GAZDASÁGI ÉS ÜZLETI STATISZTIKA jegyzet ÜZLETI ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK

Átírás

1 BG PzK Módszerani Inézei Tanszéki Oszály GAZDAÁGI É ÜZLETI TATIZTIKA jegyze ÜZLETI ELŐREJELZÉI MÓDZEREK A jegyzee a BG Módszerani Inézei Tanszékének okaói készíeék 00-ben.

2 Az idősoros vizsgálaok legfonosabb célja az előrejelzés. Ekkor becslés adunk egy jövőbeli időponra vagy időszakra. Az előrejelzésnek egyik módja az exrapoláció, ami felhasználja az idősor múlbeli ényadaai, a megfigyelési arományhoz kapcsolódó endenciáka egy jövőbeni időponig veíi ki. A gazdasági folyamaok hosszabb vagy rövid ávon örénő vizsgálaánál a ényérékek idősorba rendezeen jelenik számunkra a vizsgála kiindulóponjá. onos megjegyezni, hogy az idősorok eseében az egymás köveő időponok nem felcserélheők. Az előrejelzés csak akkor adha megbízhaó információ, ha a vizsgál jelensége behaóan vizsgáljuk, válozásainak örvényszerűségei ismerjük. A sraégiai üzlei előrejelzésnek a maemaikai módszerek ada leheőségek melle figyelembe kell vennie a gazdasági szabályozók haásá, ovábbá a dönéshozaal, és ezzel összefüggésben az ado esemény befolyásolásának leheőségé és szükségességé. Az előrejelzési ípusok mind mikro, mind makroszinen rendszerezheők az előrebecsül érék időhorizonja szerin rövid-, közép-, és hosszúávra. Hosszúávon az előrejelzés eredménye gyakran késéges lehe, hiszen az ado folyamao befolyásoló ényezők közül csak néhánynak a számíoól elérő alakulása annyira befolyásolja (befolyásolhaja) a vizsgál esemény, hogy az előrejelzés ponalansága emia nagy lesz. Az előrejelze éréke lérehozó módszer szerin megkülönbözeheő, maemaikai (egzak), nem maemaikai (szakérői becslésen alapuló), és mindké válozao aralmazó úgyneveze vegyes ípusú előrejelzés. Az előrejelzési módszerek oszályozása aszerin is leheséges, hogy a vizsgál folyamao sajá múlbeli alakulásának örvényszerűségeiből, vagy más folyamaok alakulása ismereében válik leheővé az előrejelzés. Ezér az előbbi feléel nélküli, uóbbi feléeles előrejelzésnek ekinjük. A eljesség igénye nélkül, felsorolás szerűen helyezzük el az egyes előrejelzési módszereke. A feléel nélküli első csoporja az egyszerű rendszámíás (lineáris, polinomiális, exponenciális, hiperbolikus, sb.). Második csoporba aroznak a simíó módszerek (mozgó álag, exponenciális kiigazíás, harmonikus súlyok). A harmadik csoporba aroznak az úgyneveze dekompozíciós módszerek (rend, szezon és ciklikus komponens elkülöníése. Uóbbiak meghaározhaók spekrál elemzéssel, analiikus rend módszerével sb.). A negyedik igen jelenős csopor az idősori szochaszikus modellek (auoregresszív AR, mozgó álag MA, ARMA, ARIMA, szezonális ARIMA sb. modellek). A feléeles előrejelzési módszerek egyik csoporja a ké és öbbválozós regresszió felhasználó csopor. További csoporokkén jelennek meg a spekrálelemzés, az idősori szochaszikus modellek öbbválozós eseei is. A gazdasági és üzlei éleben nagy jelenőséggel bír az exrapoláció, aminek egyik elerjed módszeré a simíó eljárásoka muaja be ez a fejeze. A simíó eljárásoka gyakran nevezik kiegyenlíő módszereknek is. Használauk során a vélelen ingadozások kiszűrésével lehe előrejelzés adni, ami örénhe a megfigyelési időszakra (ex pos) ill. a jövőre (ex ane). Ezek az eljárások ényadaok segíségével lépésenkén korrigálják a kialakío modell eredményei. Ezér nem deerminiszikusak, de nem is szochaszikusak, hiszen a vélelen haásá próbálják kiszűrni. E módszerek népszerűségének elsődleges oka a könnyű kezelheőség, jó programozhaóság és kevés memória igény (bár ez uóbbi jelenősége egyre jobban háérbe kerül).

