Feladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Feladatgyûjtemény. Analízis III. Sáfár Zoltán"

Átírás

1 Feladatgyûjtemény Analízis III. Sáfár Zoltán NyME-SEK 20

2 Tartalomjegyzék. Számsorozatok számsorok 2. Differenciálszámítás L Hospital-szabály Függvénysorok Taylor-polinom 7 4. Magasabb dimenziós vektorok sorozatok 0 5. Elemi többváltozós függvények 6. Kétváltozós függvények határértéke 2 7. Kétváltozós függvények folytonossága 3 8. Parciális differenciálhatóság Az érintõsík egyenlete többváltozós Taylor-polinom Szélsõérték meghatározása Lokális szélsõérték Globális szélsõérték Feltételes szélsõérték i

3 . Számsorozatok számsorok Ismétlés: Tetszõleges valós számokra (a b R) (a b)(a+b) = a 2 b 2 (a b)(a 2 +ab+b 2 ) = a 3 b 3. Általánosabban bármely természetes kitevõ esetén (n N) a n b n = (a b)(a n +a n 2 b+a n 3 b 2 + +b n )... Definíció. Sorozat: a természetes számok halmazán értelmezett függvény..2. Definíció. Egy {a n }( R) sorozat konvergál a-hoz ha elég nagy indexre tetszõlegesen közel kerül hozzá azaz ε > 0 n 0 N n n 0 : a n a < ε. Jelölés. Ha az {a n } sorozat határértéke a akkor a következõ jelölést használjuk: lim a n = a. Jelölés. Az a elem ε(> 0) sugarú környezetét a következõképp jelöljük: G(aε) = {a n : a n a < ε}..3. Definíció. Egy {a n } sorozat monoton növõ (csökkenõ) ha a n ( )a n azaz a n a n ( )0 vagy a n a n ( )..4. Definíció. Egy {a n } sorozat felülrõl (alulról) korlátos ha a tagjai valamely értéknél nem vesznek fel nagyobb (kisebb) értéket azaz K R : a n K ( k R : a n k). A sorozat korlátos ha felülrõl és alulról is korlátos: k a n K..5. Definíció. Egy {a n } sorozat valódi divergens ha a határértéke vagy. Nem valódi divergens ha korlátos de nincs határértéke... Tétel (Mûveletek és határérték). Tegyük fel hogy c R tetszõleges szám és lima n limb n < ekkor lim(a n ±b n ) = lima n ±limb n lim(ca n ) = clima n lim(a n b n ) = lima n limb n ha limb n 0 akkor lim an b n = liman limb n.

4 .2. Tétel (Majoráns-minoráns kritérium). Legyenek{a n }{b n }{c n } nemnegatív sorozatok. (i) Ha lima n < és valamely indextõl kezdve b n a n akkor limb n <. (ii) Ha limc n = és valamely indextõl kezdve b n c n akkor limb n =..3. Tétel (Rendõrelv). Tegyük fel hogy lima n = a = limc n és elég nagy indexekre a n b n c n. Ekkor limb n = a..4. Tétel. Nevezetes határértékek: (i) sint lim t 0 t =. (ii) Jelölje e a természetes logaritmus alapját ekkor ( lim + k ) n = e k n.6. Definíció. Sor: formális végtelen összeg..7. Definíció. Legyen {a n } R. A a n sor konvergens ha az s n := n a n részletösszegek sorozata konvergens. Konvergenciakritériumok:.5. Tétel (Szükséges feltétel). Ha a n konvergens akkor lima n = Tétel (Cauchy-féle belsõ). Egy a n sor pontosan akkor konvergens ha a végszeletek összege tetszõlegesen kicsi azaz n+k ε > 0 n 0 k R + : s n+k s n = a l < ε..7. Tétel (D Alambert-féle hányados). Legyen a n > 0. Ha lim sup { < akkor a sor konvergens a n+ = q = nem tudjuk használni ezt a kritériumot a n > akkor a sor divergens..8. Tétel (Cuachy-féle gyök). Legyen a n > 0. Ha l=n k= lim sup { < akkor a sor konvergens n an = q = nem tudjuk használni ezt a kritériumot > akkor a sor divergens..9. Tétel (Leibniz). Ha a n váltakozó elõjelû éslima n = 0 akkor a a n sor feltételesen konvergens. 2

