Kockázati folyamatok

Átírás

1 Kockázai folyamaok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyeem Bolyai Inéze, Szochaszika Tanszék Uolsó frissíés: 219. szepember 17.

2 Taralomjegyzék 1. Az exponenciális eloszlás 2 2. A Wald-azonosság 4 3. Felújíási folyamaok és az elemi felújíási éel 5 4. A Poisson-folyama ovábbi ulajdonságai Függvények és sorozaok konvolúciója A felújíási egyenle Vissza a felújíási díjfolyamaokhoz Vélelen válozók momenumai A Feller-paradoxon 26 1.Rizikófolyamaok 3 11.A cs dvalószín ségre vonakozó inegrálegyenle A cs dvalószín ség aszimpoikus viselkedése Az M/G/1/1 modell Gyakorló feladaok 48 1

3 1. Az exponenciális eloszlás 1.1. Deníció. Az X válozó exponenciális eloszlás köve λ > paraméerrel, ha s r ségfüggvénye { λe f X (x = λx, x,, x <. Elemi számolással megmuahaó, hogy az exponenciális eloszlás eloszlásfüggvénye, válozó várhaó éréke és szórása: { 1 e λx, x, F X (x = P (X x = E(X = D(X = 1, x <, λ. λ 1 F X f X 1.2. Téel. Az alábbiak ekvivalensek esz leges X vélelen válozó eseén. (i Az X válozó exponenciális eloszlás köve. (ii (Örökifjú ulajdonság. Tesz leges x, y valós számok eseén P (X > y > és P ( X y > x X > y = P (X > x. (iii Tesz leges x valós szám valamin az X- l függelen és nemnegaív érék Y vélelen válozó eseén P (X > Y > és P ( X Y > x X > Y = P (X > x. Bizonyíás. (i (ii A feléeles valószín ség deníciójával P ( X y > x X > y = P ( X y > x, X > y = P ( X > x+y P (X > y P (X > y = 1 F X(x+y 1 F X (y (ii (i Vezessük be az X válozó úlélési függvényé: = e λ(x+y e λy = e λx = P (X > x. F (x = P (X > x = 1 F X (x >, x. Az örökifjú ulajdonság szerin esz leges x, y valós számok eseén F (x+y = P ( X > x+y = P ( X y > x, X > y =P ( X y>x X >y =P (X >x=f (x. F (y P (X > y P (X > y 2

4 Ebb l kövekezik, hogy F (x + y = F (xf (y. Mivel a felevések szerin az F függvény poziív a [, inervallumon, vehejük az el z egyenle logarimusá. Az kapjuk, hogy ln F (x+y = ln F (x+ln F (y, x, y, ami a jól ismer Cauchy-féle függvényegyenle. Az F függvény monoon csökken a poziív félegyenesen, ami az ln F függvény is örököl. A függvényegyenle megoldásakén az kapjuk, hogy ln F (x = λx valamilyen λ valós számra. λ = eseén F 1 a poziív félegyenesen, ehá F, ami nem eloszlásfüggvény. Tehá marad a λ > ese, amikor is F (x = e λx. Ekkor F (x = 1 e λx, ehá az X válozó exponenciális eloszlás köve. (ii (iii Vezessük be az Y válozó {X > Y } eseményre ve feléeles eloszlásfüggvényé: F Y {X>Y } (y = P ( Y y X > Y, y R, A eljes várhaó érék éelével kapjuk, hogy P ( X Y > x X > Y = = = P ( X Y > x Y = y, X > Y df Y {X>Y } (y P ( X y > x X > y df Y {X>Y } (y P (X > x df Y {X>Y } (y = P (X > x. (iii (ii Alkalmazzuk a (iii egyenl sége Y y válaszással Deníció. Az mondjuk, hogy az X vélelen válozó α> rend és λ> paraméeres Gamma eloszlás köve, ha s r ségfüggvénye Megjegyzések: f X (x = λα Γ(α xα 1 e λx, x. A Gamma eloszlás várhaó éréke E(X = α/λ, szórásnégyzee D 2 (X = α/λ 2. Álalános α eseén az eloszlásfüggvényre nem adhaó szép formula. A Gamma eloszlásból α = 1 válaszással az exponenciális eloszlás kapjuk. Erlang-eloszlásnak is neveznik az az esee, amikor a Gamma eloszlás rendje egy n 1 egész szám. Ekkor a s r ség- és az eloszlásfüggvény: f X (x = λn (n 1! xn 1 e λx, F X (x = (λx k e λx, x. k! 1.4. Téel. Ha X 1,..., X n függelen és exponenciális eloszlású vélelen válozók azonos λ paraméerrel, akkor az X X n összeg n rend λ paraméeres Gamma eloszlás köve. 3 k=n

5 Bizonyíás. A függelenség mia az összeg karakeriszikus függvénye ( n λ φ X1 + +X n ( = φ X1 ( φ Xn ( =. λ i Direk számolással ellen rizhe, hogy ez azonos a Gamma eloszlás karakeriszikus függvényével. 2. A Wald-azonosság 2.1. Lemma (Wald-azonosság. Legyenek X 1, X 2,... függelen és azonos eloszlású vélelen válozók véges várhaó érékkel, és legyen N nemnegaív egész érék vélelen válozó szinén véges várhaó érékkel. Tegyük fel ovábbá, hogy (i N függelen az X 1, X 2,... válozókól; (ii vagy N megállási id az X 1, X 2,... sorozara nézve. (Ebben az eseben a megállási id k deníciója szerin N csak poziív egész érék válozó lehe. Ekkor E(X 1 + +X N = E(NE(X. Bizonyíás. El ször megmuajuk, hogy esz leges n poziív egész szám eseén X n függelen az {n N} esemény l. A (i felevésb l ez azonnal kövekezik. Ha N megállási id, akkor {n N} = {n > N} c = {n 1 N} c σ(x 1,..., X n 1, n 2. Mivel X n függelen az X 1,..., X n 1 válozókól, függelen az {n N} esemény l is. Az n = 1 eseben pedig {n N} = Ω, ami függelen az X 1 válozóól. A kövekez kben használni fogjuk az az azonosságo, hogy ha N nemnegaív egész érék vélelen válozó, akkor P (n N = k=n P (N = k = Jegyezzük meg, hogy esz leges k eseén k X n 1 {n N} k=1 k P (N = k = kp (N = k = E(N. k=1 X n 1 {n N}, m.b. (1 A monoon konvergenciaéel és a korábban bebizonyío függelenség alkalmazásával ( E X n 1 {n N} = E ( X n E ( 1 {n N} =E( X P (n N=E( X E(N<. 4

6 Ez az jeleni, hogy a (1 formulában a jobb oldalon szerepl összeg inegrálhaó. Ekkor a majorán konvergenciaéel alkalmazásával E ( X 1 + +X N = E ( = lim k ( X n 1 {n N} = E lim k k X n 1 {n N} k E(X n E ( 1 {n N} = E(X P (n N = E(XE(N. A kövekez állíás a Wald-azonosság egy álalánosíása, melye az el z bizonyíásban bemuao módszerrel lehe igazolni. A részlees kidolgozás az olvasóra bízzuk Állíás. Legyenek X 1, X 2,... : Ω R d, d 1, függelen és azonos eloszlású vélelen vekorok! Tekinsünk egy olyan h : R d R mérhe függvény, melyre h(x 1 inegrálhaó! Legyen ovábbá N egy poziív egész érék vélelen válozó véges várhaó érékkel, mely megállási id az X 1, X 2,... sorozara nézve! Ekkor ( E h(x 1 + +h(x N = E(NE ( h(x. 3. Felújíási folyamaok és az elemi felújíási éel 3.1. Deníció. Tekinsünk nemnegaív érék X 1, X 2,... vélelen válozóka, és legyen T =, T n = X 1 + +X n, n = 1,2,... Az N = # { n 1 : T n } = max { n : T n },, folyamao számláló folyamanak nevezzük. 4 3 X X 1 X 2 T 1 T 2 =T 3 T 4 A számláló folyama valamilyen esemény bekövekezései számolja. A bekövekezések közöi id k X 1, X 2,..., ehá az esemény a T 1 T 2... id ponokban kövekezik be. Ekkor N az mondja meg, hogy az esemény hányszor kövekeze be a id ponal bezárólag, míg N N s, s, az (s, inervallumon adja meg a bekövekezések számá. A számláló folyamanak és az alább deniál speciális esenek, a felújíási folyamanak öbb alkalmazási erülee van. Az egyik ilyen erüle a megbízhaóságelméle, a m szaki berendezések élearamának modellezése. Ado egy berendezés, egy gép, melynek véges 5

