STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN

Átírás

1 STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN DOKTORI (PhD) ÉRTEKEZÉS Polgárné Hoschek Mónika Nyuga-magyarországi Egyeem Sopron.

2

3 STATISZTIKAI IDİSORELEMZÉS A TİZSDÉN Érekezés dokori (PhD) fokoza elnyerése érdekében Készül a Nyuga-magyarországi Egyeem Széchenyi Isván Gazdálkodás- és Szervezésudományok Dokori Iskola Pénzügyi programja kereében Íra: Polgárné Hoschek Mónika Témavezeı: Dr. Závoi József Elfogadásra javaslom (igen / nem) (aláírás) A jelöl a dokori szigorlaon % -o ér el. Sopron, a Szigorlai Bizoság elnöke Az érekezés bírálókén elfogadásra javaslom (igen /nem) Elsı bíráló (Dr...) igen /nem (aláírás) Második bíráló (Dr..) igen /nem (aláírás) A jelöl az érekezés nyilvános viáján % - o ér el. Sopron,.... a Bírálóbizoság elnöke A dokori (PhD) oklevél minısíése Az EDT elnöke 3

4 4

5 TARTALOMJEGYZÉK TARTALOMJEGYZÉK... 5 ÁBRAJEGYZÉK... 8 TÁBLÁZATOK JEGYZÉKE... TÁBLÁZATOK JEGYZÉKE... RÖVIDÍTÉSEK JEGYZÉKE... BEVEZETÉS... 4 ELİREJELZÉSEK Kvaliaív elırejelzés Kvaniaív elırejelzés Kauzális módszerek Többválozós regressziós modellek Ökonomeriai modellek Többválozós Box-Jenkins modell Projekív módszerek Deerminiszikus idısorelemzés Kiegyenlíı eljárások Szochaszikus idısorelemzés ARMA modellek Sacionariás Idenifikáció Becslés Diagnoszikai ellenırzés ARCH modellek TİZSDEI ELEMZÉS A fundamenális elemzés Technikai elemzés RAX ALKALMAZOTT MÓDSZEREK Dekompozíció Trendszámíás Lineáris rendszámíás

6 4... Polinomiális rendek Logiszikus rend Log-lin rend Log-log rend A reziduális válozóra vonakozó feléelek eszelése Mozgóálagolás Konjunkúra haás kiszőrése Szezonaliás kiszőrése Spline Modellszelekciós kriériumok ARMA modellek felépíése ARCH modellek felépíése Elırejelzések fajái A VIZSGÁLAT A vizsgála árgya Deerminiszikus rendszámíás Lineáris rend Polinomiális rendek Logiszikus rend Logarimusos rendek Deerminiszikus rendek összefoglalása Ciklus haás kiszőrése Szezonális haás kiszőrése Új ípusú spline-ok A RAX ARMA modellje Idenifikáció Becslés Ellenırzés A RAX ARCH modellje A RAX GARCH modellje EREDMÉNYEK ÖSSZEGZÉSE, JAVASLATOK Új/újszerő eredmények Javaslaok... 9 ÖSSZEFOGLALÁS

7 SUMMARY IRODALOMJEGYZÉK MELLÉKLET MELLÉKLET NYILATKOZAT

8 ÁBRAJEGYZÉK. ábra: Idıbeli elırejelzések csoporosíása ábra: A BUX index alakulásának vonaldiagramja 7. január. -. auguszus. közö ábra: A BUX index alakulásának japán gyerya diagramja 9. december.. július 5. közö ábra: RAX idısora 5. január november ábra: Tipikus auokorrelációs eseek ábra: Homoszkedasziciás és heeroszkedasziciás ábra: Normál valószínőségi ábra ábra: Ké megfigyelésre illeszkedı polinom ábra: Három megfigyelés és a polinomja ábra: Több elemő megfigyelés és polinomja ábra: Elırejelzés az idıben ábra: A RAX alakulása. szepember 7 -. július ábra: A RAX idısorára illesze lineáris rend ábra: Lineáris modell vélelen agjai ábra: A RAX volailiása. szepember 7-. július ábra: A maradékok eloszlása és a normális eloszlás ábra : A maradékok Q-Q ploja ábra: Polinomiális rendek ábra: Polinomiális rendek maradék agjai ábra: Polinomiális rendek reziduumainak eloszlása és Q-Q ploja ábra: Logiszikus rend és a RAX ábra: Logiszikus rend maradékainak normaliásvizsgálaa ábra: Log-lin és log-log rendek és a RAX ábra: Log-lin és log-log rendek reziduumai ábra: Log-lin és log-log rendek reziduum eloszlása és Q-Q ploja ábra: Öödfokú polinom ACF és PACF függvényei ábra: Öödfokú rend ACF és PACF függvénye PW regresszió uán ábra: Öödfokú polinom, 5 agú mozgóálag és a ciklus ábra: Öödfokú polinom, agú mozgóálag és a ciklus

9 3. ábra: Csak szezonaliás aralmazó adaok (5es és as mozgóálagból számíva) 7 3. ábra: Maradékagok (5,4; 5,;,4; ;) ábra: 9, 44 és spline-ból épíe rend ábra: 9 agú spline-nal képze rendek vélelen agjai ábra: agú spline-nal képze rendek vélelen agjai ábra: 44 agú spline-nal képze rendek vélelen agjai ábra: A RAX korrelogramja és parciális korrelogramja ábra: Elsırendően differenciál RAX adaos ACF és PACF ábrája ábra: A RAX hozamok eloszlása és Q-Q ploja ábra: A RAX volailiása. szepember július ábra: A RAX hozamok ACF és PACF függvényei ábra A RAX hozamnégyzeek ACF és PACF függvényei ábra: AR()+GARCH(,) modellnél reziduumok eloszlása ábra: AR()+GARCH(,) modellnél a sandardizál reziduumok eloszlása ábra: AR()+GARCH(,) sandardizál reziduumainak Q-Q ploja

10 TÁBLÁZATOK JEGYZÉKE. Tábláza: Lineáris rend illeszése a RAX-ra Tábláza: Auokorreláció eszelése lineáris modell eseén Tábláza: Whie esz a heeroszkedasziciásra Tábláza: Breusch-Pagan esz a heeroszkedasiciásra Tábláza: Maradékok eloszlása lineáris rend eseén Tábláza: Polinomiális rendek Tábláza: Polinomiális rendek modellválaszási kriériumai Tábláza: Polinomiális rendek auokorrelációjának eszelése Tábláza: Polinomiális rendek Whie eszje Tábláza: Polinomiális rendek Whie eszje (csak négyzees agok) Tábláza: Polinomiális rendek Breusch-Pagan eszje Tábláza: Polinomiális rendek illeszkedésvizsgálaának eredményei Tábláza: Logiszikkus rend számíásának adaai Tábláza: Log-lin és log-log rendek Tábláza: Log-lin és log-log rendek auokorrelációjának ellenırzése Tábláza: Log-lin és log-log rendek maradékainak Whie eszje Tábláza: Log-lin és log-log rendek maradékainak Breusch-Pagan eszje Tábláza: Deerminiszikus rendek összefoglaló ábláza Tábláza: Öödfokú polinom becslése.... Tábláza: Prais-Winsen eljárás eredménye.... Tábláza: Negyedéves szezonális elérés adaok (5es és as mozgóálagra) Tábláza: A deerminiszikus rendek hibái Tábláza: ADF esz konsans aggal Tábláza: ADF esz konsans és rend jelenléében Tábláza: ADF esz konsans és négyzees rend jelenléében Tábláza: KPSS esz 8 késleleéssel Tábláza: ARIMA(,,) modell Tábláza: Különbözı ARMA modellek modellszelekciós kriériumai Tábláza: A RAX hozamok alapsaiszikája Tábláza: AR()+ARCH() modell eredményei Tábláza: ARCH modellek modellszelekciós kriériumai... 4

11 3. Tábláza: AR()+GARCH(,) modell... 5

12 RÖVIDÍTÉSEK JEGYZÉKE ACF - AuoCorrelaion Funcion, auokorrelációs függvény ADF Augmened Dickley-Fuller es, kierjesze Dickley-Fuller esz AIC Akaike Informaion Crierion, Akaike információs kriérium BLUE Bes Linear Unbiassed Esimaion, legjobb lineáris orzíalan becslés CORC Cochrane-Orcu eljárás DW - Durbin-Wason próba FAE Függelen és Azonos Eloszlású HQ- Hannan-Quinn crierion, Hannan-Quinn kriériumő KPSS - Kwiakowski-Phillips-Schmid-Shin esz LM - Lagrange Muliplikáor ML Maximum Likelihood OLS Ordinary Leas Squares, legkisebb négyzeek elve PACF Parial AuoCorrelaion Funcion, parciális auokorreláció függvény PW Prais-Winsen eljárás SIC Schwarz Informaion Crierion, Schwarz információs kriérium SSE =ESS sum of squares of error, exlpained sum of squares, hibák elérés négyzeösszege, magyarázo négyzeösszeg SSR= RSS sum of squares of regression, residual sum of squares, regressziós elérés négyzeösszeg, reziduális négyzeösszeg

13 WN - Whie Noise, fehér zaj WLS - Weighed Leas Squares, súlyozo legkisebb négyzeek módszere 3

14 BEVEZETÉS A ızsdei indexek éréke rendkívül fonos információ hordoz a befekeık számára. A dönéseiknél azonban a múla ükrözı indexnél sokkal fonosabb lenne egy olyan muaóval rendelkezni, ami a jövı veíi elıre. Erre a problémára ökélees megoldás még nem szülee. A saiszikában az idısor elemzés különbözı módszereke alkalmaz az elmúl idıszak endenciáinak, összefüggéseinek a felárására és egyben ámpono nyúj a jövı várhaó folyamaainak elıreláásához. Kuaásom során az vizsgálam, hogy az elırejelzési módszereke felhasználva mennyire megbízhaó jövıbeni index érékeke lehe meghaározni. A célom az vol, hogy elırejelzés adjak az egyik magyar ızsdei index, a RAX érékének alakulására vonakozóan. Ahogyan a örénelem során minden eljárási módszer finomodo, ökéleesede, úgy a saiszikai elırejelzéseknél is megörén ez a válozás. A különbözı elırejelzési módszereke felhasználva készíeem elırejelzés a 7-es évekig uralkodó deerminiszikus szemlélee köveve, majd a 8-as évek kedvel ARMA modelljeivel, míg uoljára a legfiaalabb módszercsalád, az ARCH modellek felhasználásával. A kuaás során döbbenem rá, hogy a magyar és a nemzeközi szakirodalom nem egységes az idıbeni elırejelzések csoporosíása során, így elıször ebben kelle egy egységes rendszer lérehoznom. A disszeráció felépíésé az elırejelzési módszerek csoporosíásával kezdem, megmuava a fıbb módszerek lényeges összefüggései. A második fejezeben a ızsdei elemzés ké ípusá muaom be, részleesebben foglalkozva a echnikai elemzéssel, hiszen ez az elemzés a saiszikai eszközár öbb elemé felhasználja és a kuaásaima is befolyásola a echnikai elemzés módszerana. A ızsdei indexek közül a RAX-o elemezem ezér a harmadik fejeze a befekeési alapokról és magáról a RAX-ról szól. A negyedik fejezeben az alkalmazo módszerek, próbák kerülnek ismereésre. Az öödik fejeze aralmazza a 4

15 kuaási eredményeke, a különbözı módszerekkel készíe modelleke és elırejelzéseike. A haodik, uolsó fejezeben az eredményeke foglalom össze, illeve megfogalmazom a késıbbi céljaima, a ovábbi kuaási leheıségeke. A disszeráció megírásához felhasznál könyvek, jegyzeek, cikkek jelölései egységes formára hozam. A ovábbiakban csak azon egyenleeknél hivakozom az eredei szerzıre, ahol nem közismer, álalánosan használ összefüggésrıl van szó. Az adaok feldolgozásához és a modellek felépíéséhez a GRELT (Gnu Regression, Economerics and Time-series Library) nevő ökonomeriai programo használam. A program ingyenesen hozzáférheı az inerneen, illeve egy korai verziója a Magyarországon forgalomban lévı ké nagy ökonomeriai könyv egyikéhez [55] mellékelve van. A spline-okból felépíe rende MapleV 5 programcsomagban ír program segíségével haározam meg. hp://grel.sourceforge.ne/ 5

16 ELİREJELZÉSEK A magyar és a nemzeközi szakirodalomban az idıben örénı elırejelzéseke különbözı módon csoporosíják, különbözı elnevezéseke használnak. Dolgozaomban megpróbálom ezeke közös nevezıre hozni és egy olyan oszályozás adni, amely mindké félnek elfogadhaó, a ké erüle felfogásá övözi. Abban mind a hazai mind pedig a külföldi szakírók egyeérenek, hogy az elırejelzés lehe kvaniaív és kvaliaív, azaz a számokon alapuló, illeve a minıségi.. Kvaliaív elırejelzés Chafield [4] ez a ípus szubjekív elırejelzésnek hívja, hiszen a megkérdeze személyek apaszalaán, udásán, megérzésein alapszik. Ezek a megkérdezeek lehenek a menedzsmen agjai, piackuaók, szakérık. (Ezér alálkozhaunk ezzel a csoporal kollekív szakérıi megkérdezés címen is.) A megkérdezeek minden eseben olyan személyek, akik a vizsgál erülee behaóan ismerik, és így képesek olyan dolgok, válozások megláására, elırejelzésére, amike mások nem udnának. Ilyen elırejelzési módok: Delphi-módszer, szakérıi becslés, brainsorming, öleroham, piackuaás, sory elling módszer, egyéb. 6

17 . Kvaniaív elırejelzés Ezek az elırejelzések már objekívebbek, hiszen a számok elemzésén alapszanak. Aól függıen, hogy az ado jelenség oká vagy a múlbeli érékei ekini-e vizsgálaa alapjának ké nagy csoporra lehe oszani: Kauzális módszerek Projekív módszerek.. Kauzális módszerek Ahogy az a módszercsalád megnevezésébıl is lászik, i a jelenség okának a felárása a cél, és ha már ez megvan, akkor jöhe a jövı prognoszizálása. Mivel egy jelenségnek csak nagyon rikán van egyelen oka, így ezeke a módszereke öbbválozós modelleknek is szokás nevezni.... Többválozós regressziós modellek A regresszió-elemzés feladaa annak jellemzése, hogy a ényezıválozó (x) milyen módon, milyen örvényszerőség szerin feji ki haásá az eredményválozóra (y) (Ramanahan [37] ). A regressziószámíás során háromféle regresszióval alálkozhaunk: Analiikus regresszió - ami a megfigyel adaainkból számíunk ki egy elıre meghaározo formula segíségével. Amikor a udományos éleben valaki a regresszió kifejezéssel alálkozik, akkor o az analiikus regresszióval foglalkoznak. Ebben a regresszióban a legfonosabb a megfelelı függvényípus kiválaszása, majd pedig a kiválaszo függvény paraméereinek kiszámíása. A leggyakrabban használ függvényípusok a lineáris, exponenciális, haványkievıs, polinomiális, hiperbolikus és a lin-log. 7

18 Elmélei regresszió ami a feléeles várhaó érékkel definiálhaó, azaz y-nak x-re vonakozó elmélei regressziója y = E( y x) Tapaszalai (empirikus) regresszió ami ulajdonképpen egy részálagokból képze saiszikai sor, ahol x és y érékek a kövekezıképpen alakulnak: x érékek ( x i ) y részálagok ( y i ) x x M x k y ( x ) = y y y k ( x ( x k ) = y M ) = y k (..) A öbbválozós regressziónál a magyarázo válozóra (y) nem csak egy, hanem öbb magyarázó válozó x, x, K, x ) is haás gyakorol egy idıben. A öbbválozós ( k regressziós modellek közül a lineáris a legelerjedebb. Ennek nem csak az egyszerősége, könnyő érelmezheısége az oka, hanem az is, hogy a legöbb közgazdasági folyama vagy jól közelíheı a lineáris regresszióval, vagy arra könnyen visszavezeheı. A öbbválozós lineáris regressziós modell álalános alakja: y = β + β + β + K+ β + ε x x k xk (..) ahol ε maradékag normális eloszlású valószínőségi válozó, amelyre E( ε ) =, Var( ε x ) = σ és Cov( s ε x ) = ε,minden s -re, azaz függelen és azonos eloszlású. x... Ökonomeriai modellek Az ökonomeria a közgazdasági összefüggések, a gazdasági magaarás becslésével, a közgazdasági elméle és ények szembesíésével és hipoézisvizsgálaával, valamin a közgazdasági válozók viselkedésének elırejelzésével foglalkozik (Ramanahan [55] ) a Az ilyen jellemzık leírására a szokásos jelölés a FAE. 8

19 saiszika eszközárá felhasználva. Az ökonomeriai elemzések elsı és legfonosabb feladaa a vizsgál folyamao jól 3 leíró modell elkészíése. Az ökonomeriai modellbıl nyer válozó endogén válozónak, az endogén válozókban fellépı örvényszerőségeke feláró válozóka pedig magyarázó válozóknak nevezzük. A modellben lehenek olyan válozók is, melyek éréke a modellen kívülrıl adódik, azaz ökonomeriai modellbıl nem levezeheı, ezeke hívjuk egzogén válozónak. Amennyiben ilyen egzogén válozók is jelen vannak a modellünkben, akkor az elırejelzésünk feléeles 4 lesz. Az ökonomeriai modellek fonos része a hibaag, amely a vizsgálai szemponból lényegelen válozók és az elıre nem láhaó események összessége (Maddala [39] )....3 Többválozós Box-Jenkins modell G. E. Box és G. M. Jenkins 968-ban publikálák cikküke [6], melyben a... alfejezeben leír módszerüke ismereék. Ennek az eljárásnak a kierjeszése a öbbválozós modell, melyben a klasszikus ARMA modell bıvíik ki, és amelye ranszfer funkciós modellnek nevezek el... Projekív módszerek Ez a módszercsalád egyválozós. Az elırejelzések ezen ípusai az idısoroka használják fel, a múlból (min egyelen vizsgál válozóból) indulnak ki, az vizsgálják, majd pedig annak felhasználásával próbálnak a jövıre vonakozó prognózisoka adni. A múlnak ehá i kiemel jelenısége van. Ám amíg a projekív módszerek egyik csoporja elfogadja, 3 A modell jósága mindig az elemzés végzıkıl, a felépíe szemponrendszerıl függ. Bizonyos szemponból lehe egy egyszerő modell is jó, valamikor viszon csak egy összee, sokényezıs modell felel meg a vizsgála kriériumainak. 4 Feléeles elırejelzés: ha az eredményválozó azon feléelezés melle jelezzük elıre, hogy a magyarázóválozók bizonyos érékekkel rendelkeznek (Ramanahran [55] ). Ha a modellbıl vagy egy segédmodellbıl kapjuk meg a magyarázóválozók éréké, akkor feléel nélküli elırejelzésrıl beszélünk. 9

20 hogy minden elıre elrendel, deerminál, addig a másik csopor már nem gondolja, hogy elég a endenciák auomaikus jövıre való kiveíése.... Deerminiszikus idısorelemzés Minden elıre elrendel, az események elıre deerminál pályán mozognak. Ez a feléelezés kövei a deerminiszikus idısorelemzés. Amennyiben ez valóban így van, akkor a legfonosabb felada ennek az elrendel pályának a megismerése azér, hogy a jövı alakulásá képesek legyünk elıre jelezni. Az elırejelzéshez ehá ismernünk kell az ú részei, elemei. Ehhez részeire kell bonanunk az idısor, azaz dekompozícióra van szükség. Az idısor négy része a rend, a ciklus, a szezon és a vélelen.. rend vagy alapirányza: az idısorban hosszabb idıszakon arósan érvényesülı endencia, amely az idısor alakulásának a fı irányá, álalános színvonalá jeleni. Az alapirányza maga is öbb, hosszúávon érvényesülı ényezı együes haásának a kövekezménye. Alapveıen ársadalmi, gazdasági örvényszerőségek (pl.: demográfiai válozások, echnológiai válozások, preferenciákban bekövekezı válozások, a piac növekedése, az infláció, a defláció) haározzák meg.. ciklus: a rend felei vagy alai arósabb, nem szabályos mozgás, így jelenésé csak hosszabb idısorok alapján lehe felfedni és anulmányozni. Ennek a komponensnek az elemzésérıl gyakran elfeledkeznek 5, pedig kiszőrése az idısorból fonos, hiszen nélküle a kapo eredmények orzak lehenek. 3. szezonális vagy idényszerő ingadozás: azonos hullámhosszú és szabályos ampliúdójú, öbbnyire rövid ávú ingadozás. Azaz olyan rimikus ingadozás, amely szabályosan visszaérı idıközönkén mindig azonos irányba éríi el az idısor éréké az alapirányzaól. A gazdasági idısorok szine mindegyike mua éves periódusokban ismélıdı szezonális ingadozás és/vagy periodikus ingadozás. Az ingadozás lehe akár 5 Korpás Ailáné Dr.: Álalános saiszika II. címő könyvében [34] az idısornak csak 3 elemé emlíi, és így csak három elemmel számol.

21 napi, hees, hónapos, aól függıen, hogy mi okoza (pl.: évszakok válozása, ünnepek, ársadalmi szokások). 4. vélelen ingadozás: szabályalan mozgás, ami sok eseben nem mua semmilyen sziszemaikusságo. Sok, az idısor szemponjából nem jelenıs ényezı együes haásá képviseli. Szabályalan jellege mia az idısorra gyakorol haásá a múlra ki udjuk muani, ám elıre jelezni nem lehe 6. A dekompozíciós modelleknél az idısorok négy része egymással kéféle kapcsolaban lehe: Addiív modell: az idısor elemeinek haása összeadódik y ij = yˆ + c + s + ε (.3.) ij ij j ij Muliplikaív modell: az idısor elemeinek haása összeszorzódik y ij = yˆ c s ε (.4.) ij ij j ij ahol y az idısor éréke ŷ a rend c a ciklus s a szezonális komponens ε a vélelen ingadozás i =,, K,n a periódusok száma j =,, K,m a perióduson belüli rövidebb idıszakok száma 6 Az...3-ban ismeree szochaszikus idıelemzés éppen ezzel foglalkozik.

22 A deerminiszikus eljárások a vélelennek igen kis jelenısége ulajdoníanak. Ám a vélelen képes az idısor elemei közül leginkább befolyásolni a közeljövı eseményei. Éppen ezér megbízhaó elırejelzések elsısorban hosszabb ávra készíheıek a dekompozíciós modellekkel.... Kiegyenlíı eljárások A projekív módszerek a múlból indulnak ki és annak ismereében képesek elırejelzések készíésére. Amíg a deerminiszikus modellek eleve elrendelnek ekinik a jövı, addig a kiegyenlíı eljárások már élnek azzal a feléelezéssel, hogy a múl nem minden elemének van ugyanolyan jelenısége, befolyásoló haása a jövıre. A simíó eljárások ehá figyelembe veszik az a ény, hogy a múlbeli események haása az idıvel csökken, nem kell valamennyi már meglévı adao ugyanazzal a súllyal szerepeleni, szükség van a fokozaos felülvizsgálara. A simíó eljárások lényege, hogy a prognózis során a becsül ( ŷ ) és a megfigyel ( y ) érék közöi elérés, hibá ( e ), már beépíi a kövekezı becslésbe, azaz elırejelzés korrigálja a korábban elkövee hibák érékével: y ˆ + = y + αf ( e ) (.5.) ˆ Az α a simíó paraméer, amely a simíás méréké adja meg, vagyis az, hogy a korábbi hibáka milyen mérékben vesszük figyelembe. Ha az α éréke alacsony, akkor a hibá kevésbé épíi be, az idısorunk rendkívül kisimulha. Amennyiben azonban az α éréke a maximumhoz, az -hez közelí, a hibá kellıen figyelembe vesszük, ám ebben az eseben a vélelen ingadozások is kiszőrıdnek és a endencia már nem rajzolódik ki megfelelıen. Az f függvény legegyszerőbb esee, ha a simíó paraméer az elkövee hibával szorzódik össze.

