5. Differenciálegyenlet rendszerek

Átírás

1 5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció: Legyen x() az (5) megoldása Az (n + ) dimenziós érben a = x = x(), ahol I egyenleű görbé az (5) differenciálegyenle rendszer inegrálgörbéjének (megoldásgörbéjének), az x = x() egyenleű (n dimenziós érben) a rajekóriájának (pályagörbéjének) nevezzük Ha az (5)-hez hozzávesszük az x( ) = x kezdei feléeleke, akkor kezdeiérék feladaról beszélünk 5 Lineáris rendszerek Az (5) rendszer speciális esee a lineáris differenciálegyenle rendszer, ömören: d = A()x + f() (5) Ha f() akkor homogén differenciálegyenle rendszerről beszélünk d = A()x (53) Téel: Legyenek a ik () és f i () folyonos függvények az I inervallumon Legyen I és x R n, akkor a = A()x() + f() d x( ) = x kezdeiérék-problémának léezik egyérelmű megoldása 8

2 Definíció: Az I inervallumon érelmeze x, x,, x n vekor-skalár függvények Wronski deerminánsának nevezzük a x x x n W(x, x,, x n x x x n ) = x n x n x n n deermináns Téel: Ha x, x,, x n lineárisan összefüggő rendszer az (a, b) inervallumon akkor W(x, x,, x n ) [ Megjegyzés: A éel megfordíása nem igaz! Tekinsük az x n () = x () = [ R függvényeke, és ezek Wronski deerminánsá W(x, x ) = = Viszon x, x függvények lineárisan függelenek a (, ) inervallumon Definíció: Az (53) rendszer x, x,, x n megoldásainak halmazá alaprendszernek nevezzük, ha lineárisan függelenek Téel: (53)-nak van alaprendszere i= Téel: (53) bármely x() megoldása előállíhaó az alaprendszerben szereplő megoldások lineáris kombinációjakén, és ez az előállíás egyérelmű Vagyis x() = n c i x i (), és ez az n paraméeres függvényserege a (53) rendszer álalános megoldásának nevezzük Definíció: Ha {x, x,, x n } (53) alaprendszere, akkor az X() = [x (), x (),, x n () márix-függvény alapmárixnak nevezzük Megjegyzés: Alapmárix reguláris 9

3 Ado x( ) = x kezdei feléel kielégíő megoldás x() = X()c ahol c = X ( )x Téel: Ha x és x megoldása az (5) inhomogén rendszernek, akkor x x megoldása az (53) homogén rendszernek Kövekezmény: Ha x I megoldása az (5) inhomogén rendszernek, akkor n x() = x I + c j x j, j= j =,, n összes megoldása az inhomogén rendszernek és ez nevezzük az álalános megoldásának A homogén rendszer álalános megoldásából az inhomogén rendszer egy parikuláris megoldásá megkereshejük az állandók variálásának módszerével A parikuláris megoldás x I = X()c() alakban keressük Ez, illeve a deriváljá az eredei (5) egyenlebe helyeesíve és az egyenlee rendezve az kapjuk, hogy c() = X ()f() d, ahol X() a homogén rendszer alapmárixa, így x I () = X() X ()f() d Példa: Oldjuk meg az alábbi rendszer: d = x + ( )x + + d = ( ) x + x +, ha udjuk, hogy x () = (, ) x () = (, ) a homogén rendszer alaprendszere (Igazoljuk!) Akkor [ [ X() =, X () = [ f() = + Ha [ X () f() =, 3

4 akkor [ c() = d =, így az inhomogén egyenle álalános megoldása: [ [ [ + c + c [ = x() 5 Állandó együhaós lineáris rendszer Az (5) ípusú differenciálegyenle rendszer megoldására nincs álalános módszer A lineáris rendszerek fonos speciális esee az, amelyben az együhaó márix minden eleme állandó, ehá d = Ax + f() (5) ha f() akkor a rendszer homogén Tehá d = Ax Téel: Az (55) rendszer egy alapmárixa az X() = e A márix (55) Definíció szerin e A = k= Példa: Ha [ A =, akkor [ A = [ A 3 = 8 e A = A k k k! = k= A k k! ( ) k n n! k k k! = [ e e 3

5 Téel: Legyen λ, λ,, λ n az A n n-es márix különböző sajáérékei és s, s,, s n a hozzáarozó sajávekor rendszer, akkor a = Ax differenciálegyenle rendszer egy alaprendszere d {e λ s, e λ s,, e λn s n } Példa: Oldjuk meg a kövekező kezdei érék feladao x () = x() és x() = 5 A-nak 3 különböző valós sajáéréke van λ =, λ =, λ 3 = 3 A megfelelő sajávekorok s =, s =, s 3 = Így az álalános megoldás x() = c e + c e = e e e 3 e e e 3 e e e 3 + c 3 e 3 c c c 3 = Ebből c c c 3 = Tehá a kerese megoldás x() = e e 3 3

6 Haározzuk meg az x () = [ 3 x() álalános megoldásá Sajáérékek különbözőek, de komplexek λ = + i, λ = i A λ -hez arozó [ [ [ s = = + i i + akkor [ x() = c {e cos [ + c {e sin [ e sin [ + e cos } + } Azér, hogy a megoldás valós függvény legyen a kövekező gondolao alkalmazzuk Ha λ = α ± βi alakú, akkor s = a ± bi lesz Ezek felhasználásával ké függelen valós megoldás kapunk és x () = e α cosβa e α sin βb x () = e α sin βa + e α cosβb A mi példánkban α =, β =, a = [ [, b = Az (5) inhomogén rendszer megoldásá megkereshejük az állandók variálásának módszerével Példa: Keressük meg az [ 3 x () = x() + [ x() = [ e kezdei érék probléma megoldásá! Az együhaó márix sajáérékei λ = és λ =, a sajávekorok [ [ 3 s =, s = így az alapmárix, 33

7 [ 3e e X() = e e x() = X()X ( )x + X() X () = e e 3 e e Az (56) formulába behelyeesíve: 9 x() = e 5 6 e + 3 e e 5 6 e + 3 e + lesz X (s)f(s) ds (56) Mivel állandó együhaós a differenciálegyenle rendszer, az inhomogén egyenle egy parikuláris megoldásá megkeresheük volna a próba függvény módszerrel is Példa: Keressük meg x () = Ax() + f megoldásá, ahol 9 A = és f = 8 A homogén egyenle álalános megoldása: x() = c e 3 + c e 3 + c 3 e 3 Az inhomogén egyenle egy parikuláris megoldásá keressük x p = a + b alakban, mivel a zavaró függvény -nek elsőfokú polinomja x p - és deriváljá az eredei egyenlebe helyeesíve és az egyenlő együhaók módszeré alkalmazva a = 5, b = lesz Így a kerese parikuláris megoldás 5 x p = + 3

8 Felada: Keressük meg az inhomogén egyenle álalános megoldásá, ha f() = sin, ha f() = e 35