon konve a üggvény. Mivel a második derivált mindkét zérushelyében ( 7, ) megváltozik a második derivált előjele, így mindkét helyen inleiós pontja van a üggvénynek. Ezek alapján már kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is. ; 7 7 7; ; ( ) 0 0 ( ) konve inleiós konkáv inleiós konve pont pont Legvégül adjunk választ a eladat kérdésére. Amint a táblázatból látható, a üggvény konve az ; 7 ; intervallumokon. Ugyanezt úgy is írhatjuk, hogy a üggvény a és ; 7 ; halmazon konve.. eladat

5 Az ( ) üggvény értelmezési tartománya \ 0,5 (0 ) ha második deriváltja ( )? 6 (4 ) Oldjuk meg az ( ) 0 egyenletet. D. Hol konkáv az ( ) üggvény, (0 ) (4 ) 6 0 Tört csak úgy lehet zérus, ha a számlálója zérus, így egyszerűbb egyenletet kapunk. Ennek az egyenletnek a megoldása Mivel egy üggvény előjele ott is változhat, ahol a üggvény nincs értelmezve az értelmezési tartományt a szakadási helyek is részekre bontják. Tehát az értelmezési tartományt egyrészt a második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja részekre. Ha elkezdjük kitölteni a szokásos táblázatot, akkor most a következőt kapjuk. ; 0,5 0,5 0,5;0 0 0; ( ) X ( ) X Vizsgáljuk ezután az egyes részeken a második derivált előjelét. Most olyan törtünk van, melynek nevezője minden esetén pozitív, így csak a számlálót kell vizsgálnunk. A ; 0,5 intervallumom 0 0 és a nevező pozitív. Két pozitív szám hányadosa pedig pozitív, azaz ; 0,5 esetén pozitív a második derivált, s ebből következően itt konve a üggvény. A 0,5;0 intervallumom 0 0 és a nevező is pozitív. Két pozitív szám hányadosa pedig pozitív, azaz ezen az intervallunom szintén pozitív a második derivált, s ebből következően itt is konve a üggvény. Végül ha a 0; intervallumból választunk egy számot, akkor 0 0 és a nevező pozitív. Ebben az esetben a hányados negatív. Ez azt jelenti, ezen az intervallumon konkáv a üggvény. ; 0,5 0,5 0,5;0 0 0; ( ) X + 0

6 ( ) konve X konve inleiós pont konkáv A táblázatból kiolvasható, hogy a üggvény a 0; intervallumon konkáv.. eladat Az ( ) üggvény értelmezési tartománya üggvénynek, ha második deriváltja D. Hol van inleiós pontja az ( ) 6 ( ) ( 7) ( e )? Oldjuk meg az ( ) 0 egyenletet. Egy üggvénynek ugyanis ott lehet inleiós pontja, ahol a második deriváltja 0. 6 ( 7) ( e ) 0 Mivel a derivált szorzat, ezt egyszerűbb egyenletekre bontjuk. 6 ( 7) 0 vagy e 0 Az első egyenlet megoldása nyilván 7. A második egyenletet rendezzük át. Vegyük mindkét oldal logaritmusát. e 0 e ln( e ) ln Mivel a bal oldalon egy üggvény és az inverze áll egy összetételben, így ott valójában egyszerűen szerepel. A második egyenlet megoldása így 0. ln 0 Két zérushelye van tehát a második deriváltnak, az 0 és az 7. Ezek után a táblázat első sora kitölthető. ;0 0 0;7 7 7; ( ) ( )