7 az élearama, és amikor elromlik, azonnal kicseréljük egy újra. Amikor az is önkremegy, akkor ismé felújíjuk a rendszer egy harmadik darabbal, és így ovább. Ekkor a felújíásoka ekinjük eseményeknek, az X 1, X 2,... válozók a berendezések élearamai, míg a T 1, T 2,... érékek a felújíások id ponjai. Egy másik alkalmazási erüle a ömegkiszolgálási modellek elmélee. Ado egy szerver, vagyis valamilyen kiszolgáló egység (egy bol, egy hivaal, vagy egy számíógépes erminál, melyhez vev k (ügyfelek, lekérdezések érkeznek X 1, X 2,... id közönkén. Ebben az eseben a számláló folyama a vev ke számolja, akik a T 1, T 2,... id ponokban érkeznek. A számláló folyama a kockázai modellek elméleében is megjelenik, ahol a folyama a ömegkiszolgálási modellekhez hasonlóan egy bizosíóársasághoz beérkez kárbejelenéseke számolja Deníció. Legyen (N szochaszikus folyama! A szochaszikus folyama várhaó érék függvénye az m( = E(N függvény, mely azon ponokban van érelmezve, ahol a várhaó érék léezik. Az mondjuk, hogy a folyama egy ado ω kimeneel eseén felrobban a τ(ω< id ponban, ha N (ω < minden < τ(ω eseén, és lim τ N (ω =. Ha az ω kimeneelre a folyama nem robban fel véges id ponban, akkor legyen τ(ω =. A számláló folyamaok fonosabb ulajdonságai: A számláló folyama monoon növekv és càdlàg (coninue à droie, limiée à gauche, mindenhol jobbról folyonos, és mindenhol léezik baloldali haáréréke. A számláló folyama 1 valószín séggel nem korláos, ugyanis ( ( P sup N < = P {X n = } P (X n = =. Ebb l kövekezik, hogy lim N = majdnem bizosan. Ez az jeleni, hogy a folyama vagy felrobban véges id ben, és ekkor τ < ; vagy pedig aszimpoikusan megy el a végelenbe, és ekkor τ =. Számláló folyama eseén 1 valószín séggel τ = lim n T n = X 1 +X 2 + [,. Emia {τ < } az X 1, X 2,... sorozahoz arozó farokesemény. Ha a soroza elemei függelenek, akkor a Kolmogorov -1 örvény szerin P (τ < {,1}. Tehá ebben az eseben τ majdnem bizosan véges vagy majdnem bizosan végelen. Számláló folyama eseén rögzíe n N és melle Ebb l az X válozó eloszlása {N = n} = {T n < T n+1 } = {T n }\{T n+1 }. P (N = n = P (T n P (T n+1 = F Tn ( F Tn+1 (. 6

8 Mos T =, amib l F T ( = P (T = 1, ha. Ebb l kapjuk, hogy [ P (τ = P (X = = 1 P (X = n = 1 FTn ( F Tn+1( n= [ = 1 F T ( lim F Tn ( n n= = lim n F Tn (. Ha egy ado id ponra P (τ =, akkor N egy nemnegaív érék véges vélelen válozó, aminek az m( = E(N [, várhaó éréke érelmezhe. A várhaó érék fel is írhaó eloszlásfüggények segíségével: m( = E(N = n [ F Tn ( F Tn+1 ( = n= F Tn (. Ha X 1, X 2,... függelenek, akkor a T 1, T 2,... válozók eloszlásfüggvényei konvolúcióval számolhaóak. Technikai okokból szükségünk lesz arra, hogy az m függvény a negaív félegyenesen is deniáljuk. Az el z pon alapján < eseén legyen m( = P (T n = Deníció. A felújíási folyama egy olyan (N számláló folyama, melyre az X 1, X 2,... vélelen válozók függelenek és azonos eloszlásúak. Ekkor a kapcsolaos m( = E(N várhaó érék függvény felújíási függvénynek nevezzük Deníció. Az (N felújíási folyamao λ inenziású Poisson folyamanak nevezzük, ha az X 1, X 2,... válozók λ paraméeres exponenciális eloszlásúak. A Poisson-folyama fonosabb ulajdonságai: A T n felújíási id pon n rend és λ paraméeres Gamma eloszlás köve, és ezér várhaó éréke, szórásnégyzee illeve eloszlásfüggvénye E(T n = n λ, D2 (T n = n λ 2, F T n ( = P (T n = Az el z észrevéelb l kövekezik, hogy (λ k e λ,. k! k=n P (N = n = F Tn ( F Tn 1 ( = (λn e λ, n. n! Tehá az N válozó λ paraméeres Poisson-eloszlás köve. Innen származik a folyama elnevezése. 7

9 A felrobbanás id ponjára P (τ = lim F Tn ( = lim n n Ebb l kövekezik, hogy k=1 (λ k e λ =,. k! k=n ( P (τ < = P {τ k} = lim P (τ k =, k vagyis a folyama 1 valószín séggel nem robban fel véges id ben. A Poisson-eloszlás ulajdonságaiból a felújíási függvény: m( = E(N = λ. A λ paraméer azér nevezzük inenziásnak, mer esz leges (s, inervallum eseén ide es események számának várhaó éréke E(N N s = m( m(s = λ( s. A felújíási függvény a számláló folyamaokra felír formulával is meghaározhaó: m( = = F Tn ( = k=1 k=n k (λk e λ = λ k! (λ k k e λ (λ k = k! k! k=1 (λ k e λ = λ. k! 3.5. Téel. Legyen (N felújíási folyama, és együk fel, hogy P (X = < 1. Ekkor eljesülnek a kövekez konvergenciák. (i lim N / = 1/E(X m.b. k= (ii Elemi felújíási éel: lim m(/ = 1/E(X. Megjegyzések: Ha egy felújíási folyama eseében P (X ==1, akkor a folyama 1 valószín séggel felrobban a id ponban. A éel bizonyíása során az is megmuajuk majd, hogy P (X = < 1 eseén a felújíási folyama 1 valószín séggel nem robban fel véges id ben. Ha P (X = < 1, akkor E(X (,, ehá 1/E(X jól deniál. A éel szerin E(X < eseén N és m( aszimpoikusan lineáris függvények: e λ N E(X m.b., m( E(X,, Ezzel szemben ha E(X =, akkor N = o( és m( = o(, amin. 8

10 A éel els állíása az mondja, hogy eseén egy egységnyi hosszúságú id inervallumra juó felújíások N / álagos száma 1/E(X. Ez nem meglep, ha arra gondolunk, hogy a felújíások álagosan E(X id közönkén köveik egymás, és ezálal álagosan 1/E(X felújíás fér bele egy egységnyi hosszúságú inervallumra. Bizonyíás. (i A nagy számok er s örvényé alkalmazva kapjuk, hogy T n n = X 1 + +X n E(X >, n, m.b. (2 n Ebb l kövekezik, hogy a T n /n soroza szochaszikus érelemben is konvergál a várhaó érékhez, és így ( ( Tn E(X P n, 3E(X 1, n. 2 2 Mos megmuajuk, hogy a éel feléelei melle a felújíási folyama 1 valószín séggel nem robban fel véges id ponban. Tesz leges eseén az el z konvergencia mia P (τ = lim n F Tn ( = lim n P ( T n = lim n P ( T n /n /n =, n. Ekkor viszon ( P (τ < = P {τ n} Korábban már megmuauk, hogy P (τ n =. N,, m.b. (3 Tekinsük a {τ < } esemény, ovábbá az a ké esemény, melyeken a (2 és (3 konvernenciák eljesülnek. Mivel ezek 1 valószín ség események, a meszeük is 1 valószín ség. Ebb l jön, hogy T N N E(X,, m.b. Mivel N jelöli a id ponal bezárólag bekövekeze események számá, nyilvánvaló, hogy T N < T N+1. Ebb l kövekezik, hogy E(X T N < T N +1 = T N +1 N +1 E(X 1,, m.b. N N N N +1 N A rend r elv alkalmazásával jön az els állíás. (ii A célunk az alábbi ké egyenl lenség bizonyíása, ugyanis ezekb l azonnal kövekezik az állíás: lim inf m( 1 E(X, m( lim sup 1 E(X, El ször megmuajuk, hogy lim inf m(/ 1/E(X. Ha E(X =, akkor ez az egyenl lenség nyilvánvaló. Ha E(X <, akkor rögzísünk egy id pono és ekinsük az alábbi válozó: m.b. N = N +1 = a id pon uán kövekez els felújíás sorszáma. 9

