Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Matematika I. NÉV:... FELADATOK:"

Átírás

1 Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe x függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) π/2 xcos2x dx, (ii) ue u2 du, (iii) t 3 t + 2 dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az (a n ) sorozat korlátos. (ii) Az f függvény monoton nő [a, b] n. (iii) Az f(x) nek az x = 2 pont kritikus pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim x f(x) =. (v) Integrálfüggvény.

2 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a (2x 3) n 2 5 n sort. 22pt n + n= 2. Oldjuk meg: (x 2 + x)y + 4 = y 2, y() = Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = x + xy /y függvény f x (, ), f y(, ) parciális deriváltjait. x + y 4. Határozzuk meg x + háromszög. H 22pt dxy értékét, ahol H a (2, ), (, 2) és (, ) pontok által kijelölt zárt

3 Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = e 2 3x függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + függvény szélsőértékeit a [ 2, ] halmazon. 8pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 2x x 2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) π/4 cos 2 t dt, (ii) ln9 ln 4 e s/2 ds, (iii) 2 2 x 2 dx. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat monoton nő. (ii) Az f(x) függvény differenciálható a 2 pontban. (iii) A korlátos E számhalmaz supremuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 2. x (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen).

4 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. a) Határozzuk meg a b) Konvergens-e n=2 n=3 3 n ln 2 n. 2 n 2 n 2 sor összegét. 2. Oldjuk meg: y 2y + 5y = e 2x sin3x. 22pt 3. Határozzuk meg (x y) dx + y 2 dy értéket, ahol γ γ a) az O(, 2) középpontú, r = 2 sugarú negatív irányítasú körvonal A(, ) és B(, 2) pontjait összekötő körív. b) az A(, ) és B(, 2) pontokat összekötő szakasz (A B). 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 2xy + y 3 függvény szélsőértékeit a (, ), (, ), (, 2), és (, 2) 22pt pontok által kijelölt zárt négyszögön.

5 Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f(x) = x 2 3x függvény deriváltját az x = 2 helyen. pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt ( (i) lim n2 π ( ) n n + 3 n 2 2n), (ii) lim. n n 2n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xln 2 x függvényt. 2pt 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 2 (i) ds s 2 2s + 2, (ii) t 2 2t dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) A 3 korlátja az {a n } sorozatnak. (ii) f(x) konvex [, 2] n. (iii) A korlátos E számhalmaz infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle felső integrálközelítő összeg (részletesen).

6 Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK: 2n 2 5. Definíció alapján és formálisan is igazoljuk, hogy lim n n 2 + n + 3 = 2. pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 3 x függvénynek az a = pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, továbbá becsüljük meg 3 2 értékét. pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe /x2 függvényt. 2pt 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 2 (i) v 2 (3 + 5v 3 ) 2 dv, (ii) 2 du u 3 + u 2. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat szigorúan monoton csökken. (ii) Az f(x) függvény lineárisan approximálható az pontban. (iii) A {b n } sorozat részsorozata az {a n } sorozatnak. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 4. x (v) A Lagrange féle maradéktag.

7 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a n= 3 n n n 2 3 (2x + 5)n+ sort. 2. Oldjuk meg: yy = 2xy + 4x + y, y( ) =. 22pt x 2 y 3xy 2 3. Határozzuk meg lim (x,y) A x 2 + y 2 határértéket, ahol a) A = (, ), b) A = (, 2), c) A = (3, ), d) A = (, ). x y 4. Határozzuk meg dxy értékét, ahol H a (, ), (4, 2) és (, 4) pontok által kijelölt zárt y + háromszög. H 22pt

8 Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a =, a n = a n + 6 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt (i) lim n 8n 3 5 n, n ( ) 2n 3 3n (ii) lim. n 3n A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 2 ln x függvényt. 2pt 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 2 (i) π 2 sin t t dt, (ii) dz z 2 + 3z + 2. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat alulról korlátos. (ii) Az E számhalmaznak a 2 supremuma. (iii) Az f(x) függvénynek konkáv a [3, 5] on. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle alsó integrálközelítő összeg (részletesen).