3 . Mozgó álagolás Egyszerű mozgó álagolás Egyszerű mozgó álagolás sacionárius idősorokra (A sacionárius idősorok bizonyos állandóságo muanak, rendmenesek.) lehe alkalmazni, k agú álagok sorozaá haározzuk meg úgy, hogy minden eseben a legrégebbi megfigyelés elhagyjuk, helyébe újabb megfigyelés kapcsolunk az álagolandó ényadaokhoz. A (+)-ik időponra vonakozó előrejelzés k agú mozgóálaggal a kövekező módon kapjuk: y y... y k. k Tekinsünk meg egy előrejelzés agú mozgó álagolással, Magyarország kőolajermelésére [ezer /év]. Adaaink az közöi időszako ölelik fel. A számíás a kövekező képen örénik: Meghaározzuk agú mozgó álagolással az ex-pos előrejelzéseke. 4 5 y y 4 y y y y eni eljárás folyava kapjuk meg a simío idősor és az előrejelzéseke. Haározzunk meg az exane előrejelzés az 969-es évre. y y8 y A számíási eredmények egy részleé az I. ábláza muaja be, aminek uolsó oszlopa a simío és az eredei idősor elérésének négyzeé aralmazza. Ezek összegének álaga adja az úgyneveze reziduális varianciá, aminek méréke a modell illeszés jóságának egy muaója. Év y e = ( - y ) : ,00 684, ,67 77, ,67 I. ábláza: zámíási eredmények agú mozgó álagolással Magyarország kőolaj ermelési adaaira [ezer /év]

4 Elemezzük a feni idősor 5 agú mozgó álagolással is! Év y e = ( - y ) II. ábláza: zámíási eredmények 5 agú mozgó álagolással Magyarország kőolaj ermelési adaaira [ezer /év] Az közöi időszak előrejelzései és hibái a ké különböző agú simíásnál jelenős eléréseke muanak. Ennek oka abban keresendő, ha k- nagyobbnak válaszjuk, jelenősebb simíás érünk el a reziduális variancia növekedése melle. A k éréké akkor célszerű nagyobbnak válaszani, ha az idősorban nagyfokú vélelen ingadozás figyelheő meg. Az elmondoak jól láhaóak az I. ábrán, ami az eddig vizsgál idősor öbb min 5 éves inervallumban muaja be. Csak grafikonon muajuk be a és 5 agú mozgóálagolás Magyarország cukorermelési adaaira vonakozóan a. ábrán. Az ábra anúsága szerin bár hazánk cukorermelése hosszú évek vonakozásában állandónak mondhaó, de rövid ávon jelenős ingadozásokkal erhel. Ezér szemléleesebben kiűnik, a simíó haás érvényesülése illeve jobban lászik, mennyivel köveik a ényadaoka a simío érékek (köveési effekus). 4

5 Cukorermelés Magyarországon (ezer /év) Kõolajermelés Magyarországon (ezer /év) Kõolaj [ezer /év] (k=) (k=5) ábra és 5 agú mozgó álagok Magyarország kőolaj ermelési adaaira Év Cukor [ezer /év] (k=) (k=5) Év. ábra és 5 agú mozgó álagok Magyarország cukorermelési adaaira A mozgó álag ípusú előrejelzésnek egy korrigál válozaa a kövekező egyenle: y y k k k k y y k. 5