7 Vizsgáljuk ezután a második derivált előjelét. Mivel a derivált olyan szorzat, aminek első tényezője nem vesz el negatív értéket, hiszen páros kitevőjű hatvány, így csak a második tényező előjelével kell oglalkoznunk. A ;0 intervallumon e, ezért e 0. Ekkor tehát negatív a második derivált, s itt konkáv a üggvény. A 0; 7 intervallumon e, ezért e 0. Így itt pozitív a második derivált, tehát konve a üggvény. A 7; intervallumon e, ezért e 0. Így itt is pozitív a második derivált, tehát itt is konve a üggvény. Amint látható, a második derivált zérushelyei közül az 0 helyen előjelet vált a második derivált, így itt inleiós pontja van a üggvénynek. Viszont az 7 helyen a második derivált nem vált előjelet, így itt nincs inleiós pont. Töltsük ki a teljes táblázatot. ;0 0 0;7 7 7; ( ) 0 0 ( ) konkáv inleiós konve pont A üggvénynek tehát az 0 helyen van inleiós pontja. nincs inleiós pont konve 4. eladat Adja meg a üggvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konveitás szempontjából a üggvényt! Számolja ki az inleiós pont(ok)hoz tartozó üggvényértéket! ( ) e Elsőként most is a üggvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. Mivel nevező nem lehet zérus, így ki kell kötnünk, hogy a kitevőben 0, azaz D \{0}. Állítsuk elő a üggvény második deriváltját, mert a konveitás vizsgálatához erre lesz szükségünk. Először az első derivált üggvényt határozzuk meg. Az első derivált előállításakor összetett üggvényt deriválunk. A külső üggvény az e, a belső üggvény pedig az, azaz. ( ) e e A második deriválás során a szorzatra vonatkozó szabályt használjuk.

8 ( ) e e e e e e Ilyenkor célszerű kiemelni, amit csak lehet. ( ) e 4 4 Miután a második deriváltat sikerült egyszerűbb alakra hozni, oldjuk meg az ( ) 0 egyenletet. e 0 Az első tényező nem lehet egyenlő nullával, hiszen az eponenciális üggvény csak pozitív értékeket vesz el. A második tényező szintén nem lehet nulla. Ennek következtében elég csak a harmadik tényezőt vizsgálnunk. Mivel 0 0, ezért az egyenlet a következő alakra hozható. 0 Ennek megoldása pedig 0,5. Ezután elkészíthetjük a táblázatot, kitöltve az első sort. Az értelmezési tartományt egyrészt a második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja részekre. ; 0,5 0,5 0,5;0 0 0; ( ) X ( ) X Vizsgáljuk ezután a második derivált előjelét a különböző részeken. Vegyük igyelembe, hogy az e csak pozitív értékeket vehet el. Töltsük ki a teljes táblázatot. ; 0,5 0,5 0,5;0 0 0; ( ) 0 X ( ) konkáv inleiós konve X konve pont

9 Ezután már csak az inleiós ponthoz tartozó üggvényértéket kell meghatároznunk. Ehhez helyettesítsük be a üggvénybe az 0,5 értéket. 5) 0,5 ( 0, e e e 5. eladat Adja meg a üggvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konveitás szempontjából a üggvényt! Számolja ki az inleiós pont(ok)hoz tartozó üggvényértéket! ( ) ln Elsőként most is a üggvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. A logaritmus argumentuma kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés 0, azaz D 0;. Először az első derivált üggvényt határozzuk meg. Az összeg második tagja egy szorzat (itt a szorzatra vonatkozó szabályt alkalmazzuk). ( ) ln ln A második derivált előállítása: ( ) 6 Oldjuk meg az ( ) 0 egyenletet. 6 0 Mivel az értelmezési tartományból tudjuk, hogy csak pozitív szám lehet, ezért az egyenlet a következő alakra hozható: 6 0 Ennek az egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása. Ugyanis most csak pozitív szám lehet, akkor és 6 is csak pozitív lehet. Ez pedig azt jelenti, hogy az üggvénynek nincs inleiós pontja. A 0; intervallumon 6 0, tehát a üggvény ezen az intervallumon konve. 6. eladat Adja meg a üggvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konveitás szempontjából a üggvényt! Számolja ki az inleiós pont(ok)hoz tartozó üggvényértéket! ( ) ln( )

