Fourier-sorok konvergenciájáról
|
|
- Lőrinc Molnár
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Fourier-sorok konvergenciájáról A szereplő függvényekről mindenü felesszük, hogy szerin periodikusak. Az ilyen függvények megközelíésére (nem a polinomok, hanem) a rigonomerikus polinomok űnnek ermészees eszköznek. Többször fel fogjuk használni, hogy, ha f -periodikus és inegrálhaó, akkor bármely a-ra f = +a +a f. Tekinsük a kövekező definícióka:. Definíció. Az () a függvénysor rigonomerikus sornak nevezzük. Részleösszege s n (x) := a n.. Definíció. Legyen f a [, ]-n inegrálhaó, -periodikus függvény, és legyenek a k := b k := f() cos k d, k =,,,..., f() sin k d, k =,,.... Ekkor az f a sor az f függvény Fourier-sorának nevezzük. (Vegyük észre, hogy minden Fourier-sor egyben rigonomerikus sor is. Ez fordíva nem igaz, bár ez nem nyilvánvaló. (V.ö. 5. éel.) Például a sin(n! x) sor minden racionális x-ben konvergens, mégsem Fourier-sora egyelen függvénynek sem.) A helyze egy kicsi hasonló a haványsor vs. Taylor-sor problémához. A fő kérdés, ami vizsgálni fogunk, mos is az, hogy vajon mikor állíja elő a Fourier-sora a függvény? Első észrevéelünk, hogy ha az a a k + b k sor konvergens, akkor az () sor a [, ] inervallumon abszolú és egyenleesen konvergens, és sajá összegfüggvényének a Fourier-sora.
2 3. Téel. Ha az a sor a [, ] inervallumon egyenleesen konvergens és összege f(x), akkor és Bizonyíás. Az a k = b k = f() cos k d, k =,,,..., f() sin k d, k =,,.... f(x) = a egyenlősége szorozzuk meg cos nx-szel és inegráljuk a [, ] inervallumon (ez megehejük, hiszen a sor egyenleesen konvergens): ( ) + Érvényes a kövekező segédéel: f(x) cos nx dx = a k cos kx cos nx dx + a cos nx dx + b k sin kx cos nx dx. 4. Téel. (A rigonomerikus rendszer orogonaliása). Bármely k, n egész érékre {, ha k = n, cos kx cos nx dx = sin kx sin nx dx = különben, cos kx sin nx dx =. A éel állíása egyszerűen adódik, pl. ha k = n, akkor ha pedig k n, akkor cos kx cos kx dx = cos kx cos nx dx = cos kx dx = + cos kx dx =, (cos(n + k)x + cos(n k)x) dx =, mer cos νx (és sin νx) eljes perióduson ve inegrálja mindig. (Trigonomerikus rendszernek hívjuk az, cos x, sin x,..., cos kx, sin kx,... függvényeke; az orogonaliás kifejezés az indokolja, hogy az b a fg sok szemponból olyan, minha f és g skaláris szorzaa lenne, és ha a skaláris szorza, akkor f és g merőleges.) ebből Segédéelünke felhasználva, a ( ) egyenlőség jobboldalán csak a k = n ag marad meg, azaz f(x) cos nx dx = a n cos nx cos nx dx, a n := f() cos n d. A b n sinus-együhaókra hasonlóan bizonyíhaunk. Ezzel a 3. Téel beláuk.