11 Az N válozó megállási id az X 1, X 2,... sorozara nézve, hiszen esz leges n poziív egész eseén {N = n} = { X 1 + +X n >, X 1 + +X n 1 } σ(x 1,..., X n. Emia esz leges k 1 eseén a min(n, k válozó inegrálhaó (hiszen korláos és megállási id (hiszen ké megállási id minimuma. A Wald-azonosság alkalmazásával E ( X 1 + +X min(n,k = E ( min(n, k E(X. Jegyezzük meg, hogy k eseén min(n, k N majdnem bizosan. Ebb l a monoon konvergenciaéel segíségével kövekezik, hogy E(T N+1 = E ( X 1 + +X N = E(NE(X = E(N +1E(X = ( m(+1 E(X. (4 Mos < E(T N+1, amib l árendezéssel jön, hogy 1 E(X 1 < m(. Ha mindké oldalnak vesszük a limesz inferiorá, amin, akkor megkapjuk a bizonyíani kíván egyenl lensége. Mos megmuajuk, hogy lim sup m(/ 1/E(X. Ehhez rögzísünk egy a > számo, és ekinsük a kövekez válozóka: { Xn a X n, X n a, = a, X n > a. Legyenek T a 1, T a 2,... a kapcsolaos részleösszegek, legyen (N a a kapcsolaos felújíási folyama, és legyen m a ( = E(N a. Tekinsünk egy esz leges id pono! Ekkor T a N +1 +X N a +1 +a, m.b. Jegyezzük meg az is, hogy esz leges n eseén Tn a T n m.b. Ebb l kövekezik, hogy N a N m.b., vagyis m a ( m(. Alkalmazzuk a (4 egyenl sége (N a felújíási folyamara! Az kapjuk, hogy +a E ( T a N +1 = ( ma (+1 E(X a (m(+1e(x a. (5 Rendezzük á az egyenl lensége, majd vegyük oldalak limesz szuperiorá, amin : ( m( 1 lim sup lim sup E(X a + a E(X a 1 = 1 m.b. E(X a Ebb l a haárámeneel és a monoon konveregenciaéel alkalmazásával: lim sup m( 1 lim a E(X a = 1 E(X Ez pedig éppen a bizonyíandó egyenl lenség. 1 m.b.

12 3.6. Állíás. Ha P (X = < 1, akkor a felújíási függvény véges, monoon növekv és jobbról folyonos a poziív félegyenesen. Ebb l kövekezik, hogy a felújíási függvény càdlàg (mindenhol jobbról folyonos, és mindenhol léezik bal oldali haáréréke. Bizonyíás. Mos P (X = < 1, ezér a > eseén az el z bizonyíásban bevezee X a válozóra P (X a = < 1. Ez az jeleni, hogy E(X a >, és a (5 formulából kapjuk, hogy m( < minden eseén. Tesz leges s id ponok eseén N N s m.b., amib l a monooniás azonnal kövekezik. A folyonossághoz vegyük észre, hogy s eseén N s N. Ebb l a monoon konvergenciaéel alkalmazásával kapjuk, hogy E(N s E(N Deníció. Tekinsünk (X n, C n, n = 1,2,..., függelen és azonos eloszláslású vekorválozóka, ahol az els komponensek nemnegaívak. Legyen (N az X 1, X 2,... válozók álal meghaározo felújíási folyama! Ekkor az N S = C n = C 1 + +C N,, folyamao felújíási díjfolyamanak nevezzük. A felújíási díjfolyamaoka jellemz en olyan eseekben alkalmazzuk, mikor a felújíás valamilyen kölséggel jár. A modellben rendre C n az n-edik felújíás kölsége, mely függhe az el z felújíásól elel X n id hosszáól, de függelen a öbbi felújíás kölségé l. Ekkor S a id ponig felmerül eljes kölség. Ilyen ípusú problémával öbbek közö a bizosíási maemaikában alálkozhaunk, ahol C 1, C 2,... az egyes kárbejelenésekre juó kizeések nagysága Téel. Tegyük fel, hogy a felújíási díjfolyamara P (X =<1 és E( C <. Ekkor S lim = E(C E(X E(S m.b. és lim = E(C E(X. Bizonyíás. Az els konvergencia azonnal kövekezik a nagy számok Kolmogorov-féle örvényéb l és az elemi felújíási éelb l (3.5. Téel (i ponja: S = C 1 + +C N N N E(C 1 E(X,, m.b. A második konvergencia ilyen álalános feléelek melle örén bizonyíásához ovábbi eszközökre van szükségünk, erre majd még visszaérünk a félév folyamán. Mos csak azzal a speciális eseel foglalkozunk, amikor X n és C n rendre függelenek egymásól. Ekkor esz leges eseén N véges várhaó érék nemnegaív egész érék válozó, és függelen a C 1, C 2,... sorozaól. A Wald-azonosság (2.1. Lemma és az elemi felújíási éel alkalmazásával kövekezik, hogy E(S = E(C 1 + +C N = E(CE(N 11 1 E(C E(X,.

13 4. A Poisson-folyama ovábbi ulajdonságai Tekinsünk X 1, X 2,... függelen és azonosan λ > paraméeres exponenciális eloszlású válozóka, legyen T n = X 1 + +X n, n, és jelölje (N a kapcsolaos felújíási folyamao. Ekkor (N egy λ inenziású Poisson-folyama. A folyamao úgy érelmezhejük, hogy ha egy ado jelenség a T 1, T 2,... id ponokban kövekezik be, akkor N mondja meg a bekövekezések számá a id ponal bezárólag. A ovábbiakban öbbször el fog majd fordulni, hogy a rendszer nem a id ponól kezdve gyeljük meg, hanem csak egy τ vélelen vagy deerminiszikus id pon uán. Ekkor a jelenség bekövekezéseinek a száma a (τ, τ + inervallumon el áll a kövekez alakban: N = N τ+ N τ, Állíás. Ha τ függelen az X 1, X 2,... sorozaól, akkor (N egy λ inenziású Poisson-folyama, és függelen az (N τ válozókól. Megjegyzések: Az állíás implici módon az is aralmazza, hogy (N függelen a τ válozóól. Ha τ deerminiszikus, akkor függelen az X 1, X 2,... válozókól, ehá az állíás alkalmazhaó erre az esere. Az állíás lényegében az mondja, hogy a τ id pon rezeeli a folyamao. Bizonyíás. A denícióból azonnal kövekezik, hogy (N számláló folyama. Jelölje X 1, X 2,... a felújíások közöi id ke! Vegyük észre, hogy σ(n, τ = σ(τ, N τ, X 1,..., X τ és σ(n, = σ(x 1, X 2,.... Ez az jeleni, hogy három dolgo kell igazolnunk: (i X 1, X 2,... exponenciális eloszlásúak λ paraméerrel; (ii X 1, X 2,... függelenek egymásól; (iii X 1, X 2,... függelenek a τ, N τ, X 1,..., X τ válozókól. El ször a (iii pono fogjuk bebizonyíani. Tekinsünk esz leges n nemnegaív egész és x 1,..., x n érékeke! Legyen ovábbá n =x 1 + +x n. Vegyük észre, hogy ha N τ =n, akkor X 1 = X n+1 (τ T n. Ekkor a τ függelenségé és az exponenciális eloszlás örökifjú ulajdonságá (1.2. Téel (ii ponja alkalmazva: P ( X 1 > y τ =, N τ = n, X 1 = x 1,..., X n = x n = P ( X n+1 (τ T n > y τ =, T n τ < T n+1, X 1 = x 1,..., X n = x n = P ( X n+1 ( T n > y T n < T n+1, X 1 = x 1,..., X n = x n = P ( X n+1 > y +( n n < X n+1, X 1 = x 1,..., X n = x n = P ( X n+1 > y +( n n < X n+1 = P (X n+1 > y = e λy. 12

14 Jegyezzük meg, hogy az X n+2, X n+3,... soroza függelen a τ, X 1,..., X n+1 válozókól! Ekkor a láncszabály segíségével kapjuk, hogy P ( X 1 > y 1,..., X m > y m τ =, N τ = n, X 1 = x 1,..., X n = x n = P ( X 1 > y 1 τ =, N τ = n, X 1 = x 1,..., X n = x n P ( X 2 > y 2,..., X m > y m τ =, N τ = n, X 1 = x 1,..., X n = x n, X 1 > y 1 = e λy 1 P ( X n+2 > y 2,..., X n+m > y m τ =, T n τ < T n+1, X 1 = x 1,..., X n = x n, X n+1 (τ T n > y 1 = e λy 1 P ( X n+2 > y 2,..., X n+m > y m = e λy 1 e λy2 e λym. Ebb l azonnal kövekezik, hogy az X 1, X 2,... függelenek a τ, N τ, X 1,..., X τ válozókól. A függelenség mia ebb l az is megkapjuk, hogy P ( X 1 > y 1,..., X m > y m = e λy 1 e λy2 e λym. (6 Mos indukcióval megmuajuk, hogy az X 1,..., X m válozók λ paraméeres exponenciális eloszlás kövenek. Ez m = 1 eseén azonnal kövekezik a (6 formulából, hiszen P (X 1 > y 1 = e λy 1. Tegyük fel, hogy az állíás igaz m 1 eseén! Ekkor X m szinén exponenciális eloszlású, hiszen P (X m > y m = P ( X 1 >,..., X m 1 >, X m > y m = e λ e λ e λym = e λym. Ezzel beláuk az (i pono. A (6 egyenl sége ismé alkalmazva kapjuk, hogy P (X 1 > y 1,..., X m > y m = P (X 1 > y 1 P (X m > y m, ehá az X 1,..., X m válozók függelenek is egymásól. Mos m esz leges vol, emia a (ii ponal is végezünk Deníció. Tekinsünk egy (N szochaszikus folyamao! A folyama sacionárius növekmény, ha esz leges s < eseén N N s és N s N azonos eloszlású. A szochaszikus folyama függelen növekmény, ha esz leges k 2 poziív egész és s 1 1 s s k k eseén N 1 N s1, N 2 N s2,..., N k N sk függelen vélelen válozók Téel. Legyen (N számláló folyama! Ekkor az alábbi ké ulajdonság ekvivalens: (i Az (N folyama λ inenziású Poisson-folyama, ehá olyan felújíási folyama, ahol a felújíások közöi id k λ paraméeres exponenciális eloszlás kövenek. (ii Az (N folyama függelen és sacionárius növekmény, ovábbá esz leges > eseén az N válozó Poisson-eloszlás köve λ paraméerrel. 13

