1. Fourier-sorok. a 0 = 1. Ennek a fejezetnek a célja a 2π szerint periodikus. 1. Ha k l pozitív egészek, akkor. (a) cos kx cos lxdx = 1 2 +

Átírás

1 . Fourier-soro. Bevezet definíció Enne a fejezetne a célja, hogy egy szerint periodius függvényt felírjun mint trigonometrius függvényeből épzett függvénysorént. Nyilván a cos x a sin x függvénye szerint periodius függvénye általában tetszőleges egz szám esetén a cos x a sin x függvénye szintén szerint periodius függvénye, továbbá az ezeből formált a + a cos x + sin x ún. trigonometrius polinomo is tetszőleges a, a, b valós számo esetén szerint periodius függvényt adna. Enne a fejezetne a célja a szerint periodius függvényt felírni függvénysorént. a + a cos x + sin x A továbbiaban feltesszü, hogy a szerint peiodius fx Riemann-integrálható a, ] intervallumban. Először az fx-et a a + a cos x + b sin x trigonometrius polinommal özelítjü. Az együtthatóat úgy válaszju, hogy a övetező, összesen n + feltétel teljesüljön:.. 3. fxdx = fx cos xdx = fx sin xdx = f n xdx f n x cos xdx, f n x sin xdx, Az első feltételből a övetezőt apju: a x + fxdx = f n xdx = a + = a cos x + b sin xdx = a sin x =,,... n =,,... n ] cos x b = a, a = fxdx. Az a, b együttható meghatározásához szüségün lesz a övetező integrálora:. Ha l pozitív egze, aor a b c. Ha = l, aor a b c cos x cos lxdx = sin + lx + + l sin x sin lxdx = sin lx l sin x cos lxdx = cos+lx+cos ldx = sin lx l ] = cos lx cos+ldx = sin + lx + l cos + lx + l cos xdx = sin x x + 4 sin xdx = sin x x 4 sin x cos xdx = cos x ] = sin+lx+sin ldx = ] cos lx = l + cos x dx = ] = ; cos x dx = ] ] =. sin xdx = =

2 A fentieet használva már meg tudju határozni az a b együtthatóat: fx cos xdx = f n x cos xdx = a + a cos x+ a l cos lx + b l sin lx cos xdx = l= a l cos lx cos x+b l sin lx cos xdx = a, l= a = fx cos xdx Hasonlóan apju a b együtthatóat: fx sin xdx = f n x sin xdx = a + a sin x+ a l cos lx + b l sin lx sin xdx = l= a l cos lx sin x+b l sin lx sin xdx = b, l= b = fx sin xdx. Az előbb apott együttható nem függne n-től, emiatt termzetes a övetező szerint periodius függvénnyel özelíteni a szerint periodius fx-et:. definíció. A szerint periodius fx Fourier-sora: ahol a + a cos x + b sin x, a = a = b = fxdx, fx cos xdx fx sin xdx. Példa: Fejtsü Fourier-sorba az {, < x <, fx =, < x függvényt! Megoldás: Nyilván a = fxdx = a = dx + dx = 3 ; fx cos xdx = cos xdx + cos xdx = sin x b = ] sin x + ] fx sin xdx = = sin xdx + sin xdx = ] cos x + cos Így a nemnulla együttható: a = 3, b = azaz a Fourier sor: 3 cos x ] =. =, =,,..., sin 3x sin 5x sin x Fourier-sor rzletösszegei. A övetező tétel azt mondja i, hogy a Fouriersor rzletösszege a legisebb átlagos hibanégyzet tulajdonságú.

3 . tétel. Legyen az fx szerint periodius függvény, az n-edi rzletösszege: s n x. Legyen t n x = α + α cos x + β sin x tetszőleges α, α, β valós együtthatóal. Eor minden n esetén fx s n x dx fx t n x dx egyenlőség csa aor teljesül, ha α = a, α = a, β = b. De Bizonyítás: Nyilván fx t n x dx = f xdx + t nxdx fxt n xdx. fx α α + fxt n xdx = α cos x + β sin x dx = α fxdx+ fx cos xdx + β α a + α a + β b. fx sin xdx = A t n x definíciójából önnyű ellenőrizni, hogy: t nxdx = α + α + β. Ezért fx t n x dx = f xdx+α+ α a + α+β = α a + β b = f xdx+α a + a + α a + β b a + b, amine a minimuma α = a, α = a, β = b esetén lesz, ahonnan már övetezi a tétel. A minimum esetén: fx s n x dx = f xdx ahonnan apju, hogy a + fx dx a + a + b, a + b. Mivel ez minden n esetén igaz, fx dx a + a + b. A övetező, itt nem bizonyított állítás azt mondja i, hogy itt egyenlőség áll:. tétel Parseval-formula. Ha a szerint periodius fx Riemann-integrálható a, ] intervallumban, aor fx dx = a + a + b. Ebből már övetezi, hogy négyzetes átlagban a rzletösszeg özel van az fx függvényhez: lim n fx s n x dx =. Példa: A Parseval formulát használju az {, < x <, fx =, < x függvény esetén! Megoldás: Tudju, hogy a nem-nulla Fourieregyüttható: a = 3, b =, =,,.... 3