3 Egy ado függvény Fourier-együhaóinak viselkedéséről szól a kövekező éel. 5. Téel. (Riemann lemma). Ha f az [a, b]-n inegrálhaó, akkor b a f(x) cos nx dx és b a f(x) sin nx dx ha n. Bizonyíás. A cosinusos állíás bizonyíjuk. Legyen ε > rögzíe. Legyen B az [a, b] inervallum egy (k részre örénő) beoszása, ekkor i= f() cos n d = i= ( f() f(xi ) ) cos n d + x i ( f() f(xi ) + f(x i ) ) cos n d x i i= f(x i ) cos n d =: I + I. x i Legyen m i és M i a szokásos supremum és infimum, azaz minden x i x i eseén mivel cos n, könnyen láhaó, hogy ezér I i= m i f() M i és m i f(x i ) M i, ( f() f(x i ) ) cos n M i m i, M i m i d = x i (M i m i )(x i x i ) = o(f, B) < ε, i= ha a B beoszás megfelelően válaszjuk (oszcillációs kriérium). Legyen B ilyen. Mivel f inegrálhaó, korláos is, legyen f(x) M, ekkor I i= f(x i ) cos n d x i f(x i ) i= cos n d x i [ sin n f(x i ) n i= ha n > 4kM ε. Ezzel a éel beláuk. ] xi x i km n < ε, Riemann Lebesgue-lemmának nevezzük a feni éel alábbi válozá: Ha f a [, ]-n inegrálhaó, szerin periodikus, akkor a n, b n, ha n, ahol a n, b n a függvény Fourier-együhaói. Ez az állíás a Riemann-inegrálhaóságnál jóval álalánosabb feléelek melle is igaz. 3
4 A ovábbiakban az fogjuk vizsgálni, hogy milyen feléel melle igaz, hogy az ado f függvény Fourier-sora valamely a helyen konvergens. Ehhez a folyonosság nem elég: van olyan függvény, amely inegrálhaó, -periodikus és [, ]-n folyonos, de Fourier-sora valamely ado a ponban (vagy akár végelen sok ponban) nem konvergens. Kényelmi okokból az s n (x) := a n részleösszeg helye az s n(x) := a n () + a n cos nx + b n sin nx ún. módosío részleösszege fogjuk vizsgálni; Ez megehejük, hiszen a Riemann Lebesgue lemma szerin s n (x) s n (x) = a n cos nx + b n sin nx a n + b n (méghozzá x-ben egyenleesen), azaz s n és s n egyszerre konvergens vagy divergens, és ha konvergensek, összegük is megegyezik. Először előállíjuk s n-o valamilyen kezelheő formában. = s n(x) := a n () + a n cos nx + b n sin nx = f() d + n ( f() cos k d cos kx + ) f() sin k d sin kx + + ( f() cos n d cos nx + ) f() sin n d sin nx = = n ( ) f() d + f() cos k cos kx + sin k sin kx d + + ( ) f() cos n cos nx + sin n sin nx d = ( n (cos k( x)) + )f() cos n( x) d = () = ahol f()dn ( x) d, (3) Dn (u) := + cos u + cos u + + cos(n )u + cos nu az ún. n-edik módosío Dirichle-féle magfüggvény. 4
5 Ilyen ípusú összeggel már alálkozunk; sin u -vel szorozva és felhasználva, hogy cos α sin β = sin(α + β) sin(α β), kapjuk, hogy D n(u) = sin nu g u Vegyük észre, hogy Dn páros függvény és az is, hogy a jobboldalon minden kiesik, kivéve az inegráljá). Érvényes ehá a kövekező. D n = (ha a (3) formulá inegráljuk, 6. Téel. Ha f a [, ]-n inegrálhaó és -periodikus, akkor Fourier-sorának módosío részleösszege előállíhaó (4) s n (x) = f()d n ( x) d = alakban (Ez az ún. Dirichle-féle szinguláris inegrál). f(x + )Dn () d A második inegrál az elsőből úgy kapjuk, hogy x helyébe - írunk (azaz, legyen x = u, ekkor = x + u, d = du és = x ; majd legyen = u, d = du). Vegyük észre ovábbá, hogy x a (4) formulában szereplő inegrál a -ban improprius. A Dn ismereében a (4) formulá ovább alakíjuk. Valamely a helyen a részleösszeg s n (a) = ( helyébe - írunk; D n páros) f(a + )D n () d = = f(a + ) + f(a ) D n() d = f(a )Dn () d = (mer ha ké szám egyenlő, akkor az álaguk is ugyanannyi; az inegrandusz páros) (5) = A második inegrál vizsgálva, f(a + ) + f(a ) D n() d = + =: I + I. δ I = δ ) g és ez -hoz ar, mer mivel f inegrálhaó és g g δ, így az ) g sin n d, függvény is inegrálhaó, és alkalmazhajuk a Riemann-lemmá. (Úgy is fogalmazhaunk volna, hogy a feni inegrál valójában nem más, min a { ( f(a+)+f(a ) ), ha δ, g, ha δ < inegrálhaó függvény n-edik sinus-együhaója, ehá -hoz ar.) 5