15 Bizonyíás. Csak a (i (ii irány bizonyíjuk be, a fordío irány úgysem használjuk a kés bbiekben. Az már láuk, hogy N Poisson-eloszlás köve a megado paraméerrel. Rögzíe s melle vezessük be az Nu s = N s+u N s, u, folyamao! A 4.1. Állíás érelmében (Nu s u Poisson-folyama λ inenziással, ehá N N s =N s s Poissoneloszlás köve λ( s paraméerrel. Viszon az N s N válozónak ugyanez az eloszlása, vagyis a Poisson-folyama sacionárius növekmény. Csak az marad hára, hogy a Poisson-folyama függelen növekmény. Tekinsük az N s k u =N sk +u N sk, u, folyamao, ami a 4.1. Állíás érelmében függelen az (N sk válozókól. Ebb l jön, hogy N k N sk = N s k k s k függelen az N 1 N s1,..., N k 1 N sk 1 növekmények l. Ez a lépés egymás uán az s k 1, s k 2,..., s 2 id ponokra megisméelve kövekezik, hogy a növekmények mind függelenek egymásól Téel. Legyen (N Poisson-folyama λ inenziással! Tekinsünk esz leges k poziív egész számo, s 1... s k id ponoka, és m 1... m k n egész érékeke! Ekkor P ( [ ( λ( sk n m k N = n N sk = m k,..., N s1 = m 1 = P N = n N sk = m k = e λ( sk. (n m k! Tehá a Poisson-folyama folyonos idej homogén Markov-lánc a feni formulában megado ámenevalószín ségekkel. Bizonyíás. A 4.3. Téel érelmében a Poisson-folyama függelen és sacionárius növekmény szochaszikus folyama. Ebb l kövekezik, hogy P ( N = n N sk = m k,..., N s1 = m 1 = P ( N N sk = n m k N sk N sk 1 = m k m k 1,..., N s1 N = m 1 = P ( [ ( λ( sk n m k N N sk = n m k = P N s = n m k = e λ( sk. (n m k! Ugyanezzel a gondolameneel az is megmuahaó, hogy P ( [ λ( sk n m k N = n N sk = m k = e λ( sk. (n m k! Ezzel a éel állíásá bebizonyíouk. 5. Függvények és sorozaok konvolúciója 5.1. Deníció. Legyen φ(x, G(x, x R, valós érék mérhe függvény, és együk fel, hogy G càdlàg (coninue à droie, limiée à gauche, ehá mindenhol jobbról folyonos, és mindenhol léezik baloldali haáréréke és korláos válozású minden véges inervallumon. Ekkor a ké függvény Sieljes-konvolúciója (φ G( = 14 φ( x dg(x.

16 A konvolúció azon R ponokban van deniálva, ahol az inegrál léezik. A G függvény n-edik konvolúció haványa az n ényez s G n = G G konvolúció Téel. (i Ha X és Y függelen vélelen válozók rendre G és H eloszlásfüggvénnyel, akkor az X + Y összegválozó eloszlásfüggvénye G H. (ii Ha X 1,..., X n függelen és azonos eloszlású vélelen válozók G eloszlásfüggvénnyel, akkor X 1 + +X n eloszlásfüggvénye G n Kövekezmény. Ha G és H eloszlásfüggvények, akkor G H és G n mindenhol léeznek a valós egyenesen. Bizonyíás. (i Az állíás azonnal jön a eljes valószín ség éeléb l: P ( X +Y = = + (ii Kövekezik az (i ponból. + P ( X +y dh(y = P ( X +Y Y = y dh(y + G( ydh(y = (G H(. Nézzünk meg ké speciális esee! Ha az X és az Y válozó abszolú folyonos rendre g és h s r ségfüggvénnyel, akkor a Fubini-éel alkalmazásával [ (G H( = G( x dh(x = g(y x dy h(x dx = g(y xh(x dxdy. Ebb l azonnal jön, hogy az X + Y összeg is abszolú folyonos, és a s r ségfüggvénye (g h(y := g(y xh(x dx, y R. Az g h függvény g és h Lebesgue-konvolúciójának nevezzük. Mos együk fel, hogy X és Y egész érék válozó! Ekkor X +Y szinén egész érék. Ebb l kövekezik, hogy az G, H és G H eloszlásfüggvények olyan lépcs s függvények, melyek az egész ponokban ugranak. Az X és az Y eloszlása: p n = P (X = n = G(n G(n 1, q n = P (Y = n = H(n H(n 1, n Z. Ebb l: n n G(n = p n, H(n = q n, n Z. k= k= 15

17 Ekkor a konvolúció deníciójá alkalmazva (G H(n = Az kapjuk, hogy = k= G(n x dh(x = [ n k l= k= p l q k = p l q k. k,l Z k+l n P ( X +Y = n = (G H(n (G H(n 1 = k,l Z k+l=n G(n k [ H(k H(k 1 p l q k = k= Ez a sorozao a p és a q sorozaok konvolúciójának nevezzük: n (p q n = p n k q k, n Z. k= p n k q k, n Z. A ovábbiakban azzal az eseel foglalkozunk, amikor φ(x = G(x = minden x < eseén. Vegyük észre, hogy ekkor y < eseén (φ G(y = φ(y x dg(x = φ(y x d+ dg(x =. [, Ha y, akkor pedig (φ G(y = φ(y x dg(x = + dg(x = (y, (, (,y [,y φ(y x d+ φ(y x dg(x [,y φ(y x dg(x. Jegyezzük meg, hogy mos LebesgueSieljes-inegrállal dolgozunk, ezér álalában y φ(y x dg(x φ(y x dg(x = φ(y x dg(x. [,y 5.4. Állíás. Tegyük fel, hogy φ : R R mérhe és lokálisan korláos (korláos minden véges inervallumon, ovábbá G : R R càdlàg és korláos válozású a véges inervallumokon, végül φ(x = G(x = minden x < eseén! Ekkor a φ G konvolúció jól deniál a valós egyenesen, és lokálisan korláos függvény. Bizonyíás. Mos φ G= a negaív számok halmazán, ezér a konvolúció léezésé és lokális korláosságá elég a poziív félegyenesen bizonyíani. Legyen > esz leges rögzíe érék, és jelölje V [, (G a G függvény eljes válozásá a [, inervallumon. Ekkor sup (φ G(y = sup y y sup sup y x y [,y (,y φ(y x dg(x φ(y x V [,y (G = sup φ(x V [, (G <. x 16

18 5.5. Állíás (Diszribuiviás. (i Legyenek φ, ψ : R R mérhe és lokálisan korláos függvények, és legyenek G, H : R R càdlàg és korláos válozásúak minden véges inervallumon! Tegyük fel ovábbá, hogy mindegyik függvény a negaív számok halmazán! Ekkor esz leges a, b, α, β R eseén ( aφ+bψ ( αg+βh = aα(φ G+aβ(φ H+bα(ψ G+bβ(ψ H. (ii Legyenek φ 1, φ 2,... : R [, mérhe és lokálisan korláos függvények, melyekre φ 1 +φ szinén lokálisan korláos! Legyen G:R R monoon növekv és càdlàg! Tegyük fel ovábbá, hogy mindegyik függvény a negaív számok halmazán! Ekkor ( φ1 +φ 2 + G = φ 1 G+φ 2 G+ Bizonyíás. Az 5.4. Állíás érelmében a formulákban szerepl összes konvolúció léezik a valós számegyenesen. A LebesgueSieljes-mérékek deníciójából kövekezik, hogy µ αg+βh = αµ G +βµ H. Ebb l jön az (i pon állíása, hiszen esz leges R eseén ( ( ( aφ+bψ αg+βh ( = aφ+bψ ( x dµαg+βh (x = = aα ( [ aφ+bψ ( x α dµ G (x+β dµ H (x φ( x dµ G (x+aβ +bα ψ( x dµ G (x+bβ φ( x dµ H (x ψ( x dµ H (x = aα(φ G(+aβ(φ H(+bα(ψ G(+bβ(ψ H(. A (ii azonossághoz alkalmazzuk a monoon konvergenciaéel: ( φ i G( = i=1 lim n i=1 = lim n n i=1 n φ i ( x dg(x φ i ( x dg(x = ( φi G (. i= Állíás (Kommuaiviás és asszociaiviás. Legyen φ : R R mérhe és lokálisan korláos függvény, és legyenek G, H:R R monoon növekv és càdlàg függvények! Tegyük fel ovábbá, hogy mindhárom függvény a éréke veszik fel a negaív számok halmazán. Ekkor eljesülnek az alábbi azonosságok: G H = H G és (φ G H = φ (G H. Bizonyíás. Mos G és H monoon növekv függvények, ezér korláos válozásúak a véges inervallumonkon. Jelölje µ G és µ H az indulál LebesgueSieljes-mérékeke, és legyen S = { (x, y R R : x+y }. 17