5 .0. Tétel. Nevezetes sorösszegek: (i) Mértani sor összege: ha q < akkor n=0 q n = q. (ii) n=0 n! = e.. A konvergencia definiciója alapján bizonyítsuk be hogy a megadott {a n } sorozat a- hoz konvergál (adjunk meg n 0 küszöbindexet). Hányadik elemtõl (n ) kezdve esnek a sorozat elemei az a szám r sugarú környezetébe? (a) a n = 2n 2n+ a = r = 0 2 (b) a n = 4n 3 4 n + a = 3 r = 3 (c) a n = n2 n+ a = r = Vizsgáljuk meg a következõ sorozatokat monotonitás korlátosság és konvergencia szempontjából: (a) a n = 2n+4 3n 3 (b) b n = 3n+ n (c) c n = n 5n+ (d) d n = 2n2 +3 2n 2 n 2 (e) e n = (+ 2 n )0. 3. Igazolja hogy a c n = n 5n+ 4. Igazoljuk hogy amint n tart végtelenbe. sorozatnak a nem határértéke! n+ n 0 és n( n+ n) 2 5. Határozzuk meg a határértékeket: (a) lim 2n n 3n 2 +2n + n (b) lim (c) lim ( 3 n+ 3 n ) n (d) lim 8 n 2 3

6 (e) lim n n 2 + (f) lim n( (n+a)(n+b) n) (g) lim n n 3 +3n (h) lim n 3 n +2 n (i) lim (+ 2n )n (j) lim ( n 2 ) n (k) lim ( n 2 ) n (l) lim ( n2 + n 2 2 )n2. 6. Bizonyítsuk be hogy az alábbi sorok konvergensek és határozzuk meg a sorok összegét! (a) + ( )n n (b) n(n+) (c) (d) (e) (f) (g) k=0 k=0 k=0 0 k 20 0 k 5 2k+ ( 5 k k=0 k=0. k(k+) 5 k+ ) 7. Konvergensek-e a következõ sorok: (a) (b) (c) (d) (e) k= k= k k! k ( ) k k= k= k= 2k 2k k 4

7 (f) (g) (h) (i) (j) (k) k=2 k=2 lnk k 2 ( k )k k= ( k+ 3k )k k= ( 2k+ 3k+ )4k+ k= k=0 +( ) k 2 k. 2. Differenciálszámítás Ismétlés: Negatív- és törtkitevõ: Legyen q R ekkor a q = /a q és q a = a /q. A logaritmus függvény azonosságai: Legyen 0 < abc ekkor log a b = log cb log c a. Az e x és lnx függvények egymás inverzei azaz q = e lnq q > Definíció. Egy valós f függvény (f : R R) differenciálhányadosát egy x 0 ( D f ) pontban a f(x 0 ) f(x) lim x x 0 x 0 x = lim h 0 f(x 0 +h) f(x 0 ) h határértékkel definiáljuk és f (x 0 )-lal jelöljük. Az f függvény deriváltfüggvényét minden olyan pontban értelmezzük ahol f (x 0 ) és értékét f (x 0 )-lal adjuk meg. 2.. Tétel. Alapfüggvények deriváltja: (x q ) = qx q q R számra; (sinx) = cosx (cosx) = sinx (e x ) = e x (lnx) = /x. 5

8 2.2. Tétel (Deriváltfüggvény és mûveletek). Legyen c R és f g differenciálható függvény valamely intervallumon. Ekkor (f ±g) = f ±g (cf) = c f (fg) = f g +fg (f/g) = (f g fg )/g 2. Ha g differenciálgató x-ben és f differenciálható g(x)-ben akkor az összetett függvényre: (f(g(x))) = f (g(x)) g(x) láncszabály. 8. A definíció alapján határozzuk meg a következõ függvények differenciálhányadosát az adott pontokban: (a) f(x) = x 2 x 0 = 2 3a (b) g(x) = x x 0 = 2 3a(> 0) (c) h(x) = 2x x 3 x 0 = 2 3a( 3) (d) i(x) = x x 0 = 2a. 9. Határozzuk meg az abc paraméterek értékét úgy hogy a függvény mindenütt differenciálható legyen: { x 2 +ax+b x < 2 f(x) = 2 x = 2 2ax 2 2x+c x > Deriváljuk a következõ függvényeket: (a) x+ x+ 3 x (b) x (c) xsinx (d) 6x+3 4x 3 (e) (2 x2 )(3 x 3 ) ( x) 2 (f) sin n xcosnx (g) ln x (h) x+ x (i) tan x 2 cot x 2 (j) sin(sin(sin x)) (k) e 3x 7 6