6 Tehá a Fourier-sor konvergenciája az I -en múlik. Vegyük észre, hogy az I inegrálban csak a kicsi érékei szerepelnek, érvényes ehá az alábbi 7. Téel. (Lokalizációs éel.) Az f és g függvények legyenek a [, ]-n inegrálhaók és periodikusak, ovábbá együk fel, hogy van olyan δ, hogy minden x (a δ, a + δ ) érékre f(x) = g(x). Ekkor f és g Fourier-sora az a helyen egyszerre konvergens vagy divergens, és ha konvergensek, összegük megegyezik. Bizonyíás. Végezzük el eddigi áalakíásainka az f és a g függvényre is. Ha δ < δ, az I inegrál mindké függvény eseében ugyanaz. A éel azér érdekes, mer a Fourier-együhaók meghaározásához a függvény az egész inervallumon ismernünk kell, ehá a 7. Téel feléelei melle is, a ké függvény Fourier-sora különbözhe, a konvergenciaviselkedésük mégis azonos. Vizsgáljuk meg, milyen feléelek bizosíhaják, hogy A Fourier-sor valamely a helyen f(a)-hoz arson. Mivel a szerini inegráláskor f(a) állandó, f(a)d ( ) d = f(a) D( ) d = f(a). Az (5) formula alapján írhajuk, hogy (6) s n (a) = ) D n () d = + Ennek az inegrálnak -hoz arása jeleni ehá az, hogy s n f az x helyen. A második inegrál vizsgálva, I = ) δ g sin n d, és ez -hoz ar, mer mivel f inegrálhaó és g g δ, így az ) g δ =: I + I. függvény is inegrálhaó, és alkalmazhajuk a Riemann-lemmá, ugyanúgy, min az előbb. Tehá az I inegrál kell vizsgálnunk (ez persze a -ban improprius, a D n nevezője mia). 8. Téel. (Dini éele). Legyen ϕ() := f(a + ) + f(a ) Ha a vizsgál f függvény az a helyen olyan, hogy az ϕ() d (improprius) inegrál léezik (konvergens), akkor 6.
7 Bizonyíás. Láuk már, hogy a (6) inegrálban csak az I a lényeges. Tudjuk, hogy I = = ) g ) és g, ha, érvényes ehá g = ) g sin n d = sin n d. g ϕ(), és mivel a Dini-féle feléel eljesül, így a baloldalon lévő függvény is inegrálhaó (az improprius inegrálokra vonakozó majoránskriérium mia). Ekkor azonban ( szokásos gondolameneünk szerin), a Riemann lemma mia I. (Mondjuk, mer I nem más, min az inegrálhaó { ( f(a+)+f(a ) ), ha δ, g, ha δ < függvény n-edik sinus-együhaója). Ezzel Dini éelé beláuk. Nincs más dolgunk, min hogy a Dini-féle elegendő feléel aprópénzre válsuk. Emlíeük, hogy az a-beli folyonosság még nem garanálja a Fourier-sor konvergenciájá. A differenciálhaóság, min erősebb feléel, már igen. 9. Téel. Ha az f függvény az a helyen differenciálhaó, akkor Bizonyíás. Ha az f a-ban differenciálhaó, akkor f(a + ) f (a) és f(a ) f (a), azaz a Dini-éelben szereplő ϕ() függvénynek a -ban (véges) haáréréke van, így az improprius inegrál léezik (ez hívuk nulladik alapesenek). (Az világos, hogy ϕ() inegrálhaó bármely [δ, ] inervallumon.) Az érdekesség kedvéér megemlíünk egy másik feléel is.. Definíció. Az mondjuk, hogy az f függvény az érelmezési arománya egy belső a ponjában α-rendű Lipschiz-feléelnek (α > ) esz elege, ha léeznek olyan K, δ > számok, hogy f(a + ) K α, ha δ. Könnyen beláhaó, hogy az α > rendű Lipschiz-feléel kielégíő függvények folyonosak a- ban; ha α >, akkor f differenciálhaó és f (a) =, ehá igazából a < α érékek érdekesek. Az is világos, hogy ha < α < β és f eljesíi a β rendű Lipschiz-feléel, akkor az α rendű is. 7