19 Ekkor a Fubini-éel mia (G H( = = R G( y dh(y = R R R R 1 {x y} dg(x dh(y 1 {(x,y S} (µ G µ H (dx, dy = µ G µ H (S. Jelölje S az S halmaznak az x = y egyenesre való ükrözésével kapo halmaz! Mivel S = S, az kapjuk, hogy (H G( = µ H µ G (S = µ G µ H (S = µ G µ H (S = (G H(. Ezzel a kommuaiviás bebizonyíouk. Mos G és H monoon növekv függvények, ezér µ G µ H poziív mérék. Ekkor a (7 egyenl ségb l kövekezik, hogy G H monoon növekv : esz leges u eseén S u S, ehá (G H(u (G H(; G H mindenhol jobbról folyonos: esz leges u valós szám eseén lim u (G H( = lim u µ G µ H (S = µ G µ H ( u S = µg µ H (S u = (G H(u. Ekkor viszon G H càdlàg függvény és korláos válozású a véges inervallumokon. Ezen úl G H = a negaív félegyenesen, ehá a φ (G H konvolúció szinén véges. Kapjuk, hogy 1 {z (,} (G H(dz = (G H( = 1 {(x,y S} (µ G µ H (dx, dy R R R = 1 {x+y (,} (µ G µ H (dx, dy. R R A Carahéodory-éelb l kövekezik, hogy esz leges B R Borel-halmaz eseén 1 {z B} (G H(dz = 1 {x+y B} (µ G µ H (dx, dy. R Ebb l viszon kövekezik, hogy φ( z (G H(dz = R R R R R φ( x y (µ G µ H (dx, dy. A bal oldalon éppen φ (G H szerepel a ponban. A jobb oldal ismé csak a Fubiniéellel udjuk ovábbalakíani: φ( x y (µ G µ H (dx, dy = φ( x y dg(x dh(y R R R R = (φ G( y dh(y = ( (φ G H (. R Ez pedig az jeleni, hogy az assziciaiviás is eljesül. 18 (7

20 6. A felújíási egyenle Tekinsünk egy (N felújíási folyamao! Tegyük fel, hogy P (X = < 1, és jelölje G az X 1, X 2,... válozók közös eloszlásfüggvényé! Ekkor a felújíási függvény véges, és a kövekez alakban írhaó fel: m( = E(N = F Tn ( = F X1 + +X n ( = G n (,. Vezessük be az N = N X1 + 1,, folyamao, ami az X 2, X 3,... válozók, min felújíások közöi id k álal deniál felújíási folyama. Az X 2, X 3,... soroza érékei meghaározzák az (N folyamao, ezér σ(n, σ(x 2, X 3,.... Viszon az X 2, X 3,... válozók függelenek az X 1 válozóól, amib l kövekezik, hogy az (N folyama is függelen az X 1 válozóól. Jegyezzük meg az is, hogy mivel a ké folyama eseében a felújíások közöi id k eloszlása azonos, (ezeknek mindké eseben G az eloszlásfüggvénye, ezér a fejeze elején felír formula alapján E(N = G n ( = m(,. Rögzísünk esz leges, x érékeke! Ekkor { [ E 1+N x X 1 = x = 1+E[N x = 1+m( x, x, E [ N X 1 = x = E [ X 1 = x =, < x. Ebb l a eljes várhaó érék éelével kapjuk, hogy m( = E(N = E [ N X 1 = x dg(x [, [ = 1+m( x dg(x+ dg(x [, (, = G(+ m( x dg(x = G(+(m G(. [, 6.1. Deníció. Legyen a(,, valós érék mérhe függvény. Ekkor az A( = a(+ A( x dg(x,. [, függvényegyenlee az A(,, függvényre vonakozó felújíási egyenlenek nevezzük. Ugyanez rövidebb formalizmussal: A = a+a G Téel. Ha a(,, lokálisan korláos függvény, és P (X = < 1, akkor az A( = (a+a m( = a(+ a( x dm(x,, függvény lokálisan korláos megoldása a felújíási egyenlenek, ovábbá ez az egyelen megoldás a lokálisan korláos függvények közö. 19 [,

21 Bizonyíás. Mivel a éelben szerepl összes függvény a negaív félegyenesen, az állíás elég a nemnegaív számok halmazán ellen rizni. A 5.4. Állíás szerin az a m konvolúció jól deniál és lokálisan korláos. Ekkor esz leges s > eseén sup s (a+a m( sup s a( + sup (a m( <, s ehá a+a m is lokálisan korláos. A kövekez kben az fogjuk ellen rizni, hogy a+a m megoldás. Ez kövekezik a konvolúció azonosságaiból, ugyanis ( ( a+(a+a m G = a+a G+a G G n = a+a G+ G n = a+a m. Végül az muajuk meg, hogy a megoldás egyérelm. Tegyük fel, hogy A 2 szinén lokálisan korláos megoldása az egyenlenek, és legyen B = A A 2. Felhasználva, hogy A és A 2 is megoldás, kapjuk, hogy B = A A 2 = ( a+a G ( a+a 2 G = (A A 2 G = B G, Ebb l ierációval kövekezik, hogy B=B G n minden n 1 egészre. Legyen rögzíe! A G n ( = m( sor pononkén konvergens, ezér G n (, amin n. Mivel a B függvény szinén lokálisan korláos, kövekezik, hogy n eseén B( = B( x dg n (x V [,( G n sup B(x = G n ( sup B(x. x x [, Tehá = B( = A( A 2 ( minden ponban. Mivel a negaív számok halmazán mindké függvény el nik, kapjuk, hogy A 2 = A Példa. Legyen a = G, ehá ekinsük az A = G+A G felújíási egyenlee! A mos bizonyío éel szerin ennek lokálisan korláos megoldása a kövekez függvény: ( A = G+G m = G+m G = G+ G G n = G+ n=2 G n = m. Ez az eredmény nem meglep, hiszen a fejeze elején már láuk, hogy m megoldása az egyenlenek, és az el z éel szerin az egyelen lokálisan korláos megoldás. Éppen az le volna a kellemelen, ha alálunk egy másik lokálisan korláos megoldás is. Vegyük észre, hogy a felújíási egyenle árendezésével G( = m( G( x dm( = ( m G m (,. [, 6.4. Téel. A felújíási folyamaok körében a G eloszlásfüggvény és az m felújíási függvény kölcsönösen meghaározza egymás. n=2 2

22 Bizonyíás. Mivel m = G n, ezér a G eloszlásfüggvény meghaározza az m felújíási függvény. A ovábbiakban belájuk, hogy a felújíási függvény is meghaározza az eloszlásfüggvény. Tegyük fel, hogy léezik olyan H eloszlásfüggvény, hogy a hozzá kapcsolódó felújíási folyama felújíási függvénye szinén az m függvény! A korábbi eredmények szerin a poziív félegyenesen eljesülnek az alábbi egyenl ségek: Ezekb l kövekezik, hogy G = m G m és m = H n. G H = ( m G m H = m H G m H = m H G = H m G (m H = (H G m+g H. Tehá (H G m = a nemnegaív számok halmazán. Innen azonnal jön, hogy H G = ( m H m ( m G m = (H G m a poziív félegyenesen. Tehá H = G. Térjünk vissza az álalános felújíási egyenlehez. A kövekez kben az fogjuk megvizsgálni, hogy a felújíási egyenle megoldása hogyan viselkedik aszimpoikusan Deníció. Az mondjuk, hogy az X vélelen válozó rácsos eloszlású, ha léezik olyan δ >, hogy az X válozó egy valószín séggel a {kδ : k Z} halmazba esik Példa. Az egész érék vélelen válozók rácsos eloszlásúak. A folyonos válozók nem azok, hiszen az érékkészleük nem megszámlálhaó Téel. Tegyük fel, hogy az X vélelen válozó nem rácsos eloszlású és az a(x, x, függvényre eljesülnek az alábbi felevések: (i lokálisan korláos a poziív félegyenesen; (ii felírhaó a poziív félegyenesen Riemann-inegrálhaó és monoon függvények véges összegekén! Ekkor a felújíási egyenle egyérelm lokálisan korláos megoldására eljesül a kövekez konvergencia: A( 1 a(x dx R,. E(X Bizonyíás. Hosszú és nagyon unalmas. Nagyrész analízis, kevés szochaszika. n=2 H n 21