6 Az egyenleből láhaó hogy a legújabb megfigyelés az előrejelzéshez /k súllyal hozzáadjuk, és a legrégebbi elhagyjuk. Így próbálja meg a módszer kiszűrni az idősorból a vélelen haás. Készísük el Magyarország kőolaj ermelési adaaira a agú korrigál mozgó álago. A számíás meneé az alábbiakban muajuk be: Az első becslésnek a megfelelő időszak ényadaá ekinjük.... y 64 y y y y y y E módszerrel előrejelzéskén 969-es évre 94 ezer onna kőolaj ermelési éréke kapunk. A ovábbi részlees eredményeke a III. ábláza közli. Év y e y ) ( III. ábláza agú korrigál mozgó álag számíás eredményei Magyarország kőolaj ermelési adaaira eni adasorra 5 agú korrigál mozgó álagolással a kövekező érékek számíhaók ki: 6

7 Kõolajermelés Magyarországon (ezer /év) Év y e = ( - y ) IV. ábláza 5 agú korrigál mozgó álag számíás eredményei Magyarország kőolaj ermelési adaaira Összehasonlíva a ill. 5 agú simíó módszereke, apaszalhaó a négyzees elérések jelenős növekedése az uóbbi eseén, ovábbá az előrejelzések jelenősen különböznek egymásól. Az elmondoaka megerősíi a. és 4. ábra is. A cukorermelési adaok vizsgálaánál felűnő, hogy a számío ill. az 5 agú korrigál mozgó álag idősor másképpen viselkedik, hiszen a agú a ényadaok fölé, az 5 agú pedig a ényadaok alá becsül Kõolaj [ezer /év] *(k=) *(k=5) Év ábra és 5 agú korrigál mozgó álagok Magyarország kőolaj ermelési adaaira 7

8 Cukorermelés Magyarországon (ezer /év) Cukor [ezer /év] (k*=) (k*=5) ábra és 5 agú korrigál mozgó álagok Magyarország cukorermelési adaaira Év Lineáris mozgó álag Ez az eljárás nem sacionárius idősorok elemzésére alkalmas. Tulajdonképpen a simíás öbbszöri mozgó álagolással éri el. Lineáris rend eseén készeres mozgó álago számíunk. y y y k. k ( ) ( )... k 4. k A. a k-agú mozgó álago, míg a 4. az álagok álagá adja. a 5. () () ( ) ) ( b ( ) 6. k Az előrejelzés kezdei éréké korrigálja az egyszeres és a készeres mozgó álagok különbségével az 5. egyenle, míg a 6. a rend meghaározására szolgál. A 7. előrejelzés ad T időszakra. T a bt 7. A T+-ik időszakra feni egyenleekből a kövekező, egyszerűbb módon is kaphaunk előrejelzés. k ( ( ) ) 8. k A módszer végrehajásának szemléleésére adjunk előrejelzés és 5 agú lineáris mozgó álagolással Magyarország szénermelésére. k= eseére muajuk be a számíás meneé. 8

9 zámísuk ki a. alapján a agú álagoka. y y y y4 y y y5 y4 y Mos kiszámíjuk a 4. alapján az álagok álagá () Az 965 -ik év előrejelzésé a 8. képle alapján kapjuk () () 6 5 ( 5 5 ) 5 5 ) *06 * A számíások folyaásakén kapo eredményeke aralmazza az V. ábláza. Év y e y ) () ( e y ) () ( k= k= V. ábláza zámíási eredmények Magyarország szénermelési adaaira és 5 agú lineáris mozgó álagok alkalmazásával A ábláza aralmazza év ényadaai, az előre jelze időszakoka és a négyzees eléréseke. Az időszak megfigyel és előre jelze idősorai az V. ábra muaja be. 9