9 Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK:. Határozzuk meg az f(x) = x 2 e 2 + 2x függvénynek az x = e pontba húzott érintőegyenesének az egyenletét. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt 5 n + n 3 (i) lim n π 2 3n, x 3 (ii) lim x x A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 3 6x 2 3 x 2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) x + x 2 6x + 9 dx, (ii) e s lns ds, (iii) 3 2 t 3 t2 4 dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat konvergál 2 höz. (ii) Az f(x) függvénynek helyi maximuma van ben. (iii) Az f(x) függvény differenciálható a c pontban. (iv) A környezetes definíció alapján lim x + f(x) = 3. (v) Az f(x) függvény egyenletesen folytonos a [ 2, 3] on.

10 Kalkulus II. NÉV:.... FELADATOK. a) Határozzuk meg a b) Konvergens-e n=3 2 2n 3 5 n+ 3 3n+ sor összegét. n=2 2 n lnn. 2. Oldjuk meg: y + 2y = e x sin x 2y x. 22pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = x + 3y függvény iránymenti deriváltját 22pt a P(, 2) pontban, az U(4, 3) irányban. 4. Határozzuk meg az f(x, y) = xye x2 +y 2 2 függvény szélsőértékeit az x 2 + y 2 8 halmazon.

11 Matematika I. NÉV:... FELADATOK: n 3 n +. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 n + 2n2 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt (i) lim n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = n 3 n 9 cosx, (ii) lim x x 2. x e x ( x) függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) 3 2 u 3 + u + u 2 du, (ii) ve v2 dv. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat határértéke 3. (ii) Az f(x) szigorúan monoton csökken a [, 2] on. (iii) Az f(x) függvénynek inflexiós pontja van az x = 2 helyen. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x 4 + (v) Az integrálható f(x) függvény integrálközepe a [c, d] on.

12 Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK:. Monotonitás és korlátosság szempontjából vizsgáljuk az a n = 2n 3 3n sorozatot. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt n n (i) lim n n 3 n 4 + 3, ( ) n+3 3n + (ii) lim. n 2n A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 2x + 3 x 2 függvényt. 2pt 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) π p sin p dp, (ii) t 2 (t 3 + ) 7 dt, (iii) y + y dy. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) lim n a n =. (ii) A 3 alsó korlátja f(x) nek. (iii) Az E halmaz megszámlálhatóan végtelen. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux-féle alsó integrál.

13 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. 2 pontossággal becsüljük meg a n= 3 6n 2 számsor értékét. + n 22pt 2. Oldjuk meg: xy + y 2 + y =, y() =. 22pt 3. Határozzuk meg (x y) dx + yx dy értéket, ahol γ a) γ az O(, 3) középpontú, r = 2 sugarú, pozitív irányítasú körvonal A(, ) és B(, 3) pontjait összekötő körív (A B), b) γ az A(, ) és B(, 3) pontokat összekötő szakasz (A B) 2 3 x2 /9 4. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 2 dx értékét.

14 Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 5, a n = 3a n + 2 a n + 2 (n > ) rekurzív sorozatot. 2pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 7 2 x függvénynek az a = β pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját. 8pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xlnx 2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) (λ + )e λx dx, (ii) 2 y 2 + 6y + 9 dy, (iii) t sin(t + 2) dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat felülről korlátos. (ii) Az {a n } sorozat Cauchy-sorozat. (iii) Az f(x) függvény konvex az [, 5] intervallumon. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle felső integrál.

15 Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(3 2x) függvényt. n Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim n n 2n 2 = A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x2 x pt függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) π/4 sin 2 t dt, (ii) y y dy, (iii) z + 2 z 2 + 2z + 2 dz. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat monoton nő. (ii) Az E halmaznak a 3 infimuma. (iii) Az f(x) függvénynek helyi minimuma van x = 2 ben. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Cauchy féle maradéktag.

16 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a n= n + 3 n + ( ) n 3 2x sort. 22pt 3 2. Oldjuk meg: xy y = 4x y, y() = 2. 22pt 3. Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = x x + y függvény f x (2, ), f xx (, ) parciális deriváltjait. 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 2x y 2 + 4y függvény szélsőértékeit a (, ), (, 3) és (2, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön.