23 6.8. Példa. Legyen a = G, ehá ekinsük az A = G+A G felújíási egyenlee! Ennek az A = m függvény az egyelen lokálisan korláos megoldása. Mi mondhaunk err l a megoldásról a mos bizonyío éel segíségével? Semmi, ugyanis mos a nem Lebesgueinegrálhaó. Legyen ugyanis x > olyan érék, melyre a(x = G(x >. Ekkor a(xdx x a(xdx a(x x 1dx =. Ekkor viszon az a függvény nem írhaó fel Lebesgue-inegrálhaó függvények véges összegekén sem. Ez az eredmény nem meglep, hiszen a monoon konvergenciaéel szerin a felújíási függvénynek nem is véges a haáréréke: lim m( = lim G n ( = lim G n ( = 1 =. 7. Vissza a felújíási díjfolyamaokhoz Tekinsünk (X n, C n, n = 1,2,..., függelen és azonos eloszlású vekorválozóka! Legyenek az X 1, X 2,... válozók nemnegaív érék ek, és jelölje G a közös eloszlásfüggvényüke! Jelölje ovábbá (N az X 1, X 2,... válozók álal meghaározo felújíási folyamao, és ekinsük a kapcsolaos felújíási díjfolyamao: N S = C n = C 1 + +C N,. A 3.8. Téelben bebizonyíouk, hogy ha P (X = < 1 és E( C <, akkor S lim = E(C E(X m.b. Ugyani az az állíás is megfogalmazuk, hogy E(S lim = E(C E(X. (8 Viszon ez a második konvergenciá a szükséges eszközök hiányában nem bizonyíouk be. A ovábbiakban ez fogjuk majd bepóolni. Vezessük be az A(=E(S,, függvény. El ször az fogjuk megmuani, hogy az A függvény jól deniál és lokálisan korláos. Jelölje C n + és Cn rendre a C n válozó poziív illeve negaív részé! Mivel C n inegrálhaó, a beveze válozóknak véges a várhaó éréke. Rögzísünk egy esz leges id pono! Korábban már megmuauk, hogy az N +1 vélelen válozó megállási id az X 1, X 2,... sorozara nézve. Ebb l kövekezik, hogy megállási id az (X 1, C 1 +, (X 2, C 2 +,... válozókra nézve is, hiszen esz leges n poziív egész eseén {N n} σ(x 1,..., X n σ(x 1, C + 1,..., X n, C + n. 22

24 Ekkor a h(x, c = c függvény alkalmazásával a 2.2. Állíásból kövekezik, hogy E ( C C + N E ( C C + N +C + N +1 =E(N +1E(C + = ( m(+1 E(C + <. Ugyanígy az is megmuahaó, hogy E ( C 1 + +C N ( m(+1 E(C <. Ezen eredményekb l azonnal kapjuk, hogy A( = E ( E ( ( C 1 + +C N = C C + N E C 1 + +C N E ( ( C C + N +E C 1 + +C N ( m(+1 E(C + + ( m(+1 E(C = ( m(+1 E ( C. A feni formula jobb oldala véges és lokálisan korláos, ezér ezekkel a ulajdonságokkal az A függvény is rendelkezik. A kövekez lépésben felírunk egy felújíási egyenlee az A függvényre. Az el z fejeze elején bemuao módszer fogjuk majd alkalmazni. Jelölje (S az (X n, C n, n 2, vekorok álal deniál felújíási díjfolyamao. Ez a folyama függelen az X 1 válozóól, ezér E [ S X 1 = x { E [ C 1 +S x X 1 = x = E [ C 1 X 1 = x +E [ S = x, x, E [ X 1 = x =, < x. Jegyezzük meg ovább, hogy (S és (S azonos eloszlású folyamaok, amib l kövekezik, hogy E[S x = A( x. Ekkor a eljes várhaó érék éeléb l jön, hogy A( = E [ S = E [ S X 1 = x dg(x [, = E [ C 1 X 1 = x dg(x+ A( x dg(x. [, Tehá A egy lokálisan korláos függvény és megoldása a mos felír felújíási egyenlenek. Jelölje a( az els ago az egyenle jobb oldalán! A 6.2. Téel szerenénk alkalmazni, de ehhez el ször meg kell muanunk, hogy a lokálisan korláos függvény. A feléeles várhaó érék deníciójából kövekezik, hogy a( = E [ C 1 X 1 = x dg(x = E [ C 1 X 1 = x 1 {x } dg(x = E [, [ E [ C 1 X 1 1{X1 } [, [, = E [ C 1 1 {X1 }. Ekkor a( E [ C 1 1 {X1 } E [ C. 23

25 Tehá az a függvény korláos, amib l kövekezik, hogy lokálisan is korláos. Továbbá a majoráns konvergenciaéelb l az is kapjuk, hogy [ lim a( = E lim C 11 {X1 } = E [ C 1. Jelölje m( = E(N,, a felújíási függvény! A feni eredmények és a 6.2. Téel alkalmazásával A( = a(+ a( x dm(x,. [, Sajnos ilyen álalános feléelek melle az A függvényre nem udunk explici formulá adni. A cél a (8 konvergencia bizonyíása. Az el z egyenleb l a kövekez kapjuk: A( E(C E(X a( + 1 a( x E(C dm(x+ 1 E(C dm(x E(C E(X (9 [, Mos az a függvény korláos, ezér a( /, amin. Az elemi felújíási éel (3.5. Téel (ii ponja alkalmazásával 1 E(C dm(x = 1 E(C[ m( E(C E(X,. [, Tehá a (9 egyenl lenség harmadik agja szinén nullához konvergál. Már csak az marad hára, hogy a második ag konvergenciájá is megmuassuk. Rögzísünk egy esz leges ε > éréke! Az a függvény konvergens, ezér léezik olyan T > szám, hogy a( E(C ε, T. Ekkor esz leges > T eseén 1 a( x E(C dm(x [, = 1 a( x E(C 1 dm(x+ [, T ( T, [, a( x E(C dm(x [ sup a( x E(C m( m( T x ( T, 1 ε[ m( T + 1 ε m( T +sup a(x E(C m( m( T. x R Az elemi felújíási éel isméel alkalmazásával kapjuk, hogy eseén m( T [, = m( T T T 1 E(X és m( m( T. Tehá ha elegend en nagy, akkor 1 [ 1 a( x E(C dm(x ε E(X +ε +ε sup a(x E(C. x R 24

26 Mivel az ε > érék esz leges vol, ezzel bebizonyíouk, hogy eseén a (9 formula jobb oldalán a középs ag is nullához konvergál. Ez pedig az jeleni, hogy E(S E(C E(X = A( E(C E(X. 8. Vélelen válozók momenumai Legyen X esz leges vélelen válozó, legyen G az eloszlásfüggvénye, és ekinsünk egy φ : R R mérhe függvény! Ekkor Eφ(X = φ(x dg(x. R A kövekez éelben az vizsgáljuk meg, hogy ez a LebesgueSieljes-inegrál hogyan írhaó á egy Riemann-inegrálba Téel. Legyen X nemnegaív érék vélelen válozó G eloszlásfüggvénnyel, ovábbá ekinsünk egy φ : [, R monoon és abszolú folyonos függvény. Ekkor Eφ(X = φ(+ φ (x [ 1 G(x dx, ami úgy érünk, hogy ha a kifejezés valamely oldala véges, akkor a másik oldal is véges, és a ké oldal egyenl. Továbbá ha Eφ(X véges, akkor lim x φ (xp ( X > x = lim φ (x [ 1 G(x =. x Bizonyíás. A φ függvény abszolú folyonoságából kövekezik, hogy deriválhaó, és φ(y = φ(+ y φ (x dx, y. Jegyezzük meg ovábbá, hogy 1 {x<x} dp = E(1 {x<x} = P (x < X = 1 G(x, x. Ω Ekkor a Fubini-éel alkalmazásával [ X Eφ(X = φ(x dp = φ(+ φ (x dx dp Ω Ω = h(+ 1 {x<x} φ (x dx dp = h(+ = h(+ Ω φ (x [ 1 G(x dx. 25 φ (x 1 {x<x} dp dx Ω