9 (l) 2 x+ 3 x (m) x 5 5 x (n) log 3 lnx (o) x x (p) e ex +x (q) ln x (r) (sinx) cosx (s) sinx cosx (t) log sinx cosx. 2.. L Hospital-szabály 2.3. Tétel. Legyen f és g két olyan függvény amelyre lim f(x) = 0 = lim g(x) valamely x x0 x x0 x 0 pontban és g (x) 0. Ekkor f(x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Megjegyzés. A fenti tételt általában 0 típusú határérték esetében alkalmazzuk. Azonban a tétel csak hányadosra alkalmazható!. Határozzuk meg a következõ határértékeket: (a) lim x 2 x 2 5x+6 x 3 2x 2 x+2 (b) lim x 0 e x e x x lnx (c) lim x x (d) lim xlnx x 0+ (e) lim x xe x (f) lim( ) x lnx x (g) lim x 0+ xx. 3. Függvénysorok Taylor-polinom 3.. Definíció. Hatványsor: a n x n alakú végtelen összeg. Konvergenciatartomány: azon x 0 pontok halmaza melyre a a n x n 0 Konvergenciasugár: a konvergenciaintervallum hosszának a fele. számsor konvergens. 7

10 3.2. Definíció. Egy f függvény x 0 pont körüli Taylor-sora: T f (x 0 ) = n=0 3.. Tétel. Nevezetes 0-körüli Taylor-sorok: e x = n=0 sinx = x n n! n=0 cosx = n=0 x = n=0 x 2n+ (2n+)! x 2n (2n)! ln( x) = x n ha x < n= x n n ha x <. f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. n! 2. Határozzuk meg a következõ függvénysorok konvergenciatartományát: (a) (b) (c) k= k= k= k x x 0 x k sinkx k Számítsuk ki a következõ hatványsorok konvergenciasugarát és konvergenciaintervallumát: (a) kx k (b) (c) k= 3 k+ x k k=0 k= x 2k (2k)!. 4. Fejtsük hatványsorba a következõ függvényeket és adjuk meg a hozzájuk tartozó konvergenciaintervallumokat: (a) f(x) = 3 x+ (b) g(x) = x 5+x (c) h(x) = 2x x 2 8

11 (d) i(x) = 2x ( x) 2 (e) j(x) = x 2 ln( x) (f) k(x) = x 2 5x+6 (g) l(x) = ln(x 2 5x+6) (h) m(x) = sin 2 x. 5. Írjuk fel a P(x) = +3x+5x 2 2x 3 polinomot x+ hatványai szerint (nemnegatív egész kitevõkkel). 6. Írjuk fel az alábbi függvényeket olyan kifejezések alakjában amelyek a megadott fokú tagig bezárólag az x változó nemnegatív egész kitevõs hatványait tartalmazzák! (a) ln(cosx); x 6 (b) tanx; x 5 (c) x e x ; x4. 7. Fejezzük ki az f(x) = x függvényt x hatványaiból álló háromtagú összeg segítségével. 8. A Taylor-formula segítségével számítsuk ki közelítõleg az alábbi kifejezések értékét és becsüljük meg a hibát: (a) 3 30 (b) e (c) sin47 (d) arctan Határozzuk meg a következõ határértékeket! cosx e x 2 /2 x 0 x 4 (a) lim e (b) lim x sinx x(+x) x 0 x 3 (c) lim x 0 ( x sinx ) (cosx) (d) lim sinx. x 0 x A nevezetes hatványsorok segítségével fejtsük nulla körüli hatványsorba: (a) e x2 (b) cos 2 x (c) x. +x 2x 2 2. Számítsuk ki a következõ integrálok értékét 0 3 pontossággal: 9