17 Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. Monotonitás és korlátosság szempontjából vizsgáljuk az a n = n2 + 4 sorozatot. pt 3 2n 2. Határozzuk meg az f(x) = x 3 + x 2 x + függvény szélsőértékeit a [, ] halmazon. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x x 2 4 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) 3 2z 2 + 3z + dz, (ii) e u ln 2 u du, (iii) v 2 + v 2 v v dv. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) A szám felső korlátja az (a n ) sorozatnak. (ii) A 2 szám torlódási pontja az (a n ) sorozatnak. (iii) f folytonos a [ 2, 3) on. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Az [a, b] egy beosztása, a beosztás finomsága.

18 Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 5, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt n (i) lim 3 2n n+, n ( ) 2n 2n 3 (ii) lim. n 2n + 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 3 xlnx függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) π/2 (t + )cost dt, (ii) 4 z 2 2 z2 4z + 3 dz, (iii) 2y 2 + y 2y dy. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) lim n a n =. (ii) Az f(x) függvény folytonos a 2 pontban. (iii) f(x) lineárisan approximálható a ban. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 2. x (v) Az E számhalmaz felsőhatár tulajdonságú.

19 Kalkulus II. NÉV:... FELADATOK. Oldjuk meg ( ln(x + ) + (x y + )e y) y + ln(x + ) + x + y x + e y =. 2. Oldjuk meg 2y + (y ) 3 y =, y() =, y () = 4. 22pt 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 2 x 2 /4 dx értékét. x + y 4. Határozzuk meg x + dxy értékét, ahol H az y =, és az y = 4x x2 görbék által határolt zárt síkrész. H 22pt

20 Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h(x) = 3x x 2 függvény deriváltját az x = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt ( (i) lim n2 π ( ) n n + 3 n 2 2n), (ii) lim. n n 2n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xln 2 x függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 32pt (i) ds s 2 2s + 2, (ii) 3 t 2 2t dt, (iii) 3 x x2 + 4 dx. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) A -2 korlátja az {b n } sorozatnak. (ii) g(x) konvex [, 3] n. (iii) A korlátos H számhalmaz infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle felső integrálközelítő összeg (részletesen).

21 Matematika II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a n= 2 n n + 2n 2 3 (x + 5)n sort. 2. Laplace transzformációval oldjuk meg: y = 2y + 4x e 2x, y() = 2. 22pt x 2 y + 3xy 2 3. Határozzuk meg a lim (x,y) A x 2 + y 2 határértéket, ahol a) A = (, ), b) A = (, 2), c) A = (, ), d) A = (, ). xy 4. Határozzuk meg dxy értékét, ahol H a (, ), (4, ) és (, 3) pontok által kijelölt zárt y + háromszög. H 22pt

22 Műmat NÉV:... FELADATOK. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 2xy + y 3 szélsőértékeit a (, ), (, ), (, 2), és (, 2) pontok által kijelölt zárt négyszögön. 22pt 2. Oldjuk meg: a :) e z = 2, b :) cosz = i, c :) lnz = 3i. 22pt 3. Határozzuk meg (z + 3i)Rez dz értékét, ahol γ a γ i,2 körív z = 2 + i z 2 = 2 + i pontjait köti γ össze a:) pozitív, b:) negatív irányban. 4. A Cauchy féle integrálformula és a Reziduum tétel alkalmazásával is határozzuk meg értékét, ahol γ : γ +,2. γ z 2 2iz (z + i) 2 dz

23 Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK: 2n 2 5. Definíció alapján és formálisan is igazoljuk, hogy lim n n 2 n + 3 = 2. 9pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 3 x függvénynek az a = pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, továbbá becsüljük meg 3 2 értékét. 9pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe x2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 32pt (i) v 2 (3 + 5v 3 ) 2 dv, (ii) 2 du u 3 + u 2, (iii) xe 3 2x dx. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {x n } sorozat szigorúan monoton csökken. (ii) Az f(x) függvény lineárisan approximálható az pontban. (iii) A {c n } sorozat részsorozata a {b n } sorozatnak. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 3. x 2 (v) A Lagrange féle maradéktag.