8 . Téel. Ha az f függvényre az a helyen valamely < α rendű Lipschiz-feléel eljesül, akkor Bizonyíás. Könnyen kiszámolhaó, hogy ekkor a Dini-féle éelben szereplő inegrál léezik, hiszen konvergensek. α d vagy Feni éeleink valamivel álalánosabb feléelek melle is igazak, i. akkor, ha f nem felélenül folyonos ugyan a-ban, de legfeljebb elsőfajú szakadása van, azaz léeznek a féloldali haárérékek. Ekkor a Fourier-sor az f(a + ) := K d lim f(x + ), f(a ) := lim f(x ),>,> f(a) := f(a + ) + f(a ) érékhez konvergál (ha egyálalán konvergál). Előző meggondolásainka f(a) helye f(a)-val elvégezve, az alábbi eredményekhez juunk: 8. Téel. (Dini éele). Legyen f(a + ) + f(a ) f(a) f(a + ) + f(a ) f(a + ) f(a ) ϕ() := =. Ha a vizsgál f függvény az a helyen olyan, hogy az ϕ() d (improprius) inegrál léezik (konvergens), akkor 9. Téel. Ha az f függvény az a helyen mindké oldalról differenciálhaó, azaz léeznek a f(a + ) f(a + ) f(a ) f(a ) lim = q j és lim = q b,>,> (véges) haárérékek, akkor Ez a éel szokás félérinős feléelnek nevezni, hiszen a q b és q j akkor léeznek, ha a függvény grafikonjához húzhaók bal- és jobboldali félérinők.. Téel. Ha az f függvényre az a helyen mindké oldalról valamely < α rendű Lipschizfeléel eljesül, azaz akkor f(a + ) f(a + ) K α és f(a ) f(a ) K α ha < δ, A bizonyíások csak annyiban különböznek az eredei bizonyíásokól, hogy az eredei lépéseke készer, a bal és a jobb oldalon külön-külön kell megcsinálnunk. 8
HF1. Határozza meg az f t 5 2 ugyanabban a koordinátarendszerben. Mi a lehetséges legbővebb értelmezési tartománya és
Házi feladaok megoldása 0. nov. 6. HF. Haározza meg az f 5 ugyanabban a koordináarendszerben. Mi a leheséges legbővebb érelmezési arománya és érékkészlee az f és az f függvényeknek? ( ) = függvény inverzé.
Részletesebben5. Differenciálegyenlet rendszerek
5 Differenciálegyenle rendszerek Elsőrendű explici differenciálegyenle rendszer álalános alakja: d = f (, x, x,, x n ) d = f (, x, x,, x n ) (5) n d = f n (, x, x,, x n ) ömörebben: d = f(, x) Definíció:
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
Részletesebben3. feladatsor: Görbe ívhossza, görbementi integrál (megoldás)
Maemaika A3 gyakorla Energeika és Mecharonika BSc szakok, 6/7 avasz 3. feladasor: Görbe ívhossza, görbemeni inegrál megoldás. Mi az r 3 3 i + 6 5 5 j + 9 k görbe ívhossza a [, ] inervallumon? A megado
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenFourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.
Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Neogrády-Kiss Márton. Számelméleti függvények vizsgálata differenciál- és integrálegyenletekkel
Eövös Loránd Tudományegyeem Természeudományi Kar Neogrády-Kiss Máron Számelmélei függvények vizsgálaa differenciál- és inegrálegyenleekkel Szakdolgoza Témaveze : Simon L. Péer Alkalmazo Analízis és Számíásmaemaikai
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenKockázati folyamatok
Kockázai folyamaok Sz cs Gábor Szegedi Tudományegyeem Bolyai Inéze, Szochaszika Tanszék Uolsó frissíés: 219. szepember 17. Taralomjegyzék 1. Az exponenciális eloszlás 2 2. A Wald-azonosság 4 3. Felújíási
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenLaplace-transzformáció. Vajda István február 26.
Anlízis elődások Vjd István 9. február 6. Az improprius integrálok fjtái Tegyük fel, hogy egy vlós-vlós függvényt szeretnénk z I intervllumon integrálni, de függvény nincs értelmezve I minden pontjábn,
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenTiszta és kevert stratégiák
sza és kever sraégák sza sraéga: Az -edk áékos az sraégá és ez alkalmazza. S sraégahalmazból egyérelműen válasz k egy eknsük a kövekező áéko. Ké vállala I és II azonos erméke állí elő. Azon gondolkodnak,
RészletesebbenRozner Bence Pe ter. E rze kenyse gvizsga lat Le vy-fe le kamatla b-modellekben
Eo vo s Lora nd Tudoma nyegyeem Terme szeudoma nyi Kar Rozner Bence Pe er E rze kenyse gvizsga la Le vy-fe le kamala b-modellekben Szakdolgoza - Alkalmazo maemaikus MSc Te mavezeo : Boros Bala zs kuao
Részletesebben1. Előadás: Készletezési modellek, I-II.