12 (a) (b) (c) e x2 dx sinx x dx cos 2 xdx. 4. Magasabb dimenziós vektorok sorozatok Jelölés. Az n dimenziós valós vektorok jelölése: a = [a a 2...a n ]b R n. 4.. Definíció. Vektorok összege: komponensenként vagyis a+b = [a +b a 2 +b 2...a n +b n ] R n. Skalárral szorzás: tetszõleges c R esetén ca = [ca ca 2...ca n ] R n. Skaláris vagy belsõ szorzat: ahol a = ab = a b +a 2 b 2 + +a n b n = a b cos(ab) R n a 2 k az a vektor hossza és cos(ab) a vektorok által bezárt szög. k= Vektoriális vagy kereszt szorzat: legyen a és b térbeli (3 dimenziós) vektor akkor a b =: d R 3 ahol d = a b sin(ab) és az (abd) rendszer jobbsodrású rendszert alkot. 4.. Következmény. Az a és b vektorok merõlegesek ha ab = Ábrázoljuk az xy síkon a következõ vektorsorozatok elsõ öt tagját és határozzuk meg azoknak a görbéknek az egyenletét amelyeken e sorozatok pontjai elhelyezkednek: (a) x k = ( 3 k 0) (b) x k = ( 6 k 3 k ) (c) x k = ( 6 k 6 k ). 23. Legyenek adva a következõ vektorok: a = [02306]b = [00]c = [0 ] és d = [i 0 + i 0 i]. Végezzük el az alábbi mûveleteket: (a) (2a+b c)c (b) a b (c) cd dc (d) d 2 (e) b2 c 0

13 (f) ac a c. Számítsuk ki a b vektor hosszát valamint az a és c vektorok összegét! 24. Határozzuk meg azt a vektort amelynek utolsó koordinátája és merõleges az [00 2][00][ 0] vektorok mindegyikére! 25. Mutassuk meg hogy a következõ sorozatok korlátosak. Adjunk meg olyan gömböt amely a sorozat tagjait tartalmazza: (a) x k = (( ) k ) (b) x k = ( 2 k+ + k ) (c) x k = ( k k k+ k k+3 k ) (d) x k = (( ) k ( ) [k/2] ( ) [k/3] ). 5. Elemi többváltozós függvények 5.. Definíció. Egy f(x y) függvény szintvonalain azokat a görbéket értjük amit a felületbõl egy az (xy) síkkal párhuzamos sík kimetsz. 26. Határozzuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát és ábrázoljuk koordinátarendszerben azt: (a) x 2 y 2 (b) x y (c) ln(xy) (d) ln(sinxcosy) (e) x 2 + y 2 (f) ln(xln(y x)) (g) x 2 +y 2 (h) arcsin y x. 27. Állítsuk elõ az f(y/x) függvényt ha f(xy) = 2xy 28. Adjuk meg az f(x) függvényt ha f(y/x) = x 2 +y Határozzuk meg f(xy)-t ha f(x+yy/x) = x 2 y 2. x 2 +y 2 x ahol x > Határozzuk meg a következõ függvények szintvonalait: (a) x+y (b) x 2 +y 2

14 (c) x 2 y 2 (d) y x (e) x +y (f) max{ x y } (g) min{x 2 y}. 6. Kétváltozós függvények határértéke 3. Számítsuk ki az alábbi határértékeket: (a) (b) (c) (d) lim x y x+y x 2 xy+y 2 lim xcosy x 0 y lim x 0 y 0 x 2 +y 2 x 2 +y ln(x+e lim y ) x x 2 +y 2 y 0 ( xy (e) lim ) x2 x x 2 +y 2 y (f) lim (+ ) x2 x x y 0 x+y. 32. Vizsgáljuk meg hogy az alábbi kétváltozós függvényekre és a megadott x 0 y 0 értékekre léteznek-e az L 2 = lim[lim f(xy)] L 2 = lim[ lim f(xy)] és L = lim f(xy) x x0 y y0 y y0 x x0 x x 0 y y 0 határértékek s ha igen határozzuk meg ezeket: (a) x y x+y x 0 = y 0 = 0 (b) xy x+y xy+x+y x 0 = y 0 = 0 (c) x2 +y 2 x 2 +y 4 x 0 = y 0 = (d) xcosy x 0 = 0 y 0 = 2