23 Az exponenciális kiegyenlíésnél a jelenhez közelebb esı eseményeknek nagyobb súly adhaunk, min a már múlba veszı adaoknak. Az egyszeres exponenciális simíás modellje rendelkezik a sziszemaikus anulás képességével (Ralph e. al.[54] ), azaz: yˆ yˆ ( y yˆ ) y ( ) yˆ + = + α = α + α α (.6.) I az elırejelzés ké komponensnek a súlyozo álagából adódik, ahol a megfigyel ada súlya a simíó paraméer, míg a becsül éréké annak komplemenere. Felírva a öbbi idıszakra is a kifejezés megkapjuk a yˆ + = αy + ( α) y + α( α) y + K + α( α) y + ( α) y i = α( α) y i + ( α) yˆ (.7.) i= kifejezés, ahol a - végelenül nagynak ekinve az induló érék yˆ ) előnik, s a megmarad résznél a súlyok ( α) haványai szerin exponenciálisan csökkennek. (Innen ered az eljárás megnevezése is.) ( Az egyszeres simíás csak abban az eseben használhaó, ha a vizsgál adaok nem muanak semmilyen szezonaliás és rend sem figyelheı meg. Készeres exponenciális simíásnál a simíás készer végezzük el egymás uán. Az ismer eljárások közül a ké leginkább elerjed számíási módo, a Brown-féle exponenciális simíás (Brown [] ) és a Hol-módszer (Hol [7] ) emelném ki. A Brown-féle simíás az egyszerőbb módszer, mer ennek során a már ismer egyszeres simíás kell készer egymás uán elvégezni, azaz a már kisimío idısor újra ugyanazzal az α simíó paraméerrel ismé simíjuk. Az egyszeres simíás némileg megválozo jelölésekkel a kövekezı formában adhaó meg: 3

24 S () () = y + ( α) S α (.8.) ahol () S jelöli a -dik idıszaki becsül érék az egyszeres simíás uán. Ezuán az elızıvel analóg módon elvégzem a második simíás: S () () () = S + ( α) S α (.9.) ahol () S jelöli a -dik idıszaki becsül érék a készeres simíás uán. Az inicializálás, azaz a kezdei érék meghaározása rendkívül fonos. Az álalános gyakorla alapján a kezdei érékeknek az idısor elsı elemé ekinjük. A jövıbeni érékek elırejelzéséhez a y ˆ (..) () () + = S S egyenlee használhajuk, felhasználva mind az egyszeres, mind a készeres simíással kapo idısor adaoka. A Hol-módszer annyiban különbözik az elızıekben bemuaoól, hogy az elsı simíás uán a második simíás, amely a rende jelzi elıre, már más simíó paraméerrel dolgozik: S G = αd = β ( S + ( α)( S S G ) + ( β ) G ) (..) ahol S az elsı simíás uáni, G a második simíás uáni, D pedig a megfigyel érék. Az elırejelzéshez ( F+ érékének meghaározásához) a ké simíás uáni éréke kell felhasználni: F + + = S G (..) illeve egy késıbbi idıponra örénı elırejelzés eseén: 4

25 F = S + G, + τ τ (.3.) Az Skezdei éréknek álalában a megfigyel adao ekinjük, míg a G érékére három ajánlás léezik....3 Szochaszikus idısorelemzés Sem a deerminiszikus modellek, sem a simíó eljárások nem helyeznek nagy hangsúly a vélelenre, azaz a szochaszikus agra. Ebben a fejezeben azoka a modelleke muaom be, amelyek éppen a vélelennek ulajdoníják a legnagyobb szerepe. Vélelen bolyongás Egy y folyamao vélelen bolyongásnak hívunk, amennyiben y = + ε (.4.) y formában írhaó fel, ahol auokorrelálalan, azaz valódi vélelen folyamao ír le 7. ε konsans várhaó érékő, konsans varianciájú és Auoregresszív modellek (AR) Amennyiben a vizsgál idısor sem rend-, sem ciklus-, sem pedig szezon-haás nem aralmaz, akkor az y adaaink jól modellezheıek az auoregresszív modellekkel ( AR ( p)) : y = α y + α y + K + α p y p + ε (.5.) 7 Az ilyen vélelen folyamaoka fehér zajnak (whie noise) nevezi a szakirodalom. 5

26 ahol ε iszán fehér zaj folyama. Vagyis a magyarázo válozó kizárólag sajá korábbi érékeinek függvénye. Abban az eseben, amikor csak az elızı idıszaki érékkel van kapcsolaban, azaz csak egy periódussal késlelee a válozónk, akkor elsırendő auoregresszív folyamaal (AR()) állunk szemben: y = α y + ε (.6.) Mozgóálag modellek (MA) Ha egy y válozó fehér zaj maradék agok lineáris kombinációjából áll, akkor q -ad rendő mozgóálag folyamaról beszélünk: y = β ε ε + βε + K+ β q q (.7.) ahol ε FAE fehér zaj. Az az összefüggés gyakran kicsi módosío formában írják fel: y = ε β ε ε β ε K β q q (.8.) ARMA modellek Az elızı ké modellek egyesíése az auoregresszív mozgóálagolású (ARMA) modell: y = α ε y + α y + K + α p y p + ε βε β ε K β q q (.9.) A folyama p számú auoregresszív és q számú mozgóálag ago aralmaz, így ennek jelölése ARMA ( p, q). Gazdasági idısorokkal kapcsolaos feladaok közül sok könnyen megoldhaó ARMAmodellel, így ezekrıl a kövekezı fejezeben részleesen számolok be. 6

27 .3 ARMA modellek A ársadalmi, ermészeudományos és a gazdasági folyamaoka, azok idıbeli lefolyásá nagyban befolyásolja a vélelen. Éppen ezér olyan elerjed az idısorelemzés ezen módja, melyben a vélelennek kiemel szerep ju. Az ARMA modellek paraméereinek meghaározására és a kapo modellek jóságának ellenırzésére G. E. P Box és G. M. Jenkins [7] 968-ban jelenee meg egy három lépésbıl álló megközelíés:. Idenifikáció. Becslés 3. Diagnoszikai ellenırzés A modellek ilyen formán örénı kialakíása olyannyira elerjed, hogy az idısorelemzés ezen ípusá gyakran hívják Box-Jenkins modellnek..3. Sacionariás Az ARMA modellek felépíése során öbbször elıkerül a sacionariás fogalma. Ha egy idısor maradék agjának várhaó éréke, varianciája, auokovarianciája 8 nem függ az idııl, akkor az ado idısor sacionárius. Tehá E( ε ) = és var( ε = ) σ és cov( ε, ε k ) = σ ρk ahol ρ k a k -dik késleleéshez arozó auokorreláció éréke. A sacionárius folyama lefuása az idıben sabil, nincs rendhaás. Az ilyen idısornak viszonylag nagy a rövid ávú elırejelezheısége. 8 Auokovariancia függelen az idııl, ha ado hibaag nincs korrelációban egy elızı hibaaggal. 7

28 A sacionariásnak ké válozaa van, a rendsacionárius és a differenciasacionárius idısor. Trendsacionárius idısor: y = β + β + ε (..) Az ilyen idısorokban lévı rende regressziós összefüggés alkalmazva szabad csupán kiszőrni. [43]. A rendsacionárius idısorokban az adaoka ér sokk haása idıvel csökken, majd elesen el is őnik, lecseng. Differenciasacionárius idısor: y = y + β + εi (..) i= A legöbb gazdasági idısor inkább diffrerenciasacionárius [39], hiszen a vizsgál válozóka ér sokkok haása arós. Ha az ilyen idısorokban rend van, akkor az csak differenciálással szabad kiszőrni..3. Idenifikáció A Box-Jenkins modellezés elsı lépésében az ARMA ( p, q) folyama paraméerei, vagyis q - és p - kell meghaározni. A fázis lényege ehá megalálni a apaszalai idısor legjobban leíró elmélei idısor. A munkában nagy segíségünkre lehe, ha a megfigyel adaoka az idı függvényében ábrázoljuk. Ekkor szembesülheünk azzal a énnyel, hogy az idısorunkban milyen rend van. Amennyiben lineáris renddel van dolgunk, úgy akkor elegendı az adasorunka differenciálni. A differenciál adaokból készíe ábránk már remélheıleg nem mua ovábbi rende. Ám amennyiben mégis, isméel differenciálásra van szükség. Mivel a gazdasági idısorok álalában aralmaznak rende, így igen valószínő, hogy szükség lesz a differenciálásra. A apaszalaok alapján azonban készeri differenciálással a rend problémája megszőneheı. Ha az ábránkon az adaok exponenciális növekedés muanak, akkor az adasor elıször logarimizálni kell, majd ezuán újabb ábrá kell készíeni. 8

29 A differenciálás és ezálal a rend kiszőrése azér fonos, mer az ARMA ( p, q) folyama becsléséhez a vizsgál idısor sacionárius kell, hogy legyen. Min az már bemuaam, az idısornak nem csak rend komponense van. Ha az idısorunk szezonális komponens is aralmaz, akkor a sacionariás kriériuma sérül. A legegyszerőbb mód ismé csak a differenciálás. y y -ed fokú differencia képzés az eseek nagy részében elegendı (amennyiben évszakok, negyedévek miai szezonális haás jellemzı). Léeznek kifejezeen szezonaliás kezelı programok is, min a TRAMO / SEATS vagy az X ARIMA. Ha a Box-Jenkins modell elsı lépésében az apaszaluk, hogy az idısorunk nem sacionárius, akkor differenciálunk, hiszen különben nem lehene az elırejelzés elkészíeni. Az elsı lépésben nem csupán q és p paraméer kell elızeesen megbecsülnünk, hanem a differenciálások foká (d) is, amely beépül a modellünkbe, ami ezenúl ARIMA( p, d, q) 9 -nak fogunk hívni. A vizsgál adaok idıbeni ábrázolásán kívül egy másik ábra segíségével is el lehe döneni, hogy szükséges-e a differenciálás. Ez a korrelogram (auokorrelációs függvény, ACF ), ami egy sor adaainak és a múlbeli érékeinek korrelációs együhaóinak, azaz az auokorrelációs együhaók ábrája. Cov( ε, ε s ) E( ε, ε s ) r s) = Cor( ε, ε s ) = = (..) Var( ε ) E( ε ) ( Az ACF grafikonon s függvényében van ábrázolva r (s). Amennyiben a kapo görbe csak lassan csökken, akkor bizosan szükséges legalább egy differenciálás. A differenciálás elvégzése uán, elkészíve a kövekezı korrelogrammo, ismé csak a csökkenés méréké kell vizsgálni. 9 AuoRegressive Inegraed Moving Average auoregresszív inegrál mozgóálag 9

30 Az auokorrelációs függvény felrajzolása nem csak abban segí, hogy az idısorunka sacionáriussá udjuk enni, hanem abban is, hogy az mozgóálagolású (MA) ag q -fokára egy kezdei becslés udjunk adni. Ehhez a korrelogram alakjá kell csak megvizsgálni. Ha a korrelogram q -nál kisebb érékeknél nem mua semmilyen haározo alako, míg q -ól nagyobb érékekre nulla, akkor a késleleéseknek q - kell válaszani. Vagyis pl. elsırendő mozgóálag (MA()) folyama eseén kizárólag ez elsı érék nem nulla, az összes öbbi az. Az auoregresszív (AR) ag p kezdei érékének eldönésében a korrelogram helye egy másik függvény használunk, ez a parciális auokorreláció függvény (PACF). A PACF a magasabb rendő auokorrelációk haás megiszíja az alacsonyabb rendő auokorrelációk haásaiól. A parciális korrelogram éréke egy bizonyos késleleés uán nulla körül fog mozogni. Ez a késleleés lesz a p kezdei éréke. Azaz egy elsırendő auokorrelációs (AR()) folyamanál a parciális korrelogram elsı eleme nem nulla, a öbbi mind nulla közelében marad. Mind a p, mind a q érékére lehe levonni kövekezeése mindké görbe alakjából. Ha egyik ábra sem muaja egyérelmően, hogy milyen rendő folyamao kellene vázolni, akkor a legegyszerőbb egy ARMA(, ) -el indíani a számíásainka..3.3 Becslés A modell ezen ponján a y = α y α y α y ε β ε β ε β ε + + K + p p + K q q (.3.) egyenle paraméereinek (remélheıen) végleges éréké kell megbecsülni. A becslés maximum likelihood (ML) módszerrel örénik. 3

31 .3.4 Diagnoszikai ellenırzés Ebben a fázisban ellenıriznünk kell, hogy megfelelıen illeszkedik-e a modellünk az adaokhoz, vagyis a modellünk jóságá. Ha a felír modell helyes, akkor a reziduumok fehér zaj folyamao képeznek. Ehhez Box és Pierce [9] 97-ben kidolgozo eszjé alkalmazzuk, ahol kiszámíva a eszsaiszika Q = n K r k k= (.4.) éréké az egy K p q szabadságfokú χ K p q eloszlás kriikus érékével hasonlíjuk össze. ( K a számío auokorrelációs együhaók száma, rk az εˆ maradékok k -ad rendő auokorrelációs együhaója.) A nem-paraméeres próba során jobb oldali kriikus arománnyal dolgozunk, ahol az alapfelevés ( H ), hogy a reziduumok fehér zajok. Így amennyiben a számío Q érék nagyobb a kriikus éréknél, akkor a modellünk nem helyes. A Box-Pierce eszek nagy problémája hogy kis mina eseén nem megbízhaó az eredménye, ezér is szokák a Ljung-Box esze [8] is elvégezni. A esz menee megegyezik a Box-Pierce eszével, az alapfelevés és a kiérékelés is azonos, csupán a eszsaiszika éréke számíódik másképpen: r Q = n ( n + ) (.5.) k K k k= n ahol n = n d, vagyis a mina elemszáma mínusz a differenciálások száma. Ha az elvégze eszek az muaják, hogy a felépíe modellünk nem haékony, akkor a Box-Jenkins eljárás az elsı lépéssel kell elölrıl kezdeni. A specifikáció módosíása uán újabb becslés kell készíeni, majd az is eszelni. A folyamao addig kell isméelni, amíg Az ilyen alapfelevéső próbáka pormaneau esznek is szokák hívni. 3

32 a harmadik fázisban a eszek eredménye nem igazolja az alapfelevésünke, azaz hogy a megfigyel folyama ARMA ( p, q) vagy ARIMA( p, d, q) folyama. Ha a eszek eredménye kielégíı, akkor jöhe egy végsı lépés, az elırejelzés. A felépíe modellbıl elkészjük a ényleges elırejelzés, hiszen ez az idısorelemzés célja. Az ARMA modellek kifejezés az.3. fejeze címében arra ual, hogy léezik öbb ilyen modell is. A modell-család már számalan agból áll. Így léezik: ARMA - a már ismeree alapmodell GARMA (Generalized ARMA) álalánosío ARMA, NARMA (Non-linear ARMA) nemlineáris ARMA, amikor az auoregresszív vagy a mozgóálagolású ag nem lineáris ARMAX ( ARMA+eXogenous variables) - ARMA+eXogén válozó, ARMAX ( p, q, b) y p q α i y i + β iε i + i= i= = ε + η d (.6.) b i= i i ahol p az auoregresszív, q a mozgóálagolású, b az egzogén agok száma. egzogén válozó paraméerei. ηi az ARIMA- nemsacionárius idısorok alapmodellje VARIMA (Vecor ARMA) Vekor ARMA, amikor egyszerre öbb idısor kell illeszeni, és a válozóik közöi kapcsolao szerenénk leírni udva, hogy a válozó éréke nem csak sajá, hanem egy másik válozó múlbeli érékéıl is függ. SARIMA (Seasonal ARMA) - szezonális ARMA, FARIMA - ARFIMA (Fracional ARIMA, Fracionally Inegraed ARMA ) frakális ARIMA annyiban különbözik az alapmodelljéıl, hogy a d paraméernek megengede a ör érék felvéele is. 3

33 Az ARMAmodellek nagy problémája, hogy a sacionariás szükséges hozzá. Ám a gazdasági éle és különösen a ızsde idısorainál a vélelen ag szórása nem állandó az idıben. Ennek a problémának a feloldására alála ki Rober F. Engle az idısorelemzések szochaszikus családjának egy új elemé az ARCH modell..4 ARCH modellek Az ARCH modellek rendkívül elerjedek a pénzügyi gyakorlaban. Ennek Engle [] szerin 3 oka van: az elırejelezheelenség, azaz a nyereség méréke nehezen meghaározhaó, a vasag szélek, vagyis a kiugró (oulier) érékek meglepıen nagy száma, a volailiás klaszerezıdése, ömörülése, amikor a csendes idıszakoka exrém kiugró érékekkel eli idıszak kövei. Ezeknek a jellemzıknek a kezelésére hozák lére az AuoRegressiv Condiional Heeroscedasiciy, auoregersszív feléeles heeroszkedasziciás modelleke (ARCH). A modell megnevezésében az auoregresszív arra ual, hogy az elérésválozó varianciája ado idıponban az az megelızı elérésválozók négyzeéıl függ. A feléeles jelzı oka, hogy a magyarázó válozó, vagyis a variancia éréké egy segédmodellbıl kapjuk, hiszen variancia az elızı idıszaki varianciák függvénye. Ezen ulajdonság eredményezi az uolsó jelzı, azaz a heeroszkedasziciás kifejezés, hiszen a varianciák nem állandóak. Az ARCH (q) modell három egyenleel írhaó le: y c φ y L φy + ε = m ε = η σ (.7.) σ = α + α K α ε ε + α ε + + q q ahol η ~ FAE(,) fehér zaj. 33

34 Az elsı egyenleben a vizsgál válozó várhaó éréké adjuk meg. Láhaó, hogy a válozó sajá múlbeli érékeinek függvénye, ez ehá az auoregresszív ag. Amennyiben egy AR () folyamaról van szó, akkor annak várhaó éréke a kövekezıre egyszerősödik: y = c + φ + ε (.8.) y Az elérésválozó ( ε ) éréké a második egyenlebıl kapjuk, ahol a vélelenrıl már egyérelmően lászik, hogy függelen, ám már nem azonos eloszlású, a feléeles varianciájuk az idıben válozik. Az uolsó egyenlebıl a korábbi hibaag (innováció) haásá udhajuk meg. Amennyiben az elızı elérés nagy vol, úgy az ado idıszakra is nagy maradék várhaó, míg kicsi hibá kicsi köve. Az egyenlebıl szinén lászik, hogy az elérés elıjele nem számí, hiszen a négyzees aggal az előnik. Az ARCH modellek széles körben elerjedek. Egy egész modellcsalád le belıle. Néhány a legismerebb modellek közül: AARCH (Augmened ARCH ) APARCH (Asymmeric Power ARCH ) CGARCH (Componen GARCH ) EGARCH (Exponenial GARCH ) FIEGARCH (Fracionally Inegraed EGARCH ) FIGARCH ( Fracionally Inegraed GARCH ) GARCH (Generalized ARCH ) GARCH M (GARCH in Mean) GED GARCH (Generalized Error Disribuion GARCH ) GJR GARCH (Glosen, Jaggannahan, Runkle GARCH ) IGARCH (Inegraed GARCH ) LARCH (Linear ARCH ) MARCH (Modified ARCH vagy Muliplicaive ARCH ) Bollerslev [5] 43 ARCH modellcsaládba arozó modell számol össze 34

35 MEGARCH (Marix EGARCH ) NARCH (Nonlinear ARCH ) NGARCH ( Nonlinear GARCH ) NAGARCH ( Nonlinear Asymmeric GARCH ) OGARCH (Orhogonal GARCH ) SPARCH (SemiParameric ARCH ) SQGARCH (SQuare-Roo GARCH ) SWARCH (regime SWiching ARCH ) STARCH (Srucural ARCH ) TARCH (Threshold ARCH ) Az idıbeli elırejelzések neveinek egységesíése magával vona egy egységes oszályozás kialakíásá is. Ezen egységes oszályozási rendszer figyelheı meg a. ábraán. IDİBELI ELİREJELZÉS KVALITATÍV (SZUBJEKTÍV) ELİREJELZÉS KVANTITATÍV (OBJEKTÍV) ELİREJELZÉS Piackuaás Brain sorming Delphi-módszer Szakérıi becslés Sory elling módszer KAUZÁLIS MÓDSZER Többválozós regressziós modellek Ökonomeriai modellek Többválozós Box- Jenkins modellek PROJEKTÍV MÓDSZER Dekompozíciós idısorelemzés Kiegyenlíı eljárások Szochaszikus idısorelemzés Vélelen bolyongás AR modellek MA modellek ARMA modellek ARCH modellek. ábra: Idıbeli elırejelzések csoporosíása 35

36 TİZSDEI ELEMZÉS A ızsde olyan szerveze inézmény, ahol meghaározo szabályok szerin, felügyelen, bizonságosan és áláhaóan bonyolódnak az ügyleek, a folyamaosan érkezı információk alapján pedig a befekeık pillanaonkén érékelik az érékpapíroka és egyéb ızsdei ermékeke (Royis [56] ). A különbözı pénz- és ıkepiaci ermékek érékelésének ké módja van: Fundamenális elemzés Technikai elemzés. A fundamenális elemzés Fundamenum = alap, lain eredeő kifejezés. A fundamenális elemzés a vizsgál ermék alapjainak meghaározásával, elemzésével foglalkozik 3 különbözı szinen: makroszin: nemzegazdaságok vagy nemzegazdaságok köré érini, mezoszin: a kibocsáó vállal szőkebb piaci környezeé érini, mikroszin: magá a kibocsáó vállalao érini. A makroszin a gazdasági helyze elemzésébıl a piaci kiláások, konjunkúrák, recessziók leheıségének meghaározásából áll. Különösen nagy figyelme kell fordíani a poliikai helyze elemzésére, hiszen például egy várhaó kedvezı örvényi szabályozás elınyösen érinhei a vizsgálaunk árgyá, míg egy megszoríó inézkedés az egész gazdaságo nehéz helyzebe hozaja. A vizsgálanak (amennyiben ez a vizsgál vállala szemponjából releváns) ki kell erjednie az országhaárokon úlra is, hiszen ma már globális szinen kell gondolkozni. A mezoszinen elsısorban versenyársainak a köré kell meghaározni, majd az ı helyzeüke, a vizsgál céghez való viszonyuka elemezni. Ezen a szinen kell foglalkozni a kereslee meghaározó fogyaszókkal, várakozásaikkal, elvárásaikkal is. 36

37 A mikroszin a vállalkozás elemzi, vizsgálja haékonyságá, eredményességé erıforrásainak kihasználságá és innovációi. Különbözı muaószámok alapján komple pénzügyi elemzéseke végeznek felárva a vizsgál vállala múljá, jelené és remélheıleg bepillananak a jövıjébe is. A fundamenális elemzés célja a vizsgál cég belsı érékének meghaározása. Amennyiben ez az érék a cég ermékének piaci ára ala van, az az jeleni, hogy az árú felülérékel. Ilyenkor nagy valószínőséggel a kiválaszo insrumenum ára csökkenni fog, hogy a valódi éréké megközelíse. Amennyiben viszon a cég belsı éréke magasabb, min a ermék piaci ára, azaz a ermék alulérékel, akkor várhaó az árak felé mozdulás. A fundamenális elemzés segíségével alaposan megismerve az érine piac jellemzıi, megalapozo dönés udunk hozni, ám ez nem mindig elég. Ahhoz, hogy dönésünk álal valóban sikeres ranzakció köhessünk, a piacnak úgy kell viselkednie, ahogy az elváruk ıle.. Technikai elemzés A fundamenális elemzés nagy háulüıje, hogy megalapozo dönéshez a piac elmélyül ismereére van szükség. Ha valakinek nincs ideje, kedve ezzel bíbelıdni, ám mégis szerené a kiválaszo ızsdei erméke megismerni a befekeés elı, akkor kézenfekvı dönés a echnikai elemzés eszközárának beveése. A echnikai elemzés készíıke charisáknak szokák hívni ızsdés körökben. A név onnan ered, hogy ık ábráka (char) készíenek és ezeke elemezve próbálják dönéseike meghozni. Az ábrák készíésekor ké leheıség van. Készíheı: vonaldiagram, amirıl ellenzıi az állíják, hogy az információk nagy részé elfedi, miuán csak az ado napi, hei záró-/nyió-/maximum-/minimum áraka ábrázolja (. ábra), japán gyerya diagram, mely egy ado napon örén valamennyi fonos esemény megmuaja számokban, azaz a záró-, nyió-, maximum-, minimum áraka is aralmazza szemlélees formában (3. ábra). 37

