MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

Átírás

1 Okaási Hivaal A 015/016 anévi Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny dönő forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javíási-érékelési úmuaó 1 Ado három egymásól és nulláól különböző számjegy, melyekből elkészíjük az összes leheséges ízes számrendszerbeli háromjegyű számo Az aaszaljuk, hogy a kao háromjegyű számok közül a ké legnagyobb szám összege Haározza meg a három számjegye! Megoldás: jelölje a három számjegye a ; b; c Mivel a számjegyek különbözők, fölehejük, hogy a b c 0 Ekkor a ké legnagyobb háromjegyű szám az abc és az acb, ovábbá nyilvánvaló, hogy abc acb A feléel szerin abc acb 1444, ezér abc acb alaján az kajuk, hogy (1) abc 1444 és acb 1444 on Az (1) összefüggésekből adódik, hogy () abc 7 és acb 7 A () eredmények szerin csak a 7 leheséges on Ekkor viszon acb 7 mia c A c eseben a feléelek figyelembe véelével csak b 1 lenne leheséges, de ez ellenmond a b c egyenlőlenségnek Mivel a számjegyek mindegyike oziív, ezér csak c 1 állha fenn 1

2 Az a 7 és c 1 eredmények és az abc acb 1444 feléel mia b b () 1444 A () egyenleből egyszerű számolással adódik, hogy b Ezér a kerese három számjegy: a 7, b és c 1 a 7 b c 1 Az, és számjegyekből összesen ha háromjegyű, különböző jegyekből álló számo készíheünk, ezek közül a ké legnagyobb az és az, ezek összege valóban 1444 abc 71 acb on Megoldás: jelölje a három számjegye A számjegyek különbözők, ezér fölehejük, hogy a b c 0 a ; b; c Ekkor a ké legnagyobb háromjegyű szám az abc és az acb, amelyek összege a feléel szerin: azaz abc acb 1444, 00a 11 b c (1) 1444 on 11, Az (1) egyenleből ekvivalens áalakíásokkal kajuk, hogy b c a illeve 11 () b c a A () egyenle bal oldala oszhaó 11-gyel, így a vele egyenlő jobb oldalnak is oszhaónak kell lennie 11-gyel Mivel azonban a 11 és 00 számok relaív rímek, ezér csak a jobb oldalon szerelő 7 a kifejezés lehe 11-gyel oszhaó on Figyelembe véve, hogy a ízes számrendszerbeli számjegy, a 11-gyel oszhaó, ha a 7, ekkor 7 a 0 7 a kifejezés csak akkor lehe

3 Ez az is jeleni, hogy a () egyenle mindké oldalának éréke zérus Ebből edig az kövekezik, hogy vagyis () b c 4 0, b c 4 A feléelek szerin b és c különböző oziív számjegyek, ovábbá kezdei felevésünk szerin, így ()-ból az kajuk, hogy csak b c b ; c 1 leheséges Ezér a kerese három számjegy: a 7, b és c 1 a 7 b c 1 Az, és számjegyekből összesen ha háromjegyű, különböző jegyekből álló számo készíheünk, ezek közül a ké legnagyobb az és az, ezek összege valóban 1444 abc 71 acb on Megoldás: jelölje a három számjegye a ; b; c A számjegyek különbözők, ezér fölehejük, hogy a b c 0 Ekkor a ké legnagyobb háromjegyű szám az abc és az acb, amelyek összege a feléel szerin: a helyiérékek figyelembe véelével abc acb 1444, 00a 11 b c (1) 1444 Mivel ezér a ; b; c különböző számjegyek, amelyek közül a a legnagyobb, ovábbá , () a 7 on

4 Ebből az a b c 0 feléel mia () b c 5 6, 11 b c, ebből edig (1) mia 00a , vagyis azaz 11 kövekezik 1 a 00 1 Számolással ellenőrizhejük, hogy 6 7, és mivel az a 00 megfelelő oziív egész, ovábbá (4) 1 a 00 a 7, ezér szám az 0 a 9 feléeleknek A () és (4) összefüggések együesen az jelenik, hogy csak a 7 leheséges A kao éréke az (1) egyenlebe helyeesíve és az egyenlee rendezve az kajuk, hogy amelyből b c mia csak b c 4, (5) b ; c 1 kövekezhe A kerese három számjegy ehá: a 7, b és c 1 c 1 Az a 7, b és számjegyekből összesen ha háromjegyű, különböző jegyekből álló számo készíheünk, ezek közül a ké legnagyobb az abc 71 és az acb 71, ezek összege valóban on 4