. Előadás: Készleezési modellek, I-II. Készleeke rendszerin azér arunk hogy, valamely szükséglee, igény kielégísünk. A szóban forgó anyag, cikk iráni igény, keresle a készle fogyásá idézi elő. Gondoskodnunk
RészletesebbenFourier-sorok Horv ath G abor 1
Fourier-sorok Horváth Gábor 1 Tartalomjegyzék 1 Bevezetés Szakdolgozatom során periodikus függvények egyfajta közelítésével fogunk foglalkozni. Amíg a Taylor-sornál a függvényeket hatványsor alakban állítjuk
RészletesebbenA végtelen a matematikában Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet.
A végtelen a matematikában Radnóti Gimnázium 203. 04. 23. Dr. Németh József egyetemi docens SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj 2 Pólya György: Ha a tudomány
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenA sebességállapot ismert, ha meg tudjuk határozni bármely pont sebességét és bármely pont szögsebességét. Analógia: Erőrendszer
Kinemaikai egyensúly éele: Téel: zár kinemaikai lánc relaív szögsebesség-vekorrendszere egyensúlyi. Mechanizmusok sebességállapoa a kinemaikai egyensúly éelével is meghaározhaó. sebességállapo ismer, ha
RészletesebbenIntegrálszámítás (Gyakorló feladatok)
Integrálszámítás (Gyakorló feladatok). Határozatlan integrál. Alapintegrálok F. Számítsa ki az alábbi határozatlan integrálokat! a) (x x + ) b) (6x x + 5) c) (x + x + x ) d) ( x + x x e) ( ) + e x ) f)
RészletesebbenFourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenMATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)
Okaási Hivaal A 015/016 anévi Országos Közéiskolai Tanulmányi Verseny dönő forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javíási-érékelési úmuaó 1 Ado három egymásól és nulláól különböző számjegy, melyekből
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenGibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén
Matematikai modellek, I. kisprojekt Gibbs-jelenség viselkedésének vizsgálata egyszer négyszögjel esetén Unger amás István B.Sc. szakos matematikus hallgató ungert@maxwell.sze.hu, http://maxwell.sze.hu/~ungert
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenFizika A2E, 11. feladatsor
Fizika AE, 11. feladasor Vida György József vidagyorgy@gmail.com 1. felada: Állandó, =,1 A er sség áram öl egy a = 5 cm él, d = 4 mm ávolságban lév, négyze alakú lapokból álló síkkondenzáor. a Haározzuk
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
Részletesebben.1. A sinx és cosx racionális függvényeinek integrálásáa. = R sinx,cosx dx. x x 2. 1 dt
. Trigonomeriai fügvények inegrálása Egy J függvény ípusáól függ. R x inegrál kiszámíása az R x racionális.. A sinx és cosx racionális függvényeinek inegrálásáa negrál J R sinxcosx Helyeesíés () R A és
RészletesebbenSzili László. Integrálszámítás (Gyakorló feladatok) Analízis 3. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány
Szili László Integrálszámítás (Gyakorló feladatok Analízis. Programtervező informatikus szak BSc, B és C szakirány. február Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények...........
RészletesebbenSíkalapok vizsgálata - az EC-7 bevezetése
Szilvágyi László - Wolf Ákos Síkalapok vizsgálaa - az EC-7 bevezeése Síkalapozási feladaokkal a geoehnikus mérnökök szine minden nap alálkoznak annak ellenére, hogy mosanában egyre inkább a mélyépíés kerül
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
Részletesebben3. ábra nem periodikus, változó jel 4. ábra periodikusan változó jel
Válakozó (hibásan váló-) menniségeknek nevezzük azoka a jeleke, melek időbeli lefolásuk közben polariás (előjele) válanak, legalább egszer. A legalább eg nullámenei (polariásválás) kriériumnak megfelelnek
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
Részletesebben2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011
8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon
RészletesebbenVillamosságtan II. főiskolai jegyzet. Írta: Isza Sándor. Debreceni Egyetem Kísérleti Fizika Tanszék Debrecen, 2002.