4 Ezért 5 = fx dx = a + a + b = ahonnan rendez után 4, , 8 = Fourier-sor pontonénti onvergenciája A övetezőben arra eressün választ, hogy a fent apott Fourier-sor milyen feltétele esetén állítja elő az fx periodius függvényt. Ehhez szüség van a övetező definicióra:. definíció. Az fx függvény szaaszosan folytonos az I intervallumon, ha véges so pont ivételével az fx folytonos ahol szaadása van, ott létezi a bal jobboldali határérté. A fenti definícióra támaszodva már megadhatju, hogy a Fourier-sor milyen apcsolatban van az fx-szel. 3. tétel. Tegyü fel, hogy az fx f x függvénye szaaszosan folytonosa a, ]-ben. Eor a Fouriersor értée az fx folytonossági pontjaiban megegyezi fx-szel, míg szaadási pontoban a bal jobboldali határérté átlagát veszi fel. A fenti, nem bizonyított tétel övetezménye: Követezmény: Ha a szerint peiodius fx függvény olyan, hogy a, ] intervallum felbontható véges so intervallumra úgy, hogy egy rzintervallumon a függvény monoton folytonos, a szaadási pontoban létezi a bal ill. jobboldali határérté, aor a Fourier-sor előállítja a függvényt az fx folytonossági pontjaiban a szaadási helyeen a Fourier-sor az fx ottani bal jobboldali határérté átlagát veszi fel. Példá:. a Fejtsü Fourier-sorba az fx = x, ha < x < szerint periodius függvényt! b Határozza meg f értéleit úgy, hogy fx mindenhol folytonos legyen! Megoldás: A határozott integrál definíciója alapján: továbbá x x a = a = ] sin x b = cos x ] cos x cos + xdx =, x cos xdx = ] sin x =, x sin xdx = sin x cos x ] dx = dx = =. Így a Fourier-sor: sin x sin 3x sin x A onvergenciáról szóló tétel alapján az f = választás ell ahhoz, hogy a Fourier-sor előállítsa a függvényt a szaadási helyen. Megjegyezzü, hogy az x = helyettesít a övetezőt adja: = f sin sin 3 = sin = , 4 = , ami nem olyan meglepő, mivel tanultu, hogy arctgx = x x3 3 + x ha < x <, 5 ami a fentie alapján x = x = esetén is igaz. 4

5 . Fejtsü Fourier-sorba az függvényt! fx = sin 3 x Olyan a, a, b valós számoat ell találnun, amelyeel sin 3 x = a + a cos x + b sin x. A linearizációs formulá szerint: sin 3 x = sin x sin x = cos x sin x = sin x sin x cos x = sin x 4 sin 3x + sin x = 3 4 sin x sin 3x, 4 azaz a nemnulla Fourier-együtthatóá: b = 3 4 b 3 = Páros páratlan függvénye Az alábbiaban azt gondolju meg, hogy páros páratlan függvénye esetén hogyan egyszerűsödi le az együttható iszámítása. A továbbiaban felhasználju, hogy ha gx egy szerint periodius függvény, aor a, ] intervallumon vett integrál megegyezi a, ] intervallumon vett integrállal, gxdx = gxdx.. Legyen fx egy páros függvény. Eor fx párossága miatt a = fxdx = fxdx = továbbá fx cos x párossága miatt a = fx cos xdx = fx cos xdx. Mivel fx sin x páratlan, b = fx sin xdx = fxdx, fx cos xdx = fx sin xdx =., tehát a Fourier-sor nem tartalmaz szinuszos tagoat, emiatt ezt a Fourier-sort tiszta oszinuszos Fouriersorna mondju.. Most legyen fx egy páratlan függvény. Eor fx páratlansága miatt a = fxdx = fxdx =, továbbá fx cos x páratlansága miatt a = fx cos xdx = fx cos xdx = Mivel fx sin x páros, b = fx sin xdx = fx sin xdx, fx sin xdx = emiatt ez a Fourier-sor csa szinuszos tagoat tartalmaz, ezt tiszta szinuszos Fourier-sorna mondju. Példá:. Fejtsü tiszta szinuszos Fourier-sorba az függvényt! fx = x x x Megoldás: A függvényt a, ] intervallumon úgy egzítjü i, hogy a, ] intervallumban páratlan legyen. Erre a függvényre már alalmazhatom a fenti épleteet. A rzleteet mellőzve a övetezőt apju b = b = azaz fx = 8 x x sin xdx = 8 3, sin 3x sin 5x sin x Magyarázza meg, hogy a orábban iszámolt fx = x, < x < szerint periodius függvény Fourier-sora miért nem tartalmaz oszinuszos tagot! Megoldás: Teintsü a gx = fx függvényt. Ez már páratlan lesz, emiatt az ő Fourier-sora csa szinuszos tagoat tartalmaz. Ehhez a Fourier-sorhoz hozzáadva -et megapju fx Fourier-sorát. 5

6 5. T szerint periodius függvénye Fourier-sora Tegyü fel, hogy fx egy T szerint periodius, a, T ]-ben Riemann integrálható függvény. Eor őt a övetező alaú Fourier-sorba fejthetjü: ahol a + a = T b = T a cos T x + b sin T x, a = T T T T fxdx, fx cos T xdx fx sin T xdx. A onvergenciára hasonló tétel mondható i, mint ami a szrint periodius függvényere vonatozi. A rzleteet mellőzzü. 6