10 zénermelés Magyarországon (ezer / év) 500 zén [ezer /év] (k=) (k=5) ábra és 5 agú lineáris mozgó álagok alkalmazása Magyarország szénermelési adaaira Év A ényadaok nehezen kezelheő idősorá jobban közelíi a agú lineáris mozgó álagolás, különösen az idősor második felében meglévő rendhaás. Az 5 agú nagyobb simíás eredményez és szembeűnően jelenkezik az úgyneveze köveési effekus is.. Exponenciális simíás Az exponenciális simíó eljárások az előrejelzéseke úgy készíik el, hogy a mindenkori előrejelzéseke korrigálják valamilyen hibakorrekciós függvénnyel. + = + f( e ) Leggyakrabban a -ik időszakban elkövee hibával ( e = y - ) korrigálunk. Az simíó paraméer megválaszásához kiszámíjuk a reziduális varianciáka. A minimális varianciához arozó érék adja a legjobb modellilleszés. Ha - kicsire, 0-hoz közeli érékre válaszjuk a simíás nagyon nagy mérékű lesz, az idősor ingadozásai megszűnnek. -hez közeli esén ellenkező haás érünk el, vagyis nem örénik meg a kellő mérékű simíás, az előrejelzés is aralmazni fogja a vélelen ingadozásoka. A kövekezőkben a (+) - ik időpon előrejelzésé adjuk meg: + = + ( y - ) A feni összefüggés árendezés uán a kövekezőképpen írhaó fel: + = y + (- ) 0

11 súly Láhaó, hogy a legfrissebb megfigyelés míg a legfrissebb előrejelzés - súllyal szerepel. Írjuk á az előbbi előrejelzés a -ik időponra. = y - + ( - ) - zorozzuk meg a. egyenlee (-)-val és helyeesísük be a 0. egyenlebe. Ekkor a kövekező összefüggés kapjuk: + = y + (- y - + ( - ) - Tovább folyava az eljárás a kövekező egyenlehez juunk: + = y + (- y - + ) y y + ( - ) A. egyenle a legjobban muaja be az exponenciális simíás lényegé. A módszer jósága pedig abban áll, hogy a legfrissebb megfigyeléseke a megelőzőknél nagyobb súllyal szerepelei. Ezzel figyelembe veszi az a ény, hogy az uolsó megfigyelések hordozzák a legöbb információ. Hosszú idősor eseén (az előrejelzés függelen lesz a kiinduló érékől, mivel az uolsó ag ar nullához ( (- ) Ebben az eseben viszon az idősor így írhaó fel: wi y i 4. i0 ahol w i = i, i=0,,,... súlyok formailag geomeriai eloszlásúak és a kövekező ulajdonságokkal rendelkeznek: i0 w i i=0,,,... és w i A w i súlyok exponenciálisan csökkennek ami indokolja ennek a simíó módszernek az elnevezésé A súlyok eloszlásá =0.5 esere az alábbi 6. ábra muaja be sorszám 6. ábra úlyok eloszlása =0.5 eseén

12 Brown féle egyszeres exponenciális simíás Ez a módszer sacionárius idősorokra alkalmazhaó. Alkalmazásá egy példán kereszül, Magyarország kőolajermelésére [ezer /év] muajuk be. Megfigyeléseink kiinduló érékei és a különböző -hoz arozó előrejelzéseke a négyzees elérésekkel a VI. ábláza aralmazza. A számíás menee: Legyen =0., kiinduló érékünk =y =7 Alkalmazzuk 0-e, miszerin =0. y+0.9 =0. y+0.9 y=y=7 =0. y+0.9 =0. y+0.9 y=0.* *7=4 4 =0. y+0.9 =0.* *4=8... Év y (0.) e y ) (0.5) (0.9) e y ) ( ( VI. ábláza zámíási eredmények Magyarország kőolaj ermelési adaaira Brown - féle egyszeres exponenciális simíással, 0., 0.5, 0.9 simíóparaméerek alkalmazásával Az alábbi ábrákon Magyarország kőolajermelése idősorá ( ) és a különböző -hoz arozó simíásoka muajuk be. Észreveheő, hogy a simío idősor az -ól függően késéssel kövei és ompíja az eredei idősor ingadozásai.