38 . ábra: A BUX index alakulásának vonaldiagramja 7. január. -. auguszus. közö Forrás: 3. ábra: A BUX index alakulásának japán gyerya diagramja 9. december.. július 5. közö Forrás: A ké diagram közül mindenki a neki eszı válaszhaja, ám az érdemes udni, hogy az elemezni kíván idıszak hossza befolyásolja az ideális válaszás. Ha valaki rövid idıszako kíván csak vizsgálni, akkor a gyerya diagram sok hasznos információval 38

39 szolgálha. Néhány hónapnál hosszabb idıáv eseén már echnikai nehézségekbe üközik az ábrázolás, ilyenkor célszerőbb a vonaldiagramo válaszani. A diagramok az egyszerő felrajzolásukkal sok minden elárulnak, ám a haékony kereskedéshez ennél öbbre van szükség. Ezér fejleszeék ki a különbözı indikáoroka. A echnikai elemzés eszközárá elsajáíva, némi gyakorlaal képesek leheünk egyszerre öbb ızsdei erméke (akár öbb különbözı piacon) figyelemmel kísérni. A grafikonos echnikáknak az alapfeléelezése az, hogy a örénelmi részvényrendek ismélıdnek, így felhasználhaóak elırejelzéshez (Hornsein [8] ). Erre az alapfeléelezésre épíem én is dolgozaoma, s ezér próbálok meg egy a múla minél jobban leíró modell felépíeni. 39

40 3 RAX Budapesi Érékızsde Zárkörően Mőködı Részvényársaság, Budapesi Érékızsde Zr., Budapesi Érékızsde, BÉT, A Tızsde. Ezek mind ugyanannak a gazdasági ársaságnak a különbözı megnevezései. A rendszerválás uán 99. június -én nyioa meg újra kapui hazánkban, Budapesen a ızsde. A Budapesi Érékızsde Zr. legfonosabb feladaa, hogy áláhaó és likvid piaco bizosíson a Magyarországon és a külföldön kibocsáo érékpapírok számára. A hazai pénz- és ıkepiac közponi szereplıjekén a Tızsde forrásbevonási leheısége nyúj a gazdasági éle szereplıinek, egyúal haékony befekeési leheıségeke bizosí a befekeık számára. A keresle és kínála koncenrálásával nyilvános információ bizosí a kereskede ermékek áralakulásáról (BÉT honlap). A világon minden ızsdén számolnak sajá indexe, indexeke. Ezek a muaók azzal a céllal jöek lére, hogy a ızsde álagos hangulaá, endenciájá a piaci szereplık számára közérheı módon megjelenísék. Vagyis az egyes vállalaok, befekeések érékének mérésén kereszül, a ızsdeindex segíségével összképe kapunk a gazdaság állapoáról, a befekeık várakozásairól. A Budapesi Érékızsdén számío indexek közül a legismerebb a BUX, a BÉT hivaalos részvényindexe. A kis és közepes kapializációjú részvények indexe a BUMIX. A befekeési alapok számára jelenıs index a RAX. Tanulmányomban a RAX hazai indexe, annak idıbeli alakulásá vizsgálom, és próbálok meg a jövıbeli érékére vonakozóan becsléseke adni. Azér nem a BUX-o válaszoam, mer az már sokan, sok szemponból elemezék, míg a RAX a saiszikusok és más elemzık mosohagyermekének őnik. 4

41 Miér lehe érdekes egy kisember számára a RAX? Mer az a Befekeési Alapkezelık és Vagyonkezelı Magyarországi Szövesége (BAMOSZ) álal kifejlesze index, mely a befekeési alapok számára benchmarkkén szolgálha. Amikor az ember olyan szerencsés helyzeben van, hogy a mindennapi megélheéshez szükséges pénzén felül még megakaríása is képzıdik, akkor elıször is el kell dönenie, mi egyen a pénzével. Tarhaja a párnája ala. Ám ez nem úl bizonságos és ráadásul nem is hoz semmilyen haszno sem. Beehei a bankba a számlájára. Ha ez egy egyszerő folyószámla, akkor bár a pénze bizonságban van 3, viszon ezér cserébe csak igen kis hozamo bizosí. Annak, aki hajlandó némi kockázao is vállalni, hogy ezér nagyobb hozamo realizáljon, a legmegfelelıbb hely a ızsde. Ezzel csupán az a gond, hogy a legöbb ember nem éri, vagy ha éri is nem udja, nem akarja köveni a ızsde mőködésé napi szinen. Nos, az ilyen embereknek lehe egy kézenfekvı megoldás a befekeési alapba örénı inveszálás. A befekeési alapok a kockázao megoszják az egyes befekeési ípusok közö, ami egy kisbefekeınek rendkívül idı-és kölség-igényes lenne. Ráadásul az alapok álal összegyőjö vagyonömeg diverzifikál befekeése mia bizonságosabb lesz a befekeés. Ahhoz, hogy ez a befekeés valóban bizonságos legyen, szükség van az alapok mőködésének örvényi szabályozására. A ıkepiacról szóló. évi CXX. örvény szabályozza öbbek közö a Magyar Közársaság erüleén székhellyel rendelkezı befekeési alapkezelı külföldön alapío fiókelepe álal végze befekeési alapkezelési evékenysége, a Magyar Közársaság erüleén végze befekeési alapkezelési evékenysége és a Magyar Közársaság erüleén székhellyel rendelkezı befekeési alapkezelı haáron á örénı szolgálaás nyújásá. Benchmark: olyan viszonyíási alapkén használ irányadó hozam vagy piaci index, amelyhez egy porfólió vagy befekeési alap eljesíményé mérik. 3 Az Országos Beébizosíási Alap (OBA) 5. euró/ügyfél érékig bizosíja a visszafizeés a bank fizeésképelensége eseén. 4

42 A RAX, hivaalos nevén BAMOSZ Részvény Befekeési Alap Porfólió Index, egy milliárd forin érékő porfólió modellez úgy, hogy szerkezee és mőködése hasonlíson a befekeési alapoknak a örvényben elıír összeéelre. Ennek érdekében az indexkosárba 3 részvény kerül elıre meghaározo arányban, melyek:,5%,,5%,,5%, 8,5%, 8%, 7,5%, 7%, 6,5%, 6%, 5,5%, 5%, 4,5%, 4%. Vagyis 5 mf, 5 mf 5 mf, 85 mf, 8 mf, 75 mf, 7 mf, 65 mf, 6 mf, 55 mf, 5 mf, 45 mf és 4 mf érékben. Kosárba az a ızsdére bevezee örzs- és elsıbbségi részvény kerülhe bele az évi ké (március 3-i és szepember 3-i) felülvizsgálakor, amely az ado napon közkézhányaddal korrigál kapializáció alapján felállío rangsor elsı 3 helyén szerepel. A kosár újrasúlyozására, azaz a bennlévı részvények mennyiségének újraszámíására minden hónap végén sor kerül. Az index számíásának módja: 3 pi qi Di RAX i= = K 3 (3..) p q i= i i ahol RAX az index éréke ké izedesre kerekíve, i az indexben szereplı részvénysoroza p i ado részvény -dik napi köési árfolyama p i ado részvény indexbe kerülés megelızı köési árfolyama q i ado részvénybıl az indexben kalkulál részvények száma K bizosíani korrekciós ényezı (6 izedes ponos), mely az index folyonosságá hivao 4

43 p ( EX ) = (3..) i k D i Di ( EX ) k pi ( EX ) k dik 6 izedes ponos ényezıben, D ahol E oszalékjogosulság napja ( EX ) k az a nap, amikor i részvény a k -dik oszalékfizeés megelızıen a ızsdei forgalomban uoljára forog oszalékszelvénnyel p ( EX ) ado részvénysoroza részvényeinek záró ára i ( EX ) k napon k d ik k -dik oszalékfizeéskor az i részvény egy egységére esı oszaléka D EX ) ( EX ) napon i ( k D ényezı éréke k -dik oszalékfizeéskor k A RAX éréké 999. február 5. óa haározzák meg napona egyszer, 6.3-kor. A báziséréke 998. január 7-én pon vol. Eddigi 4 legmagasabb éréke 46, pon vol minegy három éve 7. július 3-án. 4. július 3. 43

44 4 ALKALMAZOTT MÓDSZEREK Dolgozaomban a hagyományos elemzésekıl indulok el, s nézem meg, hogy azok mennyire megfelelıek a RAX idısorának jellemzésére. Eközben egy eljesen új maemaikai eszköz is beveek a leheı legjobb modell felépíésére. Majd a sorban az ARIMA( q, d, p) modell köveik. Az uolsónak végzendı vizsgálaok pedig az ARCH modellcsalád körében zajlanak. 4. Dekompozíció A dekompozíciós modellek arra a felevésre épíenek, hogy az idısor négy elembıl áll, melyeke egymás uán le lehe válaszani, s a folyama végén már csak a vélelen marad, ami nem udja jelenısen befolyásolni az idısor éréké. 4.. Trendszámíás Ennek az elsı lépésnek az a lényege, hogy az idısorból a öbbi komponens haásá valahogyan kiszőrjük, az idısor kisimísuk. A ké leheséges módszer, a mozgó álagok módszere és az analiikus rendszámíás. Ha azzal a feléelezéssel élünk, hogy a arós irányzaunka valamilyen analiikusan leírhaó függvénnyel jól udjuk közelíeni, akkor ennek a függvénynek az elıállíása a célja a rendszámíásnak. A felhasznál függvény alapveıen kéféle lehe: lineáris vagy nemlineáris, hogy melyike válaszjuk, az akkor udjuk eldöneni, ha a megfigyel adaoka egy megfelelı koordináa rendszerben grafikusan ábrázoluk. 44

45 A ársadalmi-gazdasági jelenségek idısorai álalában a lineáris függvény melle az exponenciális, a logiszikus függvények, a hiperbola és a p-ed fokú polinom közelíi meg a legjobban. Mindegyik eseben más-más alapmodell állíhaó fel, amelyeke megoldva szinén meg udjuk haározni a rende. Ramanahan [55] felsorol néhány álalánosan alkalmazo rendformá a könyvében. Vizsgálaaim során elsı lépésben ezeke fogom a rend kiszőrésére használni, ám a második lépésnél kierjeszem a vizsgálao egy különleges ulajdonságokkal bíró köbös polinomra, a spline-ra Lineáris rendszámíás A lineáris rende akkor alkalmazzuk, ha a grafikus ábránkon a szomszédos idıszakok közöi válozás abszolú méréke bizonyos állandóságo mua, a ponok ránézésre is egy egyeneshez esnek közel (4. ábra). fied acual 8 6 RAX 4 8 máj. szep. 6 máj. szep. 7 máj. szep. 4. ábra: RAX idısora 5. január november 6. 45

46 A lineáris rend alapmodellje: yˆ β + β + ε (4..) = ahol ŷ a -dik elem rendéréke az idıválozók kifejezı sorozaa β a = idıponhoz arozó rendérék β a rendfüggvény meredeksége, azaz idıegység ala egy idıszakra juó álagos növekedés méréke ε a -dik idıponhoz arozó vélelen Az alapmodellben ismerelen paraméer ( βo és β ) alálhaó, amelyek meghaározásának legismerebb és egyben legegyszerőbb módja a legkisebb négyzeek módszere 5. Ezzel a módszerrel ugyanis az alapmodellben meglévı vélelen szerepé a minimálisra lehe csökkeneni és egy egyenlerendszer udunk felírni, aminek a megoldásai a kerese ismerelen paraméerek lesznek. Az egyenlerendszer: n β + ( ) β = y ( ) β + ( ) β = ( y ) ( =,K n) (4..) AZ OLS eredményekén kapo ké paraméer ( ˆ β ˆ, β) segíségével a rend felírhaó ˆ y ˆ β + ˆ β (4.3.) = alakban, ahol a paraméerek érelmezheıek. β a = idıponban muaja az eredményválozó éréké, míg β a idıegység alai eredményválozó válozás éréké adja meg. 5 OLS-Ordinary Leas Squares, azaz LNM-Legkisebb négyzeek módszere 46

47 4... Polinomiális rendek p -ed fokú polinomok közül a másodfokú, azaz a parabolá ismerjük és használjuk a leginkább. Egy olyan idısor jellemzésére, min amilyenek a gazdasági adaok, ennél magasabb fokszámú polinomiális rende kell alkalmazni. A polinomiális rendek alapmodellje: y = β + β + β + K + β + ε o p p (4.4.) Figyelni kell arra, hogy az ismerelen paraméerek közvelenül nem érelmezheıek. A fokszám növelésével a reziduális variancia csökken, illeve ha úl magas lesz a fokszám, akár vélelen ingadozás is beépülhe az idısorba Logiszikus rend A logiszikus rendfüggvény, avagy S alakú görbe ábráján három jól elkülöníheı szakasz láhaó. Az elsı szakaszban a függvény érékei alacsonyak és csak lassan emelkednek. A második szakaszban gyors a növekedés. A harmadik szakaszban a növekedés lelassul, a függvény érékei egy állandó szinhez közelednek. A logiszikus rende a demográfiában a népesség növekedésének leírására vagy egy új eremék bevezeeése eseén az eladás jellemzésére használják. Alapmodelljében az OLS modellre logiszikus ranszformáció alkalmazunk az eredményválozóra, azaz: y ln (4.5.) y * y ahol y * a vizsgál válozó aszimpoikus maximuma. Az eredményválozó csak szigorúan poziív lehe. A becsül modellünk: yˆ k = (4.6.) β o + β + e 47

48 ahol k a elíıdési szin, az az érék, amely felé az idısor éréke a harmadik szakaszban ar e βo + β az egyes idıszakokhoz arozó relaív elíelenségi szin Log-lin rend 6 Az eredményválozó ranszformálásával kapo modell alapformája: ln y β + β + ε (4.7.) = A modell szigorú kiköéssel él, mégpedig hogy a függı válozó csak poziív érékeke vehe fel ( y > ). Az egyenle mindké oldalának e alapú haványá véve megkapjuk az a formá, amelybıl majd az elırejelzések elkészíheıek lesznek: y e = β + β + ε (4.8.) Akkor célszerő ez a függvényformá válaszani, ha egy konsans üemben növekvı eredményválozónk van Log-log rend Az eredményválozó melle ennél a modellnél már a magyarázóválozó is ranszformálni kell. Az alapmodell: β β + ε ln y = + ln (4.9.) A nemlineáris függvényeke segí linearizálni, ezér is lehe a ermelési és kereslei függvények ipikus formája. 6 A modell féllogarimusos modell néven is emlíi a szakirodalom. 48

49 4...6 A reziduális válozóra vonakozó feléelek eszelése Miuán ellenırizük, hogy a becsül összefüggésünk mennyire jó, célszerő megvizsgálni a számíások kezdeén megfogalmazo feléeleke. A számíás kriériumai közö szerepel négy, amelyek a maradékválozóra vonakoznak. Ezek megléének ellenırzése diagnoszikai eszek segíségével örénik. Kivéve az elsı feléel, amely a hibaagok várhaó érékére vonakozik, ami OLS becslés esében mindig eljesül, így nem szokás ellenırizni. A megvizsgálandó három elıfeléel ehá:. auokorreláció. heeroszkedasziciás 3. maradékok normális eloszlása. Auokorreláció Amikor az idısor egymás köveı maradékai közö korreláció van, akkor auokorrelációról beszélünk. Ez a kapcsola fennállha az egymás köveı agok közö, és ekkor elsırendő auokorrelációról beszélünk. Léezik ezen kívül másod-, harmad-, p-ed fokú auókorreláció, ahol a reziduum és az az köveı második, harmadik, p-dik reziduum közö áll fenn szochaszikus kapcsola. Az auokorreláció kialakulásának öbb oka lehe. Legöbbször a függvényípus nem megfelelı kiválaszása vagy a szükséges magyarázóválozó szerepeeésének hiánya okozza 7. Az auokorreláció meglée már egy olyan egyszerő ábrán is jól lászik, ahol a maradékok érékei ünejük fel (lásd 5. ábra). Természeesen léeznek kvaniaív eszelési eljárások. Ezek közül a leginkább használ a Durbin-Wason próba [9] []. A próba azonban csak az elsırendő auokorreláció eszelésére alkalmas. A magasabb rendő auokorreláció eszelésére alkalmasabb lehe az LM-próba, illeve az ezen alapuló Breusch Godfreypróba [] [4]. A Box-Jenkins modellek harmadik lépése a diagnoszikai ellenırzés, 7 Az auokorrelációnak Kırösi e. al. [36] ennél öbb oko sorol fel. 49

50 mely során az auokorreláció is ellenırizni kell. Ehhez a lépéshez dolgozák ki a Box- Pierce esze, melynek ma inkább egy ovábbfejlesze válozaá, a Ljung-Box próbá alkalmazzák a saiszikusok, ha kifejezeen az auokorreláció eszelése a cél, hiszen i a nullhipoézis szerin a maradék ag WN. (A pormaneau próbákról részleesebben az.3.3. fejezeben íram.) 5. ábra: Tipikus auokorrelációs eseek A Durbin-Wason próba menee:. Hipoézisek felállíása: H : ρ = H : ρ ahol a -dik megfigyelésbıl kiindulva y = β + β x + ε. Auokorreláció fennállása eseén ε = ρε + η, azaz a reziduum éréke az elızı reziduum és egy vélelen válozó ( η ) függvénye. A nullhipoézis ehá az jeleni, hogy ké egymás köveı maradék közö nincs kapcsola, vagyis az induló regressziós feléel eljesül.. Minánk alapján a próbasaiszika érékének kiszámíása: A regressziós maradékból képze Durbin-Wason saiszika d = n = ( ε ε ) n = ε éréke és 4 közé esik, méghozzá úgy hogy az eloszlás a d = ponra szimmerikus. (4..) 5

51 3. Dönés a hipoézisekrıl: Ennél a esznél egy alsó ( d L ) és egy felsı ( d U ) kriikus éréke haároznak meg, majd azok ismereében a dönési szabály megleheısen bonyolul: Ha d éréke a dl arományba esik, poziív auokorrelációról beszélünk Ha d éréke a dl du arományba esik, nem udunk dönés hozni (semleges zóna) Ha d éréke a d ( 4 ) arományba esik, nincs auokorreláció U d U Ha d éréke a ( 4 d ) ( 4 ) (semleges zóna) Ha d éréke a ( d ) 4 arományba esik, nem udunk dönés hozni 4 L U d L arományba esik, negaív auokorrelációról beszélünk A Breusch Godfrey-próba menee. Hipoézisek felállíása: H ρ ρ = K = ρ : = p = H : legalább egy ρ i ahol a -dik megfigyelésbıl kiindulva y = β β K β + ε + x + + k xk 4..) auokorreláció fennállása eseén ε ρ ε ρ ε ρ ε + η = + + K + p p (4..) azaz a reziduum éréke az elızı reziduumok és egy vélelen válozó ( η ) függvénye. A nullhipoézis ehá az jeleni, hogy egymás köveı maradékok közö nincs kapcsola, azaz lineárisan függelenek.. Minánk alapján a próbasaiszika érékének kiszámíása: A regressziós maradékból képze Breusch Godfrey - próba saiszikája n R (4.3.) azaz a mina elemszám és a korrigálalan R szorzaa, ami egy p szabadságfokú χ p eloszlás köve. 5

52 3. Dönés a hipoézisekrıl: A kriikus érék meghaározása uán amennyiben a számío saiszika nagyobb, min a kriikus ( n R > χ ), úgy az alaphipoézis eluasíjuk, azaz léezik valamilyen fokú auokorreláció a hibaagok közö. p Auokorreláció fennállása eseén az OLS becslés elveszíi BLUE-ságá, így a közelíı érékek nem lesznek haásosak. Szinén gondo jelen ilyenkor, hogy a paraméerek szórásnégyzeei orzíoak, s így az illeszkedés jósági foka jelenısen fölé becsülheı. Az auokorrelációs probléma legegyszerőbben úgy szüneheı meg, ha egy másik modellformá válaszunk, vagy megvizsgáljuk, hogy mely fonos válozó hagyuk ki a modellbıl, ami így nem le megfelelı.. Heeroszkedasziciás Ha a maradékválozó különbözı x i érékekhez arozó varianciája állandó, akkor homoszkedasziciásról beszélünk. Ezen feléel megléé könnyen ellenırizhejük, ha ábrázoljuk a hibaényezı. A 6. ábra elsı fele egy olyan esee mua, ahol eljesül a feléel, míg az ábra második felén jól láhaó, hogy x érékének növekedésével a hibaényezı éréke is nı, azaz heeroszkedasziciás esee áll fenn. 6. ábra: Homoszkedasziciás és heeroszkedasziciás 5

53 A homoszkedasziciás eszelésére alkalmas eljárások közül az LM próbák, azon belül is a Breusch-Pagan próba [] a leginkább használ, mer álalánosan alkalmazhaó. A próba háulüıje hogy feléelezi a homoszkedasziciásra vonakozó elızees ismereek, elıfelevések megléé. Ez a hibá küszöböli ki a Whie próba [6], mely szinén nagyminás LM próba. A Breusch-Pagan próba A próba során a modellünk a kövekezı formában írhaó fel: y = β β β K β + ε ahol σ = E( ε x ) az elérésválozó szórásnégyzee: + x + x + + k xk (4.4.) σ = α + α z + α z + K+ α z p p (4.5.) ahol z i ismer adaokkal rendelkezı i válozó idıponbeli megfigyel éréke.. Hipoézisek felállíása: H : α minden i =,3, K, p i = H : legalább egy α Amennyiben a számío érék az elfogadási arományba esik, a homoszkedasziciás feléele megvalósul. Amikor azonban a arományon kívül, az eluasíási arományba esik, heeroszkedasziciás esee áll fenn. i. Minánk alapján a próbasaiszika érékének kiszámíása: azaz a SSR σ LM = (4.6.) σ -re vonakozó segédregresszió regressziós elérés négyzeösszegének a fele, amely p szabadságfokú χ p eloszlás köve. 3. Dönés a hipoézisekrıl: A χ p kriikus érékének meghaározása uán akkor udjuk a nullhipoézi eluasíani, ha a > p számío saiszikánk éréke magasabb a áblázaból kikerese éréknél ( LM χ ). 53