24 Matematika II. NÉV:.... FELADATOK. a) Határozzuk meg a b) Konvergens-e n=2 2 2n 3 5 n+ 3 3n+ sor összegét. n=2 2 n lnn Laplace transzformációval oldjuk meg: y + 2y = e x sin x 2y, y() =, y () = 2. 22pt 22pt 3. Ábrázoljuk az f(x, y) = x + 3y függvény értelmezési tartományát, majd definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az iránymenti deriváltját a P(, 2) pontban, az U( 4, 3) irányban. 4. Határozzuk meg az f(x, y) = xye x2 +y 2 2 függvény szélsőértékeit az x 2 + y 2 8 halmazon.

25 Műmat NÉV:... FELADATOK. Laplace transzformációval oldjuk meg: y + 2y = e x sin x + x 2y, y() =, y () = 2. 22pt 2 n n + 2. Ábrázoljuk a 2n 2 (z + 5 i)n függvénysor konvergencia tartományát. Hogyan viselkedik a n= sor a z = 9/2 + i, illetve a z = /2 + i pontban? 22pt 3. Határozzuk meg (Rez 2i)z dz értékét, ahol γ a:) a γ + +i,2 kör z = 3 + i z 2 = i pontjait γ összekötő ív, b:) a z = 3 + i z 2 = i pontokat összekötő szakasz. 2z + 3i 4. A Reziduum tétel alkalmazásával, illetve a Laurent sor segítségével is határozzuk meg z dz értékét, ahol γ a γ +i,3 görbe. γ

26 Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n n 4 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = xe x függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (i) π/2 π/4 xcos 2x dx, (ii) ue u2 du, (iii) t 3 t + 2 dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az (x n ) sorozat korlátos. (ii) A g függvény monoton nő [c, d] n. (iii) A h(x) nek az x = pont kritikus pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x 2 (v) Integrálfüggvény.

27 Matematika II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a n= (2x + 3) n 2 5 n 2n sort. 22pt 2. Oldjuk meg: (x 2 + 3x)y + 4 = y 2, y() = Definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f(x, y) = 2x + xy /y függvény f x ( 2, 3), f y(4, ) parciális deriváltjait. 22pt x + y 4. Határozzuk meg dxy értékét, ahol H a (3, ), (, 3) és (, ) pontok által kijelölt zárt 2x + háromszög. H

28 Matematika I. NÉV:... FELADATOK: n 3 n +. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 n + 2n2 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt (i) lim n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = n 3 n 9 cosx, (ii) lim x x 2. x e x ( x) függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 2 2pt (i) 3 2 u 3 + u + u 2 du, (ii) ve v2 dv. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat határértéke 3. (ii) A g(x) szigorúan monoton csökken a [, 2] on. (iii) A h(x) függvénynek inflexiós pontja van az x = 2 helyen. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x 4 + (v) Az integrálható f(x) függvény integrálközepe a [c, d] on.

29 Matematika II. NÉV:... FELADATOK. Oldjuk meg (xy x 2 )dy y 2 dx =, y() = e. 22pt 2. Laplace transzformációval oldjuk meg y 3y = x +, y() =, y () = 2. 22pt 2 3 x 3. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 2 dx értékét. x + y 4. Határozzuk meg y + 4 dxy értékét, ahol H az y =, és az y = 4x x2 görbék által határolt zárt síkrész. H

30 Műmat NÉV:... FELADATOK. Oldjuk meg: (x 2 + 3x)y + 4 = y 2, y() = 2. 22pt 2. Adjuk meg a 2π szerint periodikus f(x) =, ha π x, illetve f(x) = sin x, ha x π függvény valós és komplex Fourier sorát, továbbá a c, a, b 5 számokat. 22pt 3. Határozzuk meg z + i dz értékét, ahol γ a γ i,2 körív z = + i z 2 = 3i pontjait köti össze a:) pozitív, b:) negatív irányban. γ 4. Határozzuk meg az f(z) = i z 3 i dz Laurent sorait a z = pont körül kifejtve.

