Kalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat

Átírás

1 . Házi feladat Beadási határidő: Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben 3. B(x, r B x (r = {y R n : d(x, y < r}, x körüli r sugarú nyílt gömb I. R n topológiája, pontsorozatok. Legyen x, z R n. Mutassuk meg, hogy egy y R n pontra pontosan akkor teljesül, hogy d(x, z = d(x, y + d(y, z, ha y az x-et és z-t összekötő szakaszon fekszik.. Legyen (x n, (y n két sorozat R p -ben. Bizonyítsuk be, hogy ha x n a és y n b, akkor x n, y n a, b és x n a. 3. Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat korlátosság és konvergencia szempontjából! (a x n = ( ( n n, + ( n R (b x n = ( sin nπ,, ( + n R 3 n n n ( (c x n = ( + n n+, n n!, 5n +3n R 3, n ( (d x n =, n, n,..., n p R p, n n+ n+ n+p

2 4. Adja meg az alábbi halmazok belső, torlódási, határ és izolált pontjait, valamint a lezártját és a belsejét. (a A = {(x, y : a < x < b, y = 0} R, (b A = {(x, y : 0 < x, 0 < y < x } R, (c A = {(x, y : x, y Q} R, (d A = { } (x, y : 0 < x <, y = sin x R (e A = { (x, y : 0 < x <, y < sin x} R. II. Többváltozós függvények határértéke, folytonossága 5. Határozzuk meg az alábbi függvények értelmezési tartományát, értékkészletét. Rajzoltassuk ki a függvényeket valamilyen programcsomag segítségével az x, y 3 tartományon! (a f(x, y = x + y, (b f(x, y = x + y +, (c f(x, y = xy, 6. Határozzuk meg az alábbi határértékeket, amennyiben léteznek! (a lim (x,y (, (b lim (x,y (0,0 e x 3y +x +3y, x y x 4 +y, (c lim (x,y (0,0 5xy 3 x +y, (d lim (x,y (0, 0 x+y x y, (e lim (x,y (, x 4 y 4 x 3 +y 3, További gyakorló példák (kidolgozottak is találhatók: FELADATGYÜJTEMÉNY II. (Babcsányi 4. fejezet.-3. fe- MATEMATIKA ladatok Kónya-féle feladatgyűjtemény 3. és 3. fejezet.

3 . Házi feladat Határidő: Határozzuk meg az alábbi R R függvények parciális deriváltjait. ( (x + y f(x, y = x, ha (x, y (0, 0, exp + y g(x, y = x + y, ha (x, y (0, 0, 0, ha (x, y = (0, 0. 0, ha (x, y = (0, 0.. Mutassuk meg, hogy az f : R R (x, y xy, x + y ha (x, y (0, 0, 0, ha (x, y = (0, 0. függvénynek minden pontban léteznek a parciális deriváltjai, de f nem differenciálható a (0, 0 pontban. 3. Tekintsük az alábbi f : R R függvényeket.. f(x, y = (x y x + y + 6x + 3y, ha (x, y (0, 0, 0, ha (x, y = (0, 0.. f(x, y = arctg(x + y 4 + a. Számoljuk ki az f x, f y parciális deriváltakat! b. Hol differenciálható az f függvény? 4. Határozzuk meg az f : R R (x + 3y (x, y x, ha (x, y (0, 0 + y, ha (x, y = (0, 0 függvény (, iránymenti deriváltját a (0, 0 pontban! 5. Számoljuk ki az f : R 3 R (x, y, z x 3 + y 4 + x y e z függvény f xxz (= 3 f és f xzx (= 3 f parciális deriváltjait! 6. Tekintsük az { (x, y, z R 3 0 < x, y, z } térrészben az xyz = a 3 felületet, ahol a R +. Mutassuk meg, hogy a felület érintősíkjai a koordinátasíkokkal 9 a3 térfogatú tetraédert fognak közre. Kalkulus, Házi feladatok