54 Whie próba A próba során az feléelezzük, hogy var( ε i ) = σ i = σ f ( xi ), ahol x i az ismerelen válozó. A Whie próba kereében az ε maradékválozó négyzeére írunk fel egy segédregresszió, melyben a reziduumoka egy konsanssal, az összes magyarázóválozóval, azok négyzeeivel és a magyarázóválozók kereszszorzaaival magyarázzuk. Összesen p darab magyarázóválozónk van. Ha ehá csupán ké válozóval magyarázuk meg az eredmény: y β β + ε = + x, akkor 3 ( c, x, x ), ha 3-mal y = β + βx + β x + ε, akkor 6 ( c, x, x, x, x, xx ) ha 4-el y β β β β + ε = + x + x + 3x3, akkor (, x, x, x3, x, x, x3, xx, xx3, x x3 c ) válozóval udjuk a ε - magyarázni 8. A Whie próba elvégezheı úgy is, ha csupán a válozók négyzeei vesszük, a kereszszorzaoka nem. A próba menee megegyezik a korábban bemuao Breusch-Pagan próbáéval, a különbség csupán a eszsaiszikában van, amely i LM = nr (4.7.) vagyis a mina elemszám és a segédregresszió korrigálalan R -ének szorzaa, ami egy p szabadságfokú χ p eloszlás köve. A homoszkedasziciás hiánya azér jelen gondo egy elemzés során, mer az alapösszefüggésünke nem lehe OLS módszerrel becsülni, hiszen az így már nem haásos. Az ilyenkor alkalmazhaó becslési eljárás a WLS 9, azaz a súlyozo legkisebb négyzeek módszere és a maximum likelihood (ML) becslés. 8 Álalános szabály alapján, ha a konsanssal együ k számú magyarázó válozóval magyarázzuk az y -, akkor k ( k +) / számú magyarázóválozó (konsanssal együ!) szükséges a segédregresszióba. 9 Weighed Leas Squares 54

55 Heeroszkedasziciás eseén szinén problémá jelen, hogy a varianciákra vonakozó becslések nem orzíalanok, s így a szokásos szignifikanciákkal nem udunk dolgozni. 3. A hibaényezı normaliása A maradék eloszlásáról feléelezzük, hogy normális. Ennek eljesülésé legkönnyebben normál valószínőségi ábra alapján ellenırizhejük. Az ábrán a reziduumoka a normális eloszlás esén várhaó érékük ( e * i ) függvényében ábrázoljuk. A várhaó érék ahol: i - a reziduum sorszáma * i,375 ei = se z (4.8.) n +,5 i,375 i,375 z - normális eloszlás éréke helyen n +,5 n +,5 se - a reziduális szórás. Amennyiben az így kapo ábra közel lineáris (7. ábra), az mondhajuk, hogy a normaliás feléele eljesül. Ugyanerre a célra alkalmazhaó a Q-Q (quanile-quanile) plo, mely sokkal elerjedebb. 7. ábra: Normál valószínőségi ábra Elsısorban annak köszönheıen, hogy a saiszikai programcsomagok beépíe opciókén kínálják. 55

56 A normális eloszlás másik grafikus eszközzel is szemléleesen lehe megmuani. Ez a maradékok hiszogramja. Normális eloszlásnál a hiszogram haranggörbe alakú. Amennyiben a vizuális élmény szerenénk számokkal is aláámaszani, akkor a legegyszerőbb megoldás egy illeszkedésvizsgála elvégzése, ahol a H hipoézisünk szerin a vizsgál mina normális eloszlás köve, míg az ellenhipoézis szerin nem Mozgóálagolás A rende a megfigyel idısor érékeinek álagolásával kell elıállíani abban az eseben, ha feléelezzük a arós irányza léé, de nincs kellı ismereünk a vizsgál folyamaról vagy nem udunk analiikusan leírhaó függvény meghaározni a közép- vagy hosszú ávú ciklusok zavaró haása mia. A módszer lényege, hogy az idısor -dik eleméhez úgy udunk rendéréke rendelni, hogy annak bizonyos környezeében lévı elemeke álagoljuk. Legegyszerőbb eseben 3 agú mozgóálago udunk képezni. Ekkor a -dik eleme megelızı és az az köveı elemek segíségével készíheı el a rendérék. Azonban az idısor elsı és uolsó eleméhez nem lehe éréke megadni, hiszen akkor nincs megelızı/köveı elem. A gyakorlaban álalában nem 3 agú rende számíunk, hanem m agú. Aól függıen, hogy az m páros, vagy páralan, szinén ké ese leheséges:. m páralan Ekkor m felírhaó ilyen alakban: m = k + A rend álalános képlee: ahol ŷ a -dik elem rendéréke y a -dik elem k és + k n kell hogy érvényesüljön y k + y k y y + k yˆ = (4.9.) k + 56

57 Tulajdonképpen ennek egyik speciális esee a 3 agú rend, ami ehá a képlee köveve így néz ki: y + y + y ˆ = + y 3. m páros Ekkor m = k és yˆ y k + y k y y + k + y + k =, ahol ugyanannak a k feléelnek kell érvényesülnie, min az. esenél, azaz k és + k n. Ebben a ké eseben egy dolog ugyanaz, méghozzá, hogy az elsı és az uolsó k elemre nem lehe mozgó rende meghaározni. A mozgóálagolás agszámá annak függvényében kell megadni, hogy a szezonaliás van-e a vizsgál idısorban. Ha ugyanis feléelezheı, hogy van, akkor célszerő m -e úgy megadni, hogy a periódus egész számú öbbszöröse legyen. Ekkor a mozgóálagolás kisimíja a periódus. Ellenkezı eseben pedig vagy nem megfelelıen simíana, vagy éppen újabb periódus generálna. 4.. Konjunkúra haás kiszőrése A szabályalan közép- vagy hosszú ávú ciklus meghaározásának is ké módja van, min ahogyan a rende is ké úon lehee kiszámíani. Mivel a ciklus az analiikus- és a mozgóálagolású rend összeveésével lehe meghaározni, így a ké módszer abban különbözik, hogy melyike végzem el elıször. Abban az eseben, ha a megfigyel idısor rendjé mozgóálagolással haározzuk meg, akkor a kapo rendérékekbıl kiindulva analiikus rende kell számíani. Ebben az eseben a ciklus a ké rend különbsége lesz. A másik ese, amikor az analiikus rend számíásával indíjuk az idısor elemzésé. Ilyenkor az illesze rende levonva az idısor elemeibıl megkapjuk a ciklus, a 57

58 szezonaliás és a vélelen együes éréké. Ebbıl mozgóálagolás segíségével haározhaó azán meg a kerese ényezı, azaz a ciklus. A ké módszer bár nem egyforma, de egymáshoz igen közelálló eredményeke ad. Éppen ezér bármelyik használhaó Szezonaliás kiszőrése A rend és ciklus érékének meghaározása még nem elég egy megbízhaó elırejelzés készíéséhez. Felélenül ellenırizni kell, hogy nem marad-e az idısorban még olyan elem, ami nem csak a vélelennel magyarázhaó, azaz nem marad-e szezon haás. Ahhoz, hogy a szezonaliás meg udjam haározni, ki kelle szőrni a öbbi komponens haásá. Ez úgy hajoam végre, hogy az idısor megiszíoam a rend és a ciklus haásáól, vagyis kivonam azoka az idısorból (ezzel lérehozva az egyedi szezonális eléréseke). A maradék azonban még aralmaza a vélelen. Ez a komponens úgy udam kiszőrni, hogy a különbségeke a megfelelı szezonokra nézve a periódusok (i) szerin álagolam. Azonban ekkor szükség vol még egy korrekcióra, és így marad meg végül az, ami megmuaja, hogy a szezonális haás mia az ado idıszakban mennyivel ér el az idısor adaa az alapirányzanak megfelelı érékıl. y ij yˆ ij c ij = s j + ε ij = y ij Mindezeke képleesen is megmuava: sˆ s j = korr n i= n = sˆ y j ij m j= sˆ m j (4..) A szezonális elérés nemcsak hónapokra készíejük el, hanem negyedévekre is, hiszen a ızsdék éleében egy-egy gazdasági negyedév lezárása jelenıs válozásoka hozha. 58

59 Egy sokkal elegánsabb megoldás alkalmazhaó a szezonális elérés meghaározására. Ebben a módszerben egy öbbválozós regressziós függvénnyel egyszerre lehe a lineáris alapirányzao és a szezonaliás megkapni. A rende és szezonaliás meghaározó regressziófüggvény: ˆ y = β + β + α Z + α Z + α Z (4..) ahol α az muaja, hogy a második negyedévben mennyivel vol nagyobb/kisebb a szezonhaás, min az elsıben α az muaja, hogy a harmadik negyedévben mennyivel vol nagyobb/kisebb a szezonhaás, min az elsıben α 3 az muaja, hogy a negyedik negyedévben mennyivel vol nagyobb/kisebb a szezonhaás, min az elsıben Z éréke az egyes negyedévekben: Z éréke az egyes negyedévekben: Z 3 éréke az egyes negyedévekben: 3 3 A képlebıl a negyedévek szezonaliásának éréke egyszerően haározhaó meg: I. negyedév szezonális elérése: s II. negyedév szezonális elérése: s = s + α III. negyedév szezonális elérése: s = s + 3 α IV. negyedév szezonális elérése: s = s α Ebbıl ehá az I. negyedév könnyen megadhaó, ha a regressziós függvény már α α α3 meghaározuk, hiszen s =. 4 59

60 4..4 Spline A rendszámíás alapproblémája, hogy ismer érékekhez, illeve (azoka ábrázolva) ponokhoz keresünk egy olyan görbé, amely azoka megfelelıen jól közelíi. A maemaikán belül ennek a problémának egy leheséges megoldására az approximáció alkalmazzák. A klasszikus inerpolációs elméle Lagrange nevéhez főzıdik. A probléma ehá, amelyre három megoldási módo is adak azóa, a kövekezı: keresem az az n-ed fokú polinomo, amely minden megfigyel éréken éppen kereszül megy, azaz illeszkedik. Abban az eseben, ha a megfigyelés csupán ké érékbıl áll, akkor a kerese polinom egy egyenes, vagyis egy elsı-fokú polinom. A polinomom álalános formája: y = m x + b (4..) ahol ké ismerelen van: m, amely az egyenes meredekségé adja meg, b, amely pedig az muaja meg, hogy az egyenes milyen magasságban meszi az y engely. A ké ismerelen mia ez az egyenes egyenle megoldásával meghaározhaó. 8 y x 8. ábra: Ké megfigyelésre illeszkedı polinom Ha a megfigyelések száma 3, akkor egy parabolával lehe ezeke az ábrában összeköni. A parabola egy másod-fokú polinom, melynek álalános formája: y = a x + b x + c (4.3.). Láhaó, hogy ebben az eseben már három ismerelen ( a,b, c ) van, ami ehá három egyenlebıl álló egyenlerendszer segíségével megadhaó. 6

61 8 6 4 y x 9. ábra: Három megfigyelés és a polinomja Ugyanez a logiká köveve: ha n + pon, megfigyelés lenne, akkor arra egy n-ed fokú polinom illeszheı. A polinomom álalános alakja ebben az eseben: y( x) = y = a a (4.4.) n n n x + an x a x + a x + Jól láhaó, hogy az n-ed fokú polinomnak n + darab ismerelenje van, amelye n + darab egyenlebıl álló egyenlerendszer oldana meg. Ez már elég nagy felada. y x. ábra: Több elemő megfigyelés és polinomja Ennek a bonyolul egyenlerendszernek a megoldására adak meg a maemaikusok három megoldás.. Egyszerő megoldás Sajnos ennek a módszernek csak a neve egyszerő. Ugyanis egy ilyen lineáris egyenlerendszer eredményez: 6

62 6... ) (... ) (... ) ( a x a x a x a x a y x y a x a x a x a x a y x y a x a x a x a x a y x y n n n n n n n n n n n n n n n n n n = = = = = = M (4.5.) Az ilyen ípusú rendszer pl. elemi bázis ranszformáció módszerrel segíségével lehe megoldani, ami nagy elemszámú minánál megleheısen nehezen számolhaó ki.. Lagrange - féle alappolinomos elıállíás Ennél a módszernél a kerese polinomo elemeire kell szészedni a kövekezık alapján: elıször is olyan függvényeke keresünk, amelyek eljesíik az alábbi feléel: az k x helyen a függvény éréke éppen = k y, míg az összes öbbi ado },,,,,, { n k k x x x x x x K K + helyen. közük pedig bármilyen módon mozogha a polinom. 4. ábra: Egy leheséges Lagrange - alappolinom Ez a feléel eljesíi a Lagrange féle alappolinom: ) (... ) )( (... ) ( ) (... ) )( (... ) ( ) ( n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l = + + (4.6.) x y

63 A (4.6.) képlee egy kicsi megvizsgálva láhaó: bármely xk helyen az számláló és a nevezı ugyanaz lesz.) y k éréke lesz (hiszen ekkor x helyébe xk - írva a bármely olyan ado helyen, ami nem x k, o pedig a számláló valamelyik agja lesz, és így a számláló is -vá eszi. Ekkor pedig már eljesen mindegy, hogy milyen nem nevezıvel oszom el. Azzal, ha egy egyszerő mővelee, szorzás ( y k lk (x) ) végrehajjuk akkor xk helyen nem -e, hanem éppen a kerese y k éréke veszi fel a polinom. Ezuán már a kerese y (x) egyenlee kell megoldani, hogy összeadva az összesen n +darab felszorzo polinomo, azaz legyen a végeredmény. y( x) = y l + y l y n l n (4.7.) 3. Newon féle inerpoláció Ez a módszer napjainkban oszo differenciák módszerének hívják. Ez egy olyan megoldási módszer, amely ugyanaz a fen emlíe Lagrange-féle inerpolációs polinomo adja eredményül más maemaikai meggondolások alapján. Az inerpolációnak van egy kellemelen ulajdonsága, az oszcillálás, vagyis hogy a görbénken úl nagy kinyúlások vannak. Ezeke a kiugrásoka képes az approximáció, annak egy leheséges megvalósíása a spline, csökkeni, minegy kisimíva ezzel a görbé. Approximáció az a maemaikai mővele, amelynél nem az a felada, hogy a megfigyel ponokon ámenı görbé adjon, hanem hogy a ponoka a leheı legjobban közelíse. A rendszámíásnak is éppen ez lenne a lényege. A spline az inerpolációs görbé alacsonyabb rendő, egymáshoz kapcsolódó görbeívekbıl állíja elı, azaz lokálisan keresi a ponoka közelíı görbé. Éppen ezen ulajdonság mia képesek a rende jobban leírni az approximációs spline-ok, hiszen nem globálisak, s így a helyi érzékenységük is nagyobb. 63

64 Egy a maemaikában is új eljárás képes a regresszió és az approximáció elınyös ulajdonságai övözni. Az eljárás a legkisebb négyzeek módszerének elve alapján végzi a súlyok kiválaszásá és ierációs eljárás eredménye a spline közelíés (Polgár [48] ). Az alkalmazo módszer a megfelelı súlyok válaszásával alkalmas roboszus becslés elkészíésére, amellyel az oulierek is kiszőrheıek vagy kisebb súllyal szerepeleheıek. Az eljárás elsı lépésében meg kell haározni, hogy hány splineból ( N ) álljon a kerese görbe. Ennek megállapíásához a rendelkezésre álló adaok alapján szakérıi dönés kell hozni. A második eendı annak eldönése, hogy az oszóponok ( z, z, K, z N ), ahol az egyes görbedarabkák érinkeznek melyik ponok legyenek. I öbb leheıség közül lehe válaszani. Az egyik megoldás, amikor a megfigyel ponok közül válaszunk érinkezési pono, azaz z,, z, K z N {,, n } K. A másik megoldásban megengedjük, hogy a közes ponok bármely más éréke felvegyenek a megfigyel ponok közö, azaz z K ], [,, z N K, n, míg a végponok meghaározásának ismé öbb leheısége adódik. Az álalam válaszo megoldásban az elsı megfigyel érék az elsı spline kiindulóponja és az uolsó megfigyelés az uolsó spline záró ponja, vagyis z = és z N = n. Az eljárás harmadik lépésében már a minimum felada végrehajása zajlik, ahol a kerese összefüggésünk: zn λ ( g ) + p ( g( z ) f ) min. (4.8.) z N i= i i i Az összefüggés elsı agja bizosíja a klasszikus inerpolációs/approximációs spline görbüleének érékei, miközben a második ag a roboszus becslés végzi, s az oulierek szerepé csökkeni. 64

65 A kerese függvényünk a kövekezıképpen néz ki: g g g( z) = g ( z), z N ( z), z M ( z), z [ z, z] [ z, z ] [ z, z ] N N (4.9.) ahol valamennyi g i (z), i {,, K, N} kerese görbe darabkák harmadfokú polinomok, azaz köbös spline-ok. A ızsdei folyamaokról bár udjuk, hogy nem kiszámíhaóak, ám feléelezzük, hogy valamilyen szinig mégiscsak azok, ezér kell olyan görbeípus válaszanunk, ahol a görbüle minimális. Ez a feléel egy harmadfokú görbe eljesíi, s ezér használunk köbös spline-. A harmadfokú görbe álalános alakja: g ( z) = a z + b z + c z + d (4.3.) i i 3 ahol a i, b i, c i, d i a g i (z) függvény ismerelen együhaói, vagyis minden egyes görbénél 4 ismerelen van. i i i A spline-nak az alábbi feléeleke kell eljesíenie:. A görbéknek folyamaosnak kell lenniük, vagyis az egyes ponokban a ké érinkezı görbének ugyanaz az éréke kell felvennie: g g ( z ) = g ( z) g z ) = g ( ) (4.3.) ( 3 z M ( z ) g N ( z ) N N = N. A görbéknek folyonosan differenciálhaónak kell lennie, ezzel bizosíva, hogy a görbékhez húzo érinı (a szélsı ké pono kivéve) a ponokban megegyezzen (ezzel bizosíva, hogy ne örjön a görbe): 65

66 g g ( z ) = g ( z) g z ) = g ( ) (4.3.) ( 3 z M N N N ( z ) = g N ( z ) 3. A görbék akárhányszor differenciálhaóak legyenek, hogy a görbék görbülee a közbensı ponokban azonos legyen: g g ( z ) = g ( z) g z ) = g ( ) (4.33.) ( 3 z M N N N ( z ) = g N ( z ) A feni feléeleknek megfelelıen a minimum felada algorimusa MapleV 5 programmal fuahaó, ahol az ierációs eljárás a kövekezıképp zajlik:. megválaszjuk a p i kezdı súlyok éréké. (Indíáskor egységsúlyok alkalmazás a legmegfelelıbb.). kiszámíja a a i, b i, c i, di együhaóka 3. ha egy elıre megado megállási feléel eljesül leáll, különben g(z) spline segíségével újra meghaározza a p i j súlyoka és visszaugrik a. lépéshez Modellszelekciós kriériumok A megalkoo modellek közül ki kell válaszani az, amelyik a legjobban leírja a megfigyel idısor, hogy azán ez felhasználva udjunk eseleges elırejelzéseke készíeni a jövıre vonakozóan. Az elérés négyzeösszegek (SSE) minimalizálása a cél, így az a feléel adam meg vizsgálaaim során, hogy ahol az SSE éréke már nem csöken szignifikáns mérékben, o kell megállíani az ieráció. 66

67 A legalapveıbb ilyen szelekciós eszköz az R, amivel azonban az a gond, hogy a válozók számának növekedésével éréke akkor is nı, ha a modell jósága eseleg csökken. A maximum likelihood érék alapján szinén lehe döneni. Ekkor az a modell a legjobb, melynek a legnagyobb az éréke. Így ennél objekívebb muaókra van szükség, melyek a különbözı számú paraméerekkel rendelkezı becslések jóságá képesek összehasonlíani. Elemzéseim során 3 alapveı modellszelekciós kriériumo számíok ki, minden eseben az R érék melle:. AIC Akaike információs kriérium []. HQ Hannan-Quinn kriérium [6] 3. SIC - Schwarz információs kriérium [58] AIC az egyik leggyakrabban alkalmazo kriérium, amely jól alkalmazhaó nem-lineáris eseekben és maximum likelihood becsléssel kapo modellek eseén is. Azonban azzal iszában kell lenni, hogy segíségével csupán rangsorolni udjuk a megalkoo modelleke, így kiválaszva a legjobban illeszkedı. A kiválaszás során a legkisebb érék muaja a legjobb, míg a legmagasabb érék a leggyengébb modell, hiszen az muaja, hogy mekkora a nem magyarázo variancia éréke. A kriérium számíási módja: k n AIC = SSR e ( / ) = n log ˆ σ + p (4.34.) p ahol p a becsül paraméerek száma, n a mina elemszám, σ = SSR /( n p). ˆ p A Hannan és Quinn álal 979-ben kifejlesze muaó kifejezeen az auoregresszió fokszámának meghaározására készül, majd késıbb regressziós modellek szelekálására is alkalmas válozaással [] alakul ki a (4.3.) formája. SSR HQ = n ln + k ln ln( n) (4.35.) n 67

68 Schwarz információs kriériumo bayesi információs kriérium (BIC) néven is emlíi a szakirodalom. A kriérium figyelembe veszi a modell jóságá és a paraméerek számá (bőneve a növekvı paraméerszámo). k / n ( ln n) = n log ˆ + p log n SIC = SSR σ (4.36.) p Amíg a SIC kifejezeen jól mőködik kis mina eseén, ha az auoregresszió fokszámá kell kiválaszani, addig az AIC alálja meg a valódi fokszámhoz legközelebb esı éréke, a HQ pedig a nagyminás kiválaszáshoz jobb [57]. A maximum likelihood érék alapján szinén lehe döneni. Ekkor az a modell a legjobb melynek a legnagyobb az éréke, azaz a valószínősége. Ez a modellválaszási kriérium is csak abban ud ehá segíeni, hogy a már elkészül modellek közül melyik a legmegfelelıbb, magá a modell nem segí felépíeni. 4. ARMA modellek felépíése A Box-Jenkins modellek felépíése három lépésbıl áll.. lépés: Idenifikáció Ezen lépés során elıször is ellenırizni kell, hogy az idısor sacionárius-e. A sacionariás rendkívül fonos, mer ha nem sacionárius idısorra készíünk becslé, akkor a paraméereink nem lesznek konziszensek és hamis regresszió kaphaunk. A sacionariás az ún. egységgyök eszekkel lehe ellenırizni 3. Hívják még Schwarz kriérium (SC) és Schwarz-Bayesi inforációs kriérium, Schwarz-féle bayesi kriérium (SBC) néven is. 3 Egységgyök esén a vélelen hibák nem évülnek el, hanem hosszú ávon beépülnek a folyamaba. 68

69 A legismerebb egységgyök esz a Dickley-Fuller esz [8]. A vélelen bolyongás modelljénél y ε = y + (ahol (abszolú érékben). A várhaó érék függ -ıl, illeve ε WN) azaz a késlelee eredményválozó együhaója Var ( y ) = Var( y ) + Var( ε ) (4.37.) vagyis ha a végelenhez ar, akkor megkapjuk az egységgyök próbák alapmodelljé: y varianciája is. A vélelen bolyongás áalakíva y = ρ + ε (4.38.) y ahol ρ >. A próbák során a H alaphipoézissel az ellenırizzük, hogy ρ =, azaz a vizsgál folyama valóban vélelen bolyongás, egységgyök van az idısorban. A H ellenhipoézis szerin a folyama sacionárius. A vizsgála során problémák léphenek fel, így egy kicsi módosío próba elvégzése a javasol, ahol a modell: y = λ + ε (4.39.) y ahol λ = ρ. Ebben az eseben a hipoézisek felírása is válozik: H : λ, vagyis = vélelen bolyongással van dolgunk és H : λ, vagyis sacionárius a folyama. A < saiszika saiszika, ám a kriikus érékek nem -eloszlás kövenek, hanem Dickley- Fuller eloszlás. Ez a esze akkor lehe azonban csak alkalmazni, ha az idısorunkban sem rend, sem konsans ag nincs. Amennyiben azok is szerepelnek, akkor más modell kell vizsgálni. Konsans aralmazó idısornál: y = c + λ + ε (4.4.) y 69