31 Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = e 2+3x függvényt. 8pt 2. Határozzuk meg az f(t) = t 3 4t függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 7pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = 2x x 2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) π/4 π/3 cos 2 t dt, (ii) ln9 ln4 e y/2 dy, (iii) 3 x 2 4 dx. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {a n } sorozat monoton nő. (ii) A g(x) függvény differenciálható a 3 pontban. (iii) A korlátos H számhalmaz supremuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x 2 (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen).

32 Matematika II. NÉV:... FELADATOK. a) Határozzuk meg a b) Konvergens-e n=3 n=3 3 n lnn. 2 n 2 n 2 sor összegét. 2. Laplace traszfomációval oldjuk meg: y 2y + 5y = e 2x,y() =, y () = 2. 22pt 3. Határozzuk meg x( y) dx + 2y dy értéket, ahol γ γ a) az O(, ) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal A( 2, ) és B(2, ) pontjait összekötő körív. b) az A(, ) és B(, 3) pontokat összekötő szakasz (A B). 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 3 2xy + y 3 függvény szélsőértékeit a (, ), (, 2), és (, 2) pontok 22pt által kijelölt zárt háromszögön.

33 Műmat NÉV:... FELADATOK. Határozzuk meg háromszög. H xy y + dxy értékét, ahol H a (, ), (4, ) és (, 3) pontok által kijelölt zárt 22pt 2. Oldjuk meg: a :) sin z = 2, b :) chz = 2i, c :) z 4 = 6. 22pt 2 + z 3. Határozzuk meg Imz + i dz értékét, ahol γ a:) a z = z 3 = 2 + i pontokat összekötő szakasz, γ b:) a z = z 2 = i z 3 = 2 + i pontokat összekötő tört szakasz. 4. A Reziduum tétel alkalmazásával, illetve a Laurent sor segítségével is határozzuk meg 3z 2i + z 2 6z + dz értékét, ahol γ a γ+ 3+i, görbe. γ 23p

34 Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 4, a n = a n + 6 (n > ) rekurzív sorozatot. 9pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 9pt (i) lim n 7n 2 4 n, n ( ) n+3 2n (ii) lim. n 2n A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 2 lnx függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 32pt (i) 2 3 sin( t ) t dt, (ii) dz z 2 + 4z + 2, (iii) 3 2 xln(2x 3) dx. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) Az {x n } sorozat alulról korlátos. (ii) Az A számhalmaznak a supremuma. (iii) Az f(x) függvénynek konkáv a [c, d] n. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) =. x (v) Darboux féle alsó integrálközelítő összeg (részletesen).

35 Matematika II. NÉV:... FELADATOK. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 y y 3 2 függvény szélsőértékeit (és helyeit) a (, ), (2, ), (, 3), (2, 3) pontok által meghatározott zárt negyszögön. 22pt 2. Oldjuk meg: xy + y 2 + y =, y() =. 22pt 3. Határozzuk meg (x + y) dx + y 2 dy értéket, ahol γ a) γ az O(, 3) középpontú, r = 2 sugarú, pozitív irányítású körvonal A(, ) és B(, 3) pontjait összekötő körív (A B), b) γ az A(, ) és B(, 3) pontokat összekötő szakasz (A B). 2 9 x 2 4. A megfelelő sorfejtés első 5 tagjának segítségével becsüljük meg x 3 dx értékét.

36 Műmat NÉV:... FELADATOK 2 e x2. A megfelelő sorfejtések első 4 tagjának segítségével becsüljük meg dx, illetve ln 5 értékét. 22pt x (2z + 3 i) n 2 2. Ábrázoljuk a 5 n függvénysor konvergencia tartományát. Hogyan viselkedik a sor a 2n n= z = 4 + i/2, illetve a z = + i pontban? 22pt z + 2Imz 3. Határozzuk meg 3Rez i dz értékét, ahol γ a:) a z = z 3 = 2 + i pontokat összekötő szakasz, γ b:) a z = z 2 = 2 z 3 = 2 + i pontokat összekötő tört szakasz. 4. Határozzuk meg az f(z) = z i z Laurent sorait a z = i pont körül kifejtve. 23p