Villamosságan II főiskolai jegyze Íra: Isza Sándor Debreceni Egyeem Kísérlei Fizika anszék Debrecen, Uolsó frissíés: 93 :5 Villamosságan II félév oldal aralom aralom emaikus árgymuaó 3 Bevezeés 4 Válóáramú
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
RészletesebbenGAZDASÁGI ÉS ÜZLETI STATISZTIKA jegyzet ÜZLETI ELŐREJELZÉSI MÓDSZEREK
BG PzK Módszerani Inézei Tanszéki Oszály GAZDAÁGI É ÜZLETI TATIZTIKA jegyze ÜZLETI ELŐREJELZÉI MÓDZEREK A jegyzee a BG Módszerani Inézei Tanszékének okaói készíeék 00-ben. Az idősoros vizsgálaok legfonosabb
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenSZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
RészletesebbenNegyedik gyakorlat: Szöveges feladatok, Homogén fokszámú egyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc
Negyedik gyakorla: Szöveges feladaok, Homogén fokszámú egyenleek Dierenciálegyenleek, Földudomány és Környezean BSc. Szöveges feladaok A zikában el forduló folyamaok nagy része széválaszhaó egyenleekkel
Részletesebben2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia
24. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia A differenciálszámítás az emberiség egyik legnagyobb találmánya és ez az állítás nem egy matek-szakbarbár fellengzős kijelentése. A differenciálszámítás segítségével
RészletesebbenFüggvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.
Függvények 05. december 6. Határozza meg a következő határértékeket!. Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0 ). Feladat: ( + 7 5 ) ( + 7 5 ) ( + 0) 3. Feladat: ( + 0 7 5 ) 4. Feladat: ( + 0 7 5 ) ( + 7 0 5
Részletesebbencos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4
Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenRekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenFüggvények csoportosítása, függvénytranszformációk
Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények
RészletesebbenValószínűségi változók. Várható érték és szórás
Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor
Részletesebben1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +
. Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
Részletesebbenkonvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenPrimitív függvény. (határozatlan integrál)
PR Primiív füvény (haározalan inerál) Az ebben a részben szereplő füvények mindeyike leyen ey I eszőlees, poziív hosszúsáú inervallumon érelmeze valós érékű füvény (I R). PR Definíió: primiív füvény Ha
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenA sztochasztikus idősorelemzés alapjai
A szochaszikus idősorelemzés alapjai Ferenci Tamás BCE, Saiszika Tanszék amas.ferenci@medsa.hu 2011. december 19. Taralomjegyzék 1. Az idősorelemzés fogalma, megközelíései 2 1.1. Az idősor fogalma...................................
RészletesebbenHatárérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.
Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenELEKTRONIKAI ALAPISMERETEK
Elekronikai alapismereek középszin ÉETTSÉG VZSGA 0. május. ELEKTONKA ALAPSMEETEK KÖZÉPSZNTŰ ÍÁSBEL ÉETTSÉG VZSGA JAVÍTÁS-ÉTÉKELÉS ÚTMTATÓ EMBE EŐFOÁSOK MNSZTÉMA Egyszerű, rövid feladaok Maximális ponszám:
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenAlgebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev
Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom
RészletesebbenMatematika A1a - Analízis elméleti kérdései
Mtemtik A1 - Anlízis elméleti kérdései (műszki menedzser szk, 2018. ősz) Kör egyenlete Az (x 0, y 0 ) középpontú, R sugrú kör egyenlete síkon (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = R 2. Polinom Az x n x n + n 1 x n
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenDifferenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék
Differenciál - és integrálszámítás (Óraszám: 3+3) (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék Debrecen, 2005 A tárgy neve: Differenciál- és
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Részletesebben2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
RészletesebbenHatározatlan integrál, primitív függvény
Határozatlan integrál, primitív függvény Alapintegrálok Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket. ( ) n = n+ n+ + c,
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Részletesebben3. Gyakorlat. A soros RLC áramkör tanulmányozása
3. Gyakorla A soros áramkör anlmányozása. A gyakorla célkiőzései Válakozó áramú áramkörökben a ekercsek és kondenzáorok frekvenciafüggı reakív ellenállással ún. reakanciával rendelkeznek. Sajáságos lajdonságaik
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
Részletesebben