70 7 Konsans és rende is aralmazó idısornál: y c y ε λ δ = (4.4.) Ez uóbbi modell az, ami az eseek öbbségében alkalmazni célszerő, hacsak nem vagyunk eljesen bizosak abban, hogy nincs rend vagy konsans a vizsgál idısorban. A Dickley-Fuller esz álalánosíása a kierjesze Dickley-Fuller esz (ADF), melye vélelen bolyongásnál bonyolulabb egységgyök folyamaokra alkalmazhaunk, ahol a vélelen bolyongáson kívül eszıleges számú agból álló sacioner ag is van a modellben. AZ ADF eseében is három leheséges modell közül kell válaszanunk. Sem konsans sem rend nincs az idısorban: k k y y y y y ε θ θ θ λ = K (4.4.) Konsans aralmazó idısornál: k k y y y y c y ε θ θ θ λ = K (4.43.) Konsans és rende is aralmazó idısornál: k k y y y y c y ε θ θ θ λ δ = K (4.44) ahol k a késleleések száma, melye meg kell válaszani. Éppen ez a válaszási kényszer az ADF problémája, s ezér is szokak más eszeke is alkalmazni, amelyek megerısíik vagy éppen megcáfolják az eredményeinke. A sacionariás vizsgáló eszek közül a másik legelerjedebb a Kwiakowski és szerzıársai [38] álal kifejlesze KPSS esz. A esz nullhipoézise éppen elleneje az

71 ADF-nek, mer i a sacionariás vagy rend sacionariás nézzük, míg az ellenhipoézis elfogadása eseén beszélheünk egységgyökrıl vagy differencia sacionariásról. A KPSS esz egy nagyminás LM esz, melynél a kiinduló modell: y = µ + ρ + ε (4.45.) y ahol ε WN, fehér zaj folyama és =,, K, T 4. A null és az ellenhipoézis: H : ρ és H : ρ = ; µ (4.46.) < = A eszsaiszikánk: KPSS = ˆ ϖ ε T T S = (4.47.) ahol S = i= ε és ϖ ˆ ε a hosszú ávú variancia becslése εˆ -nek: i ˆ ε = σ + τ γ T T ˆ ε τ τ = ϖ (4.48.) ahol γˆ τ a kovariancia becslése ˆ γ τ n = ˆ ε ˆ ε n = r + r (4.49.) A kriikus érékeke a szerzık megadák cikkükben [38]. A gond ennél a esznél is a T megválaszása. Ha úl nagy éréke veszünk, akkor csökken a próba ereje, ha viszon úl alacsony az éréke, akkor auokorreláció eseén a esz elferdül. A ké esz akkor hoz hasonló eredmény, ha az egyiknél el kell fogadni a H alaphipoézis, míg a másiknál el kell uasíani az. Ha mindké esz során elfogadjuk, vagy eluasíjuk az alaphipoézis, akkor egymásnak ellenmondó eredményeke kapunk. 4 T páros szám szoko lenni! 7

72 Ha a vizsgál idısor nem sacionárius, akkor a vizsgálaok folyaása elı az azzá kell enni. Az idısorok differenciálással eheıek sacionáriussá. Vegyük a = L késleleési operáor, ekkor d y = ( y y ) ( y y ) ( y y ) ( y y ) K( y y ) y = y = y M y ( d + ) d (4.5.) Amennyiben az idısor d differenciálással sacionáriussá eheı és ARMA ( p, q) folyamakén felírhaó, akkor a folyamao d -ed rendő ARIMA ( p, d, q) folyamanak nevezzük. A korrelogram és a parciális korrelogram ábrázolásával segísége kapunk a p és q paraméerek elızees becsléséhez.. lépés: Becslés Ennél a lépésnél van szükség a konkré p és q érékek maghaározásra és álaluk a konkré modell érékeinek kiszámíására. Ehhez álalában maximum likelihood becslés használnak, amely egy rendkívül bonyolul folyama, ami azonban a saiszikai programok könnyedén elvégeznek. Így ebben a lépésben igazán sok eendı nincsen. 3. lépés: Ellenırzés A program álal kiszámío modell nem bizos, hogy a legjobban illeszkedı, hiszen az elsı lépésben hibá köveheünk el. Éppen ezér van szükség az ellenırzésre. A korábbiakban 7

73 már ismeree modellválaszási kriériumoknak i ismé nagy szerep ju. Az elsı becslés elkészíése uán célszerő öbb másika is készíeni, úl- illeve alul- illeszeni a modell, ezálal meggyızıdve arról, hogy melyik modell a leginkább megfelelı. 4.3 ARCH modellek felépíése 3-ban Rober F. Engle Nobel-díja kapo az idıben nem állandó volailiású (ARCH) gazdasági idısorok modellezéséér. Ezeke a modelleke elıszereeel használják a pénzügyi adaok elemzéséhez. A ızsdeindexek és ızsdei árfolyamok elemzéséhez is jól használhaó eszköz, hiszen ezeknek az adaoknak is igen nagy a volailiása. A volailiás, azaz szórás egyenelenségé képes ehá kezelni az ARCH modell. Ezér elsı lépésben ellenırizni kell, hogy valóban szükség van-e erre a módszerre, valóban heeroszkedaszikusak-e a hibaagok. Ehhez a legegyszerőbb, ha ábrázoljuk a hibaagoka. Amennyiben ez nem elég meggyızı, vagy szerenénk számokkal is aláámaszani modellválaszásunka, akkor kiszámíhajuk az alapsaiszikáka. Azon kívül, hogy azoknak közgazdasági jelenésük is van, még a maradékok eloszlásáról is kaphaunk információ. Ha már bizosan udjuk, hogy az ARCH modell kell alkalmazni, akkor el kell döneni, hogy hol kezdjük a vizsgálódás. Ahogyan az ARMA modelleknél, i is alapeseben az AR()+ARCH() paraméerekkel szokás kezdeni, majd pedig a modellszelekciós kriériumok segíségével eldöneni, hogy melyik a legmegfelelıbb modell a vizsgál idısor jellemzésére. Az ARCH modellek azzal a feléelezéssel élnek, hogy a variancia az uóbbi megfigyel innovációkól (hibaagokól) függ. Ha azonban az feléelezzük, hogy ezeken kívül a megelızı feléeles varianciákól is függ a variancia, akkor már a Bollerslev álal kifejlesze [4] álalánosío ARCH modellrıl, a GARCH 5 modellrıl beszélünk. 5 Generalized AuoRegressive Condiional Heeroscedasiciy 73

74 A GARCH(p,q) modell összefüggései: y = f ( ) + ε y ε = η σ (4.5) σ = α + α K K β σ ε + α ε + + α qε q + βσ + + p p ahol p a feléeles varianciák késleleési száma, q pedig a hibaagok késleleéseinek száma. Amennyiben az elsı egyenleben szereplı függvény a agok auokorrelációjára épül y = c + φ y + L + φy m + ε (4.5.) akkor a modell AR(m)+GARCH(p,q) modellnek nevezzük. A GARCH modell elınye, hogy amíg az ARCH modellben sok késleleés kellene számolni és így a becslés során sok paraméer kellene meghaározni, addig i elkerülheı a p ag beikaásával. A becslés alapeseben egy egyszerő GARCH(,) modellel szokás kezdeni. A GARCH-modell segíségével végsı soron arra kívánunk becslés adni, hogy a leguolsó hozam alakulásának ismereében, ugyanakkor figyelembe véve valamilyen szinen a régebbi megfigyeléseke, várhaóan mekkora szinő lesz az álagól való elérés (Kóbor [35]). 4.4 Elırejelzések fajái A modellépíésnek gyakran az a jelenısége, hogy azálal képesek leheünk a jövıre vonakozó elırejelzéseke elkészíeni. Elırejelzés készíése során a már megismer örvényszerőségeke felhasználva kívánjunk az idıben elıre meghaározni a vizsgál 74

75 jelenség alakulásá, éréké. Az elırejelzés azonban kéféle lehe: ex pos és ex ane (. ábra). A vizsgál mina Ex pos elırejelzés Ex ane elırejelzés idı A megfigyelés kezdee A vizsgála idıponja. ábra: Elırejelzés az idıben Ex pos elırejelzésrıl akkor beszélheünk, ha a vizsgálao úgy végezük el, hogy nem az összes rendelkezésünkre álló adao használuk fel. Ilyenkor a meglévı adaainkból nem minde használjuk fel a minában a becslés elkészíéséhez, hanem valamennyi megarunk ellenırzés céljából. Az ex pos 6 elırejelzések elkészíése uán ugyanis éppen ezeknek a megaro adaoknak a segíségével lesznek ellenırizheıek. Az ilyen elırejelzéseknek az a gyakorlai haszna, hogy láhajuk, hogy mennyire ponos a felállío modell. Amennyiben az apaszaljuk, hogy az elırejelze és a megfigyel adaok lényegesen elérnek, akkor az egész modellépíési folyamao újra kell kezdeni. Az ex ane elırejelzés arra az idıre szól, amirıl már nem áll rendelkezésünkre információ. Éppen ezér a modell elırejelzı képességé i már nem udjuk ellenırizni, csak becsülni. Az elırejelzések készíése során szem elı kell arani, hogy az idı elırehaladával még egy ökélees modell elırejelzı képessége is csökken. Éppen ezér szokás legfeljebb annyi idı elıre jelezni, min amennyi a megfigyelési idıaramunk vol. 6 Ex pon, azaz a múlra irányuló elırejelzés, hiszen amikor ez elırejelzés készíjük, ezeke az adaoka már ismerjük, már múlbelinek számíanak. 75

76 5 A VIZSGÁLAT 5. A vizsgála árgya Elemzésemben a RAX idısorá. szepember július 9. erjedı idıszakban vizsgálam. Ez a közel 9 éves idıszak összesen 6 megfigyelés jelen. A. ábra muaja az érékek alakulásá RAX ábra: A RAX alakulása. szepember 7 -. július 9. Az index 7 júliusáig emelkedı rendben vol, majd ez köveıen egy esı rend alakul ki. A kövekezı rendforduló 9 áprilisában kövekeze be. Azóa ismé emelkedik az index éréke. 76

77 5. Deerminiszikus rendszámíás 5.. Lineáris rend Min ahogyan az a. ábra jól muaja, a RAX idısora nem lineáris rende köve. Azonban a echnikai elemzésekben rend ala csak a lineáris rende érik, ezér én minegy alapmodellkén meghaározam a lineáris rende. fied acual RAX ábra: A RAX idısorára illesze lineáris rend A kapcsolao leíró egyenle a kövekezıképpen alakul: yˆ = 67,7+, 5846 ahol a 67,7 az az érék, ami a rend alapján a RAX felve. szepember 5-én.,5846 pedig a kereskedésnaponkéni álagos RAX érék növekedés. A 3. ábra és a számok (a p kicsi éréke) is az ükrözik, hogy egyik paraméer sem mondhaó szignifikánsnak. 77

78 . Tábláza: Lineáris rend illeszése a RAX-ra Coefficien Sd. Error -raio p-value cons 67,7 3,68 46,366 <,,5846,4 5,5856 <, Mean dependen var 8,965 S.D. dependen var 45,6993 Sum squared resid,e+8 S.E. of regression 38,3937 R-squared,5363 Adjused R-squared,5359 F(, 4) 558,9 P-value(F), Log-likelihood -5844, Akaike crierion 369, Schwarz crierion 373,6 Hannan-Quinn 3696,36 rho, Durbin-Wason,776 Az R alacsony éréke (,53) is muaja, hogy mennyire kicsi a magyarázó ereje a modellnek. A különbözı modell szelekciós kriériumok is magas érékőek leek. 8 Regression residuals (= observed - fied RAX) 6 4 residual ábra: Lineáris modell vélelen agjai A rend leválaszása uáni maradékoka muaja a 4. ábra. Jól megfigyelheı hogy a reziduumok a érékhez képes len, illeve fen csoporosulnak. Ez az ábra egy ipikus 78

79 auokorrelál maradékago mua, amire vonakozóan a eszsaiszikák is megerısíı érékeke hoznak. A. Tábláza muaja a korrigálalan R éréké (,997), majd pedig az ezek alapján számío próbák éréké. Mindhárom próba ugyanarra az eredményre ju, miszerin az ado becslés maradékagjai közö auokorreláció van.. Tábláza: Auokorreláció eszelése lineáris modell eseén Unadjused R-squared =,997 Tes saisic: LMF = 58454,397875, wih p-value = P(F(5,9) > 58454) = Breusch-Godfrey saisic: nr^ = 9,838564, wih p-value = P(Chi-square(5) > 9,84) = Ljung-Box Q' = 998,9, wih p-value = P(Chi-square(5) > 998,9) = A szórásokra vonakozó vizsgálaok szinén az muaják (lásd 3. Tábláza, 4. Tábláza), hogy a homoszkedasziciás még a legkisebb α =,, azaz,%-os szignifikancia szin melle sem eljesül. 3. Tábláza: Whie esz a heeroszkedasziciásra coefficien sd. error -raio p-value cons ,6 76,9-8,3 3,5e-6 *** 4,377 4,94 6,4 3,79e-56 *** sq_ -,734, ,75,7e-6 *** Unadjused R-squared =,38 Tes saisic: nr^ = 59,9889, wih p-value = P(Chi-square() > 59,9889) =, 4. Tábláza: Breusch-Pagan esz a heeroszkedasiciásra coefficien sd. error -raio p-value cons -,6354,559 -,366,756,9689 4,48e-5,78,e-3 *** Explained sum of squares = 76,63 Tes saisic: LM = 38,3656, wih p-value = P(Chi-square() > 38,3656) =, 79

80 A heeroszkedasziciás rendkívül jól ükrözi a volailiás bemuaó 5. ábra.,5,4,3, Volailias, -, -, -,3 -, ábra: A RAX volailiása. szepember 7-. július 9. A 6. ábra a reziduumoka várhaó érékük függvényében ábrázolja. Jól lászik, hogy a normális eloszlás jelenı haranggörbéhez képes a megfigyelésünk eloszlása mennyire nem normális. Ez ermészeesen illeszkedésvizsgálaal is alá lehe ámaszani (lásd 5. Tábláza). 5. Tábláza: Maradékok eloszlása lineáris rend eseén Frequency disribuion, obs -6 number of bins = 9, mean =,738e-3, sd = 38,394 inerval midp frequency rel. cum. < -745,44-773,8 8,36%,36% -745, ,97-77,7 8,8%,7% -689, ,5-66,3,5%,67% -634, , -66,76 4,9% 3,56% -579, - -53,55-55,9 38,7% 5,8% -53, ,8-495,8 5,3% 6,4% -468,8 - -4,6-44,34 34,53% 7,94% -4, ,3-384,87 4,8% 9,3% -357,3 - -3,66-39,39 4,63% 9,66% -3, ,8-73,9 48,7%,8% -46,8 - -9,7-8,44 7,7% 4,% **** -9, ,3-6,97 4 9,% 43,% ****** -35, ,76-7,5 5 5,64% 48,74% ** 8

81 -79, ,87-5,4 3 9,6% 57,9% *** -4,87-3,86 3,4494 5,5% 6,95% * 3,86-86,66 58,93 59,66% 65,6% 86,66-4,3 4,4 48,7% 67,78% 4,3-97,6 69, ,9% 7,7% * 97,6-53,8 5,34 9 4,9% 75,99% * 53,8-38,55 8,8 5 4,74% 8,73% * 38,55-364,3 336,9 8 5,78% 86,5% ** 364,3-49,5 39,76 8 3,6% 9,% * 49,5-474,97 447,4 53,39% 9,5% 474,97-53,45 5,7 4,8% 93,59% 53,45-585,9 558,9 43,94% 95,53% 585,9-64,4 63,66 3,4% 96,93% 64,4-696,87 669,3 36,6% 98,56% 696,87-75,34 74,6 6,7% 99,73% >= 75,34 78,8 6,7%,% Tes for null hypohesis of normal disribuion: Chi-square() = 4, wih p-value, A vizsgála eredménye az ábra sarkában is leolvashaó. A eszsaiszika éréke 4,, míg a kriikus érék χ még,%-os szignifikancia melle is csak,597. Nem csoda, hogy az ( H : a maradék normális eloszlás köve) alaphipoézis semmilyen érék melle nem udjuk elfogadni ( p =, ).,35 Tes saisic for normaliy: Chi-squared() = 4, pvalue =, N(,738e-3 38,39),3,5, Densiy,5,, ábra: A maradékok eloszlása és a normális eloszlás 8

82 A normaliás ényének eluasíása melle szól a 7. ábra, ahol egyérelmően láhajuk a maradékok elérésé a normális eloszlás jelenı egyeneshez képes Normal quaniles 7. ábra : A maradékok Q-Q ploja Minden leheséges módon bebizonyosodo, hogy a RAX 9 éves idısorának elemzéséhez nem alkalmas a lineáris rend feléelezése. Így ehá másik függvényformá kell keresni, amely jobban jellemzi a. ábra grafikonjá. 5.. Polinomiális rendek A polinomiális rend fokszámának növelésével a görbe egyre jobban illeszkedik egy olyan eloszlásra, min amilyen a megfigyel adasoromé. Azonban nincs semmi érelme a fokszám egy bizonyos haáron úli növelésének. Éppen ezér én csak a kvadraikus, a harmadfokú, a negyedfokú és az öödfokú rendeke vizsgálam. A ovábbiakban miden, a modellekre vonakozó adao együ muaok be. 8

83 A feladaom ehá a y = β + β + β + ε y o 3 + β + β3 ε (5..) = β + β + y 3 4 = β + β + β + β + β + ε o 3 4 y = β + β + β + β + β + β + ε o egyenleek becslése vol. Az OLS becslés eredményé az 6. Tábláza foglalja össze Tábláza: Polinomiális rendek Kvadraikus Harmadfokú Negyedfokú Öödfokú cons 35,5** 5,5** 9,4** 48,** (6,57) (,) (,85) (8,5),55** -,67-3,69**,33** (,345) (,785) (,33) (,685) -,454**,95**,8563** -,8** (,58e-5) (8,9e-5) (,389) (,478) 3-5,6e-7** -5,64e-6**,69e-5** (,44e-8) (,69e-7) (5,383e-7) 4,5e-9** -,8e-8** 5 (3,6e-) (,676e-),63e-** (4,85e-4) korrigál R,677,778,89,898 lnl -,546e+4 -,55e+4 -,484e+4 -,46e+4 A kapo polinomiális rendek egyenleei a ábláza segíségével könnyen felírhaóak: y = 35,5 +,55 +,45 y = 7 3 5,5,67 +,3 5,6 (5..) y = ,4 3,69 +,86 5,6 +,5 y = ,33, +,69,8 +,63 A áblázaban az érékek ala zárójelben a sandard hibák vannak felőneve. ** 5 %-os szignifikancia szine jelez, azaz a harmadfokú polinom együhaóján kívül az összes rend valamennyi válozója 5 %-on szignifikáns csak, ami haározoan jobb eredmény, 83

84 min a lineáris rend esében, ahol még az %-o sem ére el (lásd. Tábláza uolsó oszlopa). A ábláza uolsó elıi sora a korrigál R érékeke muaja. Jól megfigyelheı a muaó azon ulajdonsága, hogy a magyarázó paraméerek számának növelésével akkor is nıhe az R éréke, ha a modell jósága valójában nem nı. Ahhoz, hogy eldönhessük, valóban nı-e a jóság, szükség van más modellszelekciós kriériumok érékének kiszámíására is (7. Tábláza). 7. Tábláza: Polinomiális rendek modellválaszási kriériumai korrigál Kvadraikus Harmadfokú Negyedfokú Öödfokú R,677,778,89,898 log-likelihood -,546e+4 -,55e+4 -,484e+4 -,46e+4 AIC 393,77 35, 968, ,76 HQ 3939, 35,44 969,35 835,6 SIC 3949, ,9 97, ,98 A 7. Tábláza elsı ké sora ulajdonképpen már szerepel az 6. Táblázaban is, ám mivel ezek is segíhenek a legmegfelelıbb modell kiválaszásában, így mindenképpen i a helyük. Láhaó, hogy mindhárom kriérium szerin a legjobb polinomiális modell az öödfokú, míg legrosszabban a kvadraikus illeszkedik. Ez szemlélei a 8. ábra, melyen a RAX és a különbözı fokszámú polinomiális rendek láhaóak. 84

85 kvadraikus rend harmadfokú rend fied acual fied acual RAX RAX negyedfokú rend öödfokú rend fied acual fied acual RAX RAX ábra: Polinomiális rendek 85

86 A 8. ábra jól muaja, hogy a fokszám növelésével mennyivel szebben simul a rend a vizsgála árgyá képezı RAX idısorához. Az öödfokú rend majdnem ökéleesen írja le - egészen 6 márciusáig - az idısor. A maradékok (lásd 9. ábra) is jól muaják, hogy a fokszám növekedése a modellek javulásá hoza, ám még a legjobban illeszkedı öödfokú rend sem képes a 8. április és 9. november közöi idıszak mozgásai megragadni residual residual residual residual ábra: Polinomiális rendek maradék agjai A maradékokra vonakozó négy ulajdonság közül hárma szokás ellenırizni, mer ha azok nem eljesülnek, akkor az OLS becslésünk bizosan nem BLUE. Az auokorreláció eszeléshez a korrigálalan sorában. R érékre van szükség, ezér szerepel ez a 8. Tábláza elsı 86

87 8. Tábláza: Polinomiális rendek auokorrelációjának eszelése Korrigálalan Kvadraikus Harmadfokú Negyedfokú Öödfokú R,99559,99533,9933,98759 LMF saiszika 99697, , ,47 349,659 Breusch-Godfrey próba = n R 6,775 5, , ,36358 Ljung-Box Q' ,3 79,8 574,8 A vizsgála során az feléelezem, hogy egy ado maradékag maximum az ı öel megelızı maradékkal van korrelációban, azaz öödfokú auokorrelációra végezem a eszelés. Az LM próba F eloszlás köve. A kriikus érék mind a négy rend eseében 5,, ami mind a négy becslés saiszikája jócskán meghalad. A Breusch-Godfrey és a Ljung-Box próbák χ p eloszlás kövenek, ahol p a vizsgál auokorrelációk száma, azaz ebben a vizsgálaban p = 5. A kriikus érék ehá egy 5 szabadságfokú χ 5 érék, amely még a legkisebb (,%-os) szignifikancia melle sem nagyobb,55-nél. A négy rend saiszikája mindké próba során meghalada a -es, illeve -es éréke, azaz igencsak ávol áll a kriikus érékıl és így a H auokorrelálalanság alaphipoéziséıl. Homoszkedasziciás eseén a becsléssel kapo rend érékei kivonva a megfigyel adaokból a maradékok szórása azonos. Ám ahogy ez már a 9. ábra is megmuaa, egyik polinomiális rend esében sem eljesül ez a feléel, hiszen a reziduumok jól láhaóan csoporosulnak a érék poziív majd negaív oldalán. Azon állíásoma, hogy a különbözı fokszámú polinomiális rendek maradékagjai heeroszkedaszikusak, számokkal is alá udom ámaszani. Ennek érdekében elvégezem a Whie próbá (9. Tábláza), a Whie próbá olyan megoldásban, ahol csak a magyarázó válozók és azok négyzeei szerepelek a segédregresszióban 7 (. Tábláza) és a Breusch-Pagan próbá (. Tábláza). 7 Vagyis a magyarázóválozók kereszszorzaai nem szerepelek! 87

88 9. Tábláza: Polinomiális rendek Whie eszje Kvadraikus Harmadfokú Negyedfokú Öödfokú cons 3694,*** 59,6*** 964*** 45,3 6,353*** -99,4*** -578,35*** -99,79 -,67644*** 4,388*** 8,33*** 4,* 3 -,857e+ -,46373e+ -9,9746e+9 4 -,474e+8-7,94e ,664 () kmk kmk kmk kmk ( ) -,7547e-7***,8569e+7 kmk kmk ( 3 ) 3,8995e-3*** -,6 kmk ( 4 ),*** 3,93e-8 ( 5 ),***,655***,8649e+,4643e+ 9,975e+9 3 -,8569e+7,43749e+8 7,9744e ,7-68,675 5, ,68688e-9*** -5439, kmk 4,6 -,374 5, ,*** -, ,93e-8 4 5,*** Korrigálalan R,4637,3379,337,38639 n R 533,58 747, ,53 855,9457 p A Whie próba során a segédregresszióban a maradékagok szórásá a válozó megfelelı haványaival, azok négyzeeivel és a kereszszorzaaikkal magyarázzuk. A próbasaiszika egy nagyminás LM próba, ahol a korrigálalan R és a mina elemszám szorzaára van szükség. H alaphipoézis akkor udjuk elfogadni, ha a számío érék kisebb a kriikus éréknél, ami a χ p megfelelı szabadságfok mellei éréke. A p szabadságfok különbözı a 88