13 ezer /év ezer /év ezer /év /a ábra Magyarország kőolajermelése idősora ( ) és egyszeres exponenciális simíása, =0. év /b ábra Magyarország kőolajermelése idősora ( ) és egyszeres exponenciális simíása, =0.5 év /c ábra Magyarország kőolajermelése idősora ( ) és egyszeres exponenciális simíása, =0.9 év onos felhívni a figyelme arra, hogy a Brown féle egyszeres exponenciális simíás csak egyelen időszakra képes előre jelezni. Ennek oka, hogy minden ovábbi előrejelzés a ényada hiányában a

14 Reziduális variancia már előre jelze ada segíségével készíheünk el. Ebből kövekezően eől kezdve minden előrejelzés riviálisan isméli önmagá amin az az alábbi egyenleből adódik: + = y + + ( - ) ( - ) + + A 8. ábra bemuaja Magyarország kőolajermelése idősorára a reziduális varianciáka, különböző - ra. Láhaó, hogy = 0.0 eseén nagyságrendekkel nagyobb a reziduális variancia, min amikor az 0.. Ennek oka, hogy ilyen kicsi simíóparaméer eseén olyan nagymérékű simíás végzünk, ami nagymérékben elrugaszkodik a ényadaokól ábra A reziduális variancia az függvényében Előrejelzés Brown féle keős exponenciális simíással Ez a módszer nem sacionárius, feleheően lineáris rende köveő idősorok eseén alkalmazhaó. A módszer készeres simíás alkalmaz hasonlóan a lineáris mozgó álagoláshoz. Előnye, hogy az idősor vélelen ingadozásának gyorsabb köveésé és a rendhaás jobban érzékelő ex ane előrejelzés esz leheővé. Az eljárás menee a kövekezőkben foglalhaó össze: y ( ) y ( ) 5. () () ( ) y () 6. a b () () () ( ) () ) ( T /( =,. 7. a b T. T az előrejelzés hossza 9. A 5. és a 6. egyenleek az egyszeres, ill. a készeres simíás adják. A 7. és a 8. egyenleek rend paraméerei, míg a 9. az előre jelze élékeke haározza meg. 8. 4

15 A 5 és a 6. egyenleek eseében, ha = az és () y -vel helyeesíjük (vagy ha van leheőség rá, akkor a megelőző időszak valamely álagá vesszük). Az opimális megválaszása a minimális reziduális varianciák alapján örénik. Hol-féle ké paraméeres lineáris exponenciális kiigazíás E módszer lineáris rende aralmazó idősorok eseén alkalmazhaó. A rende közvelen módon simíja ki ké paraméer segíségével. Az eljárás az alábbi egyenleekkel adhaó meg. ( x y ( )( bi ) y b x ( ) ( y) b b T T T y 0. =... b =0. A 0. egyenle a késleleés javíja, ebből kövekezően az a megfigyeléseke elég jól közelíik. A. a rend kisimíásá adja. A. a T időszak előrejelzésére szolgá.. Brown-féle quadraikus exponenciális kiigazíás A módszer másodfokú függvényekkel leírhaó alapirányzao aralmazó idősorok eseén alkalmazhaó. Az eljárás hasonló a lineáris exponenciális simíás módszeréhez, i sor kerül egy harmadik simíásra és egy újabb együhaó c becslésére. Az egyenleek az alábbiak: a b (9 () () y () ( ) () ( ) () ( ) () () ( () () y / ( ) (6 5 ) (0 8 ) () (4 () () ()?/( ) ( ) ) c T a bt / c T simíó egyenleek, a másodfokú alapirányza együhaóinak becslésé adja. A 9 a T - ik időszak előrejelzése. )

16 Winer-féle lineáris és szezonális exponenciális kiigazíás A módszer figyelembe veszi a lineáris rende és a szezonális ingadozásoka is. A módszer leíró egyenleek: y b / L ( )( b ) ( ) ( ) b l? y / ( ) l L 0.. ahol L a szezonaliás hossza. Az előrejelzés Hol módszeréhez hasonló. Az elérés abban áll, hogy a 0. aralmaz egy szezonális kiigazíó formulá. A. a rend kiigazíására, míg a. a szezonindex becslésére szolgál. 6