Negyedik gyakorlat: Szöveges feladatok, Homogén fokszámú egyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc

Átírás

1 Negyedik gyakorla: Szöveges feladaok, Homogén fokszámú egyenleek Dierenciálegyenleek, Földudomány és Környezean BSc. Szöveges feladaok A zikában el forduló folyamaok nagy része széválaszhaó egyenleekkel írhaó le (ponosabban ezek a legegyszer bb modellek). Kulcsfonosságú megéreni a középiskolás egyenes arányosság fogalmá. O meganuluk, hogyha ké mennyiség egyenesen arányos, akkor hányadosuk állandó. Ez az egyszer megállapíás kell használni az összes szöveges feladaban! A szöveges feladaok megoldásának lépései:. Felírni a zikai arányossági egyenlee. Emlékeze : válozás =derivál.. Kihámozni a szövegb l a kezdei feléel(eke). 3. Lefordíani a maemaika nyelvére a kérdés. Ekkor elviekben van egy Cauchy-feladaunk és egy kérdéses mennyiségünk, pl. x() =? 4. Megoldani a dierenciálegyenlee.. A kezdei feléel segíségével meghaározni a konsans éréké/érékeke. 6. Kiszámolni a kerese éréke, pl. x()-ö. Nézzünk pár példá!. Felada: Egy moorcsónak álló vízben m/s egyenlees sebességgel halad. Ha a moor leállíjuk, 40 s múlva a sebessége m/s lesz. Mekkora lesz a sebessége a leállás uán másodperccel? (Fizikából udjuk, hogy kis sebességekre a súrlódási er a sebességgel egyenesen arányos.) Megoldás: Els lépésben felírjuk a zikai egyenlee. Mivel a sebesség a kérdés, legyen a hajó id pon-beli sebessége v(). Tudjuk a zárójeles megjegyzés mia, hogy a súrlódási er a sebességgel egyenesen arányos. A esre csupán a súrlódási er fog hani, emia

2 ma() = F összes = F súrl Mivel a súrlódási er egyenesen arányos a sebességgel, ezér: F súrl v() = k ahol k egy konsans, állandó. Beírva az el z : ma() v() = k Leoszhaunk m-el és összevonhajuk a másik konsanssal. Továbbá felszorzunk v()- vel, így: a() = kv() Fonos megjegyezni, hogy ez a k már egy másik k, de mosanól az egyszer ség kedvéér ugyanúgy fogjuk jelölni ke. Tudjuk, hogy a() = v (), ezér v () = kv() Az egyenle már meg is van. Mos ké kezdei feléelünk is van, mégpedig v(0) = és v(40) = (majd ki fog derülni, hogy mindke re szükség lesz). A felada kérdése: v() =? Oldjuk meg az egyenlee! f(v()) = v() és g() = k A ké inegrál: v() dv() = ln(v()) + c k d = k + c Összesíve: ln(v()) = k + c v() = ce k

3 Tudjuk: v(0) =, ezér azaz c =. Továbbá v(40) =, ezér v(0) = ce k 0 = c = v(40) = e k 40 = ehá k = ln ( ) 40. Így a megoldásgörbe: v() = exp ( ln ( ) ) 40 A kérdésre a válasz: v() = exp ( ln ( ) ) ( 40 = exp ln ( ) ) 0 = ( ) 0 4, 776 Tehá ezek alapján a moorcsónak sebessége másodperc múlva körülbelül 4,78 m s. (Ez nem is meglep, hiszen másodperc ala elég kevese csökken egy gyorsan haladó moorcsónak.). Felada: A esek kih lési sebessége egyenesen arányos a es és a környeze közi h mérsékle-különbséggel. Egy 00 Celsius fokos ese 0 fokos helyre viszünk; 0 perc múlva a es 40 fokos. Hány fokra h l le 0 perc ala? (Tfh. a környeze h mérséklee id ben állandó.) Megoldás: A felada szövege szerin a h mérsékle-különbség arányos a leh lés sebességével, azaz a h mérsékleének válozásával. Jelöljük U()-vel a ké es h mérsékle-különbségé! Erre az egyenle (hiszen a h mérsékleválozás és a különbség válozása ugyanaz a környeze állandósága mia): Árendezve: U () U() = k U () = ku() 3

4 A kezdei feléeleink: kezdeben a különbség 90 fok, ezér U(0) = 90. Továbbá az is udjuk, hogy a es 0 perc múlva 40 fokos, azaz a különbség U(0) = 30. A kérdéses mennyiség így T (0) = 0 + U(0) =? Az el z egyenlee viszon már megoldouk ebben a pdf-ben, ezér csak a megoldás írom le: Alkalmazva a ké kezdei feléel: U() = ce k azaz c = 90, ovábbá U(0) = ce k 0 = c = 90 U(0) = 90e k 0 = 30 ( ( ) ) 0 azaz k = ln. Ezek alapján a kérdésre a válasz: 3 ( ( ( ) ) ) ( ) 0 U(0) = 90 exp ln 0 = 90, Tehá így a es h mérséklee 0 perc múlva körülbelül 6 fok (hiszen hozzá kelle adni a környeze h mérsékleé is). 3. Szorgalmi felada: (4 pon) Valaki egy egyenes uca A ponjából indul az auójával és egyenleesen gyorsulva 0 másodperc ala ér az uca B ponjába, ahol sebessége m/s. Megállapíhaó-e ezekb l az adaokból az A és B ponok ávolsága? Ha nem, miér nem? Ha igen, milyen messze vannak egymásól? A feladao a feni módszerrel oldjuk meg (azaz legyen benne dierenciálegyenle)! 4