37 Matematika I. NÉV:... B csoport FELADATOK:. Határozzuk meg az f(x) = x 2 + e x + 2x + függvénynek az x = pontba húzott érintőegyenesének az egyenletét. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt 5 + n 3 x 3 (i) lim, (ii) lim n 3 2n x x A tanult módon ábrázoljuk az f(x) = x 2 3 x 2 függvényt. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (i) x 2 + x 2 6x + 9 dx, (ii) se 2s ds, (iii) 3 2 t 5 t 2 4 dt. Definiáljuk a következő fogalmakat: (i) A {b n } sorozat konvergál 2 höz. (ii) A g(x) függvénynek helyi maximuma van ben. (iii) A h(x) függvény differenciálható a c pontban. (iv) A környezetes definíció alapján lim f(x) = 2. x + (v) Az f(x) függvény egyenletesen folytonos a [2, 3] on.

38 Matematika II. NÉV:... FELADATOK. A tanult módon vizsgáljuk a n= n + 2 n + ( ) n 3 3x sort. 22pt 2 2. Oldjuk meg: xy y = 4x 2 y, y() = 2. 22pt 3. Ábrázoljuk az f(x, y) = x 2x y függvény értelmezési tartományát, majd definíció alapján és formálisan is határozzuk meg az f x(2, ), f xx(, ) parciális deriváltakat. 4. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 2xy y 2 + 4y függvény szélsőértékeit a (, ), (, 3) és (2, ) pontok által kijelölt zárt háromszögön.

39 x α dx = xα+ + C, (α ), dx = ln x + a + C, (x a), sin xdx = cosx + C α + x + a cosxdx = sin x + C, cos 2 dx = tg x + C, x x 2 dx = arctg x + C, + sin 2 dx = ctg x + C, x dx = arcsinx + C, a x dx = ax + C, ( < a ), x 2 lna x x2 + a dx = ln tg + x2 + a + C, sin x dx = ln x + C. 2 L[f](p) : = L[cos ax](p) = f(x)e px dx, L[e ax f(x)](p) = L[f(x)](p a), L[xf(x)](p) = L [f(x)](p), L[x n ](p) = n! p n+, p p 2 + a 2, L[sinax](p) = a p 2 + a 2, L[y ] = pl[y] y(), L[y ] = p 2 L[y] py() y (), < p >, x n = ( ) α np x x <, ( + x)α = x n x <, n n= n= n= f(x)dx < a n < a k + f(x)dx. k n=k k c n = f(n) (z ) n! f(x) = a + a n : = π (a n cosnx + b n sinnx), a := 2π n= π π f(x)cos nxdx, b n := π π π π π f(x)sin nxdx f(x)dx, z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y), u x = v y, u y = v x, u xx + u yy = L f(z)dz = β = f(z) 2πi γ (z z ) n+ dz, c = 2πi α f(z(t))z (t)dt γ f(z) dz, f(z) = n= c n (z z ) n. Res(f, a) = h(a) g (a), Res(f, a) = (n )! lim[(z z a a)n f(z)] (n ). c k := π f(x)e ikx dx, ˆf(x) := c k e ikx, ˆF(ω) := f(x)e iωx dx 2π π k= 2π

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

a) az O(0, 0) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal P( 2, 2), Q( 2, 2) pontjait

a) az O(0, 0) középpontú, r = 2 sugarú, negatív irányítasú körvonal P( 2, 2), Q( 2, 2) pontjait 06.05.7. Kalulus II. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK. Határozzu meg a xy da integrált, ahol H az A(, ), B(0, 0) és C(, ) ponto által megha- y + 3 tározott háromszög. H 0pt. Oldju meg: y y + 5y = e

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Matematika M1 Gyakorlat

Matematika M1 Gyakorlat Matematika M Gyakorlat BME - Gépésmérnök MSc Gyakorló Feladatsor. Zh. Határoa meg a α paraméter értékét úgy hogy a vx y = αx y xy 4y 3 3 kétváltoós függvény egy reguláris komplex függvény képetes rése

Részletesebben

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet   nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26 Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő

Részletesebben

Fourier sorok február 19.