15 (e) 2xy x 2 +y 2 x 0 = y 0 = 0 (f) sinxy x x 0 = 0 y 0 = a (g) (x 2 +y 2 )e (x+y) x 0 = y 0 = (h) (x+y)sin sin x x y 0 = y 0 = 0 { xsin (i) f(xy) = +ysin x 0 y y x 0 x = 0 vagy y = 0 (j) f(xy) = xy +x y x 0 = y 0 = Kétváltozós függvények folytonossága 7.. Definíció. Egy f(xy) függvény folytonos valamely (x 0 y 0 ) D f pontban ha lim f(xy) = f(x 0 y 0 ). x x 0 y y 0 A szakadási helyek azok a pontok ahol a függvény nem folytonos. 33. Mutassuk meg hogy az f(xy) = { x 2 y 2 x 2 +y 2 (xy) (00) 0 (xy) = (00) függvény folytonos a (00) pontban. 34. Határozzuk meg a következõ függvények szakadási pontjait: (a) x 2 y 2 (b) sin xy (c) xy x+y (d) sinxsiny. 35. Mutassuk meg hogy az f(xy) = { 2xy x 2 +y 2 x 2 +y x 2 +y 2 = 0 függvény mindkét változója szerint folytonos ha a másik változó értékét tetszõleges módon rögzítjük de mint kétváltozós függvény már nem folytonos. 3

16 8. Parciális differenciálhatóság A parciális derivált szemléletesen azt jelenti hogy az egyik változót lerögzítjük és csak a másikat engedjük változni ami szerint differenciálunk. Lényegében a felületünket elvágjuk a rögzített változó egyértékénél az (x y) síkra merõleges síkkal és a kapott (sík)görbét deriváljuk. 8.. Definíció. Az f : R n R függvény differenciálható a P 0 R n pontban ha f(p) f(p 0 ) = gradf PP 0 +ω(p) PP 0 ahol gradf := [f x f x 2...f x n ] az f függvény gradiensvektora és ω(p) olyan függvény amely határértéke 0 ha P P Tétel. Ha az f függvény parciális deriváltjai folytonosak valamely pontban akkor az f függvény differenciálható ebben a pontban Tétel. Legyen e egy adott egységvektor R n -ben. Ha az f differenciálható a P 0 pontban akkor itt bármely e iránymenti differenciálhányadosa létezik és f e = e gradf(p 0). Ha f kétváltozós függvény és α egy adott szög akkor az f függvény α iránymenti deriváltját az e = [cos α sin α] segítségével határozzuk meg. 36. Számítsuk ki a következõ függvények parciális deriváltjait majd hozzuk egyszerûbb alakra. (a) x 2 2xy +y 2 x+ (b) (x 3 2x 2 y +y 2 ) 7 (c) e x2 +y 2 (d) sin(x 2 +y 2 ) (e) arcsin x y (f) sin/y (g) 2 x/y (h) (x 2 +y 2 ) lgx (i) (2x+y) 2x y. 37. Számítsuk ki a következõ függvények másdokrendû parciális deriváltjait: (a) x 3 3x 2 y +xy 2 +y 3 (b) x y x+y (c) sinxcosy (d) e x y z. 4

17 38. Határozzuk meg az f x (x) parciális deriváltat ha f(xy) = x+(y )arcsin x y. 39. Határozzuk meg az f x(00) és f y(00) értékét ha f(xy) = 3 xy. Differenciálható-e a függvény az origóban? 40. Legyen f(xy) = { e x 2 +y 2 x 2 +y 2 > 0 0 x 2 +y 2 = 0. Vizsgáljuk meg hogy differenciálható-e a függvény az origóban! 4. Állítsuk elõ a következõ függvények elsõ és másodrendû parciális deriváltjait: (a) x 4 +y 4 4x 2 y 2 (b) xy + x y (c) x y 2 (d) cosx2 y (e) tan x2 y (f) x y (g) ln(x+y 2 ) (h) arctan y x (i) arcsin x x 2 +y Számítsuk ki az alábbi függvények gradiensét az adott helyen: (a) f(xy) = xln(x+y) ( 23) (b) g(xy) = arccos x y (2) (c) h(xy) = z x 2 +y 2 (3 47). 43. Keressük meg azokat a pontokat amelyekben az alábbi függvények gradiense nullvektor: (a) 3x 2 4xy +2x+y 2 + (b) x 2 +xy +2y 2 5x+y Állapítsuk meg hogy a következõ függvények gradiense mely pontban lesz egységvektor: (a) xy +x 2y +5 (b) sin(x+y)+cos(x+y) (c) x 2 +y 2 +z Állapítsuk meg hogy hol lesz azf(xy) = 2 (x2 y 2 ) függvény gradiense aza = [34] vektorra merõleges 5 egységnyi abszolút értékû vektor. 5