5 ; ; r Legyenek oziív rímszámok Tekinsük az a számani sorozao, amelynek első agja a1 r, differenciája Haározza meg a rímszámoka, ha eljesül, hogy ; ; r d 7 a1 a r a r d r! 1 Megoldás: a számani soroza első három agja a soroza kézési szabálya szerin a1 r, a r d r 7 és a r d r 14 Ezeke beírhajuk az a1 a r a r d r összefüggésbe: (1) r r r r 14 r 7 r 7 Az (1) egyenle mindké oldalá oszhajuk a oziív r számmal, ekkor az kajuk, hogy r r , innen a zárójelek felbonásával adódik r r, ebből edig egyszerű áalakíásokkal: () r ; A rímszámok nem lehenek egyszerre áralanok, mer akkor () bal oldala áralan, míg jobb oldala áros szám lenne on Ezér három esee kell megvizsgálnunk: a) a ; rímszámok mindegyike áros, azaz ;, b) a rím áros, vagyis, a rímszám áralan, c) a rím áros, vagyis, a rímszám áralan Az a) eseben a ; érékeke ()-be helyeesíve az kajuk, hogy r 6, ez azonban nem rímszám, ezér a felada feléelei melle az a) ese nem fordulha elő A b) eseben a szorzaá alakíással: számo a () egyenlebe írva 6 7 r () 7 r 6, ahonnan rendezéssel és 5

6 A () egyenle jobb oldala oziív, ezér a bal oldalnak is oziívnak kell lennie, ez azonban -nál nagyobb rímekre már nem eljesül Figyelembe véve, hogy a b) eseben a rímszám áralan, csak Ha, akkor ()-ból egyszerű számolással kajuk, hogy r leheséges A c) eseben a ahonnan rendezéssel kajuk, hogy: számo a () egyenlebe helyeesíve r (4) 8 r, A (4) egyenleben a bal oldal áros szám, ezér a jobb oldalnak is áros számnak kell lennie, ez ényező áralan r azonban csak úgy lehe, ha az Mivel a c) eseben a rímszám áralan, ezér szükségkéen árosnak kell lennie, azaz r is áralan, ehá az r rímszámnak Az r számo a (4) egyenlebe írva egyszerű számolással adódik, hogy 6 Ez nyilván nem megoldása a feladanak, hiszen nem rímszám 6 Minden leheséges esee megvizsgálunk, az kauk, hogy a feléeleknek csak a rímszámok felelnek meg ; ; r Számolással ellenőrizve ezekre a rímszámokra a feladabeli számani soroza különbsége d 1, első három agja a ; a 18; a 9, és ezeke a számoka a 1 a1 a r a r d r egyenlebe írva mindké oldal éréke on 6

7 Megoldás: a számani soroza első három agja a soroza kézési szabálya szerin a1 r, a r d r 7 és a r d r 14 Ezeke beírva a feléelkén szolgáló a1 a r a r d r egyenlebe, r r r 14 r r r 7 7, innen a oziív r számmal az egyenle mindké oldalá oszva és a kao egyenlee rendezve (1) r on A ; ; r rímszámok ariása szerin 8 esee kell megvizsgálnunk Ezek az eseek a kövekezők: a) mindhárom rímszám áralan, b) mindhárom rímszám áros, azaz ; ; r, c) áros rím, azaz, ; r áralan rímek, d) áros rím, azaz, ; r áralan rímek, e) r áros rím, azaz r, ; áralan rímek f) ; áros rímek, azaz ;, r áralan rím, g) ; r áros rímek, azaz ; r, áralan rím, h) ; r áros rímek, azaz ; r, áralan rím on Az a) és az e) ese nem valósulha meg, mer ha a rímszámok mindegyike áralan, akkor (1) bal oldala áralan szám, míg a jobb oldal ké zárójeles kifejezése áros szám, ezér a jobb oldal is áros lenne ; A b) ese sem állha fenn, mer a ; ; r számok behelyeesíése eseén a bal oldal éréke 5, míg a jobb oldal éréke 6 7

8 A c) eseben rendezés és kiemelés uán behelyeesíése uán (1)-ből az kajuk, hogy 6 7 r () 7 r 6, illeve A () egyenle jobb oldala oziív, ezér a bal oldalnak is oziívnak kell lennie, ez azonban -nál nagyobb rímekre már nem eljesül Mivel a c) eseben a rímszám áralan, csak lehe Ebből () alaján az kajuk, hogy r A d) eseben, amikor, és áralan rímek, az egyenle ké oldalának ariása elérő, mégedig a bal oldal áros, a jobb oldal áralan Ezér a d) ese nem állha fenn ; r Az f) eseben, amikor ;, és r áralan rím, akkor ezeknek az érékeknek az (1) egyenlebe való beírásával arra az eredményre juunk, hogy r 6, ez azonban nem rímszám, ezér a felada feléelei melle az f) ese sem leheséges A g) eseben, amikor áros rímek, vagyis ; r, és áralan rím, behelyeesíés uán az kajuk, hogy a bal oldal éréke áros, míg a jobb oldal áralan oziív egész szám, ezér ez az ese sem valósulha meg ; r Végül a h) eseben, mikor ; r, és helyeesíve az kajuk, hogy áralan rím, a ; r érékeke (1)-be 6, de ez nem rímszám, így a h) ese sem állha fenn Minden leheséges esee megvizsgálunk és az az eredmény kauk, hogy a felada minden feléelé csak a c) eseben kao ; ; r rímszámok elégíik ki Számolással ellenőrizve ezekre a rímszámokra a feladabeli számani soroza különbsége d 1, első három agja a ; a 18; a 9, ezeke a számoka a 1 a1 a r a r d r egyenlebe írva mindké oldal éréke on 8