27 Vegyük észre, hogy a Fubini-éel alkalmazásánál szükség vol arra, hogy φ monoon függvény legyen, ugyanis ez garanálja az, hogy φ nem vál el jele a poziív félegyenesen. Ezzel az els állíás bebizonyíouk. A második állíás azonnal kövekezik abból az analízisbeli ényb l, hogy egy függvény improprius inegrálja csak akkor lehe véges, ha a függvénynek léezik és nulla a haáréréke a végelenben Kövekezmény. Legyen X nemnegaív érék válozó G eloszlásfüggvénnyel! (i Az X válozó α > rend momenumára EZ α = α Továbbá, ha az α rend momenum véges, akkor x α 1[ 1 G(x dx. lim x xα P ( Z > x = lim x α [1 G(x. x Ez az jeleni, hogy a P (X > x farokvalószín ségek legalább polinomiális rendben csengenek le a végelenben. (ii Az X válozó momenumgeneráló függvénye egy esz leges r R ponban M X (r = E ( e rx = 1+r e rx[ 1 G(x dx. Továbbá, ha a momenumgeneráló függvény léezik valamely r > ponban, akkor lim x erx P ( X > x = lim e rx [1 G(x, x azaz a farokvalószín ségek legalább exponenciális rendben csengenek le. 9. A Feller-paradoxon Legyenek X 1, X 2,... függelen és azonos eloszlású vélelen válozók közös G eloszlásfüggvénnyel, és együk fel, hogy P (X =<1 és E(X<. Jelölje (N a kapcsolaos felújíási folyamao, és legyen T n = X 1 + +X n, n =,1,... Egy rögzíe id ponal bezárólag a leguolsó felújíás id ponja T N, a kövekez felújíás pedig a T N+1 > id ponban fog majd örénni. Felújíáselméleben fonos a kövekez mennyiségek vizsgálaa: a rendszer kora (age: T N ; háralev élearam, reziduális id (residual ime: R = T N+1 ; 26

28 eljes élearam (oal life: T N+1 T N = X N+1. R sds, másrész a váhaó éréke: A ovábbiakban az (R szochaszikus folyamaoal foglalkozunk. F leg a folyama aszimpoikus viselkedésére leszünk kíváncsiak, amin. Maga az (R folyama nem konvergens, ezér a hosszú ávú viselkedés másmilyen módon fogjuk érelmezni. Egyrész megvizsgáljuk a hosszú ávú álago: 1 E(R. Az ember az várná, hogy ezek a mennyiségek nagy eseén az E(X/2 érékhez vannak közel. Ki fog derülni, hogy ez jellemz en nem igaz. Ez a meglep eredmény Feller-paradoxon vagy inspecion paradox néven szokák emlíeni. Elöször az 1 R sds inegrálközépe vizsgáljuk meg. X N +1 X 1 X 2 T T 1 T 2 T 3 T N T N +1 Legyen C n az ábrán az n-edik háromszög erülee, ehá C n = Tn Ekkor eljesülnek a kövekez egyenl lenségek: C 1 + +C N T n 1 R s ds = X2 n 2, n = 1,2,... R s ds C 1 + +C N+1. (1 Jegyezzük meg, hogy a C 1, C 2,... válozók függelenek és azonos eloszlásúak. Ekkor a 3.5. Téel (i ponjából és a nagy számok er s örvényéb l kövekezik, hogy eseén C 1 + +C N = N C 1 + +C N N 1 E(X E(C = E(X2 E(X, m.b. Ugyanilyen módon kapjuk az is, hogy C 1 + +C N+1 = N +1 C 1 + +C N+1 1 N +1 E(X E(C = E(X2 E(X, m.b. Ekkor a (1 formulából a rend r elv alkalmazásával kövekezik, hogy 1 R s ds E(X2 2E(X, m.b. 27

29 Jegyezzük meg, hogy ha az X válozó nem degenerál, ehá nem konsans, akkor Ez a Feller-paradoxon. E(X 2 2E(X > (E(X2 2E(X = (E(X2 2E(X = E(X Állíás. Ha P (X = < 1 és E(X 2 <, akkor 1 lim R s ds = E(X2 2E(X, A ovábbiakban az A(=E(R,, várhaó érék függvény fogjuk majd vizsgálni. A reziduális id k esee abból a szemponból speciális, hogy nagyon egyszer en felírhaó egy explici formula a várhaó érék függvényre. Rögzíe eseén az N = N +1 válozó megállási id az X 1, X 2,... sorozara nézve. Ekkor a Wald-azonosság érelmében m.b. E(T N+1 = E ( X 1 + +X N+1 = E(N +1E(X = ( m(+1 E(X. (11 Ebb l viszon azonnal jön, hogy A( = E(R = E(T N+1 = ( m(+1 E(X,. (12 Szerenénk meghaározni A( haáréréké, amin. Árendezés uán a 3.5. Téel (ii ponjának alkalmazásával: [ m( A( = 1 E(X+E(X E(X+E(X =? E(X Tehá a haáréréke ilyen módon nem udjuk megadni. A probléma az, hogy nem ismerjük az elemi felújíási éelben a konvergencia sebességé. A ovábbiakban a felírunk majd egy felújíási egyenlee az A függvényre, és ennek segíségével vizsgáljuk a függvény ulajdonságai. Ehhez fonos az udnunk, hogy az A függvény lokálisan korláos. A lokális korláosság problémája mindig el kerül a felújíási egyenle alkalmazásánál, ezér mos adunk néhány ölee, hogyan is lehe ez bizonyíani. Várhaó érék függvény: E(R,. A (11 formulából kövekezik, hogy E(R E(T N+1 = ( m(+1 E(X. A jobb oldalon szerepl függvény monoon, ezér lokálisan korláos. Ebb l kövekezik, hogy az E(R,, függvény is lokálisan korláos. Második momenum függvény: E(R 2,. Ado eseén az N = N +1 válozó az X 2 1, X 2 2,... sorozara nézve is megállási id. Ismé csak a Wald-azonosságo alkalmazva: E ( X X 2 N +1 = E(N +1E(X 2 = ( m(+1 E(X 2. (13 Ez az jeleni, hogy E(X 2 < eseén a második momenum is lokálisan korláos: E(R 2 E(X 2 N +1 E ( X X 2 N +1 = ( m(+1 E(X 2. 28

30 Eloszlás: P (R y vagy P (R > y,, ahol y R rögzíe. Ezek korláos függvények, ehá lokálisan is korláosak. Vezessük be az N = N X1 + 1,, folyamao! Korábban már meggondoluk, hogy ez a folyama az X 2, X 3,... válozók álal deniál felújíási folyama, amib l ké dolog kövekezik. Egyrész az (N folyama függelen az X 1 válozóól. Másrész az (N folyama azonos eloszlású az (N felújíási folyamaal, amib l kövekeik, hogy az R vélelen válozó azonos eloszlású az (N folyamara analóg módon bevezee R háralev élearammal. Ekkor viszon E(R = A(,. Tesz legesen rögzíe x, id ponok eseén: E [ R X 1 = x { [ E x X1 = x = x, x >, = E [ R x X 1 = x = E(R x = A( x, x. Alkalmazzuk a eljes váhaó érék éelé: A( = E(R = E [ R X 1 = x dg(x [, = (x dg(x+ A( x dg(x,. (, Ezek szerin az A függvény megoldása az A = a+a G felújíási egyenlenek, ahol a( = (x dg(x,. (, [, Ahhoz, hogy alkalmazni udjuk a felújíási egyenle megoldására vonakozó éeleke, jobban meg kell vizsgálnunk az a függvény. Vezessük be a φ (x = 1 {x>} (x függvény, ahol x,. Ekkor a( = Mi minden mondhaunk el az a függvényr l? φ (x dg(x = Eφ (X. Korláos: φ (X X m.b., ezér a( E(X. Monoon csökken : esz leges s eseén φ s (X φ (X m.b, ezér a(s a(. A φ függvény abszolú folyonos, és a deriválja φ (x=1 {x>}. Ekkor a 8.1. Téelb l: a( = φ (+ φ (x [ 1 G(x dx = + [ 1 G(x dx,. Ebb l a Fubini-éel és a 8.2. Kövekezmény alkalmazásával [ x [ a( d = 1 G(x dxd = 1 G(x ddx = x [ 1 G(x dx = E(X2 2 Tehá ha E(X 2 <, akkor a inegrálhaó a poziív félegyenesen. 29.