18 46. Állapítsuk meg hogy hol lesz az f(xy) = xy + x y függvény gradiense az a = [ ] vektorra merõleges egységvektor. 47. Állapítsuk meg hogy hol lesz az f(xy) = xy 2x+3y függvény gradiense olyan 0 egységnyi abszolút értékû vektor amely ellentétes irányú az a = [3 4] vektorral. 48. Számítsuk ki az alábbi függvények iránymenti differenciálhányadosát a megadott P 0 pontban az e vektor irányában: (a) f(xyz) = 2 x yz P 0 ( ) e(02 ) (b) f(xy) = 2x 2 3xy +y 2 +5 P 0 () e( 2 2 ) (c) f(xy) = x2 y 2 x 2 +y 2 P 0 (340) e( ) (d) f(xyz) = xe y2 z P 0 (20) e( 2). 49. Számítsuk ki az alábbi függvények α iránymenti differenciálhányadosát a megadott P 0 pontban: (a) f(xy) = x 2 +y 2 α = 60 P 0 ( 3) (b) f(xy) = x 2 +y 2 α = 35 P 0 ( 55) (c) f(xy) = tan(2x+y) α = 7π/4 P 0 (π/6π/3). 8.. Az érintõsík egyenlete többváltozós Taylor-polinom 8.2. Definíció. A kétváltozós f függvény Taylor-polinomja az (x 0 y 0 ) D f pontban: T f (x 0 y 0 ) = n n=0 k=0 ( ) n f (kn k) (x 0 y 0 ) (x x 0 ) k (y y 0 ) n k k n! Megjegyzés. Több változó esetén is hasonlóan lehet felírni de az összegképlet bonyolultsága miatt ezt nem részletezzük. Megjegyzés. Érintõsík vagyis lineáris közelítés esetén n =. 50. Számítsuk ki közelítõleg az alábbi értékeket egy megfelelõen választott függvény lineáris közelítésével: (a) (b) (c) sin29 tan46 (d) Írjuk fel az alábbi függvényeknek a megadott helyhez tartozó elsõ és második Taylorpolinomját: (a) f(xy) = 2x 2 xy y 2 6x 3y +5 P 0 ( 2) 6

19 (b) f(xy) = sinxsiny P 0 (π/4π/4) (c) f(xyz) = x 2 +y 2 +z 2 +2xy yz 4x 3y z +4 P 0 (). 52. Írjuk fel az alábbi függvényeknek a megadott helyhez tartozó harmadik Taylorpolinomját: (a) f(xy) = x y P 0 () (b) f(xy) = x 2 y P 0 () (c) f(xy) = e x+y P 0 ( ) (d) e x siny P 0 (0π/2). 53. Írjuk fel az f(xy) = x 3 2y 3 +3xy polinomot x és y 2 polinomjaként. 54. Írjuk fel az f(xy) = x 3 +y 3 6xy+6y 2 5x+2y+28 polinomot x és y+2 polinomjaként. 55. Számítsuk ki közelítõleg az alábbi értékeket a négy alapmûvelet segítségével: (a) n = 2 (b)..02 n = 3 (c) n = Szélsõérték meghatározása 9.. Lokális szélsõérték 9.. Tétel (Szükséges feltétel). Ha az f : R n R függvénynek szélsõértéke van a P 0 pontban akkor gradf(p 0 ) = Tétel. Egy f : R n R függvénynek pontosan akkor van szélsõértéke a P 0 pontban ha teljesül a szükséges feltétel és az f x x f x x 2 f x x n f x 2 x f x 2 x 2 f x 2 x n f x nx f x nx 2 f x nx n mátrix fõminorjai a bal felsõ saroknál kezdõdõ k k-as mátrixok determinánsai nem nullák a P 0 pontban. (i) Ha a fõminorok mindegyike pozitív akkor a függvénynek minimuma van P 0 -ban (ii) ha váltakozó elõjelûek úgy hogy f x x < 0 akkor maximuma van. 7