89 különbözı fokszámú rendek esében. Mind a négy rend számío saiszikája igen magas éréke ve fel, így egyelen eseben sem eljesül a homoszkedasziciás. A 9. Tábláza méreei mia i nem áll módomban a sandard hibák vagy a -érékek felőneése, ezér az érékek mellei csillagok jelzik, hogy az ado válozó milyen szignifikancia melle szignifikáns. A * esén az ado válozó csak legfeljebb %-os szignifikancia melle elfogadhaó, míg *** eseén ez az érék %-ra csökken. Ahol nincs jelzés, azok a válozók bármely szokásos szignifikancia érék melle elfogadhaóak. A áblázaban kmk rövidíés láhaó, mely kollineariás mia kihagyva kifejezés helye áll. Azaz az ado válozó nem kerül bele a segédregresszióba, mer a ökélees kollineariás 8 esee áll volna fen, ami viszon csökkenee volna a öbbi válozó szignifikanciájá.. Tábláza: Polinomiális rendek Whie eszje (csak négyzees agok) Kvadraikus Harmadfokú Negyedfokú Öödfokú cons 95,7*** -89,3 8574,*** 34,8** -98,876*** 49,367* -85,55*** -44,,9858*** -,9435,798*** 3,4648*** 3,74 -,396*** -,853*** 4 -,874e+8-4,99385e+7*** 5 -,936e-8*** () Kmk Kmk Kmk Kmk ( ) -3,754e-8*** 4,7355e-8,874e+8 4,99385e+7 ( 3 ),*** -,3653e-3*** 4,3788e-*** ( 4 ),***,*** ( 5 ),*** Korrigálalan R,476,36978,3379,35378 n R 466, , , ,984 p A Whie próba elvégezheı úgy is, ha csupán a válozók négyzeei vesszük, a kereszszorzaoka nem. Ekkor jelenısen csökken a segédregresszió 8 Tökélees vagy egzak kollineariásról beszélünk, ha ké magyarázóválozó közö lineáris kapcsola van. 89

90 magyarázóválozóinak száma, és ezálal a χ p eloszlás szabadságfokainak száma. A kiszámío rendeknél a próbasaiszika éréke csökken, ám nem olyan mérékben, hogy a heeroszkedasziciás énye eluasíhaó legyen.. Tábláza: Polinomiális rendek Breusch-Pagan eszje Kvadraikus Harmadfokú Negyedfokú Öödfokú cons,946**,7996***,89564*** -,6864 (,8444) (,398) (,5336) (,85959),6875*** -,45533***,479686,4557 ** (,757) (,59349) (,9566) (,6936) -,946e-7*** 5,38444e-6*** -7,68759e-6*** -,394e-5*** (7,6449e-8) (5,4497e-7) (,7537e-6) (4,73e-6) 3 -,44798e-9*** 9,4846e-9***,6396e-8*** 4 (,6386e-) (,8796e-9) (5,4944e-9) -,78646e-*** -6,98456e-*** (,658e-3) (,68959e-) 5,** (,) SSR 3,5 3,85 578,8 65,6 LM 5,56 6, ,4646 8,88665 p A harmadik homoszkedasziciásra vonakozó próba a Breusch-Pagan próba. A próbasaiszika kiszámíásához i mos a regressziós elérés négyzeösszegre (SSR) lesz szükség. Ennek a fele ugyanis a nagyminás LM próba próbasaiszikájának éréke. Az eloszlás i is χ p eloszlás köve, ahol a szabadságfokok száma megegyezik a rend fokszámával. A kriikus érékek még a legkisebb szignifikancia szin melle sem haladják meg a -e, így ez a próba is csak eluasíhaja az alaphipoézis, azaz minden rend heereoszkedaszikus. A maradékagokra vonakozó uolsó feléel a normaliás. Ennek meglée vagy éppen meg nem lée könnyen ellenırizheı a maradékok eloszlásá megmuaó ábrán illeve a Q-Q ploon, ami a normális eloszlásól ve elérés muaja meg személeesen. Ezek láhaóak a 9

91 négy polinomiális rendre vonakozóan a. ábraán. A kvadraikus rend Q-Q ploja alapján az mondhanánk, hogy az közel esik a normális eloszláshoz, csupán a vasagszélőség problémája az, ami igen szembeölı. A csúcsosságo a ponok meredeksége muaja, ami az öödfokú polinom eseében figyelheı meg a Q-Q plo közepén. A hiszogramok mindegyike 9 oszályköz aralmaz. Az oszályközökbıl az illeszkedésvizsgálaal kapo eredményeke a. Tábláza aralmazza. Láhaó, hogy a kvadraikus rendnél eljesül egyedül a normális eloszlásra vonakozó hipoézis, hiszen i a p érék,754, azaz,754%-os szignifikancia szinen lehene elıször a normaliás eluasíani, ám ilyen magas szignifikancia szinel nem szokás dolgozni.. Tábláza: Polinomiális rendek illeszkedésvizsgálaának eredményei Kvadraikus Harmadfokú Negyedfokú Öödfokú próbasaiszika 4,8 5,98 5,87 84,849 p,754,,, 9

92 ,8 Tes saisic for normaliy: N(,77e-4 59,77) Chi-squared() = 4,8 pvalue =,754,6 8,4 6 4,,,8 -,6-4,4-6, Normal quaniles,3 Tes saisic for normaliy: N(7,69e-4 36,) Chi-squared() = 5,98 pvalue =, 8,5 6 4,,5 -, -4-6, Normal quaniles,3 Tes saisic for normaliy: N(-8,84e-3 95,8) 8 Chi-squared() = 5,87 pvalue =, 6,5 4,,5 -, -4, Normal quaniles,6 Tes saisic for normaliy: N(5,64e- 44,6) 6 Chi-squared() = 8,849 pvalue =,,5 4,4,3, -, Normal quaniles. ábra: Polinomiális rendek reziduumainak eloszlása és Q-Q ploja 9

93 5..3 Logiszikus rend Bár a RAX idısora nem arozik a ipikus elíıdési görbék közé, mégis úgy vélem, érdekes lehe megvizsgálni, vajon milyen eredményeke kapok, ha logiszikus kapcsolao feléelezek az idı és a RAX idısora közö. Az eredményválozó logiszikus ranszformálásának nincs akadálya, hiszen minden RAX érék poziív. A modell alapján a becsül eredményválozó a kövekezı összefüggésbıl kaphajuk meg: ˆ = 36,83 + e (5.3.) y,4669 +, 96 ahol 36,83 a elíıdési görbe maximuma. Az így kapo rend ábrája (. ábra) meglepıen hasonlí a lineáris rendére (3. ábra). logiszikus rend fied acual RAX ábra: Logiszikus rend és a RAX 93

94 3. Tábláza: Logiszikkus rend számíásának adaai Coefficien Sd. Error -raio p-value cons -,4669, ,37 <, ***,95899,9898e-5 48,656 <, *** Saisics based on he ransformed daa: Sum squared resid 794,447 S.E. of regression,5995 R-squared,568 Adjused R-squared,546 F(, 4) 39,94 P-value(F), Log-likelihood -7,736 Akaike crierion 49,47 Schwarz crierion 43,879 Hannan-Quinn 43,639 rho,99857 Durbin-Wason,396 Saisics based on he original daa: Mean dependen var 8,965 S.D. dependen var 45,6993 Sum squared resid,7e+8 S.E. of regression 35,546 Az 3. Tábláza megmuaja, hogy a logiszikus rend illeszése sokkal megfelelıbb a RAX adasorára, min a lineáris rend vol. Minden modellválaszó kriérium ez ámaszja alá, kivéve az modell. R. 9 Ezek a jó eredmények azonban közel sem jelenik az, hogy ez egy jó Ha a maradékok eloszlásá vizsgáljuk, akkor mind az eloszlásfüggvény, mind pedig a Q-Q plo a lineárishoz hasonlóan rossz képe mua (. ábra). Az illeszkedésvizsgála saiszikája 3,, p =, 49, ami az jeleni, hogy,49%-os szignifikancia melle már nem uasíhaó el a normális eloszlás lée.,35 Tes saisic for normaliy: N(-6, ,47) 5 Chi-squared() = 3, pvalue =,49,3,5 5,,5-5, -, Normal quaniles. ábra: Logiszikus rend maradékainak normaliásvizsgálaa 9 Ez a ény azonban i nem is lényeg, hiszen ezzel a muaóval csak az azonos eredményválozóval rendelkezı modelleke lehe összehasonlíani. 94

95 A logiszikus rende a heeroszkedasziciás kiszőrése mia szereik a saiszikusok alkalmazni, így ebben az eseben nincs szükség a homoszkedasziciás megléének eszelésére Logarimusos rendek Ha az árválozás százalékos aránya a fonos számunkra, akkor semmiképpen nem érdemes lineáris formában elemezni a RAX idısorá. Ezér ebben a fejezeben az a ké esee muaom meg, ahol a RAX adaai logarimizálva számíoam ki a rendeke OLS eljárás segíségével. Log-lin modell: Log-log modell: ln y β + β + ε (5.4.) = ln y = β + β ln + ε (5.5.) A fél-logarimusos és a loglog rend abban hasonlíanak egymáshoz, hogy a becslés végrehajásához elıször az eredményválozó logarimizálni kell. Abban viszon különböznek egymásól, hogy a loglog formá alkalmazva a magyarázóválozó is logarimizálni kell. A ovábbiakban minden vizsgála eredményé együ muaom be a ké modellre. Elsı lépés a modellek becslése (4. Tábláza). 4. Tábláza: Log-lin és log-log rendek Log-lin Log-log cons 6,438** 4,845** (,8) (,3758),53** (8,456e-6) ln,36** (,5544) R,645,67 lnl -, -48,3 AIC 8,33 3,563 HQ 3, ,77 SIC 39,7389 3,967 95

96 Mindké modell paraméerei 5%-os szignifikancia szin melle már meghaározóak. A modellválaszási kriériumok alapján a ké modell közül a log-lin rend a jobban illeszkedı (3.ábra) log-lin rend log-log rend 7,8 fied acual 8 fied acual 7,6 7,5 7,4 7 7, 7 6,5 lnrax lnrax 6,8 6 6,6 5,5 6,4 6, , ábra: Log-lin és log-log rendek és a RAX A becslés alapján az elırejelzésekhez a kövekezı összefüggéseke kell használni: Log-lin modell: ˆ 6,438+,5+ ( ˆ σ / ) y = e (5.6.) Log-log modell: ˆ 4,845,3 ( ˆ σ / ) y = e e (5.7.) A reziduumok ábrája (4. ábra) a ké modell eseében igen hasonló, ám érdemes megfigyelni, hogy az y engelyen a skálák mások, így viszon egyérelmő, hogy a log-lin modell a megfelelıbb. 96

97 ,6,6,4,4,,,8 residual -, residual,6,4, -,4 -,6 -, -,4 -, , ábra: Log-lin és log-log rendek reziduumai A maradékokra vonakozó felevések ellenırzése során elıször az auokorreláció vizsgálam. Az már a reziduumok ábráján is jól lászik, hogy a maradékagok a -ól felfelé, majd lefelé csoporosulnak. Feléelezem, a számok is aláámaszják az auokorreláció ényé. 5. Tábláza: Log-lin és log-log rendek auokorrelációjának ellenırzése Log-lin Log-log cons,454,3839** (,58368) (,48798) -,9673e-7 (4,543e-7) ln -,69386** (,7934) ˆ ε,4***,85469*** (,3) (,587) ˆε -,3768***,3989 (,36489) (,79594) 3 ˆε,47436,3499 (,378) (,79657) ˆ ε 4,557869*,4467 (,3663) (,7969) Korrigálalan 5 ˆε -,65747***,6458 (,436) (,535) R,997,98378 LMF 5334, ,75936 Breusch-Godfrey próba 9, ,9434 Ljung-Box Q' 986, 683,5 97

98 Várakozásaimnak megfelelıen alakulak a próbák. Mindké modell heeroszkedaszikus. Hiszen míg az LMF próba F eloszlás köve, a Breusch-Godfrey és a Ljung-Box pedig χ ( p = 5, mer 5 egymás köveı ag közöi korreláció vizsgálam) eloszlás, ám egyik p sem vehe fel olyan magas érékeke, min amilyenek a próbasaiszikák leek. Másodjára a homoszkedasziciás megléé vizsgálam. Elsıkén a Whie eszeke készíeem el (6. Tábláza), melyhez a korrigálalan elemszám és az R érékére vol szükség. A mina R szorzaából megkapam a próbasaiszika éréké, mely mindké eseben öbb százas éréke ve fel. A szabadságfokú jelenısen kisebb, így ehá heeroszkedasziciás esee áll fenn. χ eloszlásból a kriikus érék 6. Tábláza: Log-lin és log-log rendek maradékainak Whie eszje Log-lin Log-log cons -,67***,98468***,3455*** -3,896e-8*** ln -,383*** (ln),45*** Korrigálalan R,97,34894 nr 485, ,89 Ugyanerre az eredményre juoam a másik homoszkedasziciásra vonakozó próbával. A Breusch-Pagan esz (7. Tábláza) szinén χ eloszlás köve, ám a szabadságfoka, s így i sem lehe elfogadni a H alaphipoézis. A próbákhoz arozó segédregressziók paraméerei mindké próbánál csak %-os szinen volak szignifikánsak. 98

99 7. Tábláza: Log-lin és log-log rendek maradékainak Breusch-Pagan eszje cons ln Log-lin,7458*** (,4354),74599*** (3,3763e-5) Log-log 3,495*** (,7445) -,3688*** (,5739) SSR 53,449 83,774 SSR LM = 5,7468 4,8875 Harmadjára marad a normaliás vizsgálaa. A legegyszerőbb módszer a reziduumok eloszlásának felrajzolása (ami ismé 9 oszásközzel készíeem), és a Q-Q plo elkészíése (5. ábra). Mindké grafikus eszköz az muaja, hogy ezúal sem eljesül a normaliás. 3,5 Tes saisic for normaliy: N(-6,6894e-6,5465) Chi-squared() = 67,663 pvalue =,,8 3,6,5,4,,5 -, -,4 -,6,5 -,8 -,8 -,6 -,4 -,,,4,6, ,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 Normal quaniles Tes saisic for normaliy: N(-,343e-6,5883),5,8 Chi-squared() = 4,846 pvalue =,,6,4,,5,8,6,4 -,5, - - -,8 -,6 -,4 -,,,4,6,8 -,5,5 Normal quaniles 5. ábra: Log-lin és log-log rendek reziduum eloszlása és Q-Q ploja 99

100 A vizuális élmény ermészeesen számokkal is aláámaszoam. A log-lin rendnek 67,663, a log-log rendnek pedig 4,846 le az illeszkedésvizsgála során számío saiszikája. Az eloszlás szabadságfokú χ eloszlás, melynek a legkisebb,%-os szignifikancia melle is csak,6 az éréke, és így mindké rend eseében eluasíhaó a H alaphipoézis, azaz a reziduumok eloszlása nem normális Deerminiszikus rendek összefoglalása Min az a korábbi fejezeekben láhaó vol, egyik álalánosan használ rend sem íra le megfelelıen a RAX 9 éves idısorá. Valamennyinél megfigyelheı vol, hogy az OLS eljárás elıfeléelei, azaz a maradékagok auokorrelálalansága, homoszkedasziciása és normális eloszlása nem eljesül. Ezek a problémák azonban orvosolhaóak. Az elérések okai és kiküszöbölésük módjá nem szereném valamennyi függvényípusra elvégezni, ezér mos a bemuao nyolc rend közül szereném a legjobban illeszkedı kiválaszani és csak az elemezni ovább. A 8. Tábláza megmuaja az elemze rendek fıbb paraméerei és a modellszelekciós kriériumoka. 8. Tábláza: Deerminiszikus rendek összefoglaló ábláza Lineáris Kvadraikus Harmadfokú Negyedfokú Öödfokú Logiszikus Log-lin Log-log cons 67,7 35,5** 5,5** 9,4** 48,** -,4669 6,438** 4,845**,5846,55** -,67-3,69**,33**,958,5** -,454**,95**,8563** -,8** 3-5,6e-7** -5,64e-6**,69e-5** 4,5e-9** -,8e-8** 5,63e-** ln,36** R,5359,677,778,89,898,54,645,6 ln L -5844, -546, -55, -484, -46, -7,73 -, -48,3 AIC 369, 393,77 35, 968, ,76 49,47 8,33 3,56 HQ 3696, , 35,44 969,35 835,6 43,63 3,5 34,73 SIC 373,6 3949, ,9 97, ,98 43,87 39,73 3,97

101 A modellválaszási kriériumok közül a korrigál R csak akkor mőködik, ha azonos eredményválozós modelleke hasonlíunk össze, vagyis az elsı 5, majd pedig az uolsó keı hasonlíhaó össze, de mind a nyolc nem. Ha meg kell mondani, hogy melyik a legjobb, akkor az öödfokú polinom és a log-lin közül kellene válaszani. A log-likelihood becslés és a öbbi modellválaszási kriérium alapján sem udok könnyebben döneni, hiszen i is ugyanezzel a problémával nézek szembe, min az eseében. A rendek ábrázolásakor az apaszalam, hogy az öödfokú polinom íra le legjobban az idısor, így amelle dönöem, hogy ez nevezem ki a deerminiszikus rendszámíásom alapjának. R A ovábbiakban ehá az öödfokú polinomo ekinem a kiindulási modellemnek. Elsı lépésben megszüneem azoka a hibáka, amelyek az OLS becslés során nem kerülek kiküszöbölésre, majd pedig megvizsgálom a rövidebb ávú haások (konjunkúra, szezonhaás) megléé Ciklus haás kiszőrése A deerminiszikus rendek közül az öödfokú polinom közelíee meg legjobban a RAX idısorá a. szepember 7.-. július 9. közöi idıszakra. Így a ovábbiakban ez a modell fogom ovább elemezni, s ez alapján készíem el az elsı elırejelzéseme is. A heeroszkedasziciás egyik oka lehe az auokorreláció fennállása. Így elsı lépésben az auokorreláció szüneem meg. A becslése eredményekén kapo adaok (9. Tábláza) közö szerepel az elsıfokú auokorreláció eszelésére alkalmas DW próba éréke. Ez a saiszika i igen alacsony, nullához közeli éréke ve fel, ami az jeleni, hogy erıs poziív auokorreláció áll fenn a ké egymás uáni maradékag közö.

102 9. Tábláza: Öödfokú polinom becslése Coefficien Sd. Error -raio p-value cons 479,979 8,55 5,9377 <, ***,3394, ,8366 <, *** -,787,4788 -,696 <, *** 3,694e-5 5,383e-7 3,445 <, *** 4 -,84e-8,67645e- -38,44 <, *** 5,695e- 4,9354 <, *** Mean dependen var 8,965 S.D. dependen var 45,6993 Sum squared resid S.E. of regression 44,69 R-squared,89885 Adjused R-squared, F(5, ) 3899,94 P-value(F), Log-likelihood -463,88 Akaike crierion 8339,76 Schwarz crierion 8373,98 Hannan-Quinn 835,6 rho,99535 Durbin-Wason,64 Az auokorreláció megszőneésére alkalmazhaó eljárások közül nem a Cochrene-Orcu féle ieraív eljárás (CORC) válaszoam, annak ellenére, hogy az adaoknál a DW saiszika melle szerepel az eljárás elvégzéséhez szükséges ρˆ érék. A dönéseme nem azér hozam, mer félek, hogy az elsı ag elveszne (hiszen még mindig maradna 5 megfigyelés), hanem azér, hogy a CORC eljárás során nehogy eseleg elkerülhessem az SSE (ρ) globális minimumá. A Prais-Winsen eljárás az egyik ovábbfejleszése a CORC-nak, amelynél nem veszik el a mina elsı eleme.. Tábláza: Prais-Winsen eljárás eredménye Performing ieraive calculaion of rho... ITER RHO ESS, , Coefficien Sd. Error -raio p-value cons 56,3 58,934 3,33,95 ***,696,3765,85,3946 -,5446, ,775,57 3,39e-5 5,3e-6,4,4536 ** 4-6,48947e-9,5837e-9 -,53,4 ** 5,36e- 4,694e-3,843,45 ***

103 Saisics based on he rho-differenced daa: Mean dependen var 8,965 S.D. dependen var 45,6993 Sum squared resid 584, S.E. of regression 6,79 R-squared,9987 Adjused R-squared,99877 F(5, ),9935 P-value(F),4e-9 rho,6333 Durbin-Wason,8738 A. Táblázaból lászik, hogy ké ierációs lépésre vol szükség a ρˆ érékének meghaározásához, mely így,99476 le, míg a 589. maradékok elérés négyzeösszege A PW regresszióval becsül modell paraméerei néhol jelenısen elérnek az eredei modell paraméereiıl, ám a szignifikanciájuk is elérı. Amíg az eredei modellnél minden paraméer csak legfeljebb %-os szinen vol szignifikáns, addig i a és szinen, a 3 és %-os szinő. 4 pedig 5%-on is szignifikánsnak mondhaó és csak a konsans és a minden 5 le A DW saiszika éréke jól muaja, hogy sikerül az elsırendő auokorreláció kiküszöbölni. Erre ual a maradékok ACF és PACF függvénye is (7. ábra), melyek mindkeen szinuszosan csökkennek, míg az eredei becslésnél a PACF egyérelmő elsırendő auokorreláció jelé muaa (6. ábra). Residual ACF +-,96/T^,5,5 -, lag Residual PACF +-,96/T^,5,5 -, lag 6. ábra: Öödfokú polinom ACF és PACF függvényei 3

104 Residual ACF, +-,96/T^,5,5 -,5 -, lag Residual PACF, +-,96/T^,5,5 -,5 -, lag 7. ábra: Öödfokú rend ACF és PACF függvénye PW regresszió uán Az auokorrelációval együ a heeroszkedasziciás problémája is megszőn, így elkezdheem az idısor kövekezı elemének a kiszőrésé. A ciklus érékének meghaározáshoz mozgóálagolni kell az öödfokú rende. Az álagolás fokszámának eldönésében az segíe, hogy a ızsdén a echnikai elemzéseknél milyen mozgóálago számíanak. O az 5 és a napo mozgóálaggal dolgoznak. A kövekezı lépés az öödfokú rend és a mozgóálagol rend különbségének meghaározása. Ami ezálal kapunk az nem más, min a ciklus nagysága. 4

105 8 oodfoku_rend Ma ciklus ábra: Öödfokú polinom, 5 agú mozgóálag és a ciklus A 8. ábra felsı része az 5 agú mozgóálaggal képze rende muaja, illeve az alsó része az ennek segíségével kapo ciklus. Az ábra alapján az lájuk, hogy egy eljes ciklus zajlo le. szepember 7-ıl 9. június 9-ig, azaz egy majdnem 7 éves ciklus figyelheı mag. Sajnos korábbi adaok hiányában nem udom ellenırizni, hogy ezen az egy eljesen cikluson kívül vol-e másik is a RAX öréneében. 5

106 A aggal képze mozgóálag ábrája hasonló képe mua, min az 5 agosé ( 88. ábra). Jól láhaó, hogy mekkora késleleés jelen a ag, mennyivel késıbb kövei a rend mozgásá. A kimuao ciklus i már csak 6 éves,. szepember 5-én indul és 8. november 5-én fejezıdik be. 8 oodfoku_rend Ma ciklus ábra: Öödfokú polinom, agú mozgóálag és a ciklus 6