31 Korábban megmuauk, hogy az A( = E(R függvény lokálisan korláos. Ebb l kövekezik, hogy a felújíási egyenle egyérelm lokálisan korláos megoldása, ehá A( = a(+ a( x dm(x,. (14 [, (Valaki le udja vezeni, hogy ez azonos a (12 formulában szerepl eredménnyel? Ha ezen úl az is udjuk, hogy az X válozó nem rácsos eloszlású, akkor a felújíási egyenle megoldásának aszimpoikus viselkedésére vonakozó éelünk (6.7. Téel szerin A( 1 E(X a(x dx = E(X2 2E(X,. A kapo eredmény a kövekez állíásban mondjuk ki Állíás. Ha P (X = < 1, E(X 2 < és X nem rácsos eloszlású, akkor lim E(R = E(X2 2E(X Példa. Tegyük fel, hogy az X 1, X 2,... válozók exponenciális eloszlás kövenek λ > paraméerrel! Mos E(X = 1/λ és m( = λ, ezér E(R = ( m(+1 E(X = (λ+1 1 λ = 1 λ = E(X. Ez az eredmény nem meglep, gondoljunk a 4.1. Állíásra! Az A( = E(R,, függvény a felújíási egyenleb l is megkaphajuk. Mos a G eloszlásfüggvény abszolú folyonos, ezér a( = (x G (x dx = (x λe λx dx = e λ λ. Mos az m függvény deriválja m (x = λ. Ekkor a (14 formulából kövekezik, hogy A( = a(+ a( x dm(x = e λ λ + e λ(x m (x dx = e λ λ λ + 1 e λ = 1 λ λ. [, Természeesen ez az jeleni, hogy eseén E(R 1/λ. Ez a konvergenciá a 9.2. Állíásból is megkapjuk, hiszen exponenciális eloszlás eseén E(X=1/λ és E(X 2 =2/λ Rizikófolyamaok A ovábbiakban egy bizosíóársaságo fogunk modellezni, és arra keressük a válasz, hogy a bizosíó mekkora valószín séggel megy cs dbe az id k folyamán. A modellben az alábbi jelöléseke fogjuk majd használni. Az egymás köve káresemények közö elel id k: X 1, X 2,... függelen és azonos eloszlású vélelen válozók, és P (X = < 1. 3

32 Kárszámfolyama : az X 1, X 2,... soroza álal meghaározo (N felújíási folyama. Tehá N a káresemények száma a id ponal bezárólag. Kárérékek: Z 1, Z 2,... függelen és azonos eloszlású vélelen válozók, melyek függelenek a kárszámfolyamaól. Jelölje F ezen válozók közös eloszlásfüggvény, és legyen µ = E(Z >. Kárérékfolyama, kárfolyama : S = Z 1 + +Z N, a bizosíó eljes kizeése a id ponal bezárólag. A bizosíó díjbevéele [, inervallumon: P. A bizosíó kéje a = id ponban: u. Rizikófolyama: U = u+p S, a bizosíó pénze a id ponban Deníció. Az (U szochaszikus folyama klasszikus rizikófolyama, ha a fenieken úl eljesül az alábbi ké ulajdonság is: az (N felújíási folyama Poisson-folyama valamilyen λ > inenziással; és a díjbevéel P = c alakban írhaó fel valamilyen c > konsans segíségével. A klasszikus rizikófolyamanak el nye, hogy maemaikailag könnyen kezelhe. Ez annak a énynek köszönhe, hogy a károk bekövekezési id ponjai leíró folyama egy Poisson-folyama, ami felújíási folyama és Markov-lánc egyszerre. A klasszikus ese háránya, hogy nem minden eseben illeszkedik az empirikus adaokhoz. Például rögzíe eseén a Poisson-folyama ulajdonságai szerin E(N = λ = D 2 (N. Viszon egyes bizosíásípusoknál kimuahaó saiszikai eszközökkel, hogy a kárszám varianciája nem egyenl a várhaó érékkel. További hárány, hogy a modell nem vesz gyelembe szezonális ingadozásoka, a kárszámfolyama inenziása id l és kárszámól függelenül állandó. A kockázai folyamaok émakörében a bizosíási ermék, és ezálal a káreloszlás, a kárszámfolyama és a díjbevéel rögzíe. Egyelen szabad válozóval dolgozhaunk, az u kezd ke függvényében fogunk válaszolni különféle kérdésekre. A f cél a kövekez függvény vizsgálaa: Ψ(u = P ( : U < = P ( a bizosíó u kezd kével indulva valaha cs dbe megy. Láni fogjuk, hogy id nkén inkább az alább függvénnyel érdemes dolgozni: Φ(u = 1 Ψ(u = P ( : U = P ( a bizosíó u kezd kével sosem megy cs dbe Téel. Legyenek Y 1, Y 2,... függelen és azonos eloszlású válozók E(Y [, + várhaó érékkel! Ekkor eljesülnek az alábbiak. (i Ha E(Y >, akkor lim n (Y 1 + +Y n = + m.b. 31

33 (ii Ha E(Y <, akkor lim n (Y 1 + +Y n = m.b. (iii Ha E(Y = és P (Y = < 1, akkor lim inf (Y 1 + +Y n = és lim sup(y 1 + +Y n = + m.b. n Bizonyíás. Az (i és a (ii pon a nagy számok Kolmogorov-féle er s örvényének egy egyszer kövekezménye. A (iii pon az ierál logarimus éelb l kövekezik Állíás. Tekinsünk egy rizikófolyamao, melyre E(X< vagy E(Z<. Ekkor ejesülnek az alábbiak. n (i Ha c E(Z/E(X, akkor Φ(u = esz leges u eseén. (ii Ha c > E(Z/E(X, akkor lim u Φ(u = 1 majdnem bizosan. Kövekezmény: esz leges ε > eseén léezik u >, hogy Φ(u > 1 ε. (iii A Ψ függvény monoon csökken, a Φ függvény monoon növekv, és mindke càdlàg a poziív félegyenesen. Megjegyzések: Rizikófolyamaok eseén az egységnyi id inervallumra juó díjbevéel P / = c; míg az egységnyi id inervallumra juó álagos kizeés S lim = E(Z E(X m.b. Klasszikus rizikófolyama eseén E(X = 1/λ < és E(Z/E(X = λµ. Bizonyíás. Vezessük be az Y n = Z n cx n, n = 1,2,..., válozóka! Ekkor Y 1, Y 2,... függelenek és azonos eloszlásúak, ovábbá a várhaó érékük E(Y n = E(Z ce(x [, +, n = 1,2,... Jegyezzük meg, hogy a bizosíó csak olyan id pillanaban mehe cs dbe, amikor káresemény örénik! Az n-edik káresemény id ponjában a bizosíó pénze: u+c ( X 1 + +X n ( Z1 + +Z n = u ( Y1 + +Y n. Ez az jeleni, hogy ( ( Φ(u = P u sup Y1 + Y n n 1 ( = P ( sup Y1 + +Y n u. n 1 (i Ha c E(Z/E(X, akkor E(Y, ehá a 1.2. Téel szerin ( Y1 + +Y n = + m.b. sup n 1 32

34 Ebb l kövekezik, hogy Φ(u = 1 esz leges u. (ii Ha c > E(Z/E(X, akkor E(Y n <, vagyis a 1.2. Téel isméel alkalmazásával lim (Y 1 + +Y n = n Vezessük be a kövekez vélelen válozó: m.b. M = sup n 1 ( Y1 + +Y n (, + m.b. Ekkor Φ(u = P (M u, u, ehá Φ éppen az M válozó eloszlásfüggvénye a poziív félegyenesen. Ebb l kövekezik az állíás. (iii Ha c E(Z/E(X, akkor Φ és Ψ 1. Ebb l minden ulajdonság azonnal kövekezik. Ha c > E(Z/E(X, akkor Φ eloszlásfüggvény, ehá monoon növekv és càdlàg. Emia Ψ = 1 Φ monoon csökken és szinén càdlàg. 11. A cs dvalószín ségre vonakozó inegrálegyenle Téel. A klasszikus rizikófolyama eseén a Φ függvény abszolú folyonos és megoldása a kövekez inegrálegyenlenek: Φ(u = Φ(+ λ c u Φ(u z [ 1 F (z dz, u. Bizonyíás. Mivel az els káresemény X 1 bekövekezési id ponja és Z 1 nagysága függelen, a ké válozó együes eloszlásfüggvénye ahol H(z, x = P ( Z 1 z, X 1 x = F (zg(x, G(x = P (X 1 x = 1 e λx, x. Mos G abszolú folyonos, ezér dg(x = G (xdx = λe λx dx. Jelölje A x (u az az esemény, hogy a bizosíó a nem megy cs dbe az [x, id inervallumon, ha az x id ponban u kéje van. Mivel a bizosíó leghamarabb az X 1 id ponban mehe cs dbe, a eljes valószín ség éelével és a Fubini-éellel kapjuk, hogy Φ(u = P ( A (u = P ( A X1 (u+cx 1 Z 1 = P ( ( A X1 u+cx1 Z 1 X 1 = x, Z 1 = z H(dz, dx [, [, = P ( ( A x u+cx z X1 = x, Z 1 = z df (z dg(x [, [, = Φ(u+cx z df (z λe λx dx [, [, = λe λx Φ(u+cx z df (z dx. [,u+cx 33