Fourier sorok február 19. Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106

Kurzusinformáció. Analízis II, PMB1106 Kurzusinformáció Analízis II, PMB1106 2013 Tantárgy neve: Analízis II Tantárgy kódja: PMB1106 Kreditpont: 4 Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.): 2+2 Előfeltétel: PMB1105 Félévi követelmény: kollokvium Előadás

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja!

1. Határozza meg az alábbi határértéket! A válaszát indokolja! Matematika (Analízis és dierenciálegyenletek), NGB_MA003_1, 2. zárthelyi 2014. 11. 20., 1A-csoport x 2 + 6x x 2 5 5x 2 f(x) = tg(2x + 1) 2 x + cos x x 16 5 x + 16 2 x 16 4. Határozza meg, hogy az f(x)

Részletesebben

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1

(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1 Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus II. példatár. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus II. példatár Gselmann Eszter Debrecen, 203 Tartalomjegyzék. Határozatlan integrál Elméleti áttekintés............................. Alapintegrálok...............................

Részletesebben

Matematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz

Matematika M1 1. zárthelyi megoldások, 2017 tavasz Matematka M. zárthely megoldások, 7 tavasz A csoport Pontozás: + 7 + 7 + 7) + 3 + 6 5 pont.. Lehet-e az ux, y) e 3x cos3y) kétváltozós valós függvény egy regulárs komplex függvény valós része? Ha gen,

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Feladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán

Feladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán Feladatgyûjtemény Analízis III. Sáfár Zoltán NyME-SEK 20 Tartalomjegyzék. Számsorozatok számsorok 2. Differenciálszámítás 5 2.. L Hospital-szabály............................... 7 3. Függvénysorok Taylor-polinom

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2012. okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. 1 / 123 Kötelező irodalom: LOSONCZI LÁSZLÓ,

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

Gazdasági matematika I.

Gazdasági matematika I. Gazdasági matematika I. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Informatikai Kar I. félév Előadó: Hajdu Lajos Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika I. I. félév 1 / 124 Félévközi kötelező

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Matematika elméleti összefoglaló

Matematika elméleti összefoglaló 1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011

2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011 8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

Műszaki matematika 2

Műszaki matematika 2 Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet Műszaki matematika Gyakorlati jegyzet Készítette: Bogya Norbert, Dudás János, Fülöp Vanda 09. március. Európai Szociális Alap i Szegedi Tudományegyetem, Természettudományi

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI

FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNYEK TULAJDONSÁGAI, JELLEMZÉSI SZEMPONTJAI FÜGGVÉNY: Adott két halmaz, H és K. Ha a H halmaz minden egyes eleméhez egyértelműen hozzárendeljük a K halmaznak egy-egy elemét, akkor a hozzárendelést

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék

Részletesebben

M szaki matematika 2

M szaki matematika 2 Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet M szaki matematika Gyakorlati jegyzet Készítette: Bogya Norbert, Dudás János, Fülöp Vanda Utoljára módosítva: 09. április 8. Európai Szociális Alap i Szegedi Tudományegyetem,

Részletesebben

Analízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a

Analízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a Analízis példatár v0.2 A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a letölthető példatárak közt. Országh Tamás Budapest, 2005-2010 1 Mottó: Ki kéne vágni minden

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész

Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

4. Laplace transzformáció és alkalmazása

4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e

(x + 1) sh x) (x 2 4) = cos(x 2 ) 2x, e cos x = e Az. gyakorlat HF-inak megoldása. Deriváljuk az alábbi függvényeket. sin x cos x = cos x sin x, x ln x = x / ln x + x x x, x x = x / = x/ = = e x cos x+e x sin x e x cos x cos x, x sin x ln x = + x x, x

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2007. máj. 29. Megoldókulcs 1. Adott az S : 3x 6y + 2z = 6 sík a három dimenziós térben. (a) Írja fel egy tetszőleges, az S-re merőleges S síknak az egyenletét!

Részletesebben