107 5..7 Szezonális haás kiszőrése A RAX idısorá vizsgálva. szepember 7. és. július 9. közö már meghaározam egy öödfokú rende, mely a leginkább alkalmazo függvényípusok közül a legjobban írja le a megfigyel adaoka. Második lépésben kiszőrem a konjunkúrahaás nagyságá. Még egy ag kiszőrése marad hára. Ez pedig a szezonaliás. Ábrázolva a rendıl és ciklusól megiszío RAX adaoka az láhajuk ( 3. ábra), hogy körül mozognak az egyedi szezonális elérések csakszezon5 - csakszezon ábra: Csak szezonaliás aralmazó adaok (5es és as mozgóálagból számíva) A szezonális elérés nemcsak hónapokra készíeem el, hanem negyedévekre is, hiszen a ızsdék éleében egy-egy gazdasági negyedév lezárása jelenıs válozásoka hozha. Mind az 5es mozgóálagú, mind a as mozgóálagú renddel szőr soroknál szükség vol a korrekcióra a havi és a negyedéves szezonszámíásnál is, mer a szezonális elérések összege nulláól igencsak elér (. Tábláza). 7

108 . Tábláza: Negyedéves szezonális elérés adaok (5es és as mozgóálagra) s j s~ j I. II. III. IV. -,58,3 7,36 -,8 4,9-6,6 6,75 3,79-4,38 s j s~ j -,9-7,74 8, -,47-3, -8,64-4,46 3,9-8,9 A korrigál szezonelérés éréké kivonva az idısor még meglévı részébıl megkapam a maradéko. Ezeke ábrázolam és remélem, hogy nem fogok semmi szabályosságo alálni benne, mer akkor az az jelenené, hogy minden leheséges ényezı figyelembe veem. A maradékok ábrája a 3. ábra, ahol az 5es mozgóálaggal számío adaok negyedéves, havi illeve a as mozgóálaggal számío adaok negyedéves és havi maradékagjai lászanak. A 3. ábra egyérelmően megmuaja, hogy valószínőleg sikerül minden haás kiszőrnöm az idısorból. Azonban a maradékagok még így is aralmazhanak valamilyen plusz információ. Erre ual, hogy mind a négy vélelen esenél elsırendő auokorreláció áll fenn a agok közö. 8

109 velelen_5_4_ - velelen 4_ velelen_5 - velelen ábra: Maradékagok (5,4; 5,;,4; ;) 9

110 5.3 Új ípusú spline-ok Deerminiszikus vizsgálaaim során az öödfokú polinom elemzéséig juoam el. Elképzelheı, hogy magasabb fokszám eseén egy jobb modell lehene felépíeni, azonban koránsem bizos, hogy alálnék egy az öödfokúnál jobb polinomiális rende. Éppen ezér inkább a polinomok egy speciális formája felé szerenék ovább haladni. A köbös spline- válaszoam, amely harmadfokú polinomok illeszkedı sorozaa. A spline képes a megfigyel adaokra olyan módon rende illeszeni, hogy ne legyen úl nagy az inerpolációból eredı oszcilláció. Spline ezen új ípusánál elsı lépésben megállapíoam a feloszások számá. Három különbözı feloszás haározam meg:. Egy olya, ahol 9 oszásközöm vol, azaz a 6 idıponoma 9 db harmadfokú görbébıl álló renddel íram le. Ez egy durván éves adaokra illesze spline vol.. A másodiknál a ızsdén kiemel jelenıségő napnak megfelelıen darab görbébıl áll a rend. 3. Az uolsó eseben az 5 napo figyelembe véve 44 oszás, azaz 44 darabból álló rend kelekeze. Mindhárom eseben minimum ké ierációra vol szükség ahhoz, hogy egy jól illeszkedı rende kapjak. A spline-ok felhasználása a deerminiszikus rendszámíásban a hagyományos függvényformák illeszésé helyeesíi. A rend meghaározása uán azonban i is a ciklus, szezon és vélelen haások meghaározása kövekeze. A 3. ábra jól muaja, hogy a feloszások számának növelésével egyre jobban illeszkedı rende kapam. Ez a ény ámaszja alá számokkal a. Tábláza, ahol az elérés négyzeösszegek és a rendek abszolú hibái szerepelnek az öödfokú polinom és a különbözı spline-rendek eseében.

111 RAX spline_n_9_ RAX spline_n RAX spline_n_44_ ábra: 9, 44 és spline-ból épíe rend

112 . Tábláza: A deerminiszikus rendek hibái muaó öödfokú polinom spline N=9 N= N=44 SSE szórás 57,986 78,646 66, ,5456 A ciklusok kimuaásánál isméelen a ızsdei gyakorlanál bevál 5 és elemő mozgóálagoka számíoam elıször, majd az így kapo mozgóálagú rende kivonam a spline-rendbıl. A ciklusok sajnos nem muaak semmi olyan érdekese, min az öödfokú polinomból számío rend. A szezonaliás érékének meghaározás ebben az eseben is negyedéves és havi bonásban is megörén. A rend, ciklus és szezon-haások kiszőrése uán megmarad a vélelen. A 33. ábra, a 34. ábra és a 35. ábra muaja ezen vélelenek érékei. Láhaó, hogy az azonos agszámú spline-hoz arozó vélelenek hasonló lefuásúak minden mozgóálag agszám és szezonszám eseén. A vélelenek eseében megvizsgálam, hogy marad-e még valamilyen ki nem szőr haás. Csakúgy, min a másik deerminiszikus szemléleő vizsgálanál, i is kimuahaó elsırendő auokorreláció. Vel_9_5_4_ vel_9_ vel_9 4_ vel_ ábra: 9 agú spline-nal képze rendek vélelen agjai

113 vel 5_4_ vel vel 4_ vel ábra: agú spline-nal képze rendek vélelen agjai vel_44_5_4_ vel_44_ vel_44 4_ vel_ ábra: 44 agú spline-nal képze rendek vélelen agjai 3

114 5.4 A RAX ARMA modellje A RAX idısorának elemezése során az elsı vizsgála, ami elvégezem a deerminiszikus idısorelemzés vol. Az idısorelemzés ezen ípusánál a vélelennek igen kis szerepe ulajdoníanak, szemben a szochaszikus elemzéssel, ahol fonos a vélelen. A szochaszikus modellek egy nagy családjá az ARMA modellek jelenik, melye Box- Jenkins modelleknek is nevezünk a módszer kialáló ké saiszikus uán. Az eljárás során 3 lépés kell végrehajani, szükség esén megisméelve az elsı keı. Vizsgálaom során én is ezeke a lépéseke köveem. A ızsdén echnikai elemzések során mindig a logarimizál adaokkal dolgoznak, mer az ily módon meghaározo adaoknak öbb közgazdasági jelenése van. Így elemzésem során én is a RAX idısorának ermészees alapú logarimusára haározom meg az ARMA modell Idenifikáció A feladaom ebben a lépésben az ARMA( p, q) folyama paraméereinek elızees becslése. Ehhez azonban elıször ellenırizni kell, hogy az adasor sacionárius-e. A ké legelerjedebb próbá, az ADF és a KPSS, végezem el a sacionariás vizsgálaára. Az ADF-nél megvizsgálam az az esee, amikor csak konsans van (3. Tábláza), amikor konsans és rend (4. Tábláza), illeve amikor konsans és négyzees rend van (5. Tábláza). Mindhárom alkalommal 8 agú késleleéssel számolam. Minden eseben az kapam eredményül, hogy a H alaphipoézis el kell fogadnom, azaz az idısor vélelen bolyongás. 4

115 3. Tábláza: ADF esz konsans aggal sample size 7 uni-roo null hypohesis: a = es wih consan model: (-L)y = b + (a-)*y(-) e s-order auocorrelaion coeff. for e: -,3 lagged differences: F(8, 97) = 5,5 [,] esimaed value of (a - ): -,5845 es saisic: au_c() = -,756 asympoic p-value,434 coefficien sd. error -raio p-value cons,857433,473368,8,7 * l_rax_ -,5845, ,76,434 d_l_rax_,758,47 3,367,8 *** d_l_rax_ -,36,58 -,58,9 d_l_rax_3,95547,369,464,6699 d_l_rax_4,7354,86 3,36,9 *** d_l_rax_5,4957,48,976,483 ** d_l_rax_6 -,3578,99 -,44,497 d_l_rax_7 -,5637, -,387,7 ** d_l_rax_8,3939,588,37,558 A 3. Tábláza megmuaja, hogy a számío saiszika éréke negaív le (-,756), mely a Dickley-Fuller áblázaból kikerese kriikus éréknél kevesebb, hiszem a p érék,434, azaz minden szokásos szignifikancia szinen el kell uasíani az alaphipoézis. 4. Tábláza: ADF esz konsans és rend jelenléében sample size 7 uni-roo null hypohesis: a = model: (-L)y = b + b* + (a-)*y(-) e s-order auocorrelaion coeff. for e: -,3 lagged differences: F(8, 96) = 5,37 [,] esimaed value of (a - ): -,533 es saisic: au_c() = -,38586 asympoic p-value,8653 coefficien sd. error -raio p-value cons,675,739,54,78 l_rax_ -,533,846 -,386,8653 d_l_rax_,785,577 3,378,7 *** d_l_rax_ -,39866,675 -,54,37 d_l_rax_3,93797,57,4385,66 d_l_rax_4,76348,339 3,37,9 *** d_l_rax_5,43,3,989,468 ** d_l_rax_6 -,37,374 -,45,54 d_l_rax_7 -,534,68 -,37,78 ** d_l_rax_8,459,768,5,5 ime,863e-7 6,95876e-7,46,6847 5

116 5. Tábláza: ADF esz konsans és négyzees rend jelenléében sample size 7 uni-roo null hypohesis: a = model: (-L)y = b + b* + b*^ + (a-)*y(-) e s-order auocorrelaion coeff. for e: -,3 lagged differences: F(8, 95) = 5,64 [,] esimaed value of (a - ): -,3348 es saisic: au_c() = -,663 asympoic p-value,97 coefficien sd. error -raio p-value cons,563,856773,78,75 * l_rax_ -,3348,4555 -,66,97 d_l_rax_,73,654 3,4,7 *** d_l_rax_ -,34345,765 -,477,397 d_l_rax_3,97833,573,46,6454 d_l_rax_4,77,48 3,348,8 *** d_l_rax_5,4846,47,5,44 ** d_l_rax_6 -,977,465 -,398,6 d_l_rax_7 -,49858,339 -,348,9 ** d_l_rax_8,4646,86,69,46 ime,7359e-6,779e-6,3,359 imesq -9,468e- 9,87e- -,934,353 A KPSS esz alapfelevése éppen ellenkezı az ADF-el, vagyis a sacionaiás, így ha az eredményeim nem mondanak egymásnak ellen, akkor a szinén 8 késleleéssel számío esz során az alaphipoézis el kell uasíanom. Amin az a 6. áblázaban láhaó, a eszsaiszika éréke 4,56, míg a kriikus érék legfeljebb,6, így valamennyi szignifikancia szinen el kell uasíani a H - és helyee az ellenhipoézis azon állíása az igaz, hogy a RAX idısora vélelen bolyongás. 6. Tábláza: KPSS esz 8 késleleéssel coefficien sd. error -raio p-value cons 6,43796,86 594,9, *** ime,5349 8,4564e-6 59,4, *** Robus esimae of variance:,57998 Sum of squares of cumulaed residuals:,75e+7 Lag runcaion parameer = 8 Tes saisic = 4,56 % 5%,5% % Criical values:,9,46,76,6 6

117 Miuán mind a ké esz az az eredmény hoza, hogy a vizsgál adasor nem sacionárius, így elıször ez kell megszőneni, s csak azán lehe folyani az elemzés. A sacionariás differenciálással könnyen elérheı. A differenciálás fokának meghaározáshoz segísége nyújha az ACF függvény ábrázolása. Addig van szükség differenciálásra, amíg a korrelogram csak lassan csökken. Az 36. ábraán is lászik, ami a sacionariás vizsgálaal már kimuaam, azaz szükség van a differenciálásra. Az elsırendő differenciálás uáni ACF függvény (37. ábra) viszon már nem lassan csökkenı, így elvileg már nincs szükség öbb differenciálásra. A KPSS esz is ez igazolja. A eszsaiszika éréke,99344 le, míg a kriikus érékek közül a %-os szignifikancia szin mellei érék,9, az 5%-os,46, míg az %-os,6. Ebbıl kövekezik, hogy a sacionariás alaphipoézisé minden szokásos szignifikancia szinen elfogadhajuk. ACF for l_rax +-,96/T^,5,5 -, lag PACF for l_rax +-,96/T^,5,5 -, lag 36. ábra: A RAX korrelogramja és parciális korrelogramja 7

118 ACF for d_l_rax, +-,96/T^,5,5 -,5 -, lag PACF for d_l_rax, +-,96/T^,5,5 -,5 -, lag 37. ábra: Elsırendően differenciál RAX adaos ACF és PACF ábrája A 36. ábra azon kívül, hogy megmuaja a differenciálás szükségességé, arra is jó, hogy az auoregresszív ag rendjé segísen elızeesen megbecsülni. Amin az a PACF ábráján lászik, az elı lag uán az érékek nulla közelében maradnak, így a vizsgálao AR() -el érdemes kezdeni. Ugyanakkor viszon az ACF függvény nem mua mozgóálag ago, így a. lépés MA() -val kezdem Becslés Az idenifikáció során ehá úgy őn, hogy kiinduló modellnek az ARIMA(,, ) - kell válaszanom. A modell becslése maximum likelihood módszerrel örénik azzal a felevéssel, hogy a maradék eloszlása normális. A munká a program végeze el. 8

119 5.4.3 Ellenırzés Az elsı becslés egzak ML módszerrel végezem, ám mivel leheıség vol a feléeles ML becsüleés is, ezér az szinén elkészül. A feléeles ML melle készül becslés eredményei jobbak leek. A becslés eredményekén kapo adaok (7. Tábláza) alapján az ARIMA(,,) modell: log y ˆ,4995,773676yˆ (5.8.) = + Ellenıriznem kelle, hogy valóban ez-e a legjobban illeszkedı modell, így elvégezem a modell úl- illeve alulilleszésé (8. Tábláza), már minde csak a feléeles maximum likelihood módszerrel. 7. Tábláza: ARIMA(,,) modell ARMA(,) ARMA(,) ARIMA(,,) ARIMA(,,) cond. ARIMA(,,) AIC -884,5-894,49-893, -97, -93, HQ -879,88-886,5-886,77-9,85-94,89 SIC -87,64-87,67-875,9-95,6-89,4 Coefficien Sd. Error z p-value cons,4995,785,778,7643 * phi_,773676,6 3,6735,4 *** Mean dependen var,53 S.D. dependen var,39 Mean of innovaions -,99e-9 S.D. of innovaions,38 Log-likelihood 646,57 Akaike crierion -97, Schwarz crierion -95,6 Hannan-Quinn -9,85 8. Tábláza: Különbözı ARMA modellek modellszelekciós kriériumai ARIMA(,,) ARIMA(,,) ARIMA(3,,) ARIMA(3,,) AIC -95,76-9,8-98,83-96,74 HQ -99,5-9,4-9,5-894,4 SIC -898,65-883,3-886,3-87,53 A 8. Táblázaban is jól lászik, hogy mind a három modellválaszási kriérium alapján az eredeileg is javasol, ARIMA(,,) modell a legjobb, hiszen annak vannak a legalacsonyabb érékei. 9

120 5.5 A RAX ARCH modellje Egy befekeı számára a megfigyel ızsdei index érékének alakulása azér fonos, hogy udja, nyer vagy éppen veszíe-e az ado befekeéssel. Számára igazán nem az a lényeges, hogy az index éréke mekkora, hanem hogy mennyivel nı vagy csökken. Azér a válozás méréke az érdekes, hiszen ez mondja meg, hogy mekkora a befekeés hozama. Elsıkén ehá megvizsgálam egy kicsi a hozam alakulásá. A hozam nem más, min a RAX érékek napi adaainak az elızı napi adaokkal számío hányadosa logarimizálva, azaz ln( y / y ) (5..) A hozamok alapsaiszikáiból (9. Tábláza) lehe kövekezeni bizonyos dolgokra. Így például az álag az muaja, hogy napi,%-os nyereség vol elérheı ebben a 9 évben. Ez éves szinre veíve 5,57%-o jelen. A legnagyobb elkönyvelheı veszeség egy nap ala 3,86%, míg a legnagyobb nyereség 4,73% vol. 9. Tábláza: A RAX hozamok alapsaiszikája Álag Medián Minimum Maximum,695,8966 -,385766, Szórás Relaív szórás Ferdeség Csúcsosság, ,433 -, ,34833 A szórás és a relaív szórás melle alálhaó ké ada a ferdeségrıl és a csúcsosságról ad információ. Ezek szerin az eloszlás majdnem szimmerikus, enyhe jobboldali aszimmeria 3 figyelheı meg. A csúcsosság éréke normális eloszlásnál 3 lenne, míg i ez öbb min a duplája, azaz az eloszlás megleheısen csúcsos (38. ábra). 3 Az angol szakirodalomban ez inkább úgy fogalmaznák meg, hogy az eloszlás balra elnyúló.

121 ,3,5,4,5,3,, Relaive frequency,5,, -, -,,5 -,3 -,4 -,3 -, -,,,,3,4,5 Volailias -,4 -, -,5 -, -,5,5,,5,,5 Normal quaniles 38. ábra: A RAX hozamok eloszlása és Q-Q ploja Az eddig megszerze információkból azonban még nem egyérelmő, hogy erre az idısorra valóban szükséges-e ARCH modell illeszeni. Az Engle álal kifejlesze ARCH modellek akkor alkalmazhaóak jól, ha az idısoromban heeroszkedasziciás esee áll fenn. Éppen ezér az kelle ellenıriznem, hogy van-e szó a RAX idısoránál a hibaagok elérı szórásáról. Ennek érdekében elıször megnézem a hozamok ábrájá (39. ábra).,5,4,3, Volailias, -, -, -,3 -, ábra: A RAX volailiása. szepember július 9.

122 A 39. ábraán jól lászik, hogy a szórás nem egyenlees, hiszen a volailiás érékek körül szóródnak hol kisebb, hol nagyobb éréke felvéve. Megfigyelheı a volailiás klaszerezıdése, feléelessége, azaz a volailiás éréke függ a korábbi érékéıl. Ilyen eseben az ARCH modell alkalmazása célszerő. Ez a dönés ámaszja alá a hozamok és hozamnégyzeek korrelogramja (4. ábra, 4. ábra). ACF for Volailias, +-,96/T^,5,5 -,5 -, lag PACF for Volailias, +-,96/T^,5,5 -,5 -, lag 4. ábra: A RAX hozamok ACF és PACF függvényei A volailiás klaszerezıdése az ACF függvényen láhaó, min szignifikáns auokorreláció. Amíg a hozamok auokorrelációi közül csupán néhány haladja meg a szignifikáns szine és az is éppen, addig a hozamnégyzeeknél a 6-dik agig mind szignifikáns.

123 ACF for sq_volailias,4,3,, -, -, -,3 -,4 +-,96/T^, lag PACF for sq_volailias,4,3,, -, -, -,3 -,4 +-,96/T^, ábra A RAX hozamnégyzeek ACF és PACF függvényei lag Immár bizonyíás nyer, hogy igenis szükséges az ARCH modell használaa. Az álalános szabálynak megfelelıen AR()+ARCH() modell becslésével kezdem a számíásoka (3. Tábláza). 3. Tábláza: AR()+ARCH() modell eredményei Coefficien Sd. Error -raio p-value cons,975,495,785,845 * Volailias_,69783,7673,597,8 ** alpha(),69e-5,3697e-6,684 <, *** alpha(),38866,87 6,3764 <, *** Saisics based on he weighed daa: Sum squared resid 48,345 S.E. of regression,84 R-squared,863 Adjused R-squared,4 F(, ) 6,349 P-value(F),85 Log-likelihood -357,644 Akaike crierion 639,87 Schwarz crierion 633,69 Hannan-Quinn 633,453 rho,5598 Durbin-Wason,9888 3

124 A becsül modell elsı ránézésre jónak őnik, hiszen viszonylag alacsonyak a modellszelekciós kriériumok érékei. A DW saiszika éréke szine alig ér el keııl, és a ρ nullához közel esik. Ez a ké uóbbi ada arra ual, hogy a becsül modell hibaagjai közö nincs auokorreláció. Az AR()+ARCH() modell lehene a megfelelı, ám mindenképpen szükség van más modellek felállíására is, hogy a modellválaszási kriériumok alapján azán döneni lehessen. Ezér megvizsgálam más, álalam elképzelheınek gondol modellformák adaai is. 3. Tábláza: ARCH modellek modellszelekciós kriériumai AR()+ARCH() AR()+ARCH() AR()+ARCH(3) AR()+ARCH(4) AR()+ARCH(5) lnl -357, ,98-3,344-38, -39,74 AIC 639,87 67,837 64,687 6, 643,485 HQ 633, ,3 68,853 64,66 647,65 SIC 633,69 683,4 636,9 63,4 654,885 AR()+ARCH(4) AR(3)+ARCH(4) AR(5)+ARCH(4) AR(6)+ARCH(4) AR()+ARCH(4) lnl -3,36-3,598-33,938-34,7-395,35 AIC 66,74 69,95 69,875 6,55 6,69 HQ 63,97 637,55 63, ,89 634,966 SIC 643,85 65, ,69 66,44 674,73 Az már az egyszeres auoregresszió feléelezı AR() modelleknél egyérelmővé vál, hogy az ARCH(4) modell a legjobb. Az AR() és AR(3) modelleknél ez a megfigyelés megerısíés nyer, így a ovábbiakban már csak az ARCH(4) modelleke vizsgálam. Az apaszalam, hogy az auoregresszió fokának növelésével nı az illesze modell jósága is, ami a log-likehood ada növekedése és a modellszelekciós kriériumok csökkenése mua. Az AR() modell uán folyaódik ez a rend. Így azzal a problémával állam szemben, hogy nem udam a legjobb modell kiválaszani. 4

125 5.6 A RAX GARCH modellje Már korábban is ual egy jel arra, hogy az ARCH modell alkalmazása nem bizos, hogy elegendı lesz egy megfelelı modell felállíásához a RAX. szepember 7. és. július 9. közöi idısorára. Amikor ábrázolam a RAX hozamának eloszlásá (38. ábra) láhaóvá vál a vasag szélek problémája, azaz hogy a öbbszörös szórásarományon kívül esik az adaok egy része. Ez lászik az eloszlás ábráján, bár az adaok relaív kis száma mia igen alacsonyak az oszlopok, így sokkal egyérelmőbb a Q-Q plo, ahol az alsó és felsı részen lévı ponok ualnak a vasag szélek problémájára. A GARCH modellek ez a problémá is kiküszöbölik, min ahogy az AR(m) ag magas száma mia sem kell sok paraméer becsülni. A becslés a AR()+ GARCH(,) modellel kezdem (3. Tábláza). 3. Tábláza: AR()+GARCH(,) modell Coefficien Sd. Error z p-value cons,3888 9,4965e-5 4,639,5 *** Volailias_,39366,394,76,78 * alpha() 6,4976e-7,64955e-7 3,9355,8 *** alpha(),9667,884 8,37 <, *** bea(),8887,4588 6,773 <, *** Mean dependen var,3 S.D. dependen var,5697 Log-likelihood 864,64 Akaike crierion -773, Schwarz crierion -738,99 Hannan-Quinn -76,7 Uncondiional error variance =,87488e-5 Az adaok alapján a jövıbeni érék becsléséhez szükséges egyenleek a kövekezıképpen alakulnak: yˆ,38,39 ˆ + εˆ = + y ˆ ε = η σ (5.) ˆ σ 6,49,97 ˆ ε,88 ˆ σ 7 = + + ahol η ~ N(,). 5