9 Megoldás: a számani soroza első három agja a soroza kézési szabálya szerin a1 r, a r d r 7 és a r d r 14 Ezeke beírva a feléelkén szolgáló a1 a r a r d r egyenlebe, r r r 14 r r r 7 7, innen a oziív r számmal az egyenle mindké oldalá oszva és a kao egyenlee rendezve (1) 7 7 r 1 r Az (1) egyenle mindké oldalá oszhajuk a oziív számmal: () r 7 7 r 1 on A () egyenle bal oldala egész szám, ezér a jobb oldalnak is egész számnak kell lennie Ez csak úgy leheséges, ha a oziív rím oszója a és r oziív rímek szorzaának, de ez csak akkor állha fenn, ha vagy, r a ovábbiakban ez a ké esee vizsgáljuk on Ha, akkor a () egyenleből behelyeesíés, rendezés és szorzaá alakíás uán az kajuk, hogy 7 0 r, a kao egyenle mindké oldalá a oziív számmal oszva edig r () 7 0 A () egyenle bal oldala egész szám, ezér a jobb oldal csakis úgy lehe egész szám, ha a oziív rím oszója a és r rímszámok szorzaának, vagyis, ha vagy r A éréke ()-ba helyeesíve r 6 adódik, ez nem felel meg a felada feléeleinek, hiszen r 6 nem rímszám A r behelyeesíésével edig az kajuk, hogy ehá nem megoldása a feladanak 18, ez nem felel meg a feléeleknek, 7 9

10 Végül, ha r, akkor a () egyenlebe helyeesíve, rendezve, szorzaá alakíás uán az 7 1 6, a kao egyenle mindké oldalá a oziív számmal oszva kajuk, hogy (4) A (4) egyenle bal oldala egész szám, ezér a jobb oldal csakis úgy lehe egész szám, ha a oziív rím oszója a 6 szorzanak, és mivel oziív rím, ezér csak ; ; vagy leheséges Ezek közül a feléel nem szükséges újra elemeznünk, mer az előbbiekben láuk, hogy ebből nem kaunk a feléeleknek megfelelő számhármas ; ; r Ha, akkor a (4) egyenleből az kajuk, hogy, így a kao ; ; r számhármas kielégíi a felada feléelei r figyelembe véelével Ha, akkor (4) szerin 1, ez nyilván nem megoldása a feladanak 5 Minden leheséges esee megvizsgálunk, az az eredmény kauk, hogy a felada minden feléelé csak a ; ; r rímszámok elégíik ki Számolással ellenőrizve ezekre a rímszámokra a feladabeli számani soroza különbsége d 1, első három agja a ; a 18; a 9, ezeke a számoka a 1 a1 a r a r d r egyenlebe írva mindké oldal éréke on 10

11 Az ABC hegyesszögű háromszög és CA oldalain úgy veük fel a belső onoka, hogy és Igazolja, hogy az háromszög köré ír kör közéonja illeszkedik a szögfelezőjére! DE BE ADF AB; BC FE CE D; E és F DEF Megoldás: készísünk a felada feléeleinek megfelelő ábrá (1 ábra) 1 ábra Legyenek az ABC háromszög A ; B; C csúcsoknál levő belső szögei rendre ; ; Mivel a feléelek mia DE BE és FE CE, ezér az 1 ábra BDE és CFE háromszögei egyenlő szárú háromszögek, amelyekben a BD és CF alaokon fekvő szögek rendre és on A BDE és CFE háromszögekben a szárak szögei (1) BED 180 és CEF 180 Nyilvánvaló, hogy BED CEF FED 180, ezér az (1) összefüggés alaján FED 180, amiből rendezés uán az kajuk, hogy FED 180 () 180 FED on 11

12 A háromszög belső szögeinek összege 180, ezér 180, és így ()-ből () FED 180 kövekezik Az ADF háromszög köré ír körben a ívhez arozó kerülei szög DAF szög az A A kerülei és közéoni szögek összefüggése szerin ehhez az ívhez DOF ono nem aralmazó DF nagyságú közéoni szög arozik Eredményünk és a () összefüggés szerin a DEFO négyszögben ké szemben levő szög összege FED DOF , ezér a DEFO négyszög húrnégyszög A DEFO négyszögben a DO és FO azonos hosszúságú húrok, hiszen ezek a szakaszok az háromszög körülír körének sugarai ADF A DEFO húrnégyszögben azonos hosszúságú húrokhoz egyenlő nagyságú kerülei szögek aroznak, ezér DEO FEO, ahogy az a ábrán láhajuk ábra Ez edig az jeleni, hogy ADF háromszög körülír körének O közéonja illeszkedik a DEF szögfelezőjére, és éen ez akaruk bizonyíani 10 on 1