4 3. Házi feladat Beadási határidő: (Láncszabály. Legyen f(t = ( t t,, e t, g(x, y, z = x y z, valamint t +t 0 =, a = (,, 3. Határozzuk meg az (f g (a valamint (g f (t 0 deriváltkat a láncszabály segítségével, illetve közvetlen behelyettesítéssel.. (Lineáris közelítés. Az R, R, R 3 ellenállásokat párhuzamosan kötve, az eredő ellenállás R értékére R = + +. R R R 3 Az ellenállások értékére rendre 5Ω, 40Ω, 50Ω értékeket mérünk legfeljebb 0.5% hibával. Mekkora a maximális hiba R számított értékére? Melyik ellenállás megváltozására a legérzékenyebb az eredő ellenállás? 3. (Magasabb rendű deriváltak. Mutassuk meg, hogy az alábbi többváltozós függvények kielégítik az adott parciális differenciálegyenletet! (a z(x, y = e ay cos ax, x = a z y, (b u(x, t = sin(x at + ln(x + at, u tt = a u xx, (c u(x, y = sin x cosh y + cos x sinh y, u xx + u yy = (Szélsőértékszámítás. Határozzuk meg az f függvény lokális és globális szélsőértékeit a megadott H halmazokon! (a f(x, y = x + y x y, H = {(x, y : x 0, y 0, y 9 x}, (b f(x, y, z = x + y + z xy 6x + z, H = R, (c f(x, y = ( + e y cos x ye y H = R. 5. (Gradiens és divergencia. Legyen r : R R az identitás függvény (azaz r(x, y, z = (x, y, z. Számoljuk ki az alábbi mennyiségeket:

5 (a grad(log r 3 (b div(grad r 5 (c div( r grad(log r 3 6. (Divergencia és rotáció. Legyen U C (R 3, R, V C (R 3, R 3. Mutassuk meg, hogy (a rot(uv = UrotV + (gradu V (b div(rotv = 0 (c rot(gradu = 0

6 4. Házi feladat Határidő: Az f : R + R + R, f(x, y = x y függvény (x 0, y 0 = (, pont körüli másodrendű Taylorpolinomjának a segítségével becsüljük meg 0, 95,0 értékét. (Hibabecslés nem kell.. Hol lehet lokális szélsőértéke az f függvénynek a megadott feltételek mellett? a. f(x, y, z = x + y + z, x + y + z =, x y 3z = 4; b. f(x, y, z = x + y + z + t, x + 3y z + t =, x y + z + t = Tekintsük az f : R + R + R ( (x, y ln x + y arctg y x függvényt. a. Legyen (x 0, y 0 = (, és q = f(x 0, y 0. Mutassuk meg, hogy nem létezik olyan környezete az x 0 pontnak, ahol értelmezhető lenne egy olyan y(x függvény, melyre y(x 0 = y 0 és f(x, y(x = q teljesül. (Útmutatás: Tegyük fel, hogy < x, és tekintsük az x paramétertől függő α x(y = f(x, y függvényt. Mutassuk meg, hogy az y változó szerint α x függvénynek az y 0 = x pontban van ( x globális minimuma, és ez α x = q + ln x. Vagyis ha < x, akkor minden y R esetén f(x, y q + ln x. Tehát a < x esetben nem létezik olyan y R, melyre f(x, y = q teljesül. b. Legyen x = y = e és τ = f(x, y. Mutassuk meg, hogy létezik olyan környezete az x pontnak, ahol értelmezhető egy olyan y(x függvény, melyre y(x = y és f(x, y(x = τ teljesül. Határozzuk meg y (x értékét. 4. Tekintsük az f : R 3 R (x, y, z x cos(y + y cos(z + z cos(x függvényt. Legyen x 0 = 0 és y 0 = 0. Mutassuk meg, hogy létezik olyan környezete az (x 0, y 0 pontnak, ahol értelmezhető egy olyan z(x, y függvény, melyre f(x, y, z(x, y = teljesül. Határozzuk meg z(x, y z(x, y és értékét az (x 0, y 0 pontban. x y 5. Tekintsük az f : R R R ((x, y, (u, v ( x y u 3 + v + 4 xy + y u + 3v függvényt. Legyen (x 0, y 0, u 0, v 0 = (,,, és q = f(x 0, y 0, u 0, v 0. Mutassuk meg, hogy létezik olyan környezete az (u 0, v 0 pontnak, ahol értelmezhető olyan x(u, v és y(u, v függvény, melyre x(u, v x(u 0, v 0 = x 0, y(u 0, v 0 = y 0 és f(x(u, v, y(u, v, u, v = q teljesül. Határozzuk meg a, u x(u, v, v y(u, v u és y(u, v v Kalkulus, Házi feladatok értékét az (u 0, v 0 pontban.

7 6. Inverzfüggvény-tétel alkalmazásai. a. Legyen f : R R, f(x = x + x 3 + cos x. Mutassuk meg, hogy f invertálható, f differenciálható, továbbá, hogy ( f ( = teljesül. b. Legyen ϕ : R R, ϕ(u, v = (u 3 + uv + v 3, u v. Mutassuk meg, hogy a (3, 0 pontnak egy környezetében értlmezett a ϕ függvény és határozzuk meg a (Dϕ ((3, 0 deriváltat. Kalkulus, Házi feladatok