126 Ha megvizsgáljuk a reziduumok eloszlásá láhajuk, hogy a becsléssel a normálishoz közelebb kerül az érékük, de még mindig nem normálisak, ami az illeszkedésvizsgála is aláámasz. Az elsı eseben 46,76, míg a sandardizál hibaagoknál már csak 5,697 vol a eszsaiszika éréke (4. ábra, 43. ábra) 9 8 Tes saisic for normaliy: Chi-squared() = 46,76 pvalue =, N(-,65,56895) ,4 -,3 -, -,,,,3,4 4. ábra: AR()+GARCH(,) modellnél reziduumok eloszlása,45,4 Tes saisic for normaliy: Chi-squared() = 5,697 pvalue =, N(-,9989,),35,3,5,,5,, ábra: AR()+GARCH(,) modellnél a sandardizál reziduumok eloszlása 6

127 A hibaagok Q-Q ploja is az muaja, hogy a sandardizál reziduumok eloszlása a normálishoz közel esik, szine csak a vasag szélek problémája marad meg (44. ábra) Normal quaniles 44. ábra: AR()+GARCH(,) sandardizál reziduumainak Q-Q ploja 7

128 6 EREDMÉNYEK ÖSSZEGZÉSE, JAVASLATOK 6. Új/újszerő eredmények. Kuaásaim során az idıben örénı elırejelzéseknek öbbféle csoporosíásával alálkozam a szakirodalomban. Ezek a csoporosíások azonban nem fedék eljesen egymás. Így a vizsgálaok során kialakíoam egy egységes rendszer, amely úgy a magyar, mind a nemzeközi szakirodalom csoporosíásai aralmazza.. Vizsgálaaim során öbb módszerrel is elemezem a RAX idısorá. szepember 7. és. július 9. közö. Az 97-es évekig vezeı szemlélemód, azaz a deerminiszikus idısorelemzés alapján az az eredmény kapam, hogy a megfigyel adaok egy öödfokú polinomiális renddel írhaóak le legjobban. Miuán a rende leválaszoam, mozgóálagú renddel a ciklus éréké is kimuaam. Az uolsó kiszőrheı elem a szezonaliás vol. Ami ezuán megmarad az a vélelen, amelynek csekély jelenısége nyilvání a deerminiszikus idısorelemzés. 3. Ahogy a polinom fokszámá emelem a rendszámíás során, úgy kapam egyre jobban illeszkedı függvény. Ám a fokszám emelése egyúal ronja a modell jóságá. Ennek a hibának a kiküszöbölésére alkalmazam egy újfaja spilne-, hogy a rende álala írjam le. Ennek az új maemaikai megoldásnak köszönheıen az idısorban lévı alapirányzao jobban volam képes modellezni, min korábban a polinomokkal. 4. A szochaszikus idısorelemzés vizsgálaainak középponjában a vélelen áll, ami nem is annyira vélelen. A deerminiszikus elemezések számának csökkenése az auoregresszív mozgóálagolású (ARMA) modellek elerjedésének vol köszönheı. A megvizsgál 6 ada alapján az apaszalam, hogy az idısor nem sacionárius. Miuán differenciálással kiszőrem a rendhaás, már egy ARIMA(,,) modell illeszeem, ahol az elsı egyes arra ual, hogy a agok közö elsıfokú auoregresszív kapcsola vol. A második egyes az egyszeres differenciálás jeleni. A nulla jelenése pedig az, hogy az idısorban nincs mozgóálag ag. 8

129 5. Az ARMA modellek nem képesek kezelni a volailiás, a maradékag szórásának klaszerezıdésé. Ennek a problémának a kezelésére alála ki Engle [] az ARCH (auoregresszív feléeles heeroszkedasziciás) modelleke, melyek széles körben elerjedek a nagy volailiással küzdı pénzügyi erüleeken. A RAX hozamának majdnem kilenc éves megfigyel idısorára nem udam ARCH modell meghaározni, mer az auoregressziv ag fokszámá emelve mindig jobb le a modell, így egy idı uán már a becslés annyira bonyolul le, hogy más módszer kelle válaszanom. 6. Bollerslev [4] elkészíee az ARCH modellek álalánosíásá, melye GARCH (álalánosío ARCH) modellnek neveze el. Ez a modell megoldás ado az auoregresszív ag fokszámának problémájára. Az idısor becslésé a legegyszerőbb modellel AR()+GARCH(,) kezdem, és a végén az bizonyul a legmegfelelıbbnek a modellszelekciós kriériumok alapján. 6. Javaslaok A deerminiszikus idısorelemzés esén a ciklus és a szezon-haás kiszőrése uán a vélelen agok közö elsırendő auokorrelációra ualó adaoka kapam a polinomos és a spline-nal képze rendek eseén is. Annak érdekében, hogy ezek a modellek jobban használhaóak legyenek, szükséges lenne annak a meghaározása, hogy mi okozza ez a haás. Elképzelheınek arom, hogy valami olyan, a ızsdén is ismer effekusról (napár-haás, húsvé-haás, ) van szó, amelye figyelembe véve az auokorreláció megszőneheı lenne. A másik olyan erüle, ahol ovábblépési leheısége láok, az az ARCH modellek köre. Minden vizsgálaal arra az eredményre juoam, hogy az eloszlás nem normális eloszlású. Azonban vannak az ARCH modellcsaládnak olyan agjai, amelyek ez a problémá képesek kezelni. Így ehá ezeke a modelleke is lehene még a ovábbiakban majd felhasználni egy jobb modell elkészíéséhez. 9

130 Min végze közgazdásznak, érdekes lehe megvizsgálni az idısor az elırejelzések egy olyan módszerével, ami eddig még nem alkalmazam. Valószínőnek arom, hogy a felállío modelleke övözve az ökonomeriai modellekkel egy az eddigieknél jobb modell lehene készíeni. 3

131 ÖSSZEFOGLALÁS A disszeráció megírásával célom az vol, hogy az idıbeli elırejelzési módszerek közül egy olya aláljak, amellyel a legjobb elırejelzés udnám készíeni egy ızsdei index jövıbeli érékére. A ızsdei indexek közül a RAX-o válaszoam, amely a befekeési áraságok irányadó indexe. Azér a RAX-ra ese a dönésem, mer ma már a magyar ársadalom is elér arra a gazdasági szinre, ahol sok embernek vannak megakaríásai. Amennyiben valaki nem fél a kockázaól, úgy a megakaríásai befekeési alapokba is helyezhei. Ez egy iszán érékpapír porfóliónál kisebb kockázao jelen, s így öbben is válaszják. Az elırejelzések készíése során rádöbbenem, hogy a hazai és a külföldi szakirodalom nem egységes az elırejelzési módok csoporosíása erén. Ezér készíeem egy olyan csoporosíás, amely övözi mindké szakirodalom elnevezései és csoporosíási módjai. A vizsgálaok során három módszer alkalmazam. Elindulam aól a módszerıl, amely a legrégebbi és eljuoam a legfrissebb kuaási módszerekig. Uam során így az 97-es évekig uralkodó szemlélemód, a deerminiszikus szemléle vol a kiindulópon. A kövekezı állomás a szochaszikus szemlélemód a 7-es években elerjed modellje, a Box-Jenkins modell kövekeze. Az uolsó állomás a 3-ban Nobel-díjjal jualmazo Rober F. Engle álal kifejlesze módszer, az ARCH modellcsalád vol. A deerminiszikus idısorelemzések legelerjedebb fajája a dekompozíciós modell, amely az idısor négy részre szedi szé. A négy rész a rend, ciklus, szezon és vélelen. Ezekrıl a részekrıl az feléelezi a módszer, hogy agonkén meghaározhaóak az érékeik. Aól függıen, hogy az elemek közö milyen kapcsolao feléelezünk, beszélheünk addiív és muliplikaív modellekrıl. A vizsgálaok során az feléelezem, hogy az egyes agok haása összeadódik, így ehá egy addiív modell épíeem. A rendszámíás során az öödfokú polinomiális rende alálam a legalkalmasabbnak a vizsgál idısor jellemzésére. A rend uán a ciklus kiszőrése kövekeze, ahol egy kb. 7 éves ciklus lászo kirajzolódni. A szezonaliásnál a havi és a negyedéves adaoka is megvizsgálam. 3

132 A polinomok fokszámának emelése helye, egy a rendszámíás esében még nem gyakran alkalmazo függvényípus felhasználva is felépíeem egy deerminiszikus rende. A spline-ok egy új ípusának segíségével a rendek jobban közelíeék a megfigyel adaaima, azaz jobb illeszkedés kapam. RAX. szepember július 9-ig lévı idısora helye az adaoknak csak a hozamá vizsgálam a ovábbiakban. Erre azér vol szükség, mer így lehe a másik ké modellel megfelelı elırejelzés készíeni. Az ARIMA modellek közül az le végül a megfelelı, amelye a modellépíési lépések során, illeve a vizsgálaok alapján elıször jónak feléelezem. A sacionariás hiánya mia az idısor differenciálni kelle. Az így kapo idısor már sacionárius vol, így kövekezhee a modellépíés. Az egyes adaok az elıük lévı adaok érékéıl jelenısen függek, azaz elsırendő auokorreláció alálam. Mozgóálagolásra semmilyen jel nem ual és nem is udam kimuani. A végeredmény egy ARIMA(,,) modell le. Az idısorra a legjobb elırejelzés az AR()+GARCH(,) modell ada. Ehhez a modellhez az ARCH modellek elemzése uán juoam el, ahol az apaszalam, hogy az egyes adaok közö olyan fokú auoregresszió van, ami az a modell csak nehezen udo kezelni. 3

133 SUMMARY I was my aim wih wriing of his disseraion ha is emporal forecas one form among mehods le me find he bes forecas on ono he fuure value of a sock index. From he sock indexes I choose RAX which is he benchmark of founds and asse managemen companies. I choose RAX because in my opinion Hungarian sociey reached he economic level where a lo of common people have savings. In as much somebody is no afraid of cerain risk, may pu his savings ino invesmen founds o. Since i is a lower risk hen a pure sock porfolio many choose his opion. Making forecas I wake up he ruh he Hungarian and inernaional lieraure are no uniform in grouping forecasing mehods. This was he reason I made a new model of grouping which combine he names and grouping mehods of boh lieraures. I applied hree differen mehods in he course of he examinaion. I ook he road from he oldes mehod and go a he newes one. In he course of my road my saring poin was he deerminisic opinion, he leading opinion of he 7s. The nex saion was a sochasic approach, he Box-Jenkins approach, which came ino general use in he 7s. The las sop was he ARCH mehods, which was developed by 3 Nobel Prize winner Rober F. Engle. Among deerminisic ime series analysis he widespread mehod is he decomposiion one, which bake up he ime series ino four pars. These pars are rend, cycle, seasonaliy and randomness. The hypohesis of he mehod is ha he pars can be idenified apar. There is addiive and muliplicaive model depending on connecion beween pars. During my research I assumed ha he pars effec cumulae so I buil an addiional model. For idenifying he ime series a fifh-degree polynomial rend was he bes one. Afer filering ou rend he cyclical componen was he following, where i seemed like a seven year cycle sood ou. I examined he monhly and quarerly seasonaliy oo. 33

134 Insead of raising he rank of he polynomial rend I used a rear used funcion ype o build he deerminisic rend. Trends made wih a brand new ype of splines were beer approximae for observed daase han polynomial rends, so I go a beer fiing rend. A he following par of my examinaion insead of using daa from 7 h Sepember o 9 h July I was using RAX s reurns. I was necessary for making proper forecass wih he wo following mehods. A he end of he examinaion he bes ARIMA model was he one I esimaed a he firs sep of he mehod. Because of no sacionariy I had o difference he ime series. The ime series I ge was sacioner, so I could follow wih model building. Daa s were srong dependen of he daa before, so I found a firs-order auocorrelaion. There was no sign of moving average, and I neiher could esablish i. The final model was an ARIMA(,,). Ono he ime series he bes forecas he AR()+GARCH(,) model go i. To his model I go afer ARCH models analysis where I experienced ha here is auoregression wih a degree like ha he model was able o rea difficuly only. 34

135 IRODALOMJEGYZÉK [] Akaike, Hirougo (974): A new look a he saisical model idenificaion. IEEE Transacions on Auomaic Conrol 9. pp [] Al-Subaihi, Ali.A (7): Variable Selecion in Mulivariae Regression using SAS / IML. Saudi Arabia [3] Bierens, Herman J. (6): Informaion Crieria and Model Selecion. Pensilvania Sae Universiy [4] Bollerslev, Tim (986): Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy. Journal of Economerics 3. pp [5] Bollerslev, Tim (7): Glossary o ARCH (GARCH). San Diego: Fesschrif Conference in Honor of Rober F. Engle [6] Box, G. E. P. - Jenkins, G. M. (97): Time Series Analysis, Forecasing and Conrol. San Francisco: Holden Day [7] Box, G. E. P. - Jenkins, G. M. (97): Disribuion of Residual Auocorrelaion in Auoregressive Inegraed Moving Average Time Series Models. Journal of he American Saisical Associaion 65. pp [8] Box, G. E. P. - Ljung, G. M. (978): On a Measure of a Lack of Fi in Time Series Models. Biomerika 65. pp [9] Box, G. E. P. - Pierce, D. A. (97): Disribuion of he Auocorrelaions in Auoregressive Moving Average Time Series Model. Journal of American Saisical Associaion 65. pp [] Breusch, T.S.- Pagan, A. R. (979): A Single Tes for Heeroscedasiciy and Random Coefficien VAriaion. Economerica 47.(Sepember 979), pp

136 [] Breusch, T. S. (978): Tesing for Auocorrelaion indynamic Linear Models. Ausralian Economic Papers 7. pp [] Brown, R. G. (963): Smooing, Forecasing and Predicion. Englewood Cliffs. N.J.: Prenice-Hall [3] Cavanaugh, Joseph E. Neah, Andrew A. (999) : Generalizing he Deviaion of he Schwarz Informaion Crierion. Communicaions in Saisics Theory and Mehods 8. pp [4] Chafield, C. (978): The Analysis of Time series: Theory and Pracice. London: Chapman and Hill [5] Corell, Allin Lucchei, Ricardo Jack (): Grel Users Guide. [6] Csesznák Ania (): Elırejezési módszerek és pénzügyi alkalmazásuk. Kereskedelmi Fıiskolai Füzeek. -9.o. [7] Darvas Zsol (): Árfolyamrendszer-hielesség és kamaláb-válozékonyság. Saiszikai Szemle, 79. évfolyam 6. szám, o. [8] Dickey, David Alan Fuller, Wayne Arhur (979): Disribuion of he Esimaors for Auoregressive Time-Series wih a Uni Roo. Journal of he American Saisical Assosiaion 74. pp [9] Durbin, J. Wason, G. S. (95): Tesing for Serial Correlaion in Leas SquaresmRegression I. Biomerika, pp [] Durbin, J. Wason, G. S. (95): Tesing for Serial Correlaion in Leas SquaresmRegression II. Biomerika, pp [] Engle, Rober F.(98): Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of Variance of Unied Kingdom Inflaion. Economerica 5. pp [] Engle, Rober F.(3): Risk and Volailiy:Economeric Moleds and Financial Pracice.The American Economic Review, June 4., pp

137 [3] Földvári Péer (7): Úmuaó a GRELT ökonomeriai szofver használaához, ökonomeriai példákkal. Debrecen [4] Godfrey, Leslie George (978): Tesing for Higher Order Serial Correlaion in Regression Equaions When he Regressors Include Lagged Dependen Variables. Economerica 46. pp [5] Godfrey, Leslie George (979): Tesing he Adequacy of he Time Series Model. Biomerika 66. pp [6] Hannan, Edward James Quinn, Barry Gerald (979): The Deerminaion of he Order of an Auoregression. Journal of he Royla Saisical Sociey 4. pp [7] Hol, Charles C. (957): Forecasing seasonals and rends by exponenially weighed averages. ONR Research Memorandum 5, Carnegie Insiue of Technology, Pisburgh [8] Hornsein, Helmu (7): Így mőködik: Tızsdepszichológia befekeıknek Nyeresége elérni, veszesége elkerülni. Miskolc: Z-Press Kiadó Kf. [9] Hulyák Kaalin (976): Idısorok szochaszikus modellje. Ökonomeriai Füzeek 3. szám [3] Hunyadi László Mundruczó György- Via László (): Saiszika. Budapes: AULA [3] Kecskeméi Isván (6): Tızsdei befekeések a echnikai elemzés segíségével. Kecskeméi Isván és Társa B. [3] Kerékgyáró Györgyné- Mundruczó György (): Saiszikai módszerek a gazdasági elemzésben. Budapes: AULA [33] Kerékgyáró Györgyné - Mundruczó György Sugár András (): Saiszikai módszerek és alkalmazások, A gazdasági, üzlei elemzésben. Budapes: AULA [34] Korpás Ailáné Dr. (8): Álalános saiszika II. Budapes: Nemzei Tankönyvkiadó 37

138 [35] Kóbor Ádám (): A feléel nélküli normaliás egyszerő alernaívái a kockázao érék számíásban. Közgazdasági Szemle XLVII o. [36] Kırösi Gábor Máyás László - Székely Isván (99): Gyakorlai ökonomeria. Budapes: Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó [37] Köves Pál- Párniczky Gábor (989): Álalános saiszika I-II. Budapes: Nemzei Tankönyvkiadó [38] Kwiakowski, Denis - Phillips, Peer C. B. Schmid, Peer Shin, Yongcheol (99): Tesing he Null Hypohesis of Saionariy agains he Alernaive of a Uni Roo. Journal of Economerics 54, pp [39] Maddala, G. S. (4): Bevezeés az ökonomeriába. Budapes: Nemzei Tankönyvkiadó [4] Malinvaud, Edmond (974): Az ökonomeria saiszikai módszerei. Budapes: Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó [4] Michelberger Pál Szeidl László Várlaki Péer (): Alkalmazo folyamasaiszika és idısoranalízis. Budapes: Typoex Kiadó [4] Nagy Aila (7): BefekeésTITKOK, Budapes: Inves-Projek Kf. [43] Nelson, CharlesR. Kang, Heejoon (983): Pifalls in he use of Time as an Explanaory Variable in Regression. Naional Bureau of Economic Research: NBER Technical Working Papers 3. [44] Pawlowski, Zbigniew (97): Ökonomeria. Budapes: Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó [45] Prais, S. Winsen, C. (954): Trend Esimaion and Serial Correlaion. Chicago: Cowles Commission, Discussion Paper 383. [46] Polgár Rudolf (4): Álalánosío spline approximáció. Sopron: Geomaikai Közlemények VII. 38

139 [47] Polgár Rudolf (6): Álalánosío bilineáris spline approximáció. Sopron: Geomaikai Közlemények IX. [48] Polgár Rudolf (): A generalized spline approximaion. Annales Compuaorica 3. pp. 3-. [49] Polgárné Hoschek Mónika (3): Saiszikai módszerek alkalmazása a ızsdei gyakorlaban. Sopron: Tudomány Napi Konferencia [5] Polgárné Hoschek Mónika (5): Regresszió-számíás és alkalmazása a gazdasági gyakorlaban. Sopron [5] Polgárné Hoschek Mónika (9): Elırejelzési módszerek összehasonlíása. Kecskemé: EFTK II. köe o. [5] Polgárné Hoschek Mónika (): Auoregresszió az idısorelemzésben. Sopron: Hiel, Világ, Sádium - Nemzeközi Tudományos Konferencia [53] Polgárné Hoschek Mónika (): Idıbeli elırejelzések. Szombahely: [54] Ralph, D. - Snyder, A. -Koehler, B. - Ord, J. K. (): Forecasing for invenory conrol wih exponencial smoohing, Inrenaional Journal of Forecasing, pp [55] Ramanahan, Ramu (3): Bevezeés az ökonomeriába alkalmazásokkal. Budapes: Panem Kiadó [56] Royis József (): Tızsdei befekeık kézikönyve. Budapes: KJK-KERSZÖV Jogi és Üzlei Kiadó [57] Shiu, O. I. Asemoa, M. J. (9):Comparison of Crieria for Esimaing he Order of Auoregressive Process: A Mone Carlo Approach. European Journal of Scienific Research 3. pp [58] Schwarz, Gideon E. (978): Esimaing he dimension of a model. Annals of Saisics 6. pp [59] Tusnádi Gábor Ziermann Margi (986): Idısorok analízise. Budapes: Mőszaki Könyvkiadó 39

140 [6] Whie, Halber (98): A Heeroscedasiciy - Consisen Covariance Marix And a Direc Tes for Heeroscedasiciy. Economerica 48. (May 98), pp [6] Závoi József (999): A geodézia korszerő maemaikai módszerei. Sopron: Geomaikai Közlemények II

141 . MELLÉKLET Dáum RAX , ,.9. 47, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6.. 57, , , , , , , ,9.. 58, , , , , , , , , ,7..6 6, , ,3.. 63,4.. 67, ,8..4 6, ,4..8 6,..9 69, ,54.. 6, , , , , , , , ,76.. 6, , , , , ,3..8 6,.. 6,7.. 65, , , , ,6..9 6, , , , , ,4..6 6, , ,4.. 65,59.. 6, , , , ,4..9 6, ,7.. 63, ,3..5 6, ,..7 68, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,3 4

142 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,.7. 68, , , , , , ,.7. 68, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,.. 58, , , , ,..9 57, , , , , , , ,48.. 6, , , , , , , , ,8..5 6,8..6 6, , , , , , ,7..5 6, , , , , , , , , , , , , , , , ,54 4

143 .. 636, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 3.. 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,48 43

144 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 3.. 7, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 44

145 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 45

146 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 4.. 9, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9 5..9,4 5.., , , , , , , , , , , , ,7 5..8, , , , ,4 5..5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 5.5.3, , , , ,75 46

147 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,83 47

148 , , , , , , , , , , , , , , 6.. 5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,87 48

149 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,6 49

150 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5 7.., , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4 5

151 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9 5

152 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9 8.., , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5 5

153 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,87 53

154 , , , , , , , , , , 9.. 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4..5 5, , , , , , , , , , ,.. 537,6.. 55, , , , , , ,.. 495, , , , , , ,.. 438, , , ,..6 47, , , ,.. 475, , , , , , , , , , , , , , , , ,.3.8 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,4.5. 6, , , , , ,7.5. 5,4.5. 5, , , , , , ,9 54

155 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7 55

156 . MELLÉKLET RAX A vizsgál RAX adaok Boxploja A Boxplohoz felhasznál adaok: Numerical summary mean min Q median Q3 max RAX 8 457,53 75,7 9,5 546,4 46, 56

157 NYILATKOZAT Alulíro POLGÁRNÉ HOSCHEK MÓNIKA jelen nyilakoza aláírásával kijelenem, hogy a Saiszikai idısorelemzés a ızsdén címő PhD érekezésem önálló munkám, az érekezés készíése során bearoam a szerzıi jogról szóló 999. évi LXXVI. Tv.szabályai, valamin a Széchenyi Isván Gazdálkodás- és Szervezésudományok Dokori Iskola álal el_ír, a dokori érekezés készíésére vonakozó szabályoka, különösen a hivakozások és idézések ekineében. Kijelenem ovábbá, hogy az érekezés készíése során az önálló kuaómunka kiéel ekineében a programvezeı illeve a émavezeı nem éveszeem meg. Jelen nyilakoza aláírásával udomásul veszem, hogy amennyiben bizonyíhaó, hogy az érekezés nem magam készíeem, vagy az érekezéssel kapcsolaban szerzıi jogsérés énye merül fel, a Nyuga-magyarországi Egyeem megagadja az érekezés befogadásá. Az érekezés befogadásának megagadása nem érini a szerzıi jogsérés miai egyéb (polgári jogi, szabálysérési jogi, büneıjogi) jogkövekezményeke. Sopron,. április 4... Dokorjelöl 57