DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

Átírás

1 BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük, ha ekvivalens átalakításokkal az y ' f y g alakra hozható, ahol f() és g() egy adott [a, b] intervallumon folytonos függvények. Ha g() = 0 tetszőleges [a, b] esetén, tet a differenciálegyenlet jobb oldala azonosan zérus, akkor az egyenletet homogén lineárisnak nevezzük, ellenkező esetben az egyenlet inhomogén lineáris. 1

2 FIZIKAI PROBLÉMA AMELY ELSŐRENDŰ LINEÁRIS EGYENLETRE VEZET Határozzuk meg a C kapacitású kondenzátor Q töltésének időfüggését, ha az áramkörben R ohmikus ellenállás és U 0 sinωt váltakozó feszültség forrás van. A huroktörvény szerint: Q t I t R U0 sin t; C Qt Qt R U0 sin t; C 1 U0 Qt Qt sin t; RC R AZ ELSŐRENDŰ HOMOGÉN LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET MEGOLDÁSA A differenciálegyenletet kielégíti az y() = 0, [a, b] azonosan nulla függvény. Ezt nevezzük triviális megoldásnak. A nemtriviális megoldás előállításához vegyük észre, hogy a homogén lineáris differenciálegyenlet egy speciális szétválasztható változójú egyenlet y ' f y 0; y ' f y; dy f y A változókat szétválasztva, majd minkét oldalt integrálva a következőt kapjuk 1 dy y

3 A MEGOLDÓKÉPLET Elvégezve az integrálást ln y ln C ; C R \ 0 ln y ln e ln C ; ln y ln Ce ; végül kifejezve y-t kapjuk a homogén lineáris differenciálegyenlet általános megoldását, amely C = 0 esetben is megoldása az egyenletnek y ( ) C e ; C R PÉLDÁK Oldjuk meg az alábbi elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenleteket. 1. y y 0;. y y 0; 3

4 FELADATOK MEGOLDÁSA 1. y y 0; y y 0; f ; ln ln y ( ) C e C e C e C e C ;. y y 0; f ; y ( ) C e C e ; AZ INHOMOGÉN LINEÁRIS DIFFERENCIÁL- EGYENLET MEGOLDÁSÁNAK SZERKEZETE Alaptétel: Tegyük fel, hogy y () az inhomogén lineáris egyenlethez tartozó homogén lineáris egyenlet általános megoldása, y () pedig az inhomogén egyenlet egy tetszőleges partikuláris megoldása. Ekkor az függvény az inhomogén lineáris differenciálegyenlet megoldása, és minden megoldás előállítható ebben az alakban. Ezt a megoldást nevezzük az inhomogén lineáris egyenlet általános megoldásának. iá: inhomogén általános : homogén általános y y y iá : inhomogén partikuláris 4

5 AZ INHOMOGÉN EGYENLET EGY PARTIKULÁRIS MEGOLDÁSÁNAK ELŐÁLLÍTÁSA Két esetet vizsgálunk 1. Tegyük fel, hogy a hom. lin. de. állandó együtthatójú, azaz f() a, a R. y ' a y g ; Ekkor alkalmazható a próbafüggvény módszere vagy kísérletező módszer.. Az általános esetben, amikor az egyenlet nem állandó együtthatójú, a Lagrange-tól (1869) származó Állandó variálásának módszere szolgáltatja a megoldást. A PRÓBAFÜGGVÉNY MÓDSZERE Az y ' a y g ; ar egyenlet egy partikuláris megoldását úgy keressük, hogy egy olyan próbafüggvényt választunk, amely hasonlít a jobboldali g() függvényre és tartalmaz szabad paramétereket. Ez utóbbiakat az egyenletbe történő helyettesítéssel határozzuk meg. Pl.: g() 3sin próbafüggvény Asin + Bcos 5e -3 Ae sh5 A + B + C Ash5 + Bch5 (vagy) 3sh5 Ae 5 + Be -5 (Részletesen ld. a másodrendű egyenleteknél!) 5

6 AZ ÁLLANDÓ VARIÁLÁSÁNAK MÓDSZERE Az y () partikuláris megoldást ugyanolyan alakban keressük, mint a homogén lineáris egyenlet általános megoldása, csak az abban szereplő C konstans helyére egy C() függvényt írunk. y ( ) C e Kérdés : melyik az a C() függvény, amellyel ez az y () kielégíti az inhomogén differenciálegyenletet. A C()-et úgy határozzuk meg, hogy ezt függvényt behelyettesítjük az inhomogén egyenletbe. Elvégezve a deriválást és a helyettesítést, az alábbi egyenletet kapjuk. C e C e f f C e g f ( ) f ( ) ( ) f Vegyük észre: a középső két tag összege zérus, tet az egyenlet bal oldalán csak az a tag marad meg, amelyik a C () derivált függvényt tartalmazza: C e g Ezt átrendezve C g e majd integrálva kapjuk a C() függvényt: C g e Innen az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása y g e e 6

7 PÉLDÁK Oldjuk meg az alábbi elsőrendű lineáris differenciálegyenleteket: 5 1. y 3y e ;. y y, y 0 1; 3. y 1 ln y; 4. y sin y cos 1, y 0; e y e y e e ; FELADATOK MEGOLDÁSA 5 1. y 3y e ; 1. lépés a homogén egyenlet megoldása: y 3y 0; f 3; 3 3 y ( ) C e Ce ;. lépés az inhomogén partikuláris megoldás előállítása: y ( ) C e ; y C e Ce 3 ; 5 y 3y C e Ce 3 3C e e ; 1 1 Ce e ; C e ; C e ; y ( ) e e e Az általános megoldás: y Ce e ; 7

8 FELADATOK MEGOLDÁSA 3. y y y y y y, 0 1;, 0 1; 1. lépés a homogén egyenlet megoldása: y y 0; f ; y C e C e Ce ( ) ;. lépés az inhomogén partikuláris megoldás előállítása: y C e y Ce Ce ( ) ; 3 ; 3 3 Ce ; C e ; Parciális integrálással kapjuk, hogy: 3 1 ; 0 ; y y Ce Ce C e C e e 1 e y ( ) 1 e e 1 Az általános megoldás: y Ce y Ce iá 0 iá A kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás: y e 1 ; 0 1 C1 1; C ; FELADATOK MEGOLDÁSA Az előzőekben látott módszerekkel igazolja, hogy a következő differenciálegyenletek megoldása az alábbiakban megadott függvény: 3. y 1 ln y; Az általános megoldás: yiá C ln ln ; e y e y e e ; 1 Az általános megoldás: yiá C e 1 e 1 ; 3 5. Megoldás az előadáson! 8