10 Először az értelmezési tartományt kell meghatároznunk. Tudjuk, hogy a logaritmus argumentuma kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés 0. Ez az egyenlőtlenség bármely valós számra ennáll, mivel a polinomnak nincs zérushelye (diszkrimináns negatív). Tehát a üggvény minden valós számra értelmezhető, D. Először az elsőrendű deriváltat számoljuk ki. Az összetett üggvény deriválási szabályát elhasználva kapjuk, hogy ( ) ( ) A másodrendű derivált kiszámolásánál a hányadosszabályt alkalmazva kapjuk, hogy ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) Alkalmazva, hogy a tört csak úgy lehet nulla, ha a számlálója nulla, így a következő egyszerűbb egyenletet kapjuk. 4 0 ( ) zérushelyei: ;0 Készítsük el a táblázatot, majd vizsgáljuk ezután az egyes részeken a második derivált előjelét. Most olyan törtünk van, melynek nevezője minden esetén pozitív, így csak a számlálót kell vizsgálnunk. ; ;0 0 0; ( ) ( ) konkáv inleiós konve inleiós konkáv pont pont Még az inleiós pontokhoz tartozó üggvényértékeket kell meghatároznunk. ( ) ln 0,69 (0) ln 0,69 Elméleti összeoglaló ELASZTICITÁS A közgazdászok gyakran használják a derivált helyett az elaszticitást.

11 Arra a kérdésre keressük a választ, hogy ha a termék árát megváltoztatjuk az hogy hat a termék iránti keresletre. Például, ha euroval növeljük a termék árát, akkor mennyivel változik meg a termék utáni kereslet. Azonban több szempont is létezik, amely szerint nem elegendő az árral szembeni érzékenységét a keresletnek ilyen módon mérni. Ugyanis kg kenyér árának euros növekedése nagyon jelentős, míg egy autó árának euros növekedése jelentéktelen. Célszerűbb tehát arra a kérdésre keresni a választ, hogy ha a termék árát % - kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Az így kapott számot a kereslet árelaszticitásának vagy árrugalmasságának nevezzük. Az elaszticitás megmutatja, hogy a üggetlen változó értékét %-kal növelve, hány százalékkal változik a üggő változó. Az elaszticitást a következő módon tudjuk deiniálni: Kidolgozott eladatok: E ( ). eladat Határozza meg az ( ) üggvény elaszticitását! Első lépésként határozzuk meg az ( ) üggvényt. 4 9 ( ) 4 E ( ) 4 4. eladat 00 Egy termék iránti keresletet az ártól üggően az 8 üggvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 00 Ft-os árát %-kal emelik? Első lépésként határozzuk meg az ( ) üggvényt.

12 ( ) 00 8 E ( ) Az elaszticitás azt mutatja meg, hogy ha a termék árát % -kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Most a termék ára 00 Ft, tehát 00 E 00 0,965 0, A kereslet tehát 0,96 százalékkal csökken.. eladat 00 Egy termék iránti keresletet az ártól üggően az 8 üggvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 00 Ft-os árát 4%-kal csökkentik? Az előző eladat eredményeit elhasználva tudjuk, hogy E 00 0,96. Az elaszticitás az %-kos növeléshez tartozó változást írja le, a 4 százalékkal való csökkentést az elaszticitás ( 4)-szerese adja. E ,96,84 Ha a termék ára 4 százalékkal csökken, akkor a kereslet,84 százalékkal nő. 4. eladat 4000 Egy termékből eladott mennyiséget az 0 üggvény adja meg, ahol a termék ára. Hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 000 Ft-os árát %-kal növelik?

13 Az elaszticitás segítségével tudjuk meghatározni, hogy hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 000 Ft-os árát %-kal növelik. Első lépésként határozzuk meg az ( ) üggvényt ( ) E ( ) 0 A termék ára 000 Ft, tehát 4000 E 000 0,857 0, Az elaszticitás az %-kos növeléshez tartozó változást írja le, akkor a százalékkal való növekedést az elaszticitás -szerese adja. E 000 0, 9 0,58 Ha a termék ára százalékkal nő, akkor a kereslet 0,58 százalékkal csökken.