20 Megjegyzés. Ha bármelyik fõminor értéke 0 akkor más módszerrel kell megvizsgálni a függvényt. Megjegyzés. Az n = 2 esetben tehát ha gradf(p 0 ) = 0 és ( ) f xx f xy det f xy f yy > 0 akkor az f függvénynek szélsõértéke van ha det < 0 akkor nyeregpontja van. 56. Állípítsuk meg hogy vannak-e lokális szélsõértékei az alábbi kétváltozós f függvényeknek és ha igen hol és milyen: (a) f(xy) = x 3 +y 3 3xy (b) f(xy) = 4x 2 +2xy 5y 2 +2 (c) f(xy) = x 4 +y 4 (d) f(xy) = x 4 y 4 (e) f(xy) = x+ y x + 8 y (f) f(xy) = e xy (g) f(xy) = ysinx (h) f(xy) = sinx+cosy. 57. Állípítsuk meg hogy vannak-e lokális szélsõértékei az alábbi többváltozós f függvényeknek és ha igen hol és milyen: (a) f(xyz) = x 2 +y 2 +z 2 +2x+4y 6z (b) f(xyz) = yz 2x+3z (x 2 +y 2 +z 2 ) (c) f(xyz) = x+ y z + z y + 6 z (d) f(xyz) = x+ y/2 4x + z/2 y + 2 z Globális szélsõérték Megjegyzés. Egy kompakt (R n -ben korlátos és zárt) halmazon értelmezett függvénynek vagy a tartomány belsejében lévõ lokális szélsõérték-helyeken lehet globális szélsõértéke vagy a tartomány határán. Megjegyzés. Az (ab) középpontú és r sugarú kör egyenlete: (x a) 2 +(y b) 2 = r 2 ennek egy paraméterezése: (xy) = (rsint+arcost+b) ahol 0 t < 2π. 58. Határozzuk meg az alábbi függvények abszolút minimumát és maximumát a megadott tartományon: (a) f(xy) = x 2 +y 2 2x 2y 3 {(xy) : x 0 y 0 y 9 x} (b) f(xy) = x 2 +y 2 2x 2y 3 {(xy) : x 0 y 0 y < 9 x} 8

21 (c) f(xy) = x 2 +y 2 xy {(xy) : x 4 0 y x} (d) f(xy) = e x2 siny {(xy) : x π y π} (e) f(xy) = cosxsiny {(xy) : π 4 x 5π 4 π y π 3 } (f) f(xy) = x 2 +y 2 +xy x {(xy) : x 2 +y 2 } (g) f(xy) = x 2 +y 2 +xy 3x {(xy) : x 2 +y 2 3} Feltételes szélsõérték 9.3. Tétel. Ha az f : {(xy) : g(xy) = 0} R függvény mindkét változója szerint parciálisan differenciálható az (x 0 y 0 ) pontban és ott szélsõértéke van akkor λ 0 : gradf(x 0 y 0 ) = λ 0 gradg(x 0 y 0 ). Megjegyzés. A fenti feltétel ekvivalens azzal hogy a h(xyλ) := f(xy)+λg(xy) gradiense 0 az (x 0 y 0 λ 0 ) pontban. Ezt a λ 0 -t hívják Lagrange-féle multiplikátornak. 59. Határozzuk meg az alábbi kétváltozós f függvényeknek a megadott görbére vonatkozó feltételes szélsõértékeit paraméterezéssel: (a) f(xy) = xy y = 2x+ egyenes ( )(0) pontok közötti szakasza (b) f(xy) = xy x 2 +y 2 = 4 x 0 y 0 (c) f(xy) = 2x 2 +y 2 + x 2 +y 2 = 4 (d) f(xy) = x 2 +2y 2 x 2 /4+y 2 /9 = y x (e) f(xy) = 3x+2y x 2 /4+y 2 /9 = x Határozzuk meg az alábbi kétváltozós f függvényeknek a megadott feltételekre vonatkozó feltételes szélsõértékeit a Lagrange-féle multiplikátorok segítségével: (a) f(xy) = xy x 2 +y 2 = (b) f(xy) = x 2 +y 2 xy = 3 (c) f(xy) = x 2 +y 2 x a + y b = (d) f(xy) = x+y x 4 +y 4 =. P.S. Kérek mindenkit hogy ha talál hibát még a legegyszerûbbet is jelezze a címemre. 9

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i

I. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex

Részletesebben

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag

VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat . Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben

Részletesebben

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4. Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont

Részletesebben

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2.

VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. VIK A3 Matematika, Gyakorlati anyag 2. 208. november Sorok. Konvergensek-e az alábbi sorok? Ha igen, adjuk meg a határértéküket! n(n+3) n(n+)(n+2) 9n 2 3n 2 ( n + 2 2 n + + n) 2n+ n 2 (n+) 2 (f) ( 3) k+2

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx

x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25) I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x

2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx

Részletesebben

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4

cos 2 (2x) 1 dx c) sin(2x)dx c) cos(3x)dx π 4 cos(2x) dx c) 5sin 2 (x)cos(x)dx x3 5 x 4 +11dx arctg 11 (2x) 4x 2 +1 π 4 Integrálszámítás I. Végezze el a következő integrálásokat:. α, haα sin() cos() e f) a sin h) () cos ().. 5 4 ( ) e + 4 sin h) (+) sin() sin() cos() + f) 5 i) cos ( +) 7 4. 4 (+) 6 4 cos() 5 +7 5. ( ) sin()cos

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris

A legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 4 IV HATVÁNYSOROk 1 ELmÉLETI ALAPÖSSZEFÜGGÉSEk Az olyan végtelen sort, amelynek tagjai függvények, függvénysornak nevezzük Ha a tagok hatványfüggvények, akkor a sor neve hatványsor

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt

Kalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt 27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1 Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya

Részletesebben

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 ) Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )

Részletesebben

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia 2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban 9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x

Részletesebben

Matematika elméleti összefoglaló

Matematika elméleti összefoglaló 1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...

Részletesebben

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!

1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban! . Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz Függvények. Viszgaljuk meg, hogy az alabbi fuggvenyek kozuk melyik injektv, szurjektv, illetve bijektv? F : N N, n n b) F : Q Q, c) F : R R, d) F : N N, n n e) F

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja

Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,

8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, 3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2

Sorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2 Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt

Részletesebben

2014. november Dr. Vincze Szilvia

2014. november Dr. Vincze Szilvia 24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata

Részletesebben

A gyakorlatok anyaga

A gyakorlatok anyaga A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

Fourier sorok február 19.

Fourier sorok február 19. Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )

Régebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n ) Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma? . Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom, Valós függvények (L Hospital szabály, Taylor-polinom, függvények közelítése) . Tegyük fel, hogy f és g differenciálható az (a, p) (p, b) halmazon, ahol a < b, g-nek és g -nek nincs gyöke ebben a halmazban.

Részletesebben

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód: Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat

Részletesebben

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont

Elérhető maximális pontszám: 70+30=100 pont Villamosmérnök Szak Távoktatás 2. félév Matematika kollokvium 2008. dec. 20. Név: Neptun Kód: Tanár: Fel.: Elm.: Hf.: Össz.: Oszt.: Vajda István Rendelkezésre álló idő: 105 perc Elérhető maximális pontszám:

Részletesebben

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C, 25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit

Részletesebben

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és

Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és 205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási

Részletesebben

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,

n 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt, 205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:

Részletesebben

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)

9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet

Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =

Részletesebben

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, Fourier sorok a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Óravázlatok: Matematika 2.

Óravázlatok: Matematika 2. Óravázlatok: Matematika 2. Bartha Ferenc készültség: March 4, 2003 1. VEKTOR-SKALÁR FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA Legyen a továbbiakban M R n nyílt halmaz és f : M R valós függvény, x (x 1,.., x n ) M Ha

Részletesebben

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Függvény határérték összefoglalás

Függvény határérték összefoglalás Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1

Tartalomjegyzék. 1. Előszó 1 Tartalomjegyzék 1. Előszó 1 2. Halmazok, relációk, függvények 3 2.1. Halmazok, relációk, függvények A............... 3 2.1.1. Halmazok és relációk................... 3 2.1.2. Relációk inverze és kompozíciója............

Részletesebben