5 . Homogén fokszámú egyenleek Mos a homogén más jelen, min az elején. Egy x () = f(, x()) egyenle homogén fokszámú, ha a jobb oldalán álló függvényre igaz, hogy f(λ, λx()) = f(, x()) bármilyen λ eseén. ( ) Ekkor könny beláni, hogy ilyenkor x() az f függvény úgy alakíhaó, hogy f(, x()) = g alakban írhaó (azaz a jobb oldalon csak ezek a hányadosok szerepelnek). Tehá ez a ípus onnan könnyen felismerhe, ha árendezés uán a jobb oldalon x() kifejezések állnak. Ebben az eseben ha bevezejük az u() = x() új függvény, akkor széválaszhaó kapunk, ami pedig már meg udnunk oldani. Ennek oka: ha árendezem u() deníciójá: Deriváljuk mindké oldal szerin! x() = u() x () = u () + u() Árendezve, és x () helyébe beírva az eredei egyenle jobb oldalá: u () + u() = g(u()) u g(u()) u() () = ami pedig már valóban egy széválaszhaó egyenle. Ez a képlee meg is lehe anulni, de (szerinem) egyszer bb, ha csak beírjuk az u()- az egyenlebe, és azzal rögön kijön a széválaszhaó.. Felada: Oldjuk meg az alábbi dierenciálegyenlee! x () = x() +

6 Megoldás: Bonsuk szé a öre! x () = x() Ebb l lászik, hogy valóban homogén fokszámú. Vezessük be az új válozó! A jobb oldalon u() + lesz, ellenben a bal oldalhoz még kicsi dolgozni kell: + u() = x() x() = u() x () = u () + u() Tehá ez kell a bal oldalra beírni (egyébkén mindig ez kell majd, ez érdemes megjegyezni, vagy le is lehe vezeni). Beírva: u () + u() = u() + u () = u () = Ez széválaszhaó, s, a legegyszer bb ípus még a harmadik gyakorla elejér l, ami sima inegrálással meg lehe oldani. u() = ln() + c Ezzel még nem vagyunk készen, hiszen x() vol a kérdés. deníciójá könnyen meghaározhaó: Ez azonban beírva u() x() = ln() + c x() = ln() + c Készen is vagyunk.. Felada: Oldjuk meg a kövekez egyenlee! x () = x() + x() Megoldás: Árendezve (azaz leoszva -vel, és bevíve a gyökjel alá): x () = x() 6 + x()

7 A jobb oldalon csak a öres alakok vannak, ezér valóban homogén fokszámú lesz. Az el z feladahoz hasonlóan megin az u() = x() új válozó vezejük be, aminek a deriválásával kifejezhe megin x (): x() = u() x () = u () + u() Ez beírva a bal oldalba, és a jobba pedig behelyeesíve u()-: u () + u() = u() + u() Kivonjuk az u() ago mindké oldalból és leoszok -vel: u () = u() Ez pedig már egy sima széválaszhaó egyenle. A ké kiszámíandó inegrál: u() du() = arcsin(u()) + c d = ln() + c (A ZH-ban nem fogom kérni, hogy udjáok az arcsin deriváljá fejb l.) Egyenl vé éve ke: arcsin(u()) = ln() + c u() = sin(ln() + c) Mos viszon nem ez, hanem az x() vol a kérdés, ami pedig: x() = u() = sin(ln() + c) 3. Felada: Oldjuk meg az alábbi dierenciálegyenlee! Megoldás: Árendezve: ( ) x() x () = x() + cos 7

8 x () = x() ( ) x() + cos Megin csak a haványok vannak a jobb oldalon, ezér homogén fokszámú lesz az egyenle. Az el z ekhez hasonlóan behelyeesíve bal oldalra a már jól ismer u () + u() kifejezés, jobb oldalra pedig az u() függvényeke kapjuk: Kivonva u()- és leoszva -vel: u () + u() = u() + cos (u()) u () = cos (u()) Ez már egy széválaszhaó. A ké inegrál: Ezeke egyenl vé éve: du() = an(u()) + c cos (u()) d = ln() + c Ebb l a megoldás: an(u()) = ln() + c u() = arcan(ln() + c) x() = arcan(ln() + c) 4. Felada: Oldjuk meg az alábbi egyenlee! Megoldás: Árendezve: x () = x() + x() x () = x() + x() Láhaó, hogy ez is homogén fokszámú, így a bal oldalba beírva a deriválos ago, a jobb oldalba pedig az u()-ke: 8

9 u () + u() = u() + u() Ez megin széválaszhaó, a ké inegrál: Beírva ke: u() u () = u() du() = arccos(u()) + c d = ln() + c Így a megoldás: arccos(u()) = ln() + c u() = cos(ln() + c) x() = cos(ln() + c). Felada: Oldjuk meg az alábbi egyenlee: Megoldás: Árendezve: x () = + x() + x() x () = + x() + x() Láhaó, hogy ez is homogén fokszámú! Beírva a bal oldalba a szokásos kifejezés, jobb oldalba pedig az u()-ke: Árendezve: u () + u() = + u() + u() Ez széválaszhaó - a ké inegrál: u () = + u() 9

10 du() = arcan(u()) + c + u() d = ln() + c A ké kifejezés egyenl vé éve: arcan(u()) = ln() + c u() = an(ln() + c) Így a megoldás: x() = an(ln() + c) Szorgalmi ( pon) : Oldjuk meg a kövekez egyenlee! x () = cos(x() ) Trükk: a homogén fokszámúakhoz hasonlóan vezessünk be egy új válozó az u() = x() szabállyal! 0